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  • ID:3-6158450 高中数学人教A版考点练习(必修一):二次函数动轴定区间与定轴动区间问题

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第二章 基本初等函数(Ⅰ)/本章综合与测试

    二次函数动轴定区间与定轴动区间问题 一、单调性 1. 如果函数f(x)=x2-ax-3在区间(-∞,4]上单调递减,那么实数a的取值范围为(  ) A.[8,+∞) B.(-∞,8] C.[4,+∞) D.[-4,+∞) 2. 二次函数y=3x2+2(m-1)x+n在区间(-∞,1)上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数m=________. 3. 若函数f(x)=mx2-2x+3在[-1,+∞)上递减,则实数m的取值范围为(  ) A.(-1,0) B.[-1,0) C.(-∞,-1] D.[-1,0] 二、动轴定区间 1. 若函数f(x)=x2+ax+b在区间[0,1]上的最大值是M,最小值是m,则M-m(  ) A.与a有关,且与b有关 B.与a有关,但与b无关 C.与a无关,且与b无关 D.与a无关,但与b有关 2. 求函数在区间上的最小值. 3. 已知二次函数f(x)=ax2-2x(0≤x≤1),求f(x)的最小值. 4. 已知值域为[-1,+∞)的二次函数f(x)满足f(-1+x)=f(-1-x),且方程f(x)=0的两个实根x1,x2满足|x1-x2|=2. (1)求f(x)的表达式; (2)函数g(x)=f(x)-kx在区间[-1,2]上的最大值为f(2),最小值为f(-1),求实数k的取值范围. [来源:学科网ZXXK] [来源:学科网ZXXK] 5. 已知函数f(x)=x2+ax+3-a,若x∈[-2,2],f(x)≥0恒成立,求a的取值范围. 6. 函数. (1)当时,恒成立,求得取值范围; (2)当时,恒成立,求的取值范围; 三、定轴动区间 1. 若函数f(x)=x2-2x+1在区间[a,a+2]上的最小值为4,则实数a的取值集合为(  ) A.[-3,3] B.[-1,3] C.{-3,3} D.{-1,-3,3} 2. 已知a是实数,记函数f(x)=x2-2x+2在[a,a+1]上的最小值为g(a),求g(a)的解析式. [来源:学*科*网] 四、综合 1. 已知函数,若对于任意,都有成立,则实数的取值范围是 . 2. 若函数f(x)=ax2+20x+14(a>0)对任意实数t,在闭区间[t-1,t+1]上总存在两实数x1,x2,使得|f(x1)-f(x2)|≥8成立,则实数a的最小值为________. 参考答案 二次函数动轴定区间与定轴动区间问题 一、单调性 1. 解析:选A 函数f(x)图象的对称轴方程为x=,由题意得≥4,解得a≥8. 2. 解析:二次函数y=3x2+2(m-1)x+n的图象的开口向上,对称轴为直线x=-,要使得函数在区间(-∞,1)上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则x=-=1,解得m=-2. 答案:-2 3. 解析:选D 当m=0时,f(x)=-2x+3在R上递减,符合题意; 当m≠0时,函数f(x)=mx2-2x+3在[-1,+∞)上递减,只需对称轴x=≤-1,且m<0, 解得-1≤m<0, 综上,实数m的取值范围为[-1,0]. 二、动轴定区间 1. 解析:选B f(x)=2-+b, 当0≤-≤1时,f(x)min=m=f=-+b, f(x)max=M=max{f(0),f(1)}=max{b,1+a+b}, ∴M-m=max与a有关,与b无关; ②当-<0时,f(x)在[0,1]上单调递增, ∴M-m=f(1)-f(0)=1+a与a有关,与b无关; ③当->1时,f(x)在[0,1]上单调递减, ∴M-m=f(0)-f(1)=-1-a与a有关,与b无关. 综上所述,M-m与a有关,但与b无关. 2. 【答案】因为,所以的图像是开口向上的抛物线,对称轴是直线. 如图: 当即时,函数在上是增函数, 所以时,; 当时,函数在上先单调递减,在单调递增, 所以,即; 当时,即时函数在上时减函数, 所以时,. 综上所述,当时,函数的最小值为; 当,函数单的最小值为; 当时,函数的最小值为. 3. 解:(1)当a>0时,f(x)=ax2-2x图象的开口方向向上,且对称轴为x=. ①当≤1,即a≥1时,f(x)=ax2-2x图象的对称轴在[0,1]内, ∴f(x)在上递减,在上递增. ∴f(x)min=f=-=-. ②当>1,即04时,g(a)=f(-2)=7-3a≥0, ∴a≤. 又a>4,∴a不存在. (2)当-2≤-≤2,即-4≤a≤4时, g(a)=f=--a+3≥0,[来源:学科网] ∴-6≤a≤2.又-4≤a≤4, ∴-4≤a≤2. (3)当->2,即a<-4时,g(a)=f(2)=7+a≥0,∴a≥-7. 又a<-4,∴-7≤a<-4. 综上可知,a的取值范围为[-7,2]. 6. 【答案】恒成立,即恒成立. 只需,即∴. (2) 当即时,由∴. 当即时,得,∴. 当,即时,, 由得∴.综上得. 三、定轴动区间 1. 解析:选C ∵函数f(x)=x2-2x+1=(x-1)2的图象的对称轴为直线x=1,f(x)在区间[a,a+2]上的最小值为4,∴当a≥1时,f(x)min=f(a)=(a-1)2=4,a=-1(舍去)或a=3; 当a+2≤1,即a≤-1时,f(x)min=f(a+2)=(a+1)2=4,a=1(舍去)或a=-3; 当a<11时,函数图象如图(3),函数f(x)在区间[a,a+1]上为增函数,所以最小值为f(a)=a2-2a+2. 综上可知,g(a)= 四、综合 1. 略 2. 解析:由题意可得,当x∈[t-1,t+1]时,[f(x)max-f(x)min]min≥8,当[t-1,t+1]关于对称轴对称时,f(x)max-f(x)min取得最小值,即f(t+1)-f(t)=2at+a+20≥8,f(t-1)-f(t)=-2at+a-20≥8,两式相加,得a≥8,所以实数a的最小值为8. 答案:8

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  • ID:3-6158448 高中数学人教A版考点练习(必修一):二次函数的解析式与图象性质

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第二章 基本初等函数(Ⅰ)/本章综合与测试

    二次函数的解析式与图象性质 一、二次函数的解析式 1. 已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8,试确定该二次函数的解析式. [来源:学#科#网] 2.已知二次函数f(x)是偶函数,且f(4)=4f(2)=16,则函数f(x)的解析式为________. 3.为了美观,在加工太阳镜时将下半部分轮廓制作成二次函数图象的形状(如图所示).若对应的两条曲线关于y轴对称,AE∥x轴,AB=4 cm,最低点C在x轴上,高CH=1 cm,BD=2 cm,则右轮廓线DFE所在的二次函数的解析式为(  ) A.y=(x+3)2 B.y=-(x-3)2 C.y=-(x+3)2 D.y=(x-3)2 4. 对二次函数(为非零整数),四位同学分别给出下列结论,其中有且仅有一个结论是错误的,则错误的结论是( ). A.是的零点 B.1是的极值点 C.3是的极值 D. 点在曲线上 二、二次函数的图象与性质 1. 若二次函数y=-2x2-4x+t的图象的顶点在x轴上,则t的值是(  ) A.-4 B.4 C.-2 D.2 2.已知函数f(x)=ax2+2ax+b(1f(x2) C.f(x1)=f(x2) D.f(x1)与f(x2)的大小关系不能确定 3. 如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(-3,0),对称轴为x=-1.给出下面四个结论: ①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5af(1)的解集是(  ) A.(-3,1)∪(3,+∞) B.(-3,1)∪(2,+∞) C.(-1,1)∪(3,+∞) D.(-∞,-3)∪(1,3) 6. (1)函数与的图象可能是( ) (2)在同一直角坐标系中,函数和函数(是常数,且)的图象可能是 7. 已知函数f(x)(x∈R)满足f(x)=f(2-x),若函数y=|x2-2x-3|与y=f(x)图象的交点为(x1,y1),(x2,y2),…,(xm,ym),则i=(  ) A.0 B.m C.2m D.4m 8. 已知a,b,c,d都是常数,a>b,c>d.若f(x)=2 017-(x-a)(x-b)的零点为c,d,则下列不等式正确的是(  ) A.a>c>b>d B.a>b>c>d 9. 设函数f(x)=若存在实数b,使得函数y=f(x)-bx恰有2个零点,则实数a的取值范围为_______. 10. 设a∈R,若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0,则a=________. 11. 设函数f(x)=ax2+bx+c(a>b>c)的图象经过点A(m1,f(m1))和点B(m2,f(m2)),f(1)=0.若a2+[f(m1)+f(m2)]·a+f(m1)·f(m2)=0,则(  ) A.b≥0 B.b<0 C.3a+c≤0 D.3a-c<0 12. 设函数f(x)=2ax2+2bx,若存在实数x0∈(0,t),使得对任意不为零的实数a,b,均有f(x0)=a+b成立,则t的取值范围是________. 13. 已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=2x-2,若同时满足条件: ①?x∈R,f(x)<0或g(x)<0; ②?x∈(-∞,-4),f(x)g(x)<0. 则m的取值范围是________. 三、值域问题 1. 函数f(x)=-2x2+6x(-2≤x≤2)的值域是(  ) A.[-20,4] B.(-20,4) C. D. 2. 若二次函数f(x)=ax2-4x+c的值域为[0,+∞),则a,c满足的条件是________. 3. 若对任意a∈[-1,1],函数F(x)=x2+(a-4)x+4-2a的值恒大于零,则x的取值范围是(  ) A.(1,3) B.(-∞,1)∪(3,+∞) C.(1,2) D.(-∞,1)∪(2,+∞) [来源:学科网] 4. 已知函数,设,若关于x的不等式在上恒成立,则的取值范围是( ). A. B. C. D. 参考答案 二次函数的解析式与图象性质 一、二次函数的解析式 1. [解] 法一:用“一般式”解题设f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 由题意得解得∴所求二次函数为f(x)=-4x2+4x+7. 法二:用“顶点式”解题 设f(x)=a(x-m)2+n(a≠0).∵f(2)=f(-1),∴抛物线的对称轴为x==, ∴m=. 又根据题意,函数有最大值8,∴n=8, ∴y=f(x)=a2+8. ∵f(2)=-1,∴a2+8=-1,解得a=-4, ∴f(x)=-42+8=-4x2+4x+7. 法三:用“零点式”解题 由已知f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值8,即=8. 解得a=-4或a=0(舍去). ∴所求函数的解析式为f(x)=-4x2+4x+7. 2. 解析:由题意可设函数f(x)=ax2+c(a≠0),则f(4)=16a+c=16,f(2)=4a+c=4,解得a=1,c=0,故f(x)=x2. 答案:f(x)=x2 3.解析:选D 由题图可知,对应的两条曲线关于y轴对称,AE∥x轴,AB=4 cm,最低点C在x轴上,高CH=1 cm,BD=2 cm,所以点C的纵坐标为0,横坐标的绝对值为3,即C(-3,0),因为点F与点C关于y轴对称,所以F(3,0),因为点F是右轮廓线DFE所在的二次函数图象的顶点,所以设该二次函数为y=a(x-3)2(a>0),将点D(1,1)代入得,a=,即y=(x-3)2. 4. 解析 观察四个选项会发现B,C这两个选项是“配套”的,所以以此为切入点,假设B,C正确,即为的顶点.由于抛物线开口向下时,D肯定错;抛物线开口向上时,A肯定错. 由此说明A与D中必有一个错误.假设A正确, 则有,与条件为整数矛盾,说明A错误. 故选A. 二、二次函数的图象与性质 1. 解析:选C ∵二次函数的图象的顶点在x轴上,∴Δ=16+8t=0,可得t=-2. 2. 解析:选A f(x)的对称轴为x=-1,因为10(1f(x1); 若-1≤x1-2,又因为f(x)在[-1,+∞)上为增函数,所以f(x1)0,即b2>4ac,①正确; 对称轴为x=-1,即-=-1,2a-b=0,②错误; 结合图象知,当x=-1时,y>0,即a-b+c>0,③错误; 由对称轴为x=-1知,b=2a, 又函数图象开口向下,∴a<0,∴5a<2a,即5a0,即函数的图象开口向上,又因为对称轴是直线x=1.所以f(0)=f(2),则当f(m)≤f(0)时,有0≤m≤2. 5. 解析:选A ∵f(1)=3,∴不等式f(x)>f(1),即f(x)>3. ∴或解得x>3或-3b,c>d, 所以可在平面直角坐标系中作出函数f(x)的大致图象,如图所示,由图可知c>a>b>d,故选D. 9. 解析:显然x=0是y=f(x)-bx的一个零点; 当x≠0时,令y=f(x)-bx=0得b=, 令g(x)==则b=g(x)存在唯一一个解.[来源:Zxxk.Com] 当a<0时,作出函数g(x)的图象,如图所示, 显然当a0时,作出函数g(x)的图象,如图所示, 若要使b=g(x)存在唯一一个解,则a>a2,即00即a>1时才有可能满足x∈时,y1·y2≥0; 考查函数y2=x2-ax-1,显然只有过点M时才能满足x∈时,y1·y2≥0,代入得:2--1=0,可得2+a-1=0,2a2-3a=0解得a=或a=0,舍去a=0,得答案:a=. 11. 解析:选A 由f(1)=0可得a+b+c=0,若a≤0,由a>b>c,得a+b+c<0,这与a+b+c=0矛盾,故a>0,若c≥0,则有b>0,a>0,此时a+b+c>0,这与a+b+c=0矛盾;所以c<0成立,因为a2+[f(m1)+f(m2)]·a+f(m1)·f(m2)=0,所以(a+f(m1))(a+f(m2))=0,所以m1,m2是方程f(x)=-a的两个根,Δ=b2-4a(a+c)=b(b+4a)=b(3a-c)≥0,而a>0,c<0,所以3a-c>0,所以b≥0. 12. 解析:因为存在实数x0∈(0,t),使得对任意不为零的实数a,b,均有f(x0)=a+b成立, 所以2ax2+2bx=a+b等价于(2x-1)b=(1-2x2)a. 当x=时,左边=0,右边≠0,即等式不成立,故x≠; 当x≠时,(2x-1)b=(1-2x2)a等价于=, 设2x-1=k,因为x≠,所以k≠0,则x=, 则==. 设g(k)=, 则函数g(k)在(-1,0),(0,2t-1)上的值域为R. 又因为g(k)在(-∞,0),(0,+∞)上单调递减, 所以g(k)在(-1,0),(0,2t-1)上单调递减, 故当k∈(-1,0)时,g(k)g(2t-1)=,故要使值域为R,则g(2t-1)1. 答案:(1,+∞) 13. 答案 (-4,-2) [解析] 本题考查函数图像与性质、不等式求解、逻辑、二次函数与指数函数等基础知识和基本技能. 满足条件①时,由g(x)=2x-2<0,可得x<1,要使?x∈R,f(x)<0或g(x)<0,必须使x≥1时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)<0恒成立, 当m=0时,f(x)=m(x-2m)(x+m+3)=0不满足条件,所以二次函数f(x)必须开口向下,也就是m<0,要满足条件,必须使方程f(x)=0的两根2m,-m-3都小于1,即可得m∈(-4,0). 满足条件②时,因为x∈(-∞,-4)时,g(x)<0,所以要使?x∈(-∞,-4)时,f(x)g(x)<0,只要?x0∈(-∞,-4)时,使f(x0)>0即可,只要使-4比2m,-m-3中较小的一个大即可,当m∈(-1,0)时,2m>-m-3,只要-4>-m-3,解得m>1与m∈(-1,0)的交集为空集; 当m=-1时,两根为-2;-2>-4,不符合;当m∈(-4,-1)时,2m<-m-3,所以只要-4>2m, 所以m∈(-4,-2). 综上可知m∈(-4,-2). 三、值域问题 1. 解析:选C 由函数f(x)=-2x2+6x可知,二次函数f(x)的图象开口向下,对称轴为x=,当-2≤x<时,函数f(x)单调递增,当≤x≤2时,函数f(x)单调递减,∴f(x)max=f=-2×+6×=,又f(-2)=-8-12=-20,f(2)=-8+12=4,∴函数f(x)的值域为. 2. 解析:由已知得? 答案:a>0,ac=4 3. 解析:选B 由题意,令f(a)=F(x)=x2+(a-4)x+4-2a=(x-2)a+x2-4x+4,对任意a∈[-1,1]恒成立,所以解得x<1或x>3. 4. 解析 解法一:易知,由不等式,得, 即,只需要计算在上的最大值和在上的最小值即可, 当时,(当时取等号), (当时取等号),[来源:学.科.网] 所以; 当时,(当时取等号), (当时取等号), 所以. 综上所述,得.故选A. 解法二:分别作出函数和的图像,如图所示. 若对于任意,恒成立,则满足且恒成立,即,又,当且仅当时,即时取等号,所以. 且,则,即. 综上所述,的取值范围为.故选A.

