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  • ID:5-6232386 一上1-6《校园里的植物》(课件+教案)(共12张PPT)

    小学科学/教科版(2017秋)/一年级上册(2017)/植物/6.校园里的植物

    ( 一上《植物》单元教学设计 )6.校园里的植物 【教材简析】 在前5课的学习中,学生已经学过运用看、摸、闻等方法去观察,先整体再局部地认识了植物以及植物的叶、茎等结构,并通过种养植物等活动知道植物会生长,植物的生存需要水和阳光,进而认识到植物是“活”的,是有生命的。在本课中,学生将综合运用在前面几课中学习的观察方法,再次走出教室,观察、记录和认识校园里的植物,这也是对本单元的整体回顾。 走出教室,学生将运用在前几课中学习的观察和记录方法,观察、记录和认识校园植物的特征、名称、生长地点,发现室内观察之外的新信息,进一步了解植物的生存需要,再次感受“植物是有生命的”并强化共识,增强爱护植物、不伤害植物的意识。 聚焦板块:通过出示一幅校园中的植物的照片,提问学生认识这个植物吗;教师适时介绍植物名称,梳理各部分特征及生存环境,形成初步的“班级记录表”,激发学生到校园中探究植物的兴趣。 探索板块:教师先引导学生讨论去观察和认识植物前应该做的准备和相关注意事项。带领学生出去观察时,对事先确定的一株植物一起进行观察,再次明确观察和记录方法后,学生以小组为单位自由开展观察记录。教师巡视指导,注意学生安全,并答疑解惑。 研讨板块:观察、记录活动结束后,教师组织学生有序回到教室,学生分享观察及记录的结果,通过研讨活动,了解相关植物的名称、特点及生存环境。此时需要教师辅以追问和引导。 拓展板块:教师设疑,在观察记录的过程中有什么新的发现,从而激发学生继续观察和探究的兴趣。 【学情分析】 一年级的学生在前几课中已经学习过观察和记录方法,本课再次走出教室进行活动,学生观察、记录和认识校园植物的名称、生长地点及特征,学生有着极其浓厚的兴趣。但是,记录能力以及对植物的特征认识的不足,让学生会有无从下手的情况。所以需要老师积极引导观察,讲解名称和特征,同时指导学生如何用画图来描述和记录植物的形态特征。 【教学目标】 科学概念目标 1.在实地观察中,发现校园里生长着不同的植物,它们有各自的名称和特征。 2.再一次感受植物是有生命的,植物生长在自然环境中。 科学探究目标 1.通过实地观察,认识校园常见植物的名称及其特征。 2.在教师指导下,能用图画来描述和记录植物的形态。 3.在教师指导下,能从对植物的观察中提出感兴趣的问题。 科学态度目标 1.学会在科学探究活动中主动与他人合作,积极参与交流和讨论,尊重他人。 2.产生认识植物的兴趣,养成珍爱生命、爱护植物的意识。 科学、技术、社会与环境目标 1.人类与植物共同生存在地球上,两者相互作用、相互影响。 2.植物可以美化人类的生活环境。 【教学重难点】 重点:认识校园常见植物,并能知道其名称及特征。 难点:用自己的语言向大家介绍一种植物。 【教学准备】 教师:多媒体课件,教师课前需要先对校园里的植物进行观察,弄清校园里植物的名称及生活习性,有条件的学校可以制作植物名牌,辅助学生观察。(注:选择几个地点进行课堂观察,更多的可以留到课后让学生自己去观察。) 小组:铅笔、橡皮、放大镜、学生活动手册。 【教学过程】 一、聚焦:激发兴趣、揭示课题(预设5分钟) [材料准备:课件,校园中植物的照片] 1.出示校园中一种常见的植物(之前课堂观察过的一种植物)。 提问:同学们,你们见过这种植物吗?它叫什么?在校园的哪里见过?(预设:根据之前几节课的观察,学生认识了这个植物,并且可以说出大概的生活地点) 2.多角度图片展示,包括树冠、茎、叶等结构。 提问:这个植物是什么样子的呢?(预设:植物的树冠怎么样、叶怎么样、茎怎么样等。) 3.通过学生描述,初步形成班级记录表,从而启发学生在之后的活动中应该观察什么,怎么描述。 4.讲述:校园中除了这种植物外,还有很多不同的植物,大家想去校园中观察一下吗?揭示课题:校园里的植物(板书) 二、探索:观察校园里的植物(预设25分钟) [材料准备:放大镜、铅笔、橡皮、学生活动手册、教师手机(拍照)] 1.外出观察活动前讨论(预设5分钟) 外出活动的工具 提问:为了到校园中认识了解更多的不同的植物,出去前,我们要做些准备,我们需要带哪些工具帮助我们观察记录呢?(预设:放大镜、铅笔、橡皮活动手册) 外出活动的方法 提问:那出去后,如何对一株植物进行观察呢?我们有哪些观察方法?(预设:用眼睛看、用耳朵听、用手摸、用鼻子闻、借助放大镜观察) 外出活动的注意 提问:走出教室,除了要认真观察植物之外,我们还要注意其他什么问题吗?(预设:教师引导:①小组活动,不乱跑;②注意安全,防受伤;③举手示意,提问题;④爱护植物,不乱拔;⑤活动手册,要记好;⑥听到铃声,快集合。) 提问:用什么方法记录呢?(预设:画简图,要求及时记录,实事求是,注意统计。) 2.外出观察活动(预设20分钟) 教师指导,集体观察 教师带学生到事先确定好的一株植物前,组织学生进行集体观察。 提问:我们现在确定观察这株植物,请你们说说看,我们怎么进行观察,观察什么,它长在哪里,如何去记录?(预设:教师引导介绍:先远远地看,描述整株植物的轮廓,简单地画下来,再走近看一看,观察其他你能观察到的地方,并做好画图记录) 分组活动,教师巡视 学生以小组为单位,在安全区域内自主选择植物进行观察,尽量不同小组间观察不同的植物,从而发现校园植物具有多样性。同时教师巡视指导,解决个别学生的提问,并拍摄各组观察的植物的照片,以备研讨时辅助交流。 三、研讨:交流我们观察的植物(预设8分钟) [材料准备:照片、学生活动手册] 1.观察活动结束后,教师组织学生有序回到教室,并组织进行交流。 提问:你们观察到了什么植物?长在校园中的哪个地方?这个植物有什么特征?我们可以这样来汇报:我观察的植物叫……,它生活在……,它的特征是…… (预设:学生上台展示自己画下来的植物,介绍植物的名称并描述相关植物的特点及生存环境;同时教师展示之前拍下的植物图片,以辅助学生交流) 2.小结:校园中不同的地点长着不同的植物,它们有着各自的特点和名称,植物是有生命的,我们要爱护植物。 四、拓展:观察活动中的新发现(预设2分钟) [材料准备:课件] 提问:在观察和记录过程中,同学们有什么新的发现吗?有什么新的问题吗?(预设:很多植物不知道名字,怎么办?) 小结:如果在课后有兴趣的小朋友在确保安全的情况下,还可以继续观察,有问题可以及时找老师解决,保持这一份探索的兴趣,你会有更多收获! 【板书设计】 6校园里的植物 —班级记录表— 有叶子、有的在开花、有果实、有气味、在泥土里…… 【活动手册使用说明】 1.继续学习通过画图记录植物的方式,不要求画得很像,画出植物的一些特征即可。 2.方框一共有8个,不要求全部画满,学生根据实际情况,找到几种就画几种,确保真实记录观察结果,实事求是。 3.不要忽略记录表最后的植物数量填写,一方面教育学生进行科学的统计,另一方面,统计结果也指向植物的多样性。 【作业设计】 到校园里观察植物,要及时( ) A.采摘下来 B.记录下来 C.拔起来 2.在观察时,想要了解植物的叶的气味,应选用( )。 A. B. C. 3.(连线题)在校园中观察植物时,观察到了这几种树叶,你知道它们的名称吗? 柳树 松树 银杏 (共12张PPT) 6.校园里的植物 教科版一上《植物》单元 xiào yuán lǐ de zhí wù 我们的校园 你见过这种植物吗? 它叫什么? 在校园的哪里见过? 我们的校园 这个植物是什么样子的呢? 聚焦:校园里的植物 校园中除了这种植物外,还有很多不同的植物,大家想去校园中观察一下吗? 探索:外出观察活动前讨论 我们需要带哪些工具, 帮助我们观察记录呢? 在教室外,如何对一株植物进行观察呢?我们有哪些观察方法? 看 听 闻 摸 探索:外出观察活动前讨论 走出教室,除了要认真观察植物之外,我们还要注意其他什么问题吗? ①小组活动,不乱跑; ②注意安全,防受伤; ③举手示意,提问题; ④爱护植物,不乱拔; ⑤活动手册,要记好; ⑥听到铃声,快集合。 探索:外出观察活动前讨论 学生活动手册 观察植物 及时记录 简图即可 实事求是 别忘统计 探索:外出观察活动前讨论 出发去观察吧! 探索:外出观察活动前讨论 交流各自观察的植物,说说我的发现。 我可以这样说: 我观察的植物叫……,它生活在……,它的特征是…… 研讨:交流我们观察的植物 在观察和记录过程中,同学们有什么新的发现吗?有什么新的问题吗? 拓展:观察活动中的新发现 这个植物我不知道叫什么,怎么办呀? 课后继续探究…… 作业检测 1.到校园里观察植物,要及时( ) A.采摘下来 B.记录下来 C.拔起来 2.在观察时,想要了解植物的叶的气味,应选用( ) 3.(连线题)在校园中观察植物时,观察到了这几 种树叶,你知道它们的名称吗? 柳树 松树 银杏 B C

    • 2019-09-14
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  • ID:5-6159848 教科版科学 2019 三上1-2 水沸腾了(课件+教案)

    小学科学/教科版(2017秋)/三年级上册(2019)//2.水沸腾了


    教科版科学 2019 三上1-2《水沸腾了》 :12张PPT
    2.水沸腾了
    【教材简析】
    本节课学生主要做好探究水的沸腾实验,观察水的沸腾过程,能从探究实验中获得并记录水沸腾的相关现象与证据,与已有的认知形成冲撞、整合,获得深刻的身心体验。
    聚焦板块:通过观察图片现象,结合提示的问题,明确这节课需要在加热的前提下观察杯子里水会出现什么现象。
    探索板块:共分为2个部分。
    第一部分是预测,即说一说或画一画对这个问题的看法,暴露学生已有的认知。
    第二部分是在已有认知的基础上,通过给烧杯里的水加热,观察水在加热过程中出现的现象、记录加热温度数据,教材中的提示要点给予了详细的参考。由于该过程涉及到实验器材的组装和酒精灯的使用,教师需要提供必要的演示,并注意提醒学生注意安全,谨防烫伤。
    研讨板块:组织整理实验记录,进行讨论分析,利用提示性问题,让学生对水沸腾过程的变化有全面的认识,并能够有序、有条理的汇报;明确水的沸点在正常压强下是100℃,在沸腾过程中一直保持100℃。知道水变成水蒸气后,体积会大大增加。亲历探究活动,进一步培养学生科学的观察的方法和良好的观察习惯。
    【学情分析】
    学生在生活中常见水沸腾现象,但不会太在意,只有较为模糊的感性印象,例如温度的上升,水沸腾时能够看见气泡以及听到声音等,缺乏对沸腾过程具体的认知。酒精灯等试验器材第一次接触,用温度计测量水温的方法也是第一次具体涉及。在探究活动中,要学会合理分工,小组合作完成观察实验,并且十分注意实验安全的意识已经初步具有。
    【教学目标】
    科学概念目标
    沸腾是水受热超过一定温度时发生的剧烈的汽化现象,沸腾过程中水的温 度不再发生变化。
    科学探究目标
    1.探究活动中,通过猜测、观察、实验、研讨等发现事实,发展思维。利用文字、图表、图画等方式描述观察、实验结果,并对结果进行分析。
    2.探究活动中,发展观察能力、归纳能力和表达能力。
    科学态度目标
    形成尊重事实、重视证据的科学态度。
    科学、技术、社会与环境目标
    认识到水是地球上十分重要的资源,形成保护水,珍爱生命的情感、态度 与价值观。
    【教学重难点】
    重点:水加热过程的变化。
    难点:实验器材的组装和使用。
    【教学准备】
    教师准备:漏斗、塑料袋、教学课件
    学生准备:学生活动手册;小组准备:三角架、石棉网、烧杯、酒精灯、温度计、硬纸盖、水、(计时器)。
    【教学过程】
    ================================================
    压缩包内容:
    教科版科学 2019 三上1-2 水沸腾了 .doc
    教科版科学 2019 三上1-2《水沸腾了》 .ppt

