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  • ID:3-6131849 (新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题07立体几何(2)文(含解析)

    高中数学/高考专区/真题分类汇编

    专题7 立体几何(2) 立体几何大题:10年10考,每年1题.第1小题多为证明垂直问题,第2小题多为体积计算问题(2014年是求高). 1.(2019年)如图,直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是菱形,AA1=4,AB=2,∠BAD=60°,E,M,N分别是BC,BB1,A1D的中点. (1)证明:MN∥平面C1DE; (2)求点C到平面C1DE的距离. 【解析】(1)连结B1C,ME,∵M,E分别是BB1,BC的中点, ∴ME∥B1C,又N为A1D的中点,∴ND=A1D, 由题设知A1B1DC,∴B1CA1D,∴MEND, ∴四边形MNDE是平行四边形, ∴MN∥ED, 又MN?平面C1DE,∴MN∥平面C1DE. (2)过C作C1E的垂线,垂足为H, 由已知可得DE⊥BC,DE⊥C1C, ∴DE⊥平面C1CE,故DE⊥CH, ∴CH⊥平面C1DE,故CH的长即为C到时平面C1DE的距离, 由已知可得CE=1,CC1=4, ∴C1E=,故CH=, ∴点C到平面C1DE的距离为. 2.(2018年)如图,在平行四边形ABCM中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以AC为折痕将△ACM折起,使点M到达点D的位置,且AB⊥DA. (1)证明:平面ACD⊥平面ABC; (2)Q为线段AD上一点,P为线段BC上一点,且BP=DQ=DA,求三棱锥Q﹣ABP的体积. 【解析】(1)∵在平行四边形ABCM中,∠ACM=90°,∴AB⊥AC, 又AB⊥DA.且AD∩AC=A, ∴AB⊥面ADC,∵AB?面ABC, ∴平面ACD⊥平面ABC; (2)∵AB=AC=3,∠ACM=90°,∴AD=AM=, ∴BP=DQ=DA=, 由(1)得DC⊥AB,又DC⊥CA,∴DC⊥面ABC, ∴三棱锥Q﹣ABP的体积V= ===1. 3.(2017年)如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°. (1)证明:平面PAB⊥平面PAD; (2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P﹣ABCD的体积为,求该四棱锥的侧面积. 【解析】(1)∵在四棱锥P﹣ABCD中,∠BAP=∠CDP=90°, ∴AB⊥PA,CD⊥PD, 又AB∥CD,∴AB⊥PD, ∵PA∩PD=P,∴AB⊥平面PAD, ∵AB?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PAD. (2)设PA=PD=AB=DC=a,取AD中点O,连结PO, ∵PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,平面PAB⊥平面PAD, ∴PO⊥底面ABCD,且AD==,PO=, ∵四棱锥P﹣ABCD的体积为, 由AB⊥平面PAD,得AB⊥AD, ∴VP﹣ABCD=====, 解得a=2, ∴PA=PD=AB=DC=2,AD=BC=,PO=, ∴PB=PC==, ∴该四棱锥的侧面积:S侧=S△PAD+S△PAB+S△PDC+S△PBC =+++ = =6+. 4.(2016年)如图,已知正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形,PA=6,顶点P在平面ABC内的正投影为点D,D在平面PAB内的正投影为点E,连接PE并延长交AB于点G. (1)证明:G是AB的中点; (2)在图中作出点E在平面PAC内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体PDEF的体积. 【解析】(1)∵P﹣ABC为正三棱锥,且D为顶点P在平面ABC内的正投影, ∴PD⊥平面ABC,则PD⊥AB, 又E为D在平面PAB内的正投影, ∴DE⊥面PAB,则DE⊥AB, ∵PD∩DE=D, ∴AB⊥平面PDE,连接PE并延长交AB于点G, 则AB⊥PG, 又PA=PB, ∴G是AB的中点; (2)在平面PAB内,过点E作PB的平行线交PA于点F,F即为E在平面PAC内的正投影. ∵正三棱锥P﹣ABC的侧面是直角三角形, ∴PB⊥PA,PB⊥PC, 又EF∥PB,所以EF⊥PA,EF⊥PC,因此EF⊥平面PAC, 即点F为E在平面PAC内的正投影. 连结CG,因为P在平面ABC内的正投影为D,所以D是正三角形ABC的中心. 由(1)知,G是AB的中点,所以D在CG上,故CD=CG. 由题设可得PC⊥平面PAB,DE⊥平面PAB,所以DE∥PC,因此PE=PG,DE=PC. 由已知,正三棱锥的侧面是直角三角形且PA=6,可得DE=2,PG=,PE=. 在等腰直角三角形EFP中,可得EF=PF=2. 所以四面体PDEF的体积V=×DE×S△PEF=×2××2×2=. 5.(2015年)如图,四边形ABCD为菱形,G为AC与BD的交点,BE⊥平面ABCD. (1)证明:平面AEC⊥平面BED; (2)若∠ABC=120°,AE⊥EC,三棱锥E﹣ACD的体积为,求该三棱锥的侧面积. 【解析】(1)∵四边形ABCD为菱形, ∴AC⊥BD, ∵BE⊥平面ABCD, ∴AC⊥BE, 则AC⊥平面BED, ∵AC?平面AEC, ∴平面AEC⊥平面BED; (2)设AB=x,在菱形ABCD中,由∠ABC=120°,得AG=GC=x,GB=GD=, ∵BE⊥平面ABCD, ∴BE⊥BG,则△EBG为直角三角形, ∴EG=AC=AG=x, 则BE==x, ∵三棱锥E﹣ACD的体积V===, 解得x=2,即AB=2, ∵∠ABC=120°, ∴AC2=AB2+BC2﹣2AB?BCcosABC=4+4﹣2×=12, 即AC=, 在三个直角三角形EBA,EBD,EBC中,斜边AE=EC=ED, ∵AE⊥EC,∴△EAC为等腰三角形, 则AE2+EC2=AC2=12, 即2AE2=12, ∴AE2=6, 则AE=, ∴从而得AE=EC=ED=, ∴△EAC的面积S==3, 在等腰三角形EAD中,过E作EF⊥AD于F, 则AE=,AF==, 则EF=, ∴△EAD的面积和△ECD的面积均为S==, 故该三棱锥的侧面积为3+. 6.(2014年)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C. (1)证明:B1C⊥AB; (2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的高. 【解析】(1)连接BC1,则O为B1C与BC1的交点, ∵侧面BB1C1C为菱形, ∴BC1⊥B1C, ∵AO⊥平面BB1C1C, ∴AO⊥B1C, ∵AO∩BC1=O, ∴B1C⊥平面ABO, ∵AB?平面ABO, ∴B1C⊥AB; (2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H, ∵BC⊥AO,BC⊥OD,AO∩OD=O, ∴BC⊥平面AOD, ∴OH⊥BC, ∵OH⊥AD,BC∩AD=D, ∴OH⊥平面ABC, ∵∠CBB1=60°, ∴△CBB1为等边三角形, ∵BC=1,∴OD=, ∵AC⊥AB1,∴OA=B1C=, 由OH?AD=OD?OA,可得AD==,∴OH=, ∵O为B1C的中点, ∴B1到平面ABC的距离为, ∴三棱柱ABC﹣A1B1C1的高. 7.(2013年)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60° (1)证明:AB⊥A1C; (2)若AB=CB=2,A1C=,求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积. 【解析】(1)如图,取AB的中点O,连结OC,OA1,A1B. 因为CA=CB,所以OC⊥AB. 由于AB=AA1,,故△AA1B为等边三角形, 所以OA1⊥AB. 因为OC∩OA1=O,所以AB⊥平面OA1C. 又A1C?平面OA1C,故AB⊥A1C; (2)由题设知△ABC与△AA1B都是边长为2的等边三角形, 所以. 又,则,故OA1⊥OC. 因为OC∩AB=O,所以OA1⊥平面ABC,OA1为三棱柱ABC﹣A1B1C1的高. 又△ABC的面积, 故三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积. 8.(2012年)如图,三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC=AA1,D是棱AA1的中点. (1)证明:平面BDC1⊥平面BDC (2)平面BDC1分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比. 【解析】(1)由题意知BC⊥CC1,BC⊥AC,CC1∩AC=C, ∴BC⊥平面ACC1A1,又DC1?平面ACC1A1, ∴DC1⊥BC. 由题设知∠A1DC1=∠ADC=45°, ∴∠CDC1=90°,即DC1⊥DC,又DC∩BC=C, ∴DC1⊥平面BDC,又DC1?平面BDC1, ∴平面BDC1⊥平面BDC; (2)设棱锥B﹣DACC1的体积为V1,AC=1,由题意得V1==, 又三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V=1, ∴(V﹣V1):V1=1:1, ∴平面BDC1分此棱柱两部分体积的比为1:1. 9.(2011年)如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形.∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD. (1)证明:PA⊥BD; (2)设PD=AD=1,求棱锥D﹣PBC的高. 【解析】(1)因为∠DAB=60°,AB=2AD,由余弦定理得BD=, 从而BD2+AD2=AB2,故BD⊥AD, 又PD⊥底面ABCD,可得BD⊥PD, 所以BD⊥平面PAD.故PA⊥BD. (2)解:作DE⊥PB于E,已知PD⊥底面ABCD, 则PD⊥BC,由(1)知,BD⊥AD,又BC∥AD, ∴BC⊥BD. 故BC⊥平面PBD,BC⊥DE, 则DE⊥平面PBC. 由题设知PD=1,则BD=,PB=2. 根据DE?PB=PD?BD,得DE=, 即棱锥D﹣PBC的高为. 10.(2010年)如图,已知四棱锥P﹣ABCD的底面为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,垂足为H,PH是四棱锥的高. (1)证明:平面PAC⊥平面PBD; (2)若AB=,∠APB=∠ADB=60°,求四棱锥P﹣ABCD的体积. 【解析】(1)因为PH是四棱锥P﹣ABCD的高. 所以AC⊥PH,又AC⊥BD,PH,BD都在平PHD内,且PH∩BD=H. 所以AC⊥平面PBD. 故平面PAC⊥平面PBD. (2)因为ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AC⊥BD,AB=. 所以HA=HB=. 因为∠APB=∠ADB=60°, 所以PA=PB=,HD=HC=1. 可得PH=. 等腰梯形ABCD的面积为S=ACBD=2+, 所以四棱锥的体积为V=×(2+)×=. PAGE 1

  • ID:3-6131843 (新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题06立体几何(1)文(含解析)

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    专题6 立体几何(1) 立体几何小题:10年19考,一般考三视图和球,主要计算体积和表面积.其中,“点线面”也有可能出现在小题. 1.(2019年)已知∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,那么P到平面ABC的距离为   . 【答案】 【解析】∠ACB=90°,P为平面ABC外一点,PC=2,点P到∠ACB两边AC,BC的距离均为,过点P作PD⊥AC,交AC于D,作PE⊥BC,交BC于E,过P作PO⊥平面ABC,交平面ABC于O,连结OD,OC,则PD=PE=,∴CD=CE=OD=OE==1,∴PO===.∴P到平面ABC的距离为. 2.(2018年)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为(  ) A.π B.12π C.π D.10π 【答案】B 【解析】设圆柱的底面直径为2R,则高为2R,圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,可得:4R2=8,解得R=,则该圆柱的表面积为=12π.故选B. 3.(2018年)某圆柱的高为2,底面周长为16,其三视图如图.圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为(  ) A. B. C.3 D.2 【答案】B 【解析】由题意可知几何体是圆柱,底面周长16,高为2,直观图以及侧面展开图如图: 圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B,则在此圆柱侧面上,从M到N的路径中,最短路径的长度为.故选B. 4.(2018年)在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体的体积为(  ) A.8 B. C. D. 【答案】C 【解析】长方体ABCD﹣A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,即∠AC1B=30°,可得BC1==.可得BB1==.所以该长方体的体积为2×=.故选C. 5.(2017年)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】对于选项B,由于AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知B不满足题意;对于选项C,由于AB∥MQ,结合线面平行判定定理可知C不满足题意;对于选项D,由于AB∥NQ,结合线面平行判定定理可知D不满足题意;所以选项A满足题意.故选A. 6.(2017年)已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径.若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,则球O的表面积为   . 【答案】 【解析】三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的球面上,SC是球O的直径,若平面SCA⊥平面SCB,SA=AC,SB=BC,三棱锥S﹣ABC的体积为9,可知三角形SBC与三角形SAC都是等腰直角三角形,设球的半径为r,可得,解得r=3.球O的表面积为4πr2=36π. 7.(2016年)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是(  ) A.17π B.18π C.20π D.28π 【答案】A 【解析】由题意可知三视图复原的几何体是一个球去掉后的几何体,如图,可得:,R=2.它的表面积是=17π.故选A. 8.(2016年)平面α过正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1=n,则m、n所成角的正弦值为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】如图,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABA1B1=n,可知:n∥CD1,m∥B1D1,∵△CB1D1是正三角形.m、n所成角就是∠CD1B1=60°.则m、n所成角的正弦值为.故选A. 9.(2015年)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:”今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?“其意思为:”在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?“已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有(  ) A.14斛 B.22斛 C.36斛 D.66斛 【答案】B 【解析】设圆锥的底面半径为r,则r=8,解得r=,故米堆的体积为≈,∵1斛米的体积约为1.62立方,∴÷1.62≈22,故选B. 10.(2015年)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体,该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为16+20π,则r=(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】 【解析】由几何体三视图中的正视图和俯视图可知,截圆柱的平面过圆柱的轴线,该几何体是一个半球拼接半个圆柱,∴其表面积为:×4πr2+×πr22r×2πr+2r×2r+×πr2=5πr2+4r2,又∵该几何体的表面积为16+20π,∴5πr2+4r2=16+20π,解得r=2,故选B. 11.(2014年)如图,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图,则这个几何体是(  ) A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 【答案】D 【解析】根据几何体的三视图,可知几何体是三棱柱,如图.故选B. 12.(2013年)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  ) A.16+8π B.8+8π C.16+16π D.8+16π 【答案】A 【解析】三视图复原的几何体是一个长方体与半个圆柱的组合体,如图,其中长方体长、宽、高分别是4,2,2,半个圆柱的底面半径为2,母线长为4.∴长方体的体积=4×2×2=16,半个圆柱的体积=×22×π×4=8π,所以这个几何体的体积是16+8π,故选A. 13.(2013年)已知H是球O的直径AB上一点,AH:HB=1:2,AB⊥平面α,H为垂足,α截球O所得截面的面积为π,则球O的表面积为   . 【答案】 【解析】设球的半径为R,∵AH:HB=1:2,∴平面α与球心的距离为R,∵α截球O所得截面的面积为π,∴d=R时,r=1,故由R2=r2+d2得R2=12+(R)2,∴R2=,∴球的表面积S=4πR2=. 14.(2012年)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某几何体的三视图,则此几何体的体积为(  ) A.6 B.9 C.12 D.18 【答案】B 【解析】该几何体是三棱锥,底面是俯视图,三棱锥的高为3,底面三角形斜边长为6,高为3的等腰直角三角形,此几何体的体积为V=××6×3×3=9.故选B. 15.(2012年)平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,则此球的体积为(  ) A.π B.π C.π D.π 【答案】B 【解析】因为平面α截球O的球面所得圆的半径为1,球心O到平面α的距离为,所以球的半径为=.所以球的体积为=π.故选B. 16.(2011年)在一个几何体的三视图中,正视图和俯视图如图所示,则相应的侧视图可以为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由俯视图和正视图可以得到几何体是一个简单的组合体,是由一个三棱锥和被轴截面截开的半个圆锥组成,∴侧视图是一个中间有分界线的三角形,故选D. 17.(2011年)已知两个圆锥有公共底面,且两个圆锥的顶点和底面的圆周都在同一个球面上,若圆锥底面面积是这个球面面积的,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为   . 【答案】 【解析】不妨设球的半径为4,球的表面积为64π,圆锥的底面积为12π,圆锥的底面半径为,由几何体的特征知球心到圆锥底面的距离,求的半径以及圆锥底面的半径三者可以构成一个直角三角形,由此可以求得球心到圆锥底面的距离是,所以圆锥体积较小者的高为4﹣2=2,同理可得圆锥体积较大者的高为4+2=6,所以这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较大者的高的比值为. 18.(2010年)设长方体的长、宽、高分别为2a、a、a,其顶点都在一个球面上,则该球的表面积为(  ) A.3πa2 B.6πa2 C.12πa2 D.24πa2 【答案】B 【解析】根据题意球的半径R满足(2R)2=6a2,所以S球=4πR2=6πa2.故选B. 19.(2010年)一个几何体的正视图为一个三角形,则这个几何体可能是下列几何体中的   (填入所有可能的几何体前的编号)①三棱锥②四棱锥③三棱柱④四棱柱⑤圆锥⑥圆柱. 【答案】①②③⑤ 【解析】一个几何体的正视图为一个三角形,显然①②⑤正确;③是三棱柱放倒时也正确;④⑥不论怎样放置正视图都不会是三角形. PAGE 1

  • ID:3-6131842 (新课标全国I卷)2010_2019学年高考数学真题分类汇编专题05三角函数文(含解析)

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    专题5 三角函数 三角函数:10年26考,每年至少1题,有时2题或3题,当考2题或3题时,就不再考三角大题了.题目难度较小,主要考查公式熟练运用,平移、图象与性质、化简求值、解三角形等问题(含应用题),基本属于“送分题”.小心平移(重点+难点+几乎年年考).2013年16题对化简要求较高,难度较大.考三角函数小题时,一般是一个考查三角恒等变换或三角函数的图象与性质,另一个考查解三角形. 1.(2019年)tan255°=(  ) A.﹣2﹣ B.﹣2+ C.2﹣ D.2+ 【答案】D 【解析】tan255°=tan(180°+75°)=tan75°=tan(45°+30°)======.故选D. 2.(2019年)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知asinA﹣bsinB=4csinC,cosA=,则=(  ) A.6 B.5 C.4 D.3 【答案】A 【解析】∵asinA﹣bsinB=4csinC,cosA=﹣,∴,解得3c2=,∴=6.故选A. 3.(2019年)函数f(x)=sin(2x+)﹣3cosx的最小值为   . 【答案】﹣4 【解析】f(x)=sin(2x+)﹣3cosx=﹣cos2x﹣3cosx=﹣2cos2x﹣3cosx+1,令t=cosx,则﹣1≤t≤1,∵y=﹣2t2﹣3t+1的开口向下,对称轴t=,在[﹣1,1]上先增后减,∴当t=1,即cosx=1时,函数f(x)有最小值﹣4. 4.(2018年)已知函数f(x)=2cos2x﹣sin2x+2,则(  ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为4 C.f(x)的最小正周期为2π,最大值为3 D.f(x)的最小正周期为2π,最大值为4 【答案】B 【解析】f(x)=2cos2x﹣sin2x+2=2cos2x﹣sin2x+2sin2x+2cos2x=4cos2x+sin2x=3cos2x+1==,∴函数f(x)的最小正周期为π,最大值为,故选B. 5.(2018年)已知角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,则|a﹣b|=(  ) A. B. C. D.1 【答案】B 【解析】∵角α的顶点为坐标原点,始边与x轴的非负半轴重合,终边上有两点A(1,a),B(2,b),且cos2α=,∴cos2α=2cos2α﹣1=,解得:cos2α=,∴|cosα|=,∴|sinα|==,∴|tanα|==|a﹣b|===.故选B. 6.(2018年)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知bsinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2﹣a2=8,则△ABC的面积为   . 【答案】 【解析】利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,由于0<B<π,0<C<π,所以sinBsinC≠0,所以sinA=,则A=或,由于b2+c2﹣a2=8,则,①当A=时,,解得bc=,所以.②当A=时,,解得bc=﹣(不合题意),舍去.故. 7.(2017年)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,a=2,c=,则C=(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,∵sinB+sinA(sinC﹣cosC)=0,∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC=0,∴cosAsinC+sinAsinC=0,∵sinC≠0,∴cosA=﹣sinA,∴tanA=﹣1,∵<A<π,∴A=,由正弦定理可得=,∴sinC=,∵a=2,c=,∴sinC===,∵a>c,∴C=,故选B. 8.(2017年)已知α∈(0,),tanα=2,则cos(α﹣)=   . 【答案】 【解析】∵α∈(0,),tanα=2,∴sinα=2cosα,∵sin2α+cos2α=1,解得sinα=,cosα=,∴cos(α﹣)=cosαcos+sinαsin=×+×=. 9.(2016年)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知a=,c=2,cosA=,则b=(  ) A. B. C.2 D.3 【答案】D 【解析】∵a=,c=2,cosA=,∴由余弦定理可得:cosA===,整理可得:3b2﹣8b﹣3=0,∴解得:b=3或(舍去).故选D. 10.(2016年)将函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为(  ) A.y=2sin(2x+) B.y=2sin(2x+) C.y=2sin(2x﹣) D.y=2sin(2x﹣) 【答案】D 【解析】函数y=2sin(2x+)的周期为T==π,由题意即为函数y=2sin(2x+)的图象向右平移个单位,可得图象对应的函数为y=2sin[2(x﹣)+],即有y=2sin(2x﹣).故选D. 11.(2016年)已知θ是第四象限角,且sin(θ+)=,则tan(θ﹣)=   . 【答案】 【解析】∵θ是第四象限角,∴,,则,,又sin(θ+)=,∴cos(θ+)=.∴cos()=sin(θ+)=,sin()=cos(θ+)=.则tan(θ﹣)=﹣tan()=﹣=. 12.(2015年)函数f(x)=cos(ωx+φ)的部分图象如图所示,则f(x)的单调递减区间为(  ) A.(kπ﹣,kπ+),k∈Z B.(2kπ﹣,2kπ+),k∈Z C.(k﹣,k+),k∈Z D.(2k﹣,2k+),k∈Z 【答案】D 【解析】由函数f(x)=cos(ωx+)的部分图象,可得函数的周期为=2(﹣)=2,∴ω=π,f(x)=cos(πx+).再根据函数的图象以及五点法作图,可得+=,即=,f(x)=cos(πx+).由2kπ≤πx+≤2kπ+π,k∈Z,求得 2k﹣≤x≤2k+,k∈Z,故f(x)的单调递减区间为(2k﹣,2k+),k∈Z,故选D. 13.(2015年)已知a,b,c分别是△ABC内角A,B,C的对边,sin2B=2sinAsinC. (1)若a=b,求cosB; (2)设B=90°,且a=,求△ABC的面积. 【解析】(1)∵sin2B=2sinAsinC, 由正弦定理可得:>0, 代入可得(bk)2=2ak?ck, ∴b2=2ac, ∵a=b,∴a=2c, 由余弦定理可得:cosB===. (2)由(1)可得:b2=2ac, ∵B=90°,且a=, ∴a2+c2=b2=2ac,解得a=c=. ∴S△ABC==1. 14.(2014年)若tanα>0,则(  ) A.sinα>0 B.cosα>0 C.sin2α>0 D.cos2α>0 【答案】C 【解析】∵tanα>0,∴,则sin2α=2sinαcosα>0.故选C. 15.(2014年)在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③y=cos(2x+),④y=tan(2x﹣)中,最小正周期为π的所有函数为(  ) A.①②③ B.①③④ C.②④ D.①③ 【答案】A 【解析】①y=cos|2x|=cos2x,它的最小正周期为=π,②y=|cosx|的最小正周期为=π,③y=cos(2x+)的最小正周期为=π,④y=tan(2x﹣)的最小正周期为,故选A. 16.(2014年)如图,为测量山高MN,选择A和另一座的山顶C为测量观测点,从A点测得M点的仰角∠MAN=60°,C点的仰角∠CAB=45°以及∠MAC=75°;从C点测得∠MCA=60°,已知山高BC=100m,则山高MN=   m. 【答案】150 【解析】△ABC中,∵∠BAC=45°,∠ABC=90°,BC=100,∴AC==.△AMC中,∵∠MAC=75°,∠MCA=60°,∴∠AMC=45°,由正弦定理可得,解得AM=.Rt△AMN中,MN=AMsin∠MAN=×sin60°=150(m). 17.(2013年)函数f(x)=(1﹣cosx)sinx在[﹣π,π]的图象大致为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意可知:f(﹣x)=(1﹣cosx)sin(﹣x)=﹣f(x),故函数f(x)为奇函数,故可排除B,又因为当x∈(0,π)时,1﹣cosx>0,sinx>0,故f(x)>0,可排除A,又f′(x)=(1﹣cosx)′sinx+(1﹣cosx)(sinx)′=sin2x+cosx﹣cos2x=cosx﹣cos2x,故可得f′(0)=0,可排除D,故选C. 18.(2013年)已知锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,23cos2A+cos2A=0,a=7,c=6,则b=(  ) A.10 B.9 C.8 D.5 【答案】D 【解析】∵23cos2A+cos2A=23cos2A+2cos2A﹣1=0,即cos2A=,A为锐角,∴cosA=,又a=7,c=6,根据余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bc?cosA,即49=b2+36﹣b,解得:b=5或b=(舍去),故选D. 19.(2013年)设当x=θ时,函数f(x)=sinx﹣2cosx取得最大值,则cosθ=   . 【答案】 【解析】f(x)=sinx﹣2cosx=(sinx﹣cosx)=sin(x﹣α)(其中cosα=,sinα=),∵x=θ时,函数f(x)取得最大值,∴sin(θ﹣α)=1,即sinθ﹣2cosθ=,又sin2θ+cos2θ=1,联立得(2cosθ+)2+cos2θ=1,解得cosθ=. 20.(2012年)已知ω>0,0<φ<π,直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,则φ=(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为直线x=和x=是函数f(x)=sin(ωx+φ)图象的两条相邻的对称轴,所以T==2π.所以ω=1,并且sin(+φ)与sin(+φ)分别是最大值与最小值,0<φ<π,所以φ=.故选A. 21.(2012年)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,c=asinC﹣ccosA. (1)求A; (2)若a=2,△ABC的面积为,求b,c. 【解析】(1)c=asinC﹣ccosA,由正弦定理有: sinAsinC﹣sinCcosA﹣sinC=0,即sinC(sinA﹣cosA﹣1)=0, 又sinC≠0, 所以sinA﹣cosA﹣1=0,即2sin(A﹣)=1, 所以A=; (2)S△ABC=bcsinA=,所以bc=4, a=2,由余弦定理得:a2=b2+c2﹣2bccosA,即4=b2+c2﹣bc, 即有, 解得b=c=2. 22.(2011年)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos2θ=(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】根据题意可知:tanθ=2,所以cos2θ==,则cos2θ=2cos2θ﹣1=2×﹣1=.故选B. 23.(2011年)设函数,则f(x)=sin(2x+)+cos(2x+),则(  ) A.y=f(x)在(0,)单调递增,其图象关于直线x=对称 B.y=f(x)在(0,)单调递增,其图象关于直线x=对称 C.y=f(x)在(0,)单调递减,其图象关于直线x=对称 D.y=f(x)在(0,)单调递减,其图象关于直线x=对称 【答案】D 【解析】因为f(x)=sin(2x+)+cos(2x+)=sin(2x+)=cos2x.由于y=cos2x的对称轴为x=kπ(k∈Z),所以y=cos2x的对称轴方程是:x=(k∈Z),所以A,C错误;y=cos2x的单调递减区间为2kπ≤2x≤π+2kπ(k∈Z),即(k∈Z),函数y=f(x)在(0,)单调递减,所以B错误,D正确.故选D. 24.(2011年)△ABC中,∠B=120°,AC=7,AB=5,则△ABC的面积为   . 【答案】 【解析】由余弦定理可知cosB==,解得BC=﹣8(舍去)或3,∴△ABC的面积为×AB×B×sinB=×5×3×=. 25.(2010年)若cos α=,α是第三象限的角,则sin(α+)=(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】∵α是第三象限的角,∴sinα==,所以sin(α+)=sinαcos+cosαsin==.故选A. 26.(2010年)在△ABC中,D为BC边上一点,BC=3BD,AD=,∠ADB=135°.若AC=AB,则BD=   . 【答案】 【解析】用余弦定理得AB2=BD2+AD2﹣2AD?BDcos135°,AC2=CD2+AD2﹣2AD?CDcos45°,即 AB2=BD2+2+2BD①,AC2=CD2+2﹣2CD②,又BC=3BD,所以 CD=2BD,所以由②得AC2=4BD2+2﹣4BD③,因为AC=AB,所以由③得 2AB2=4BD2+2﹣4BD④,④﹣2×①,得BD2﹣4BD﹣1=0,解得 BD=. PAGE 1