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  • ID:3-6158447 高中数学人教A版考点练习(必修一):二次方程的实根分布与条件

    高中数学/人教新课标A版/必修1/第二章 基本初等函数(Ⅰ)/本章综合与测试

    二次方程的实根分布与条件 1. “a<0”是“方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2. 已知f(x)=(x-a)(x-b)-2(a0),α,β为方程f(x)=x的两根,且0 <α <β,则( ) A.?xf(x) D.?x≥f(x) 4. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,则m的取值范围为________. 5. 已知方程的两根中,一根在内,另一根在内,求实数的取值范围 6. 已知方程在上有根,则的取值范围为_________________. 7. 若方程x2+ (m-2)x+5 -m=0的两根都大于2,则m的取值范围是( ). A.?( -∞,?-5)∪( -5,-4] B.?( -∞,?-4] C.?(-∞,-2] D.?( -5,-4] 8. 若方程x2﹣mx+3=0的两根满足一根大于1,一根小于1,则m的取值范围是( )[来源:Z+xx+k.Com] A.(2,+∞) B.(0,2) C.(4,+∞) D.(0,4) 9. 已知关于x的二次方程x2+2mx+2m+1=0。 (1)若方程有两根,其中一根在区间(-1,0)内,另一根在区间(1,2)内,求m的范围; (2)若方程两根均在区间(0,1)内,求m的范围。 10. 已知f(x)=x2+(a2-1)x+(a-2)的一个零点比1大,一个零点比1小,求实数a的取值范围. 11. 若关于的方程的两根,满足一个根大于1,一根小于1,求的取值范围 12. 已知方程在上有根,求的取值范围 13. 已知函数f(x)=2mx2-x-1在区间(-2,2)上恰有一个零点,则实数m的取值范围是(  ) A. B. C. D. 14. 已知函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0),满足f(0)=2,f(x+1)-f(x)=2x-1. (1)求函数f(x)的解析式; (2)当x∈[-1,2]时,求函数的最大值和最小值; (3)若函数g(x)=f(x)-mx的两个零点分别在区间(-1,2)和(2,4)内,求m的取值范围. 15. 方程的两根在上,则实数的取值集合是( ) A.? B.? C.? D.? [来源:学&科&网] 16. 已知关于的方程,分别在下列条件下求实数的取值范围。 (1)一个根大于1,一个根小于1; (2)一个根大于1,一个根小于; (3)两根均在()内; 二次方程的实根分布与条件[来源:学科网] 1. 答案:A 2. 答案:A 解析:令g(x)=(x-a)(x-b)(a<b),易知二次函数g(x)的图象与x轴交于(a,0),(b,0),由g(x)的图象向下平移2个单位得到f(x)的图象.或依f(a)=f(b)=-2<0,又二次函数f(x)的图象开口向上,所以α0且0 <α <β,当0?0,即 4. 解析:由条件,抛物线f(x)=x2+2mx+2m+1与x轴的交点分别在区间(-1,0)和(1,2)内,如图所示,得 解得 即-

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  • ID:3-6158446 初高中数学衔接教材17讲:第16讲 圆幂定理

    高中数学/暑假专区/高一年级

    第16讲圆幂定理 【归纳初中知识】 在初中我们已经学习了圆的定义、性质,直线与圆的位置关系,这些都是高中学习立体几 何和解析几何的基础 、圆的定义 (1)如图,在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另 个端点A随之旋转所形成的图形叫做圆,固定的端点O叫做圆心,线段 O4叫做半径,记作“⊙O”,读作“圆O” (2)在一个平面内,圆是到定点距离等于定长的点的集合.定点叫做圆 心,定长叫做半径. 二、点与圆的位置关系 (1)点在圆外台d>r;(2)点在圆上d=r;(3)点在圆内dr 点都在另一个圆的内部 内含 d

    • 2019-08-25
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  • ID:3-6158445 初高中数学衔接教材17讲:第17讲 面积法

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    第17讲面积法 【归纳初中知识】 在初中,我们学习了三角形、平行四边形、圆等特殊平面图形的面积公式以及有关面积问 题的一些重要结论 SAEC =1ah(a为底,为高 2.S=ah(a为底,h为高) 3.S=2(r为圆的半径) 4.等高的两个三角形的面积比等于对应底之比 5.等底的两个三角形的面积比等于对应高之比 6.相似三角形的面积比等于相似比的平方 7.多边形的面积可以分解成若干个三角形面积之和 【衔接高中知识】 面积是几何学的起源,它不仅是平面几何的重要内容,而且面积法也是数学解题中的 重要方法.在高中必修5解三角形中,我们将进一步探讨三角形的面积公式中,在选修2-1立 体几何中,我们也经常用面积法解题 三角形面积公式 我们学习过三角形的面积公式,一边与这边上的高的乘积的一半 就是三角形的面积即S=2=2 h.如图,在△ABC中 AD是边BC上的高,那么S△ABC=bBC·AD,而AD=AB·sinB, 所以我们就得到三角形的面积为S△=BC·AB·imB 同理,我们也能得到 S= absin= bcsin a= actin B(a,b,c分别为角A,BC所对的边) 上述结论可叙述为:三角形的面积等于三角形中任意两边以及它们夹角正弦的乘积的一半 二、面积法 因为面积公式是用线段的代数式表示的,所以面积与线段可以 相互转化.运用面积公式及有关面积性质定理解答几何题是常用的 方法,简称为面积法 【精讲典型例题】 例1已知△ABC的三边分别为a,b,c,内切圆的半径为r,求 证明:如图,设内切圆的圆心为Ⅰ,连接IA,IB,l 记△IBC,△ICA,△IAB的面积分别为S1,S2,S 因为S△wC=S1+S2+S-2×1bx+ 所以S△c=2(a+b+C 例1图 例2图 例2已知点P是正三角形ABC内的一点,设点P到三边AB ,AC的距离分别为h1,h2,h3 求证:h1+h2+h3为定值 证明:如图,连接AP,BP,CP, 记△ABC的边长为a,高为h 因为S△AC=S△MBP+S△P+S△CAp ah1toahz+aahs h1+h2+h3=h 所以h1+h2+h3=h(定值 例3如图,AD,BE,CF交于△ABC内的一点P,并将△ABC分成 六个小三角形,其中四个小三角形的面积已在图中给出,求△ABC的 面积 分析如果能把未给出的两个小三角形的面积求出,那么△ABC的 面积即可得知根据面积的比例关系,可求出这两个小三角形的面积 解:设未知的两个小三角形的面积为x和y,则 B别5,m%*3:① AE-=8+5即5-20.② 由①②式得x=56,y=35 因此S△AC=84+70+56+35+40+30=315 例4如图,在□ABCD中,E是AD的中点,若SMD=1,求图中阴影部分的面积 分析根据等高的两个三角形面积之比等于底之比来计算. 解:设S△BC= △AEFC△BCF,E为AD的中点 AF 1 x+2x=1,解得x=若故阴影部分的面积为 【检测衔接作业】 选择题 在△ABC中,BD,CE是两条中线,BD=4,CE=6,且BD⊥CE,则S△AC A.12 B.14 C.16 D.18 2.在△ABC中,b,c是角B,C所对的边,若∠A=60°,b=2,c=3,则此三角形的面积为() B.3 √3 3.如图,Rt△ABC被斜边上的高CD和直角平分线CE成分3个小 三角形,S△E=30,S△Cm=6,则△BCD的面积为 B.9 C.4或8 D.4或9 ED 填空题 4.若△ABC的三边a,b,c上的高分别是ha=6,hb=4,h=3,则a:b:c= 5.已知三角形三边长分别为3,4,5,则其内切圆半径为 ,外接圆半径为 6.在△ABC中,若AB=BC=2,面积为3,则∠B 三、解答题 7.证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量 8.如图,在△ABC的两边AB,AC上各取一点D,E,使3AD=BD,3AE=EC,设BE,CD的交 点为P,求证:S△P 参考答案 1.C2.C3.D 4.2:3:4 512 6.60或129°点拨:利用1AB,BCim∠B=得sin∠B=3,:∠B=60或120 7.提示:利用面积相等,三角形面积等于两个小三角形的面积之和 8.证明:∵34D=BD,3AE=EC AB=1,CE=1,∠A=∠A △ADE△ABC,∴∠ADE=∠ABC∴DE∥BC, △PDE△PCB,AD=1, .DE=1,设△PDE的高为h,则△PBC的高为4h DE·h ∴2△E= DE·h1, △RB 2BC·4h4DE·4 6…S△R=16S

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  • ID:3-6158443 初高中数学衔接教材17讲:第15讲 角平分线性质定理与射影定理