    • 2019-08-26
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  • ID:3-6145681 2020届高考数学一轮总复习 知识点汇总

    高中数学/高考专区/一轮复习

    2020届高考数学总复习 一轮复习资料 目录 TOC \o "1-3" \h \u 专题1 集合与常用逻辑用语 - 1 - §1.1 集合的概念与运算 - 1 - §2 命题及其条件、充分条件与必要条件 - 3 - §3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词 - 5 - 专题2 函数概念与基本初等函数Ⅰ - 7 - §1 函数及其表示 - 7 - §2 函数的单调性与最值 - 9 - §3 函数的奇偶性与周期性 - 11 - §4 二次函数与幂函数 - 13 - §5 指数与指数函数 - 15 - §6 对数与对数函数 - 17 - §7 函数的图像 - 19 - §8 函数与方程 - 22 - §9 实际问题的函数建模 - 23 - 专题3 导数及其应用 - 25 - §1 导数的概念及运算 - 25 - §2 导数的应用 - 27 - 2.1 导数与函数的单调性 - 27 - 2.2 导数与函数的极值、最值 - 29 - §3 定积分与微积分基本定理 - 33 - 专题4 三角函数、解三角形 - 34 - §1 任意角、弧度制及任意角的三角函数 - 34 - §2 同角三角函数基本关系式及诱导公式 - 36 - §3 三角函数的图像与性质 - 38 - §4 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用 - 40 - §5 两角和与差的正弦、余弦正切公式 - 42 - §6 简单的三角恒等变换 - 44 - §7 正弦定理、余弦定理 - 46 - §8 解三角形的综合运用 - 48 - 专题5 平面向量 - 50 - §1 平面向量的概念及线性运算 - 50 - §2 平面向量基本定理及坐标表示 - 52 - §3 平面向量的数量积 - 54 - §4平面向量应用举例 - 56 - 专题6 数列 - 58 - §1 数列的概念与简单表示法 - 58 - §2 等差数列及其前n项和 - 60 - §3 等比数列及其前n项和 - 62 - §4 数列求和 - 64 - 专题7 不等式 - 66 - §1 不等关系与不等式 - 66 - §2 一元二次不等式及其解法 - 68 - §3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 - 70 - §4 基本不等式及其应用 - 72 - 专题8 立体几何与空间向量 - 74 - §1 简单几何体的结构、三视图和直观图 - 74 - §2 空间图形的基本关系与公理 - 76 - §3 平行关系 - 78 - §4 垂直关系 - 80 - §5 简单几何体的面积与体积 - 82 - §6 空间向量及其运算 - 84 - §7 立体几何中的向量方法 - 86 - 7.1 证明平行与垂直 - 86 - 7.2 求空间角和距离 - 88 - 专题9 平面解析几何 - 90 - §1 直线的方程 - 90 - §2 两条直线的关系 - 92 - §3 圆的方程 - 94 - §4 直线与圆、圆与圆的位置关系 - 95 - §5 椭圆 - 96 - §6 抛物线 - 98 - §7 双曲线 - 101 - §8 曲线与方程 - 103 - §9 圆锥曲线的综合问题 - 105 - 专题10 计数原理 - 119 - §1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 - 119 - §2 排列与组合 - 120 - §3 二项式定理 - 122 - 专题11 统计与统计案例 - 124 - §1 随机抽样 - 124 - §2 统计图表、用样本估计总体 - 126 - §3 变量间的相关关系、统计案例 - 128 - 专题12 概率、随机变量及其分布 - 130 - §1 随机事件的概率 - 130 - §2 古典概型 - 132 - §3 几何概型 - 134 - §4离散型随机变量及其分布列 - 135 - §5 二项分布及其应用 - 137 - §6离散型随机变量的均值与方差、正态分布 - 139 - 专题13 推理与证明、算法、复数 - 141 - §1 归纳与类比 - 141 - §2综合法与分析法、反证法 - 143 - §3 数学归纳法 - 145 - §4 算法与算法框图 - 147 - §5 复数 - 149 - 专题14 系列4选讲 - 151 - §1 几何证明选讲 - 151 - 1.1 相似三角形的判定及有关性质 - 151 - 1.2 直线与圆的位置关系 - 152 - §2 坐标系与参数方程 - 153 - 2.1 坐标系 - 153 - 2.2 参数方程 - 154 - §3 不等式选讲 - 155 - 3.1 绝对值不等式 - 155 - 3.2 不等式的证明 - 156 - 专题1 集合与常用逻辑用语 §1.1 集合的概念与运算 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于两种,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N+(或N*) Z Q R 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A,则x∈B) A?B(或 B=A) INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S1.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S1.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\S1.TIF" \* MERGEFORMATINET 真子集 集合A是集合B的子集,且集合B中至少有一个元素不在集合A中 A?B INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S2.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S2.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\S2.TIF" \* MERGEFORMATINET 集合相等 集合A,B中元素相同或集合A,B互为子集 A=B INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S2+.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S2+.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S2+.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\S2+.TIF" \* MERGEFORMATINET 3.集合的运算 集合的并集 集合的交集 集合的补集 图形 INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S3.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\S3.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S4.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S4.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S4.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\S4.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S5.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S5.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S5.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\S5.TIF" \* MERGEFORMATINET 符号 A∪B={x|x∈A,或x∈B} A∩B={x|x∈A,且x∈B} ?UA={x|x∈U,且x?A} 4.集合关系与运算的常用结论 (1)若有限集A中有n个元素,则A的子集个数为2n个,非空子集个数为2n-1个,真子集有2n-1个. (2)A?B?A∩B=A?A∪B=B. 易错警示系列 1.遗忘空集致误 典例 设集合A={0,-4},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0,x∈R}.若B?A,则实数a的取值范围是________. 易错分析 集合B为方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的实数根所构成的集合,由B?A,可知集合B中的元素都在集合A中,在解题中容易忽视方程无解,即B=?的情况,导致漏解. 解析 因为A={0,-4},所以B?A分以下三种情况: ①当B=A时,B={0,-4},由此知0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,得 解得a=1; ②当B≠?且B?A时,B={0}或B={-4}, 并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0, 解得a=-1,此时B={0}满足题意; ③当B=?时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1. 综上所述,所求实数a的取值范围是a≤-1或a=1. 答案 (-∞,-1]∪{1} 温馨提醒 (1)根据集合间的关系求参数是高考的一个重点内容.解答此类问题的关键是抓住集合间的关系以及集合元素的特征.(2)已知集合B,若已知A?B或A∩B=?,则考生很容易忽视A=?而造成漏解.在解题过程中应根据集合A分三种情况进行讨论. INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET [方法与技巧] 1.集合中的元素的三个特征,特别是无序性和互异性在解题时经常用到.解题后要进行检验,要重视符号语言与文字语言之间的相互转化. 2.对连续数集间的运算,借助数轴的直观性,进行合理转化;对已知连续数集间的关系,求其中参数的取值范围时,要注意单独考察等号能否取到. 3.对离散的数集间的运算,或抽象集合间的运算,可借助Venn图.这是数形结合思想的又一体现. [失误与防范] 1.解题中要明确集合中元素的特征,关注集合的代表元素(集合是点集、数集还是图形集).对可以化简的集合要先化简再研究其关系运算. 2.空集是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集,时刻关注对空集的讨论,防止漏解. 3.解题时注意区分两大关系:一是元素与集合的从属关系;二是集合与集合的包含关系. 4.Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补运算的常用方法,其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心. §2 命题及其条件、充分条件与必要条件 1.四种命题及相互关系 2.四种命题的真假关系 (1)两个命题互为逆否命题,它们有相同的真假性; (2)两个命题互为逆命题或互为否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件与必要条件 (1)如果p?q,则p是q的充分条件,同时q是p的必要条件; (2)如果p?q,但q?p,则p是q的充分不必要条件; (3)如果p?q,且q?p,则p是q的充要条件; (4)如果q?p,且p?q,则p是q的必要不充分条件; (5)如果p?q,且q?p,则p是q的既不充分又不必要条件. 思想与方法系列 1.等价转化思想在充要条件中的应用 典例 (1)已知p:(a-1)2≤1,q:任意x∈R,ax2-ax+1≥0,则p是q成立的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知条件p:x2+2x-3>0;条件q:x>a,且┐q的一个充分不必要条件是┐p,则a的取值范围是(  ) A.[1,+∞) B.(-∞,1] C.[-1,+∞) D.(-∞,-3] 解析 (1)由(a-1)2≤1解得0≤a≤2,∴p:0≤a≤2. 当a=0时,ax2-ax+1≥0对任意x∈R恒成立; 当a≠0时,由得00,得x<-3或x>1,由┐q的一个充分不必要条件是┐p,可知┐p是┐q的充分不必要条件,等价于q是p的充分不必要条件. ∴{x|x>a}?{x|x<-3或x>1},∴a≥1. 答案 (1)A (2)A 温馨提醒 (1)本题用到的等价转化 ①将┐p,┐q之间的关系转化成p,q之间的关系. ②将条件之间的关系转化成集合之间的关系. (2)对一些复杂、生疏的问题,利用等价转化思想转化成简单、熟悉的问题,在解题中经常用到. [方法与技巧] 1.写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论,然后按定义来写;在判断原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的真假时,要借助原命题与其逆否命题同真或同假,逆命题与否命题同真或同假来判定. 2.充要条件的几种判断方法 (1)定义法:直接判断若p则q、若q则p的真假. (2)等价法:即利用A?B与┐B?┐A;B?A与┐A?┐B;A?B与┐B?┐A的等价关系,对于条件或结论是否定形式的命题,一般运用等价法. (3)利用集合间的包含关系判断:设A={x|p(x)},B={x|q(x)}:若A?B,则p是q的充分条件或q是p的必要条件;若A?B,则p是q的充分不必要条件,若A=B,则p是q的充要条件. [失误与防范] 1.当一个命题有大前提而要写出其他三种命题时,必须保留大前提. 2.判断命题的真假及写四种命题时,一定要明确命题的结构,可以先把命题改写成“若p,则q”的形式. 3.判断条件之间的关系要注意条件之间关系的方向,正确理解“p的一个充分而不必要条件是q”等语言. INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\基础知识自主学习.tif" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\基础知识自主学习.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\基础知识自主学习.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\基础知识自主学习.tif" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\基础知识自主学习.tif" \* MERGEFORMATINET §3 简单的逻辑连接词、全称量词与存在量词 1.全称量词与存在量词 (1)常见的全称量词有“所有”“每一个”“任何”“任意一条”“一切”等. (2)常见的存在量词有“有些”“至少有一个”“有一个”“存在”等. 2.全称命题与特称命题 (1)含有全称量词的命题叫全称命题. (2)含有存在量词的命题叫特称命题. 3.命题的否定 (1)全称命题的否定是特称命题;特称命题的否定是全称命题. (2)p或q的否定:┐p且┐q;p且q的否定:┐p或┐q. 4.简单的逻辑联结词 (1)命题中的“且”、“或”、“非”叫作逻辑联结词. (2)简单复合命题的真值表: p q ┐p ┐q p或q p且q 真 真 假 假 真 真 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 真 假 假 假 真 真 假 假 高频小考点 1.