  • ID:3-6131785 (北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题13算法文(含解析)

    高中数学/高考专区/真题分类汇编

    专题13算法 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 单选题 2019 程序框图 2019年北京文科04 单选题 2018 程序框图 2018年北京文科03 单选题 2017 程序框图 2017年北京文科03 单选题 2016 程序框图 2016年北京文科03 单选题 2015 程序框图 2015年北京文科05 单选题 2014 程序框图 2014年北京文科04 单选题 2013 程序框图 2013年北京文科06 单选题 2012 程序框图 2012年北京文科04 单选题 2011 程序框图 2011年北京文科06 历年高考真题汇编 1.【2019年北京文科04】执行如图所示的程序框图,输出的s值为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】解:模拟程序的运行,可得 k=1,s=1 s=2 不满足条件k≥3,执行循环体,k=2,s=2 不满足条件k≥3,执行循环体,k=3,s=2 此时,满足条件k≥3,退出循环,输出s的值为2. 故选:B. 2.【2018年北京文科03】执行如图所示的程序框图,输出的s值为(    ) A. B. C. D. 【解答】解:执行循环前:k=1,S=1. 在执行第一次循环时,S=1. 由于k=2≤3, 所以执行下一次循环.S, k=3,直接输出S, 故选:B. 3.【2017年北京文科03】执行如图所示的程序框图,输出的S值为(    ) A.2 B. C. D. 【解答】解:当k=0时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,k=1,S=2, 当k=1时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,k=2,S, 当k=2时,满足进行循环的条件,执行完循环体后,k=3,S, 当k=3时,不满足进行循环的条件, 故输出结果为:, 故选:C. 4.【2016年北京文科03】执行如图所示的程序框图,输出s的值为(    ) A.8 B.9 C.27 D.36 【解答】解:当k=0时,满足进行循环的条件,故S=0,k=1, 当k=1时,满足进行循环的条件,故S=1,k=2, 当k=2时,满足进行循环的条件,故S=9,k=3, 当k=3时,不满足进行循环的条件, 故输出的S值为9, 故选:B. 5.【2015年北京文科05】执行如图所示的程序框图,输出的k值为(    ) A.3 B.4 C.5 D.6 【解答】解:模拟执行程序框图,可得 k=1,s=1, s=s+(k﹣1)2=1,不满足条件s>15,k=2, s=s+(k﹣1)2=2,不满足条件s>15,k=3, s=s+(k﹣1)2=6,不满足条件s>15,k=4, s=s+(k﹣1)2=15,不满足条件s>15,k=5, s=s+(k﹣1)2>15,输出k=5. 故选:C. 6.【2014年北京文科04】执行如图所示的程序框图,输出的S值为(    ) A.1 B.3 C.7 D.15 【解答】解:由程序框图知:算法的功能是求S=1+21+22+…+2k的值, ∵跳出循环的k值为3, ∴输出S=1+2+4=7. 故选:C. 7.【2013年北京文科06】执行如图所示的程序框图,输出的S值为(    ) A.1 B. C. D. 【解答】解:框图首先给变量i和S赋值0和1. 执行,i=0+1=1; 判断1≥2不成立,执行,i=1+1=2; 判断2≥2成立,算法结束,跳出循环,输出S的值为. 故选:C. 8.【2012年北京文科04】执行如图所示的程序框图,输出的S值为(    ) A.2 B.4 C.8 D.16 【解答】解:第1次判断后S=1,k=1, 第2次判断后S=2,k=2, 第3次判断后S=8,k=3, 第4次判断后3<3,不满足判断框的条件,结束循环,输出结果:8. 故选:C. 9.【2011年北京文科06】执行如图所示的程序框图,若输入A的值为2,则输入的P值为(    ) A.2 B.3 C.4 D.5 【解答】解:S=1,满足条件S≤2,则P=2,S=1 满足条件S≤2,则P=3,S=1 满足条件S≤2,则P=4,S=1 不满足条件S≤2,退出循环体,此时P=4 故选:C. 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:算法的逻辑结构,顺序结构、条件结构、循环结构,程序框图和算法思想,求程序框图中的执行结果和确定控制条件.历年考题主要以选择题型出现,重点考查的知识点为:算法的循环结构,程序框图和算法思想.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以算法的循环结构,程序框图和算法思想为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”,其内容为:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢?各穿几何?”如图的程序框图源于这个题目,执行该程序框图,若输入x=20,则输出的结果为(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】 第1步:T=2,S=2,S<20成立,a=2,b=,n=2, 第2步:T=,S=,S<20成立,a=4,b=,n=3, 第3步:T=,S=,S<20成立,a=8,b=,n=4, 第4步:T=,S=,S<20成立,a=16,b=,n=5, 第5步:T=,S=,S<20不成立,退出循环,输出n=5,故选C. 2.如图所示的程序框图,若x=5,则运算多少次停止( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】 输入, 第一步:,进入循环; 第二步:,进入循环; 第三步:,进入循环; 第四步:,结束循环,输出结果; 共运行4次. 故选C 3.正整数除以后的余数为,记为,如.执行如图的程序框图,则输出的数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 依题意,进入内循环时为10,出内循环时被4除余数是3,即此时, 外循环当除以5余数是2时结束循环, 综合两个循环,输出的比11大,且被4除余3,被5除余2, 所以该数,所以, 所以, 所以当时符合条件,即,故选C. 4.执行如图所示的程序框图,输出的值为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由程序框图可知: 若,即,解得: 即当时, 此时输出: 本题正确选项: 5.为了计算,设计如图所示的程序框图,则在空白框中应填入(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由, 即,. 则每次循环,增加2个数,即. 故选:B. 6.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的,分别为16,20,则输出的( ) A.14 B.4 C.2 D.0 【答案】B 【解析】 解:初始值:,, 第1次循环:满足,不满足,, 第2次循环:满足,满足,, 第3次循环:满足,满足,, 第4次循环:满足,满足,, 不满足,输出, 故选:B. 7.执行如图所示的程序框图,则输出的S值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 第1步:a=7-2n=5,a>0成立,S=S+a=5,n=2; 第2步:a=7-2n=3,a>0成立,S=S+a=8,n=3; 第3步:a=7-2n=1,a>0成立,S=S+a=9,n=4; 第4步:a=7-2n=-1,a>0不成立,退出循环,输出S=9。 选D. 8.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则的值是( ) A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】D 【解析】 模拟执行程序框图,可得 , 不满足条件,, 不满足条件,, 不满足条件,, 不满足条件,, 根据题意,此时应该满足条件,退出循环,输出的值为. 故选:. 9.执行如图的程序框图,如果输出的S=3,则输入的t=(  ) A. B. C.1或3 D.1或 【答案】C 【解析】 由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值, 由于输出的S=3, 则当t≥1时,可得:4t-t2=3,解得:t=3或1, 当t<1时,可得:3t=3,解得t=1(舍去). 故选:C. 10.如图是一个算法流程图,则输出的结果是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意,执行上述的程序框图: 第1次循环:满足判断条件,; 第2次循环:满足判断条件,; 第3次循环:满足判断条件,; 不满足判断条件,输出计算结果, 故选A. 11.《九章算术》中有如下问题:“今有牛、羊、马食人苗,苗主责之粟五斗,主日:‘我羊食半马.’马主日:‘ 我马食半牛.’今欲衰偿之,问各出几何?”翻译为:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还,问:牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?已知斗=升,针对这一问题,设计程序框图如图所示,若输出的值为,则( ) A. B.. C. D. 【答案】B 【解析】 运行该程序,第一次循环,,;第二循环,,; 第三次循环,,此时要输出的值,则,解得,故选. 12.在如图所示的计算程序框图中,判断框内应填入的条件是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意结合流程图可知当时,程序应执行,, 再次进入判断框时应该跳出循环,输出的值; 结合所给的选项可知判断框内应填入的条件是. 故选:A. 13.如图所示的程序框图所实现的功能是( ) A.输入的值,计算 B.输入的值,计算 C.输入的值,计算 D.输入的值,计算 【答案】B 【解析】 由程序框图,可知, 由的初值为,末值为 可知,此递推公式共执行了次 又由,得,得 即: 故 本题正确选项: 14.执行如图所示的程序框图,如果输入的,那么输出的值不可能为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 输入的, 当时,y=2x,可能是B、C; 当时,y=x2-2x,可能是A; 所以,不可能是y=2, 故选:D 15.阅读如图所示的程序框图,则输出的( ) A.30 B.29 C.90 D.54 【答案】D 【解析】 模拟程序的运行,可得,执行循环体,; 不满足条件,执行循环体,; 不满足条件,执行循环体,; 不满足条件,执行循环体,; 此时,满足条件,退出循环,输出的值为54. 故应选D. 16.执行如图所示的程序框图,若输出的,则判断框内应填入的条件是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由程序框图可得:初始值为, 第一步:,需要继续循环; 第二步:,需要继续循环; 第三步:,需要进入循环; 。。。。 由此可知,该程序框图即是计算等比数列的前项和, 又数列的前项和为, 由可得; 即该程序框图需要计算, 因此判断框中需要填入 故选C 17.执行如图所示的程序框图,则输出的( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】 由题意,执行给定的程序框图,可知: 第1次循环,不满足判断条件,; 第2次循环,不满足判断条件,; 第3次循环,不满足判断条件,, 满足判断条件,终止循环,输出,故选B. 18.执行下面程序框图,若输入的的值分别为0和44,则输出的值为( ) A.4 B.7 C.10 D.13 【答案】C 【解析】 第一次循环:; 第二次循环:; 第三次循环:; 第四次循环:,刚好满足条件, 结束循环,此时输出.故选. 19.执行如图所示的程序框图,若输出结果为1,则可输入的实数值的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 根据题意,该框图的含义是: 当 时,得到函数 ;当时,得到函数, 因此,若输出的结果为1时, (1) 若,得到,解得, (2) 若,得到,解得, 因此,可输入的实数的值可能为 , ,共有2个。 故答案选B。 20.运行程序框图,如果输入某个正数后,输出的,那么的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】 依次运行框图中的程序,可得: 第一次:; 第二次:; 第三次:; 第四次:; 第五次:; …… 因为输出的, 所以程序运行完第四次即可满足题意,所以判断框中的值为4. 故选B. PAGE 1

  • ID:3-6131764 (北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题12概率统计文(含解析)

