[ID:3-5914077] 2019年四川省内江市中考数学模拟试卷(三)(解析版)
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2019年四川省内江市中考数学模拟试卷(三) A卷一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.下列根式中,不是最简二次根式的是(  ) A. B. C. D. 2.已知⊙O的半径为4cm,如果圆心O到直线l的距离为3.5cm,那么直线l与⊙O的位置关系是(  ) A.相交 B.相切 C.相离 D.不确定 3.若分式方程有增根,则m的值是(  ) A.﹣1或1 B.﹣1或2 C.1或2 D.1或﹣2 4.下列各因式分解正确的是(  ) A.x2+2x﹣1=(x﹣1)2 B.﹣x2+(﹣2)2=(x﹣2)(x+2) C.x3﹣4x=x(x+2)(x﹣2) D.(x+1)2=x2+2x+1 5.为了了解我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况,从中抽取了200名考生的成绩进行统计,在这个问题中,下列说法:(1)这6000名学生的数学会考成绩的全体是总体;(2)每个考生是个体;(3)200名考生是总体的一个样本;(4)样本容量是200,其中说法正确的有(  ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 6.生物学家发现了一种病毒的长度约为0.00000432毫米.数据0.00000432用科学记数法表示为(  ) A.0.432×10﹣5 B.4.32×10﹣6 C.4.32×10﹣7 D.43.2×10﹣7 7.函数与y=﹣kx2﹣k(k≠0)在同一直角坐标系中的大致图象可能是(  ) A. B. C. D. 8.下列四个命题中:①若a>b,则;②反比例函数,当k<0时,y随x的增大而增大;③垂直于弦的直径平分这条弦; ④平行四边形的对角线互相平分.真命题的个数是(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 9.关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2,且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a,则a的值是(  ) A.1 B.﹣1 C.1或﹣1 D.2 10.y=x2+(1﹣a)x+1是关于x的二次函数,当x的取值范围是1≤x≤3时,y在x=1时取得最大值,则实数a的取值范围是(  ) A.a≤﹣5 B.a≥5 C.a=3 D.a≥3 11.如图,∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P,BE=BC,PB与CE交于点H,PG∥AD交BC于F,交AB于G,下列结论:①GA=GP;②S△PAC:S△PAB=AC:AB;③BP垂直平分CE;④FP=FC;其中正确的判断有(  ) A.只有①② B.只有③④ C.只有①③④ D.①②③④ 12.如图,AB是半圆O的直径,C是半圆O上一点,OQ⊥BC于点Q,过点B作半圆O的切线,交OQ的延长线于点P,PA交半圆O于R,则下列等式中正确的是(  ) A.= B.= C.= D.= 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.(5分)若有意义,则x的取值范围   . 14.(5分)在综合实践活动课上,小明同学用纸板制作了一个圆锥形漏斗模型.如图所示,它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm.则这个圆锥漏斗的侧面积是   . 15.(5分)数据9,8,7,5,10,9的方差是   . 16.(5分)二次函数y=ax2+bx+c(a<0)的图象与x轴的两个交点A、B的横坐标分别为﹣3、1,与y轴交于点C,下面四个结论:①16a+4b+c<0;②若P(﹣5,y1),Q(,y2)是函数图象上的两点,则y1>y2;③c=﹣3a;④若△ABC是等腰三角形,则b=﹣或﹣.其中正确的有   .(请将正确结论的序号全部填在横线上) 三、解答题(本大题共5小题,共44分,解答应写出必要的文字说明或推演步骤) 17.(8分)计算: 18.(8分)如图,四边形ABCD、DEFG都是正方形,连结AE、CG,请说明AE=CG的理由. 19.(8分)某校在一次大课间活动中,采用了四种活动形式:A、跑步,B、跳绳,C、做操,D、游戏.