常用逻辑用语及其应用 一、命题的真假判断 典例 已知命题p:存在x∈R,x2+1<2x;命题q:若mx2-mx-1<0恒成立,则-40,a≠1) f(x)>0 logf(x)g(x) f(x)>0,且f(x)≠1,g(x)>0 tan f(x) f(x)≠kπ+,k∈Z 思想与方法系列 2.分类讨论思想在函数中的应用 典例 (1)(2014·课标全国Ⅰ)设函数f(x)=eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(ex-1,x<1,,x,x≥1,))则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________. (2)(2015·山东)设函数f(x)=则满足f(f(a))=2f(a)的a的取值范围是(  ) A. B.[0,1] C. D.[1, +∞) 解析 (1)当x<1时,ex-1≤2,解得x≤1+ln 2, ∴x<1. 当x≥1时,≤2,解得x≤8,∴1≤x≤8. 综上可知x∈(-∞,8]. (2)由f(f(a))=2f(a)得,f(a)≥1. 当a<1时,有3a-1≥1,∴a≥,∴≤a<1. 当a≥1时,有2a≥1,∴a≥0,∴a≥1. 综上,a≥,故选C. 答案 (1)(-∞,8] (2)C 温馨提醒 (1)求分段函数的函数值,首先要确定自变量的范围,然后选定相应关系式代入求解. (2)当给出函数值或函数值的取值范围求自变量的值或自变量的取值范围时,应根据每一段解析式分别求解,但要注意检验所求自变量的值或取值范围是否符合相应段的自变量的值或取值范围. (3)当自变量含参数或范围不确定时,要根据定义域分成的不同子集进行分类讨论. INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET [方法与技巧] 1.在判断两个函数是否为同一函数时,要紧扣两点:一是定义域是否相同;二是对应关系是否相同. 2.定义域优先原则:函数定义域是研究函数的基础依据,对函数性质的讨论,必须在定义域上进行. 3.函数解析式的几种常用求法:待定系数法、换元法、配凑法、消去法. 4.分段函数问题要分段求解. [失误与防范] 1.复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围,不要和f(x)的定义域相混. 2.分段函数无论分成几段,都是一个函数,求分段函数的函数值,如果自变量的范围不确定,要分类讨论. §2 函数的单调性与最值 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 增函数 减函数 定义 在函数f(x)的定义域内的一个区间A上,如果对于任意两数x1,x2∈A 当x1f(x2),那么,就称函数f(x)在区间A上是减少的 图像描述 自左向右看图像是上升的 自左向右看图像是下降的 (2)单调区间的定义 如果函数y=f(x)在区间A上是增加的或是减少的,那么就称A为单调区间. 2.函数的最值 前提 函数y=f(x)的定义域为D 条件 (1)存在x0∈D,使得f(x0)=M; (2)对于任意x∈D,都有f(x)≤M. (3)存在x0∈D,使得f(x0)=M; (4)对于任意x∈D,都有f(x)≥M. 结论 M为最大值 M为最小值 答题模版系列 1.确定抽象函数单调性解函数不等式 典例 (12分)函数f(x)对任意的m、n∈R,都有f(m+n)=f(m)+f(n)-1,并且x>0时,恒有f(x)>1. (1)求证:f(x)在R上是增函数; (2)若f(3)=4,解不等式f(a2+a-5)<2. 思维点拨 (1)对于抽象函数的单调性的证明,只能用定义.应该构造出f(x2)-f(x1)并与0比较大小.(2)将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”是本题的切入点.要构造出f(M)0, ∵当x>0时,f(x)>1,∴f(x2-x1)>1.[2分] f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1)-1,[4分] ∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1>0?f(x1)0时,f(x)>1,构造不出f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1的形式,便找不到问题的突破口.第二个关键应该是将不等式化为f(M)f(2x)的x的取值范围是________. 易错分析 (1)解题中忽视函数f(x)的定义域,直接通过计算f(0)=0得k=1. (2)本题易出现以下错误: 由f(1-x2)>f(2x)得1-x2>2x,忽视了1-x2>0导致解答失误. 解析 (1)∵f(-x)==, ∴f(-x)+f(x) = =. 由f(-x)+f(x)=0可得k2=1, ∴k=±1. (2)画出f(x)=的图像, INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S27.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\S27.TIF" \* MERGEFORMATINET 由图像可知,若f(1-x2)>f(2x), 则 即 得x∈(-1,-1). 答案 (1)±1 (2)(-1,-1) 温馨提醒 (1)已知函数的奇偶性,利用特殊值确定参数,要注意函数的定义域. (2)解决分段函数的单调性问题时,应高度关注:①对变量所在区间的讨论.②保证各段上同增(减)时,要注意左、右段端点值间的大小关系.③弄清最终结果取并集还是交集. INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET [方法与技巧] 1.判断函数的奇偶性,首先应该判断函数定义域是否关于原点对称.定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的一个必要条件. 2.利用函数奇偶性可以解决以下问题 ①求函数值;②求解析式;③求函数解析式中参数的值;④画函数图像,确定函数单调性. 3.在解决具体问题时,要注意结论“若T是函数的周期,则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期”的应用. [失误与防范] 1.f(0)=0既不是f(x)是奇函数的充分条件,也不是必要条件.应用时要注意函数的定义域并进行检验. 2.判断分段函数的奇偶性时,要以整体的观点进行判断,不可以利用函数在定义域某一区间上不是奇偶函数而否定函数在整个定义域的奇偶性. §4 二次函数与幂函数 1.二次函数 (1)二次函数解析式的三种形式 ①一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). ②顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ③零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0). (2)二次函数的图像和性质 解析式 f(x)=ax2+bx+c(a>0) f(x)=ax2+bx+c(a<0) 图像 定义域 (-∞,+∞) (-∞,+∞) 值域 单调性 在x∈上单调递减; 在x∈上单调递增 在x∈上单调递增; 在x∈上单调递减 对称性 函数的图像关于x=-对称 2.幂函数 (1)定义:形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x是自变量,α是常数. (2)幂函数的图像比较 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0,+∞)上都有定义; ②幂函数的图像过定点(1,1); ③当α>0时,幂函数的图像都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增; ④当α<0时,幂函数的图像都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减. 思想与方法系列 3.分类讨论思想在二次函数最值中的应用 典例 已知f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值. 思维点拨 参数a的值确定f(x)图像的形状;a≠0时,函数f(x)的图像为抛物线,还要考虑开口方向和对称轴与所给范围的关系. 规范解答 解 (1)当a=0时,f(x)=-2x在[0,1]上递减, ∴f(x)min=f(1)=-2. (2)当a>0时,f(x)=ax2-2x图像的开口方向向上,且对称轴为x=. ①当≤1,即a≥1时,f(x)=ax2-2x图像的对称轴在[0,1]内, ∴f(x)在[0,]上递减,在[,1]上递增. ∴f(x)min=f()=-=-. ②当>1,即01);正数的负分数指数幂的意义是=(a>0,m,n∈N+,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义. (2)幂的运算性质:aman=am+n,(am)n=amn,(ab)n=anbn,其中a>0,b>0,m,n∈R. 2.指数函数的图像与性质 y=ax a>1 00时,y>1;当x<0时,00时,01 (6)是R上的增函数 (7)是R上的减函数 思想与方法系列 4.换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用 典例 (1)函数y=x-x+1在区间[-3,2]上的值域是________. (2)函数的单调减区间为__________________________. 思维点拨 (1)求函数值域,可利用换元法,设t=x,将原函数的值域转化为关于t的二次函数的值域. (2)根据复合函数的单调性“同增异减”进行探求. 解析 (1)因为x∈[-3,2], 所以若令t=x,则t∈, 故y=t2-t+1=2+. 当t=时,ymin=;当t=8时,ymax=57. 故所求函数值域为. (2)设u=-x2+2x+1, ∵y=u在R上为减函数, ∴函数的减区间即为函数u=-x2+2x+1的增区间. 又u=-x2+2x+1的增区间为(-∞,1], ∴f(x)的减区间为(-∞,1]. 答案 (1) (2)(-∞,1] 温馨提醒 (1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时,要熟练掌握指数函数的单调性,搞清复合函数的结构,利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题;(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化. INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET [方法与技巧] 1.通过指数函数图像比较底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值,再进行比较. 2.指数函数y=ax (a>0,a≠1)的性质和a的取值有关,一定要分清a>1与00,a≠1)的b次幂等于N,即ab=N,那么数b叫作以a为底N的对数,记作logaN=b,其中 a 叫作对数的底数, N 叫作真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; ②loga=logaM-logaN; ③logaMn=nlogaM (n∈R); ④logamMn=logaM(m,n∈R,且m≠0). (2)对数的性质 ①= N ;②logaaN= N (a>0且a≠1). (3)对数的重要公式 ①换底公式:logbN= (a,b均大于零且不等于1); ②logab=,推广logab·logbc·logcd=logad. 3.对数函数的图像与性质 a>1 01时,y>0当01时,y<0当00 (6)是(0,+∞)上的增函数 (7)是(0,+∞)上的减函数 4.反函数 指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数,它们的图像关于直线 y=x 对称. 高频小考点 2.比较指数式、对数式的大小 典例 (1)设a=0.50.5,b=0.30.5,c=log0.30.2,则a,b,c的大小关系是(  ) A.cb>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>b>a (3)已知a=,b=,c=,则(  ) A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 思维点拨 (1)可根据幂函数y=x0.5的单调性或比商法确定a,b的大小关系,然后利用中间值比较a,c大小.(2)a,b均为对数式,可化为同底,再利用中间变量和c比较.(3)化为同底的指数式. 解析 (1)根据幂函数y=x0.5的单调性, 可得0.30.5<0.50.5<10.5=1,即blog0.30.3=1,即c>1. 所以blog22=1,b==log2log3>log43.6. 方法二 ∵log3>log33=1,且<3.4, ∴log31, ∴log43.6log3>log43.6. 由于y=5x为增函数,∴. 即,故a>c>b. 答案 (1)C (2)C (3)C 温馨提醒 (1)比较指数式和对数式的大小,可以利用函数的单调性,引入中间量;有时也可用数形结合的方法. (2)解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数,若底数相同而指数不同则构造指数函数,若引入中间量,一般选0或1. [方法与技巧] 1.对数值取正、负值的规律 当a>1且b>1或00; 当a>1且01时,logab<0. 2.对数函数的定义域及单调性 在对数式中,真数必须是大于0的,所以对数函数y=logax的定义域应为(0,+∞).对数函数的单调性和a的值有关,因而,在研究对数函数的单调性时,要按01进行分类讨论. 3.比较幂、对数大小有两种常用方法:(1)数形结合;(2)找中间量结合函数单调性. 4.多个对数函数图像比较底数大小的问题,可通过比较图像与直线y=1交点的横坐标进行判定. [失误与防范] 1.在运算性质logaMα=αlogaM中,要特别注意条件,在无M>0的条件下应为logaMα=αloga|M|(α∈N+,且α为偶数). 2.解决与对数函数有关的问题时需注意两点:(1)务必先研究函数的定义域;(2)注意对数底数的取值范围. §7 函数的图像 1.描点法作图 方法步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数的解析式;(3)讨论函数的性质即奇偶性、周期性、单调性、最值(甚至变化趋势);(4)描点连线,画出函数的图像. 2.图像变换 (1)平移变换 INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\2-34.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\2-34.TIF" \* MERGEFORMATINET (2)对称变换 ①y=f(x)y=-f(x); ②y=f(x)y=f(-x); ③y=f(x)y=-f(-x); ④y=ax (a>0且a≠1)y=logax(a>0且a≠1). ⑤y=f(x)y=|f(x)|. ⑥y=f(x)y=f(|x|). (3)伸缩变换 ①y=y=f(ax). ②y=f(x) y=af(x). 高频小考点 3.高考中的函数图像及应用问题 一、已知函数解析式确定函数图像 典例 函数f(x)=2x+sin x的部分图像可能是(  ) INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\2-53.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\2-53.TIF" \* MERGEFORMATINET 思维点拨 根据函数的定义域、值域、单调性、奇偶性和特征点确定函数图像. 解析 方法一 ∵f(-x)=-2x-sin x=-f(x), ∴f(x)为奇函数,排除B、C, 又00,排除D, 故A正确. 方法二 ∵f′(x)=2+cos x>0, ∴f(x)为增函数,故A正确. 