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    专题12概率统计 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 单选题 2016 概率 2016年北京文科06 单选题 2015 统计 2015年北京文科04 单选题 2012 概率 2012年北京文科03 单选题 2010 概率 2010年北京文科03 填空题 2015 统计 2015年北京文科14 填空题 2010 统计 2010年北京文科12 解答题 2019 概率统计综合题 2019年北京文科17 解答题 2018 概率统计综合题 2018年北京文科17 解答题 2017 概率统计综合题 2017年北京文科17 解答题 2016 概率统计综合题 2016年北京文科17 解答题 2015 概率统计综合题 2015年北京文科17 解答题 2014 概率统计综合题 2014年北京文科18 解答题 2013 概率统计综合题 2013年北京文科16 解答题 2012 概率统计综合题 2012年北京文科17 解答题 2011 概率统计综合题 2011年北京文科16 历年高考真题汇编 1.【2016年北京文科06】从甲、乙等5名学生中随机选出2人,则甲被选中的概率为(    ) A. B. C. D. 【解答】解:从甲、乙等5名学生中随机选出2人, 基本事件总数n10, 甲被选中包含的基本事件的个数m4, ∴甲被选中的概率p. 故选:B. 2.【2015年北京文科04】某校老年、中年和青年教师的人数见如表,采用分层插样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有320人,则该样本的老年教师人数为(    ) 类别 人数 老年教师 900 中年教师 1800 青年教师 1600 合计 4300 A.90 B.100 C.180 D.300 【解答】解:由题意,老年和青年教师的人数比为900:1600=9:16, 因为青年教师有320人,所以老年教师有180人, 故选:C. 3.【2012年北京文科03】设不等式组,表示的平面区域为D,在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率是(    ) A. B. C. D. 【解答】解:其构成的区域D如图所示的边长为2的正方形,面积为S1=4, 满足到原点的距离大于2所表示的平面区域是以原点为圆心,以2为半径的圆外部, 面积为4﹣π, ∴在区域D内随机取一个点,则此点到坐标原点的距离大于2的概率P 故选:D. 4.【2010年北京文科03】从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数为a,从{1,2,3}中随机选取一个数为b,则b>a的概率是(    ) A. B. C. D. 【解答】解:由题意知本题是一个古典概型, ∵试验包含的所有事件根据分步计数原理知共有5×3种结果, 而满足条件的事件是a=1,b=2;a=1,b=3;a=2,b=3共有3种结果, ∴由古典概型公式得到P, 故选:D. 5.【2015年北京文科14】高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况如图所示,甲、乙、丙为该班三位学生. 从这次考试成绩看, ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是    ; ②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是    . 【解答】解:由高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级的排名情况的散点图可知,两个图中,同一个人的总成绩是不会变的.从第二个图看,丙是从右往左数第5个点,即丙的总成绩在班里倒数第5.在左边的图中,找到倒数第5个点,它表示的就是丙,发现这个点的位置比右边图中丙的位置高,所以语文名次更“大” ①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是 乙; ②观察散点图,作出对角线y=x,发现丙的坐标横坐标大于纵坐标,说明数学成绩的名次小于总成绩名次,所以在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是数学; 故答案为:乙;数学. 6.【2010年北京文科12】从某小学随机抽取100名同学,将他们身高(单位:厘米)数据绘制成频率分布直方图(如图).由图中数据可知a=    .若要从身高在[120,130),[130,140),[140,150]三组内的学生中,用分层抽样的方法选取18人参加一项活动,则从身高在[140,150]内的学生中选取的人数应为    . 【解答】解:∵直方图中各个矩形的面积之和为1, ∴10×(0.005+0.035+a+0.02+0.01)=1, 解得a=0.03. 由直方图可知三个区域内的学生总数为100×10×(0.03+0.02+0.01)=60人. 其中身高在[140,150]内的学生人数为10人, 所以身高在[140,150]范围内抽取的学生人数为10=3人. 故答案为:0.03,3. 7.【2019年北京文科17】改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校所有的1000名学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下: 不大于2000元 大于2000元 仅使用A 27人 3人 仅使用B 24人 1人 (Ⅰ)估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数; (Ⅱ)从样本仅使用B的学生中随机抽取1人,求该学生上个月支付金额大于2000元的概率; (Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人,发现他本月的支付金额大于2000元.结合(Ⅱ)的结果,能否认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由. 【解答】解:(Ⅰ)由题意得: 从全校所有的1000名学生中随机抽取的100人中, A,B两种支付方式都不使用的有5人, 仅使用A的有30人,仅使用B的有25人, ∴A,B两种支付方式都使用的人数有:100﹣5﹣30﹣25=40, ∴估计该校学生中上个月A,B两种支付方式都使用的人数为:1000400人. (Ⅱ)从样本仅使用B的学生有25人,其中不大于2000元的有24人,大于2000元的有1人, 从中随机抽取1人,基本事件总数n=25, 该学生上个月支付金额大于2000元包含的基本事件个数m=1, ∴该学生上个月支付金额大于2000元的概率p. (Ⅲ)不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化, 理由如下: 上个月样本学生的支付方式在本月没有变化. 现从样本仅使用B的学生中随机抽查1人, 发现他本月的支付金额大于2000元的概率为, 虽然概率较小,但发生的可能性为. 故不能认为样本仅使用B的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化. 8.【2018年北京文科17】电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表: 电影类型 第一类 第二类 第三类 第四类 第五类 第六类 电影部数 140 50 300 200 800 510 好评率 0.4 0.2 0.15 0.25 0.2 0.1 好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值. (Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (Ⅱ)随机选取1部电影,估计这部电影没有获得好评的概率; (Ⅲ)电影公司为增加投资回报,拟改变投资策略,这将导致不同类型电影的好评率发生变化.假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化,那么哪类电影的好评率增加0.1,哪类电影的好评率减少0.1,使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大?(只需写出结论) 【解答】解:(Ⅰ)总的电影部数为140+50+300+200+800+510=2000部, 获得好评的第四类电影200×0.25=50, 故从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率; (Ⅱ)获得好评的电影部数为140×0.4+50×0.2+300×0.15+200×0.25+800×0.2+510×0.1=372, 估计这部电影没有获得好评的概率为10.814, (Ⅲ)故只要第五类电影的好评率增加0.1,第二类电影的好评率减少0.1,则使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大. 9.【2017年北京文科17】某大学艺术专业400名学生参加某次测评,根据男女学生人数比例,使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生,记录他们的分数,将数据分成7组:[20,30),[30,40),…[80,90],并整理得到如下频率分布直方图: (Ⅰ)从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率; (Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人,试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数; (Ⅲ)已知样本中有一半男生的分数不小于70,且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例. 【解答】解:(Ⅰ)由频率分布直方图知:分数小于70的频率为:1﹣(0.04+0.02)×10=0.4 故从总体的400名学生中随机抽取一人,估计其分数小于70的概率为0.4; (Ⅱ)已知样本中分数小于40的学生有5人, 故样本中分数小于40的频率为:0.05, 则分数在区间[40,50)内的频率为:1﹣(0.04+0.02+0.02+0.01)×10﹣0.05=0.05, 估计总体中分数在区间[40,50)内的人数为400×0.05=20人, (Ⅲ)样本中分数不小于70的频率为:0.6, 由于样本中分数不小于70的男女生人数相等. 故分数不小于70的男生的频率为:0.3, 由样本中有一半男生的分数不小于70, 故男生的频率为:0.6, 即女生的频率为:0.4, 即总体中男生和女生人数的比例约为:3:2. 10.【2016年北京文科17】某市居民用水拟实行阶梯水价,每人月用水量中不超过w立方米的部分按4元/立方米收费,超出w立方米的部分按10元/立方米收费,从该市随机调查了10000位居民,获得了他们某月的用水量数据,整理得到如图频率分布直方图: (1)如果w为整数,那么根据此次调查,为使80%以上居民在该月的用水价格为4元/立方米,w至少定为多少? (2)假设同组中的每个数据用该组区间的右端点值代替,当w=3时,估计该市居民该月的人均水费. 【解答】解:(1)由频率分布直方图得: 用水量在[0.5,1)的频率为0.1, 用水量在[1,1.5)的频率为0.15, 用水量在[1.5,2)的频率为0.2, 用水量在[2,2.5)的频率为0.25, 用水量在[2.5,3)的频率为0.15, 用水量在[3,3.5)的频率为0.05, 用水量在[3.5,4)的频率为0.05, 用水量在[4,4.5)的频率为0.05, ∵用水量小于等于3立方米的频率为85%, ∴为使80%以上居民在该用的用水价为4元/立方米, ∴w至少定为3立方米. (2)当w=3时,该市居民的人均水费为: (0.1×1+0.15×1.5+0.2×2+0.25×2.5+0.15×3)×4+0.05×3×4+0.05×0.5×10+0.05×3×4+0.05×1×10+0.05×3×4+0.05×1.5×10=10.5, ∴当w=3时,估计该市居民该月的人均水费为10.5元. 11.【2015年北京文科17】某超市随机选取1000位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买. 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大? 【解答】解:(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人, 故顾客同时购买乙和丙的概率为0.2. (2)在这1000名顾客中,在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有100+200=300(人), 故顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率为0.3. (3)在这1000名顾客中,同时购买甲和乙的概率为0.2, 同时购买甲和丙的概率为0.6, 同时购买甲和丁的概率为0.1, 故同时购买甲和丙的概率最大. 12.【2014年北京文科18】从某校随机抽取100名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得到数据分组及频数分布表和频率分布直方图: 排号 分组 频数 1 [0,2) 6 2 [2,4) 8 3 [4,6) 17 4 [6,8) 22 5 [8,10) 25 6 [10,12) 12 7 [12,14) 6 8 [14,16) 2 9 [16,18) 2 合计 100 (Ⅰ)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于12小时的概率; (Ⅱ)求频率分布直方图中的a,b的值; (Ⅲ)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写结论) 【解答】解:(Ⅰ)由频率分布表知:1周课外阅读时间少于12小时的频数为6+8+17+22+25+12=90, ∴1周课外阅读时间少于12小时的频率为0.9; (Ⅱ)由频率分布表知:数据在[4,6)的频数为17,∴频率为0.17,∴a=0.085; 数据在[8,10)的频数为25,∴频率为0.25,∴b=0.125; (Ⅲ)数据的平均数为1×0.06+3×0.08+5×0.17+7×0.22+9×0.25+11×0.12+13×0.06+15×0.02+17×0.02=7.68(小时), ∴样本中的100名学生该周课外阅读时间的平均数在第四组. 13.【2013年北京文科16】如图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图.空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天. (Ⅰ)求此人到达当日空气质量优良的概率; (Ⅱ)求此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率; (Ⅲ)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 【解答】解:(Ⅰ)由图看出,1日至13日13天的时间内,空气质量优良的是1日、2日、3日、7日、12日、13日共6天. 由古典概型概率计算公式得,此人到达当日空气质量优良的概率P; (Ⅱ)此人在该市停留期间两天的空气质量指数(86,25)、(25,57)、(57,143)、(143,220)、 (220,160)(160,40)、(40,217)、(217,160)、(160,121)、(121,158)、(158,86)、(86,79)、(79,37)共13种情况. 其中只有1天空气重度污染的是(143,220)、(220,160)、(40,217)、(217,160)共4种情况,所以,此人在该市停留期间只有1天空气重度污染的概率P; (Ⅲ)因为方差越大,说明三天的空气质量指数越不稳定,由图看出从5日开始连续5、6、7三天的空气质量指数方差最大. 14.【2012年北京文科17】近年来,某市为促进生活垃圾的分类处理,将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类,并分别设置了相应的垃圾箱,为调查居民生活垃圾分类投放情况,先随机抽取了该市三类垃圾箱总计1000吨生活垃圾,数据统计如下(单位:吨); “厨余垃圾”箱 “可回收物”箱 “其他垃圾”箱 厨余垃圾 400 100 100 可回收物 30 240 30 其他垃圾 20 20 60 (1)试估计厨余垃圾投放正确的概率; (2)试估计生活垃圾投放错误的概率; (3)假设厨余垃圾在“厨余垃圾”箱、“可回收物”箱、“其他垃圾”箱的投放量分别为a,b,c,其中a>0,a+b+c=600.当数据a,b,c的方差s2最大时,写出a,b,c的值(结论不要求证明),并求此时s2的值. (求:S2[],其中为数据x1,x2,…,xn的平均数) 【解答】解:(1)由题意可知:厨余垃圾600吨,投放到“厨余垃圾”箱400吨,故厨余垃圾投放正确的概率为; (2)由题意可知:生活垃圾投放错误有200+60+20+20=300,故生活垃圾投放错误的概率为; (3)由题意可知:∵a+b+c=600,∴a,b,c的平均数为200 ∴, ∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac≥a2+b2+c2,因此有当a=600,b=0,c=0时,有s2=80000. 15.【2011年北京文科16】以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵树.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以X表示. (1)如果X=8,求乙组同学植树棵树的平均数和方差; (注:方差,其中的平均数) (2)如果X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,求这两名同学的植树总棵数为19的概率. 【解答】解:(1)当X=8时,由茎叶图可知乙组同学的植树棵树是8,8,9,10, ∴平均数是, 方差是. (2)由题意知本题是一个等可能事件的概率. 若X=9,分别从甲、乙两组中随机选取一名同学,共有16种结果, 满足条件的事件是这两名同学的植树总棵数为19, 包括:(9,10),(11,8),(11,8),(9,10)共有4种结果, ∴根据等可能事件的概率公式得到P. 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:随机抽样,用样本估计总体,变量间的相关关系,独立性检验,随机事件的概率,古典概型,几何概型等,历年考题主要以选择填空或解答题题型出现,重点考查的知识点为:随机抽样,用样本估计总体,变量间的相关关系,独立性检验,随机事件的概率,古典概型,几何概型等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点用样本估计总体,变量间的相关关系,独立性检验,随机事件的概率等为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.如图是1990年-2017年我国劳动年龄(15-64岁)人口数量及其占总人口比重情况: 根据图表信息,下列统计结论不正确的是(  ) A.2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大 B.2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势 C.2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值 D.我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过 【答案】B 【解析】 解:A选项,2000年我国劳动年龄人口数量增幅约为6000万,是图中最大的,2000年我国劳动年龄人口数量占总人口比重的增幅约为,也是最多的.故A对. B选项,2010年到2011年我国劳动年龄人口数量有所增加,故B错. C选项,从图上看,2013年的长方形是最高的,即2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值,C对, D选项,我国劳动年龄人口占总人口比重最大为11年,约为,最小为92年,约为,故极差超过.D对. 故选:B. 2.一试验田某种作物一株生长果个数服从正态分布,且,从试验田中随机抽取10株,果实个数在的株数记作随机变量,且服从二项分布,则的方差为(  ) A.3 B.2.1 C.0.3 D.0.21 【答案】B 【解析】 ∵,且, 所以 ∴, ∴, 的方差为. 故选B. 3.小张刚参加工作时月工资为元,各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼,目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少元,则目前小张的月工资为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由条形图可知,刚参加工作的月就医费为:元 则目前的月就医费为:元 目前的月工资为:元 本题正确选项: 4.若是从集合中随机选取的两个不同元素,则使得函数是奇函数的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 从集合中随机选取的两个不同元素共有 种 要使得函数是奇函数,必须都为奇数共有 种 则函数是奇函数的概率为 故选B 5.某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表: 产量(万件) 单位成本(元/件) 若根据表中提供的数据,求出关于的线性回归方程为,则的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 在线性回归方程上 则解得 故选B 6.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在的同学有人,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为: 本题正确选项: 7.某学校美术室收藏有6幅国画,分别为人物、山水、花鸟各2幅,现从中随机抽取2幅进行展览,则恰好抽到2幅不同种类的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设为“恰好抽到2幅不同种类” 某学校美术室收藏有6幅国画,分别为人物、山水、花鸟各2幅, 现从中随机抽取2幅进行展览,基本事件总数, 恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数, 则恰好抽到2幅不同种类的概率为. 故选:B. 8.若即时起10分钟内,305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站,则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为( ) A.0.18 B.0.32 C.0.36 D.0.64 【答案】C 【解析】 设305路车和202路车的进站时间分别为、,设所有基本事件为 ,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件,则,画出不等式表示的区域如图中阴影区域,则,则. 选. 9.一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球,从中任取两个球,则所取的两个球不同色的概率为_______. 【答案】 【解析】 设个白球编号为:;个黑球为: 从中任取两个球的所有可能结果为:、、、、、、、、、,共种 所取的两个球不同色的有:、、、,共种 所求概率为: 本题正确结果: 10.已知某中学高三理科班学生共有800人参加了数学与物理的水平测试,现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计,先将800人按001,002,003,…,800进行编号。如果从第8行第7列的数开始向右读,请问检测的第5个人的编号是:____________(如图摘取了第7行至第9行)。 【答案】175 【解析】 由随机数表,从第8行第7列的数开始向右读,所取数据依次是:785, 667,199,507,175,…, 所以检测的第5个人的编号是175. 故答案为175 11.为了解某团战士的体重情况,采用随机抽样的方法.将样本体重数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3,第二小组频数为12,则全团共抽取人数为_______. 【答案】48 【解析】 由题得频率分布直方图左边三组的频率和为 所以全团抽取的人数为:=48. 故答案为:48 12.某中学高二年级的甲、乙两个班各选出5名学生参加数学竞赛,在竞赛中他们取得成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班5名学生成绩的平均分是83分,乙班5名学生成绩的中位数是86.若从成绩在85分及以上的学生中随机抽2名,则至少有1名学生来自甲班的概率为__________. 【答案】 【解析】 由题意,根据茎叶图可知, 解得, 成绩在85分及以上的学生一共有5名,其中甲班有2名,乙班有3名, 随机抽取2名,至少有1名来自甲班的概率:. 故答案为:. 13.已知随机变量服从正态分布且,则_____________ 【答案】0.76 【解析】 随机变量服从正态分布, 则曲线的对称轴为,, 由可得, 则 故答案为:0.76. 14.将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和大于10的概率为_______. 【答案】 【解析】 所有的基本事件可能如下: 共有36种,点数之和大于10的有(5,6),(6,5),(6,6),共3种,所求概率为:P=. 故答案为: 15.某省确定从2021年开始,高考采用“”的模式,取消文理分科,即“3”包括语文、数学、外语,为必考科目;“1”表示从物理、历史中任选一门;“2则是从生物、化学、地理、政治中选择两门,共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生(其中女生900人)中,采用分层抽样的方法抽取名学生进行调查. (1)已知抽取的名学生中含男生110人,求的值及抽取到的女生人数; (2)学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到的名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目).下表是根据调查结果得到的列联表,请将列联表补充完整,并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由; 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 50 女生 30 总计 (3)在(2)的条件下,从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人,再从这6名学生中抽取2人,对“物理”的选课意向作深入了解,求2人中至少有1名女生的概率. 附:,其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1),; (2)有的把握认为选择科目与性别有关; (3). 【解析】 (1)因为,所以,女生人数为. (2)列联表为: 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 110 女生 30 60 90 总计 90 110 200 的观测值, 所以有的把握认为选择科目与性别有关. (3)从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名,这6名学生中有4名男生,记为,,,;2名女生记为,. 抽取2人所有的情况为、、、、、、、、、、、、、、,共15种,选取的2人中至少有1名女生情况的有、、、、、、、、,共9种, 故所求概率为. 16.某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动,进行现场抽奖,盒中装有9张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案;抽奖规则是:参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“五环”卡即可获奖,否则,均为不获奖.卡片用后放回盒子,下一位参加者继续重复进行. (Ⅰ)活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“五环”卡?主持人答:我只知道,从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是,求抽奖者获奖的概率; (Ⅱ)现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,用表示获奖的人数,求的分布列及的值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)的分布列为: 0 1 2 3 4 . 【解析】 (Ⅰ)设“会徽”卡有张,因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是,所以有,,所以“五环”图案卡片的张数为4,故抽奖者获奖的概率为; (Ⅱ)由题意可知本题中的离散型随机变量服从二项分布,即, ,, ,, ,的分布列为: 0 1 2 3 4 . 17.李克强总理在2018年政府工作报告指出,要加快建设创新型国家,把握世界新一轮科技革命和产业变革大势,深入实施创新驱动发展战略,不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召,大力研发新产品,争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价,将该款手机按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如表所示: 单价(千元) 销量(百件) 已知. (1)若变量具有线性相关关系,求产品销量(百件)关于试销单价(千元)的线性回归方程; (2)用(1)中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时,则将销售数据称为一个“好数据”.现从个销售数据中任取个子,求“好数据”个数的分布列和数学期望. (参考公式:线性回归方程中的估计值分别为. 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 (1)由,可求得, 故,,,, 代入可得, , 所以所求的线性回归方程为. (2)利用(1)中所求的线性回归方程可得,当时,;当 时,;当时,;当时,;当时,;当时,. 与销售数据对比可知满足的共有4个“好数据”:、、、 于是的所有可能取值为 ,,, ∴ 的分布列为: 1 2 3 P 所以. 18.为了调查煤矿公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系,随机抽取了30名员工,并制作了这30人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主).其中月收入4000元以上员工中有11人饮食指数高于70. 20 21 21 25 32 33 36 37 42 43 44 45 45 58 58 59 61 66 74 75 76 77 77 78 78 82 83 85 86 90 (Ⅰ)是否有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系?若有请说明理由,若没有,说明理由并分析原因; (Ⅱ)以样本中的频率作为概率,从该公司所有主食蔬菜的员工中随机抽取3人,这3人中月收入4000元以上的人数为,求的分布列与期望; (Ⅲ)经调查该煤矿公司若干户家庭的年收入(万元)和年饮食支出(万元)具有线性相关关系,并得到关于的回归直线方程:.若该公司一个员工与其妻子的月收入恰好都为这30人的月平均收入(该家庭只有两人收入),估计该家庭的年饮食支出费用. 附: . 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(Ⅰ)有;(Ⅱ);(Ⅲ)3.0552万元. 【解析】 (Ⅰ)根据频率分布直方图,月收入4000元以上的人数, 所以完成下列列联表如下: 月收入4000元以下 月收入4000元以上 合计 主食蔬菜 8 10 18 主食肉类 1 11 12 合计 9 21 30 所以,故有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系. (Ⅱ)从公司所有主食蔬菜中的员工中任选1人, 该人月收入4000元以上的概率. 可取0,1,2,3. 所以. 的分布列为 0 1 2 3 ∵, ∴. (Ⅲ)根据频率分布直方图,(百元). 所以(万元),故该家庭的年饮食支出费用约为3.0552万元. 19.(理)某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在内,发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表,规定:三级为合格等级,为不合格等级. 百分制 85分及以上 70分到84分 60分到69分 60分以下 等级 为了解该校高一年级学生身体素质情况,从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照的分组作出频率分布直方图如图所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示., (1)求和频率分布直方图中的的值; (2)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高一学生任选3人,求至少有1人成绩是合格等级的概率; (3)在选取的样本中,从两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研,记表示所抽取的名学生中为等级的学生人数,求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1);,(2)(3)分布列见解析,期望为 【解析】 (1);, (2)设至少有1人成绩是合格等级的事件为 (3)由题意可知等级的学生人数为人,等级的学生人数为3人,故的取值为 , , , . 所以的分布列为: 20.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况,随机抽取了100位居民作为样本,就最近一年来网购消费金额(单位:千元),网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内,按,,,,,分成6组,其频率分布直方图如图所示. (1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数; (2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”,补全下面的列联表,并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”; 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 (3)调査显示,甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立,两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式,所得数据如下表所示: 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率,若甲、乙两人在下周内各自网购2次,记两人采用支付宝支付的次数之和为,求的数学期望. 附:观测值公式: 临界值表: 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析;(3) 【解析】 (1)在直方图中,从左至右前3个小矩形的面积之和为, 后2个小矩形的面积之和为,所以中位数位于区间内. 设直方图的面积平分线为,则,得,所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元. (2)由直方图知,网购消费金额在20千元以上的频数为, 所以“网购迷”共有35人,由列联表知,其中女性有20人,则男性有15人. 所以补全的列联表如下: 男 女 合计 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 合计 60 40 100 因为,查表得, 所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”. (3)由表知,甲,乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为,. 设甲,乙两人采用支付宝支付的次数分别为,,据题意,,. 所以,. 因为,则,所以的数学期望为. 21.某电视台举行文艺比赛,并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分,场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分,将观众评分按照分组,绘成频率分布直方图如下图. (Ⅰ)求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9的概率; (Ⅱ)从现场专家中随机抽取2人,求其中评分高于9分的至少有1人的概率; (Ⅲ)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分. 方案一:计算所有专家与观众评分的平均数作为该选手的最终得分; 方案二:分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数,用作为该选手最终得分. 请直接写出与的大小关系. 【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)(Ⅲ) 【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图可知0.2+0.5+a=1,解得, 某场外观众评分不小于9的概率是. (Ⅱ)设“从现场专家中随机抽取2人,其中评分高于9分的至少有1人”为事件Q. 因为基本事件有共10种, 事件Q的对立事件只有1种, 所以. (Ⅲ). 22.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关,经验表明,某种绿茶用的水泡制,再等到茶水温度降至时饮用,可以产生最佳口感.某研究人员每隔测量一次茶水温度,得到下表的一组数据。 时间 0 1 2 3 4 水温 85 79 75 71 68 (1)从表中所给的5个水温数据中任取2个,记表示这2个数据中高于的个数,求的分布列和数学期望. (2)在室温下,设茶水温度从开始,经过后的温度为,根据这些数据的散点图,可用回归方程近似地刻画茶水温度随时间变化的规律,其中,为比例系数,为温度的衰减比例,且的估计值.为第分钟对应的水温.根据表中数据求: (i)温度关于时间的回归方程(保留2位小数); (ii)刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳饮用口感?(保留整数,参考数据:,.) 【答案】(1)见解析;(2) (i)(ii)大约. 【解析】 (1)解:由题意可知,高于的数据有3个,随机变量可能取值为0,1,2. ,,, 分布列为: 0 1 2 所以. (2)(i)根据实际情况可知,当时,,代入回归方程得到从而求出回归方程,再令,利用给出的数据可算出对应的的值. 计算每分钟的值与上一分钟值的比值,可知: 0 1 2 3 4 60 54 50 46 43 0.90 0.93 0.92 0.93 所以, 故回归方程为:. (ii)将代入,得 ,所以,两边取对数: 得:, 由参考数据知:,. 所以,, 所以, 所以,泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约. PAGE 1

  • ID:3-6131707 (北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题11平面解析几何解答题文(含解析)