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    第15讲角平分线性质定理与射影定理 【归纳初中知识】 在初中我们学习了三角形相似的有关知识,但很多相关的,有用的定理如三角形内(外) 角平分线性质定理、射影定理都没有介绍,因此,我们有必要进一步探索它们之间的数量关系, 并学会初步运用 1.相似三角形的定义 对应角相等,对应边成比例的三角形,叫做相似三角形.相似的三角形对应边的比,叫做相 似三角形的相似比,或称相似系数,常用k表示 2.相似三角形的判定 预备定理:平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形 与原三角形相似 判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么这两个三 角形相似 判定定理2:如果一个三角形的两边和另一个三角形的两边对应成比例,并且夹角相等 那么这两个三角形相似. 判定定理3:如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例,那么这两个 三角形相似 判定定理4:如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和 条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似 3.相似三角形的性质定理 (1)相似三角形的对应角相等,对应边成比例 (2)相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比等于相似比 (3)相似三角形周长的比等于相似比 (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方 【衔接高中知识】 在高中阶段,三角形内(外)角平分线定理,射影定理都有着广泛的应用,如必修2,选修 2一1中的立体几何,选修2-1中的解析几何,都要经常用到这两个定理 三角形内(外)角平分线性质定理 如图(1),AD平分∠BAC,过D作DE∥AB交AC于E,则 AE BD ∵∠BAD=∠DAC=∠ADE,∴AE=DE 图(1) Bo 由△DEC△ABC,得一C,即=A ①②得AC 如图(2),AD为△ABC的外角平分线,过C作CE∥AB交AD于E,则 :CAD=∠DAF=∠AEC,∴AC=CE,;AB=BD 由此得到三角形内(外)角平分线性质定理 三角形内(外)角的平分线内(外)分对边所得的两条线段和相邻的两边对应成比例 二、射影定理 从一点向一直线所引垂线的垂足,叫做这个点在这条直线上的正射影.在图(3)中,AA⊥ MN,垂足A是点A在直线MN上的正射影.如果点A是MN上的点,那么A在MN上的正 射影就是它本身 条线段在直线上的正射影,是指线段的两个端点在这条直线上的正射影间的线段.在图 (4)中,线段AB的两个端点A和B在直线MN上的正射影分别是A′和B',线段AB是线段 AB在直线MN上的正射影 点和线段的正射影简称为射影 图(3) 图(4) 图(5 如图(5),△ABC是直角三角形,CD为斜边AB上的高.在这个图形中,由于线段AD与 CD,BD与CD,BC与AC等相互垂直,因此可以从射影的角度来考察它们的关系.你能发现 这些线段之间的某些关系吗? 实际上,有些关系是非常明显的.例如,由△BDC为直角三角形可知BD

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  • ID:3-6158441 初高中数学衔接教材17讲:第14讲 三角形的“四心”

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    第14讲三角形的“四心” 【归纳初中知识】 初中阶段我们学习了三角形中的中线、高、角平分线等有关概念,探索并掌握了三角形中 位线的性质,在九年级的《圆》这部分内容中我们又提及三角形的内心和外心,但只要求学生了 解,并没有要求进一步的理解和应用 内心 如图,在△ABC中,AD,BE,CF分别是三内角的平分线,记 AD和BE的交点为Ⅰ,过I分别作AB,BC,CA三边的垂线,垂足 分别为M,N,P.根据角平分线性质,IP=IM,IM=IN,所以IP ⅠN.因此,点Ⅰ在角C的平分线上,即CF通过点I,也就是说三条 内角平分线交于一点,这个交点叫做三角形的内心 内心与各顶点的连线平分各角,内心到三角形三边的距离相等,因此内心是三角形内切园 的圆心 外心 如图,在△ABC中,直线l,m,n分别为三条边的垂直平分线 记l,m的交点为O,则根据垂直平分线性质,得到AO=BO,BO O,所以AO=CO,得到O也在直线n上.这样,我们就知道了 角形的三条垂直平分线交于一点,其交点叫做三角形的外心 根据垂直平分线的性质,我们可以得到外心的性质: )外心到三顶点的距离相等,因此外心就是三角形外接圆的 (2)过外心作一边的垂线平分此边 (3)外心与一边中点的连线垂直于此边; (4)直角三角形的外心就是斜边的中点,锐角三角形的外心在三角形内,而钝角三角形的 外心在三角形外 【衔接高中知识】 在高中阶段,三角形的内心、外心、重心和垂心是学习立体几何、解析几何等内容不可缺少 知识点,在高考试卷中也屡屡出现,鉴于此,搞好初、高中“四心”这一知识内容的衔接对三角 形的“四心”作详细介绍是很有必要的 重心 如图,在△ABC中,AD,BE,CF分别是BC,AC,AB边上的 中线设BE,CF交于点G,BG,CG中点为M,N.因为E,F分别 是AC,AB的中点,所以EF平行且等于MN.因此,四边形 MNEF为平行四边形.于是,得GM=MB=GE,GF=GN=NC∴ 所以BG:GE=2:1,CG:GF=2:1 同理,若BE与AD相交于点G′,则必有AG:GD=2:1,BCG:GE=2:1,所以点G 与G重合 因此,三角形三条中线相交于一点,此点就叫做三角形的重心 重心到顶点与到对边中点的距离之比为2:1. 垂心 如图,在△ABC中,AD,BE,CF分别为三边的高,过A作BC边的 平行线,过B作CA边的平行线,过C作边AB的平行线,三条平行线相 交成△ABC 于是四边形ABCB,ACBC,CABA均为平行四边形,故AD,BE, F为△ABC'三边的垂直平分线根据三条垂直平分线交于一点,即 交点为△ABC'的外心因此,AD,BE,CF交于一点 因此,三角形三条高线交于一点,这点叫做三角形的垂心 顶点与垂心的连线垂直于对边;直角三角形的垂心即为直角顶点,锐角三角形的垂心在三 角形内,而钝角三角形的垂心在三角形外 【精讲典型例题】 例1如图,设△ABC内接圆⊙I与边BC,CA,AB分别切于M N,S,若:AB=c,BC=a,AC=b,p=(a+b+c),s为圆的面积,r为 圆的半径 求证:AS=AN=p-a,BM=BS=p-b,CM=CN=p-c, 证明:根据圆的切线性质知:AS=AN,BS=BN,CM=CN AS=AN=A(AB+AC-BS-CN) (AB+AC- BM-MO)=2 (AB+AC-BC) 同理:BM=BS=1(BC+BA-AC),CM=CN (CB+CA-AB) it AB-c, BC=a,AB-b,p=o(atb+c) 则有:AS=AN=(c+b-a)=p-a,BM=Bs (atc-b)=p-b 例2已知如图(1)所示:O为锐角三角形的外心,求证:∠BOC 图(2) 分析利用外心到三个顶点的距离相等的性质,想到连接AO 因为外心到三个顶点距离相等,所以AO=BO=CO,△OAB △OAC,△OBC为等腰三角形,∠1=∠2,∠3=∠4,∠5=∠6,然后 利用三角形的外角定理来证明 证明:如图(2),连接AO, ∵O为锐角三角形的外心,OA=OB=OC ∴△OAB,△OAC为等腰三角形, ∴∠1=∠2,∠3=∠4 ∵2∠A=2(∠2+∠3)=2∠2+2∠3 (∠1+∠2)+(∠3+∠4) ∠7+∠8(根据三角形外角定理) 又∠BOC=∠7+∠8,∴∠BOC=2∠A 例3如图,已知△ABC的重心G与内心Ⅰ的连线GI∥BC, 求证:AB+AC=2BC 证明:连接AG,AI,并延长它们,延长线分别交BC于点D E连接IC,则AD为中线,AE,CⅠ为角平分线 因为GI∥BC,所以E=GD=2 在△CAE中,有CE=正E=2,即AC=2CE 同理可得AB=2BE. 因此,AB+AC=2(BE+CE)=2BC. 例4如图,H为△ABC的垂心,AH⊥BC于D,BH⊥AC于E,CH⊥AB于F,求证: DH+EH+FR-1 证明:设点H是△ABC三条高线AD,BE,CF的交点 △BCH △A △ABx DH 【检测衔接作业】 、选择题 1.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠CAB,交BC 于点D,DE⊥AB于点E.若AB=6cm,则△DEB的周长为 A. 5 cm B. 6 cn C.7 D.8 cm 在△ABC中,三条中线AD,BE,CF交于点G,连接DE,EF,FD.则点G为△DEF的 A.垂 B.重 内心 D.外心 3.如图,BD,CE是△ABC的中线,P,Q分别是BD,CE的中点,则 PQ:BC等于 B.1:4 D.1:6 二、填空题 4.等腰三角形底边上的高等于18,腰上的中线等于15,则它的面积等于 5.等腰三角形的底边长为10,腰长为13.则它的内切圆半径为 外接圆的半径 为 6.在Rt△ABC中,∠C=90°,G为重心,O为外心,若AC=3,BC=4,则OC 三、解答题 7.已知在Rt△ABC中,∠A=90°,AB=3,AC=4,Ⅰ是三角形的内心,D,E,F为切点,求 △ABC的内切圆半径 8.证明:若三角形的内心与重心为同一点则这个三角形为正三角形 9.如图,圆O是△ABC的内切圆,P,Q,R为切点,AB=4,BC=5,CA=6,则 (1)AP,BQ,CR的长度是多少? (2)若圆O的半径是2,则△ABC的面积为多少? 参考答案 1.B点拨:C△EB=DE+BD+BE 3.B点拨:利用中位线定理进行转换 4.144 2 256 7.解:如图,△ABC的内心为Ⅰ,内切圆与三角形切于D,E,F. 连接ID,IE,IF,∵∠A=90°,∴四边形ADⅠF是正方形, ∴内切圆半径r=ID=AD=AF=p-a 而a=32+42=5,p=(3+4+5)=6.∴r=6-5=1 8.证明:如图,连接AO并延长交BC于D ∵O为三角形的内心,故AD平分∠BAC, AB BD 角平分线性质定 理) O为三角形的重心,D为BC的中点,即BD=DC, AC=1:即AB=AC.同理可得,AB=BC. △ABC为等边三角形 9.(1)∵圆O是△ABC的内切圆,P,Q,R为切点,AP=p-a,BQ=p一b,CR=p一c, 其中p=2(4+5+6)=15,a=5,b=6,c=4, SIdV -5-号,BQ=15-6=2默R=一4=2 15715 (2)S△AC=p·r2·24

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  • ID:3-6158438 初高中数学衔接教材17讲:第13讲 分段函数

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    第13讲分段函数 【归纳初中知识】 在初中,我们学习函数的概念以及一些特殊的函 初中函数的概念:设在某种变化过程中,有两个变量x,y,如果 一个x的值,相应就确定了一个y值,那么我们称y是x的函 数,其中x是自变量,y是因变量 正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数的解析式、图象 及性质见第12讲的“归纳初中知识 【衔接高中知识】 从初中知识的回顾中,我们知道初中学习的函数只有一个表达 式(解析式).事实上,在高中,我们还经常学习到另一类形式的函数 分段函数 高中函数的概念:设集合A是一个非空的数集,对A中的任意 数x,按照确定的法则∫,都有确定的数y与它对应,这种对应关系叫 做集合A上的一个函数,记作y=f(x),x∈A,其中x叫做自变量, 自变量取值的范围(数集A)叫做这个函数的定义域 分段函数:在函数的自变量的取值范围内,对于自变量x的不同 取值范围,有着不同的表达式,这样的函数通常叫做分段函数 x(x≥0) x+1(x>1) 例如 x(x<0),y12(x≤1) 特别提示:(1)分段函数是一种重要的函数,它不是几个函数,而 是一个函数在不同范围内的表示方法不同. (2)在解决分段函数的问题时,一定要根据自变量的取值范围选 择不同的表达式进行求解 【精讲典型例题】 1已知一个函数y=f(x)的自变量x的取值范围是0≤x≤ 2,当0≤x≤1时,表达式为y=x,当10), 则ff(-1)] 0(x<0), 5.设f(x) 若f(a)>a,则实数a的取值范围是 三、解答题 6.写出下列函数的解析表达式 (1)设函数y=f(x),当x<0时,f(x)=0;当x≥0时,f(x)=2 (2)设函数y=f(x),当x≤-1时,f(x)=x+1;当-1a,解之得a<-2,与a≥0矛盾;当a<0时,>a,解 之得a<-1,或a>1(舍) 6.解:(1)f(x) (2)f(x)=10(-1

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  • ID:3-6158437 初高中数学衔接教材17讲:第12讲 函数图象与变换