答案 A 温馨提醒 (1)确定函数的图像,要从函数的性质出发,利用数形结合的思想. (2)对于给出图像的选择题,可以结合函数的某一性质或特殊点进行排除. 二、函数图像的变换问题 典例 若函数y=f(x)的图像如图所示,则函数y=-f(x+1)的图像大致为(  ) INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\2-54.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\2-54.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\2-55.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\2-55.TIF" \* MERGEFORMATINET 思维点拨 从y=f(x)的图像可先得到y=-f(x)的图像,再得y=-f(x+1)的图像. 解析 要想由y=f(x)的图像得到y=-f(x+1)的图像,需要先将y=f(x)的图像关于x轴对称得到y=-f(x)的图像,然后再向左平移一个单位得到y=-f(x+1)的图像,根据上述步骤可知C正确. 答案 C 温馨提醒 (1)对图像的变换问题,从f(x)到f(ax+b),可以先进行平移变换,也可以先进行伸缩变换,要注意变换过程中两者的区别. (2)图像变换也可利用特征点的变换进行确定. 三、函数图像的应用 典例 (1)已知函数f(x)=x|x|-2x,则下列结论正确的是(  ) A.f(x)是偶函数,递增区间是(0,+∞) B.f(x)是偶函数,递减区间是(-∞,1) C.f(x)是奇函数,递减区间是(-1,1) D.f(x)是奇函数,递增区间是(-∞,0) (2)设函数f(x)=|x+a|,g(x)=x-1,对于任意的x∈R,不等式f(x)≥g(x)恒成立,则实数a的取值范围是________. 思维点拨 (1)画出函数f(x)的图像观察.(2)利用函数f(x),g(x)图像的位置确定a的取值范围. 解析 (1)将函数f(x)=x|x|-2x去掉绝对值得f(x)= 画出函数f(x)的图像,如图,观察得到,f(x)为奇函数,递减区间是(-1,1). INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\2-56.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\2-56.TIF" \* MERGEFORMATINET (2)如图,作出函数f(x)=|x+a|与g(x)=x-1的图像,观察图像可知:当且仅当-a≤1,即a≥-1时,不等式f(x)≥g(x)恒成立,因此a的取值范围是[-1,+∞). INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\2-57.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\2-57.TIF" \* MERGEFORMATINET 答案 (1)C (2)[-1,+∞) 温馨提醒 (1)本题求解利用了数形结合的思想,数形结合的思想包括“以形助数”或“以数辅形”两个方面,本题属于“以形助数”,是指把某些抽象的问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,解释数学问题的本质. (2)利用函数图像也可以确定不等式解的情况,解题时可对方程或不等式适当变形,选择合适的函数进行作图. INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET [方法与技巧] 1.列表描点法是作函数图像的辅助手段,要作函数图像首先要明确函数图像的位置和形状:(1)可通过研究函数的性质如定义域、值域、奇偶性、周期性、单调性等;(2)可通过函数图像的变换如平移变换、对称变换、伸缩变换等. 2.合理处理识图题与用图题 (1)识图 对于给定函数的图像,要从图像的左右、上下分布范围、变化趋势、对称性等方面研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性,注意图像与函数解析式中参数的关系. (2)用图 函数图像形象地显示了函数的性质,为研究数量关系问题提供了“形”的直观性,它是探求解题途径,获得问题结果的重要工具.要重视数形结合解题的思想方法.常用函数图像研究含参数的方程或不等式解集的情况. [失误与防范] 1.函数图像平移的方向和大小: 函数图像的每次变换都针对自变量“x”而言,如从f(-2x)的图像到f(-2x+1)的图像是向右平移个单位. 2.当图形不能准确地说明问题时,可借助“数”的精确,注重数形结合思想的运用. §8 函数与方程 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 函数y=f(x)的图像与横轴的交点的横坐标称为这个函数的零点. (2)几个等价关系 方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图像与x轴有交点?函数y=f(x)有零点. (3)函数零点的判定(零点存在性定理) 若函数y=f(x)在闭区间[a,b]上的图像是连续曲线,并且在区间端点的函数值符号相反,即f(a)·f(b)<0,则在区间(a,b)内,函数y=f(x)至少有一个零点,即相应的方程f(x)=0在区间(a,b)内至少有一个实数解. 2.二分法 对于在区间[a,b]上连续不断且f(a)·f(b)<0的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法. 3.二次函数y=ax2+bx+c (a>0)的图像与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像 与x轴的交点 (x1,0),(x2,0) (x1,0) 无交点 零点个数 2 1 0 易错警示系列 3.忽视定义域导致零点个数错误 典例 已知定义在R上的奇函数f(x)满足:当x>0时,f(x)=2 016x+log2 016x,则在R上函数f(x)的零点个数为________. 易错分析 得出当x>0时的零点个数后,容易忽略条件:定义在R上的奇函数,导致漏掉x<0时和x=0时的情况. 解析 当x>0时,由f(x)=2 016x+log2 016x=0得2 016x=-log2 016x=.作出函数y=2 016x与函数y=的图像,可知它们只有一个交点,所以当x>0时函数只有一个零点.由于函数为奇函数,所以当x<0时,也有一个零点.又当x=0时y=0,所以共有三个零点. 答案 3 温馨提醒 (1)讨论x>0时函数的零点个数也可利用零点存在性定理结合函数单调性确定.(2)函数的定义域是讨论函数其他性质的基础,要给予充分重视. [方法与技巧] 1.函数零点的判定常用的方法有 (1)零点存在性定理; (2)数形结合:函数y=f(x)-g(x)的零点,就是函数y=f(x)和y=g(x)图像交点的横坐标. (3)解方程. 2.二次函数的零点可利用求根公式、判别式、根与系数的关系或结合函数图像列不等式(组). 3.利用函数零点求参数范围的常用方法:直接法、分离参数法、数形结合法. [失误与防范] 1.函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件,而不是必要条件;判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图像. 2.判断零点个数要注意函数的定义域,不要漏解;画图时要尽量准确. §9 实际问题的函数建模 1.几类函数模型及其增长差异 (1)几类函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)=ax+b (a、b为常数,a≠0) 反比例函数模型 f(x)=+b (k,b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0) 指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,b≠0,a>0且a≠1) 幂函数模型 f(x)=axn+b (a,b为常数,a≠0) (2)三种函数模型的性质 性质 函数 y=ax(a>1) y=logax(a>1) y=xn(n>0) 在(0,+∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图像的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax40时,W=xR(x)-(16x+40) =--16x+7 360.[2分] 所以W=[4分] (2)①当040时,W=--16x+7 360, 由于+16x≥2=1 600, 当且仅当=16x, 即x=50∈(40,+∞)时,取等号, 所以W取最大值为5 760.[10分] 综合①②知, 当x=32时,W取得最大值6 104万元.[12分] INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\答题模板a.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\答题模板a.TIF" \* MERGEFORMATINET 解函数应用题的一般程序 第一步:(审题)弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; 第二步:(建模)将文字语言转化成数学语言,用数学知识建立相应的数学模型; 第三步:(解模)求解数学模型,得到数学结论; 第四步:(还原)将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义; 第五步:(反思)对于数学模型得到的数学结果,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. 温馨提醒 (1)此类问题的关键是正确理解题意,建立适当的函数模型.(2)分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意各段自变量的范围,特别是端点值. INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET [方法与技巧] 1.认真分析题意,合理选择数学模型是解决应用问题的基础. 2.实际问题中往往解决一些最值问题,我们可以利用二次函数的最值、函数的单调性、基本不等式等求得最值. 3.解函数应用题的五个步骤:①审题;②建模;③解模;④还原;⑤反思. [失误与防范] 1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,要正确理解题意,选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确定函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个数学结果对实际问题的合理性. 专题3 导数及其应用 §1 导数的概念及运算 1.导数与导函数的概念 (1)当x1趋于x0,即Δx趋于0时,如果平均变化率趋于一个固定的值,那么这个值就是函数y=f(x)在x0点的瞬时变化率.在数学中,称瞬时变化率为函数y=f(x)在x0点的导数,通常用符号f′(x0)表示,记作f′(x0)= = . (2)如果一个函数f(x)在区间(a,b)上的每一点x处都有导数,导数值记为f′(x):f′(x)= ,则f′(x)是关于x的函数,称f′(x)为f(x)的导函数,通常也简称为导数. 2.导数的几何意义 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-f(x0)=f′(x0)(x-x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f′(x)=0 f(x)=ex f′(x)=ex f(x)=xα(α为实数) f′(x)=αxα-1 f(x)=ax(a>0,a≠1) f′(x)=axln_a f(x)=sin x f′(x)=cos_x f(x)=ln x f′(x)= f(x)=cos x f′(x)=-sin_x f(x)=logax(a>0,a≠1) f′(x)= 4.导数的运算法则 若f′(x),g′(x)存在,则有 (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x); (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x); (3)[]′=(g(x)≠0). 5.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′,即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 易错警示系列 4.求曲线的切线方程条件审视不准致误 典例 若存在过点O(0,0)的直线l与曲线y=x3-3x2+2x和y=x2+a都相切,求a的值. 易错分析 由于题目中没有指明点O(0,0)的位置情况,容易忽略点O在曲线y=x3-3x2+2x上这个隐含条件,进而不考虑O点为切点的情况. 规范解答 解 易知点O(0,0)在曲线y=x3-3x2+2x上. (1)当O(0,0)是切点时, 由y′=3x2-6x+2,得y′|x=0=2, 即直线l的斜率为2,故直线l的方程为y=2x. 由得x2-2x+a=0, 依题意Δ=4-4a=0,得a=1.[4分] (2)当O(0,0)不是切点时,设直线l与曲线y=x3-3x2+2x相切于点P(x0,y0),则y0=x-3x+2x0,且k==3x-6x0+2,① 又k==x-3x0+2,② 联立①②,得x0=(x0=0舍去),所以k=-, 故直线l的方程为y=-x. 由得x2+x+a=0, 依题意,Δ=-4a=0,得a=. 综上,a=1或a=. 温馨提醒 对于求曲线的切线方程没有明确切点的情况,要先判断切线所过点是否在曲线上;若所过点在曲线上,要对该点是否为切点进行讨论. INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "E:\\贾文2016\\一轮\\数学\\北师大版(理)\\全书完整的word版文档\\思想方法A.TIF" \* MERGEFORMATINET [方法与技巧] 1.f′(x0)代表函数f(x)在x=x0处的导数值;(f(x0))′是函数值f(x0)的导数,而函数值f(x0)是一个常数,其导数一定为0,即(f(x0))′=0. 2.对于函数求导,一般要遵循先化简再求导的基本原则.在实施化简时,首先必须注意变换的等价性,避免不必要的运算失误. 3.未知切点的曲线切线问题,一定要先设切点,利用导数的几何意义表示切线的斜率建立方程. [失误与防范] 1.利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,防止与乘法公式混淆.复合函数的导数要正确分解函数的结构,由外向内逐层求导. 2.求曲线切线时,要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别,前者只有一条,而后者包括了前者. 3.曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个,这和研究直线与二次曲线相切时有差别. §2 导数的应用 2.1 导数与函数的单调性 1.函数的单调性 如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f′(x)>0,则在这个区间上,函数y=f(x)是增加的;如果在某个区间内,函数y=f(x)的导数f′(x)<0,则在这个区间上,函数y=f(x)是减少的. 2.函数的极值 如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是增加的,在区间(x0,b)上是减少的,则x0是极大值点,f(x0)是极大值. 如果函数y=f(x)在区间(a,x0)上是减少的,在区间(x0,b)上是增加的,则x0是极小值点,f(x0)是极小值. 3.