全校学生都选择了一种形式参与活动,小杰对同学们选用的活动形式进行了随机抽样调查,根据调查统计结果,绘制了不完整的统计图. 请结合统计图,回答下列问题: (1)本次调查学生共    人,a=   ,并将条形图补充完整; (2)如果该校有学生2000人,请你估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有多少人? (3)学校让每班在A、B、C、D四种活动形式中,随机抽取两种开展活动,请用树状图或列表的方法,求每班抽取的两种形式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率. 20.(10分)“绿水青山就是金山银山”,为保护生态环境,A,B两村准备各自清理所属区域养鱼网箱和捕鱼网箱,每村参加清理人数及总开支如下表: 村庄 清理养鱼网箱人数/人 清理捕鱼网箱人数/人 总支出/元 A 15 9 57000 B 10 16 68000 (1)若两村清理同类渔具的人均支出费用一样,求清理养鱼网箱和捕鱼网箱的人均支出费用各是多少元; (2)在人均支出费用不变的情况下,为节约开支,两村准备抽调40人共同清理养鱼网箱和捕鱼网箱,要使总支出不超过102000元,且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数,则有哪几种分配清理人员方案? 21.(10分)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知正比例函数y=x的图象与反比例函数y=的图象交于A(a,﹣2),B两点. (1)求反比例函数的表达式和点B的坐标; (2)P是第一象限内反比例函数图象上一点,过点P作y轴的平行线,交直线AB于点C,连接PO,若△POC的面积为3,求点P的坐标. B卷四、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分.) 22.(6分)在△ABC中,已知∠C=90°,sinA+sinB=,则sinA﹣sinB=   . 23.(6分)已知abc=1,则的值是   . 24.(6分)如图所示,将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形,第1幅图形中“●”的个数为a1,第2幅图形中“●”的个数为a2,第3幅图形中“●”的个数为a3,…,以此类推,则=   . 25.(6分)如图,在⊙O上有定点C和动点P,位于直径AB的异侧,过点C作CP的垂线,与PB的延长线交于点Q,已知:⊙O半径为,tan∠ABC=,则CQ的最大值是   . 五、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分) 26.(12分)阅读下面材料: 观察与思考:阅读下列材料,并解决后面的问题.在锐角△ABC中,∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c,过A作AD⊥BC于D(如图),则sinB=,sinC=,即AD=csinB,AD=bsinC,于是csinB=bsinC,即.同理有:,,所以. 即:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.在锐角三角形中,若已知三个元素(至少有一条边),运用上述结论和有关定理就可以求出其余三个未知元素.根据上述材料,完成下列各题. (1)如图,△ABC中,∠B=75°,∠C=45°,BC=60,则AB=   ; (2)如图,一货轮在C处测得灯塔A在货轮的北偏西30°的方向上,随后货轮以60海里/时的速度按北偏东30°的方向航行,半小时后到达B处,此时又测得灯塔A在货轮的北偏西75°的方向上(如图),求此时货轮距灯塔A的距离AB. (3)在(2)的条件下,试求75°的正弦值.(结果保留根号) 27.(12分)如图,在⊙O的内接三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=2BC,过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D,垂足为E.设P是上异于A,C的一个动点,射线AP交l于点F,连接PC与PD,PD交AB于点G. (1)求证:△PAC≌△PDF; (2)若AB=5,=,求PD的长. 28.