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    第12讲函数图象与变换 【归纳初中知识】 在初中,我们学习了正比例函数、反比例函数、一次函数以及二次函数等特殊的函数,了 解了这些函数的图象特征 图象 性质 kx(k>0) ①过点(0,0);②k>0时,图象是过 正比例函数 I、Ⅲ象限的直线,且x增大时,y 增大;k<0时,图象是过Ⅱ、Ⅳ象限 的直线,x增大时,y减小 ①k>0时,图象位于I、Ⅲ象限,且 x>0时,y随x增大而减小;x<0 反比例函数 时,y随x增大而减小.②k<0时, 图象位于Ⅱ、Ⅳ象限,且x>0时,y x增大而增大;x<0时,y随x 增大而增大 =kx+b(k>0) ①过点(0,b).②k>0时,y随x增 y=kx+b(k≠0) 大而增大;k<0时,y随x增大而 减小.③图象位置与k,b有关 yax'+bx+c 二次函数 见第11讲 y=ax2+bx+c(a≠0) 【衔接高中知识】 函数图象是函数性质的直观反映,是研究函数的重要工具.因此,在高中阶段,我们更多地 利用函数图象的直观性来解决数学问题(图象法).利用图象解决数学问题是数形结合思想的 重要体现,另一方面,利用已知函数的图象,通过适当的变换得到较复杂函数的图象,也是高中 学习的一个重点 、图象变换 1.平移变换:所谓平移变换,就是将图形上的所有点,沿同一个方向移动相同的距离,得到 个新的图象.[f(x)表示以x为自变量的函数] a>0时,向左平移a个单位 y=f(x)a<时,向右平移a|个单位y=f(x+a) 2.对称变换:所谓对称变换,就是将一个图形上的每一个点沿一条直线翻折得到一个新的 图形.即两个图形关于此直线对称 (1)=(x)图象轴上=1fx) (2)y=f(x)保留元()在抽右侧 部分,并把右 侧图象绕y轴翻折到左侧 →y=f(|x1) f(x)图象绕y轴翻折18 (3)y=f( 将y=f(x)图象绕x轴翻折180 (4)y=f(x) 二、二次函数“恒成立”问题 结合二次函数图象可知: 当a>0且△<0时,ax2+bx+c>0恒成立 当a<0且△<0时,ax2+bx+c<0恒成立 【精讲典型例题】 例1(1)函数y=的图象可以由函数y=的图象如何变换得到? (2)函数y 3的图象可以由函数y=-的图象如何变换得到 解:(1)通过列表描点画出两个函数的图象.设点(a,b) 是函数y=图象上的任意一点, 则b=-,由此可得b 即点(a+3,b)在函数y=的图象上 因此,将函数y=1图象上的所有点,沿x轴向正方 向(右)平移3个单位,得到函数y=1的图象 (2)通过列表描点画出两个函数的图象 设点(a是函数y=1图象上的任意一点,则b=2,由此可得b-3=-3 即点(a,b-3)在函数y=1-3的图象上 因此,将函数y=图象上的所有点,沿y轴向负方向(下)平 移3个单位 得到函数y=-3的图象 例2画出函数y=|x2-1的图象 分析可寻求此函数与二次函数y=x2-1的图象的变化关系 函数y=x2-1的图象是一抛物线,如图(1) 图(2) x2-1,x≥1或x≤-1 由解析式的特点可知,当x≥1或x≤-1时,函数y=x2-1的图象与函数y=x2-1重 合,即抛物线在x轴上方部分保持不变;当-10,即1< m<5. 例4对于任意实数x,不等式ax2+2ax-(a+2)<0恒成立, 求实数a的取值范围 分析令y=ax2+2ax-(a+2),结合函数的图象,知函数的图 象应完全位于x轴的下方 解:(1)当a=0时,原不等式为-2<0恒成立; (2)当a≠0时,由题意得 ∴-1

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  • ID:3-6158433 初高中数学衔接教材17讲:第10讲 分式不等式与简单的高次不等式

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    第10讲分式不等式与简单的高次不等式 【归纳初中知识】 在初中,我们学习了分式以及一元一次不等式(组)的解法,但是在高中的学习中我们还 要大量涉及分式不等式以及高次不等式,为此我们必须把这部分的知识衔接上,掌握分式不等 式和高次不等式的解法 1.不等式的有关性质 如果a>b,b>c,那么a>c; 如果a>b,那么a+c>b+c; 如果a>b,c>0,那么ac>be,a 如果a>6,c<0,那么ac0,21>2等 2.分式不等式解法的基本思路 将分式不等式转化为整式不等式,即 g(x)>0/(x)g(x)>0,f(x) 4(x)<0÷f(x)(x)<0 元高次不等式的解法 欠数大于2的整式不等式,称为高次不等式,高次不等式通过分解因式处理后,可化为如 下形式(设a>0) (x-x1)(x-x2)…(x-xn)>0 a(x-x1)(x-x2)…(x-xn)<0 不妨设x10,即x>-1时,不等式两边同时乘以(x+1) 原不等式化为 r+1>0 解得-1 x-1<0, (2)当x+1<0,即x<-1时,不等式两边同时乘以(x+1), 原不等式化为 +1<0 此不等式组无解 3x-1>0 综上(1)、(2)所述,原不等式的解集为-19+=0 (x-4)(x+3)≥ 以上不等式等价于 解得x<-3或x≥4. 故原分式不等式的解集为x<-3或x≥4 例3解不等式(x+2)(x 12)>0. 分析利用积的符号法则可将一元高次不等式转化为不等式 组;也可将不等式分解因式,由积的符号法则求解;还可用根轴法, 解法1:原不等式化为/+2>0 x-12>0x2-x-12<0 即 或 解得x>4或 故原不等式的解集为{xx>4或-30. x<-3-34 x+2 (x+3)(x+2)(x-4) 由上表可知,原不等式的解集为{xx>4或-30的解即为曲线在x轴上方对 应的x值.故原不等式的解集为{x|x>4或-3< 总结解一元高次不等式常用方法有三种:(1)不等式组法;(2) 列表法;(3)根轴法.由上例可知,用根轴法解一元高次不等式最简 单,它实质上是列表法的浓缩、简化[图为x由非常大的正数向非常 的负数变化时,每经过一个零点,(x+2)(x+3)(x-4)的值的符 号必须改变].因此,我们必须熟练地掌握根轴法 用根轴法解高次不等式时,就是先把不等式化为一端为零,再对另一端分解因式,并求出 它的零点,把这些零点标在数轴上,再用一条光滑的曲线,从x轴的右端上方起,依次穿过这 些零点,则大于零的不等式的解对应着曲线在x轴上方部分的实数x的取值集合;小于零的 不等式的解对应着x轴下方部分的实数x的取值集合 例4解不等式x+2x-3 分析将此分式不等式转化高次不等式,然后利用根轴法求解 解:由 0,得 x2+2x-3)(-x2+x+6)<0 (x2+2x-3)(x2-x-6)>0 (x+3)(x-1)(x-3)(x+2)>0. 与b支k4 零点为-3,-2,1,3. 由图可知,原不等式的解集为x<-3或-23. 【检测衔接作业】 选择题 1.不等式2+4>0的解集是 A.-22 2.与不等式x 同解的不等式是 A.(x-3)(x-2)≤0 B.x=5x+6≤0 x2-x+6 D.(x-3)2(x-2)≤0 3.不等式x2-4的解集是 A.x≤-2或一3≤x≤3或x≥2 B.x<-2或-√3≤r≤3或x>2 2或-32 D.-2≤x<-3或30 10.解不等式(x+2)(6+x-x2)≥0. 参考答案 1.C点拨:原不等式等价于(x+2)(x-2)>0,得x<-2或x>2 2.B点拨:B的解集为20点拨:原不等式化为2+2>0,解得x<-2或x>0 6.-13 8解:由2一≥2,(++2+<①解得x<=3或=22} 10.解:原不等式变为(x+2)2(x-3)≤0, 方程(x+2)(x-3)=0的解为x 如图,∴原不等式的解集为{x|x≤3}

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  • ID:3-6158432 初高中数学衔接教材17讲:第9讲 一元二次不等式

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    第9讲元二次不等式 【归纳初中知识】 在初中,我们已经掌握了一元一次不等式(组)的解法,但高中阶段数学很多模块内容都 要用到一元二次不等式和分式不等式的知识,虽然高中新课程数学必修5有系统学习,但是为 了大部分学生能顺利完成高中新课程各模块学习以及少部分学生提前学习(数学竞赛等),很 有必要对一元二次不等式基本知识先作一个介绍 元一次不等式ax>b的解集 (1)当a>0时,不等式的解集为x> (2)当a=0时,若b≥0,则不等式无解;若b<0时,则不等式的解集为全体实数 (3)当a<0时,不等式的解集为x0) 解不等式ax2+bx+c>0,即解a(x+x1)(x+x2)>0 根乘积的符号法则,可得 (Ⅰ)或 x+x2>0, 方程组(I),(Ⅱ)的解集即为原一元二次不等式的解集 同理,我们可以利用同样的方法求得a(x+x1)(x+x2)<0(a>0)的解集 二、一般的一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<0)(a>0)的解法 我们知道,对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a>0),设△=b-4ac,它的解按照△>0,△= 0,△<0可分为三种情况,相应地,二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与x轴的位置关系, 也分为三种情况,因此,我们可分三种情况来讨论对应的一元二次不等式ax2+bx+c>0 (或<0)(a>0)的解集,以下列表分类表示 △=0 A<0 y=a.x+brtc(a>o) 的图象 ax'tbrtc=o(a-o 有两不相等 有两个相等 没有实数根 的根 实根x1,x ax2+bx+c>0(a>0) xx2 全体实数 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集 【精讲典型例题】 例1解不等式x2-2x-3>0 分析α2-2x-3可以分解因式为(x-3)(x+1),然后利用乘积的符号法则求解 解:不等式可化为(x-3)(x+1)>0 原不等式可变形为 (Ⅱ) x+1<0 解(Ⅰ)得x>3,解(Ⅱ)得x ∴原不等式的解集为x<-1或x>3. 例2试利用函数知识,解不等式:2x2-5x>-3 解:原不等式可化为2x2-5x+3>0. 画出函数y=2x2-5x+3的图象 解方程2x2-5x+3=0,得x=1或x=3 观察函数的图象可得, 当且仅当x<1或 时,图象上的点都在x轴的上方, 这时有y>0,即2x2-5x+3>0 因此,不等式2x2-5x>-3的解集为x<1或x> 例3解不等式:-2x2+x+1<0 分析将二次项系数化为正数,然后求解 解:在不等式两边同乘以-1,可得2x2-x-1>0. 方程2x2-x-1=0的解为x1 函数y=2x2-x-1的图象是开口向上的抛物线 所以不等式的解集为{xx<-,或x>1 点评解一元二次不等式的一般步骤是: (1)对不等式变形,使一端为零且二次项系数大于零 (2)计算相应的判别式; (3)当△>0时,求出相应的一元二次方程的两根; (4)根据一元二次不等式解的结构,写出其解. 其中对△>0的解的结构可记为:ax2+bx+c>0(a>0)的解为“大于大根或小于小根 ax2+bx+c<0(a>0)的解为“大于小根且小于大根 例4已知不等式ax2+bx+2>0的解集为-2 求2x2+bx+a<0的解集 分析给出了一元二次不等式的解集,则可知a的符号和ax2+bx+2=0的两根,由韦达 定理可求出a,b的值 解:由题意一和。是ax2+bx+2=0的两根且a<0, 2+3 解得 2 不等式2x2+bx+a<0,即为2x2-2x-12<0,其解集为{x-20的自变量x的取值范围是 A.-22 D.x<-2或x>1 不等式6-x-2x2<0的解集是 A.{x|-20且b2-4ac≤0 D.a>0且b-4ac>0 二、填空题 4.若已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示,则不等式ax2+bx+c< 0的解集为 ,不等式ax2+b+c>0的解集 不等式x2-2+3<0的解集为 三、解答题 试利用函数的图象与性质解不等式: (1)-x2+5x>6; (2)2x2-x>0. 7.解下列不等式 (1)(3x-1)(x+1)<0 (2)(2x-3)(x+2)>0 8已知函数y=2x2-3x-3,求使函数值y大于0的x的取值范围 9.解不等式x2-2|x-3>0. 10.已知不等式x2-ax+b<0的解集是20,得(x-1)(x+2)<0,一20→(2x-3)(x+2)>0→x<-2或x 3.A点拨:结合二次函数的图象可知 4.x<-1或x>2-1或x<0 8解:令y>0,得1x2-3x-3>0,化简得2x2-12x-3>0 2x2-12x-3=0有两根,x1 ±168=5y42,即x=2x2-2 又∵y=2x2-12-3的图象开口向上, ∴不等式的解集是x<542 2或x0+/2 9.解:原不等式可化为(|x|+1)(|x-3)>0, ∴x|+1>0,则有x-3>0,即|x>3,解得x>3或x<-3 故原不等式的解集为x<-3或x>3 10.解:依题意知,2,3为方程x2-ax+b=0的两根.∴a=5,b=6. 不等式ax2-bx+1=0为5x-6x+1=0,即(x-1)6x-10,解得号≤x≤1

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  • ID:3-6158428 初高中数学衔接教材17讲:第11讲 二次函数的图象与性质