函数的最值 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值. (2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则f(a)为函数的最小值,f(b)为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则f(a)为函数的最大值,f(b)为函数的最小值. (3)设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,求f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤如下: ①求f(x)在(a,b)内的极值; ②将f(x)的各极值与f(a),f(b)进行比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. 答题模版系列 5.分类讨论思想研究函数的单调性 典例 已知函数f(x)=ln x,g(x)=f(x)+ax2+bx,其中函数g(x)的图像在点(1,g(1))处的切线平行于x轴. (1)确定a与b的关系; (2)若a≥0,试讨论函数g(x)的单调性. 思维点拨 依据g(x)的切线条件可得g′(1)=0得a,b关系,代g(x)后消去b,对a进行分类讨论确定g′(x)的符号. 规范解答 解 (1)依题意得g(x)=ln x+ax2+bx, 则g′(x)=+2ax+b. 由函数g(x)的图像在点(1,g(1))处的切线平行于x轴得:g′(1)=1+2a+b=0,∴b=-2a-1. (2)由(1)得g′(x)==. ∵函数g(x)的定义域为(0,+∞), ∴当a=0时,g′(x)=-. 由g′(x)>0,得01, 当a>0时,令g′(x)=0,得x=1或x=, 若<1,即a>, 由g′(x)>0,得x>1或01,即00,得x>或0时,函数g(x)在(0,)上单调递增, 在(,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. 温馨提醒 (1)含参数的函数的单调性问题一般要分类讨论,常见的分类讨论标准有以下几种可能:①方程f′(x)=0是否有根;②若f′(x)=0有根,求出根后是否在定义域内;③若根在定义域内且有两个,比较根的大小是常见的分类方法. (2)本题求解先分a=0或a>0两种情况,再比较和1的大小. [方法与技巧] 1.已知函数解析式求单调区间,实质上是求f′(x)>0,f′(x)<0的解区间,并注意定义域. 2.含参函数的单调性要分类讨论,通过确定导数的符号判断函数的单调性. 3.已知函数单调性可以利用已知区间和函数单调区间的包含关系或转化为恒成立问题两种思路解决. [失误与防范] 1.f(x)为增函数的充要条件是对任意的x∈(a,b)都有f′(x)≥0且在(a,b)内的任一非空子区间上f′(x)不恒为零,应注意此时式子中的等号不能省略,否则漏解. 2.注意两种表述“函数f(x)在(a,b)上为减函数”与“函数f(x)的减区间为(a,b)”的区别. 3.讨论函数单调性要在定义域内进行,不要忽略函数的间断点. 2.2 导数与函数的极值、最值 题型一 用导数解决函数极值问题 命题点1 根据函数图像判断极值 例1 设函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是(  ) A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1) C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2) D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2) 答案 D 解析 由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-22时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值. 命题点2 求函数的极值 例2 已知函数f(x)=ax3-3x2+1-(a∈R且a≠0),求函数f(x)的极大值与极小值. 解 由题设知a≠0,f′(x)=3ax2-6x=3ax. 令f′(x)=0得x=0或. 当a>0时,随着x的变化,f′(x)与f(x)的变化情况如下: x (-∞,0) 0 (0,) (,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ↗ 极大值 ↘ 极小值 ↗ ∴f(x)极大值=f(0)=1-,f(x)极小值=f=--+1. 当a<0时,随着x的变化,f′(x)与f(x)的变化情况如下: x (-∞,) (,0) 0 (0,+∞) f′(x) - 0 + 0 - f(x) ↘ 极小值 ↗ 极大值 ↘ ∴f(x)极大值=f(0)=1-,f(x)极小值=f=--+1. 综上,f(x)极大值=f(0)=1-,f(x)极小值=f=--+1. 命题点3 已知极值求参数 例3 (1)已知f(x)=x3+3ax2+bx+a2在x=-1时有极值0,则a-b=________. (2)若函数f(x)=-x2+x+1在区间(,3)上有极值点,则实数a的取值范围是(  ) A.(2,) B.[2,) C.(2,) D.[2,) 答案 (1)-7 (2)C 解析 (1)由题意得f′(x)=3x2+6ax+b,则 解得或 经检验当a=1,b=3时,函数f(x)在x=-1处无法取得极值,而a=2,b=9满足题意,故a-b=-7. (2)若函数f(x)在区间(,3)上无极值, 则当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≥0恒成立或当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≤0恒成立. 当x∈(,3)时,y=x+的值域是[2,); 当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≥0,即a≤x+恒成立,a≤2; 当x∈(,3)时,f′(x)=x2-ax+1≤0,即a≥x+恒成立,a≥. 因此要使函数f(x)在(,3)上有极值点,实数a的取值范围应是(2,). 思维升华 (1)求函数f(x)极值的步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数f′(x); ③解方程f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; ④列表检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,如果左正右负,那么f(x)在x0处取极大值,如果左负右正,那么f(x)在x0处取极小值. (2)若函数y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调函数没有极值. 题型二 用导数求函数的最值 例4 已知a∈R,函数f(x)=+ln x-1. (1)当a=1时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求f(x)在区间(0,e]上的最小值. 解 (1)当a=1时,f(x)=+ln x-1,x∈(0,+∞),所以f′(x)=-+=,x∈(0,+∞). 因此f′(2)=,即曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为.又f(2)=ln 2-, 所以曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为y-(ln 2-)=(x-2),即x-4y+4ln 2-4=0. (2)因为f(x)=+ln x-1,所以f′(x)=-+=.令f′(x)=0,得x=a. ①若a≤0,则f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数f(x)无最小值. ②若00,函数f(x)在区间(a,e]上单调递增, 所以当x=a时,函数f(x)取得最小值ln a. ③若a≥e,则当x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数f(x)在区间(0,e]上单调递减,所以,当x=e时,函数f(x)取得最小值. 综上可知,当a≤0时,函数f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当00)的导函数y=f′(x)的两个零点为-3和0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值. 解 (1)f′(x)==. 令g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为ex>0,所以y=f′(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点,且f′(x)与g(x)符号相同. 又因为a>0,所以-30,即f′(x)>0, 当x<-3或x>0时,g(x)<0,即f′(x)<0, 所以f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞). (2)由(1)知,x=-3是f(x)的极小值点, 所以有解得a=1,b=5,c=5,所以f(x)=. 因为f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以f(0)=5为函数f(x)的极大值, 故f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取f(-5)和f(0)中的最大者, 而f(-5)==5e5>5=f(0), 所以函数f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是5e5. 答题模版系列 3.利用导数求函数的最值问题 典例 (12分)已知函数f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数f(x)的单调区间; (2)当a>0时,求函数f(x)在[1,2]上的最小值. 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求f′(x)>0,f′(x)<0的解区间,并注意定义域.(2)先研究f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小问中,由于解析式中含有参数a,要对参数a进行分类讨论. 规范解答  解 (1)f′(x)=-a (x>0), ①当a≤0时,f′(x)=-a>0,即函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞).[2分] ②当a>0时,令f′(x)=-a=0,可得x=, 当00; 当x>时,f′(x)=<0, 故函数f(x)的单调递增区间为, 单调递减区间为.[4分] 综上可知, 当a≤0时,函数f(x)的单调递增区间为(0,+∞); 当a>0时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.[5分] (2)①当≤1,即a≥1时,函数f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以f(x)的最小值是f(2)=ln 2-2a.[6分] ②当≥2,即00)的形式. 2.函数y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期为,y=tan(ωx+φ)的最小正周期为. 3.对于函数的性质(定义域、值域、单调性、对称性、最值等)可以通过换元的方法令t=ωx+φ,将其转化为研究y=sin t的性质. 4.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题:首先,明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集;其次,要确定已知函数的单调区间,从而利用它们之间的关系可求解. [失误与防范] 1.闭区间上最值或值域问题,首先要在定义域基础上分析单调性,含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响. 2.要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时ω的符号,若ω<0,那么一定先借助诱导公式将ω化为正数. 3.三角函数的最值可能不在自变量区间的端点处取得,直接将两个端点处的函数值作为最值是错误的. §4 函数y=Asin(ωx+φ)的图像及应用 1.y=Asin(ωx+φ)的有关概念 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈R 振幅 周期 频率 相位 初相 A T= f== ωx+φ φ 2.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个特征点 如下表所示: x ωx+φ 0 π 2π y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0 3.函数y=sin x的图像经变换得到y=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0)的图像的步骤如下: 答题模版系列 4.三角函数图像与性质的综合问题 典例 (12分)已知函数f(x)=2sin(+)cos(+)-sin(x+π). (1)求f(x)的最小正周期; (2)若将f(x)的图像向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图像,求函数g(x)在区间[0,π]上的最大值和最小值. 思维点拨 (1)先将f(x)化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求周期; (2)将f(x)解析式中的x换成x-,得g(x),然后利用整体思想求最值. 规范解答 解 (1)f(x)=2sin(+)cos(+)-sin(x+π)=cos x+sin x[3分] =2sin(x+),[5分] 于是T==2π.[6分] (2)由已知得g(x)=f(x-)=2sin(x+),[8分] ∵x∈[0,π],∴x+∈[,], ∴sin(x+)∈[-,1],[10分] ∴g(x)=2sin(x+)∈[-1,2].[11分] 故函数g(x)在区间[0,π]上的最大值为2,最小值为-1.[12分] 解决三角函数图像与性质的综合问题的一般步骤: 第一步:(化简)将f(x)化为asin x+bcos x的形式; 第二步:(用辅助角公式)构造f(x)=· (sin x·+cos x·); 第三步:(求性质)利用f(x)=sin(x+φ)研究三角函数的性质; 第四步:(反思)反思回顾,查看关键点、易错点和答题规范. 温馨提醒 (1)在第(1)问的解法中,使用辅助角公式 asin α+bcos α=sin(α+φ)(其中tan φ=),或asin α+bcos α=cos(α-φ)(其中tan φ=),在历年高考中使用频率是相当高的,几乎年年使用到、考查到,应特别加以关注. (2)求g(x)的最值一定要重视定义域,可以结合三角函数图像进行求解. [方法与技巧] 1.五点法作图及图像变换问题 (1)五点法作简图要取好五个关键点,注意曲线凸凹方向; (2)图像变换时的伸缩、平移总是针对自变量x而言,而不是看角ωx+φ的变化. 2.由图像确定函数解析式 由图像确定y=Asin(ωx+φ)时,φ的确定是关键,尽量选择图像的最值点代入;若选零点代入,应根据图像升降找“五点法”作图中第一个零点. 3.对称问题 函数y=Asin(ωx+φ)的图像与x轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图像上坐标为(x,±A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图像的对称轴,这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻对称中心的距离). [失误与防范] 1.由函数y=sin x的图像经过变换得到y=Asin(ωx+φ)的图像,如先伸缩,再平移时,要把x前面的系数提取出来. 2.复合形式的三角函数的

