[ID:3-6599437] 2019-2020学年山东省淄博市高二(上)期中数学试卷试题及答案(解析版)
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2019-2020学年山东省淄博市高二(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中,第1~10题只有一项符合题目要求,第11~13题有多项符合题目要求) 1.命题“?x<0,x+≤﹣2”的否定是(  ) A. B. C. D. 2.下列命题中正确的是(  ) A.若ab>0,a>b,则< B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d D.若a>b,c<d,则> 3.在等比数列{an}中,已知a4=3a3,则++++=(  ) A. B. C. D. 4.已知log2x,log2y,2依次成等差数列.则在平面直角坐标系中,点M(x,y)的轨迹为(  ) A. B. C. D. 5.设a>1,则关于x的不等式的解集是(  ) A. B.(a,+∞) C. D. 6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而四方称之为“中国剩余理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列的项数为(  ) A.134 B.135 C.136 D.137 7.已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,且双曲线C的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=3相切,则双曲线C的离心率为(  ) A.1 B. C.2 D.3 8.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=3|OF|,△MFO的面积为16,则抛物线的方程为(  ) A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2=20x 9.在数列{an}中,a1=0,an﹣an﹣1+5=2(n+2)(n∈N*,n≥2),若数列{bn}满足bn=n()n,则数列{bn}的最大项为(  ) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 10.F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任意一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为(  ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 11.下列表达式的最小值为2的有(  ) A.当ab=1时,a+b B.当ab=1时, C.a2﹣2a+3 D. 12.“存在正整数n,使不等式(n+3)lga>(n+5)lgaa(0<a<1)都成立”的一个充分条件是(  ) A. B. C. D. 13.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x﹣3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的取值可以为(  ) A.3 B.4 C. D. 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 14.关于x的不等式x2+px﹣2<0的解集为(q,1),则p+q=   . 15.在平面直角坐标系xOy,椭圆C的中心为原点,焦点F1F2在x轴上,离心率为.过F1的直线交于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为   . 16.设单调递增的等差数列的前n项和是Sn,若和是方程x2+16x+60=0的两根,则数列的前n项和的最小值为   . 17.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点,若△PQF2的周长为16,则的最大值为   . 三、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18.已知p:曲线表示双曲线;q:曲线表示焦点在y轴上的椭圆 (1)分别求出条件p,q中的实数m的取值范围; (2)甲同学认为“p是q的充分条件”,乙同学认为“p是q的必要条件”,请判断两位同学的说法是否正确,并说明理由. 19.某企业用180万元购买一套新设备,该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入,为了维护设备的正常运行,第一年需要各种维护费用10万元,且从第二年开始,每年比上一年所需的维护费用要增加10万元 (1)求该设备给企业带来的总利润y(万元)与使用年数x(x∈N*)的函数关系; (2)试计算这套设备使用多少年,可使年平均利润最大?年平均利润最大为多少万元? 20.已知等比数列{an}的公比q=2,且a2,a3+1,a4成等差数列. (1)求a1及an; (2)设bn=an+,求数列{bn}的前n项和Sn. 21.