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    专题11平面解析几何解答题 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 解答题 2019 椭圆 2019年北京文科19 解答题 2018 椭圆 2018年北京文科20 解答题 2017 椭圆 2017年北京文科19 解答题 2016 椭圆 2016年北京文科19 解答题 2015 椭圆 2015年北京文科20 解答题 2014 椭圆 2014年北京文科19 解答题 2013 椭圆 2013年北京文科19 解答题 2012 椭圆 2012年北京文科19 解答题 2011 椭圆 2011年北京文科19 解答题 2010 椭圆 2010年北京文科19 历年高考真题汇编 1.【2019年北京文科19】已知椭圆C:1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1). (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)设O为原点,直线l:y=kx+t(t≠±1)与椭圆C交于两个不同点P、Q,直线AP与x轴交于点M,直线AQ与x轴交于点N.若|OM|?|ON|=2,求证:直线l经过定点. 【解答】解:(Ⅰ)椭圆C:1的右焦点为(1,0),且经过点A(0,1). 可得b=c=1,a, 则椭圆方程为y2=1; (Ⅱ)证明:y=kx+t与椭圆方程x2+2y2=2联立,可得(1+2k2)x2+4ktx+2t2﹣2=0, 设P(x1,y1),Q(x2,y2), △=16k2t2﹣4(1+2k2)(2t2﹣2)>0,x1+x2,x1x2, AP的方程为yx+1,令y=0,可得y,即M(,0); AQ的方程为yx+1,令y=0,可得y.即N(,0). (1﹣y1)(1﹣y2)=1+y1y2﹣(y1+y2)=1+(kx1+t)(kx2+t)﹣(kx1+kx2+2t) =(1+t2﹣2t)+k2?(kt﹣k)?(), |OM|?|ON|=2,即为|?|=2, 即有|t2﹣1|=(t﹣1)2,由t≠±1,解得t=0,满足△>0, 即有直线l方程为y=kx,恒过原点(0,0). 2.【2018年北京文科20】已知椭圆M:1(a>b>0)的离心率为,焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A,B. (Ⅰ)求椭圆M的方程; (Ⅱ)若k=1,求|AB|的最大值; (Ⅲ)设P(﹣2,0),直线PA与椭圆M的另一个交点为C,直线PB与椭圆M的另一个交点为D.若C,D和点Q(,)共线,求k. 【解答】解:(Ⅰ)由题意可知:2c=2,则c,椭圆的离心率e,则a, b2=a2﹣c2=1, ∴椭圆的标准方程:; (Ⅱ)设直线AB的方程为:y=x+m,A(x1,y1),B(x2,y2), 联立,整理得:4x2+6mx+3m2﹣3=0,△=(6m)2﹣4×4×3(m2﹣1)>0,整理得:m2<4, x1+x2,x1x2, ∴|AB|, ∴当m=0时,|AB|取最大值,最大值为; (Ⅲ)设直线PA的斜率kPA,直线PA的方程为:y(x+2), 联立,消去y整理得:(x12+4x1+4+3y12)x2+12y12x+(12y12﹣3x12﹣12x1﹣12)=0, 由代入上式得,整理得:(4x1+7)x2+(12﹣4x12)x﹣(7x12+12x1)=0, x1?xC,xC,则yC(2), 则C(,),同理可得:D(,), 由Q(,),则(,),(,), 由与共线,则, 整理得:y2﹣x2=y1﹣x1,则直线AB的斜率k1, ∴k的值为1. 3.【2017年北京文科19】已知椭圆C的两个顶点分别为A(﹣2,0),B(2,0),焦点在x轴上,离心率为. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)点D为x轴上一点,过D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M,N,过D作AM的垂线交BN于点E.求证:△BDE与△BDN的面积之比为4:5. 【解答】解:(Ⅰ)由椭圆的焦点在x轴上,设椭圆方程:(a>b>0), 则a=2,e,则c, b2=a2﹣c2=1, ∴椭圆C的方程; (Ⅱ)证明:设D(x0,0),(﹣2<x0<2),M(x0,y0),N(x0,﹣y0),y0>0, 则直线AM的斜率kAM,直线DE的斜率kDE, 直线DE的方程:y(x﹣x0), 直线BN的斜率kBN,直线BN的方程y(x﹣2), ,解得:, 过E做EH⊥x轴,△BHE∽△BDN, 则|EH|, 则, ∴:△BDE与△BDN的面积之比为4:5. 4.【2016年北京文科19】已知椭圆C:1过点A(2,0),B(0,1)两点. (1)求椭圆C的方程及离心率; (2)设P为第三象限内一点且在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值. 【解答】(1)解:∵椭圆C:1过点A(2,0),B(0,1)两点, ∴a=2,b=1,则, ∴椭圆C的方程为,离心率为e; (2)证明:如图, 设P(x0,y0),则,PA所在直线方程为y, 取x=0,得; ,PB所在直线方程为, 取y=0,得. ∴|AN|, |BM|=1. ∴ . ∴四边形ABNM的面积为定值2. 5.【2015年北京文科20】已知椭圆C:x2+3y2=3,过点D(1,0)且不过点E(2,1)的直线与椭圆C交于A,B两点,直线AE与直线x=3交于点M. (1)求椭圆C的离心率; (2)若AB垂直于x轴,求直线BM的斜率; (3)试判断直线BM与直线DE的位置关系,并说明理由. 【解答】解:(1)∵椭圆C:x2+3y2=3, ∴椭圆C的标准方程为:y2=1, ∴a,b=1,c, ∴椭圆C的离心率e; (2)∵AB过点D(1,0)且垂直于x轴, ∴可设A(1,y1),B(1,﹣y1), ∵E(2,1),∴直线AE的方程为:y﹣1=(1﹣y1)(x﹣2), 令x=3,得M(3,2﹣y1), ∴直线BM的斜率kBM1; (3)结论:直线BM与直线DE平行. 证明如下: 当直线AB的斜率不存在时,由(2)知kBM=1, 又∵直线DE的斜率kDE1,∴BM∥DE; 当直线AB的斜率存在时,设其方程为y=k(x﹣1)(k≠1), 设A(x1,y1),B(x2,y2), 则直线AE的方程为y﹣1(x﹣2), 令x=3,则点M(3,), ∴直线BM的斜率kBM, 联立,得(1+3k2)x2﹣6k2x+3k2﹣3=0, 由韦达定理,得x1+x2,x1x2, ∵kBM﹣1 =0, ∴kBM=1=kDE,即BM∥DE; 综上所述,直线BM与直线DE平行. 6.【2014年北京文科19】已知椭圆C:x2+2y2=4. (Ⅰ)求椭圆C的离心率; (Ⅱ)设O为原点,若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值. 【解答】解:(Ⅰ)椭圆C:x2+2y2=4化为标准方程为, ∴a=2,b,c, ∴椭圆C的离心率e; (Ⅱ)设A(t,2),B(x0,y0),x0≠0,则 ∵OA⊥OB, ∴0, ∴tx0+2y0=0,∴t, ∵, ∴|AB|2=(x0﹣t)2+(y0﹣2)2=(x0)2+(y0﹣2)2=x02+y024=x0244(0<x02≤4), 因为4(0<x02≤4),当且仅当,即x02=4时等号成立,所以|AB|2≥8. ∴线段AB长度的最小值为2. 7.【2013年北京文科19】直线y=kx+m(m≠0)与椭圆相交于A,C两点,O是坐标原点. (Ⅰ)当点B的坐标为(0,1),且四边形OABC为菱形时,求AC的长; (Ⅱ)当点B在W上且不是W的顶点时,证明:四边形OABC不可能为菱形. 【解答】解:(I)∵点B的坐标为(0,1),当四边形OABC为菱形时,AC⊥OB,而B(0,1),O(0,0), ∴线段OB的垂直平分线为y, 将y代入椭圆方程得x=±, 因此A、C的坐标为(,),如图, 于是AC=2. (II)欲证明四边形OABC不可能为菱形,利用反证法,假设四边形OABC为菱形,则有OA=OC, 设OA=OC=r,则A、C为圆x2+y2=r2与椭圆的交点, 故,x2(r2﹣1),则A、C两点的横坐标相等或互为相反数. 从而得到点B是W的顶点.这与题设矛盾. 于是结论得证. 8.【2012年北京文科19】已知椭圆C:1(a>b>0)的一个长轴顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x﹣1)与椭圆C交于不同的两点M,N, (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)当△AMN的面积为时,求k的值. 【解答】解:(Ⅰ)∵椭圆一个顶点为A (2,0),离心率为, ∴ ∴b ∴椭圆C的方程为; (Ⅱ)直线y=k(x﹣1)与椭圆C联立,消元可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2k2﹣4=0 设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2, ∴|MN| ∵A(2,0)到直线y=k(x﹣1)的距离为 ∴△AMN的面积S ∵△AMN的面积为, ∴ ∴k=±1. 9.【2011年北京文科19】已知椭圆G:1(a>b>0)的离心率为,右焦点为(2,0),斜率为1的直线l与椭圆G交与A、B两点,以AB为底边作等腰三角形,顶点为P(﹣3,2). (Ⅰ)求椭圆G的方程; (Ⅱ)求△PAB的面积. 【解答】解:(Ⅰ)由已知得,c,, 解得a,又b2=a2﹣c2=4, 所以椭圆G的方程为. (Ⅱ)设直线l的方程为y=x+m, 由得4x2+6mx+3m2﹣12=0.① 设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)(x1<x2),AB的中点为E(x0,y0), 则x0, y0=x0+m, 因为AB是等腰△PAB的底边, 所以PE⊥AB, 所以PE的斜率k, 解得m=2. 此时方程①为4x2+12x=0. 解得x1=﹣3,x2=0, 所以y1=﹣1,y2=2, 所以|AB|=3,此时,点P(﹣3,2). 到直线AB:y=x+2距离d, 所以△PAB的面积s|AB|d. 10.【2010年北京文科19】已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是,,离心率是,直线y=t椭圆C交与不同的两点M,N,以线段为直径作圆P,圆心为P. (Ⅰ)求椭圆C的方程; (Ⅱ)若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标; (Ⅲ)设Q(x,y)是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值. 【解答】解:(Ⅰ)因为,且,所以 所以椭圆C的方程为 (Ⅱ)由题意知p(0,t)(﹣1<t<1) 由得 所以圆P的半径为, 则有t2=3(1﹣t2), 解得所以点P的坐标是(0,) (Ⅲ)由(Ⅱ)知,圆P的方程x2+(y﹣t)2=3(1﹣t2).因为点Q(x,y)在圆P上.所以 设t=cosθ,θ∈(0,π),则 当,即,且x=0,y取最大值2. 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:直线方程、圆的方程,直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线,曲线与方程等.历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为:直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线等为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.已知椭圆的离心率为,椭圆经过点. (1)求椭圆的标准方程; (2)设点是椭圆上的任意一点,射线与椭圆交于点,过点的直线与椭圆有且只有一个公共点,直线与椭圆交于两个相异点,证明:面积为定值. 【答案】(1); (2)见解析. 【解析】 (1)解:因为的离心率为, 所以, 解得.① 将点代入,整理得.② 联立①②,得,, 故椭圆的标准方程为. (2)证明:①当直线的斜率不存在时, 点为或,由对称性不妨取, 由(1)知椭圆的方程为,所以有. 将代入椭圆的方程得, 所以 . ②当直线的斜率存在时,设其方程为, 将代入椭圆的方程 得, 由题意得, 整理得. 将代入椭圆的方程, 得. 设,, 则,, 所以 . 设,,,则可得,. 因为,所以, 解得(舍去), 所以,从而. 又因为点到直线的距离为, 所以点到直线的距离为, 所以 , 综上,的面积为定值. 2.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:(a>b>0)经过点(0,),点F是椭圆的右焦点,点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等.过点F的直线交椭圆于M,N两点. (1)求椭圆C的标准方程; (2)当MF=2FN时,求直线的方程; (3)若直线上存在点P满足PM·PN=PF2,且点P在椭圆外,证明:点P在定直线上. 【答案】(1);(2);(3)见解析. 【解析】 (1)设椭圆的截距为2c,由题意,b=, 由点F到左顶点的距离和到右准线的距离相等,得a+c=, 又a2=b2+c2,联立解得a=2,c=1. ∴椭圆C的标准方程为; (2)当直线l与x轴重合时,M(﹣2,0),N(2,0),此时MF=3NF,不合题意; 当直线l与x轴不重合时,设直线l的方程为x=my+1,M(x1,y1),N(x2,y2), 联立,得(3m2+4)y2+6my﹣9=0.△=36m2+36(m2+4)>0. ①,②,由MF=2FN,得y1=﹣2y2③, 联立①③得,, 代入②得,,解得.∴直线方程为; (3)当直线l的斜率为0时,则M(2,0),N(﹣2,0),设P(x0,y0), 则PM?PN=|(x0﹣2)(x0+2)|,∵点P在椭圆外,∴x0﹣2,x0+2同号, 又,解得. 当直线l的斜率不为0时,由(2)知,, . ∵点P在椭圆外,∴y1﹣y0,y2﹣y0同号, ∴PM?PN=(1+m2)(y1﹣y0)(y2﹣y0)= , 整理得,代入直线方程得.∴点P在定直线上. 3.已知抛物线:的焦点为,直线与抛物线交于,两点,是坐标原点. (1)若直线过点且,求直线的方程; (2)已知点,若直线不与坐标轴垂直,且,证明:直线过定点. 【答案】(1)或;(2). 【解析】 解:(1)法一:焦点, 当直线斜率不存在时,方程为,与抛物线的交点坐标分别为,, 此时,不符合题意,故直线的斜率存在. 设直线方程为与联立得, 当时,方程只有一根,不符合题意,故., 抛物线的准线方程为, 由抛物线的定义得, 解得, 所以方程为或. 法二:焦点,显然直线不垂直于轴,设直线方程为, 与联立得,设,,,. , 由,解得, 所以方程为或. (2)设,, 设直线方程为与联立得:, 可得,. 由得,即. 整理得,即, 整理得, 即,即. 故直线方程为过定点. 4.已知椭圆,是长轴的一个端点,弦过椭圆的中心,点在第一象限,且,. (1)求椭圆的标准方程; (2)设、为椭圆上不重合的两点且异于、,若的平分线总是垂直于轴,问是否存在实数,使得?若不存在,请说明理由;若存在,求取得最大值时的的长. 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)∵,∴, ∵.即, ∴是等腰直角三角形, ∵,∴, 而点在椭圆上,∴,,∴, ∴所求椭圆方程为. (2)对于椭圆上两点,, ∵的平分线总是垂直于轴, ∴与所在直线关于对称, ,则, ∵,∴的直线方程为,① 的直线方程为,② 将①代入,得,③ ∵在椭圆上,∴是方程③的一个根, ∴, 以替换,得到. ∴, ∵,,,弦过椭圆的中心, ∴,,∴, ∴,∴, ∴存在实数,使得, , 当时,即时取等号, , 又, , ∴取得最大值时的的长为. 5.已知抛物线,过抛物线焦点的直线分别交抛物线与圆于(自上而下顺次)四点. (1)求证:为定值; (2)求的最小值. 【答案】(1)见证明;(2)108 【解析】 (1)有题意可知, 可设直线的方程为, 联立直线和抛物线方程,消可得, 所以,, 由抛物线的定义可知,, 又, 所以, 所以为定值16. (2)由(1)可知,,, , 由,可得, 所以(其中), 令,, 当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增, 所以. 所以的最小值为. 6.已知为坐标原点,点,,过点作的平行线交于点.设点的轨迹为. (Ⅰ)求曲线的方程; (Ⅱ)已知直线与圆相切于点,且与曲线相交于,两点,的中点为,求三角形面积的最大值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 (Ⅰ)因为, 故, 所以, 故, 由题设得,由椭圆定义可得点的轨迹方程为:. (Ⅱ)由题意,直线的斜率存在且不为0, 设直线的方程为, 因为直线与圆相切, 所以,∴, 由消去得. 设,由韦达定理知: . 所以中点的坐标为, 所以弦的垂直平分线方程为, 即 . 所以. 将代入得 (当且仅当,即时,取等号). 所以三角形的面积为, 综上所述,三角形的面积为. 7.已知椭圆的离心率为,是椭圆的一个焦点.点,直线的斜率为. (1)求椭圆的方程; (2)若过点的直线与椭圆交于两点,线段的中点为,且.求的方程. 【答案】(1);(2) 【解析】 (1)由题意,可得,解得,则, 故椭圆的方程为. (2)当的斜率不存在时,,不合题意,故的斜率存在. 设的方程为,联立,得, 设,则, 即, 设,则, 则,即 整理得.故,的方程为. 8.已知椭圆过点,右焦点是抛物线的焦点. (1)求椭圆的方程; (2)已知动直线过右焦点,且与椭圆分别交于,两点.试问轴上是否存在定点,使得恒成立?若存在求出点的坐标:若不存在,说明理由. 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 (1)因为椭圆过点,所以, 又抛物线的焦点为,所以. 所以,解得(舍去)或. 所以椭圆的方程为. (2)假设在轴上存在定点,使得. ①当直线的斜率不存在时,则,,,, 由,解得或; ②当直线的斜率为0时,则,,,, 由,解得或. 由①②可得,即点的坐标为. 下面证明当时,恒成立. 当直线的斜率不存在或斜率为0时,由①②知结论成立. 当直线的斜率存在且不为0时,设其方程为,,.直线与椭圆联立得, 直线经过椭圆内一点,一定与椭圆有两个交点,且,. , 所以 恒成立 综上所述,在轴上存在点,使得恒成立. 9.关于椭圆的切线由下列结论:若是椭圆上的一点,则过点的椭圆的切线方程为.已知椭圆. (1)利用上述结论,求过椭圆上的点的切线方程; (2)若是直线上任一点,过点作椭圆的两条切线,(,为切点),设椭圆的右焦点为,求证:. 【答案】(1)(2)见证明 【解析】 (1)由题意,将代入椭圆方程,得,所以, 所以过椭圆上的点的切线方程为,即. (2)设,,, 则过,两点的椭圆的切线,的方程分别为,, 因为在两条切线上,,, 所以,两点均在直线上,即直线的方程为, 当时,, 又,,,所以, 若,点在轴上,,两点关于轴对称,显然. 10.已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,为椭圆上一动点(异于左右顶点),若面积的最大值为. (1)求椭圆的方程; (2)若直线过点交椭圆于两点,问在轴上是否存在一点,使得为定值?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】(1)(2)见解析 【解析】 (1)由题意,当在上或下顶点时,的面积取值最大值,即最大值为, 又,且,解得,, 故椭圆的方程为. (2)易知,设直线的方程为,, 联立方程组,整理得, 则,, , ∵,, ∴, , ∴ , 要使为定值,则,解得, 所以在轴上存在点,使得为定值. 11.已知点,直线,为平面上的动点,过点作直线的垂线,垂足为,且. (1)求动点的轨迹的方程; (2)设直线与轨迹交于两点,、,且 (,且为常数),过弦的中点作平行于轴的直线交轨迹于点,连接、.试判断的面积是否为定值,若是,求出该定值,若不是,请说明理由 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 (1)设,则, , , 即,即, 所以动点的轨迹的方程. (2)联立方程组消去,得, 依题意,,且,, 由得, 即, 整理得:,所以,① 因为的中点,所以点,依题意, , 由方程中的判别式,得,所以, 由①知, 所以,又为常数,故的面积为定值. 12.已知点P在抛物线上,且点P的横坐标为2,以P为圆心,为半径的圆(O为原点),与抛物线C的准线交于M,N两点,且. (1)求抛物线C的方程; (2)若抛物线的准线与y轴的交点为H.过抛物线焦点F的直线l与抛物线C交于A,B,且,求的值. 【答案】(1) (2)4 【解析】 (1)将点P横坐标代入中,求得, ∴P(2,),, 点P到准线的距离为, ∴, ∴, 解得,∴, ∴抛物线C的方程为:; (2)抛物线的焦点为F(0,1),准线方程为,; 设, 直线AB的方程为,代入抛物线方程可得, ∴,…① 由,可得, 又,, ∴, ∴, 即, ∴,…② 把①代入②得,, 则. 13.已知抛物线方程,为焦点,为抛物线准线上一点,为线段与抛物线的交点,定义:. (1)当时,求; (2)证明:存在常数,使得. (3)为抛物线准线上三点,且,判断与的关系. 【答案】(1);(2)证明见解析;(3). 【解析】 (1)因为. 联立方程, 则. (2)当,易得, 不妨设,, 直线,则, 联立,, , . (3)设,则 , 因为 , 又因 , 所以. 14.已知抛物线的焦点到准线距离为. (1)若点,且点在抛物线上,求的最小值; (2)若过点的直线与圆相切,且与抛物线有两个不同交点,求的面积. 【答案】(1)2(2) 【解析】 解:(1)根据题意可知 所以抛物线方程为 则抛物线焦点为,准线为; 记点到抛物线准线的距离分别为, 故,等号成立当且仅当PE垂直于准线, 故的最小值为 (2)设 , 由题意知,直线斜率存在,设直线的方程为: 将与联立得, 由韦达定理得, 由到直线的距离为得:, 又 点到直线的距离为 所以 15.已知曲线C上的任意一点到直线l:x=的距离与到点F()的距离相等. (1)求曲线C的方程; (2)若过P(1,0)的直线与曲线C相交于A,B两点,Q(1,0)为定点,设直线AQ的斜率为k1,直线BQ的斜率为k2,直线AB的斜率为k,证明:为定值. 【答案】(1)y2=2x;(2)见解析 【解析】 (1)由条件可知,此曲线是焦点为F的抛物线,,p=1. ∴抛物线的方程为y2=2x; (2)根据已知,设直线AB的方程为y=k(x1)(k≠0), 由,可得ky22y2k=0. 设A(),B(),则,y1y2=2. ∵,. ∴= = = =.∴. PAGE 1

  • ID:3-6131688 (北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题10平面解析几何选择填空题文(含解析)

