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琴心剑胆123

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  • ID:3-6495384 高中数学第一章集合与函数概念1.3函数的基本性质知识导航素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.3 函数的基本性质/本节综合


    1.3 函数的基本性质
    名师导航
    知识梳理
    1.函数的单调性
    如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1如果对于属于定义域A内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1如果函数f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做f(x)的_________.
    求函数的单调区间,必须先求函数的_________.
    讨论函数y=f[φ(x)]的单调性时要注意两点:
    (1)若u=φ(x),y=f(u)在所讨论的区间上都是增函数或都是减函数,则y=f[φ(x)]为_________;
    (2)若u=φ(x),y=f(u)在所讨论的区间上一个是增函数,另一个是减函数,则y=f[φ(x)]为_________.
    若函数f(x)、g(x)在给定的区间上具有单调性,利用增(减)函数的定义容易证得,在这个区间上:
    (1)函数f(x)与f(x)+C(C为常数)具有_________的单调性.
    (2)C>0时,函数f(x)与C·f(x)具有_________的单调性;C<0时,函数f(x)与C·f(x)具有_________的单调性.
    (3)若f(x)≠0,则函数f(x)与具有_________的单调性.
    (4)若函数f(x)、g(x)都是增(减)函数,则f(x)+g(x)仍是增(减)函数.
    (5)若f(x)>0,g(x)>0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·g(x)是_________(_________)函数;若f(x)<0,g(x)<0,且f(x)与g(x)都是增(减)函数,则f(x)·g(x)是_________ (_________)函数.
    根据定义讨论(或证明)函数增减性的一般步骤是:
    (1)设x1、x2是给定区间内的任意两个值且x1(2)作差f(x1)-f(x2),并将此差化简、变形;
    (3)判断f(x1)-f(x2)的正负,从而证得函数的增减性.
    利用函数的单调性可以把函数值的大小比较的问题转化为自变量的大小比较的问题.
    函数的单调性只能在函数的定义域内来讨论.这即是说,函数的单调区间是其定义域的_________.
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  • ID:3-6495382 高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性教材梳理素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.3 函数的基本性质/1.3.2奇偶性


    1.3.2 奇偶性
    疱丁巧解牛
    知识·巧学·升华
    一、函数奇偶性的定义
    1.奇函数
    一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
    例如:函数f(x)=x3,它的定义域为R,因f(x)=x3,f(-x)=(-x)3=-x3,所以f(-x)=-f(x),即对于定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x).所以它是奇函数.
    2.偶函数
    一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
    例如:函数f(x)=x2,它的定义域为R,因为f(-x)=(-x)2=x2=f(x),即对于定义域的任意一个x都有f(-x)=f(x),所以它是偶函数.
    要点提示 注意此处空半格函数的奇偶性是研究f(-x)与f(x)之间关系的,其中f(-x)是把f(x)解析式中的x换成“-x”而得到的.
    因为x∈D,-x∈D,所以奇偶函数的定义域必关于原点对称. 因此判断函数奇偶性的关键是先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
    函数包括奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四类.
    二、奇偶函数的图象特征
    1.奇函数的图象关于原点成中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
    若f(x)为奇函数,(x,f(x))在图象上,则(-x,f(-x))即(-x,-f(x))也在f(x)的图象上.
    2.偶函数的图象关于y轴对称;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.
    若f(x)为偶函数,(x,f(x))在图象上,则(-x,f(-x))即(-x,f(x))也在f(x)的图象上.
    如果知道一个函数是奇函数或偶函数,则只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分,得出函数在一部分上的性质和图象,就可推出函数在另一部分上的性质和图象.
    我们不难发现,如果奇函数y=f(x)的定义域内有零,则由奇偶函数的定义知f(-0)=-f(0),即f(0)=-f(0).∴f(0)=0.
    误区警示 注意此处空半格图象关于坐标原点或y轴对称,指的是函数图象本身,而不是两个函数图象之间的关系.
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  • ID:3-6495380 高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性备课资料素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.3 函数的基本性质/1.3.2奇偶性


    1.3.2 奇偶性
    备课资料
    奇、偶函数的性质
    (1)奇偶函数的定义域关于原点对称;奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y轴对称.
    (2)奇偶性是函数的整体性质,对定义域内任意一个x都必须成立.
    (3)f(-x)=f(x)f(x)是偶函数,f(-x)=-f(x)f(x)是奇函数.
    (4)f(-x)=f(x)f(x)-f(-x)=0,f(-x)=-f(x)f(x)+f(-x)=0.
    (5)两个奇函数的和(差)仍是奇函数,两个偶函数的和(差)仍是偶函数.
    奇偶性相同的两个函数的积(商、分母不为零)为偶函数,奇偶性相反的两个函数的积(商、分母不为零)为奇函数;如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相同,那么复合函数y=f[g(x)]是偶函数,如果函数y=f(x)和y=g(x)的奇偶性相反,那么复合函数y=f[g(x)]是奇函数,简称为“同偶异奇”.
    (6)如果函数y=f(x)是奇函数,那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相同的单调性;如果函数y=f(x)是偶函数,那么f(x)在区间(a,b)和(-b,-a)上具有相反的单调性.
    (7)定义域关于原点对称的任意函数f(x)可以表示成一个奇函数与一个偶函数的和,即
    f(x)=.
    (8)若f(x)是(-a,a)(a>0)上的奇函数,则f(0)=0;
    若函数f(x)是偶函数,则f(x)=f(-x)=f(|x|)=f(-|x|).
    若函数y=f(x)既是奇函数又是偶函数,则有f(x)=0.
    本章复习
    整体设计
    教学分析
    本节课是对第一章的基本知识和方法的总结与归纳,从整体上来把握本章,使学生的基本知识系统化和网络化,基本方法条理化.本章三部分内容是独立的,但是又相互联系,集合是基础,用集合定义函数,将函数拓展为映射,层层深入,环环相扣,组成了一个完整的整体.
    三维目标
    通过总结和归纳集合与函数的知识,能够使学生综合运用知识解决有关问题,培养学生分析、探究和思考问题的能力,激发学生学习数学的兴趣,培养分类讨论的思想和抽象思维能力.
    重点难点
    教学重点:①集合与函数的基本知识.
    ②含有字母问题的研究.
    ③抽象函数的理解.
    教学难点:①分类讨论的标准划分.
    ②抽象函数的理解.
    课时安排
    1课时
    教学过程
    导入新课
    思路1.建设高楼大厦的过程中,每建一层,都有质量检查人员验收,合格后,再继续建上一层,否则返工重建.我们学习知识也是这样,每学完一个章节都要总结复习,引出课题.
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  • ID:3-6495379 高中数学第一章集合与函数概念1.3.1函数概念及性质备课资料素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.3 函数的基本性质/1.3.1单调性与最大(小)值