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  • ID:3-6137946 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题4.6 正弦定理和余弦定理

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第四篇 三角函数与解三角形
    专题4.06 正弦定理和余弦定理
    【考试要求】 
    掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.
    【知识梳理】
    1.正、余弦定理
    在△ABC中,若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径,则
    定理
    正弦定理
    余弦定理
    
    公式
    ===2R
    a2=b2+c2-2bccosA;
    b2=c2+a2-2cacosB;
    c2=a2+b2-2abcosC
    
    常见变形
    (1)a=2Rsin A,b=2RsinB,c=2RsinC;
    (2)sin A=,sin B=,sin C=;
    (3)a∶b∶c=sinA∶sinB∶sinC;
    (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B,asin C=csin A
    cos A=;
    cos B=;
    cos C=
    
    2.S△ABC=absin C=bcsin A=acsin B==(a+b+c)·r(r是三角形内切圆的半径),并可由此计算R,r.
    3.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况如下:
    A为锐角
    A为钝角或直角
    
    图形
    
    
    
    
    
    关系式
    a=bsin A
    bsin Aa≥b
    a>b
    a≤b
    
    解的个数
    一解
    两解
    一解
    一解
    无解
    
    【微点提醒】
    1.三角形中的三角函数关系
    (1)sin(A+B)=sin C;(2)cos(A+B)=-cos C;
    (3)sin=cos;(4)cos=sin.
    2.三角形中的射影定理
    在△ABC中,a=bcos C+ccos B;b=acos C+ccos A;c=bcos A+acos B.
    3.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B?a>b?sin A>sin B?cos A【疑误辨析】
    1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
    (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.(  )
    (2)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.(  )
    (3)在△ABC的六个元素中,已知任意三个元素可求其他元素.(  )
    (4)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形;当b2+c2-a2=0时,△ABC为直角三角形;当b2+c2-a2<0时,△ABC为钝角三角形.(  )
    ================================================
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  • ID:3-6137945 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题4.5 函数y=Asin(ωx+ψ)的图像与性质

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第四篇 三角函数与解三角形
    专题4.05 函数y=Asin(ωx+φ)的图象与性质
    【考试要求】 
    1.结合具体实例,了解y=Asin(ωx+φ)的实际意义;能借助图象理解参数ω,φ,A的意义,了解参数的变化对函数图象的影响;
    2.会用三角函数解决简单的实际问题,体会可以利用三角函数构建刻画事物周期变化的数学模型.
    【知识梳理】
    1.用五点法画y=Asin(ωx+φ)一个周期内的简图时,要找五个关键点,如下表所示.
    x
    -
    -+
    
    -
    
    
    ωx+φ
    0
    

    
    2π
    
    y=Asin(ωx+φ)
    0
    A
    0
    -A
    0
    
    2.函数y=Asin(ωx+φ)的有关概念
    y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0),x∈[0,+∞)表示一个振动量时
    振幅
    周期
    频率
    相位
    初相
    
    
    A
    T=
    f==
    ωx+φ

    
    3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)的图象的两种途径
    
    4.三角函数应用
    (1)用正弦函数可以刻画三种周期变化的现象:简谐振动(单摆、弹簧等),声波(音叉发出的纯音),交变电流.
    (2)三角函数模型应用题的关键是求出函数解析式,可以根据给出的已知条件确定模型f(x)=Asin(ωx+φ)+k中的待定系数.
    (3)把实际问题翻译为函数f(x)的性质,得出函数性质后,再把函数性质翻译为实际问题的答案.
    【微点提醒】
    1.由y=sin ωx到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
    2.函数y=Asin(ωx+φ)的对称轴由ωx+φ=kπ+(k∈Z)确定;对称中心由ωx+φ=kπ(k∈Z)确定其横坐标.
    3.音叉发出的纯音振动可以用三角函数表达为y=Asin ωx,其中x表示时间,y表示纯音振动时音叉的位移,表示纯音振动的频率(对应音高),A表示纯音振动的振幅(对应音强).
    4.交变电流可以用三角函数表达为y=Asin(ωx+φ),其中x表示时间,y表示电流,A表示最大电流,表示频率,φ表示初相位.
    【疑误辨析】
    1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
    (1)将函数y=3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y=3sin.(  )
    ================================================
    压缩包内容:
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  • ID:3-6137942 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题4.4 三角函数的图像和性质

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第四篇 三角函数与解三角形
    专题4.04 三角函数的图象与性质
    【考试要求】 
    1.能画出三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的图象,了解三角函数的周期性、单调性、奇偶性、最大(小)值;
    2.借助图象理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]上,正切函数在上的性质.
    【知识梳理】
    1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图
    (1)正弦函数y=sinx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,0),,(π,0),,(2π,0).
    (2)余弦函数y=cosx,x∈[0,2π]的图象中,五个关键点是:(0,1),,(π,-1),,(2π,1).
    2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k∈Z)
    函数
    y=sin x
    y=cos x
    y=tan x
    
    图象
    
    
    
    
    定义域
    R
    R
    {x x≠kπ+}
    
    值域
    [-1,1]
    [-1,1]
    R
    
    周期性
    2π
    2π

    
    奇偶性
    奇函数
    偶函数
    奇函数
    
    递增区间
    
    [2kπ-π,2kπ]
    
    
    递减区间
    
    [2kπ,2kπ+π]
    无
    
    对称中心
    (kπ,0)
    
    
    
    对称轴方程
    x=kπ+
    x=kπ
    无
    
    【微点提醒】
    1.对称与周期
    (1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
    (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
    2.对于y=tanx不能认为其在定义域上为增函数,而是在每个区间(k∈Z)内为增函数.
    【疑误辨析】
    1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
    (1)余弦函数y=cos x的对称轴是y轴.(  )
    (2)正切函数y=tan x在定义域内是增函数.(  )
    (3)已知y=ksin x+1,x∈R,则y的最大值为k+1.(  )
    (4)y=sin|x|是偶函数.(  )
    【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
    【解析】 (1)余弦函数y=cos x的对称轴有无穷多条,y轴只是其中的一条.
    (2)正切函数y=tan x在每一个区间(k∈Z)上都是增函数,但在定义域内不是单调函数,故不是增函数.
    ================================================
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  • ID:3-6137941 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题4.3 两角和与差的正弦、余弦、正切公式

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第四篇 三角函数与解三角形
    专题4.03 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
    【考试要求】
    1.经历推导两角差余弦公式的过程,知道两角差余弦公式的意义;
    2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系;
    3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式,这三组公式不要求记忆).
    【知识梳理】
    1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式
    sin(α±β)=sinαcosβ±cosαsinβ.
    cos(α?β)=cosαcosβ±sinαsinβ.
    tan(α±β)=.
    2.二倍角的正弦、余弦、正切公式
    sin 2α=2sin__αcosα.
    cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
    tan 2α=.
    3.函数f(α)=asin α+bcos α(a,b为常数),可以化为f(α)=sin(α+φ)或f(α)=·cos(α-φ).
    【微点提醒】
    1.tan α±tan β=tan(α±β)(1?tan αtan β).
    2.cos2α=,sin2α=.
    3.1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,
    sin α±cos α=sin.
    【疑误辨析】
    1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
    (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的.(  )
    (2)存在实数α,β,使等式sin(α+β)=sin α+sin β成立.(  )
    (3)公式tan(α+β)=可以变形为tan α+tan β
    =tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角α,β都成立.(  )
    (4)存在实数α,使tan 2α=2tan α.(  )
    【答案】 (1)√ (2)√ (3)× (4)√
    【解析】 (3)变形可以,但不是对任意的α,β都成立,α,β,α+β≠+kπ(k∈Z).
    【教材衍化】
    2.(必修4P127T2改编)若cos α=-,α是第三象限的角,则sin等于(  )
    A.- B. C.- D.
    【答案】 C
    【解析】 ∵α是第三象限的角,
    ∴sin α=-=-,
    ∴sin=-×+×=-.
    ================================================
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    2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题4.3 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 .doc

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  • ID:3-6137939 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第四篇 三角函数与解三角形
    专题4.02 同角三角函数基本关系式与诱导公式
    【考试要求】
    1.理解同角三角函数的基本关系式:sin2α+cos2α=1,=tan α;
    2.能利用定义推导出诱导公式.
    【知识梳理】
    1.同角三角函数的基本关系
    (1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
    (2)商数关系:=tan α.
    2.三角函数的诱导公式
    公式
    一
    二
    三
    四
    五
    六
    
    角
    2kπ+α(k∈Z)
    π+α
    -α
    π-α
    -α
    +α
    
    正弦
    sin α
    -sin α
    -sin α
    sin α
    cos α
    cos α
    
    余弦
    cos α
    -cos α
    cos α
    -cos α
    sin α
    -sin α
    
    正切
    tan α
    tan α
    -tan α
    -tan α
    
    
    
    口诀
    函数名不变,符号看象限
    函数名改变,符号看象限
    
    【微点提醒】
    1.同角三角函数关系式的常用变形
    (sin α±cos α)2=1±2sin αcos α;sin α=tan α·cos α.
    2.诱导公式的记忆口诀
    “奇变偶不变,符号看象限”,其中的奇、偶是指的奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化.
    3.在利用同角三角函数的平方关系时,若开方,要特别注意判断符号.
    【疑误辨析】
    1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
    (1)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(  )
    (2)六组诱导公式中的角α可以是任意角.(  )
    (3)若α∈R,则tan α=恒成立.(  )
    (4)若sin(kπ-α)=(k∈Z),则sin α=.(  )
    【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
    【解析】 (1)中对于任意α∈R,恒有sin(π+α)=-sin α.
    (3)中当α的终边落在y轴,商数关系不成立.
    (4)当k为奇数时,sin α=,
    当k为偶数时,sin α=-.
    【教材衍化】
    2.(必修4P21A12改编)已知tan α=-3,则cos2α-sin2α=(  )
    A. B.- C. D.-
    ================================================
    压缩包内容:
    2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题4.2 同角三角函数的基本关系式与诱导公式 .doc

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  • ID:3-6137936 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题4.1 角与弧度制、三角函数的概念

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第四篇 三角函数与解三角形
    专题4.01 角与弧度制、三角函数的概念
    【考试要求】
    1.了解任意角的概念和弧度制,能进行弧度与角度的互化,体会引入弧度制的必要性;
    2.借助单位圆理解三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
    【知识梳理】
    1.角的概念的推广
    (1)定义:角可以看成平面内的一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.
    (2)分类
    (3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
    2.弧度制的定义和公式
    (1)定义:把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度记作rad.
    (2)公式
    角α的弧度数公式
    |α|=(弧长用l表示)
    
    角度与弧度的换算
    1°= rad;1 rad=°
    
    弧长公式
    弧长l=|α|r
    
    扇形面积公式
    S=lr=|α|r2
    
    3.任意角的三角函数
    (1)定义:设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0).
    (2)几何表示:三角函数线可以看作是三角函数的几何表示,正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线.
    
