[ID:3-6248477] 中考一轮复习“将军饮马”类题型大全 学案(含答案)
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“将军饮马”类题型大全 一.求线段和最值 1(一)两定一动型 例1: 如图, AM⊥EF,BN⊥EF,垂足为M、N,MN=12m,AM=5m,BN=4m, P是EF上任意一点,则PA+PB的最小值是______m. 分析: 这是最基本的将军饮马问题,A,B是定点,P是动点,属于两定一动将军饮马型,根据常见的“定点定线作对称”,可作点A关于EF的对称点A’,根据两点之间,线段最短,连接A’B,此时A’P+PB即为A’B,最短.而要求A’B,则需要构造直角三角形,利用勾股定理解决. 解答: 作点A关于EF的对称点A’,过点A’作A’C⊥BN的延长线于C.易知A’M=AM=NC=5m,BC=9m,A’C=MN=12m,在Rt△A’BC中,A’B=15m,即PA+PB的最小值是15m. 变式: 如图,在边长为2的正三角形ABC中,E,F,G为各边中点,P为线段EF上一动点,则△BPG周长的最小值为_________. 分析: 考虑到BG为定值是1,则△BPG的周长最小转化为求BP+PG的最小值,又是两定一动的将军饮马型,考虑作点G关于EF的对称点,这里有些同学可能看不出来到底是哪个点,我们不妨连接AG,则AG⊥BC,再连接EG,根据“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”,可得AE=EG,则点A就是点G关于EF的对称点.最后计算周长时,别忘了加上BG的长度. 解答: 连接AG,易知PG=PA,BP+PG=BP+PA,当B,P,A三点共线时,BP+PG=BA,此时最短,BA=2,BG=1,即△BPG周长最短为3. 2 (二)一定两动型 例2: 如图,在△ABC中,AB=AC=5,D为BC中点,AD=5,P为AD上任意一点,E为AC上任意一点,求PC+PE的最小值. 分析: 这里的点C是定点,P,E是动点,属于一定两动的将军饮马模型,由于△ABC是等腰三角形,AD是BC中线,则AD垂直平分BC,点C关于AD的对称点是点B,PC+PE=PB+PE,显然当B,P,E三点共线时,BE更短.但此时还不是最短,根据“垂线段最短” 只有当BE⊥AC时,BE最短.求BE时,用面积法即可. 解答: 作BE⊥AC交于点E,交AD于点P,易知AD⊥BC,BD=3,BC=6, 则AD·BC=BE·AC, 4×6=BE·5,BE=4.8 变式: 如图,BD平分∠ABC,E,F分别为线段BC,BD上的动点,AB=8,△ABC的周长为20,求EF+CF的最小值________. 分析: 这里的点C是定点,F,E是动点,属于一定两动的将军饮马模型,我们习惯于“定点定线作对称”,但这题这样做,会出现问题.因为点C的对称点C’必然在AB上,但由于BC长度未知,BC’长度也未知,则C’相对的也是不确定点,因此我们这里可以尝试作动点E关于BD的对称点. 解答: 如图,作点E关于BD的对称点E’,连接E’F,则EF+CF=E’F+CF,当E’,F,C三点共线时,E’F+CF=E’C,此时较短.过点C作CE’’⊥AB于E’’,当点E’ 与点E’’重合时,E’’C最短,E’’C为AB边上的高,E’’C=5. (三)两定两动型 例3: 如图,∠AOB=30°,OC=5,OD=12,点E,F分别是射线OA,OB上的动点,求CF+EF+DE的最小值. 分析: 这里的点C,点D是定点,F,E是动点,属于两定两动的将军饮马模型,依旧可以用“定点定线作对称”来考虑.作点C关于OB的对称点,点D关于OA的对称点. 解答: 作点C关于OB的对称点C’,点D关于OA的对称点D’,连接C’D’. CF+EF+DE= C’F+ EF+ D’E,当C’,F, E,D’四点共线时,CF+EF+DE= C’D’最短.易知∠D’OC’=90°,OD’=12,OC’=5,C’D’=13,CF+EF+DE最小值为13. 变式: (原创题)如图,斯诺克比赛桌面AB宽1.78m,白球E距AD边0.22m,距CD边1.4m,有一颗红球F紧贴BC边,且距离CD边0.1m,若要使白球E经过边AD,DC,两次反弹击中红球F,求白球E运动路线的总长度. 