    1.3.1 函数概念及性质
    备课资料
    知识点总结——函数概念及性质
    1.函数的概念:设A、B是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作:y=f(x),x∈A.其中,x叫做自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域.
    如果只给出解析式y=f(x),而没有指明它的定义域,则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合;函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式.
    能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域,求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:分式的分母不等于零; 偶次方根的被开方数不小于零;对数式的真数必须大于零;如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的,那么它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合;实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.求出不等式组的解集即为函数的定义域.
    2.构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域.
    构成函数的三个要素是定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的,所以,如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数);两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致,而与表示自变量和函数值的字母无关.相同函数的判断方法:①表达式相同;②定义域一致(两点必须同时具备).
    函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域;应熟悉掌握一次函数、二次函数,它是求解复杂函数值域的基础;求函数值域的常用方法有:直接法、换元法、配方法、判别式法、单调性法等.
    3.函数图象知识归纳
    定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x) (x∈A)中的x为横坐标,函数值y为纵坐标的点P(x,y)的集合C,叫做函数 y=f(x)(x ∈A)的图象.C上每一点的坐标(x,y)均满足函数关系y=f(x),反过来,以满足y=f(x)的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x,y),均在C上,即记为C={ P(x,y) | y= f(x), x∈A}.图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线),也可能是由与任意平行于y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成.
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  • ID:3-6495377 高中数学第一章集合与函数概念1.3.1函数的奇偶性备课资料素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.3 函数的基本性质/1.3.1单调性与最大(小)值


    1.3.1 函数的奇偶性
    备课资料
    备用题精选
    1.选择题
    (1)若函数y=f(x-1)是偶函数,则函数y=f(x)的图象关于
    A.直线x=-1对称 B.直线x=1对称
    C.直线x=对称 D.y轴对称
    (2)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0)上f(x)是单调增函数,那么当x1<0,x2>0且x1+x2<0时,有
    A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)<f(-x2)
    C.f(-x1)=f(-x2) D.无法确定
    (3)如果f(x)是奇函数,而且在开区间(-∞,0)上是增函数,又f(2)=0,那么xf(x)<0的解集为
    A.{x|-2<x<0或0<x<2} B.{x|-2<x<0或x>2}
    C.{x|x<-2或0<x<2} D.{x|x<-3或x>3}
    (4)已知奇函数f(x)的定义域是x≠0的实数,且f(x)在(0,+∞)内单调递增,则f(-2),f(1),f(-1)的大小关系是
    A.f(-2)<f(-1)=f(1) B.f(-2)<f(-1)<f(1)
    C.f(-2)>f(-1)>f(1) D.大小关系不同以上结论
    (5)已知函数f(x)是偶函数,x∈R,当x<0时,f(x)单调递增,对于x1<0,x2>0有|x1|<|x2|,则
    A.f(-x1)>f(-x2) B.f(-x1)<f(-x2)
    C.f(-x1)=f(-x2) D.|f(-x1)|<|f(-x2)|
    (6)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,g(x)是定义在R上的偶函数,且f(x)-g(x)=1-x2-x3,则g(x)的解析式为
    A.1-x2 B.2-2x2 C.x2-1 D.2x2-2
    (7)已知函数f(x)=ax5+bx3+cx+8,且f(-2)=10,则f(2)的值是
    A.-2 B.-6 C.6 D.8
    (8)设函数f(x)=x2-2x-8,则函数f(2-x2)在
    A.区间[-2,0]上是减函数 B.区间[0,2]上是减函数
    C.区间[-1,0]上是增函数 D.区间[0,1]上是增函数
    2.填空
    (1)若f(x)是奇函数,f(x)在x=0处有定义,则f(0)=________.
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  • ID:3-6495376 高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小值)教材梳理素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.3 函数的基本性质/1.3.1单调性与最大(小)值


    1.3.1 单调性与最大(小)值
    疱丁巧解牛
    知识·巧学·升华
    一、单调性
    1.增函数和减函数
    一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
    如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.
    