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(x0,2)到焦点F的距离|MF|=,倾斜角为α的直线经过焦点F,且与抛物线交于两点A、B. (1)求抛物线的标准方程及准线方程; (2)若α为锐角,作线段AB的中垂线m交x轴于点P.证明:|FP|﹣|FP|?cos2α为定值,并求出该定值. 22.已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3++nan=an+1,(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{n2an}的前n项和Tn; (3)若对任意的n∈N*,都有an≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围. 23.已知椭圆C:(a>b>0)过点A(0,1),且离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)过A作斜率分别为k1,k2的两条直线,分别交椭圆于点M,N,且k1+k2=2,证明:直线MN过定点. 2019-2020学年山东省淄博市高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中,第1~10题只有一项符合题目要求,第11~13题有多项符合题目要求) 1.命题“?x<0,x+≤﹣2”的否定是(  ) A. B. C. D. 【解答】解:由题意,根据全称命题与存在性命题的关系,可得命题“”的否定是“”. 故选:D. 2.下列命题中正确的是(  ) A.若ab>0,a>b,则< B.若a>b,则ac2>bc2 C.若a>b,c>d,则a﹣c>b﹣d D.若a>b,c<d,则> 【解答】解:∵ab>0,a>b,∴a?>b?,∴,故A正确; 取c=0,可排除B,D; 由a>b,c>d,可知a﹣d>b﹣c,故C错误. 故选:A. 3.在等比数列{an}中,已知a4=3a3,则++++=(  ) A. B. C. D. 【解答】解:设等比数列{an}的公比为q, ∵a4=3a3, ∴q=3, ∴++++=q+q2+q3++qn===. 故选:D. 4.已知log2x,log2y,2依次成等差数列.则在平面直角坐标系中,点M(x,y)的轨迹为(  ) A. B. C. D. 【解答】解:由已知得:2log2 y=log2 x+2(x>0,y>0),化简得:y2=2x(x>0,y>0)其图象是抛物线在第一象限的图象. 故选:C. 5.设a>1,则关于x的不等式的解集是(  ) A. B.(a,+∞) C. D. 【解答】解:a>1时,1﹣a<0,且a>, 则关于x的不等式可化为(x﹣a)(x﹣)>0, 解得x<或x>a, 所以不等式的解集为(﹣∞,)∪(a,+∞). 故选:D. 6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年,英国来华传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年,英国数学家马西森指出此法符合1801年宙高斯得出的关于同余式解法的一般性定理,因而四方称之为“中国剩余理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1至2019中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则此数列的项数为(  ) A.134 B.135 C.136 D.137 【解答】解:由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数, 故an=15n﹣14. 由an=15n﹣14≤2016, 得n≤135,故此数列的项数为135. 故选:B. 7.已知双曲线的焦点与椭圆的焦点重合,且双曲线C的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=3相切,则双曲线C的离心率为(  ) A.1 B. C.2 D.3 【解答】解:椭圆的焦点为I(±2,0),所以c=2,所以a2+b2=4. 双曲线的渐近线方程为ay±bx=0, 由双曲线C的渐近线与圆(x﹣2)2+y2=3相切,得,可得b=a, 带入a2+b2=4得a=1.离心率, 故选:C. 8.抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且|MF|=3|OF|,△MFO的面积为16,则抛物线的方程为(  ) A.y2=6x B.y2=8x C.y2=16x D.y2=20x 【解答】解:由题意,F(,0),准线方程为x=﹣,∵|MF|=3|OF|,∴|MF|=2p. ∴M的横坐标为p﹣=p, ∴M的纵坐标为y=±p, ∵△MFO的面积为16, ∴××p=16, ∴p=8, ∴抛物线的方程为y2=16x. 故选:C. 9.在数列{an}中,a1=0,an﹣an﹣1+5=2(n+2)(n∈N*,n≥2),若数列{bn}满足bn=n()n,则数列{bn}的最大项为(  ) A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 【解答】解:数列{an}中,a1=0,an﹣an﹣1+5=2(n+2), 得到:an﹣an﹣1=2n﹣1, an﹣1﹣an﹣2=2(n﹣1)﹣1, , a2﹣a1=2×2﹣1, 上边(n﹣1)个式子相加得: an﹣a1=2(2+3++n)﹣(n﹣1), 解得:. 