    高中数学/高考专区/真题分类汇编

    专题10平面解析几何选择填空题 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 单选题 2019 双曲线 2019年北京文科05 单选题 2016 圆的方程 2016年北京文科05 单选题 2015 圆的方程 2015年北京文科02 单选题 2014 圆的方程 2014年北京文科07 单选题 2013 双曲线 2013年北京文科07 单选题 2011 抛物线 2011年北京文科08 填空题 2019 抛物线 2019年北京文科11 填空题 2018 抛物线 2018年北京文科10 填空题 2018 双曲线 2018年北京文科12 填空题 2017 双曲线 2017年北京文科10 填空题 2016 双曲线 2016年北京文科12 填空题 2015 双曲线 2015年北京文科12 填空题 2014 双曲线 2014年北京文科10 填空题 2013 抛物线 2013年北京文科09 填空题 2012 圆的方程 2012年北京文科09 填空题 2011 双曲线 2011年北京文科10 填空题 2010 双曲线 2010年北京文科13 历年高考真题汇编 1.【2019年北京文科05】已知双曲线y2=1(a>0)的离心率是,则a=(  ) A. B.4 C.2 D. 【解答】解:由双曲线y2=1(a>0),得b2=1, 又e,得,即, 解得,a. 故选:D. 2.【2016年北京文科05】圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为(    ) A.1 B.2 C. D.2 【解答】解:∵圆(x+1)2+y2=2的圆心为(﹣1,0), ∴圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的距离为: d. 故选:C. 3.【2015年北京文科02】圆心为(1,1)且过原点的圆的标准方程是(    ) A.(x﹣1)2+(y﹣1)2=1 B.(x+1)2+(y+1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 D.(x﹣1)2+(y﹣1)2=2 【解答】解:由题意知圆半径r, ∴圆的方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2. 故选:D. 4.【2014年北京文科07】已知圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1和两点A(﹣m,0),B(m,0)(m>0),若圆C上存在点P,使得∠APB=90°,则m的最大值为(    ) A.7 B.6 C.5 D.4 【解答】解:圆C:(x﹣3)2+(y﹣4)2=1的圆心C(3,4),半径为1, ∵圆心C到O(0,0)的距离为5, ∴圆C上的点到点O的距离的最大值为6. 再由∠APB=90°可得,以AB为直径的圆和圆C有交点, 可得POAB=m,故有m≤6, 故选:B. 5.【2013年北京文科07】双曲线的离心率大于的充分必要条件是(    ) A. B.m≥1 C.m>1 D.m>2 【解答】解:双曲线,说明m>0, ∴a=1,b,可得c, ∵离心率e等价于 ?m>1, ∴双曲线的离心率大于的充分必要条件是m>1. 故选:C. 6.【2011年北京文科08】已知点A(0,2),B(2,0).若点C在函数y=x2的图象上,则使得△ABC的面积为2的点C的个数为(    ) A.4 B.3 C.2 D.1 【解答】解:设C(a,a2),由已知得直线AB的方程为,即:x+y﹣2=0 点C到直线AB的距离为:d, 有三角形ABC的面积为2可得: |a+a2﹣2|=2 得:a2+a=0或a2+a﹣4=0,显然方程共有四个根, 可知函数y=x2的图象上存在四个点(如上面图中四个点C1,C2,C3,C4) 使得△ABC的面积为2(即图中的三角形△ABC1,△ABC2,△ABC3,△ABC4). 故选:A. 7.【2019年北京文科11】设抛物线y2=4x的焦点为F,准线为l,则以F为圆心,且与l相切的圆的方程为  . 【解答】解:如图, 抛物线y2=4x的焦点为F(1,0), ∵所求圆的圆心F,且与准线x=﹣1相切,∴圆的半径为2. 则所求圆的方程为(x﹣1)2+y2=4. 故答案为:(x﹣1)2+y2=4. 8.【2018年北京文科10】已知直线l过点(1,0)且垂直于x轴.若l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4,则抛物线的焦点坐标为    . 【解答】解:∵直线l过点(1,0)且垂直于x轴, ∴x=1, 代入到y2=4ax,可得y2=4a,显然a>0, ∴y=±2, ∵l被抛物线y2=4ax截得的线段长为4, ∴44, 解得a=1, ∴y2=4x, ∴抛物线的焦点坐标为(1,0), 故答案为:(1,0) 9.【2018年北京文科12】若双曲线1(a>0)的离心率为,则a=    . 【解答】解:双曲线1(a>0)的离心率为, 可得:,解得a=4. 故答案为:4. 10.【2017年北京文科10】若双曲线x21的离心率为,则实数m=    . 【解答】解:双曲线x21(m>0)的离心率为, 可得:, 解得m=2. 故答案为:2. 11.【2016年北京文科12】已知双曲线1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0),则a=    ,b=    . 【解答】解:∵双曲线1(a>0,b>0)的一条渐近线为2x+y=0,一个焦点为(,0), ∴, 解得a=1,b=2. 故答案为:1,2. 12.【2015年北京文科12】已知(2,0)是双曲线x21(b>0)的一个焦点,则b=    . 【解答】解:双曲线x21(b>0)的焦点为(,0),(,0), 由题意可得2, 解得b. 故答案为:. 13.【2014年北京文科10】设双曲线C的两个焦点为(,0),(,0),一个顶点是(1,0),则C的方程为    . 【解答】解:∵双曲线C的两个焦点为(,0),(,0),一个顶点是(1,0), ∴c,a=1, ∴b=1, ∴C的方程为x2﹣y2=1. 故答案为:x2﹣y2=1. 14.【2013年北京文科09】若抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0),则p=    ;准线方程为    . 【解答】解:∵抛物线y2=2px的焦点坐标为(1,0), ∴1,p=2, 抛物线的方程为y2=4x, ∴其标准方程为:x=﹣1, 故答案为:2,x=﹣1. 15.【2012年北京文科09】直线y=x被圆x2+(y﹣2)2=4截得的弦长为    . 【解答】解:圆x2+(y﹣2)2=4的圆心坐标为(0,2),半径为2 ∵圆心到直线y=x的距离为 ∴直线y=x被圆x2+(y﹣2)2=4截得的弦长为2 故答案为: 16.【2011年北京文科10】已知双曲线x21(b>0)的一条渐近线的方程为y=2x,则b=    . 【解答】解:该双曲线的渐近线方程为,即y=±bx,由题意该双曲线的一条渐近线的方程为y=2x,又b>0,可以得出b=2. 故答案为:2. 17.【2010年北京文科13】已知双曲线的离心率为2,焦点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为    ;渐近线方程为    . 【解答】解:∵椭圆的焦点为(4,0)(﹣4,0),故双曲线中的c=4,且满足2,故a=2, b,所以双曲线的渐近线方程为y=±±x 故答案为:(4,0),(﹣4,0);yx 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:直线方程、圆的方程,直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线,曲线与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为:直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点直线与圆、圆与圆的位置关系,椭圆、双曲线、抛物线及其性质,直线与圆锥曲线等为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.已知双曲线的右焦点为,直线经过点且与双曲线的一条渐近线垂直,直线与双曲线的右支交于不同两点,,若,则该双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意得直线的方程为,不妨取,则,且. 将代入,得. 设,,则,. 由,得,所以,得,解得, 所以,故该双曲线的离心率为,故选A。 2.双曲线的一个焦点为,若、、成等比数列,则该双曲线的离率 (  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为成等比数列, 所以, , 所以,因为, 所以. 故选B. 3.已知为抛物线上的两个动点,以为直径的圆经过抛物线的焦点,且面积为,若过圆心作该抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为( ) A.2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 根据题意,, ∴. 设,过点作于,过点作于, 由抛物线定义,得,在梯形中, ∴, 由勾股定理得,, ∵, 所以(当且仅当时,等号成立). 4.已知双曲线的左焦点为,以为直径的圆与双曲线的渐近线交于不同原点的两点,若四边形的面积为,则双曲线的渐近线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据题意,,双曲线的焦点到的一条渐近线的距离为,则,所以,所以,所以,所以双曲线的渐近线方程为. 5.已知分别是双曲线的左、右焦点,过点与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点,若点在以线段为直径的圆外,则双曲线离心率的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 不妨设过点与双曲线的一条渐近线平行的直线为,与双曲线另一条渐近线交点为,因为点在以线段为直径的圆外,所以,即, ,选D. 6.过抛物线的焦点F的直线交该抛物线于A、B两点,若|AF|=3,则|BF|=( ) A.2 B. C.1 D. 【答案】B 【解析】 如图所示,设,及, 则点到准线的距离为,得到,即, 又由,整理得, 故选B. 7.已知是抛物线的焦点,抛物线上动点,满足,若,的准线上的射影分别为,且的面积为,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 过点A作轴的垂线垂足于C,交NB的延长线于点D。 设,则. ① ,即 ② ③ 联立①②③解得,, 故选D 8.已知直线与抛物线相切,则双曲线的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由,得, 直线与抛物线相切,, 双曲线方程为, 可得, 所以离心率,故选B. 9.过点作直线与圆交于,两点,若为,中点,则直线的方程为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意,圆的圆心为, 若点为的中点,等价于,则,所以直线的斜率为1, 所以直线的方程为,即,故选D. 10.设是双曲线的左、右焦点,为双曲线右支上一点,若,c=2,,则双曲线的两条渐近线的夹角为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解:由题意可得,可得, 可得,可得a=1,, 可得渐近线方程为:,可得双曲线的渐近线的夹角为, 故选D. 11.直线被圆所截得的弦长为,则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解:可得圆心(0,0)到直线的距离, 由直线与圆相交可得,,可得d=1, 即=1,可得,可得直线方程:, 故斜率为, 故选D. 12.已知双曲线的右顶点,抛物线的焦点为,若在的渐近线上存在点,使得,则的离心率的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 双曲线的右顶点,渐近线方程为 抛物线的焦点为 设:,即, 由可得:,即: 整理可得: 则: 由可得: 本题正确选项: 13.已知椭圆:上的三点,,,斜率为负数的直线与轴交于,若原点是的重心,且与的面积之比为,则直线的斜率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 设,..,直线的方程为. ∵原点是的重心,∴与的高之比为, 又与的面积之比为,则.即,…① 联立. ,…②,由①②整理可得:…③ ∵原点是的重心,∴,. ∵,∴…④. 由③④可得,∵.∴. 故选:C. 14.如图,是平面的斜线段,为斜足,点满足,且在平面内运动,则( ) A.当时,点的轨迹是抛物线 B.当时,点的轨迹是一条直线 C.当时,点的轨迹是椭圆 D.当时,点的轨迹是双曲线抛物线 【答案】B 【解析】 在中,∵,由正弦定理可得:, 当时,,过的中点作线段的垂面, 则点在与的交线上,即点的轨迹是一条直线, 当时,, 设在平面内的射影为,连接,,设,,则, 在平面内,以所在直线为轴,以的中点为轴建立平面直角坐标系, 设,则,,, ∴,化简可得. ∴的轨迹是圆. 故选:B. 15.已知抛物线的焦点和准线,过点的直线交于点,与抛物线的一个交点为,且,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题设 过点B作BC⊥l,垂足为C,则|BC|=a, , 设准线l交x轴与D, 则 所以. 故选:C 16.已知双曲线:的左焦点为,右顶点为,以为圆心,为半径的圆交的左支于,两点,且线段的垂直平分线经过点,则的离心率为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ,, 因为线段的垂直平分线经过点,故, 因双曲线关于轴对称,故,所以为等边三角形, 故,故, 整理得到,故,选C. 17.已知抛物线:的焦点为,抛物线的准线与轴交于点,点在抛物线上,,则(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解:过向抛物线的准线作垂线,垂足为,则,故. 又在抛物线上,故,于是,解得, ∴, ∴. 故选D. 18.已知圆:,则圆关于直线的对称圆的方程是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解:根据题意,设要求圆的圆心为,其坐标为, 圆:,即, 故其圆心为,半径, 与关于直线对称, 则有,解可得, 则要求圆的圆心为,半径, 其方程为, 故选:A. 19.已知椭圆:,的左、右焦点分别为,,为椭圆上异于长轴端点的一点,的内心为,直线交轴于点,若,则椭圆的离心率是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解:的内心为,连接和, 可得为的平分线,即有, , 可得, 即有, 即有, 故选:B. 20.以椭圆的两个焦点为直径的端点的圆与椭圆交于四个不同的点,顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形,那么这个椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解:设椭圆的两个焦点为,,圆与椭圆交于,,,四个不同的点, 设,则,. 椭圆定义,得, 所以, 故选:B. 21.已知椭圆:,直线:与椭圆交于,两点,则过点,且与直线:相切的圆的方程为______. 【答案】. 【解析】 解:椭圆:,直线:与椭圆交于,两点, 联立可得:,消去可得,,解得或, 可得,, 过点,且与直线:相切的圆切点为,圆的圆心,半径为:. 所求圆的方程为:. 故答案为:. 22.已知点,过点作直线,与抛物线相交于,两点,设直线,的斜率分别为,,则____. 【答案】-1 【解析】 解:设直线x=my+3,联立抛物线方程可得y2﹣4my﹣12=0, 设A(,y1),B(,y2),可得y1+y2=4m,y1y2=﹣12, 则k1+k2 ═1. 故答案为:﹣1. 23.已知圆:,若直线与圆相交于,两点,且,则实数的值为_______. 【答案】 【解析】 圆心的坐标为:,半径 弦长 圆心到直线的距离为: 弦长 ,化简得: 解得: 本题正确结果: 24.如图是数学家Germinal Dandelin用来证明一个平面截圆锥得到的截口曲线是椭圆的模型(称为“Dandelin双球”);在圆锥内放两个大小不同的小球,使得它们分别与圆锥的侧面、截面相切,设图中球,球的半径分别为和,球心距离,截面分别与球,球切于点,,(,是截口椭圆的焦点),则此椭圆的离心率等于______. 【答案】 【解析】 如图,圆锥面与其内切球,分别相切与B,A,连接则,,过作垂直于,连接, 交于点C 设圆锥母线与轴的夹角为 ,截面与轴的夹角为 在中, , 解得 即 则椭圆的离心率 25.已知点、,若点是圆上的动点,面积的最小值为,则的值为__________. 【答案】或 【解析】 由题意知,圆的标准方程为:,则圆心为,半径 又,,可得直线方程为:,即 圆心到直线的距离: 则圆上的点到直线的最短距离为: 又 解得:或 本题正确结果:或 26.椭圆的左、右焦点分别为,,离心率为,过的直线交椭圆于,两点,的周长为8,则该椭圆的短轴长为__________. 【答案】 【解析】 因为的周长为8, 所以, 因为离心率为, 所以, 由,解得, 则该椭圆的短轴长为,故答案为. 27.在平面直角坐标系中,已知点,分别为椭圆:的右顶点、右焦点,过坐标原点的直线交椭圆于,两点,线段的中点为,若,,三点共线,则椭圆的离心率为______. 【答案】 【解析】 由题意知:,关于原点对称,可设, 又,,则 , ,,三点共线 ,整理可得: 即椭圆的离心率: 本题正确结果: 28.已知点,抛物线的焦点为,连接,与抛物线相交于点M,延长,,与抛物线的准线相交于点,若,则实数的值为______. 【答案】 【解析】 依题意得焦点的坐标为, 过作抛物线的准线的垂线且垂足为,连接, 由抛物线的定义知,因为,所以, 又,,所以,解得. 故答案为 29.已知双曲线:的右焦点为,左顶点为,以为圆心,为半径的圆交的右支于,两点,且线段的垂直平分线经过点,则的离心率为_________. 【答案】 【解析】 由题意,得,另一个焦点, 由对称性知,, 又因为线段的垂直平分线经过点,, 则,可得是正三角形, 如图所示,连接,则, 由图象的对称性可知,, 又因为是等腰三角形, 则, 在中, 由余弦定理:, 上式可化为, 整理得:,即,由于, 则, 故,故答案为. 30.椭圆:的两个顶点,,过,分别作的垂线交椭圆于,(不同于顶点),若,则椭圆的离心率为_____. 【答案】 【解析】 依题意可得, 因为过,分别作的垂线交椭圆于,(不同于顶点), 所以直线:,直线:. 由, 所以. 由, 所以,. 因为,, 由可得,所以, 椭圆的离心率,故答案为:。 PAGE 1

  • ID:3-6131686 (北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题09立体几何文(含解析)

    高中数学/高考专区/真题分类汇编

    专题09立体几何 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 单选题 2018 三视图与直观图 2018年北京文科06 单选题 2017 三视图与直观图 2017年北京文科06 单选题 2015 三视图与直观图 2015年北京文科07 单选题 2013 空间角与空间距离 2013年北京文科08 单选题 2012 三视图与直观图 2012年北京文科07 单选题 2011 三视图与直观图 2011年北京文科05 单选题 2010 三视图与直观图 2010年北京文科05 单选题 2010 表面积与体积 2010年北京文科08 填空题 2019 三视图与直观图 2019年北京文科12 填空题 2019 点线面的位置关系与立体几何基本定理 2019年北京文科13 填空题 2016 三视图与直观图 2016年北京文科11 填空题 2014 三视图与直观图 2014年北京文科11 填空题 2013 三视图与直观图 2013年北京文科10 解答题 2019 平行关系的判定与性质 2019年北京文科18 解答题 2018 平行关系的判定与性质 2018年北京文科18 解答题 2017 空间角与空间距离 2017年北京文科18 解答题 2016 空间向量在立体几何中的应用 2016年北京文科18 解答题 2015 表面积与体积 2015年北京文科18 解答题 2014 垂直关系的判定与性质 2014年北京文科17 解答题 2013 垂直关系的判定与性质 2013年北京文科17 解答题 2012 垂直关系的判定与性质 2012年北京文科16 解答题 2011 空间角与空间距离 2011年北京文科17 解答题 2010 垂直关系的判定与性质 2010年北京文科17 历年高考真题汇编 1.【2018年北京文科06】某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为(    ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解答】解:四棱锥的三视图对应的直观图为:PA⊥底面ABCD, AC,CD, PC=3,PD=2,可得三角形PCD不是直角三角形. 所以侧面中有3个直角三角形,分别为:△PAB,△PBC, △PAD. 故选:C. 2.【2017年北京文科06】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为(    ) A.60 B.30 C.20 D.10 【解答】解:由三视图可知:该几何体为三棱锥, 该三棱锥的体积10. 故选:D. 3.【2015年北京文科07】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为(    ) A.1 B. C. D.2 【解答】解:由三视图知:几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直, 底面为正方形如图: 其中PB⊥平面ABCD,底面ABCD为正方形 ∴PB=1,AB=1,AD=1, ∴BD,PD. PC═ 该几何体最长棱的棱长为: 故选:C. 4.【2013年北京文科08】如图,在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,P为对角线BD1的三等分点,P到各顶点的距离的不同取值有(    ) A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 【解答】解:建立如图所示的空间直角坐标系,不妨设正方体的棱长|AB|=3, 则A(3,0,0),B(3,3,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),B1(3,3,3),C1(0,3,3),D1(0,0,3), ∴(﹣3,﹣3,3), 设P(x,y,z), ∵(﹣1,﹣1,1), ∴(2,2,1). ∴|PA|=|PC|=|PB1|, |PD|=|PA1|=|PC1|, |PB|, |PD1|. 故P到各顶点的距离的不同取值有,3,,共4个. 故选:B. 5.【2012年北京文科07】某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是(    ) A.28+6 B.30+6 C.56+12 D.60+12 【解答】解:三视图复原的几何体是底面为直角边长为4和5的三角形, 一个侧面垂直底面的等腰三角形,高为4,底边长为5,如图, 所以S底10, S后, S右10, S左6. 几何体的表面积为:S=S底+S后+S右+S左=30+6. 故选:B. 6.【2011年北京文科05】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的表面积是(    ) A.16 B.16+16 C.32 D.16+32 【解答】解:由已知中的三视力可得该几何体是一个四棱锥, 棱锥的底面边长为4,故底面面积为16, 棱锥的高为2,故侧面的高为:2, 则每个侧面的面积为: 4, 故棱锥的表面积为:16+16, 故选:B. 7.【2010年北京文科05】一个长方体去掉一个小长方体,所得几何体的正视图与侧(左)视图分别如图所,则该几何体的俯视图为(    ) A. B. C. D. 【解答】解:由正视图可知去掉的长方体在正视线的方向,从侧视图可以看出去掉的长方体在原长方体的左侧, 由以上各视图的描述可知其俯视图符合C选项. 故选:C. 8.【2010年北京文科08】如图,正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2,动点E、F在棱A1B1上.点Q是CD的中点,动点P在棱AD上,若EF=1,DP=x,A1E=y(x,y大于零),则三棱锥P﹣EFQ的体积(    ) A.与x,y都有关 B.与x,y都无关 C.与x有关,与y无关 D.与y有关,与x无关 【解答】解:三棱锥P﹣EFQ的体积与点P到平面EFQ的距离和三角形EFQ的面积有关, 由图形可知,平面EFQ与平面CDA1B1是同一平面,故点P到平面EFQ的距离是P到平面CDA1B1的距离,且该距离就是P到线段A1D的距离,此距离只与x有关, 因为EF=1,点Q到EF 的距离为线段B1C的长度,为定值, 综上可知所求三棱锥的体积只与x有关,与y无关. 故选:C. 9.【2019年北京文科12】某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得,其三视图如图所示.如果网格纸上小正方形的边长为l,那么该几何体的体积为  . 【解答】解:由三视图还原原几何体如图, 该几何体是把棱长为4的正方体去掉一个四棱柱, 则该几何体的体积V. 故答案为:40. 10.【2019年北京文科13】已知l,m是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断: ①l⊥m;②m∥α;③l⊥α. 以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:  . 【解答】解:由l,m是平面α外的两条不同直线,知: 由线面平行的判定定理得: 若l⊥α,l⊥m,则m∥α. 故答案为:若l⊥α,l⊥m,则m∥α. 11.【2016年北京文科11】某四棱柱的三视图如图所示,则该四棱柱的体积为    . 【解答】解:由已知中的三视图可得:该几何体上部是一个以俯视图为底面四棱柱, 棱柱的底面面积S(1+2)×1, 棱柱的高为1, 故棱柱的体积V, 故答案为: 12.【2014年北京文科11】某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥最长棱的棱长为    . 【解答】解:由主视图知CD⊥平面ABC,设AC中点为E,则BE⊥AC,且AE=CE=1; 由主视图知CD=2,由左视图知BE=1, 在Rt△BCE中,BC, 在Rt△BCD中,BD, 在Rt△ACD中,AD=2. 则三棱锥中最长棱的长为2. 故答案为:2. 13.【2013年北京文科10】某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥的体积为    . 【解答】解:几何体为底面边长为3的正方形,高为1的四棱锥, 所以体积. 故答案为:3. 14.【2019年北京文科18】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点. (Ⅰ)求证:BD⊥平面PAC; (Ⅱ)若∠ABC=60°,求证:平面PAB⊥平面PAE; (Ⅲ)棱PB上是否存在点F,使得CF∥平面PAE?说明理由. 【解答】证明:(Ⅰ)∵四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形, ∴BD⊥PA,BD⊥AC, ∵PA∩AC=A,∴BD⊥平面PAC. (Ⅱ)∵在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形, E为CD的中点,∠ABC=60°, ∴AB⊥AE,PA⊥AE, ∵PA∩AB=A,∴AE⊥平面PAB, ∵AE?平面PAE,∴平面PAB⊥平面PAE. 解:(Ⅲ)棱PB上是存在中点F,使得CF∥平面PAE. 理由如下:取AB中点G,连结GF,CG, ∵在四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,E为CD的中点, ∴CG∥AE,FG∥PA, ∵CG∩FG=G,AE∩PA=A, ∴平面CFG∥平面PAE, ∵CF?平面CFG,∴CF∥平面PAE. 15.【2018年北京文科18】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为矩形,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,E,F分别为AD,PB的中点. (Ⅰ)求证:PE⊥BC; (Ⅱ)求证:平面PAB⊥平面PCD; (Ⅲ)求证:EF∥平面PCD. 【解答】证明:(Ⅰ)PA=PD,E为AD的中点, 可得PE⊥AD, 底面ABCD为矩形,可得BC∥AD, 则PE⊥BC; (Ⅱ)由于平面PAB和平面PCD有一个公共点P, 且AB∥CD, 在平面PAB内过P作直线PG∥AB, 可得PG∥CD, 即有平面PAB∩平面PCD=PG, 由平面PAD⊥平面ABCD,又AB⊥AD, 可得AB⊥平面PAD,即有AB⊥PA, PA⊥PG; 同理可得CD⊥PD,即有PD⊥PG, 可得∠APD为平面PAB和平面PCD的平面角, 由PA⊥PD, 可得平面PAB⊥平面PCD; (Ⅲ)取PC的中点H,连接DH,FH, 在三角形PCD中,FH为中位线,可得FH∥BC, FHBC, 由DE∥BC,DEBC, 可得DE=FH,DE∥FH, 四边形EFHD为平行四边形, 可得EF∥DH, EF?平面PCD,DH?平面PCD, 即有EF∥平面PCD. 16.【2017年北京文科18】如图,在三棱锥P﹣ABC中,PA⊥AB,PA⊥BC,AB⊥BC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点. (1)求证:PA⊥BD; (2)求证:平面BDE⊥平面PAC; (3)当PA∥平面BDE时,求三棱锥E﹣BCD的体积. 【解答】解:(1)证明:由PA⊥AB,PA⊥BC, AB?平面ABC,BC?平面ABC,且AB∩BC=B, 可得PA⊥平面ABC, 由BD?平面ABC, 可得PA⊥BD; (2)证明:由AB=BC,D为线段AC的中点, 可得BD⊥AC, 由PA⊥平面ABC,PA?平面PAC, 可得平面PAC⊥平面ABC, 又平面PAC∩平面ABC=AC, BD?平面ABC,且BD⊥AC, 即有BD⊥平面PAC, BD?平面BDE, 可得平面BDE⊥平面PAC; (3)PA∥平面BDE,PA?平面PAC, 且平面PAC∩平面BDE=DE, 可得PA∥DE, 又D为AC的中点, 可得E为PC的中点,且DEPA=1, 由PA⊥平面ABC, 可得DE⊥平面ABC, 可得S△BDCS△ABC2×2=1, 则三棱锥E﹣BCD的体积为DE?S△BDC1×1. 17.【2016年北京文科18】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PC⊥平面ABCD,AB∥DC,DC⊥AC. (1)求证:DC⊥平面PAC;(2)求证:平面PAB⊥平面PAC; (3)设点E为AB的中点,在棱PB上是否存在点F,使得PA∥平面CEF?说明理由. 【解答】(1)证明:∵PC⊥平面ABCD,DC?平面ABCD, ∴PC⊥DC, ∵DC⊥AC,PC∩AC=C, ∴DC⊥平面PAC; (2)证明:∵AB∥DC,DC⊥AC, ∴AB⊥AC, ∵PC⊥平面ABCD,AB?平面ABCD, ∴PC⊥AB, ∵PC∩AC=C, ∴AB⊥平面PAC, ∵AB?平面PAB, ∴平面PAB⊥平面PAC; (3)解:在棱PB上存在中点F,使得PA∥平面CEF. ∵点E为AB的中点, ∴EF∥PA, ∵PA?平面CEF,EF?平面CEF, ∴PA∥平面CEF. 18.【2015年北京文科18】如图,在三棱锥V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB为等边三角形,AC⊥BC且AC=BC,O,M分别为AB,VA的中点. (1)求证:VB∥平面MOC; (2)求证:平面MOC⊥平面VAB (3)求三棱锥V﹣ABC的体积. 【解答】(1)证明:∵O,M分别为AB,VA的中点, ∴OM∥VB, ∵VB?平面MOC,OM?平面MOC, ∴VB∥平面MOC; (2)∵AC=BC,O为AB的中点, ∴OC⊥AB, ∵平面VAB⊥平面ABC,OC?平面ABC, ∴OC⊥平面VAB, ∵OC?平面MOC, ∴平面MOC⊥平面VAB (3)在等腰直角三角形ACB中,AC=BC,∴AB=2,OC=1, ∴S△VAB, ∵OC⊥平面VAB, ∴VC﹣VAB?S△VAB, ∴VV﹣ABC=VC﹣VAB. 19.【2014年北京文科17】如图,在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,AA1=AC=2,BC=1,E、F分别为A1C1、BC的中点. (1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1; (2)求证:C1F∥平面ABE; (3)求三棱锥E﹣ABC的体积. 【解答】解:(1)证明:∵三棱柱ABC﹣A1B1C1中,侧棱垂直于底面, ∴BB1⊥AB, ∵AB⊥BC,BB1∩BC=B,BB1,BC?平面B1BCC1, ∴AB⊥平面B1BCC1, ∵AB?平面ABE, ∴平面ABE⊥平面B1BCC1; (Ⅱ)证明:取AB中点G,连接EG,FG,则 ∵F是BC的中点, ∴FG∥AC,FGAC, ∵E是A1C1的中点, ∴FG∥EC1,FG=EC1, ∴四边形FGEC1为平行四边形, ∴C1F∥EG, ∵C1F?平面ABE,EG?平面ABE, ∴C1F∥平面ABE; (3)解:∵AA1=AC=2,BC=1,AB⊥BC, ∴AB, ∴VE﹣ABCS△ABC?AA1(1)×2. 20.【2013年北京文科17】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,平面PAD⊥底面ABCD,PA⊥AD.E和F分别是CD和PC的中点,求证: (Ⅰ)PA⊥底面ABCD; (Ⅱ)BE∥平面PAD; (Ⅲ)平面BEF⊥平面PCD. 【解答】解:(Ⅰ)∵PA⊥AD,平面PAD⊥平面ABCD,平面PAD∩平面ABCD=AD,由平面和平面垂直的性质定理可得PA⊥平面ABCD. (Ⅱ)∵AB∥CD,AB⊥AD,CD=2AB,E和F分别是CD和PC的中点,故四边形ABED为平行四边形,故有BE∥AD. 又AD?平面PAD,BE不在平面PAD内,故有BE∥平面PAD. (Ⅲ)平行四边形ABED中,由AB⊥AD可得,ABED为矩形,故有BE⊥CD①. 由PA⊥平面ABCD,可得PA⊥AB,再由AB⊥AD可得AB⊥平面PAD, ∴CD⊥平面PAD,故有CD⊥PD. 再由E、F分别为CD和PC的中点,可得EF∥PD, ∴CD⊥EF②. 而EF和BE是平面BEF内的两条相交直线,故有CD⊥平面BEF. 由于CD?平面PCD,∴平面BEF⊥平面PCD. 21.【2012年北京文科16】如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,D,E分别为AC,AB的中点,点F为线段CD上的一点,将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置,使A1F⊥CD,如图2. (1)求证:DE∥平面A1CB; (2)求证:A1F⊥BE; (3)线段A1B上是否存在点Q,使A1C⊥平面DEQ?说明理由. 【解答】解:(1)∵D,E分别为AC,AB的中点, ∴DE∥BC,又DE?平面A1CB, ∴DE∥平面A1CB. (2)由已知得AC⊥BC且DE∥BC, ∴DE⊥AC, ∴DE⊥A1D,又DE⊥CD, ∴DE⊥平面A1DC,而A1F?平面A1DC, ∴DE⊥A1F,又A1F⊥CD, ∴A1F⊥平面BCDE, ∴A1F⊥BE. (3)线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ.理由如下:如图,分别取A1C,A1B的中点P,Q,则PQ∥BC. ∵DE∥BC, ∴DE∥PQ. ∴平面DEQ即为平面DEP. 由(Ⅱ)知DE⊥平面A1DC, ∴DE⊥A1C, 又∵P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点, ∴A1C⊥DP, ∴A1C⊥平面DEP,从而A1C⊥平面DEQ, 故线段A1B上存在点Q,使A1C⊥平面DEQ. 22.【2011年北京文科17】如图,在四面体PABC中,PC⊥AB,PA⊥BC,点D,E,F,G分别是棱AP,AC,BC,PB的中点. (Ⅰ)求证:DE∥平面BCP; (Ⅱ)求证:四边形DEFG为矩形; (Ⅲ)是否存在点Q,到四面体PABC六条棱的中点的距离相等?说明理由. 【解答】证明:(Ⅰ)∵D,E分别为AP,AC的中点, ∴DE∥PC, ∵DE?平面BCP, ∴DE∥平面BCP. (Ⅱ)∵D,E,F,G分别为AP,AC,BC,PB的中点, ∴DE∥PC∥FG,DG∥AB∥EF ∴四边形DEFG为平行四边形, ∵PC⊥AB, ∴DE⊥DG, ∴四边形DEFG为矩形. (Ⅲ)存在点Q满足条件,理由如下: 连接DF,EG,设Q为EG的中点, 由(Ⅱ)知DF∩EG=Q,且QD=QE=QF=QGEG, 分别取PC,AB的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN, 与(Ⅱ)同理,可证四边形MENG为矩形,其对角线交点为EG的中点Q, 且QM=QNEG, ∴Q为满足条件的点. 23.【2010年北京文科17】如图,正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直.EF∥AC,AB,CE=EF=1. (Ⅰ)求证:AF∥平面BDE; (Ⅱ)求证:CF⊥平面BDE. 【解答】证明:(Ⅰ)设AC于BD交于点G. 因为EF∥AG,且EF=1,AGAC=1, 所以四边形AGEF为平行四边形, 所以AF∥EG, 因为EG?平面BDE,AF?平面BDE, 所以AF∥平面BDE. (Ⅱ)连接FG.因为EF∥CG,EF=CG=1, 且CE=1,所以平行四边形CEFG为菱形.所以CF⊥EG. 因为四边形ABCD为正方形,所以BD⊥AC. 又因为平面ACEF⊥平面ABCD,且平面ACEF∩平面ABCD=AC, 所以BD⊥平面ACEF. 所以CF⊥BD.又BD∩EG=G, 所以CF⊥平面BDE. 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:空间几何体的结构、三视图和直观图,空间几何体的表面积与体积,空间点、直线、平面之间的位置关系,直线、平面平行、垂直的判定与性质,空间向量及其运算,立体几何中的向量方法(证明平行与垂直、求空间角和距离)等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现,重点考查的知识点为:三视图和直观图,空间几何体的表面积与体积,直线、平面平行、垂直的判定与性质,立体几何中的向量方法(证明平行与垂直、求空间角和距离)等.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点三视图和直观图,空间几何体的表面积与体积,直线、平面平行、垂直的判定与性质,立体几何中的向量方法(证明平行与垂直、求空间角和距离)等为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.在正方体中, 与所成的角为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图,连结BC1、BD和DC1, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中, 由AB=D1C1,AB∥D1C1,可知AD1∥BC1, 所以∠DBC1就是异面直线AD1与BD所成角, 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BC1、BD和DC1是其三个面上的对角线,它们相等. 所以△DBC1是正三角形,∠DBC1=60° 故异面直线AD1与BD所成角的大小为60°. 故选:C. 2.在正方体中,用空间中与该正方体所有棱成角都相等的平面去截正方体,在截面边数最多时的所有多边形中,多边形截面的面积为,周长为,则( ) A.为定值,不为定值 B.不为定值,为定值 C.与均为定值 D.与均不为定值 【答案】C 【解析】 正方体的所有棱中,实际上是3组平行的棱,每条棱所在直线与平面所成的角都相等, 如图:与面平行的面且截面是六边形时满足条件,不失一般性设正方体边长为1, 即六边形,其中分别为其所在棱的中点, 由正方体的性质可得, ∴六边形的周长为定值. ∴六边形的面积为, 由正方体的对称性可得其余位置时也为正六边形,周长与面积不变, 故与均为定值,故选C. 3.在四面体中,为等边三角形,边长为,,,,则四面体的体积为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图,延长至,使得,连接, 因为,故为等腰三角形, 又,故, 所以即,故, 因为,所以,所以, 因,平面,平面, 所以平面, 所以, 因为的中点,所以, 因为,故为直角三角形, 所以, 又,而,故即为直角三角形, 所以,所以,故选C. 4.若是不同的直线,是不同的平面,则下列命题中正确的是( ) A.若,则 B.若,则 C.若,则 D.若,则 【答案】C 【解析】 中,若,平面可能垂直也可能平行或斜交,不正确; 中,若,平面可能平行也可能相交,不正确; 中,若,则分别是平面的法线,必有,正确; 中,若,平面可能平行也可能相交,不正确.故选C. 5.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的体积是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 解:根据几何体的三视图,该几何体是由一个正方体切去一个正方体的一角得到的. 故:该几何体的外接球为正方体的外接球, 所以:球的半径, 则:. 故选:B. 6.如图,正方体中,为棱的中点,用过点、、的平面截去该正方体的下半部分,则剩余几何体的正视图(也称主视图)是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解:正方体中, 过点的平面截去该正方体的上半部分后, 剩余部分的直观图如图: 则该几何体的正视图为图中粗线部分. 故选:A. 7.下列说法错误的是( ) A.垂直于同一个平面的两条直线平行 B.若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直 C.一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行 D.一条直线与一个平面内的无数条直线垂直,则这条直线和这个平面垂直 【答案】D 【解析】 由线面垂直的性质定理知,垂直于同一个平面的两条直线平行,正确; 由面面垂直的性质定理知,若两个平面垂直,则其中一个平面内垂直于这两个平面交线的直线与另一个平面垂直,正确; 由面面平行的判定定理知,一个平面内的两条相交直线均与另一个平面平行,则这两个平面平行,正确; 当一条直线与平面内无数条相互平行的直线垂直时,该直线与平面不一定垂直,错误,故选D. 8.《九章算术》中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的四棱锥中,平面,底面是正方形,且,点,分别为,的中点,则图中的鳖臑有( ) A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【答案】C 【解析】 由题意,因为底面,所以,, 又四边形为正方形,所以, 所以平面,,所以四面体是一个鳖臑, 因为平面,所以, 因为,点是的中点,所以, 因为,所以平面, 可知四面体的四个面都是直角三角形,即四面体是一个鳖臑, 同理可得,四面体和都是鳖臑, 故选C. 9.在三棱锥中,平面平面,是边长为6的等边三角形,是以为斜边的等腰直角三角形,则该三棱锥外接球的表面积为_______. 【答案】 【解析】 如图,在等边三角形中,取的中点, 设其中心为,由, 得, 是以为斜边的等腰角三角形,, 又因为平面平面, 平面 ,, , 则为棱锥的外接球球心, 外接球半径, 该三棱锥外接球的表面积为, 故答案为. 10.若将一个圆锥的侧面沿一条母线剪开,其展开图是半径为3,圆心角为的扇形,则该圆锥的体积为_______. 【答案】 【解析】 因为展开图是半径为3,圆心角为的扇形,所以圆锥的母线,圆锥的底面的周长为,因此底面的半径,根据勾股定理,可知圆锥的高, 所以圆锥的体积为. 11.设,是两条不同的直线,,是两个不同的平面,下列正确命题序号是_____. (1)若,,则 (2)若,则 (3)若,且,则; (4)若,,则 【答案】(3)(4) 【解析】 若,则与可能平行,相交或异面,故(1)错误; 若则或,故(2)错误; 若且,则,故(3)正确; 若,由面面平行的性质可得,故(4)正确; 故答案为:(3)(4) 12.长方体的底面是边长为1的正方形,若在侧棱上存在点,使得,则侧棱的长的最小值为_______. 【答案】2 【解析】 设侧棱AA1的长为x,A1E=t,则AE=x﹣t, ∵长方体ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为1的正方形, ∠C1EB=90°, ∴, ∴2+t2+1+(x﹣t)2=1+x2, 整理,得:t2﹣xt+1=0, ∵在侧棱AA1上至少存在一点E,使得∠C1EB=90°, ∴△=(﹣x)2﹣4≥0, 解得x≥2. ∴侧棱AA1的长的最小值为2. 故答案为2. 13.如图,在中,,和分别是边和上一点,,将沿折起到点位置,则该四棱锥体积的最大值为_______. 【答案】 【解析】 在中,由已知,,, 所以设, 四边形的面积为, 当平面时,四棱锥体积最大, 此时,且, 故四棱锥体积为, , 时, ;时,, 所以,当时,. 故答案为 14.三棱锥的个顶点在半径为的球面上,平面,是边长为的正三角形,则点到平面的距离为______. 【答案】 【解析】 △ABC是边长为的正三角形,可得外接圆的半径2r2,即r=1. ∵PA⊥平面ABC,PA=h,球心到底面的距离d等于三棱锥的高PA的一半即, 那么球的半径R,解得h=2,又 由知,得 故点到平面的距离为 故答案为. 15.如图,该几何体由底面半径相同的圆柱与圆锥两部分组成,且圆柱的高与底面半径相等.若圆柱与圆锥的侧面积相等,则圆锥与圆柱的高之比为_______. 【答案】 【解析】 设圆柱和圆锥的底面半径为R,则圆柱的高=R,圆锥的母线长为L,因为圆柱与圆锥的侧面积相等, 所以,,解得:L=2R,得圆锥的高为=R, 所以,圆锥与圆柱的高之比为. 故答案为: 16.直三棱柱中,,设其外接球的球心为,已知三棱锥的体积为,则球表面积的最小值为__________. 【答案】. 【解析】 如图,在中,设,则. 分别取的中点,则分别为和外接圆的圆心, 连,取的中点,则为三棱柱外接球的球心. 连,则为外接球的半径,设半径为. ∵三棱锥的体积为, 即, ∴. 在中,可得, ∴,当且仅当时等号成立, ∴球表面积的最小值为. 故答案为:. 17.在三棱锥中,是边长为的等边三角形,,. (1)求证:平面平面; (2)若点,分别为棱,的中点,求三棱锥的体积. 【答案】(1)见证明;(2) 【解析】 (1)取中点,连结,. ∵,, ∴,. ∵等边的边长为 ∴,又 ∴ ∴, 即 又∵,平面,平面 ∴平面,又平面 ∴平面平面 (2)∵点,分别为棱,的中点 ∴点到平面的距离为 且 ∴三棱锥的体积 18.如图所示,三棱柱中,,平面. (1)证明:平面平面; (2)若,,求点到平面的距离. 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】 (1)证明:平面,. , ,平面.又平面,平面平面. (2)解:取的中点,连接.,. 又平面平面,且交线为,则平面. 平面,,四边形为菱形,. 又,是边长为正三角形, . 面,面 面 设点到平面的距离为.则. , ,. 所以点到平面的距离为. 19.在边长为3的正方形中,点,分别在边,上(如左图),且,将,分别沿,折起,使,两点重合于点(如右图). (1)求证:; (2)当时,求点到平面的距离. 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】 (1)由是正方形及折叠方式,得:,, ,平面, 平面,. (2) , ,, 设点到平面的距离为, , ,解得. 点到平面的距离为. 20.如图,四棱锥中,平面,,,,,,是中点,是上的点. (1)求证:平面; (2)求点到平面的距离. 【答案】(1)见证明;(2) 【解析】 (1)取中点为,连结,,则, 因为平面,所以平面,同理平面. 所以平面平面,从而因此平面. (2)因为,所以. 因为平面,所以,.所以平面. 设,则,, ,,. 在中,由余弦定理, 从而,所以面积为. 又面积为. 设点到平面的距离为,由得, 因为,所以点到平面的距离. 21.如图,在四棱锥中,平面,, ,,,,为侧棱上一点. (Ⅰ)若,求证:平面; (Ⅱ)求证:平面平面; (Ⅲ)在侧棱上是否存在点,使得平面?若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由. 【答案】(Ⅰ)详见解析;(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)存在,线段PF长. 【解析】 (Ⅰ)设,连结, 由已知,,,得 . 由,得. 在中,由,得. 因为平面,平面, 所以 平面. (Ⅱ)因为平面,平面, 所以. 由已知得,,, 所以. 所以. 又,所以平面. 因为平面, 所以平面平面. (Ⅲ)在平面内作于点, 由,,, 得平面. 因为平面,所以. 又,所以平面. 由,,, 得. 22.已知三棱柱的底面是等边三角形,侧面底面,是棱的中点. (1)求证:平面平面; (2)求平面将该三棱柱分成上下两部分的体积比. 【答案】(1)见证明;(2)1:1 【解析】 (1)取的中点,连接与交于点, 连接,,则为的中点,, 且,所以是平行四边形. 又是棱的中点,所以 . 侧面底面,且 ,所以平面 . 所以平面, 又平面,所以平面平面. (2)连接, 设三棱柱的体积为. 故四棱锥的体积 又是棱的中点,的面积是面积的 , 故四棱锥的体积 故平面将该三棱柱分成上下两部分的体积比为1:1. PAGE 1