    要点提示 注意此处空半格函数的单调性是相对于函数定义域I内的某个区间D而言的,显然DI.
    对于给定定义域内的任意两个不同的自变量,当函数值的改变量与自变量的改变量符号相同时,即为增函数;符号相反时,即为减函数.
    若函数y=f(x)在区间D上是增函数,反映到图象上,从左至右呈上升趋势,反之,呈下降趋势.
    2.单调性与单调区间
    如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性,区间M称为单调区间.
    依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤:
    (1)取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1<x2.
    (2)作差变形.求f(x2)-f(x1),通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.
    (3)定号.根据给定的区间和x2-x1的符号确定f(x2)-f(x1)的符号.当符号不确定时,可以进行分类讨论.
    (4)判断.根据单调性定义作出结论.
    即取值——作差——变形——定号——判断.
    函数f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,即若证明f(x)在[a,b]上是递增的,就必须证明对于区间[a,b]上任意的两个自变量x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)成立,而不可以用两个特殊值来替换,但是要否定一个函数在某一区间上的单调性,只要举一个反例即可.
    误区警示 注意此处空半格函数单调性定义中的x1、x2有三个特征:一是同属一个单调区间;二是任意性,即“任意”取x1、x2,“任意”二字决不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;三是有大小,通常规定x1<x2.三者缺一不可.
    二、函数的最大(小)值
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  • ID:3-6495374 高中数学第一章集合与函数概念1.2函数及其表示知识导航素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.2 函数及其表示/本节综合


    1.2 函数及其表示
    名师导航
    知识梳理
    1.函数的概念
    设A、B是非空的数集,如果按某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个x,在集合B中都有_________的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫_________,x的取值范围A叫做函数y=f(x)的_________;与x的值相对应的y的值叫做函数值,函数值的集合{f(x)|x∈A}(B)叫做函数y=f(x)的_________.
    (1)函数实际上就是集合A到集合B的一个特殊对应,这里f:A→B,这里A、B为的_____数集.
    (2)A:定义域,原象的集合;{f(x)|x∈A}:值域,象的集合,其中{f(x)|x∈A}_________B;f:对应法则,x∈A,y∈B.
    (3)函数符号:y=f(x)y是x的函数,简记f(x).
    2.已学函数的定义域和值域
    (1)一次函数:f(x)=ax+b(a≠0):定义域为_________,值域为_________.
    (2)反比例函数:f(x)=(k≠0):定义域为_________,值域为_________.
    (3)二次函数:f(x)=ax2+bx+c(a≠0):定义域为_________,值域_________:当a>0时,为_________;当a<0时,为_________.
    3.函数的三要素
    函数的三要素是_________、_________和_________.
    只有当这三要素_________时,两个函数才能称为同一函数.
    4.函数的表示方法
    主要有三种常用的表示方法,即_________法、_________法和_________法.
    (1) _________法:把一个函数用一个式子表示,这种表示函数的方法叫做解析法.
    (2) _________法:把两个变量的一系列对应值列成一个表,这种表示方法叫做列表法.
    (3) _________法:把两个变量之间的关系用图象表示,这种方法叫做图象法.
    5.“区间”的概念
    设a、b是两个实数且a(1)满足不等式a≤x≤b的实数x的集合叫做_________,表示为[a,b].
    (2)满足不等式a(3)满足不等式a≤x================================================
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  • ID:3-6495372 高中数学第一章集合与函数概念1.2函数的图象备课资料素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.2 函数及其表示/本节综合


    1.2 函数的图象
    教师下载中心
    教学点睛
    本课时复习的内容是函数的图象,函数的图象直观地反映了函数的性质,通过函数图象的变换(平移变换、对称变换、伸缩变换)规律和函数的性质的进一步复习,提高答题速度和准确率.函数的图象变换是互逆的,复习时要善于从函数图象的变换规律、特殊点、定义域、值域、单调性、奇偶性等各个角度来对图象进行分析,以选取最优解法.
    拓展题例
    【例1】 在函数y=logax(0(1)求S关于t的函数表达式;
    (2)判断S(t)的单调性;
    (3)求函数S(t)的值域.
    解:(1)如右图所示,设A′、B′、C′是A、B、C在x轴上的射影,则A(t,logat),B(t+2,loga(t+2)),C(t+4,loga(t+4));设BB′与AC相交于点D,则可得D(t+2,).
    
    于是S(t)=|A′C′|·|BD|
    =·4·[-loga(t+2)]
    =2loga
    =loga(0(2)由S(t)=loga[](0(3)当t=1时,S(t)取最大值为loga.
    又当t→+∞时,S(t)→0,
    ∴S(t)的值域为(0,loga ).
    【例2】已知函数f(x)=x2+lnx.
    (Ⅰ)求函数f(x)在区间[1,e]上的最大值和最小值;
    (Ⅱ)求证:在区间(1,+∞)上函数f(x)的图象在函数g(x)=x3的图象的下方;
    (Ⅲ)设h(x)=f′(x),证明:[h(x)]n-h(xn)≥2n-2.
    解析:(Ⅰ)f′(x)=x+,当x∈[1,e]时,f′(x)>0,
    ∴f(x)在[1,e]上为连续的单调递增函数.
    ∴fmin(x)=f(1)=,fmax(x)=f(e)=e2+1.
    (Ⅱ)设F(x)=f(x)-g(x)=x2+lnx-x2,
    又F′(x)=x+-2x2===
    当x∈(1,+∞)时,1-x<0,x>0,2x2+x+1>0成立,
    ∴F′(x)<0,即在[1,+∞]上连续的函数F(x)单调递减,
    ∴x∈(1,+∞)时,F(x)================================================
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  • ID:3-6495371 高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法教材梳理素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.2 函数及其表示/1.2.2函数的表示法


    1.2.2 函数的表示法
    疱丁巧解牛
    知识·巧学·升华
    一、函数的表示方法
    表示函数常用的三种方法是解析法、图象法、列表法 .
    1.解析法(公式法)
    用数学表达式表示两个变量之间的对应关系,这个表达式叫做函数的解析表达式,这种表达函数的方法叫做解析法.如y=2x-1,y=x2-2x-3,y=等.
    解析法的优点在于:一是从“数”的方面简明、全面地概括了变量间的数量关系;二是可以通过解析式求出任意一个自变量的值所对应的函数值.解析法是表示函数的一种最重要的方法.但并不是所有的函数都能用解析法去表示.
    2.图象法
    通过函数图象表示两个变量之间的关系的方法.
    图象法的优点是能够直观形象地表示自变量的变化,相应的函数值的变化趋势也一目了然.可以通过图象来研究函数的某些性质,它从“形”的方面刻画了函数关系.
    函数的图象不一定是一条连续的曲线,也可以由一些孤立的点、线段等图形构成.
    3.列表法
    通过列出自变量与对应函数值来表达函数关系的方法叫做列表法.
    例如,火车站的列车时刻表,银行发行的利率表,工厂中每月的产值及利润报表,甚至我们历次考试的成绩一览表等.又例如,新中国成立后共进行了五次人口普查,各次普查得到的人口数据如下表所示.这张表清楚地表达了年份与当年我国总人口(单位:亿)的函数关系.从这张表,我们可从年份查出当年我国的人口总数.
    年 份
    1953
    1964
    1982
    1990
    1995
    