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    第11讲二次函数的图象与性质 【归纳初中知识】 初中学过的一次函数、反比例函数、二次函数的课标要求是:能结合具体情境体会函数的 意义,根据已知条件确定函数表达式;会画函数的图象,根据不同的函数的图象和解析表达式 探索并理解其性质进而解决实际问题;会利用函数的图象求近似解的冋题 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象、性质如下表所示 对称轴 b/r (-a.4 最值当x=-时,y取最小值如 ∵y取最大值4c一 当x≤-2时,y随着x的增大而减小;当x<-时,y随着x的增大而增大 增减性 当x>一点时y随着x的增大而增大当>一时y随着x的增大而减小 【衔接高中知识】 函数是高中数学的一条主线,如高中数学中的数列、三角函数 导数等都是函数因此有必要对二次函数进行再研究,通过以二次函 数为载体,进一步探讨函数的相关性质 1.二次函数的三种表示方法 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0) (2)顶点式:y=a(x-h)2+k;其中(h,k)为抛物线的顶点 (3)两点式:y=a(x-x1)(x-x2) 2.二次函数的对称性: 次函数是轴对称图形,其对称轴为直线x=-2a 3.二次函数的增减性:(1)若a>0,则当x<一时,y随x的增 大而减小;当x>-。时,y随x的增大而增大 (2)若a<0,则当x<-b时,y随x的增大而增大;当x> 时,y随x的增大而减小 (3)a越大,抛物线的开口越大 4.二次函数在给定范围上的最值.[符号f(x)表示以x为自变 量的函数] 当a>0时,f(x)在p≤x≤q上的最大值为M,最小值为 若-b4上y随x的 增大而增大,求实数a的取值范围 分析二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),当a>0时,在对称轴x b的左侧,y随x的增大而减小,在对称轴x=-b的右侧,y随 x的增大而增大;当a<0时,情况则相反 解:因为二次函数y=x2+2(a-2)x+5的对称轴为直线x=2 a,开口向上 所以当x≥2-a时,y随x的增大而增大 4≥2-a,解得a≥-2. 故实数a的取值范围为a≥-2. 例3已知f(x)=3x2-12x+5,当f(x)的 x的取值范围为下列情况时,求函数的最大值 最小值. (1)0≤x≤3;(2)-1≤x≤1;(3)x≥3 分析作出y=3x2-12x+5的图象,如图 468 观察图象在所给x的范围上的变化趋势及图象的 最高点和最低点,你发现了什么? 解:(1)作y=3x2-12x+5的图象如图所示,由图可知 函数f(x)在0≤x≤2上递减 在2≤x≤5上递增,且f(0)=5,f(2)=-7,f(3)=-4 故当x=3时,f(x)mn=-7;当x=0时,f(x)mx=5 (2)由图可知,当f(x)在-1≤x≤1上单调递减 ∴f(x)mi=f(1)=-4,f(x)ma=f(-1)=20. (3)由图可知,f(x)在x≥3上单调递增 例4设二次函数f(x)=x2-4x-4,t≤x≤t+1,(t为实数), 求∫(x)的最小值g(t)的解析式 分析已知二次函数的对称轴为直线x=2,x的取值范围直接 影响到∫(x)的最小值,故要 对x的取值与对称轴的关系进行讨论 (1)当t≥2时,f(x)在t≤x≤1+1上是增函数 ∴g(t)=f(t)=t2-4+4 (2)当长2≤+1,即1≤{<2时,g(t)=f(2)=-8. (3)当t+1<2,即t<1时 f(x)在t≤x≤t+1是减函数.g(t)=f(t+1)=t2-2t-7 t2-2t-7(t<1 经上可知,g(t)={-8(1≤t<2) t2-4t-2(t≥2) 【检测衔接作业】 、选择题 1.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象的顶点坐标为(2,-1),与y 轴的交点为(0,11),则 A.a=1,b=-4,c=11 B.a=3,b=12,c=11 D.a=3,b=-12,c=11 2.设f(x)=ax2+bx+c(a≠0),且f(-1)=f(6),则 A.f(1)=f(4) B.f(1)>f(4) C.f(1)0时,f(1)>f(4);当a<0时,f(1)0,c>0点拨:由一b>0,4ab>0,c<0,△=62-4c>0可得 1;(2) (3)ym 8.5 10.a≤-1

    • 2019-08-25
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  • ID:3-6158425 初高中数学衔接教材17讲:第8讲 简单的二元二次方程组

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    第8讲简单的二元二次方程组 【归纳初中知识】 在初中,我们已经学习了一元一次方程、一元二次方程及二元一次方程组的解法,掌握用 代入消元和加减消元两种方法解二元一次方程组,但对二元二次方程组的解法并没有作系统 的介绍 【衔接高中知识】 在高中新课标必修2中直线与圆,必修5中数列,选修1-1和选修2-1中圆锥曲线等部 分内容都涉及怎样求解二元二次方程组,怎样判断二元二次方程组的解的个数,怎样通过方程 来研究曲线的形状等情况,所以需要补充二元二次方程组的基本类型及解法 由两个二元二次方程组成的二元二次方程组的一般形式是 Jajx'thxytciytdixteytfi=0 Layx2+b2.xy+c2y2+d2 teay+/2=0 这里a1,b1,c1不同时为零,a2,b2,C2不同时为零 解简单的二元二次方程组的基本思想是“消元和降次”.基本方法有代入法、因式分解 法、利用一元二次方程根与系数关系、加减法、换元法等方法简单的二元二次方程组主要有两 类:第一类是由一个二元一次和一个二元二次方程组成的方程组,第二类是由一个二元二次方 程和一个可分解为两个二元一次方程的二元二次方程组成的方程组 (1)解第一类的主要思路是将二元一次方程变形后,用代入消元法将二元二次方程转化 元二次方程,从而求解. (2)解第二类的主要思路是想办法将可分解为两个二元一次方程的二元二次方程分解出 来,从而转化为简单的二元二次方程组的解法(第一类)或直接转化为二元一次方程组 特殊的二元二次方程组的解法 (1)解特殊的二元二次方程组主要是用消常数项法、加减法、换元法等. (2)解可化为二元二次方程组的分式方程组和无理方程组主要是用换元法 4.解特殊的三元二次方程组的主要思路是先消元转化为二元二次方程组 【精讲典型例题】 例1解方程组/2+y2=1,① 分析解由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组,其解法是先由二元一 次方程出发,用含一个未知数的式子表示另一个未知数,再把这个式子代入二元二次方程,达 到消元的目的,转化为一元二次方程求解 解:由方程②,得y=1-x.③ 把方程③代入方程①,得x2+(1-x)2=1 整理,得x2 解得x1=0,x2=1. 把x=0代入方程③,得y=1; 把x=1代入方程③,得y=0 原方程组的解是 例2解方程组 分析方程②分解因式得两个二元一次方程x-3y=0和x 0,分别与方程①组成两个方程组{3),{xy0,。解这两个 方程组即可 解:由方程②因式分解,得(x-3y)(x-y)=0,即x-3y=0或 原方程组可化为两个方程组 用第一类型代入消元法解这两个方程组,得原方程组的 解为 例3解方程组 √x-1-y+2=0,① 分析方程①是根式方程,将其移项,再两边平方得x2-1 十2.这样,方程组就转化为前面已有的形式 解:把方程①移项,再两边平方,得x2-1=y+2 整理,得x2-y-3=0.③ 方程③一②,得x2-2x-15=0. 把x=5代入方程②,解得y=22 把x=-3代入方程②,解得y=6 分别代入原方程组检验,它们都是原 方程组的解 原方程组的解是 5,|x2=-3 y1=2:;y2=6 (5-x)2+(1-y)2=r2,① 例4解方程组{(7-x)2+(-3-y)2=r2,②(其中r>0) (2-x)2+(-8-y)2=r2.③ 解:由①一②得(5-x)2+(1-y)2-(7-x)2-(-3-y)2 平方化简得x-2y-8=0.④ 由①-③得(5-x)2+(1-y)2-(2-x)2-(-8-y)2=0 平方化简得x+3y+7=0.⑤ 解由④⑤组成的二元一次方程组/2y-8=0 x+3y+7=0 解得 把x=2,y=-3代入①得r2=25 ∴原方程组的解为y=-3 【检测衔接作业】 、选择题 方程组 12x2-5xy-3y2=0的卖数角 x1= yxy工 x2-y2=4(x+y) 2.方程组 Ix2+arty 的解的组数是 B.2 8.方程组{=2+k 有两组不同的实数解,则k的取值范围是 B.k<-7 C.k>-7 D.k<1 4方程组{+=3中的x,可以看成是一个一元二次方程的两个根,这个方程是( A.x2+3z-10=0 B.z2-3z+10=0 C.z2-3x-10=0 D.z2+3z+10=0 二、填空题 (x-2)(y-3)=1, 5.方程组 的解为 6已知|x-√y-1|+Mxy-2|=0,则x=,y 三、解答题 7.解下列方程组 4y2+x+3y+1=0 (1) ,=x+1; 8.解下列方程组 (2) x2-5xy+6y2=0; 9.解下列方程组 /x+2=y, 10.解方程组(a-2)2+(b-1)2=r2,其中r>0 参考答案 1.B点拨:将第二个方程分解因式 2.B 3.C点拨:由x2-4x-3-k=0中A>0得k>7 4.C点拨:由韦达定理可知 x1=3,(x2=1, 41点拨:由 解得 3(=5 x1=4,(x2=-4,x3=32,(x1=-3√2 8.解:(1) (2) a+b=5, ,( b,原方程组可化为 解得 原方程组的解是 =10

    • 2019-08-25
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  • ID:3-6158424 初高中数学衔接教材17讲:第7讲 无理方程

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    第7讲无理方程 【归纳初中知识】 初中我们已经学习了整式、分式、根式的概念,学习了一元 (二)次方程、简单二元一次方程组和可化为一元一(二)次方程的分 式方程(方程中的分式不超过两个)的解法,但没有涉及无理方程的 解法,在高中新课程的函数、三角和不等式的学习以及立体几何初步 和平面解析几何初步学习中又要经常用到这部分的知识,为了高中 学习顺利,本专题重点介绍无理方程(含二次根式)的解法,希望大家 能够掌握. 【衔接高中知识】 根号下含有未知数的方程,叫做无理方程 解无理方程的基本思想:去“根号”,化无理方程为有理方程再 求解 解无理方程的基本方法:平方法,即方程两边平方化无理方程为 有理方程求解,遇到平方后次数比二次大的较复杂的无理方程可尝 试用换元法求解 特别注意:解无理方程最后要验根 【精讲典型例题】 例1解方程√3x+6-2x=1 分析将-2x变号后移到方程的右边,然后两边平方,将无理 方程变为有理方程进行求解. 解:移项得√3x+6=2x+1, 两边平方得3x+6=4x2+4x+1 移项、合并同类项得4x2+x-5=0 解方程得x=-4或x=1 检验:把x=-代入原方程,左边≠右边,所以x 增根;把x=1代人原方程,左边=右边,∴x=1是原方程 解.∴原方程的解是x=1 例2解方程/3x-5x+2=1. 分析方程左边有两个二次根式,如果直接平方,结果较繁 般把其中一个根式移到方程的右边,使方程左右两边各含有一个 根式 解:移项,得/3x-5=x+2+1 两边平方,得3x-5=1+2√x+2+x+2 化简,得x-4=x+2 两边再平方并整理,得x2-9x+14=0 解得x1=2,x2=7 检验,x=2是增根,x=7是原方程的根. 例3解方程2x2+3x+3=52x2+3x+9 分析√2x2+3x+9是2x2+3x+9的算术平方根,如果直接平 方,结果很繁,若设/2x2+3x+9=y,则原方程可转化为y的一元二 次方程 解:设/2x+3x+9=y,则平方后得2x2+3x=y2-9, 原方程可化为y2-9+3=5y,即y2-5 解这方程得y=6或y=-1. 当y=-1时,2x2+3x+9=-1没有意义,无解,舍去 当y=6时,2x2+3x+9=6 解方程得x=3或x=-9 检验:把x 代入原方程,左边≠右边,所以x 原方程的增根. 把x=3代入原方程,左边=30=右边,所以x=3是原方 的解 原方程的解为x=3 例4解方程/3x-3+5x-19=2x+8 分析当含有三个以上根式的无理方程时,其解法也是平方法 目的是化根式方程为整式方程,只不过要多次平方,最后检验. 解:移项,得3x-3-2x+8=5x-19,两边平方并整理, 得/(3x-3)(2x+8)=12 两边再平方并整理,得x2+3x-28=0 解,得x=4或x 经检验 7是增根,所以方程的根为x=4. 【检测衔接作业】 、选择题 1.下列方程中是无理方程的是 B.√2x+√3y=5 C.y2-(2-1)y=1 用换元法解方程x2-3x x+5=1,如果设y=x-3x+5,那么原方程转化为 C.y2-y-6=0 y2-y+6=0 3.方程/x2+(x-1)2=x2+2的解是 () B C.x=3或 D.无解 4.方程(x2-1)2x-1=0的解是 或x=1 B 或 二、填空题 5用类似平方法解方程/x-1=2,得解 6.无理方程/x-2+4=0无解的依据是 三、解答题 7.解下列方程 (1)2x-√2x+1=5 (2)x+x-3=3 8.解下列方程 x-3=1 (25x+4-x+3=1 9.解下列方程: (1).x-1_5 (2)x2+x-x2+x-2-4=0. 10.已知直角三角形周长为48cm,面积为96cm2,求它的各边长 参考答案 1.D2.C 3.C点拨:将选项代入验证即可 4.A点拨:x=-1时,2x-1=-3<0,2x-1无意义 5.x=9点拨:两边三次方,得x-1=8,∴x=9 6.因为x-2≥0,x-2+4≥4,故/x-2+4=0无解 7.(1)4(2)38.(1)37(2)1 解:(1) =y,则原方程化为y-5=-1,解得y=2,y2-2 vx+2=2,解得 当 时, 解得x=2. 经检验,原方程的解为x1=-3,x2=2. (2)设/x2+x-2=y,则原方程化为y2-y-2=0,解得y1=-1,y2=2. 当y=-1时,x2+x-2=-1,无解; 当y=2时,x2+x-2=2,解得x1=-3,x2=2 经检验,原方程的解为x1=-3,x2=2 10.解:设两直角边长为a,b,则斜边长为a2+b a+b+√a2+b2=48 ab=96 解得a=12,b=16,c=20 故三边长分别为12cm,16cm,20cm.