  • ID:3-6131684 (北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题07数列文(含解析)

    高中数学/高考专区/真题分类汇编

    专题07数列 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 单选题 2018 充分必要条件 2018年北京文科04 单选题 2012 等比数列 2012年北京文科06 填空题 2013 等比数列 2013年北京文科11 填空题 2012 等差数列 2012年北京文科10 填空题 2011 等比数列 2011年北京文科12 解答题 2019 等差数列 2019年北京文科16 解答题 2018 数列综合题 2018年北京文科15 解答题 2017 数列综合题 2017年北京文科15 解答题 2016 数列综合题 2016年北京文科15 解答题 2015 数列综合题 2015年北京文科16 解答题 2014 数列综合题 2014年北京文科15 解答题 2013 数列综合题 2013年北京文科20 解答题 2011 数列综合题 2011年北京文科20 解答题 2010 数列综合题 2010年北京文科16 历年高考真题汇编 1.【2018年北京文科04】设a,b,c,d是非零实数,则“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的(    ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解答】解:若a,b,c,d成等比数列,则ad=bc, 反之数列﹣1,﹣1,1,1.满足﹣1×1=﹣1×1, 但数列﹣1,﹣1,1,1不是等比数列, 即“ad=bc”是“a,b,c,d成等比数列”的必要不充分条件. 故选:B. 2.【2012年北京文科06】已知{an}为等比数列,下面结论中正确的是(    ) A.a1+a3≥2a2 B.a12+a32≥2a22 C.若a1=a3,则a1=a2 D.若a3>a1,则a4>a2 【解答】解:设等比数列的公比为q,则a1+a3,当且仅当a2,q同为正时,a1+a3≥2a2成立,故A不正确; ,∴,故B正确; 若a1=a3,则a1=a1q2,∴q2=1,∴q=±1,∴a1=a2或a1=﹣a2,故C不正确; 若a3>a1,则a1q2>a1,∴a4﹣a2=a1q(q2﹣1),其正负由q的符号确定,故D不正确 故选:B. 3.【2013年北京文科11】若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q=    ;前n项和Sn=    . 【解答】解:设等比数列{an}的公比为q, ∵a2+a4=a2(1+q2)=20① a3+a5=a3(1+q2)=40② ∴①②两个式子相除,可得到2 即等比数列的公比q=2, 将q=2带入①中可求出a2=4 则a12 ∴数列{an}时首项为2,公比为2的等比数列. ∴数列{an}的前n项和为:Sn2n+1﹣2. 故答案为:2,2n+1﹣2. 4.【2012年北京文科10】已知{an}为等差数列,Sn为其前n项和,若a1,S2=a3,则a2=    ,Sn=    . 【解答】解:根据{an}为等差数列,S2=a1+a2=a3a2; ∴d=a3﹣a2 ∴a21 Sn 故答案为:1, 5.【2011年北京文科12】在等比数列{an}中,a1,a4=﹣4,则公比q=    ;a1+a2+…+an=    . 【解答】解:q38 ∴q=﹣2; 由a1,q=﹣2,得到: 等比数列的前n项和Sn=a1+a2+…+an. 故答案为:﹣2; 6.【2019年北京文科16】设{an}是等差数列,a1=﹣10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)记{an}的前n项和为Sn,求Sn的最小值. 【解答】解:(Ⅰ)∵{an}是等差数列,a1=﹣10,且a2+10,a3+8,a4+6成等比数列. ∴(a3+8)2=(a2+10)(a4+6), ∴(﹣2+2d)2=d(﹣4+3d), 解得d=2, ∴an=a1+(n﹣1)d=﹣10+2n﹣2=2n﹣12. (Ⅱ)由a1=﹣10,d=2,得: Sn=﹣10nn2﹣11n=(n)2, ∴n=5或n=6时,Sn取最小值﹣30. 7.【2018年北京文科15】设{an}是等差数列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求. 【解答】解:(Ⅰ){an}是等差数列,且a1=ln2,a2+a3=5ln2. 可得:2a1+3d=5ln2,可得d=ln2, {an}的通项公式;an=a1+(n﹣1)d=nln2, (Ⅱ)2n, ∴21+22+23+…+2n2n+1﹣2. 8.【2017年北京文科15】已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1=b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)求和:b1+b3+b5+…+b2n﹣1. 【解答】解:(Ⅰ)等差数列{an},a1=1,a2+a4=10,可得:1+d+1+3d=10,解得d=2, 所以{an}的通项公式:an=1+(n﹣1)×2=2n﹣1. (Ⅱ)由(Ⅰ)可得a5=a1+4d=9, 等比数列{bn}满足b1=1,b2b4=9.可得b3=3,或﹣3(舍去)(等比数列奇数项符号相同). ∴q2=3, {b2n﹣1}是等比数列,公比为3,首项为1. b1+b3+b5+…+b2n﹣1. 9.【2016年北京文科15】已知{an}是等差数列,{bn}是等比数列,且b2=3,b3=9,a1=b1,a14=b4. (1)求{an}的通项公式; (2)设cn=an+bn,求数列{cn}的前n项和. 【解答】解:(1)设{an}是公差为d的等差数列, {bn}是公比为q的等比数列, 由b2=3,b3=9,可得q3, bn=b2qn﹣2=3?3n﹣2=3n﹣1; 即有a1=b1=1,a14=b4=27, 则d2, 则an=a1+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1; (2)cn=an+bn=2n﹣1+3n﹣1, 则数列{cn}的前n项和为 (1+3+…+(2n﹣1))+(1+3+9+…+3n﹣1)n?2n =n2. 10.【2015年北京文科16】已知等差数列{an}满足a1+a2=10,a4﹣a3=2 (1)求{an}的通项公式; (2)设等比数列{bn}满足b2=a3,b3=a7,问:b6与数列{an}的第几项相等? 【解答】解:(I)设等差数列{an}的公差为d. ∵a4﹣a3=2,所以d=2 ∵a1+a2=10,所以2a1+d=10 ∴a1=4, ∴an=4+2(n﹣1)=2n+2(n=1,2,…) (II)设等比数列{bn}的公比为q, ∵b2=a3=8,b3=a7=16, ∴ ∴q=2,b1=4 ∴128,而128=2n+2 ∴n=63 ∴b6与数列{an}中的第63项相等 11.【2014年北京文科15】已知{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12,数列{bn}满足b1=4,b4=20,且{bn﹣an}为等比数列. (1)求数列{an}和{bn}的通项公式; (2)求数列{bn}的前n项和. 【解答】解:(1)∵{an}是等差数列,满足a1=3,a4=12, ∴3+3d=12,解得d=3, ∴an=3+(n﹣1)×3=3n. 设等比数列{bn﹣an}的公比为q,则 q38,∴q=2, ∴bn﹣an=(b1﹣a1)qn﹣1=2n﹣1, ∴bn=3n+2n﹣1(n=1,2,…). (2)由(1)知bn=3n+2n﹣1(n=1,2,…). ∵数列{an}的前n项和为n(n+1), 数列{2n﹣1}的前n项和为12n﹣1, ∴数列{bn}的前n项和为n(n+1)+2n﹣1. 12.【2013年北京文科20】给定数列a1,a2,…,an.对i=1,2,…,n﹣1,该数列前i项的最大值记为Ai,后n﹣i项ai+1,ai+2,…,an的最小值记为Bi,di=Ai﹣Bi. (Ⅰ)设数列{an}为3,4,7,1,写出d1,d2,d3的值; (Ⅱ)设a1,a2,…,an﹣1(n≥4)是公比大于1的等比数列,且a1>0.证明:d1,d2,…,dn﹣1是等比数列; (Ⅲ)设d1,d2,…,dn﹣1是公差大于0的等差数列,且d1>0.证明:a1,a2,…,an﹣1是等差数列. 【解答】解:(Ⅰ)当i=1时,A1=3,B1=1,故d1=A1﹣B1=2,同理可求d2=3,d3=6; (Ⅱ)由a1,a2,…,an﹣1(n≥4)是公比q大于1的等比数列,且a1>0,则{an}的通项为:an=a1qn﹣1,且为单调递增的数列. 于是当k=1,2,…n﹣1时,dk=Ak﹣Bk=ak﹣ak+1, 进而当k=2,3,…n﹣1时, q为定值. ∴d1,d2,…,dn﹣1是等比数列; (Ⅲ)设d为d1,d2,…,dn﹣1的公差, 对1≤i≤n﹣2,因为Bi≤Bi+1,d>0, 所以Ai+1=Bi+1+di+1≥Bi+di+d>Bi+di=Ai, 又因为Ai+1=max{Ai,ai+1},所以ai+1=Ai+1>Ai≥ai. 从而a1,a2,…,an﹣1为递增数列. 因为Ai=ai(i=1,2,…n﹣1), 又因为B1=A1﹣d1=a1﹣d1<a1, 所以B1<a1<a2<…<an﹣1, 因此an=B1. 所以B1=B2=…=Bn﹣1=an. 所以ai=Ai=Bi+di=an+di, 因此对i=1,2,…,n﹣2都有ai+1﹣ai=di+1﹣di=d, 即a1,a2,…,an﹣1是等差数列. 13.【2011年北京文科20】若数列An:a1,a2,…,an(n≥2)满足|ak+1﹣ak|=1(k=1,2,…,n﹣1),则称An为E数列,记S(An)=a1+a2+…+an. (Ⅰ)写出一个E数列A5满足a1=a3=0; (Ⅱ)若a1=12,n=2000,证明:E数列An是递增数列的充要条件是an=2011; (Ⅲ)在a1=4的E数列An中,求使得S(An)=0成立得n的最小值. 【解答】解:(Ⅰ)0,1,0,1,0是一个满足条件的E数列A5 (答案不唯一,0,﹣1,0,﹣1,0或0,±1,0,1,2或0,±1,0,﹣1,﹣2 或0,±1,0,﹣1,0都满足条件的E数列A5) (Ⅱ)必要性:因为E数列An是递增数列 所以ak+1﹣ak=1(k=1,2,…,1999) 所以An是首项为12,公差为1的等差数列. 所以a2000=12+(2000﹣1)×1=2011 充分性:由于a2000﹣a1999≤1 a1999﹣a1998≤1 … a2﹣a1≤1, 所以a2000﹣a1≤1999,即a2000≤a1+1999 又因为a1=12,a2000=2011 所以a2000≤a1+1999 故ak+1﹣ak=1>0(k=1,2,…,1999),即An是递增数列. 综上所述,结论成立. (Ⅲ)对首项为4的E数列An,由于 a2≥a1﹣1=3 a3≥a2﹣1≥2 … a8≥a7﹣1≥﹣3 … 所以a1+a2+…+ak>0(k=2,3,…,8), 所以对任意的首项为4的E数列An,若S(An)=0,则必有n≥9, 又a1=4的E数列A9:4,3,2,1,0,﹣1,﹣2,﹣3,﹣4满足S(A9)=0, 所以n的最小值是9. 14.【2010年北京文科16】已知{an}为等差数列,且a3=﹣6,a6=0. (Ⅰ)求{an}的通项公式; (Ⅱ)若等比数列{bn}满足b1=﹣8,b2=a1+a2+a3,求数列{bn}的前n项和公式. 【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差d. 因为a3=﹣6,a6=0 所以解得a1=﹣10,d=2 所以an=﹣10+(n﹣1)?2=2n﹣12 (Ⅱ)设等比数列{bn}的公比为q 因为b2=a1+a2+a3=﹣24,b1=﹣8, 所以﹣8q=﹣24,即q=3, 所以{bn}的前n项和公式为 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:数列的概念与简单表示法,等差数列及其前n项和,等比数列及其前n项和,数列求和,数列求通项等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现.重点考查的知识点为:等差数列及其前n项和,等比数列及其前n项和,数列求和,数列求通项等.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点等差数列及其前n项和,等比数列及其前n项和,数列求和,数列求通项为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.等差数列,等比数列,满足,,则能取到的最小整数是( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 等差数列的公差设为,等比数列的公比设为,, 由,,可得, 则, 可得能取到的最小整数是. 故选:B. 2.中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问題:今有牛、马、羊食人苗,苗主责之粟五斗,羊主曰:“我羊食半马、“马主曰:“我马食半牛,”今欲衰偿之,问各出几何?此问题的译文是:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿5斗粟、羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半,”马主人说:“我马所吃的禾苗只有牛的一半,“打算按此比例偿还,他们各应偿还多少?该问题中,1斗为10升,则马主人应偿还( )升粟? A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为斗=升,设羊、马、牛的主人应偿还的量分别为, 由题意可知其构成了公比为2的等比数列,且 则,解得, 所以马主人要偿还的量为:, 故选D. 3.我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方:如图,将1,2,…,9填入的方格内,使三行,三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15.一般地,将连续的正整数填入个方格中,使得每行,每列和两条对角线上的数字之和都相等,这个正方形叫做阶幻方.记阶幻方的对角线上的数字之和为,如图三阶幻方的,那么 的值为( ) A.41 B.45 C.369 D.321 【答案】C 【解析】 根据题意可知,幻方对角线上的数成等差数列, , , , . 故. 故选:C 4.设数列的前项和为,且,则数列的前10项的和是( ) A.290 B. C. D. 【答案】C 【解析】 由得, 当时,,整理得, 所以是公差为4的等差数列,又, 所以,从而, 所以, 数列的前10项的和. 故选. 5.意大利数学家列昂那多·斐波那契以兔子繁殖为例,引入“兔子数列”:,即,此数列在现代物理“准晶体结构”、化学等都有着广泛的应用.若此数列被2整除后的余数构成一个新数列,则数列的前2019项的和为( ) A.672 B.673 C.1346 D.2019 【答案】C 【解析】 由数列各项除以2的余数, 可得为, 所以是周期为3的周期数列, 一个周期中三项和为, 因为, 所以数列的前2019项的和为, 故选C. 6.已知数列是等比数列,数列是等差数列,若,,则的值是( ) A.1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 是等比数列 是等差数列 本题正确选项: 7.已知数列满足,设数列满足:,数列的前项和为,若恒成立,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解:数列满足,① 当时,,② ①﹣②得:, 故:, 数列满足:, 则: , 由于恒成立, 故:, 整理得:, 因为在上单调递减, 故当时, 所以. 故选:D. 8.已知函数的定义域为,当时,且对任意的实数,等式成立,若数列满足,且,则下列结论成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由,令,,则 时, 当时,令,则,即 又 当时, 令,则 ,即 在上单调递减 又 令,;令,;令, 数列是以为周期的周期数列 ,,,, 在上单调递减 ,,, 本题正确选项: 9.在数列中,,则的值为______. 【答案】1 【解析】 因为 所以, , , 各式相加,可得 , , 所以,,故答案为1. 10.已知正项等比数列满足,若存在两项,,使得,则的最小值为__________. 【答案】2 【解析】 正项等比数列满足, , 整理,得,又,解得,, 存在两项,使得, , 整理,得, , 则的最小值为2. 当且仅当取等号,但此时,.又, 所以只有当,时,取得最小值是2. 故答案为:2 11.已知数列满足对,都有成立,,函数,记,则数列的前项和为______. 【答案】 【解析】 解:对,都有成立, 可令即有,为常数, 可得数列为等差数列, 函数, 由, 可得的图象关于点对称, , , 可得数列的前项和为. 故答案为:. 12.已知数列的前项和为,满足,则=_____. 【答案】 【解析】 由题意,数列满足, 则, 两式相减可得, 即 整理得,即,即, 当时,,即,解得, 所以数列表示首项为,公比为的等比数列, 所以,所以. 13.等差数列中,且,,成等比数列,数列前20项的和____ 【答案】200或330 【解析】 设数列的公差为,则, , 由成等比数列,得, 即, 整理得,解得或, 当时,; 当时,, 于是, 故答案为200或330. 14.已知正项等比数列的前项和为.若,则取得最小值时,的值为_______. 【答案】 【解析】 由,得:q≠1,所以, 化简得:,即,即,得, 化简得==, 当,即时,取得最小值, 所以= 故答案为: 15.设数列的前项和为,且满足,则____. 【答案】 【解析】 解:, 可得时, , 时,, 又, 两式相减可得, 即, 上式对也成立, 可得数列是首项为1,公比为的等比数列, 可得. 故答案为:. 16.已知数列满足,则数列的前项和为___________. 【答案】 【解析】 由,得, 所以数列是以为首项,2为公比的等比数列, 于是, 所以, 因为, 所以的前项和 . 17.定义:从数列中抽取项按其在中的次序排列形成一个新数列,则称为的子数列;若成等差(或等比),则称为的等差(或等比)子数列. (1)记数列的前项和为,已知. ①求数列的通项公式; ②数列是否存在等差子数列,若存在,求出等差子数列;若不存在,请说明理由. (2)已知数列的通项公式为,证明:存在等比子数列. 【答案】(1)①;②见解析;(2)见证明 【解析】 解:(1)①因为,所以当时,, 当时,,所以. 综上可知:. ②假设从数列中抽3项成等差, 则,即, 化简得:. 因为,所以,,且,都是整数, 所以为偶数,为奇数,所以不成立. 因此,数列不存在三项等差子数列. 若从数列中抽项,其前三项必成等差数列,不成立. 综上可知,数列不存在等差子数列. (2)假设数列中存在3项,,成等比. 设,则,故可设(与是互质的正整数). 则需满足, 即需满足,则需满足. 取,则. 此时, . 故此时成立. 因此数列中存在3项,,成等比, 所以数列存在等比子数列. 18.在等差数列中,已知公差,是与的等比中项 (1)求数列的通项公式; (2)若数列满足,求数列的通项公式; (3)令,数列的前项和为. 【答案】(1);(2);(3). 【解析】 (1)因为是与的等比中项,所以, ∴数列的通项公式为. (2)∵① ∴② ②-①得:,,故。 (3), ∴, 令,① 则② ①-②得:, ∴ ∴。 ∴数列的前项和 19.已知等差数列满足,等比数列满足,且. (1)求数列,的通项公式; (2)记数列的前项和为,若数列满足,求的前项和为. 【答案】(1) , (2) . 【解析】 (1)设的首项为,公差为,则有,, 解得所以, 设,由已知,可得, 由可得,,可得,所以, (2)由(1)知,, 所以,, 两式相减可得,, 当时,满足上式,所以, , 两式相减可得, 所以. 20.等差数列前项和为,且,. (1)求的通项公式; (2)数列满足且,求的前项和. 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)等差数列的公差设为,前项和为,且,. 可得,, 解得,, 可得; (2)由, 可得 , , 则前项和 . 21.设是单调递增的等比数列,为数列的前项和.已知,且,,构成等差数列. (1)求及; (2)是否存在常数.使得数列是等比数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由. 【答案】(1),(2)存在常数.使得数列是等比数列,详见解析 【解析】 (1)由题意得 ∴, ∴, 解得或 (舍) 所以, . (2)假设存在常数.使得数列是等比数列, 因为,,, 所以,解得, 此时 , ∴存在常数.使得数列是首项为,公比为等比数列 . 22.对于无穷数列,,若,,则称是的“收缩数列”.其中,分别表示中的最大数和最小数. 已知为无穷数列,其前项和为,数列是的“收缩数列”. (1)若,求的前项和; (2)证明:的“收缩数列”仍是; (3)若且,,求所有满足该条件的. 【答案】(1);(2)详见解析;(3),. 【解析】 (1)由可得为递增数列 由通项公式可知为等差数列 的前项和为: (2) ,又 的“收缩数列”仍是 (3)由可得: 当时,; 当时,,即,所以; 当时,,即(*), 若,则,所以由(*)可得,与矛盾; 若,则,所以由(*)可得 所以与同号,这与矛盾; 若,则,由(*)可得. 猜想:满足的数列是: , 经验证,左式 右式 下面证明其它数列都不满足(3)的题设条件 由上述时的情况可知,时,,是成立的 假设是首次不符合,的项,则 由题设条件可得(*) 若,则由(*)式化简可得与矛盾; 若,则,所以由(*)可得 所以与同号,这与矛盾; 所以,则,所以由(*)化简可得. 这与假设矛盾. 所以不存在数列不满足,的符合题设条件 综上所述:, PAGE 1