(12分)如图,已知抛物线y=(x+2)(x﹣4)(k为常数,且k>0)与x轴从左至右依次交于A,B两点,与y轴交于点C,经过点B的直线y=﹣x+b与抛物线的另一交点为D. (1)若点D的横坐标为﹣5,求抛物线的函数表达式; (2)若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与△ABC相似,求k的值; (3)在(1)的条件下,设F为线段BD上一点(不含端点),连接AF,一动点M从点A出发,沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止,当点F的坐标是多少时,点M在整个运动过程中用时最少? 2019年四川省内江市中考数学模拟试卷(三) 参考答案与试题解析 A卷一、选择题(本大题共12小题,每小题3分,共36分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合要求的) 1.【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法,就是逐个检查最简二次根式中的两个条件(被开方数不含分母,也不含能开的尽方的因数或因式).是否同时满足,同时满足的就是最简二次根式,否则就不是. 【解答】解:因为==2,因此不是最简二次根式. 故选:B. 【点评】规律总结:满足下列两个条件的二次根式,叫做最简二次根式. (1)被开方数不含分母; (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式. 2.【分析】根据直线和圆的位置关系的内容判断即可. 【解答】解:∴⊙O的半径为4cm,如果圆心O到直线l的距离为3.5cm, ∴3.5<4, ∴直线l与⊙O的位置关系是相交, 故选:A. 【点评】本题考查了直线和圆的位置关系的应用,注意:已知⊙O的半径为r,如果圆心O到直线l的距离是d,当d>r时,直线和圆相离,当d=r时,直线和圆相切,当d<r时,直线和圆相交. 3.【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根.有增根,那么最简公分母x(x+1)=0,所以增根是0或﹣1,把增根代入化为整式方程的方程即可求出未知字母的值. 【解答】解:方程两边都乘x(x+1),得 2x2﹣(m+1)=(x+1)2 ∵最简公分母x(x+1)=0, ∴x=0或x=﹣1. 当x=0时,m=﹣2; 当x=﹣1时,m=1.故选D. 【点评】增根问题可按如下步骤进行: ①根据最简公分母确定增根的值; ②化分式方程为整式方程; ③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值. 4.【分析】分别根据因式分解的定义以及提取公因式法和公式法分解因式得出即可. 【解答】解:A、x2+2x﹣1无法因式分解,故A错误; B、﹣x2+(﹣2)2=(2+x)(2﹣x),故B错误; C、x3﹣4x=x(x+2)(x﹣2),故C正确; D、(x+1)2=x2+2x+1,是多项式的乘法,不是因式分解,故D错误. 故选:C. 【点评】此题主要考查了提取公因式法与公式法分解因式以及分解因式的定义,熟练掌握相关公式是解题关键. 5.【分析】总体是指考查的对象的全体,个体是总体中的每一个考查的对象,样本是总体中所抽取的一部分个体,而样本容量则是指样本中个体的数目.我们在区分这四个概念时,首先找出考查的对象,从而找出总体、个体,再根据被收集数据的这一部分对象找出样本,最后再根据样本确定出样本容量. 【解答】解:本题中的个体是每个考生的数学会考成绩,样本是200名考生的数学会考成绩,故(2)和(3)错误; 总体是我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况,样本容量是200.故(1)和(4)正确. 故选:C. 【点评】本题考查的是确定总体、个体和样本.解此类题需要注意“考查对象实际应是表示事物某一特征的数据,而非考查的事物.” 6.【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为a×10﹣n,与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 【解答】解:0.00000432=4.32×10﹣6, 故选:B. 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为a×10﹣n,其中1≤|a|<10,n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定. 7.【分析】可先由反比例函数的图象得到字母系数的正负,再与二次函数的图象相比较看是否一致. 