当n=1时,首项符合通项. 故:. 数列{bn}满足bn=n()n, 则bn=n(n+1)()n﹣1, 由于, 故:, 解得:, 由于n是正整数, 故n=6. 故选:B. 10.F1,F2是椭圆=1(a>b>0)的两焦点,P是椭圆上任意一点,从任一焦点引∠F1PF2的外角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为(  ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 【解答】解:由题意,延长F2P,与F1Q的延长线交于M点,连接QO, ∵PQ是∠F1PF2的外角平分线,且PQ⊥MF1 ∴△F1MP中,|PF1|=|PM|且Q为MF1的中点 由三角形中位线定理,得|OQ|=|MF2|=(|MP|+|PF2|) ∵由椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,(2a是椭圆的长轴) 可得|MP|+|PF2|=2a, ∴|OQ|=(|MP|+|PF2|)=a,可得动点Q的轨迹方程为x2+y2=a2 ∴点Q的轨迹为以原点为圆心半径为a的圆. 故选:A. 11.下列表达式的最小值为2的有(  ) A.当ab=1时,a+b B.当ab=1时, C.a2﹣2a+3 D. 【解答】解:对选项A,当a,b均为负值时,a+b<0,故最小值不为2; 对选项B,因为ab=1,所以a,b同号,所以,所以,当且仅,即a=b=±1时取等号,故最小值为2; 对选项C,a2﹣2a+3=(a﹣1)2+2,当a=1时,取最小值2; 对选项D,当且仅当,即a2+2=1时,取等号,但等号显然不成立,故最小值不为2. 故选:BC. 12.“存在正整数n,使不等式(n+3)lga>(n+5)lgaa(0<a<1)都成立”的一个充分条件是(  ) A. B. C. D. 【解答】解:由(n+3)lga>(n+5)lgaa(0<a<1),得(n+3)lga>a(n+5)lga(0<a<1), ∵0<a<1,∴lga<0,∴(n+3)<a(n+5),即,若存在正整数n,使,需,当n=1时,取最小值,∴,又a<1,∴a的取值范围为,易知选项BD是子集. 故选:BD. 13.已知抛物线y2=4x上一点P到准线的距离为d1,到直线l:4x﹣3y+11=0的距离为d2,则d1+d2的取值可以为(  ) A.3 B.4 C. D. 【解答】解:抛物线上的点P到准线的距离等于到焦点F的距离, 所以过焦点F(1,0)作直线4x﹣3y+11=0的垂线,则F到直线的距离为d1+d2的最小值, 如图所示: 所以,选项ABD均大于或等于3, 故选:ABD. 二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分) 14.关于x的不等式x2+px﹣2<0的解集为(q,1),则p+q= ﹣1 . 【解答】解:由题意知,方程x2+px﹣2=0有一个根为1, 代入方程求得p=1; 所以不等式为x2+x﹣2<0, 解得其解集为(﹣2,1); 所以q=﹣2, 所以p+q=﹣1. 故答案为:﹣1. 15.在平面直角坐标系xOy,椭圆C的中心为原点,焦点F1F2在x轴上,离心率为.过F1的直线交于A,B两点,且△ABF2的周长为16,那么C的方程为 +=1 . 【解答】解:根据题意,△ABF2的周长为16,即BF2+AF2+BF1+AF1=16; 根据椭圆的性质,有4a=16,即a=4; 椭圆的离心率为,即=,则a=c, 将a=c,代入可得,c=2,则b2=a2﹣c2=8; 则椭圆的方程为+=1; 故答案为:+=1. 16.设单调递增的等差数列的前n项和是Sn,若和是方程x2+16x+60=0的两根,则数列的前n项和的最小值为 ﹣56 . 【解答】解:设单调递增的等差数列{an}的首项为a1,公差为d(d>0), 则,,故数列为单调递增的等差数列, 由于方程x2+16x+60=0的两根分别为﹣6,﹣10, 所以, 可得数列的首项为﹣14,公差为2,所以前n项和为n2﹣15n, 当n=7或8时取最小值﹣56. 故答案为:﹣56. 17.已知双曲线的左、右焦点分别为F1,F2,过F1且垂直于x轴的直线与该双曲线的左支交于A,B两点,AF2,BF2分别交y轴于P,Q两点,若△PQF2的周长为16,则的最大值为 4 . 【解答】解:如图:由△PQF2的周长为16,所以△ABF2的周长为32,又AB是双曲线的通径,所以,因为, 可得,所以b2=a(8﹣a),可得a∈(0,8), 则, 当且仅当,即a=2时等号成立, 故答案为:4. 三、解答题(本大题共6小题,共82分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 18.已知p:曲线表示双曲线;q:曲线表示焦点在y轴上的椭圆 (1)分别求出条件p,q中的实数m的取值范围; (2)甲同学认为“p是q的充分条件”,乙同学认为“p是q的必要条件”,请判断两位同学的说法是否正确,并说明理由. 【解答】解:(1)若曲线表示双曲线, 则(m﹣2)(m﹣4)<0,得2<m<4; 因此满足条件p的实数m的取值范围是(2,4). 若曲线表示焦点在y轴上的椭圆, 需, 得m2>1,得m>1或m<﹣1. 因此满足条件q的实数m的取值范围是(﹣∞﹣1)∪(1,+∞). (2)甲同学的判断正确,乙同学的判断不正确. 