    总人口数(亿)
    5.9
    6.9
    10.1
    11.0
    12.1
    
     从这张表中,我们能清楚地看出这个函数的定义域为{1953,1964,1982,1990,1995},值域为{5.9,6.9,10.1,11.0,12.1}.
    利用列表法表示的函数也可解决相应的数学问题.列表法也是表示函数的一种方法,它常适合于定义域是有限集的函数,列表时要注意自变量与函数值应对应,所列图表是否是函数的唯一依据仍然是函数的定义.
    列表法是表示函数的一种方法,此法的优点是不需计算就可以直接看出与自变量的值相对应的函数值.
    二、分段函数
    函数的表达式是分段表示的,即函数与自变量的关系不是只满足一个式子,而是在不同范围内有不同的对应关系,这样的函数关系是分段函数.分段函数是一个函数而不是几个函数.如教材中例5、例6所体现变量之间的函数关系都是分段函数.
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  • ID:3-6495369 高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法2备课资料素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.2 函数及其表示/1.2.2函数的表示法


    1.2.2 函数的表示法
    备课资料
    介绍两款数学函数作图软件
    数与形是数学中两个非常基本的对象,它们在一定条件下可以相互转化.数形结合不仅是一种重要的解题方法,也是一种重要的思维方法,利用数形的辩证统一和各自的优势对分析问题和解决问题都有很大的帮助.下面推荐两款数学函数作图软件,它们可以很好地将数与形结合起来.
    Equation Grapher 3.2
    软件大小:1074KB
    软件语言:英文
    运行环境:Windows 9x/Me/NT/2000/XP
    下载地址:www.cce.com.cn/soft
    这是一款函数图象的作图工具(如下图),只要给它一个函数方程式,就可以帮你画出曲线图,并有12种不同的曲线颜色来区别,还可以将函数图象绘制好后通过打印机输出或保存为位图.
    
    该软件还是一款函数作图与分析的工具.画完一幅图后,程序可自动寻找根、极值点、交叉点.同时带有计算功能,可以让软件自动寻找函数的最大值、最小值,还可以完成根据x求y值或根据y求x值等等运算.
    软件还有一些其他功能,包括缩放、网格背景设置、x/y轴标注更改、图形存储(BMP/GIF)、图形打印、粘贴到字处理软件等等.
    SmartGraph
    软件大小:1317KB
    软件语言:简体中文
    运行环境:Windows 9x/Me/NT/2000/XP
    下载地址:wcce.com.cn/softSmartGraph
    这是一款数学函数作图器(如下图),支持以下四种曲线模型:
    
    1.y=f(x)普通方程
    2.x=f(y)普通方程
    3.x=f(t) y=g(t)参数方程
    4.r=f(z)极坐标方程
    另外,软件支持坐标平移,同时对直线和圆锥曲线进行了特别优化.SmartGraph支持曲线的个性设置,如颜色、宽度等.坐标外观也可以完全自定义,如颜色、线条样式、坐标单位等.SmartGraph支持将函数图象导出成BMP图象,方便插入Word、PowerPoint等软件中.
    SmartGraph内包括多个小工具,如表达式计算器,点线位置关系计算器,线线位置关系计算器等.
    比较项目
    Equation Grapher3.2
    SmartGraph
    
    函数输入
    面板输入、键盘输入,方便简单
    键盘输入,较方便
    
    作图范围
    只要能给出函数解析式y=f(x)
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  • ID:3-6495368 高中数学第一章集合与函数概念1.2.2函数的表示法1备课资料素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.2 函数及其表示/1.2.2函数的表示法


    1.2.2 函数的表示法
    备课资料
    1.超市开进校园在上海已不是什么新鲜事,常有同学抱怨价格高,殊不知商家赚钱也不容易,双休日里虽没有什么收入,但固定的开支可一样不少.
    某超市公司在一所学校开设连锁店,每月租金、员工工资、设备损耗等固定成本2万元.每进货价值千元的商品,从进货到上架销售需25元额外费用.经过一段时间试营业后,公司发现学校内消费群体相对固定,且每天在超市有总量不低于2千元、不超过3千元的消费,每月平均可以保证有22个正常营业日.公司打算在该连锁店每月赚得1万元的利润,问进价价值千元的商品,应以多少元零售价出售
    问题解决策略:按问题需要设未知数,列出单价、销售与利润的关系式,主要涉及一次函数,需要对实际问题进行合理简化.
    解:设每月进价值x千元的货物,则每月总成本为C=20000+25x+1000x元.再设进价价值1千元的货物,以a元零售价出售,则每月利润为L=(a-25-1000)x-20000元(假设每月进货全部售完).
    由于每个营业日进超市消费总额不低于2千元、不高于3千元,按每天2千元的进货规模,是能售完的,这样每月进货2×22=44(千元),要完成1万元的利润,则有10000=(a-1025)×44-20000,解得a=+1025=1706.8≈1707(元),
    即每千元进价的商品需以1707元的零售价出售方可保证每月赚得1万元.这时平均每天可实现销售额2000×=3414元.
    演变与拓展:上面问题中的校园超市中,一种纸盒装1000毫升牛奶标价6.9元,问该品种牛奶进价约多少元
    解:设进价x元,则x·=6.9,解得x≈4.04,即该品种牛奶进价约4元.
    2.利用《几何画板》画出函数y=x2-3x+2的图象.
    画法如下:
    (1)启动《几何画板》,依次选择“文件”→“新画板”菜单命令,建立新文件.
    (2)选择“图表”→“定义坐标系”菜单命令,在操作区中建立直角坐标系.
    (3)选择“图表”→“隐藏网格”菜单命令,隐藏坐标系中的网格.
    (4)单击工具箱上的“文本”工具,单击坐标系的原点和单位点,显示标签,并双击修改标签,原点标签为“0”,单位点标签为“1”.
    (5)单击工具箱上的“画点”工具,在x轴上任取一点,双击修改标签为A.
    (6)单击工具箱上“度量”→“横坐标”菜单命令.
    (7)单击工具箱上“度量”→“计算”菜单命令.
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  • ID:3-6495365 高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念教材梳理素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.2 函数及其表示/1.2.1函数的概念