【解答】解:由解析式y=﹣kx2﹣k可得:抛物线对称轴x=0; A、由双曲线的两支分别位于二、四象限,可得k<0,则﹣k>0,抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点为y轴的正半轴上;本图象与k的取值相矛盾,故A错误; B、由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故B错误; C、双曲线的两支分别位于二、四象限,可得k<0,则﹣k>0,抛物线开口方向向上、抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上,本图象与k的取值相矛盾,故C错误. D、由由双曲线的两支分别位于一、三象限,可得k>0,则﹣k<0,抛物线开口方向向下、抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴上,本图象符合题意,故D正确; 故选:D. 【点评】本题主要考查了二次函数及反比例函数和图象,解决此类问题步骤一般为:(1)先根据图象的特点判断k取值是否矛盾;(2)根据二次函数图象判断抛物线与y轴的交点是否符合要求. 8.【分析】分别利用不等式、反比例函数、垂径定理、平行四边形的性质分析得出即可. 【解答】解:①若a>b,当c>0,则;是假命题; ②反比例函数,当k<0时,在每一个象限内,y随x的增大而减小;是假命题; ③垂直于弦的直径平分这条弦; 是真命题; ④平行四边形的对角线互相平分是真命题; 故选:B. 【点评】此题主要考查了命题与定理,熟练掌握相关定理与判定方法是解题关键. 9.【分析】根据根与系数的关系得出x1+x2=﹣,x1x2=,整理原式即可得出关于a的方程求出即可. 【解答】解:依题意△>0,即(3a+1)2﹣8a(a+1)>0, 即a2﹣2a+1>0,(a﹣1)2>0,a≠1, ∵关于x的方程ax2﹣(3a+1)x+2(a+1)=0有两个不相等的实根x1、x2,且有x1﹣x1x2+x2=1﹣a, ∴x1﹣x1x2+x2=1﹣a, ∴x1+x2﹣x1x2=1﹣a, ∴﹣=1﹣a, 解得:a=±1,又a≠1, ∴a=﹣1. 故选:B. 【点评】此题主要考查了根与系数的关系,由x1﹣x1x2+x2=1﹣a,得出x1+x2﹣x1x2=1﹣a是解决问题的关键. 10.【分析】由于二次函数的顶点坐标不能确定,故应分对称轴不在[1,3]和对称轴在[1,3]内两种情况进行解答. 【解答】解:第一种情况: 当二次函数的对称轴不在1≤x≤3内时,此时,对称轴一定在1≤x≤3的右边,函数方能在这个区域取得最大值, x=≥3,即a≥7, 第二种情况: 当对称轴在1≤x≤3内时,对称轴一定是在区间1≤x≤3的中点的右边,因为如果在中点的左边的话,就是在x=3的地方取得最大值,即: x=≥,即a≥5(此处若a取5的话,函数就在1和3的地方都取得最大值) 综合上所述a≥5. 故选:B. 【点评】本题考查了二次函数的最值确定与自变量x的取值范围的关系,难度较大. 11.【分析】利用角平分线的性质对①②③④进行一一判断,从而求解. 【解答】解:①∵AP平分∠BAC ∴∠CAP=∠BAP ∵PG∥AD ∴∠APG=∠CAP ∴∠APG=∠BAP ∴GA=GP ②∵AP平分∠BAC ∴P到AC,AB的距离相等 ∴S△PAC:S△PAB=AC:AB ③∵BE=BC,BP平分∠CBE ∴BP垂直平分CE(三线合一) ④∵∠BAC与∠CBE的平分线相交于点P,可得点P也位于∠BCD的平分线上 ∴∠DCP=∠BCP 又PG∥AD ∴∠FPC=∠DCP ∴FP=FC 故①②③④都正确. 故选:D. 【点评】此题综合性较强,主要考查了角平分线的性质和定义,平行线的性质,等腰三角形的性质等. 12.【分析】(1)连接AQ,易证△OQB∽△OBP,得到,也就有,可得△OAQ∽OPA,从而有∠OAQ=∠APO.易证∠CAP=∠APO,从而有∠CAP=∠OAQ,则有∠CAQ=∠BAP,从而可证△ACQ∽△ABP,可得,所以A正确. (2)由△OBP∽△OQB得,即,由AQ≠OP得,故C不正确. (3)连接OR,易得=,=2,得到,故B不正确. (4)由及AC=2OQ,AB=2OB,OB=OR可得,由AB≠AP得,故D不正确. 【解答】解:(1)连接AQ,如图1, ∵BP与半圆O切于点B,AB是半圆O的直径, ∴∠ABP=∠ACB=90°. ∵OQ⊥BC, ∴∠OQB=90°. ∴∠OQB=∠OBP=90°. 又∵∠BOQ=∠POB, ∴△OQB∽△OBP. ∴. ∵OA=OB, ∴. 又∵∠AOQ=∠POA, ∴△OAQ∽△OPA. ∴∠OAQ=∠APO. ∵∠OQB=∠ACB=90°, ∴AC∥OP. ∴∠CAP=∠APO. ∴∠CAP=∠OAQ. ∴∠CAQ=∠BAP. ∵∠ACQ=∠ABP=90°, ∴△ACQ∽△ABP. ∴. 