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  • ID:3-6158422 初高中数学衔接教材17讲:第6讲 分式方程

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    第6讲分式方程 【归纳初中知识】 初中我们已经学过可化为一元一次方程的分式方程及其解法 解分式方程的基本思路 去分母化分式方程为整式方程求解 二、解分式方程的基本步骤 1.各分式的分母分解因式(若题中已分解好了,这一步可省去); 2.方程两边同时乘以分母的最小公倍数; 3.去括号、移项、合并同类项,得一元整式方程; 4.解一元整式方程 5.验根、写答案 三、验根的方法 1.求得解代入最小公倍式,会使公倍式为零的为原方程的增根 2.求得解代入原方程分母是否为零,会使分母为零的为增根; 3.求得解代入原方程左右两边是否相等,会使方程左右两边相 等的解为原方程的根 其中方法1、2用来剔除增根,方法3用来证实原方程的根. 【衔接高中知识】 对分式方程中的分式不止两个或化简后的次数高于二次的分式 方程,初中没有要求,而在高中新课标中的函数、不等式、数列及平面 解析几何学习中又常常用到,为了适应用新课标的高中课程学习,我 们必须掌握一些较复杂的分式方程的解法和应用 【精讲典型例题】 例1解方 分析将分式方程的分母进行因式分解,从而确定最简公分母 是x(x+2)(x-2) 解:原方程分母分解因式为 (x+2)-x(x-2)+x(x+2)=0 去分母,两边同时乘以x(x+2)(x-2), 得2x-(x+2)+(x-2)=0 去括号、移项、合并同类项得2x=4, 解方程得x=2 检验:把x=2代入最简公分母,得x(x+2)(x-2)=0, ∴x=2为原方程的增根 原分式方程无解 例2解方程(x2+2x)+3(x2-1) 11 分析按一般解法,应先去分母,整理后为一元四次方程,结果 较繁,观察方程,左边的两个分式x2+和x+2互为倒数,可以通 过“换元”,将方程化简 解:设 ,于是原方程变形为8 3 方程两边同乘y,得8y2-11y+3=0 解得y1=1,y2=8 经检验,y=1,y=都是方程8y+=11的根 当y=1时,x+2x=1,去分母,整理,得x2+2x=x2-1 解得x1= ,去分母,整理,得5x2+16x+3= 解得x2=-3,x2=-1 检验:把x1 =-2,2=-3,=吉分别代入原方程的分 母,各分母都不为零 所以,原方程的根是x1=-2,x2 例3试确定实数m的值,使关于x的方程 x(x-=1)有增根 分析分式方程化为整式方程后求得的根,若使原方程的分母 为零,则为增根,由此我们可以得到如下解法 解:原方程去分母,两边同时乘以x(x-1) 得3(x-1)+3 去括号、移项、合并同类项得5x=3+m 解方程得x=3+m 若使方程有增根,只要x=1或x=0即可, 1或 0,即m=2或m 当m=2或m==3时,关于x的方程3+31=(+m有增根 【检测衔接作业】 选择题 1.方程,+ 1+-,的解为 1和2 C.1 D.0和2 2.用换元法解方程 5(x2-x)12(x2+1) =6时,最适宜的做法是 设 B.设x2+1 C.设 D.设21=y 3.关于x的方程1=1的解是负数,则a的取值范围是 a<1 C.a≤1 D.a≤1且a≠0 4如果1+2一乙23+2,那么A一B的值是 C. D.2 二、填空题 5如果分式方程一二=2-2。有增根,则增根必为 6.去分母解分式方程 ,分母的最简公分母是 三、解答题 7.解方程 x2+5x+4x+1x(x+4) 8解方程(x+4)+2x=72-18 9.解关于x的方程x一b+x-4=2(4≠土b) 0.k取何值时,方程 x-1-k一会产生增根? 参考答案 1.C点拨:注意验根x=2是增根,应舍 2.D点拨:利用整体代换,使之变为y的方程 3.B点拨:由方程41=1可得a=x+1,即x=a-1<0,a<1,当a=0时,方程 不成立,a≠0 4A点拨:比较系数可得A=3,B=3…A-B=3 6.(x-1)(x+2)(x-2) 7.解:方程两边同时乘以x(x+1)(x+4),得x(x-2)=x(x+4)+(x-4)(x+1),即x2+ 3x-4=0.解得x=1,或x=一4.经检验,x=一4是增根.所以原方程的根是x=1 设n=+1,则原方程可化为n+2=12-180+20.解得n=6,成n=12 (1)若n=6,则6=x-12,即x2-2x+6=0因为△<0,此时方程无实根 2若n2=1:则12=+即x2-87+12=0.解得x=2,或=6 经检验,x=2,x=6都是原方程的根.又因原方程没有其他根,所以原方程的根是x=2,或 9.解:方程两边都乘以(x-a)(x-b),得 (x+a)(x-a)+(x+b)(x-b)=2(x-a)(x-b) 化简,整理得2(a+b)x=(a+b) ∵a+b≠0,…∴x≈a+b 检验:当x=9时,(x-a)(x-b)≠0 原方程的解为x=g+b 10.解:原方程化为x2+1=k,若原分式方程产生增根,则 当x=0时,k=1;当x=-1时,k=2 故k的值为1或2

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  • ID:3-6158420 初高中数学衔接教材17讲:第5讲 一元二次方程根与系数的关系

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    第5讲元二次方程根与系数的关系 【归纳初中知识】 元二次方程的解法 1.直接开平方法 2.配方法:把一元二次方程通过配方化成(mx+n)2=r(r≥0)的形式,再用直接开平方法 求解 3.公式法:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式:x 4.因式分解法:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边可以分解为两个一次因 式的积,那么这两个因式至少有一个为0,原方程可转化为两个一元一次方程来解 元二次方程的根的判别式 一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根,用配方法可将其变形为 6b--4ac 判别式△=b2-4ac 1.当4>0时,方程有两个不相等的实数根:x1==b+/b 当△=0时,方程有两个相等的实根数:x1=x2 8当2<0时方程没有实数根方程右边是一个负数,而方程的左边(x+2)不可能是 个负数,因此,方程没有实数根 【衔接高中知识】 初中学生掌握了一元二次方程的概念、解法及其根的判别式,但是对根与系数的关系没有 较深的研究,在高中数学教材中的二次函数、不等式以及解析几何等内容都大量地应用了一元 二次方程根的判别式及根与系数的关系,所以我们必须补充和加强这方面的内容 三、一元二次方程根与系数的关系 方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式x b±b2-4ac 仅表示可以由方程的系数a,b,c决定根的值,而且还反映了根与系 数之间的联系 根据求根公式可知,当b2-4ac≥0时,一元二次方程ax2+bx+ =0(a≠0)的两根为 -b+b-4ac 2a 由此可得 b+/b2-4ac+=b=b2-4c=-b=-b b+ -b (-b)2-(b2-4ac)2c 因此,方程的两个根x1,x2和系数a,b,c有如下关系 x+x2=- 1.x2= 这个一元二次方程的根与系数的关系叫做韦达定理 反过来 如果x,x2满足x+x2=一,xx=,那么x,一定是方 程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根 这就是韦达定理的逆定理. 特别地 (1)如果方程x2+px+q=0的两个根是x1,x2,那么x1+x2= (2)以两个数x1,x2为根的一元二次方程(二项次数为1)是x2 【精讲典型例题】 例1若x1,x2是方程x2+2x-2011=0的两个根,试求下列 各式的值 (1)x+x (3)(x1-5)(x2-5); (4)|x1-x2 分析本题若直接用求根公式求出方程的两根,再代入求值,将 会出现复杂的计算,这里应根据各式的特点,利用韦达定理来解答 解:依题意,由根与系数的关系得x1+x2=-2,x1·x2= 2011. 所以(1)x1+x2=(x1+x2)2-2x1x2=(-2)2-2× (-2011)=4+4022=4026 (2)+ 1_x1+x2 2011 (3)(x1-5)(x2-5)=x1x2-5(x1+x2)+25 2011-5×(-2)+25=-1976 (4)|x1-x2|=(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2 =(-2)2-4×(-2011)=4√503 例2写出一个一元二次方程,使它的两个根为—5和 分析方程的根是由它的系数决定的,给出根与系数的关系可 以构造出一元二次方程,但得到的一元二次方程不唯一,不过它们各 次项的系数对应成比例.为了方便,一般设所求的方程为x2+px+ 解:设所求的方程为x2+px+q=0,由根与系数的关系可知 得p 因此,一元二次方程为x2+13x-10=0,即 3x2+13x-10=0. 例3当k取何值时,关于x的方程3x2-2(3k+1)x+3k 1=0 (1)有一根为零;(2)有两个互为相反数的实根;(3)两根互为 倒数 解:要使方程有根,必须△=[-2(3k+1)]2-4×3(3k2-1)≥0 解得k≥-2 (1)若方程有一根为零,则x1x2=0 0,解得k=士 因为士3>-3 2,所以当k 时,方程有一个根为零 (2)若方程有两个互为相反数的实根,则x1+x2=0 x1+x2=2(3k+1)=0,解得k= 因为一3>3,所以当k=一时,方程有两个互为相反数 的实数根. (3)若方程两根互为倒数,则x1x2=1 1 解得k 四为一号,m2一等,所以当一3时 方程的两实根数为倒数 例4设x1,x2是方程2x2-4mx+2m2+3m-2=0的两个实数根,当m为何值时,x1+ x有最小值?并求出这个最小值 分析运用根与系数的关系,把x1+x2用m的代数式表示,再求代数式的最值 △A≥0>(-4m)2-8(2m2+3m-2)≥0>m≤2, =2m 2-2m+20=2-m+2m-1 又 2,由二次函数的知识知, 当m=2时,x+x的最小值为 【检测衔接作业】 选择题 1.下列四个说法 ①方程x2+2x-7=0的两根之和为-2,两根之积为-7; ②方程x2-2x+7=0的两根之和为-2,两根之积为7; ③方程3x2-7=0的两根之和为0,两根之积为~ ④方程3x2+2x=0的两根之和为-2,两根之积为0 其中正确说法的个数是 A.1个 C.3个 D.4个 2.关于x的一元二次方程ax2-5x+a2+a=0的一个根是0,则a的值是 B D.0或-1 3.设x1,x2是方程2x2+4x-3=0的两根,那么(x1+1)(x2+1)的值是 4.若ab≠1,且5a2+2002a+9=0及962+2002b+5=0,则的值是 二、填空题 5.以一3和1为根的一元二次方程是 6.方程2x2+2x-1=0的两根为x1和x2,则x1-x2 三、解答题 7.已知关于x的方程tx2-x=1的一根为1,求另一根 8.已知关于x的方程x2+2(m-2)x+m2+4=0有两个实数根,并且这两个实数根的平方和 比两根的积大21,求m的值. 已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0,两根之比为3:5,求证:64ac=15b2 10.若关于x的方程x2+x+a=0的一个根大于1,另一个根小于1,求实数a的取值范围 参考答案 1.B点拨:由韦达定理知①③正确 2.C点拨:由x1·x2=0,得a=-1,a=0(舍) C点拨:(x+1(x2+1)=x2+(x1+x2)+1=2-2+1=-2 4B点拨:由96+20b+5=0得5()+202+9=0,∴ah可以看作方程5x2+ 2002x+9=0的两根,∴a b 5.x2+2x-3=0 6.3点拨:x1-x2|(x1+x2)2-4x1x2=①1+2=3. 7.解:设另一根为x0,由韦达定理得 解得 故方程另一根为一2 8.解:设x1,x2是方程的两根,由韦达定理 ∵x+x2-x1·x2=21,∴(x1+x2)2-3x·x2=21,即[-2(m-2)]2-3(m2+4)=21,化 简,得m2-16m-17=0,解得m=-1,或m=17 当m=-1时,方程为x2-6x+5=0,4>0,满足题意;当m=17时,方程为x2+30x+ 293=0,△=302-4×1×293<0,不合题意,舍去 9.证明:设该方程的两根为3k,5k,则 消去k可得64ac=15b2 10.解:由题意知x1>1,x2<1,则x1-1>0,x2-1<0. △=1-4a>0,① (x1-1)(x2-1)<0.② 由①得a<,由②得a<-2, ∴a的取值范围是a<-2

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  • ID:3-6158419 初高中数学衔接教材17讲:第4讲 根式及其运算