分析: 本题中,点E和点F是定点,两次反弹的点虽然未知,但我们可以根据前几题的经验作出,即分别作点E关于AD边的对称点E’,作点F关于CD边的对称点F’,即可画出白球E的运动路线,化归为两定两动将军饮马型. 解答: 作点E关于AD边的对称点E’,作点F关于CD边的对称点F’,连接E’F’,交AD于点G,交CD于点H,则运动路线长为EG+GH+HF长度之和,即E’F’长,延长E’E交BC于N,交AD于M,易知E’M=EM=0.22m,E’N=1.78+0.22=2m,NF’=NC+CF’=1.4+0.1=1.5m,则Rt△E’NF’中,E’F’=2.5m,即白球运动路线的总长度为2.5m. 小结: 以上求线段和最值问题,几乎都可以归结为“两定一动”“一定两动”“两定两动”类的将军饮马型问题,基本方法还是“定点定线作对称”,利用“两点之间线段最短”“垂线段最短”的2条重要性质,将线段和转化为直角三角形的斜边,或者一边上的高,借助勾股定理,或者面积法来求解. 当然,有时候,我们也需学会灵活变通,定点对称行不通时,尝试作动点对称. (二)求角度 例1: P为∠AOB内一定点,M,N分别为射线OA,OB上一点,当△PMN周长最小时,∠MPN=80°. (1)∠AOB=_____° (2)求证:OP平分∠MPN 分析: 这又是一定两动型将军饮马问题,我们应该先将M,N的位置找到,再来思考∠AOB的度数,显然作点P关于OA的对称点P’,关于OB的对称点P’’,连接P’P’’,其与OA交点即为M,OB交点即为N,如下图,易知∠DPC与∠AOB互补,则求出∠DPC的度数即可. 解答: (1)法1: 如图,∠1+∠2=100°,∠1=∠P’+∠3=2∠3,∠2=∠P’’+∠4=2∠4,则∠3+∠4=50°,∠DPC=130°,∠AOB=50°. 再分析: 考虑到第二小问要证明OP平分∠MPN,我们就连接OP,则要证∠5=∠6,显然很困难,这时候,考虑到对称性,我们再连接OP’,OP’’,则∠5=∠7,∠6=∠8,问题迎刃而解. 解答: (1)法2: 易知OP’=OP’’,∠7+∠8=∠5+∠6=80°,∠P’OP’’=100°,由对称性知,∠9=∠11,∠10=∠12,∠AOB=∠9+∠10=50° (2) 由OP’=OP’’,∠P’OP’’=100°知,∠7=∠8=40°,∠5=∠6=40°,OP平分∠MPN. 变式: 如图,在五边形ABCDE中,∠BAE=136°,∠B=∠E=90°,在BC、DE上分别找一点M、N,使得△AMN的周长最小时,则∠AMN+∠ANM的度数为________. 分析: 这又是典型的一定两动型将军饮马问题,必然是作A点关于BC、DE的对称点A′、A″,连接A′A″,与BC、DE的交点即为△AMN周长最小时M、N的位置. 解答: 如图, ?∵∠BAE=136°, ?∴∠MA′A+∠NA″A=44° ? ? 由对称性知, ? ? ∠MAA′=∠MA′A, ? ? ∠NAA″=∠NA″A, ? ?∠AMN+∠ANM ?=2∠MA′A+2∠NA″A=88° 思考题: 1.(2017·安顺)如图所示,正方形ABCD的边长为6,△ABE是等边三角形,点E在正方形ABCD内,在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小,则这个最小值为_______. 2.(2017·安徽改编)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=3.P为矩形ABCD内一点,若矩形ABCD面积为△PAB面积的4倍,则点P到A,B两点距离之和PA+PB的最小值为________.
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  • 资料类型: 学案
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:全国
  • 文件大小:263.89KB
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