故A正确. (2)如图1, ∵△OBP∽△OQB, ∴. ∴. ∵AQ≠OP, ∴. 故C不正确. (3)连接OR,如图2所示. ∵OQ⊥BC, ∴BQ=CQ. ∵AO=BO, ∴OQ=AC. ∵OR=AB. ∴=,=2. ∴≠. ∴. 故B不正确. (4)如图2, ∵, 且AC=2OQ,AB=2OB,OB=OR, ∴. ∵AB≠AP, ∴. 故D不正确. 故选:A. 【点评】本题考查了切线的性质,相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、垂径定理、三角形的中位线等知识,综合性较强,有一定的难度. 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.【分析】根据二次根式有意义的条件得到x﹣2≥0,然后解不等式即可. 【解答】解:∵有意义, ∴x﹣2≥0, ∴x≥2. 故答案为x≥2. 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件:二次根式有意义的条件为被开方数为非负数,即当a≥0时有意义;若含分母,则分母不能为0. 14.【分析】首先根据底面半径OB=6cm,高OC=8cm,求出圆锥的母线长,再利用圆锥的侧面积公式求出即可. 【解答】解:∵它的底面半径OB=6cm,高OC=8cm. ∴BC=10, ∴这个圆锥漏斗的侧面积是:πrl=π×6×10=60πcm2. 故答案为:60πcm2. 【点评】此题主要考查了圆锥的侧面积公式求法,正确的记忆圆锥侧面积公式是解决问题的关键. 15.【分析】先由平均数的公式求出这组数据的平均数,再根据方差的公式计算即可. 【解答】解:数据9,8,7,5,10,9的平均数是:(9+8+7+5+10+9)=8, 则方差是: [2(9﹣8)2+(8﹣8)2+(7﹣8)2+(5﹣8)2+(10﹣8)2]=; 故答案为:. 【点评】本题考查方差的定义:一般地设n个数据,x1,x2,…xn的平均数为,则方差S2= [(x1﹣)2+(x2﹣)2+…+(xn﹣)2],它反映了一组数据的波动大小,方差越大,波动性越大,反之也成立. 16.【分析】①根据抛物线开口方向和与x轴的两交点可知:当x=﹣4时,y<0,即16a﹣4b+c<0; ②根据图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1确定对称轴是:x=﹣1,可得:(﹣4.5,y3)与Q(,y2)是对称点,所以y1<y2; ③根据对称轴和x=1时,y=0可得结论; ④要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC,先计算c的值,再联立方程组可得结论. 【解答】解:①∵a<0, ∴抛物线开口向下, ∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1, ∴当x=﹣4时,y<0, 即16a﹣4b+c<0; 故①正确; ②∵图象与x轴的交点A、B的横坐标分别为﹣3,1, ∴抛物线的对称轴是:x=﹣1, ∵P(﹣5,y1),Q(,y2), ﹣1﹣(﹣5)=4,﹣(﹣1)=3.5, 由对称性得:(﹣4.5,y3)与Q(,y2)是对称点, ∴则y1<y2; 故②不正确; ③∵﹣=﹣1, ∴b=2a, 当x=1时,y=0,即a+b+c=0, 3a+c=0, c=﹣3a,故③正确; ④要使△ACB为等腰三角形,则必须保证AB=BC=4或AB=AC=4或AC=BC, 当AB=BC=4时, ∵BO=1,△BOC为直角三角形, 又∵OC的长即为|c|, ∴c2=16﹣1=15, ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上, ∴c=, 与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组,解得b=﹣; 同理当AB=AC=4时, ∵AO=3,△AOC为直角三角形, 又∵OC的长即为|c|, ∴c2=16﹣9=7, ∵由抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上, ∴c=, 与b=2a、a+b+c=0联立组成解方程组,解得b=﹣; 同理当AC=BC时, 在△AOC中,AC2=9+c2, 在△BOC中BC2=c2+1, ∵AC=BC, ∴1+c2=c2+9,此方程无实数解. 经解方程组可知有两个b值满足条件. 故④正确. 综上所述,正确的结论是①③④. 故答案是:①③④. 