  • ID:3-6131682 (北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题06平面向量文(含解析)

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    专题06平面向量 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 单选题 2017 充分必要条件 2017年北京文科07 单选题 2015 充分必要条件 2015年北京文科06 单选题 2014 平面向量的坐标运算 2014年北京文科03 单选题 2010 平面向量的数量积 2010年北京文科04 填空题 2019 平面向量的坐标运算 2019年北京文科09 填空题 2018 平面向量的坐标运算 2018年北京文科09 填空题 2017 平面向量的数量积 2017年北京文科12 填空题 2016 平面向量的数量积 2016年北京文科09 填空题 2013 平面向量的坐标运算 2013年北京文科14 填空题 2012 平面向量的数量积 2012年北京文科13 填空题 2011 平面向量的坐标运算 2011年北京文科11 历年高考真题汇编 1.【2017年北京文科07】设,为非零向量,则“存在负数λ,使得λ”是“?0”的(    ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解答】解:,为非零向量,存在负数λ,使得λ,则向量,共线且方向相反,可得?0. 反之不成立,非零向量,的夹角为钝角,满足?0,而λ不成立. ∴,为非零向量,则“存在负数λ,使得λ”是?0”的充分不必要条件. 故选:A. 2.【2015年北京文科06】设,是非零向量,“||||”是“”的(    ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解答】解:(1); ∴时,cos1; ∴; ∴∥; ∴“”是“∥”的充分条件; (2)∥时,的夹角为0或π; ∴,或; 即∥得不到; ∴“”不是“∥”的必要条件; ∴总上可得“”是“∥”的充分不必要条件. 故选:A. 3.【2014年北京文科03】已知向量(2,4),(﹣1,1),则2(    ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 【解答】解:由(2,4),(﹣1,1),得: 22(2,4)﹣(﹣1,1)=(4,8)﹣(﹣1,1)=(5,7). 故选:A. 4.【2010年北京文科04】若,是非零向量,且⊥,||≠||,则函数f(x)=(x)(x)是(    ) A.一次函数且是奇函数 B.一次函数但不是奇函数 C.二次函数且是偶函数 D.二次函数但不是偶函数 【解答】解:∵⊥,∴?0 ∴f(x)=(x)(xb)=xx, ∵||≠||, ∴所以f(x)=()x 所以函数f(x)是一次函数且是奇函数 故选:A. 5.【2019年北京文科09】已知向量(﹣4,3),(6,m),且⊥,则m=  . 【解答】解:由向量(﹣4,3),(6,m),且⊥, 得, ∴m=8. 故答案为:8. 6.【2018年北京文科09】设向量(1,0),(﹣1,m).若⊥(m),则m=    . 【解答】解:向量(1,0),(﹣1,m). m(m+1,﹣m). ∵⊥(m), ∴m+1=0,解得m=﹣1. 故答案为:﹣1. 7.【2017年北京文科12】已知点P在圆x2+y2=1上,点A的坐标为(﹣2,0),O为原点,则?的最大值为    . 【解答】解:设P(cosα,sinα).(2,0),(cosα+2,sinα). 则?2(cosα+2)≤6,当且仅当cosα=1时取等号. 故答案为:6. 8.【2016年北京文科09】已知向量(1,),(,1),则与夹角的大小为    . 【解答】解:∵向量(1,),(,1), ∴与夹角θ满足: cosθ, 又∵θ∈[0,π], ∴θ, 故答案为:. 9.【2013年北京文科14】已知点A(1,﹣1),B(3,0),C(2,1).若平面区域D由所有满足(1≤λ≤2,0≤μ≤1)的点P组成,则D的面积为    . 【解答】解:设P的坐标为(x,y),则 (2,1),(1,2),(x﹣1,y+1),∵, ∴,解之得 ∵1≤λ≤2,0≤μ≤1,∴点P坐标满足不等式组 作出不等式组对应的平面区域,得到如图的平行四边形CDEF及其内部 其中C(4,2),D(6,3),E(5,1),F(3,0) ∵|CF|, 点E(5,1)到直线CF:2x﹣y﹣6=0的距离为d ∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d3,即动点P构成的平面区域D的面积为3 故答案为:3 10.【2012年北京文科13】已知正方形ABCD的边长为1,点E是AB边上的动点.则的值为    . 【解答】解:因为1. 故答案为:1 11.【2011年北京文科11】已知向量(,1),(0,﹣1),(k,).若与共线,则k=    . 【解答】解: ∵与共线, ∴ 解得k=1. 故答案为1. 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:平面向量的线性运算,平面向量基本定理及坐标表示,平面向量的数量积,平面向量的综合应用等.历年考题主要以选择填空题型出现, 重点考查的知识点为:平面向量的线性运算,平面向量基本定理及坐标表示,平面向量的数量积等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点平面向量的线性运算,平面向量的数量积,平面向量的综合应用等为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.在中,,,若,则( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为,所以点是的中点,又因为,所以点是的中点,所以有: ,因此 ,故本题选D. 2.已知非零向量,的夹角为,且满足,则的最大值为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为非零向量,的夹角为,且满足, 所以, 即,即, 又因为,当且仅当时,取等号; 所以,即; 因此,. 即的最大值为. 故选B 3.设,均为单位向量,则“与夹角为”是“”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 因为,均为单位向量, 若与夹角为, 则; 因此,由“与夹角为”不能推出“”; 若,则, 解得,即与夹角为, 所以,由“”不能推出“与夹角为” 因此,“与夹角为”是“”的既不充分也不必要条件. 故选D 4.在矩形中,,.若点,分别是,的中点,则( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】 由题意作出图形,如图所示: 由图及题意,可得: , . ∴. 故选:C. 5.已知为等边三角形所在平面内的一个动点,满足,若,则( ) A. B.3 C.6 D.与有关的数值 【答案】C 【解析】 如图:以中点为坐标原点,以方向为轴正方向,方向为轴正方向,建立平面直角坐标系,因为,则, 因为为等边三角形所在平面内的一个动点,满足, 所以点在直线,所以在方向上的投影为, 因此. 故选C 6.已知向量,且,则的值为( ) A.1 B.3 C.1或3 D.4 【答案】B 【解析】 因为,所以, 因为,则,解得 所以答案选B. 7.已知向量、为单位向量,且在的方向上的投影为,则向量与的夹角为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设向量与的夹角为, 因为向量、为单位向量, 且在的方向上的投影为, 则有, 变形可得:, 即, 又由,则, 故选A. 8.在矩形中,与相交于点,过点作,垂足为,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 如图: 由,得:, 又 又 本题正确选项: 9.已知直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点,O为坐标原点,若,则实数m=(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 联立 ,得2x2+2mx+m2-1=0, ∵直线y=x+m和圆x2+y2=1交于A、B两点,O为坐标原点, ∴△=4m2+8m2-8=12m2-8>0,解得m>或m<-, 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-m, , y1y2=(x1+m)(x2+m)=x1x2+m(x1+x2)+m2,=(-x1,-y1),=(x2-x1,y2-y1), ∵+y12-y1y2=1+m2-m2=2-m2=, 解得m=. 故选:C. 10.已知菱形的边长为2,,点,分别在边,上,,,若,则的值为( ) A.3 B.2 C. D. 【答案】B 【解析】 由题意可得: , 且:, 故,解得:. 故选:B. 11.已知正的边长为4,点为边的中点,点满足,那么的值为(  ) A. B. C.1 D.3 【答案】B 【解析】 由已知可得:EB=EC= , 又 所以 所以 故选:B. 12.在中,,向量 在上的投影的数量为,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ∵向量 在上的投影的数量为, ∴.① ∵, ∴, ∴.② 由①②得, ∵为的内角, ∴, ∴. 在中,由余弦定理得 , ∴. 故选C. 13.在△ABC中,,则 ( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为 所以P为的重心, 所以, 所以, 所以 因为, 所以 故选:A 14.在中,,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设 所以, 所以, 所以, 得 所以 故选:B 15.在平行四边形中,若则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 如图所示,?? 平行四边形中, ,? , , ,? 因为,? 所以 ,?, 所以,故选C. 16.已知△ABC中,.点P为BC边上的动点,则的最小值为(  ) A.2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 以BC的中点为坐标原点,建立如图的直角坐标系, 可得,设, 由, 可得,即, 则 , 当时,的最小值为. 故选:D. 17.如图中,,,平分线交△ABC的外接圆于点,设,,则向量(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 解:设圆的半径为,在中,,, 所以,,平分线交的外接圆于点, 所以, 则根据圆的性质, 又因为在中,, 所以四边形为菱形,所以. 故选:C. 18.在中,,,,设点、满足, ,若,则( ) A. B.2 C. D.3 【答案】D 【解析】 因为,则,所以 . 由已知,,则. 选. 19.已知点为扇形的弧上任意一点,且,若,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 解:设半径为1,由已知可设OB为x轴的正半轴,O为坐标原点,建立直角坐标系,其中A(,),B(1,0),C(cosθ,sinθ)(其中∠BOC=θ 有(λ,μ∈R)即:(cosθ,sinθ)=λ(,)+μ(1,0); 整理得:λ+μ=cosθ;λ=sinθ,解得:λ,μ=cosθ, 则λ+μcosθsinθ+cosθ=2sin(θ),其中; 易知λ+μcosθsinθ+cosθ=2sin(θ),由图像易得其值域为[1,2] 故选:D. 20.在同一平面内,已知A为动点,B,C为定点,且∠BAC=,,BC=1,P为BC中点.过点P作PQ⊥BC交AC所在直线于Q,则在方向上投影的最大值是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 建立如图所示的平面直角坐标系,则B(-,0),C(,0),P(0,0), 由可知,ABC三点在一个定圆上,且弦BC所对的圆周角为,所以圆心角为.圆心在BC的中垂线即轴上,且圆心到直线BC的距离为,即圆心为,半径为. 所以点A的轨迹方程为:,则 ,则, 由在方向上投影的几何意义可得:在方向上投影为|DP|=|x|, 则在方向上投影的最大值是, 故选:C. 21.已知圆的弦的中点为,直线交轴于点,则的值为______. 【答案】 【解析】 设,圆心, ∵, 根据圆的性质可知,, ∴所在直线方程为,即, 联立方程可得,, 设,,则, 令可得, , 故答案为:-5. 22.已知向量,若,则______. 【答案】 【解析】 解: ; ; ; ; 解得. 故答案为:. 23.向量,,若,则_________. 【答案】 【解析】 向量,, 所以, 又因为, 所以,即, 解得,故答案为. 24.设向量的模分别为1,2,它们的夹角为,则向量与的夹角为_____. 【答案】 【解析】 又 向量与的夹角为: 本题正确结果: 25.已知平面向量,,,满足,,则当_____,则与的夹角最大. 【答案】 【解析】 设,,的起点均为,以为原点建立平面坐标系, 不妨设,,则,, 由可得,即, ∴的终点在以为圆心,以为半径的圆上, 同理的终点在以为圆心,以为半径的圆上. 显然当,为圆的两条切线时,最大,即,的夹角最大. 设圆心为,则,∴,,∴, 设与轴交于点,由对称性可知轴,且, ∴. 故答案为:. 26.如图,已知P是半径为2,圆心角为的一段圆弧AB上一点,,则的最小值为_______. 【答案】5﹣ 【解析】 设圆心为O,AB中点为D, 由题得. 取AC中点M,由题得, 两方程平方相减得, 要使取最小值,就是PM最小, 当圆弧AB的圆心与点P、M共线时,PM最小. 此时DM=, 所以PM有最小值为2﹣, 代入求得的最小值为5﹣. 故答案为:5﹣ 27.如图,在边长为2的正三角形中,、分别为边、上的动点,且满足(为定常数,且),若的最大值为,则________. 【答案】 【解析】 以中点为坐标原点,方向为轴正方向,方向为轴正方向,建立如图所示平面直角坐标系, 因为正三角形边长为2,所以,,, 则,, 因为为边上的动点,所以设,其中, 则,所以; 又,所以,因此, 所以,, 故 , 因为,所以,又, 所以当且仅当时,取得最大值, 即,整理得,解得或(舍) 故答案为 28.在中,已知边上的中线,且,,成等差数列,则的长为________. 【答案】 【解析】 因为,,成等差数列, 所以,即, 所以,由正弦定理可得, 又由余弦定理可得,所以,故, 又因为边上的中线,所以,因为, 所以, 即,解. 即的长为. 故答案为 29.如图,在平面四边形中,,,,点为线段的中点.若 (),则的值为_______. 【答案】 【解析】 以A为原点,建立如图所示的平面直角坐标系,不妨设AB=BC=2, 则有A(0,0),B(2,0),C(2,2),E(2,1),AC=2, AD=2×tan30°=,过D作DF⊥x轴于F,∠DAF=180°-90°-45°=45°, DF=sin45°=,所以D(,), =(2,2),=(,),=(2,1),因为, 所以,(2,2)=(,)+(2,1), 所以,,解得:的值为 故答案为: 30.在平面直角坐标系中,已知,为圆上两点,且.若为圆上的任意一点,则的最大值为______. 【答案】 【解析】 因为为圆x2+y2=1上一点,设(sinθ,cosθ),则 , ∵,为圆上两点, ∴,又, ∴ ,其中, ∵∈[﹣1,1], ∴当=1时,的最大值为. 故答案为:. 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  • ID:3-6131670 (北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题05三角函数与解三角形文(含解析)