    【微点提醒】
    1.若α∈,则tan α>α>sin α.
    2.角度制与弧度制可利用180°=π rad进行互化,在同一个式子中,采用的度量制度必须一致,不可混用.
    3.象限角的集合
    
    4.轴线角的集合
    
    【疑误辨析】
    1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
    (1)小于90°的角是锐角.(  )
    (2)锐角是第一象限角,反之亦然.(  )
    (3)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是30°.(  )
    (4)相等的角终边一定相同,终边相同的角也一定相等.(  )
    【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
    【解析】 (1)锐角的取值范围是.
    (2)第一象限角不一定是锐角.
    (3)顺时针旋转得到的角是负角.
    (4)终边相同的角不一定相等.
    【教材衍化】
    2.(必修4P12例2改编)已知角α的终边过点P(8m,3),且cos α=-,则m的值为(  )
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  • ID:3-6137935 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题3.5 导数与函数的零点

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第三篇 导数及其应用
    专题3.05 导数与函数的零点
    【考点聚焦突破】
    考点一 判断零点的个数
    【例1】 (2019·青岛期中)已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)求函数g(x)=-4ln x的零点个数.
    【答案】见解析
    【解析】(1)∵f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},
    ∴设f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.
    ∴f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.
    故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.
    (2)由(1)知g(x)=-4ln x=x--4ln x-2,
    ∴g(x)的定义域为(0,+∞),g′(x)=1+-=,令g′(x)=0,得x1=1,x2=3.
    当x变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下表:
    X
    (0,1)
    1
    (1,3)
    3
    (3,+∞)
    
    g′(x)
    +
    0
    -
    0
    +
    
    g(x)
    
    极大值
    (
    极小值
    (
    
    当0当x>3时,g(e5)=e5--20-2>25-1-22=9>0.
    又因为g(x)在(3,+∞)上单调递增,
    因而g(x)在(3,+∞)上只有1个零点,
    故g(x)仅有1个零点.
    【规律方法】 利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法
    (1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求,g′(x)=0可解),转化确定g(x)的零点个数问题求解,利用导数研究该函数的单调性、极值,并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等,画出g(x)的图象草图,数形结合求解函数零点的个数.
    (2)利用零点存在性定理:先用该定理判断函数在某区间上有零点,然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号,进而判断函数在该区间上零点的个数.
    【训练1】 已知函数f(x)=ex-1,g(x)=+x,其中e是自然对数的底数,e=2.718 28….
    (1)证明:函数h(x)=f(x)-g(x)在区间(1,2)上有零点;
    (2)求方程f(x)=g(x)的根的个数,并说明理由.
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  • ID:3-6137933 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题3.4 导数在不等式中的应用

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第三篇 导数及其应用
    专题3.04 导数在不等式中的应用
    【考点聚焦突破】
    考点一 构造函数证明不等式
    【例1】 已知函数f(x)=1-,g(x)=x-ln x.
    (1)证明:g(x)≥1;
    (2)证明:(x-ln x)f(x)>1-.
    【答案】见解析
    【解析】证明 (1)由题意得g′(x)=(x>0),
    当01时,g′(x)>0,
    即g(x)在(0,1)上是减函数,在(1,+∞)上是增函数.
    所以g(x)≥g(1)=1,得证.
    (2)由f(x)=1-,得f′(x)=,
    所以当02时,f′(x)>0,
    即f(x)在(0,2)上是减函数,在(2,+∞)上是增函数,
    所以f(x)≥f(2)=1-(当且仅当x=2时取等号).①
    又由(1)知x-ln x≥1(当且仅当x=1时取等号),②
    且①②等号不同时取得,
    所以(x-ln x)f(x)>1-.
    【规律方法】 
    1.证明不等式的基本方法:
    (1)利用单调性:若f(x)在[a,b]上是增函数,则①?x∈[a,b],有f(a)≤f(x)≤f(b),②?x1,x2∈[a,b],且x1(2)利用最值:若f(x)在某个范围D内有最大值M(或最小值m),则?x∈D,有f(x)≤M(或f(x)≥m).
    2.证明f(x)【训练1】 已知函数f(x)=在点(-1,f(-1))处的切线方程为x+y+3=0.
    (1)求函数f(x)的解析式;
    (2)设g(x)=ln x,求证:g(x)≥f(x)在[1,+∞)上恒成立.
    【答案】见解析
    【解析】(1)解 将x=-1代入切线方程得y=-2,
    所以f(-1)==-2,化简得b-a=-4.①
    f′(x)=,
    f′(-1)==-1.②
    联立①②,解得a=2,b=-2.所以f(x)=.
    (2)证明 由题意知要证ln x≥在[1,+∞)上恒成立,
    即证明(x2+1)ln x≥2x-2,x2ln x+ln x-2x+2≥0在[1,+∞)上恒成立.
    设h(x)=x2ln x+ln x-2x+2,
    ================================================
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  • ID:3-6137932 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题3.3 利用导数研究函数的最值、极值

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第三篇 导数及其应用
    专题3.03 利用导数研究函数的极值、最值
    【考点聚焦突破】
    考点一 利用导数解决函数的极值问题 
    角度1 根据函数图象判断函数极值
    【例1-1】 已知函数f(x)在R上可导,其导函数为f′(x),且函数y=(1-x)f′(x)的图象如图所示,则下列结论中一定成立的是(  )
    
    A.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1)
    B.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(1)
    C.函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(-2)
    D.函数f(x)有极大值f(-2)和极小值f(2)
    【答案】 D
    【解析】 由题图可知,当x<-2时,f′(x)>0;当-22时,f′(x)>0.由此可以得到函数f(x)在x=-2处取得极大值,在x=2处取得极小值.
    【规律方法】 由图象判断函数y=f(x)的极值,要抓住两点:(1)由y=f′(x)的图象与x轴的交点,可得函数y=f(x)的可能极值点;(2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
    角度2 已知函数求极值
    【例1-2】 (2019·天津和平区模拟)已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
    (1)当a=时,求f(x)的极值;
    (2)讨论函数f(x)在定义域内极值点的个数.
    【答案】见解析
    【解析】(1)当a=时,f(x)=ln x-x,函数的定义域为(0,+∞)且f′(x)=-=,
    令f′(x)=0,得x=2,
    于是当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如下表.
    x
    (0,2)
    2
    (2,+∞)
    
    f′(x)
    +
    0
    -
    
    f(x)
    (
    ln 2-1
    (
    
    故f(x)在定义域上的极大值为f(x)极大值=f(2)=ln 2-1,无极小值.
    (2)由(1)知,函数的定义域为(0,+∞),
    f′(x)=-a=(x>0).
    当a≤0时,f′(x)>0在(0,+∞)上恒成立,
    即函数在(0,+∞)上单调递增,此时函数在定义域上无极值点;
    当a>0时,当x∈时,f′(x)>0,
    当x∈时,f′(x)<0,
    故函数在x=处有极大值.
    ================================================
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    2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题3.3 利用导数研究函数的最值、极值 .doc

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  • ID:3-6137931 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题3.2 利用导数研究函数的单调性

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第三篇 导数及其应用
    专题3.02利用导数研究函数的单调性
    【考试要求】
    1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系;能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间;
    2.借助函数的图象,了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;
    3.能利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值;体会导数与单调性、极值、最大(小)值的关系.
    【知识梳理】
    1.函数的单调性与导数的关系
    函数y=f(x)在某个区间内可导,则:
    (1)若f′(x)>0,则f(x)在这个区间内单调递增;
    (2)若f′(x)<0,则f(x)在这个区间内单调递减;
    (3)若f′(x)=0,则f(x)在这个区间内是常数函数.
    2.函数的极值与导数
    条件
    f′(x0)=0
    
    
    x0附近的左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0
    x0附近的左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0
    
    图象
    
    形如山峰
    
    形如山谷
    
    极值
    f(x0)为极大值
    f(x0)为极小值
    
    极值点
    x0为极大值点
    x0为极小值点
    
    3.函数的最值与导数
    (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件
    如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
    (2)求y=f(x)在[a,b]上的最大(小)值的步骤
    ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值;
    ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
    【微点提示】
    1.函数f(x)在区间(a,b)上递增,则f′(x)≥0,“f′(x)>0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件.
    2.对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
    3.求最值时,应注意极值点和所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值.
    4.函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
    【疑误辨析】
    1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
    (1)若函数f(x)在(a,b)内单调递增,那么一定有f′(x)>0.(  )
    ================================================
    压缩包内容:
    2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题3.2 利用导数研究函数的单调性 .doc

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  • ID:3-6137930 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题3.1 导数的概念及运算

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第三篇 导数及其应用
    专题3.01导数的概念及运算
    【考试要求】
    1.通过实例分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的实际背景,知道导数是关于瞬时变化率的数学表达,体会导数的内涵与思想;
    2.体会极限思想;
    3.通过函数图象直观理解导数的几何意义;
    4.能根据导数定义求函数y=c,y=x,y=x2,y=x3,y=,y=的导数;
    5.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则,求简单函数的导数;能求简单的复合函数(限于形如f(ax+b))的导数;
    6.会使用导数公式表.
    【知识梳理】
    1.函数y=f(x)在x=x0处的导数
    (1)定义:称函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率 = 为函数y=f(x)在x=x0处的导数,记作f′(x0)或y′|x=x0,即f′(x0)==.
    (2)几何意义:函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y=f(x)上点(x0,f(x0))处的切线的斜率.相应地,切线方程为y-y0=f′(x0)(x-x0).
    2.函数y=f(x)的导函数
    如果函数y=f(x)在开区间(a,b)内的每一点处都有导数,其导数值在(a,b)内构成一个新函数,函数f′(x)=lim 称为函数y=f(x)在开区间内的导函数.
    3.导数公式表
    基本初等函数
    导函数
    
    f(x)=c(c为常数)
    f′(x)=0
    
    f(x)=xα(α∈Q*)
    f′(x)=αxα-1
    
    f(x)=sin x
    f′(x)=cos x
    
    f(x)=cos x
    f′(x)=-sin x
    
    f(x)=ex
    f′(x)=ex
    
    f(x)=ax(a>0)
    f′(x)=axln a
    
    f(x)=ln x
    f′(x)=
    
    f(x)=logax (a>0,a≠1)
    f′(x)=
    
    4.导数的运算法则
    若f′(x),g′(x)存在,则有:
    (1)[f(x)±g(x)]′=f′(x)±g′(x);
    (2)[f(x)·g(x)]′=f′(x)g(x)+f(x)g′(x);
    (3)′=(g(x)≠0).
    5.复合函数的导数
    复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u),u=g(x)的导数间的关系为yx′=yu′·ux′.
    ================================================
    压缩包内容:
    2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题3.1 导数的概念及运算 .doc