【点评】本题考查了等腰三角形的判定、方程组的解、抛物线与坐标轴的交点、二次函数y=ax2+bx+c的图象与系数的关系:当a<0,抛物线开口向下;抛物线的对称轴为直线x=﹣;抛物线与y轴的交点坐标为(0,c),与x轴的交点为(x1,0)、(x2,0). 三、解答题(本大题共5小题,共44分,解答应写出必要的文字说明或推演步骤) 17.【分析】直接利用二次根式的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值分别化简得出答案. 【解答】解:原式=2×+3﹣+1﹣(+1)﹣1 =+3﹣+1﹣﹣1﹣1 =2﹣. 【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键. 18.【分析】由正方形的性质可得AD=CD,GD=DE,∠ADC=∠GDE=90°,由“SAS”可证△ADE≌△CDG,可得AE=CG. 【解答】解:∵四边形ABCD、DEFG都是正方形, ∴AD=CD,GD=DE,∠ADC=∠GDE=90° ∴∠ADE=∠CDG,且AD=CD,GD=DE ∴△ADE≌△CDG(SAS) ∴AE=CG 【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定和性质,熟练运用正方形的性质是本题的关键. 19.【分析】(1)用A类学生数除以它所占的百分比即可得到总人数,再用1分别减去A、C、D类的百分比即可得到a的值,然后用a%乘以总人数得到B类人数,再补全条形统计图; (2)用2000乘以A类的百分比即可. (3)画树状图展示所有12种等可能的结果数,再找出每班所抽到的两种方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数,然后根据概率公式求解. 【解答】解:(1)120÷40%=300, a%=1﹣40%﹣30%﹣20%=10%, ∴a=10, 10%×300=30, 故答案为:300,10;图形如下: (2)2000×40%=800(人), 答:估计该校选择“跑步”这种活动的学生约有800人; (3)画树状图为: 共有12种等可能的结果数,其中每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的结果数为2, 所以每班所抽到的两项方式恰好是“跑步”和“跳绳”的概率==. 【点评】本题考查的是统计图的综合运用,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键. 20.【分析】(1)设清理养鱼网箱的人均费用为x元,清理捕鱼网箱的人均费用为y元,根据A、B两村庄总支出列出关于x、y的方程组,解之可得; (2)设m人清理养鱼网箱,则(40﹣m)人清理捕鱼网箱,根据“总支出不超过102000元,且清理养鱼网箱人数小于清理捕鱼网箱人数”列不等式组求解可得. 【解答】解:(1)设清理养鱼网箱的人均费用为x元,清理捕鱼网箱的人均费用为y元, 根据题意,得:, 解得:, 答:清理养鱼网箱的人均费用为2000元,清理捕鱼网箱的人均费用为3000元; (2)设m人清理养鱼网箱,则(40﹣m)人清理捕鱼网箱, 根据题意,得:, 解得:18≤m<20, ∵m为整数, ∴m=18或m=19, 则分配清理人员方案有两种: 方案一:18人清理养鱼网箱,22人清理捕鱼网箱; 方案二:19人清理养鱼网箱,21人清理捕鱼网箱. 【点评】本题主要考查二元一次方程组和一元一次不等式组的应用,解题的关键是理解题意,找到题目蕴含的相等关系或不等关系,并据此列出方程或不等式组. 21.【分析】(1)把A(a,﹣2)代入y=x,可得A(﹣4,﹣2),把A(﹣4,﹣2)代入y=,可得反比例函数的表达式为y=,再根据点B与点A关于原点对称,即可得到B的坐标; (2)过P作PE⊥x轴于E,交AB于C,先设P(m,),则C(m, m),根据△POC的面积为3,可得方程m×|m﹣|=3,求得m的值,即可得到点P的坐标. 【解答】解:(1)把A(a,﹣2)代入y=x,可得a=﹣4, ∴A(﹣4,﹣2), 把A(﹣4,﹣2)代入y=,可得k=8, ∴反比例函数的表达式为y=, ∵点B与点A关于原点对称, ∴B(4,2); (2)如图所示,过P作PE⊥x轴于E,交AB于C, 设P(m,),则C(m, m), ∵△POC的面积为3, ∴m×|m﹣|=3, 解得m=2或2, ∴P(2,)或(2,4). 【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题,解题时注意:反比例函数与一次函数的图象的交点坐标满足两函数的解析式. B卷四、填空题(本大题共4小题,每小题6分,共24分.) 22.