    1.2.1 函数的概念
    疱丁巧解牛
    知识·巧学·升华
    一、函数
    1.函数的定义
    函数的传统定义:设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量.
    函数的近代定义:一般地,设A、B都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
    不难发现{f(x)|x∈A}B.
    要点提示 注意此处空半格函数是一种特殊的对应,要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:
    ①定义域和对应法则是否给出;
    ②根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都有唯一确定的函数值y与之对应.
    2.函数的三要素
    (1)定义域
    定义域是自变量x的取值范围,有时函数的定义域可以省略,如果未加特殊说明,函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中,还必须考虑自变量x所代表的具体量的允许值范围,
    例如:函数y=,由于没有指出它的定义域,则我们认为它的定义域是x≥-3且x≠0的实数.又如:一矩形的宽为x m,长是宽的2倍,其面积为y=2x2,此函数的定义域为x>0而不是全体实数.
    要点提示 注意此处空半格求函数的定义域,应考虑分式的分母不为零,根式有意义等,遇到实际问题还必须考虑自变量x所代表的具体量有实际意义.
    (2)对应法则
    对应法则f是核心,它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”,是连结x与y的纽带,按照这一“程序”,从定义域集合A中任取一个x,可得到值域{y|y=f(x)且x∈A}中唯一y与之对应.一般地,函数f(x)中,“f”可以用具体的文字来描述,如f(x)=x2,f表示为“求平方”;f(x)=2x+1,f表示为“乘2加1”.但有时,由于函数f(x)没有解析式,如教材实例(2)(3),我们就无法用文字写出它的对应法则,同一“f”,可以“操作”于不同形式的变量,如f(x)是对x进行操作,而f(x2)是对x2进行“操作”,f(3)是对3进行“操作”.由此可知,对应法则f可以用具体的文字来表述,也可以用图象或列表来表达.
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  • ID:3-6495364 高中数学第一章集合与函数概念1.1集合知识导航素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.1 集合/本节综合


    1.1 集合
    名师导航
    知识梳理
    一、集合的含义与表示
    (一)集合的概念与分类
    1.集合的概念:一些点、一些图形、一些数、一些整式或是一些物体等作为对象组成的整体,都可称为是一个集合.集合中的各个对象叫做这个集合的________
    2.集合中元素的特征: ________、________、________.
    3.集合的分类:(1): ________含有有限个元素的集合;
    (2) ________:含有无限个元素的集合;
    (3) ________:不含任何元素的集合,记作.如平方等于-1的实数.
    (二)集合的表示法
    1.字母表示法:
    (1)一般用大写字母表示集合——如A,B,C,M,N……
    (2)一般用小写字母表示集合中的元素——如a,b,c,m,n……
    (3)常用数集的字母表示:自然数集——________;整数集——________;有理数集——________;实数集——________;
    强调:实数集不可记为{R}或{实数集},0≠≠{},≠{0},≠{空集}.
    2. ________法:把集合中的全部元素一一列举出来,写在大括号内表示集合的方法.
    3. ________法:把集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法.
    4.图示法:画一条封闭的曲线,用它的内部来表示一个集合,常用于表示又需给具体元素的抽象集合,对已给出了具体元素的集合当然也可用图示法来表示.如:A={1,2,3,4}.
    
    Venn图
    图1-1-1
    (三)元素与集合的关系符号
    1.如果a是集合A中的元素,就说a属于集合A,记作________.
    2.如果a不是集合A中的元素,就说a不属于集合A,记作________.
    二、集合间的基本关系
    1.子集
    (1)集合与集合之间的“包含”与“相等”关系
    对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,我们就说集合A包含于集合B,或者说集合B包含集合A,记作A________B或B________A;
    当集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A时,记作A________B或B________A;
    对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素,我们就说集合A等于集合B,记作A=B.即若A________B,又B________A,则A=B.
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  • ID:3-6495362 高中数学第一章集合与函数概念1.1集合的基本运算——全集、补集备课资料素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.1 集合/本节综合


