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资料简介 12.3 角的平分线的性质(2).pptx 展开
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12.3 角平分线的性质2
文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
几何语言：
∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴PD=PE
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
复习回顾
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
探究新知
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
探究新知
已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
证明：经过点P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB ,
∴∠PDO=∠PEO=90°,
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) ,
∴∠POD=∠POE即点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
文字语言：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
※角的平分线的判定
几何语言：
∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.(或∠1=∠2)
【点睛】应用所具备的条件:(1) 位置关系：点在角的内部;(1)数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ，D即为所求.
【点睛】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
知识精讲
例1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
【归纳】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
典例解析
例2.如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线.
证明:过P作PE⊥AC于E.
∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC,
∴PD=PE,
∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC,
∴PF=PE,
∴PD=PF,
∵PD⊥BM,PF⊥BN,
∴P在∠MBN的平分线上,
即BP为∠MBN的平分线.
典例解析
1.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上.
2.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,
则∠PCA=______.
针对练习
3.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.
4.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______.
针对练习
5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.
解：点P为所求.
针对练习
6.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC．
求证:AD是∠BAC的平分线.
证明:∵DE⊥AB，DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°,
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL),
∴DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分线.
针对练习
角的平分线的性质
图形
已知 条件
结论
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
整理小结
作 业 布 置
见精准作业单.
12.3 角平分线的性质2
文字语言：角平分线上的点到角的两边的距离相等.
角平分线的性质
几何语言：
∵点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA，PE⊥OB.
∴PD=PE
P到OA的距离
P到OB的距离
角平分线上的点
复习回顾
我们知道，角平分线上的点到角的两边的距离相等.那么到角的两边的距离相等的点是否在角的平分线上呢？
探究新知
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
1.明确命题中的已知和求证；
2.根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
3.经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
探究新知
已知，如图，P为∠AOB内部一点，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，且PD=PE. 求证：点P在∠AOB的平分线上.
猜想：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
证明：经过点P作射线OC.
∵PD⊥OA，PE⊥OB ,
∴∠PDO=∠PEO=90°,
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
∴Rt△PDO≌Rt△PEO (HL) ,
∴∠POD=∠POE即点P在∠AOB的平分线上.
探究新知
文字语言：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
※角的平分线的判定
几何语言：
∵ PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=PE，
∴点P 在∠AOB的平分线上.(或∠1=∠2)
【点睛】应用所具备的条件:(1) 位置关系：点在角的内部;(1)数量关系：该点到角两边的距离相等.定理的作用：判断点是否在角平分线上.
如图，要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等，离公路与铁路交叉处500米. 这个集贸市场应建于何处(在图上标出它的位置，比例尺为1:20000)？
解：作夹角的角平分线OC，
截取OD=2.5cm ，D即为所求.
【点睛】根据角平分线的判定定理，要求作的点到两边的距离相等，一般需作这两边直线形成的角的平分线，再在这条角平分线上根据要求取点.
知识精讲
例1.已知：如图，△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，求证：点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
证明：过点P作PD，PE，PF分别垂直于AB，BC，CA，垂足分别为D，E，F.
∵BM是△ABC的角平分线，
点P在BM上，
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.即点P到三边AB，BC，CA的距离相等.
想一想，点P在∠A的平分线上吗？这说明三角形的三条角平分线有什么关系？
【归纳】三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等.
典例解析
例2.如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线,它们交于点P，PD⊥BM于D，PF⊥BN于F.求证:BP为∠MBN的平分线.
证明:过P作PE⊥AC于E.
∵PA平分∠MAC，且PD⊥BM，PE⊥AC,
∴PD=PE,
∵PC平分∠NCA，且PF⊥BN，PE⊥AC,
∴PF=PE,
∴PD=PF,
∵PD⊥BM,PF⊥BN,
∴P在∠MBN的平分线上,
即BP为∠MBN的平分线.
典例解析
1.如图，PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=6cm，当PE=____cm时,点P在∠AOB的平分线上.
2.如图,已知PA⊥ON于A,PB⊥OM于B,且PA=PB,∠MON=50°,∠OPC=30°,
则∠PCA=______.
针对练习
3.如图，直线l1，l2，l3表示三条两两相互交叉的公路，现在拟建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离都相等，则可供选择的地址有____处.
4.如图所示，已知△ABC的周长是10，OC、OB分别平分∠ABC和∠ACB，OD上BC于D，且OD=1，则△ABC的面积是_______.
针对练习
5.如图，某市有一块由三条马路围成的三角形绿地，现准备在绿地中建一小亭供人小憩，使小亭中心到三条马路的距离相等，试确定小亭的中心位置.
解：点P为所求.
针对练习
6.如图，BE=CF，DE⊥AB的延长线于点E，DF⊥AC于点F，且DB=DC．
求证:AD是∠BAC的平分线.
证明:∵DE⊥AB，DF⊥AC,
∴∠BED=∠CFD=90°,
在Rt△BDE和Rt△CDF中,
∴Rt△BDE≌Rt△CDF (HL),
∴DE=DF,
∴AD是∠BAC的平分线.
针对练习
角的平分线的性质
图形
已知 条件
结论
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分线的判定
整理小结
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见精准作业单.
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