【分析】根据互余两角的三角函数关系,将sinA+sinB平方,把sin2A+cos2A=1,sinB=cosA代入求出2sinAcosA的值,代入即可求解. 【解答】解:(sinA+sinB)2=()2, ∵sinB=cosA, ∴sin2A+cos2A+2sinAcosA=, ∴2sinAcosA=﹣1=, 则(sinA﹣sinB)2=sin2A+cos2A﹣2sinAcosA=1﹣=, ∴sinA﹣sinB=±. 故答案为:±. 【点评】本题考查了互余两角的三角函数关系,属于基础题,掌握互余两角三角函数的关系是解答本题的关键. 23.【分析】利用1的代换,将三个分式化为同分母的形式,化简整理即可. 【解答】解:由abc=1,则 , =, =, =, =1. 故答案为1. 【点评】本题除考查了分式的混合运算,还用到了整体代入的数学思想. 24.【分析】根据给定几个图形中黑点数量的变化可找出变化规律“an=n(n+2)(n为正整数)”,进而可得出=(﹣),将其代入+++…+中即可求出结论. 【解答】解:观察图形,可知:a1=3=1×3,a2=8=2×4,a3=15=3×5,a4=24=4×6,…, ∴an=n(n+2)(n为正整数), ∴=(﹣), ∴+++…+=(1﹣+﹣+﹣+…+﹣)=(1+﹣﹣)=. 故答案为:. 【点评】本题考查了规律型:图形的变化类,根据图形中黑点数量的变化找出变化规律“an=n(n+2)(n为正整数)”是解题的关键. 25.【分析】先求出AC,BC,再判断出,△ABC∽△PQC,得出CQ=PC,进而确定出PC最大时,CQ最大,即可得出结论. 【解答】解:∵AB是⊙O的直径, ∴AB=5,∠ACB=90°, 在Rt△ABC中,tan∠ABC=, ∴设AC=3x,BC=4x, 根据勾股定理得,(3x)2+(4x)2=25, ∴x=5(负值已舍去), ∴AC=3,BC=4, ∵CQ⊥CP, ∴∠PCQ=90°=∠ACB=90°, ∵∠A=∠P, ∴△ABC∽△PQC, ∴, ∴CQ==PC, ∵PC是⊙O的弦, ∴PC最大时,CQ最大,而PC最大=AB=5, ∴CQ最大=×5=, 故答案为:. 【点评】此题考查了圆周角定理,勾股定理,锐角三角函数,相似三角形的判定和性质,得出CQ=PC是解本题的关键. 五、解答题(本大题共3小题,每小题12分,共36分) 26.【分析】(1)由题意得到∠B=75°,∠C=45°,根据三角形的内角和得到∠BAC=60°,根据正弦定理即可得到结论; (2)由题意得到∠ACB=60°,∠ABC=75°,BC=60×=30海里,根据正弦定理即可得到结论; (3)如图,过B作BD⊥AC于D,解直角三角形得到AC=AD+CD=15+15,根据正弦定理即可得到结论. 【解答】解:(1)∵∠B=75°,∠C=45°, ∴∠BAC=60°, ∵=, ∴=, ∴AB=20, 故答案为:20; (2)由题意得,∠ACB=60°,∠ABC=75°,BC=60×=30海里, ∴∠BAC=45°, ∵=, ∴=, ∴AB=15, 答货轮距灯塔A的距离AB=15; (3)如图,过B作BD⊥AC于D, ∵∠ACB=60°,BC=30, ∴CD=BC=15,BD=15, ∵∠CAB=45°, ∴AD=BD=15, ∴AC=AD+CD=15+15, ∵=, ∴=, ∴sin75°=. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,正弦定理,正确的理解正弦定理是解题的关键. 27.【分析】(1)根据AB⊥CD,AB是⊙O的直径,得到=,∠ACD=∠B,由∠FPC=∠B,得到∠ACD=∠FPC,结论可得; (2)连接OP,由=,得到OP⊥AB,∠OPG=∠PDC,根据AB是⊙O的直径,得到∠ACB=90°,由于AC=2BC,于是得到tan∠CAB=tan∠DCB=,得到==,求得AE=4BE,通过△OPG∽△EDG,得到=,然后根据勾股定理即可得到结果. 【解答】(1)证明:连接AD, ∵AB⊥CD,AB是⊙O的直径, ∴=, ∴∠ACD=∠B=∠ADC, ∵∠FPC=∠B, ∴∠ACD=∠FPC, ∴∠APC=∠ACF, ∵∠FAC=∠CAF, ∴△PAC∽△CAF; (2)连接OP,则OA=OB=OP=AB=, ∵=, ∴OP⊥AB,∠OPG=∠PDC, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, ∵AC=2BC, ∴tan∠CAB=tan∠DCB=, ∴==, ∴AE=4BE, ∵AE+BE=AB=5, ∴AE=4,BE=1,CE=2, ∴OE=OB﹣BE=2.5﹣1=1.5, ∵∠OPG=∠PDC,∠OGP=∠DGE, ∴△OPG∽△EDG,∴=, ∴==, ∴GE=,OG=, ∴PG==, GD==, ∴PD=PG+GD=. 