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    第4讲根式及其运算 【归纳初中知识】 在初中,我们主要学习了二次根式的概念及其运算 1.二次根式定义中a(a≥0)是一个整体,表示非负数a的算术平方根.在实数范围内对 负数不能施行开平方运算,故a≥0这个条件必不可少 a(a>0) 2.(a)2=a(a≥0),√a2=al={0(a=0), (1)(√a)2(a≥0)的运算顺序是先求一个非负数的算术平方根,然后再平方注意必须满足 ≥0的条件 (2)√a的运算顺序是先平方再开方,取算术平方根.故此式对任何实数都有意义使用公 式时注意a2=a|的应用 (3)化简过程中一定要注意符号问题.当性质a2=-a(a<0)逆运用时应是a=-√a (a<0),即把负数a移到根号里面时,应把“-”号留在根号外面. 3.二次根式具有非负性,即a≥0(a≥0) 【衔接高中知识】 高中在二次根式的基础上研究n次根式,学习n次根式和分数指数幂的互化以及根 式的运算,另外高中解无理方程、解无理不等式、建立圆锥曲线的方程等,都需要对二次根式的 运算非常熟练、灵活. 1.n次根式 实际上,数的平方根的概念可以推广.一般地,如果x=a,那么x叫做a的n次方根.例 如,由于24=16和(-2)4=16,我们把2或-2叫做16的4次方根.当n是偶数时,正数a的 正的n次方根用符号a表示,负的n次方根用符号一a表示,也可以把两个方根合起来写作 ±a例如,16=2,-√16=-2,合起来写作士16=±2 类比二次根式的性质,我们得到n次根式的性质 (1)(ay=a(m∈N).特别地,(√a)2=a(a≥0),(a)3=a(a∈R) (2)当n是正奇数时,va"=a;当n是正偶数时,a"=|a1.特别地,√a=|a|= ya3=a(a∈R) a,a<0 (3)=a(a>0,m>1,n∈N);1=a(a≠0,n∈N) 2.分母(分子)有理化 分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化因式,化 去分母中的根号的过程.在高中数学中,有时需要把分式的分子进行 有理化,即分式的分子和分母都乘以分子的有理化因式,化去分子中 的根号 【精讲典型例题】 例1(1)当x<0时,求x+√x+2x的值; (2)若n为自然数,ya=-a,求a的取值范 分析根据η次根式的性质,可以对含字母的根式进行化简与 解:(1)当x<0时,x|+√x+2x=1x|+|x|+2x=-x (2)因为n为自然数,所以2n为偶数,于是√a=|a 又因为a=-a,所以a≤0 例2已知a=2-3,b=2+3,计算 分析我们发现像这类a,b的两根式,它们的相加的和相乘的 积都不含根式,我们称之为“共轭根式”.在解题中,我们要充分运用 a十b和ab不含根式”这一性质,进行简化运算 解法1:∵ab=1,:4+√ab=y(a+b__a b+√ab√b(b+a)b√ab a+ab a+1 a+ab a(1+b) 解法2:∵ab=1b+√abb+1b+1b+1=a= 2-3. 例3有理化下列各式的分子 (1)x+1+x (a>1) 分析x+1+√x有理化因式为√x+1-√x,(2)可先化简 约分 解:(1)原式=x+1+yax+1- x)2 x+1-x (x+1-x)2(x+1-x) (2)4-1+a a+1+a2=1 (a-1)2+√(a+1)(a-1) (a+1)2+√(a+1)(a-1) a+1(/a+1+a-1) 例4已知a,b都是非负数,并且1-a×√1-b2=ab,求证 a√1-b2+b1 分析当已知式或求证式中含有二次根式时,可以考虑把两边 平方化为整式再证明.但A2=B3,未必有A=B,因此在证明过程 必须确定A,B是否同号 证明将1-a2×1-b2=ab两边平方,得(1-a2)(1-b2)= a2b2,即1-a2-b2+a2b2=a2b2,得a2+b2=1 (a√1-b2+b1-a2)2 (1-b2)+b2(1-a2)+2ab√1-b2×1 =a2+b2-2ax2b2+2a2b2=1. 因为a,b都是非负数,所以a√1-b2+b√1-a2≥0 因此a√1-b2+b√1-a2=1 【检测衔接作业】 选择题 1.下列说法正确的是 A.正数有一个偶次方根 B.负数没有偶次方根 C.负数有两个奇次方根 D.正数有两个奇次方根 时 /3 把 (a≠b)分母有理化的结果是 a+b 二、填空题 4.64的平方根是 ,立方根是 六次方根是 5.已知xy=5,则x2+y/的值为 6.当x=1+/200时,代数式(42-2009x-2000的值为 三、解答题 7.把下列各式中的分子有理化 (2)x 3√b 8.已知x=③+2,y=3-2 3V令,求代数式y+(+y的值 xy-(xty) 9.化简:(1)a-2a-1(11,n∈N) 10.设m,n是实数,且满足n m-4+/4-m2+2,求/m的值 参考答案 2.C点拨:∵a>0,∴x≤0,=ax3=-x√-ax 3C点拨:b=+b=2ym 4.±8,4,±2 5.±2√5点拨:∵xy=5,∴x,y同号,x,y同正时,原式=xy+xy=25,x,y同负时,原 式=-xy-xy=-25 6.0点拨:∵r=1+/2006 4x2-4x=2005,∵4x3-2009x-2005=4x3-2009x (4x2-4x)=4x3-2005x-4x2=x(4x2-2005-4x)=0 8.解:∵x=5+2√6,y=5-2√6,∴xy=1,x+y=10,∴原式 99 9.解:(1)原式=√(a-1)-2√a-1+1=|a-1-1=1-a-1 (2)当n为偶数时,原式=a-b+|a+b|=b-a-a-b=-2a; 当n为奇数时,原式=a-b+a+b=2a. 4≥0 0.解:由 得m=±2,又m-2≠0,舍去m=2, 4

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  • ID:3-6158417 初高中数学衔接教材17讲:第3讲 分式及其运算

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    第3讲分式及其运算 【归纳初中知识】 在初中我们学习了分式,了解了分式的概念,会利用分式的基本性质进行约分和通分,会 进行简单的分式的加、减 1.分式:用A,B表示两个整式,如果B中含有字母,式子叫做分式,其中B≠0 分式性质:=×M,A=A÷M(M为不等于零的整式) 分式运算:(1)同分母加减±bab2异分母加减号士=8士b=(关 在于先找到最简公分母) 【衔接高中知识】 在高中学习中,我们还会遇到更多复杂的分式的运算、化简、求值和证明.因此掌握分式的 有关知识及变形是继续学习高中数学必需的基本技能 分式运算的方法和技巧 分式的运算以分式的概念、基本性质、运算法则为基础,其中分式的加减运算是难点,解决 这一难点的关键是根据题目的特点恰当地通分,并以整式变形、因式分解为工具进行运算.通 分一般有以下技巧 1.等式中含有整式,其分母可看做1 2.当分子的次数高于或等于分母次数时,可将其分离为整式与真分式之和 3.先约分,后通分,可简化计算 1.合理搭配,分组通分,化整为零 5.拆项相消后通分 6.分步通分,逐步计算 7.换元后通分 二、有条件的分式的化简与求值 解有条件的分式化简与求值问题时,既要瞞准目标,又要抓住条件;既要根据目标变换条 件,又要依据条件来调整目标,除了要用到整式化简求值的知识方法外,还常常用到如下技巧 1.恰当引人参数进行换元 2.取倒数或利用倒数关系; 3.拆项变形或拆分变形 4.整体代入; 5.利用比例性质等 、分式的证明 1.一般恒等式证明的途径 (1)由繁到简,即从等式较复杂的一边入手,经过配方、因式分 解、换元、降次等多种变形,逐步推到另一边; 2)将等式两边同时变形为同一个代数式,即“相向趋进”,推出 个中间相等的结果 2.条件恒等式证明的途径 (1)从条件出发,逐渐推出结论(由因索果); (2)当所给条件较简单,可先将结论变形,然后将条件代入(执果 索因) 【精讲典型例题】 例1计算:42+7a+10×-1:a+1 分析分式乘除运算与约分相关,应考虑将各分式的分子分母 解因式 解:原式=(a+2)(a+5)y(a+1)(a2-a+1)×a+2 (a+2) 例2 分析观察已知条件和要求分式的结构特点,可将分式的分子 分母同时除以m 2-3-2-2(1-1 解:原式=1 2×4-311 例3已知abc=1,求证 a+1 bc+b+1 ac+c+1 分析此題直接通分太繁,不可取.观察求证式子的左边,发现 作轮换a-∽bc→a,可将其中一项变为另两项,结合已知条件,可以 有以下两种策略 解法1:因为abc=1,所以a,b,c均不为零 式 ab++l a(bc+b+1)' ab(ac+c+1) an+a+1+a0b+++ b+a+1+1+++a+1+a a+ab+1 b+a+1 解法2:因为abc=1,所以a,b,c均不为零. 原式二ab+a+ab+be+b+1+b0ac+c+1) bc b+1+ +b+l bac+bcb b b+1+b+b+b+1+1+b+b 例4已知△ABC的三边分别为a,b,c,且2++9=3试判断△ABC的形状 分析本題题设简洁,证明有较大难度,但b+十《是关于a,b,c的轮换式,所以可以 猜想a=b=c b 解:设=m 则m2+n2+k3=3 b m+n'+k=3mnk (m+n+k)(m2+n2+k2-mn-nk一km)=m3+n3+k3-3mmk,且m+n+k≠0 m2+n2+k2-mn-nk-km=0,[(m-n)2+(n-k)2+(k-m)2]=0 由①②知m=n=k=1, a=b=c,即△ABC为等边三角形 【检测衔接作业】 、选择题 如果分式(x-2)(x+1)的值为零,那么x的值是 C.2 D.±1 若k=b+c=a+c=a+b,则k的值等于 1 D.不能确定 若a+b+c=0,则a(1+1)+b(1+1)+c(1+1)+3的值为 二、填空题 4若“三82=2,那么y 5.若 1 1,则 6计算:1÷(2)÷[(x)÷(-x)] 三、解答题 化简:3计+10一6千2 8.已知+++=0,求证:a2+b2+c2=(a+b+c) 9.已知a+b+c=0,求 b- 22+ab的值 10有一道题:先化简再求值:(3+x5)÷,其中“=207:小亮同学做题 时把“x=-√2007”错抄成了“x=2007”,但他的计算结果也是正确的,请你解释这是怎 么回事 参考答案 1.A点拨:由(x+1)(x-1)=0且(x-2)(x+1)≠0可得x=1. 2.B点拨:由已知可得a=k(b+c),b=k(a+c),c=k(a+b),∴a+b+c=2k(a+b+c), a+b+c=0时,k=-1,当a+b+c≠0时,k=1 3.D点拨:充分运用a+b+c=0,并运用3=1+1+1=4+b+C,则原式b+Q+b b⊥C b++a=(a+0+0(4+b+2)=0 点拨 15点拨:x2 1.=161=1 6.-xy点拨:注意运算次序 7.原式= 3x+9 +3x+9)x(9 2(x+3)-12-(x-1)(x-3) 2(x+3)(x-3)2(x+3) 8.证明:由 2+b+1=0.得b++b=0 12+b2+c2-(a+b+c)2=-2(bc+ac+ab)=0 ∴a2+b2+c2=(a+b+c)2 .解:21+2+(--b=a-0b==(a-b5(-,利用轮换对称关系得 20c-0=(=025+b=(=0(=b故 (a-b)(a-c)(b-c)(b-a)(c-a)(c-b) (-b(b-0(c=0)=(=00c a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a 10解:(+3+5)÷ 6x+9+6x,(x2-9) =x2+9 因为x=2007或x=-2007时,x2的值均为2007,原式的计算结果都是2016 所以把“x=-2007”错抄成“x=2007”,计算结果也是正确的

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  • ID:3-6158416 初高中数学衔接教材17讲:第2讲 因式分解