    1.1 集合的基本运算——全集、补集
    1.关于补集.新的国家标准规定,集合A中子集B的补集或余集记为AB(这里的“”是一个专门符号).
    2.通过以后进一步学习,集合的补集具有以下性质:
    (1)(UA)∪A=U;
    (2)U(UA)=A;
    (3)(UA)∩A=;
    (4)U(A∩B)=(UA)∪(UB);
    (5)U(A∪B)=(UA)∩(UB).
    以上性质可通过文氏图来理解和记忆.
    3.两集合的差集
    设M、P是两个非空集合,定义M与P的差集为M-P={x|x∈M且xP}.
    (1)设集合B={2,4,6,8},请你分别用列举法和描述法写出一个集合A,使得A-B={5};
    (2)请写出两组集合A、B,使得A-B={5};
    (3)从(2)中选出一组A、B,计算A-(A-B),在此基础上,请你写出有关集合A、B的其他表达式,使其结果与集合A-(A-B)相等.
    问题解答:(1)由差集的定义及题设条件A-B={5}知,5∈A,且A中若含有其他元素,则必是B中的元素.因此用列举法表示集合A,可以是{4,5,6}或{5},{2,5}等;
    若用描述法表示符合条件的A,可以先用列举法写出A,再从此集合出发来构造.如符合条件的A可以是{2,5}.用描述法表示可以是{x|(x-5)(x-2)=0},即{x|x2-7x+10=0,x∈R}.若A={4,5,6},用描述法表示,可以是{大于3且不大于6的正整数}.
    (2)由A-B={5}知,5∈A且5B,要写出符合条件的集合A、B,可先写出其中的一个集合,再按要求构造另一个集合.如可以设B={-5},则A={5,-5},用描述法表示可以是{x||x|=5,x∈R};或设A={x|5≤x≤6,x∈R},则集合B可以是{x|y=+,x∈R}.
    (3)取A={5,-5},B={-5},则A-B={5},A-(A-B)={-5}.而A∩B={-5},又B-A=,B-(B-A)={-5},可以猜测A-(A-B)=A∩B,A-(A-B)=
    B-(B-A).此两等式都是正确的.
    证明如下:设全集为U,由差集定义,“x∈A且xB”等价于“x∈A∩(UB)”.则A-B=A∩(UB),故A-(A-B)=A∩[U(A-B)]=A∩[U(A∩UB)]=A∩(UA∪B)=(A∩UA)∪(A∩B)=A∩B.
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  • ID:3-6495360 高中数学第一章集合与函数概念1.1.3集合的基本运算教材梳理素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.1 集合/1.1.3集合的基本运算


    1.1.3 集合的基本运算
    疱丁巧解牛
    知识·巧学·升华
    一、并集
    1.并集的定义
    一般地,由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,称为集合A与集合B的并集,记作A∪B,读作“A并B”,即A∪B={x|x∈A或x∈B}.
    2.并集的图形表示
    “A∪B”可用Venn图中的阴影部分来表示.
    
    3.并集的运算性质
    ①A∪B=B∪A; ②A∪A=A; ③A∪=∪A=A; ④如果AB,则A∪B=B.
    要点提示 注意此处空半格(1)并集是研究集合间关系的,能正确使用集合符号表示出并集,是求并集的关键.
    (2)用Venn图表示A∪B时,每一个图形扫过的面积都在“A∪B”中.
    (3)并集满足交换律;任何集合同自身或空集的并集等于集合自身;若A是B的子集,则A∪B=B.
    资料剖析 注意此处空半格(教材P9)例4
    剖析:若集合A、B是元素能够一一列举出来的有限集时,可直接求A∪B,但要注意两个集合的公共元素在并集中只能出现一次,如例4中A∪B的结果不能写成A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8},因为这种写法不符合集合中元素的互异性.
    资料剖析 注意此处空半格(课本P10)例5
    集合A={x|-1<x<2},集合B={x|1<x<3},求A∪B.
    剖析:由于集合A、B都是无限数集,A、B的元素无法一一写出来,此时要求A∪B只能借助于数轴的直观性求解,由于集合A中不含有-1,2,集合B中不含有-1,3,所以在用数轴表示不等式的解集时,要把这些端点值用虚点来表示(包括时要用实点去表示).虽然A中不含2,但B中含有2;虽然B中不含1,但A中含有1,因此,在A∪B中含有数值1和2.
    二、交集
    1.交集的定义
    一般地,由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合,称为A与B的交集,记作A∩B,读作“A交B”,即A∩B={x|x∈A且x∈B}.
    集合的对象可以是自然界的所有事物,点集是数学中常见的一种集合,因此我们可以用集合的运算判断几何图形的位置关系.比如例7,由于L1,L2分别是直线l1,l2上点的集合,两条直线的位置关系就可以用集合的运算符号来表示了,即当l1与l2相交时,只有一个交点;当l1与l2平行时,没有交点,交集是空集;当l1与l2重合时,有无数个交点,交集是直线本身.若集合是用语言文字描述的,求它们的交集时,要紧扣交集的定义.又如若设C={圆C上的点},L={直线l上点},则
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  • ID:3-6495359 高中数学第一章集合与函数概念1.1.3集合的基本运算备课资料素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.1 集合/1.1.3集合的基本运算


    1.1.3 集合的基本运算
    备课资料
    [备选例题]
    【例1】已知A={y|y=x2-4x+6,x∈R,y∈N},B={y|y=-x2-2x+7,x∈R,y∈N},求A∩B,并分别用描述法、列举法表示它.
    解:y=x2-4x+6=(x-2)2+2≥2,A={y|y≥2,y∈N},
    又∵y=-x2-2x+7=-(x+1)2+8≤8,
    ∴B={y|y≤8,y∈N}.
    故A∩B={y|2≤y≤8}={2,3,4,5,6,7,8}.
    【例2】2006第十七届“希望杯”全国数学邀请赛(高一)第一试,1设S={(x,y)|xy>0},T={(x,y)|x>0且y>0},则( )
    A.S∪T=S B.S∪T=T C.S∩T=S D.S∩T=
    分析:S={(x,y)|xy>0}={(x,y)|x>0且y>0或x<0且y<0},则TS,所以S∪T=S.
    答案:A
    【例3】某城镇有1000户居民,其中有819户有彩电,有682户有空调,有535户彩电和空调都有,则彩电和空调至少有一种的有_______户.
    解析:设这1000户居民组成集合U,其中有彩电的组成集合A,有空调的组成集合B,如图11317所示.有彩电无空调的有819-535=284户;有空调无彩电的有682-535=147户,因此二者至少有一种的有284+147+535=966户.填966.
    