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质,垂径定理,勾股定理,圆周角定理,证得△OPG∽△EDG是解题的关键. 28.【分析】(1)首先求出点A、B坐标,然后求出直线BD的解析式,求得点D坐标,代入抛物线解析式,求得k的值; (2)因为点P在第一象限内的抛物线上,所以∠ABP为钝角.因此若两个三角形相似,只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB.如答图2,按照以上两种情况进行分类讨论,分别计算; (3)由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:t=AF+DF.如答图3,作辅助线,将AF+DF转化为AF+FG;再由垂线段最短,得到垂线段AH与直线BD的交点,即为所求的F点. 【解答】解:(1)抛物线y=(x+2)(x﹣4), 令y=0,解得x=﹣2或x=4, ∴A(﹣2,0),B(4,0). ∵直线y=﹣x+b经过点B(4,0), ∴﹣×4+b=0,解得b=, ∴直线BD解析式为:y=﹣x+. 当x=﹣5时,y=3, ∴D(﹣5,3). ∵点D(﹣5,3)在抛物线y=(x+2)(x﹣4)上, ∴(﹣5+2)(﹣5﹣4)=3, ∴k=. ∴抛物线的函数表达式为:y=(x+2)(x﹣4). 即y=x2﹣x﹣. (2)由抛物线解析式,令x=0,得y=﹣k, ∴C(0,﹣k),OC=k. 因为点P在第一象限内的抛物线上,所以∠ABP为钝角. 因此若两个三角形相似,只可能是△ABC∽△APB或△ABC∽△PAB. ①若△ABC∽△APB,则有∠BAC=∠PAB,如答图2﹣1所示. 设P(x,y),过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y. tan∠BAC=tan∠PAB,即:, ∴y=x+k. ∴P(x, x+k),代入抛物线解析式y=(x+2)(x﹣4), 得(x+2)(x﹣4)=x+k,整理得:x2﹣6x﹣16=0, 解得:x=8或x=﹣2(与点A重合,舍去), ∴P(8,5k). ∵△ABC∽△APB, ∴,即, 解得:k=. ②若△ABC∽△PAB,则有∠ABC=∠PAB,如答图2﹣2所示. 设P(x,y),过点P作PN⊥x轴于点N,则ON=x,PN=y. tan∠ABC=tan∠PAB,即:=, ∴y=x+. ∴P(x, x+),代入抛物线解析式y=(x+2)(x﹣4), 得(x+2)(x﹣4)=x+,整理得:x2﹣4x﹣12=0, 解得:x=6或x=﹣2(与点A重合,舍去), ∴P(6,2k). ∵△ABC∽△PAB, =, ∴=, 解得k=±, ∵k>0, ∴k=, 综上所述,k=或k=. (3)方法一: 如答图3,由(1)知:D(﹣5,3), 如答图2﹣2,过点D作DN⊥x轴于点N,则DN=3,ON=5,BN=4+5=9, ∴tan∠DBA===, ∴∠DBA=30°. 过点D作DK∥x轴,则∠KDF=∠DBA=30°. 过点F作FG⊥DK于点G,则FG=DF. 由题意,动点M运动的路径为折线AF+DF,运动时间:t=AF+DF, ∴t=AF+FG,即运动的时间值等于折线AF+FG的长度值. 由垂线段最短可知,折线AF+FG的长度的最小值为DK与x轴之间的垂线段. 过点A作AH⊥DK于点H,则t最小=AH,AH与直线BD的交点,即为所求之F点. ∵A点横坐标为﹣2,直线BD解析式为:y=﹣x+, ∴y=﹣×(﹣2)+=2, ∴F(﹣2,2). 综上所述,当点F坐标为(﹣2,2)时,点M在整个运动过程中用时最少. 方法二: 作DK∥AB,AH⊥DK,AH交直线BD于点F, ∵∠DBA=30°, ∴∠BDH=30°, ∴FH=DF×sin30°=, ∴当且仅当AH⊥DK时,AF+FH最小, 点M在整个运动中用时为:t=, ∵lBD:y=﹣x+, ∴FX=AX=﹣2, ∴F(﹣2,). 【点评】本题是二次函数压轴题,难度很大.第(2)问中需要分类讨论,避免漏解;在计算过程中,解析式中含有未知数k,增加了计算的难度,注意解题过程中的技巧;第(3)问中,运用了转化思想使得试题难度大大降低,需要认真体会.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教版
  • 适用地区:四川省内江市
  • 文件大小:748.5KB
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