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    第2讲因式分解 【归纳初中知识】 把一个多项式化成几个整式的积的形式,叫做因式分解,它与多项式乘法运算是互逆变 形.在初中我们主要学习了两种因式分解的方法—提取公因式法与公式法,其中公式法中直 接用公式不超过两次 方法1.提取公因式法:am+bm=m(a+b) 即将多项式中各单项式相同的数字因数或字母因式提出来进行因式分解的方法 方法2.公式法:运用乘法公式进行逆推 常见的公式有: (1)a2-b2=(a+b)(a-b) (2)a2±2ab+b2=(a±b)2 (3)a3士b=(a±b)(a2千ab+b2) (4)a3±3a2b+3ab2±b3=(a±b)3; (5)a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc=(a+b+c)2; (6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2 【衔接高中知识】 因式分解是高中学习的一个很重要的数学工具,在高中函数、不等式、数列和解析几何等 学习中都是不可少的内容.初中学习的提公因式法、公式法(直接用公式不超过两次)进行因式 分解,到高中是很不够用的,因而为了能很好地进入高中学习,顺利地完成高中学习任务,我们 需要补充一些因式分解的知识和方法 方法3.分组分解法 观察多项式xm+xn+ym+yn,它的各项并没有公因式,也不能直接套用公式,因此不能 利用提取公因式法和公式法进行分解因式,但是我们观察到该式前两项有公因式x,后两项有 公因式y,分别提取后得到x(m+n)+y(m+n).这时又有了公因式m+n,因此能把多项式 xm+xn+ym+yn分解因式.分解过程 .mT.rntymtyn x(m+n)+y(m+n) =(m+n)(x+y) 一般地,把多项式分组后,在各组分解因式的基础上,再完成整个多项式的因式分解,这种 方法叫做分组分解法 方法4.十字相乘法 我们知道,形如x2+(p+q)x+p的二次三项式,它的特点是 二次项系数是1,常数pq与一次项系数p+q可以通过如右图的 “十字相乘,乘积相加”的方式建立联系,得到x2+(p+q)x+p= 下面来看二次三项式mnx2+(mb+ma)x+ab,将其二次项系1× (x+p)(x+q).这种方法能推广吗? g=p-+g 数m,常数项ab写成下列十字形式 发现“十字相乘,乘积相加”,结果恰好为一次项的系数mb+ma,由于(mx+a)(nx+b) mnx2+(mb+na)x+ab.从而有 mn.x+(mbtnaxtab=(mxta)(nxb 像这样,通过十字交叉线帮助,把二次三项式分解因式的方法,叫做十字相乘法 方法5.综合除法与因式定理 (1)综合除法:一元多项式除以一元多项式,有一种简便的方法,例如:求多项式a2x2+ a1x十a除以x-b的商和余数.先用一般的除法计算 a2x+(a+a2 b) x-b/a,r +arx a2 bx (a+a2 b)b 所得商式是a2x+(a1+a2b) 余式是a+(a1+a2b)b (2)因式定理 我们将x的一元n次多项式记为f(x),即 并记当x=a时,多项式f(x)的值为f(a) 如多项式f(x)=3x2-5x-2,当x=1时,f(x)的值f(1)=3×12-5×1-2=-4 ①余数定理多项式f(x)除以x-b所得的余数等于f(b) ②因式定理如果x=b时多项式f(x)的值为零,即f(b)=0,则f(x)能被x-b整除[即 f(x)含有x-b的因式]. 因式分解还有一些特殊的方法,如换元法、待定系数法、配方法、拆项添项法等 【精讲典型例题】 例1把2ax-10ay+5by-bx分解因式 分析把这个多项式的四项按前两项与后两项分成两组,并使 两组的项按x的降幂排列,然后从两组中分别提出公因式2a与一b 这时另一个因式正妤都是x-5y,这样就可继续提公因式 解:2ax-10ay+5by-bx (x-5y)-b(x-5y) 例2将下列各式分解因式. (1)2x2+x-3 (2)(x2-x)2-(x2-x)-2; (3)x2-2xy-8y2-x-14 分析(1)因为2=1×2,-3=(-1) 3=1×(-3),且一次项系数是1,所以可 按右图用十字相乘法分解因式 (2)先将x—x视为一个整体,通过两次十字相乘法得到解决 (3)可用“广义”的十字相乘法进行分解. 解:(1)2x2+x-3=(x-1)(2x+3) (2)(x2-x)2-(x2-x)-2 1] (x+1)(x-2)(x2-x+1) (3)x2-2xy-8y2-x-14y-6 14y)-6 例3把x3+3x-4分解因式 分析记f(x)=x3+3x-4,则f(1)=1+3-4=0,由因式定 理知f(x)能被x-1整除[即f(x)含有x-1因式] 解:x3+3x-4 例4已知n是正整数,且n2-16n2+100是质数,求n的值 分析从因式分解的角度来看,质数只能分解成1和本身的乘 积(也可从整除的角度看),故对原式进行恰当地分解变形,是本例最 解:n2-16n2+100=n+20n2+100-36n2 =(n2+10)2-36n2 =(n2+6n+10)(n2-6n+10) 因为n2+6n+10≠1,而n-16n2+100为质数且n为正整数 故n2-6n+10=1,即(n-3)2=0,解得n=3 【检测衔接作业】 选择题 1.把代数式ax2-4ax+44分解因式,下列结果中正确的是 A.a(x-2)2 a(x+2)2 C.a(、x-4)2 D.a(x+2)(x-2) 2.下列各式中,不是4x4-17x2+4的因式的是 B.x+2 C.x-2 3.要使二次三项式x2-5x+p在整数范围内能进行因式分解,那么整数p的取值可以有 A.2个 B.4个 C.6个 D.无数多个 填空题 4.分解因式:x4-x2+4x-4= 5.若多项式a2+(k-1)ab+9b2能运用完全平方式进行因式分解,则k 6.△ABC的三边满足a2-2bc=c2-2ab,则△ABC的形状是 解答题 7.分解因式:(1)4x2-x-3 (2)x3-y2-x2y+xy2 8.分解因式:ab(a+b)2-(a+b)2+1 9.已知m=x-y,n=xy,试用m,n表示(x2+y2)2 10.多项式x2+axy+by2-5x+y+6的一个因式是x+y-2,试确定a+b的值 参考答案 1.A点拨:原式=a(x2-4x+4)=a(x-2)2 2.D点拨:设f(x)=4x4-17x2+4,则f(4)=4×4-17×42+4≠0,故x-4不是4x 17x2+4的因式,或者直接将4x4-17x2+4分解因式进行判断 3.D点拨:任取正整数n,则p可取n(-5-n),故p的取值可以有无数多个 4.(x+2)(x-1)(x2-x+2)点拨:原式=x4-(x2-4x+4) (x-2)2=(x2+x-2) (x2-x+2)=(x+2)(x-1)(x2-x+2) 5.7或-5点拨:对照完全平方公式可知k-1=±6,∴k=7或 6.等腰三角形点拨:由a2-2bc=c2-2b得(a-c)(a+c+2b)=0,∵a+c+2≠0,∴a=c 7.解:(1)原式=(x-1)(4x+3) (2)原式=(x-y)(x2+xy+y2)-xy(x-y) -y)(x2tryty2-ry) =(x-y)(x2+y2) 8.解:设a+b=x,则原式=abx2-(a+b)x+1=(ax-1)(bx-1)=(a2+ab-1)(b2+ab-1) 9.解:∵(x3+y2)2=(x3-y2)2+4x2y2=(x-y)2(x2+xy+y2)2+4x2y2 =(x-y)2[(x-y)2+3xy]32+4x3y2 =m2(m2+3n)2+4n 10.解:由已知,可设另一个因式为x+by-3, x2+axy+by -5.x+y+6 (x+y-2)(x+by-3 x2+(b+1)xy+by2-5x-(2b+3)y+6 比较系数,得 解之得 b=-2.

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  • ID:3-6158414 初高中数学衔接教材17讲:第1讲 乘法公式

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    第1讲乘法公式 【归纳初中知识】 在初中,我们学习了多项式的乘法运算,知道乘法公式可以使多项式的运算变得更为简 便.初中主要学习了两个基本的乘法公式—平方差公式和完全平方公式 公式】平方差公式:(a+b)(a-b)=a2-b 「公式2完全平方公式:(a士b)2=a2±2ab+b2 【衔接高中知识】 高中代数部分是以函数为主线展开学习的,为研究函数的性质,需要同学们具有较强的代 数恒等变形能力,也就是说,在高中学习中还会遇到更为复杂的多项式的乘法运算.因此,在本 节中,我们将拓展乘法公式的内容,补充一些高中常用的乘法公式 由于(a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b) =a+a b+2ab+2ab++bs a +3a b+3ab2+b 于是有 公式3完全立方和公式:(a+b)}=a3+3a2b+3b2+b, 将公式三中的b全部换成一b,得到立方差公式 「公式4完全立方差公式:(a-b)}=a3-3a2b+3ab2-b 由完全立方和公式可得(a+b)3-3a2b-3ab2=a3+b,即 (a+b)(a+b)2-3ab]=a3+b3. 于是有 公式5立方和公式:(a+b)(a2-ab+b2)=a3+b 仿公式四,请同学们思考: 公式后立方差公式:(a-b)(a2+ab+b2) 于(a+b+c)2=[(a+b)+c]2=(a+b)2+2(a+b)c+c2 =a2+2ab+b2+2ac+2b+c2 a'+b+c2+2ab+2ac+2bc 于是有 「公式7(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2be 同时,我们还应注意乘法公式的一些常见变形 1.a2+b2=(a+b)2-2ab; 2.a2+b2=(a-b)2+2ab; 3.(a+b)2=a3+b+3ab(a+b); 4.a3+b=(a+b)3-3a6(a+b) 【精讲典型例题】 例1已知x+ +y=-5,xy=6,求x2+y2的值 分析利用完全平方公式的变形a2+b2=(a+b)2-2ab进行 求解 解:∵x+y=-5,xy=6 x2+y2=(x+y)2-2 (-5)2-2×6 例2计算:(x2+2xy+y2)(x2-xy+y2)2 分析观察式子的结构特点,可先后套用完全平方公式和立方 和公式进行计算 解:原式=(x+y)2(x2-xy+y2) [(x+y)(x2 =(x3+y2)2=x6+2x3y3+y 例3当a+b+c=0,a2+b2+c2=1时,求下列各式的值 (1bc+ctab (2)a4+b4+c4 分析将(1)与已知联系,联想已知中的等式,发现可将b+ ca+ab用a+b+c和a2+b2+c2表示.由于a4+b4+c4=(a2)2+ (b2)2+(c2)2.由(1)得到启示,如果知道a2b2+b2c2+c2a2的值,就能 得解 解:(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca) 且a+b+c=0,a2+b2+c2=1 ∴02=1+2(ab+bc+ca 即bc+ca+ab=-1 (2)∵(bc+ca+ab)2 h2c+c2a+a b+2(a bc-tab'ctabc2) =b2c2+c2a'-+a b+2abc(a+b+c) b22+2a2+a2b2=1 ∴a4+b+c4=(a2+b2+c2)2-2(b2c2+c2a2+a2b2) 1-2 例4老师在黑板上写出三个算式:52-32=8×2;92-72=8× 4;152-32=8×27;李正接着又写了两个具有同样规律的算式: 112-52=8×12;152-72=8×22 (1)请你再写出两个具有上述规律的算式 (2)用文字写出上述算式反映的规律 (3)证明这个规律的正确性, 分析先类比写出算式,然后归纳出一般的规律,最后进行 证明 解:(1)72-52=8×3;112-32=8×1 (2)规律:任意两个奇数的平方差等于8的倍数 (3)证明:设m,n为整数,则2m+1和2n+1为任意两个 奇数 (2m+1)2-(2n+1)2 (2m+1+2n+1)(2m+1-2n-1) 2m+2n+2)(2m-2n 4(m-n)(m+n+1) 当m,n同奇或同偶时,4(m-n)为8的倍数;当m,n一奇 偶时,4(m+n+1)为8的倍数.即任意两个奇数的平方差 等于8的倍数 【检测衔接作业】 择题 1.下列各式中,不一定成立的是 A.(a+b)2=a2+2ab+b2 B.(b-a)2 2ab-tb2 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.(a-b)2=a2-b2 2.已知p2+q2=169,p-q=7,那么p的值为 A.120 B.60 D.15 3.设M=(n+)3,N=n3++6,对于任意n>0,则A,B大小关 M≥N B MN C.M≤N D.不 二、填空题 4.化简:(y-3)(y2+3y+9) 5.已知(x+y)2-2x-2y+1=0,则(x+y)20 6.观察下列各式 (x-1)(x+1)=x2-1; (x-1)(x2+x+1)=x3 (x-1)(x3+x2+x+1)=x4-1 根据上面的规律可得: (x-1)(xn+xx-1+…+x+1) 三、解答题 7.化简:(m+1)3-m(m2+3m+3) 8.计算:(1-a)(1+a)(a2+a+1)(a2-a+1) 9.当x=3时,求代数式(2x+1)(4x2-2+)-1的值 10已知a+b+=0.b++=-2,求下列各式的值 (1)a2+b2+c2;(2)a4+b+c 参考答案 1.D点拨:根据完全平方公式的特点可知D不正确,A、B、C都正确 2.B点拨:P=-2[(p-q)2-(p2+y2)7=(49-169 (-120)=60. 3.A点拨:M 点拨:(y-3)(y2+3y+9 5.1点拨:由已知得x+y=1,∴(x+y)201=1 6.x+-1点拨:类比特殊到一般可得. 7.解:原式=m3+3m2+3m+1-m3-3m2-3m=1 8.解:原式=[(1-a)(1+a+a2)(a+1)(a2-a+1)] 9解:原式=(2x)3+(1)3-1=8x3,将x=3代入得原式=8×3=24 10.解:(1)∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc, .0=a2+b2+c2-1,∴a2+b2+c2=1 (2)H(ab+bc+ca)2=a b2+bc2+2a2+2abc(a+b+c) 得a2b2+b2c2+c2a2 a4+b4+c4=(a2+b2+ 2(a2b2+b2c2+c2a2)=1-2×=

    • 2019-08-25
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