因为p?q, 所以p是q的充分条件, 因为q推不出p, 所以p不是q的必要条件. 19.某企业用180万元购买一套新设备,该套设备预计平均每年能给企业带来100万元的收入,为了维护设备的正常运行,第一年需要各种维护费用10万元,且从第二年开始,每年比上一年所需的维护费用要增加10万元 (1)求该设备给企业带来的总利润y(万元)与使用年数x(x∈N*)的函数关系; (2)试计算这套设备使用多少年,可使年平均利润最大?年平均利润最大为多少万元? 【解答】解:(1)由题意知,x年总收入为100x万元, 则x年维护总费用为10×(1+2+3++x)=5x(x+1)万元, 所以总利润为y=100x﹣5x(x+1)﹣180,x∈N*; 即y=﹣5(x2﹣19x+36),x∈N*; (2)年平均利润为=﹣5(x+)+95, ∵x>0,∴x+≥2=12, 当且仅当x=,即x=6时取“=”; 所以≤35, 即这套设备使用6年,可使年平均利润最大,且年平均利润最大为35万元. 20.已知等比数列{an}的公比q=2,且a2,a3+1,a4成等差数列. (1)求a1及an; (2)设bn=an+,求数列{bn}的前n项和Sn. 【解答】解:(1)由已知得a2=2a1,a3+1=4a1+1,a4=8a1, 又a2,a3+1,a4成等差数列,∴2(a3+1)=a2+a4, ∴2(4a1+1)=2a1+8a1, 解得a1=1, 故; (2)∵, ∴Sn=b1+b2+b3++bn==. 21.已知抛物线y2=2px(p>0)上一点M(x0,2)到焦点F的距离|MF|=,倾斜角为α的直线经过焦点F,且与抛物线交于两点A、B. (1)求抛物线的标准方程及准线方程; (2)若α为锐角,作线段AB的中垂线m交x轴于点P.证明:|FP|﹣|FP|?cos2α为定值,并求出该定值. 【解答】解:(1)|MF|=x0+=x0, ∴x0=p, ∴M(p,2)在抛物线上, ∴2p2=8(p>0),解得p=2, 所以抛物线的标准方程为y2=4x,准线l的方程为x=﹣1; (2)证明:设A(xA,yA),B(xB,yB), 直线AB的斜率为k=tanα,则直线AB方程为y=k(x﹣1); 将此式代入y2=4x,得k2x2﹣2(k2+2)x+k2=0, 故xA+xB=,xAxB=1; 记直线m与AB的交点为E(xE,yE), 则xE==,yE=k(xE﹣1)=, 故直线m的方程为y﹣=﹣(x﹣); 令y=0,得P的横坐标xP=+2=3+, 所以|FP|=xP﹣1=2+=2+; 所以|FP|﹣|FP|cos2α=|FP|(1﹣cos2α)=(2+)?2sin2α=4(1+)?sin2α=4为定值4. 22.已知数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3++nan=an+1,(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)求数列{n2an}的前n项和Tn; (3)若对任意的n∈N*,都有an≥(n+1)λ成立,求实数λ的取值范围. 【解答】解:(1)数列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3++nan=an+1,(n∈N*). 可得n=1时,a1=a2,即a2=, n≥2时,a1+2a2+3a3++(n﹣1)an﹣1=an,又a1+2a2+3a3++nan=an+1, 两式相减可得nan=an+1﹣an, 化为(n+1)an+1=4nan,n≥2, 可得nan=2a2?4n﹣2=3?4n﹣2,即an=,n≥2, 综上可得an=; (2)n2an=3n?4n﹣2,n≥2, 则前n项和Tn=1+3(2?1+3?4+4?16++n?4n﹣2), 4Tn=4+3(2?4+3?16+4?64++n?4n﹣1), 相减可得﹣3Tn=﹣3+3(2+4+16++4n﹣2﹣n?4n﹣1)=3?﹣3n?4n﹣1, 化为Tn=; (3)对任意的n∈N*,都有an≥(n+1)λ成立, 即为λ≤的最小值, 由n=1可得=, =,?=>1, 可得n≥2时,{}递增, 当n=1或2时,{}取得最小值, 则λ≤. 23.已知椭圆C:(a>b>0)过点A(0,1),且离心率为. (1)求椭圆C的方程; (2)过A作斜率分别为k1,k2的两条直线,分别交椭圆于点M,N,且k1+k2=2,证明:直线MN过定点. 【解答】解:(1)椭圆C:(a>b>0)过点A(0,1),可得b=1,且离心率为=.a2﹣1=c2,解得a=2, 所求椭圆方程为: (2)当直线MN斜率不存在时,设直线方程为x=t,则M(t,s),N(t,﹣s), ,则,∴t=﹣1(7分) 当直线MN斜率存在时,设直线方程为:y=kx+b,与椭圆方程联立:, 得(4k2+1)x2+8kbx+4b2﹣4=0, 设M(x1,y1),N(x2,y2),有(*) 则 将*式代入化简可得:,即(k﹣b﹣1)(b﹣1)=0,∴k=b+1 直线MN:y=(b+1)x+b=b(x+1)+x,恒过定点(﹣1,﹣1)
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教A版(2019)
  • 适用地区:山东省淄博市
  • 文件大小:436.54KB
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