    图1-1-3-17
    差集与补集
    有两个集合A、B,如果集合C是由所有属于A但不属于B的元素组成的集合,那么C就叫做A与B的差集,记作A-B(或AB).
    例如,A={a,b,c,d},B={c,d,e,f},C=A-B={a,b}.
    也可以用韦恩图表示,如图1-1-3-18所示(阴影部分表示差集).
    
    图1-1-3-18 图1-1-3-19
    特殊情况,如果集合B是集合I的子集,我们把I看作全集,那么I与B的差集I-B,叫做B在I中的补集,记作.
    例如,I={1,2,3,4,5},B={1,2,3},=I-B={4,5}.
    也可以用韦恩图表示,如图11319所示(阴影部分表示补集).
    从集合的观点来看,非负整数的减法运算,就是已知两个不相交集合的并集的基数,以及其中一个集合的基数,求另一个集合的基数,也可以看作是求集合I与它的子集B的差集的基数.
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  • ID:3-6495357 高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系教材梳理素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.1 集合/1.1.2集合间的基本关系


    1.1.2 集合间的基本关系
    疱丁巧解牛
    知识·巧学·升华
    一、子集
    1.子集的定义
    一般地,对于两个集合A、B,如果集合A中任何一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系,称集合A为集合B的子集,子集是研究集合间的包含关系的,它仅仅与构成两个集合的元素有关.
    记作:AB(或BA),读作“A包含于B”(或B包含A).
    辨析比较 注意此处空半格元素和集合是从属关系,符号“∈”用在元素与集合之间;集合与集合之间是包含或相等的关系,符号“”用在集合与集合之间.
    2.子集的图形表示
    在数学中,我们经常用平面上封闭的内部代表集合,这种图称为Venn图.这样,上述集合A和集合B的包含关系,可以用下图表示.
    
    对于集合A、B、C,如果AB,BC,则AC.
    任何一个集合A都是它自身的子集,即AA.若AB,则可用Venn图表示它们之间的关系.
    
    即表示集合A、B的区域完全重合,或区域A在区域B的内部.
    要点提示 注意此处空半格(1)集合中的元素具有传递性.它类似于不等式的传递性,即若a≤b,b≤c,则a≤c.(2)Venn图可以形象直观地表示集合间的关系,表示集合的Venn图的边界是封闭曲线,它可以是圆、矩形,也可以是其他封闭曲线等.
    资料剖析 注意此处空半格(教材P8)思考
    [研析]{a}A表示的是集合与集合之间的关系,即集合{a}是集合A的子集,而a∈A表示的是集合的元素与集合之间的从属关系,即a是集合A的元素,如{1}{1,2,3},而1∈{1,2,3}.
    3.子集的语言表示
    集合A中的任何一个元素x,都满足x∈B,即任意x∈A,都有x∈B.或 ABx∈A,x∈B.
    例如:已知集合A={1,2},集合B={1,2,3},因为A中所有的元素1∈B,2∈B,所以AB.
    对于元素个数较少的有限集是如此,当给定的集合是元素个数较多的有限集或无限集呢?那只能根据给定集合的元素的性质去证明,若x∈A,则x∈B即可.特别地,当给定集合A、B的代表元素都是函数值时,要证明“AB”,只需比较两个函数的函数值的取值范围即可.例如:已知集合A={y|y=x2+1,x∈R},集合B={m|m=n2,n∈R},则集合A与B存在怎样的包含关系呢?显然集合A、B的代表元素都是实数,结合二次函数的性质化简它们得A={y|y≥1},B={m|m≥0},因为A中的所有元素都属于B,所以AB.
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  • ID:3-6495355 高中数学第一章集合与函数概念1.1.2集合间的基本关系备课资料素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.1 集合/1.1.2集合间的基本关系


    1.1.2 集合间的基本关系
    备课资料
    [备选例题]
    【例1】下面的Venn图中反映的是四边形、梯形、平行四边形、菱形、正方形这五种几何图形之间的关系,问集合A、B、C、D、E分别是哪种图形的集合?
    图1-1-2-6
    思路分析:结合Venn图,利用平面几何中梯形、平行四边形、菱形、正方形的定义来确定.
    解:梯形、平行四边形、菱形、正方形都是四边形,故A={四边形};梯形不是平行四边形、菱形、正方形,而菱形、正方形是平行四边形,故B={梯形},C={平行四边形};正方形是菱形,故E={正方形},
    即A={四边形},B={梯形},C={平行四边形},D={菱形},E={正方形}.
    【例2】2006全国高中数学联赛山东赛区预赛,3设集合A={x||x|2-3|x|+2=0},B={x|(a-2)x=2},则满足BA的a的值共有( )
    A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
    分析:由已知得A={x||x|=1或|x|=2}={-2,-1,1,2},集合B是关于x的方程(a-2)x=2的解集,
    ∵BA,∴B=或B≠.
    当B=时,关于x的方程(a-2)x=2无解,∴a-2=0.
    ∴a=2.当B≠时,关于x的方程(a-2)x=2的解x=∈A,
    ∴=-2或=-1或=1或=2.
    解得a=1或0或4或3,综上所得,a的值共有5个.
    答案:D
    【例3】集合A={x|0≤x<3且x∈N}的真子集的个数是( )
    A.16 B.8 C.7 D.4
    分析:A={x|0≤x<3且x∈N}={0,1,2},则A的真子集有23-1=7个.
    答案:C
    【例4】已知集合A={x|1≤x≤3},B={x|(x-1)(x-a)=0},试判断集合B是不是集合A的子集?是否存在实数a使A=B成立?
    解析:先在数轴上表示集合A,然后化简集合B,由集合元素的互异性,可知此时应考虑a的取值是否为1,要使集合B成为集合A的子集,集合B的元素在数轴上的对应点必须在集合A对应的线段上,从而确定字母a的分类标准.
    当a=1时,B={1},所以B是A的子集;当13时,B不是A的子集.综上可知,当1≤a≤3时,B是A的子集.
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  • ID:3-6495352 高中数学第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示教材梳理素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.1 集合/1.1.1集合的含义与表示