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  • ID:3-6137929 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题2.9 函数与数学模型

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第二篇 函数及其性质
    专题2.09 函数与数学模型
    【考试要求】
    1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律;
    2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实含义;
    3.收集、阅读一些现实生活、生产实际或者经济领域中的数学模型,体会人们是如何借助函数刻画实际问题的,感悟数学模型中参数的现实意义.
    【知识梳理】
    1.指数、对数、幂函数模型性质比较
      函数
    性质   
    y=ax
    (a>1)
    y=logax
    (a>1)
    y=xn
    (n>0)
    
    在(0,+∞)
    上的增减性
    单调递增
    单调递增
    单调递增
    
    增长速度
    越来越快
    越来越慢
    相对平稳
    
    图象的变化
    随x的增大逐渐表现为与y轴平行
    随x的增大逐渐表现为与x轴平行
    随n值变化
    而各有不同
    
    2.几种常见的函数模型
    函数模型
    函数解析式
    
    一次函数模型
    f(x)=ax+b(a、b为常数,a≠0)
    
    二次函数模型
    f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
    
    与指数函数
    相关模型
    f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
    
    与对数函数
    相关模型
    f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0且a≠1,b≠0)
    
    与幂函数
    相关模型
    f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0)
    
    
    【微点提醒】
    1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
    2.充分理解题意,并熟练掌握几种常见函数的图象和性质是解题的关键.
    3.易忽视实际问题中自变量的取值范围,需合理确定函数的定义域,必须验证数学结果对实际问题的合理性.
    【疑误辨析】
    1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
    (1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(  )
    (2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(  )
    ================================================
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  • ID:3-6137927 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题2.8 函数与方程

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第二篇 函数及其性质
    专题2.08 函数与方程
    【考试要求】 
    1.结合学过的函数图象,了解函数零点与方程解的关系;
    2.结合具体连续函数及其图象的特点,了解函数零点存在定理.
    【知识梳理】
    1.函数的零点
    (1)函数零点的概念
    对于函数y=f(x),把使f(x)=0的实数x叫做函数y=f(x)的零点.
    (2)函数零点与方程根的关系
    方程f(x)=0有实数根?函数y=f(x)的图象与x轴有交点?函数y=f(x)有零点.
    (3)零点存在性定理
    如果函数y=f(x)满足:①在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线;②f(a)·f(b)<0;则函数y=f(x)
    在(a,b)上存在零点,即存在c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也就是方程f(x)=0的根.
    2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系
    Δ=b2-4ac
    Δ>0
    Δ=0
    Δ<0
    
    二次函数
    y=ax2+bx+c
    (a>0)的图象
    
    
    
    
    与x轴的交点
    (x1,0),(x2,0)
    (x1,0)
    无交点
    
    零点个数
    2
    1
    0
    
    【微点提醒】
    1.若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数,则f(x)至多有一个零点.函数的零点不是一个“点”,而是方程f(x)=0的实根.
    
    2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出f(a)·f(b)<0,如图所示,所以f(a)·f(b)<0是y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点的充分不必要条件.
    【疑误辨析】
    1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
    (1)函数f(x)=lg x的零点是(1,0).(  )
    (2)图象连续的函数y=f(x)(x∈D)在区间(a,b)?D内有零点,则f(a)·f(b)<0.(  )
    (3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在b2-4ac<0时没有零点.(  )
    【答案】 (1)× (2)× (3))√
    【解析】 (1)f(x)=lg x的零点是1,故(1)错.
    (2)f(a)·f(b)<0是连续函数y=f(x)在(a,b)内有零点的充分不必要条件,故(2)错.
    【教材衍化】
    2.(必修1P92A2改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:
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  • ID:3-6137926 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题2.7 函数的图像

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第二篇 函数及其性质
    专题2.07 函数的图象
    【考试要求】
    1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数;
    2.会运用基本初等函数的图象分析函数的性质,解决方程解的个数与不等式解的问题.
    【知识梳理】
    1.利用描点法作函数的图象
    步骤:(1)确定函数的定义域;(2)化简函数解析式;(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等);(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等),描点,连线.
    2.利用图象变换法作函数的图象
    (1)平移变换
    
    (2)对称变换
    y=f(x)的图象y=-f(x)的图象;
    y=f(x)的图象y=f(-x)的图象;
    y=f(x)的图象y=-f(-x)的图象;
    y=ax(a>0,且a≠1)的图象y=logax(a>0,且a≠1)的图象.
    (3)伸缩变换
    y=f(x)y=f(ax).
    y=f(x)y=Af(x).
    (4)翻折变换
    y=f(x)的图象y=|f(x)|的图象;
    y=f(x)的图象y=f(|x|)的图象.
    【微点提醒】
    记住几个重要结论
    (1)函数y=f(x)与y=f(2a-x)的图象关于直线x=a对称.
    (2)函数y=f(x)与y=2b-f(2a-x)的图象关于点(a,b)中心对称.
    (3)若函数y=f(x)对定义域内任意自变量x满足:f(a+x)=f(a-x),则函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称.
    【疑误辨析】
    1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
    (1)函数y=f(1-x)的图象,可由y=f(-x)的图象向左平移1个单位得到.(  )
    (2)函数y=f(x)的图象关于y轴对称即函数y=f(x)与y=f(-x)的图象关于y轴对称.(  )
    (3)当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|)的图象与y=|f(x)|的图象相同.(  )
    (4)若函数y=f(x)满足f(1+x)=f(1-x),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称.(  )
    【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)√
    【解析】 (1)y=f(-x)的图象向左平移1个单位得到y=f(-1-x),故(1)错.
    (2)两种说法有本质不同,前者为函数的图象自身关于y轴对称,后者是两个函数的图象关于y轴对称,故(2)错.
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  • ID:3-6137925 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题2.6 对数与对数函数

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第二篇 函数及其性质
    专题2.06 对数与对数函数
    【考试要求】
    1.理解对数的概念和运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;2.通过具体实例,了解对数函数的概念.能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点;
    3.知道对数函数y=logax与指数函数y=ax互为反函数(a>0,且a≠1).
    【知识梳理】
    1.对数的概念
    如果ax=N(a>0,且a≠1),那么x叫做以a为底N的对数,记作x=logaN,其中a叫做对数的底数,N叫做真数.
    2.对数的性质、换底公式与运算性质
    (1)对数的性质:①alogaN=N;②logaab=b(a>0,且a≠1).
    (2)对数的运算法则
    如果a>0且a≠1,M>0,N>0,那么
    ①loga(MN)=logaM+logaN;
    ②loga=logaM-logaN;
    ③logaMn=nlogaM(n∈R);
    ④loga mMn=logaM(m,n∈R,且m≠0).
    (3)换底公式:logbN=(a,b均大于零且不等于1).
    3.对数函数及其性质
    (1)概念:函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).
    (2)对数函数的图象与性质
    a>1
    0
    图象
    
    
    
    性质
    定义域:(0,+∞)
    
    
    值域:R
    
    
    当x=1时,y=0,即过定点(1,0)
    
    
    当x>1时,y>0;
    当0当x>1时,y<0;
    当00
    
    
    在(0,+∞)上是增函数
    在(0,+∞)上是减函数
    
    4.反函数
    指数函数y=ax(a>0,且a≠1)与对数函数y=logax(a>0,且a≠1)互为反函数,它们的图象关于直线y=x对称.
    【微点提醒】
    1.换底公式的两个重要结论
    (1)logab=;(2)logambn=logab.
    其中a>0,且a≠1,b>0,且b≠1,m,n∈R.
    2.在第一象限内,不同底的对数函数的图象从左到右底数逐渐增大.
    3.对数函数y=logax(a>0,且a≠1)的图象过定点(1,0),且过点(a,1),,函数图象只在第一、四象限.
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  • ID:3-6137923 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题2.5 指数与指数函数

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第二篇 函数及其性质
    专题2.05 指数与指数函数
    【考试要求】
    1.通过对有理数指数幂a(a>0,且a≠1;m,n为整数,且n>0)、实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)含义的认识,了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性质;
    2.通过具体实例,了解指数函数的实际意义,理解指数函数的概念;
    3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的单调性与特殊点.
    【知识梳理】
    1.根式
    (1)概念:式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.
    (2)性质:()n=a(a使有意义);当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=|a|=
    2.分数指数幂
    (1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
    (2)有理指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.
    3.指数函数及其性质
    (1)概念:函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是自变量,函数的定义域是R,a是底数.
    (2)指数函数的图象与性质
    a>1
    0
    图象
    
    
    
    定义域
    R
    
    值域
    (0,+∞)
    
    性质
    过定点(0,1),即x=0时,y=1
    
    
    当x>0时,y>1;
    当x<0时,0当x<0时,y>1;
    当x>0时,0
    
    在(-∞,+∞)上是增函数
    在(-∞,+∞)上是减函数
    
    【微点提醒】
    1.画指数函数y=ax(a>0,且a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1),.
    2.在第一象限内,指数函数y=ax(a>0且a≠1)的图象越高,底数越大.
    【疑误辨析】
    1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
    (1)=-4.(  )
    (2)(-1)=(-1)=.(  )
    (3)函数y=2x-1是指数函数.(  )
    (4)函数y=ax2+1(a>1)的值域是(0,+∞).(  )
    【答案】 (1)× (2)× (3)× (4)×
    【解析】 (1)由于==4,故(1)错.
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  • ID:3-6137921 2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题2.4 幂函数与二次函数

    高中数学/高考专区/一轮复习


    第二篇 函数及其性质
    专题2.04 幂函数与二次函数
    【考试要求】
    1.通过具体实例,结合y=x,y=,y=x2,y=,y=x3的图象,理解它们的变化规律,了解幂函数;
    2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.
    【知识梳理】
    1.幂函数
    (1)幂函数的定义
    一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.
    (2)常见的5种幂函数的图象
    
    (3)幂函数的性质
    ①幂函数在(0,+∞)上都有定义;
    ②当α>0时,幂函数的图象都过点(1,1)和(0,0),且在(0,+∞)上单调递增;
    ③当α<0时,幂函数的图象都过点(1,1),且在(0,+∞)上单调递减.
    2.二次函数
    (1)二次函数解析式的三种形式:
    一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).
    顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).
    零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.
    (2)二次函数的图象和性质
    函数
    y=ax2+bx+c(a>0)
    y=ax2+bx+c(a<0)
    
    图象
    (抛物线)
    
    
    
    定义域
    R
    
    值域
    
    
    
    对称轴
    x=-
    
    顶点
    坐标
    
    
    奇偶性
    当b=0时是偶函数,当b≠0时是非奇非偶函数
    
    单调性
    在上是减函数;
    在上是增函数
    在上是增函数;
    在上是减函数
    
    【微点提醒】
    1.二次函数的单调性、最值与抛物线的开口方向和对称轴及给定区间的范围有关.
    2.若f(x)=ax2+bx+c(a≠0),则当时恒有f(x)>0,当时,恒有f(x)<0.
    【疑误辨析】
    1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)
    (1)函数y=2x是幂函数.(  )
    (2)当n>0时,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.(  )
    (3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.(  )
    (4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是.(  )
    【答案】 (1)× (2)√ (3)× (4)×
    【解析】 (1)由于幂函数的解析式为f(x)=xα,故y=2x不是幂函数,(1)错.
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    2020年高考数学一轮复习对点提分(文理科通用)(解析版)专题2.4 幂函数与二次函数 .doc

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