    1.1.1 集合的含义与表示
    疱丁巧解牛
    知识·巧学·升华
    一、集合与元素
    1.元素与集合的概念
    一般地,我们把某些指定的对象集在一起就成为一个集合,也简称为集,常用大写字母A、B、C、D…表示;集合中的每个对象叫做元素,常用小写字母a、b、c、d…表示;例如“高一(3)班的全体同学”“方程x2-5x+6=0的实根”“数轴上的所有点”分别作为一个整体看待时,都是集合,其元素分别为“高一(3)班的每一个同学”“2,3”“数轴上的每一个点”.
    要点提示 注意此处空半格“集合”是数学的一个基本概念,它同“点”、“线”、“面”等概念一样都是不定义的概念.本书中所谓集合的概念,也只是一个描述性的说明.
    2.集合中元素的特性
    (1)确定性——因集合是由“指定的对象在一起”所组成的整体,既然其中的元素都是“指定的对象”,那么,集合中元素当然是确定的;即设A是一个集合,a是某一具体对象,则a或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立.
    判断一组对象的全体是否构成集合,关键是看能否找到一个明确的标准,来判定整体中的元素是否是确定的.若元素确定,则可构成集合;若元素不确定,则不能构成集合.例如:“我们学校高一(3)班的同学”构成一个集合,“中国的四大佛教名山”也可以构成一个集合,因为它们都有一个确定的标准,可以判定某一同学或某一座山是不是该集合的元素.而“善良的人”、“美丽的花”等不能构成集合,为什么?因为我们无法找到一个标准来确定什么样的人是“善良的人”,什么样的花才算“美丽的花”.
    (2)互异性——集合中的元素是互不相同的,若出现了两个(或几个)相同的元素只能算作一个,即集合中的元素不能重复.
    例如,方程(x-1)2(x+1)=0的所有根组成的集合.它的根是x1=x2=1,x3=-1,其中二重根是x1=x2=1,写入集合时只能出现一次,即只能写成由-1和1两个元素组成的集合,而不能写成由1、-1、1三个元素组成的集合.
    (3)无序性——集合中的元素无先后次序之分.
    只要构成两个集合的元素是一样的,我们就称这两个集合是相等的.也就是说,两个集合是否相等只与构成两个集合的元素有关,而与元素的排列顺序无关.例如由元素a、b组成的集合与元素b、a组成的集合是相等的.
    3.元素与集合的从属关系
    集合是由元素组成的,元素与集合是“属于”与“不属于”的关系.
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  • ID:3-6495350 高中数学第一章集合与函数概念1.1.1集合的含义与表示备课资料素材新人教A版必修1

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第一章 集合与函数概念/1.1 集合/1.1.1集合的含义与表示


    1.1.1 集合的含义与表示
    备课资料
    [备选例题]
    【例1】判断下列集合是有限集还是无限集,并用适当的方法表示:
    (1)被3除余1的自然数组成的集合;
    (2)由所有小于20的既是奇数又是质数的正整数组成的集合;
    (3)二次函数y=x2+2x-10的图象上的所有点组成的集合;
    (4)设a、b是非零实数,求y=的所有值组成的集合.
    思路分析:本题主要考查集合的表示法和集合的分类.用列举法与描述法表示集合时,一要分清元素是什么,二要明确元素满足的条件是什么.
    解:(1)被3除余1的自然数有无数个,这些自然数可以表示为3n+1(n∈N).用描述法表示为{x|x=3n+1,n∈N}.
    (2)由题意得满足条件的正整数有:3,5,7,11,13,17,19.则此集合中的元素有7个,用列举法表示为{3,5,7,11,13,17,19}.
    (3)满足条件的点有无数个,则此集合中有无数个元素,可用描述法来表示.通常用有序数对(x,y)表示点,那么满足条件的点组成的集合表示为{(x,y)|y=x2+2x-10}.
    (4)当ab<0时,y==-1;当ab>0时,则a>0,b>0或a<0,b<0.
    若a>0,b>0,则有y==3;若a<0,b<0,则有y==-1.
    ∴y=的所有值组成的集合共有两个元素-1和3.则用列举法表示为{-1,3}.
    【例2】定义A-B={x|x∈A,xB},若M={1,2,3,4,5},N={2,3,6},试用列举法表示集合N-M.
    分析:应用集合A-B={x|x∈A,xB}与集合A、B的关系来解决.依据定义知N-M就是集合N中除去集合M和集合N的公共元素组成的集合.观察集合M、N,它们的公共元素是2,3.集合N中除去元素2,3还剩下元素6,则N-M={6}.
    答案:{6}.
    设计方案(二)
    教学过程
    导入新课
    思路1.在初中代数不等式的解法一节中提到:一般地,一个含有未知数的不等式的所有的解,组成这个不等式的解的集合,简称这个不等式的解集.不等式解集的定义中涉及到“集合”,那么,集合的含义是什么呢这就是我们这一堂课所要学习的内容.今天我们开始学习集合,引出课题.
    思路2.开场白:集合是现代数学的基本语言,它可以简洁、准确地表达数学内容.这个词听起来比较陌生,其实在初中我们已经有所接触,比如自然数集、有理数集,一元一次不等式x-3>5的解集,这些都是集合.还有,我们学过的圆的定义是什么?(提问学生)圆是到一个定点的距离等于定长的点的集合.接着点出课题.
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