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    专题05三角函数与解三角形 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 单选题 2019 充分必要条件 2019年北京文科06 单选题 2019 三角函数 2019年北京文科08 单选题 2018 三角函数 2018年北京文科07 单选题 2013 解三角形 2013年北京文科05 单选题 2010 解三角形 2010年北京文科07 填空题 2018 解三角形 2018年北京文科14 填空题 2017 三角函数 2017年北京文科09 填空题 2016 解三角形 2016年北京文科13 填空题 2015 解三角形 2015年北京文科11 填空题 2014 解三角形 2014年北京文科12 填空题 2012 解三角形 2012年北京文科11 填空题 2011 解三角形 2011年北京文科09 填空题 2010 解三角形 2010年北京文科10 解答题 2019 解三角形 2019年北京文科15 解答题 2018 三角函数 2018年北京文科16 解答题 2017 三角函数 2017年北京文科16 解答题 2016 三角函数 2016年北京文科16 解答题 2015 三角函数 2015年北京文科15 解答题 2014 三角函数 2014年北京文科16 解答题 2013 三角函数 2013年北京文科15 解答题 2013 三角函数 2013年北京文科18 解答题 2012 三角函数 2012年北京文科15 解答题 2011 三角函数 2011年北京文科15 解答题 2010 三角函数 2010年北京文科15 历年高考真题汇编 1.【2019年北京文科06】设函数f(x)=cosx+bsinx(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的(  ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解答】解:设函数f(x)=cosx+bsinx(b为常数), 则“b=0”?“f(x)为偶函数”, “f(x)为偶函数”?“b=0”, ∴函数f(x)=cosx+bsinx(b为常数), 则“b=0”是“f(x)为偶函数”的充分必要条件. 故选:C. 2.【2019年北京文科08】如图,A,B是半径为2的圆周上的定点,P为圆周上的动点,∠APB是锐角,大小为β,图中阴影区域的面积的最大值为(  ) A.4β+4cosβ B.4β+4sinβ C.2β+2cosβ D.2β+2sinβ 【解答】解:由题意可得∠AOB=2∠APB=2β, 要求阴影区域的面积的最大值,即为直线QO⊥AB, 即有QO=2,Q到线段AB的距离为2+2cosβ, AB=2?2sinβ=4sinβ, 扇形AOB的面积为?2β?4=4β, △ABQ的面积为(2+2cosβ)?4sinβ=4sinβ+4sinβcosβ=4sinβ+2sin2β, S△AOQ+S△BOQ=4sinβ+2sin2β?2?2sin2β=4sinβ, 即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ. 故选:B. 3.【2018年北京文科07】在平面直角坐标系中,,,,是圆x2+y2=1上的四段弧(如图),点P其中一段上,角α以Ox为始边,OP为终边.若tanα<cosα<sinα,则P所在的圆弧是(    ) A. B. C. D. 【解答】解:A.在AB段,正弦线小于余弦线,即cosα<sinα不成立,故A不满足条件. B.在CD段正切线最大,则cosα<sinα<tanα,故B不满足条件. C.在EF段,正切线,余弦线为负值,正弦线为正, 满足tanα<cosα<sinα, D.在GH段,正切线为正值,正弦线和余弦线为负值, 满足cosα<sinα<tanα不满足tanα<cosα<sinα. 故选:C. 4.【2013年北京文科05】在△ABC中,a=3,b=5,sinA,则sinB=(    ) A. B. C. D.1 【解答】解:∵a=3,b=5,sinA, ∴由正弦定理得:sinB. 故选:B. 5.【2010年北京文科07】某班设计了一个八边形的班徽(如图),它由腰长为1,顶角为α的四个等腰三角形,及其底边构成的正方形所组成,该八边形的面积为(    ) A.2sinα﹣2cosα+2 B.sinαcosα+3 C.3sinαcosα+1 D.2sinα﹣cosα+1 【解答】解:由正弦定理可得4个等腰三角形的面积和为:41×1×sinα=2sinα 由余弦定理可得正方形边长为: 故正方形面积为:2﹣2cosα 所以所求八边形的面积为:2sinα﹣2cosα+2 故选:A. 6.【2018年北京文科14】若△ABC的面积为(a2+c2﹣b2),且∠C为钝角,则∠B=    ;的取值范围是    . 【解答】解:△ABC的面积为(a2+c2﹣b2), 可得:(a2+c2﹣b2)acsinB,, 可得:tanB,所以B,∠C为钝角,A∈(0,), tanA, ∈(,+∞). cosBsinB∈(2,+∞). 故答案为:;(2,+∞). 7.【2017年北京文科09】在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称,若sinα,则sinβ=    . 【解答】解:∵在平面直角坐标系xOy中,角α与角β均以Ox为始边,它们的终边关于y轴对称, ∴α+β=π+2kπ,k∈Z, ∵sinα, ∴sinβ=sin(π+2kπ﹣α)=sinα. 故答案为:. 8.【2016年北京文科13】在△ABC中,∠A,ac,则    . 【解答】解:在△ABC中,∠A,ac, 由正弦定理可得:, ,sinC,C,则B. 三角形是等腰三角形,B=C,则b=c, 则1. 故答案为:1. 9.【2015年北京文科11】在△ABC中,a=3,b,∠A,则∠B=    . 【解答】解:由正弦定理可得, , 即有sinB, 由b<a,则B<A, 可得B. 故答案为:. 10.【2014年北京文科12】在△ABC中,a=1,b=2,cosC,则c=    ;sinA=    . 【解答】解:∵在△ABC中,a=1,b=2,cosC, ∴由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣1=4,即c=2; ∵cosC,C为三角形内角, ∴sinC, ∴由正弦定理得:sinA. 故答案为:2;. 11.【2012年北京文科11】在△ABC中,若a=3,b,,则∠C的大小为    . 【解答】解:∵△ABC中,a=3,b,, ∴由正弦定理得:, ∴sin∠B.又b<a, ∴∠B<∠A. ∴∠B. ∴∠C=π. 故答案为:. 12.【2011年北京文科09】在△ABC中.若b=5,,sinA,则a=    . 【解答】解:在△ABC中.若b=5,,sinA,所以, a. 故答案为:. 13.【2010年北京文科10】在△ABC中,若b=1,c,∠C,则a=    . 【解答】解:在△ABC中由正弦定理得, ∴sinB, ∵b<c, 故B,则A 由正弦定理得 ∴a1 故答案为:1 14.【2019年北京文科15】在△ABC中,a=3,b﹣c=2,cosB. (Ⅰ)求b,c的值; (Ⅱ)求sin(B+C)的值. 【解答】解:(1)∵a=3,b﹣c=2,cosB. ∴由余弦定理,得b2=a2+c2﹣2accosB , ∴b=7,∴c=b﹣2=5; (2)在△ABC中,∵cosB,∴sinB, 由正弦定理有:, ∴sinA, ∴sin(B+C)=sin(A)=sinA. 15.【2018年北京文科16】已知函数f(x)=sin2xsinxcosx. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)若f(x)在区间[,m]上的最大值为,求m的最小值. 【解答】解:(I)函数f(x)=sin2xsinxcosxsin2x =sin(2x), f(x)的最小正周期为Tπ; (Ⅱ)若f(x)在区间[,m]上的最大值为, 可得2x∈[,2m], 即有2m,解得m, 则m的最小值为. 16.【2017年北京文科16】已知函数f(x)cos(2x)﹣2sinxcosx. (I)求f(x)的最小正周期; (II)求证:当x∈[,]时,f(x). 【解答】解:(Ⅰ)f(x)cos(2x)﹣2sinxcosx, (co2xsin2x)﹣sin2x, cos2xsin2x, =sin(2x), ∴Tπ, ∴f(x)的最小正周期为π, (Ⅱ)∵x∈[,], ∴2x∈[,], ∴sin(2x)≤1, ∴f(x) 17.【2016年北京文科16】已知函数f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx(ω>0)的最小正周期为π. (1)求ω的值; (2)求f(x)的单调递增区间. 【解答】解:f(x)=2sinωxcosωx+cos2ωx, =sin2ωx+cos2ωx, , 由于函数的最小正周期为π, 则:T, 解得:ω=1. (2)由(1)得:函数f(x), 令(k∈Z), 解得:(k∈Z), 所以函数的单调递增区间为:[](k∈Z). 18.【2015年北京文科15】已知函数f(x)=sinx﹣2sin2. (1)求f(x)的最小正周期; (2)求f(x)在区间[0,]上的最小值. 【解答】解:(1)∵f(x)=sinx﹣2sin2 =sinx﹣2 =sinxcosx =2sin(x) ∴f(x)的最小正周期T2π; (2)∵x∈[0,], ∴x∈[,π], ∴sin(x)∈[0,1],即有:f(x)=2sin(x)∈[,2], ∴可解得f(x)在区间[0,]上的最小值为:. 19.【2014年北京文科16】函数f(x)=3sin(2x)的部分图象如图所示. (Ⅰ)写出f(x)的最小正周期及图中x0,y0的值; (Ⅱ)求f(x)在区间[,]上的最大值和最小值. 【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=3sin(2x), ∴f(x)的最小正周期Tπ, 可知y0为函数的最大值3,x0; (Ⅱ)∵x∈[,], ∴2x∈[,0], ∴当2x0,即x时,f(x)取最大值0, 当2x,即x时,f(x)取最小值﹣3 20.【2013年北京文科15】已知函数f(x)=(2cos2x﹣1)sin2xcos4x. (1)求f(x)的最小正周期及最大值; (2)若α∈(,π),且f(α),求α的值. 【解答】解:(Ⅰ)因为 ∴T, 函数的最大值为:. (Ⅱ)∵f(x),, 所以, ∴,k∈Z, ∴,又∵, ∴. 21.【2013年北京文科18】已知函数f(x)=x2+xsinx+cosx. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切,求a与b的值; (Ⅱ)若曲线y=f(x)与直线y=b有两个不同交点,求b的取值范围. 【解答】解:(I)f′(x)=2x+xcosx=x(2+cosx), ∵曲线y=f(x)在点(a,f(a))处与直线y=b相切, ∴f′(a)=a(2+cosa)=0,f(a)=b, 联立, 解得, 故a=0,b=1. (II)∵f′(x)=x(2+cosx). 令f′(x)=0,得x=0,x,f(x),f′(x)的变化情况如表: x (﹣∞,0) 0 (0,+∞) f(x) ﹣ 0 + f′(x) 1 所以函数f(x)在区间(﹣∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增,f(0)=1是f(x)的最小值. 当b≤1时,曲线y=f(x)与直线x=b最多只有一个交点; 当b>1时,f(﹣2b)=f(2b)≥4b2﹣2b﹣1>4b﹣2b﹣1>b,f(0)=1<b,所以存在x1∈(﹣2b,0),x2∈(0,2b),使得f(x1)=f(x2)=b. 由于函数f(x)在区间(﹣∞,0)和(0,+∞)上均单调,所以当b>1时曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同的交点. 综上可知,如果曲线y=f(x)与直线y=b有且只有两个不同的交点,那么b的取值范围是(1,+∞). 22.【2012年北京文科15】已知函数f(x). (1)求f(x)的定义域及最小正周期; (2)求f(x)的单调递减区间. 【解答】解:(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z), 故求f(x)的定义域为{x|x≠kπ,k∈Z}. ∵f(x) =2cosx(sinx﹣cosx) =sin2x﹣cos2x﹣1 sin(2x)﹣1 ∴f(x)的最小正周期Tπ. (2)∵函数y=sinx的单调递减区间为[2kπ,2kπ](k∈Z) ∴由2kπ2x2kπ,x≠kπ(k∈Z) 得kπx≤kπ,(k∈Z) ∴f(x)的单调递减区间为:[kπ,kπ](k∈Z) 23.【2011年北京文科15】已知f(x)=4cosxsin(x)﹣1. (Ⅰ)求f(x)的最小正周期; (Ⅱ)求f(x)在区间[,]上的最大值和最小值. 【解答】解:(Ⅰ)∵, =4cosx()﹣1 sin2x+2cos2x﹣1 sin2x+cos2x =2sin(2x), 所以函数的最小正周期为π; (Ⅱ)∵x, ∴2x, ∴当2x,即x时,f(x)取最大值2, 当2x时,即x时,f(x)取得最小值﹣1. 24.【2010年北京文科15】已知函数f(x)=2cos2x+sin2x﹣4cosx. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)求f(x)的最大值和最小值. 【解答】解:(Ⅰ); (Ⅱ)f(x)=2(2cos2x﹣1)+(1﹣cos2x)﹣4cosx =3cos2x﹣4cosx﹣1 , 因为cosx∈[﹣1,1], 所以当cosx=﹣1时,f(x)取最大值6;当时,取最小值. 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:同角三角函数基本关系、诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形的综合应用等.历年考题主要以选择填空或解答题题型出现,重点考查的知识点为:诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形等.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以同角三角函数基本关系、诱导公式,三角函数的图象与性质,三角恒等变换,正余弦定理,解三角形的综合应用等为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.函数的部分图象如图所示.则函数的单调递增区间为(  ) A., B., C., D., 2.将函数的图像先向右平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,得到的图像,若且,则的最大值为( ) A. B. C. D. 3.将函数()的图像向右平移个单位长度,得到函数的图像,若则的值为( ) A. B. C. D. 4.已知函数的图象经过两点, 在内有且只有两个最值点,且最大值点大于最小值点,则( ) A. B. C. D. 5.已知函数,则下列结论中正确的个数是(  ). ①的图象关于直线对称;②将的图象向右平移个单位,得到函数的图象;③是图象的对称中心;④在上单调递增. A.1 B.2 C.3 D.4 6.在中,角、、的对边长分别、、,满足,,则的面积为 A. B. C. D. 7.设锐角三角形的内角所对的边分别为,若,则的取值范围为( ) A. B. C. D. 8.已知的内角所对的边分别为,若,,则=(  ). A. B. C. D. 9.若函数 (,)的图像过点,且关于点对称,则_______. 10.若实数满足.则的最小值为____________ 11.设函数,若,且,则的取值范围是_______. 12.已知角为第一象限角,,则实数的取值范围为__________. 13.已知函数的图象关于直线对称,则___. 14.如图,四边形中,,,,,,则的长为______ 15.在锐角中,角的对边分别为.且,.则的取值范围为_____. 16.在中,已知边上的中线,且,,成等差数列,则的长为________. 17.在中,的对边分别,. (Ⅰ)若是上的点,平分,求的值; (Ⅱ)若,求的面积. 18.在中,角所对的边分别,,函数的图象关于点对称. (1)当时,求的值域; (2)若且,求的面积. 19.在中,已知,,. (1)求的长; (2)求的值. 20.如图,在四边形中,,.已知,. (Ⅰ)求的值; (Ⅱ)若,且,求的长. 21.在中,内角,,的对边分别为,,,且. (1)求; (2)若,,求. 22.已知在△中,. (Ⅰ)求角的大小; (Ⅱ)求的最大值. PAGE 1

  • ID:3-6131566 (北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题04导数及其应用文(含解析)

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    专题04导数及其应用 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 解答题 2019 导数综合问题 2019年北京文科20 解答题 2018 导数综合问题 2018年北京文科19 解答题 2017 导数综合问题 2017年北京文科20 解答题 2016 导数综合问题 2016年北京文科20 解答题 2015 导数综合问题 2015年北京文科19 解答题 2014 导数综合问题 2014年北京文科20 解答题 2012 导数综合问题 2012年北京文科18 解答题 2011 导数综合问题 2011年北京文科18 解答题 2010 导数综合问题 2010年北京文科18 历年高考真题汇编 1.【2019年北京文科20】已知函数f(x)x3﹣x2+x. (Ⅰ)求曲线y=f(x)的斜率为l的切线方程; (Ⅱ)当x∈[﹣2,4]时,求证:x﹣6≤f(x)≤x; (Ⅲ)设F(x)=|f(x)﹣(x+a)|(a∈R),记F(x)在区间[﹣2,4]上的最大值为M(a).当M(a)最小时,求a的值. 【解答】解:(Ⅰ)f′(x), 由f′(x)=1得x(x)=0, 得. 又f(0)=0,f(), ∴y=x和, 即y=x和y=x; (Ⅱ)证明:欲证x﹣6≤f(x)≤x, 只需证﹣6≤f(x)﹣x≤0, 令g(x)=f(x)﹣x,x∈[﹣2,4], 则g′(x), 可知g′(x)在[﹣2,0]为正,在(0,)为负,在[]为正, ∴g(x)在[﹣2,0]递增,在[0,]递减,在[]递增, 又g(﹣2)=﹣6,g(0)=0,g()6,g(4)=0, ∴﹣6≤g(x)≤0, ∴x﹣6≤f(x)≤x; (Ⅲ)由(Ⅱ)可得, F(x)=|f(x)﹣(x+a)| =|f(x)﹣x﹣a| =|g(x)﹣a| ∵在[﹣2,4]上,﹣6≤g(x)≤0, 令t=g(x),h(t)=|t﹣a|, 则问题转化为当t∈[﹣6,0]时,h(t)的最大值M(a)的问题了, ①当a≤﹣3时,M(a)=h(0)=|a|=﹣a, 此时﹣a≥3,当a=﹣3时,M(a)取得最小值3; ②当a≥﹣3时,M(a)=h(﹣6)=|﹣6﹣a|=|6+a|, ∵6+a≥3,∴M(a)=6+a, 也是a=﹣3时,M(a)最小为3. 综上,当M(a)取最小值时a的值为﹣3. 2.【2018年北京文科19】设函数f(x)=[ax2﹣(3a+1)x+3a+2]ex. (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a; (Ⅱ)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)函数f(x)=[ax2﹣(3a+1)x+3a+2]ex的导数为 f′(x)=[ax2﹣(a+1)x+1]ex. 曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0, 可得(4a﹣2a﹣2+1)e2=0, 解得a; (Ⅱ)f(x)的导数为f′(x)=[ax2﹣(a+1)x+1]ex=(x﹣1)(ax﹣1)ex, 若a=0则x<1时,f′(x)>0,f(x)递增;x>1,f′(x)<0,f(x)递减. x=1处f(x)取得极大值,不符题意; 若a>0,且a=1,则f′(x)=(x﹣1)2ex≥0,f(x)递增,无极值; 若a>1,则1,f(x)在(,1)递减;在(1,+∞),(﹣∞,)递增, 可得f(x)在x=1处取得极小值; 若0<a<1,则1,f(x)在(1,)递减;在(,+∞),(﹣∞,1)递增, 可得f(x)在x=1处取得极大值,不符题意; 若a<0,则1,f(x)在(,1)递增;在(1,+∞),(﹣∞,)递减, 可得f(x)在x=1处取得极大值,不符题意. 综上可得,a的范围是(1,+∞). 3.【2017年北京文科20】已知函数f(x)=excosx﹣x. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)求函数f(x)在区间[0,]上的最大值和最小值. 【解答】解:(1)函数f(x)=excosx﹣x的导数为f′(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1, 可得曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=e0(cos0﹣sin0)﹣1=0, 切点为(0,e0cos0﹣0),即为(0,1), 曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=1; (2)函数f(x)=excosx﹣x的导数为f′(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1, 令g(x)=ex(cosx﹣sinx)﹣1, 则g(x)的导数为g′(x)=ex(cosx﹣sinx﹣sinx﹣cosx)=﹣2ex?sinx, 当x∈[0,],可得g′(x)=﹣2ex?sinx≤0, 即有g(x)在[0,]递减,可得g(x)≤g(0)=0, 则f(x)在[0,]递减, 即有函数f(x)在区间[0,]上的最大值为f(0)=e0cos0﹣0=1; 最小值为f()cos. 4.【2016年北京文科20】设函数f(x)=x3+ax2+bx+c. (1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程; (2)设a=b=4,若函数f(x)有三个不同零点,求c的取值范围; (3)求证:a2﹣3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件. 【解答】解:(1)函数f(x)=x3+ax2+bx+c的导数为f′(x)=3x2+2ax+b, 可得y=f(x)在点(0,f(0))处的切线斜率为k=f′(0)=b, 切点为(0,c),可得切线的方程为y=bx+c; (2)设a=b=4,即有f(x)=x3+4x2+4x+c, 由f(x)=0,可得﹣c=x3+4x2+4x, 由g(x)=x3+4x2+4x的导数g′(x)=3x2+8x+4=(x+2)(3x+2), 当x或x<﹣2时,g′(x)>0,g(x)递增; 当﹣2<x时,g′(x)<0,g(x)递减. 即有g(x)在x=﹣2处取得极大值,且为0; g(x)在x处取得极小值,且为. 由函数f(x)有三个不同零点,可得c<0, 解得0<c, 则c的取值范围是(0,); (3)证明:若f(x)有三个不同零点,令f(x)=0, 可得f(x)的图象与x轴有三个不同的交点. 即有f(x)有3个单调区间, 即为导数f′(x)=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点, 可得△>0,即4a2﹣12b>0,即为a2﹣3b>0; 若a2﹣3b>0,即有导数f′(x)=3x2+2ax+b的图象与x轴有两个交点, 当c=0,a=b=4时,满足a2﹣3b>0, 即有f(x)=x(x+2)2,图象与x轴交于(0,0),(﹣2,0),则f(x)的零点为2个. 故a2﹣3b>0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件. 5.【2015年北京文科19】设函数f(x)klnx,k>0. (1)求f(x)的单调区间和极值; (2)证明:若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点. 【解答】解:(1)由f(x) f'(x)=x 由f'(x)=0解得x f(x)与f'(x)在区间(0,+∞)上的情况如下: X (0,) () f'(x) ﹣ 0 + f(x) ↓ ↑ 所以,f(x)的单调递增区间为(),单调递减区间为(0,); f(x)在x处的极小值为f(),无极大值. (2)证明:由(1)知,f(x)在区间(0,+∞)上的最小值为f(). 因为f(x)存在零点,所以,从而k≥e 当k=e时,f(x)在区间(1,)上单调递减,且f()=0 所以x是f(x)在区间(1,)上唯一零点. 当k>e时,f(x)在区间(0,)上单调递减,且, 所以f(x)在区间(1,)上仅有一个零点. 综上所述,若f(x)存在零点,则f(x)在区间(1,]上仅有一个零点. 6.【2014年北京文科20】已知函数f(x)=2x3﹣3x. (Ⅰ)求f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值; (Ⅱ)若过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切,求t的取值范围; (Ⅲ)问过点A(﹣1,2),B(2,10),C(0,2)分别存在几条直线与曲线y=f(x)相切?(只需写出结论) 【解答】解:(Ⅰ)由f(x)=2x3﹣3x得f′(x)=6x2﹣3, 令f′(x)=0得,x或x, ∵f(﹣2)=﹣10,f(),f(),f(1)=﹣1, ∴f(x)在区间[﹣2,1]上的最大值为. (Ⅱ)设过点P(1,t)的直线与曲线y=f(x)相切于点(x0,y0), 则y0=23x0,且切线斜率为k=63, ∴切线方程为y﹣y0=(63)(x﹣x0), ∴t﹣y0=(63)(1﹣x0), 即46t+3=0, 设g(x)=4x3﹣6x2+t+3, 则“过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切”,等价于“g(x)有3个不同的零点”. ∵g′(x)=12x2﹣12x=12x(x﹣1), ∴g(x)与g′(x)变化情况如下: x (﹣∞,0) 0 (0,1) 1 (1,+∞) g′(x) + 0 ﹣ 0 + g(x) ↗ t+3 ↘ t+1 ↗ ∴g(0)=t+3是g(x)的极大值,g(1)=t+1是g(x)的极小值. 当g(0)=t+3≤0,即t≤﹣3时,g(x)在区间(﹣∞,1]和(1,+∞)上分别至多有一个零点, 故g(x)至多有2个零点. 当g(1)=t+1≥0,即t≥﹣1时,g(x)在区间(﹣∞,0]和(0,+∞)上分别至多有一个零点, 故g(x)至多有2个零点. 当g(0)>0且g(1)<0,即﹣3<t<﹣1时,∵g(﹣1)=t﹣7<0,g(2)=t+11>0, ∴g(x)分别在区间[﹣1,0),[0,1)和[1,2)上恰有1个零点, 由于g(x)在区间(﹣∞,0)和[1,+∞)上单调, 故g(x)分别在区间(﹣∞,0)和[1,+∞)上恰有1个零点. 综上所述,当过点过点P(1,t)存在3条直线与曲线y=f(x)相切时,t的取值范围是(﹣3,﹣1). (Ⅲ)过点A(﹣1,2)存在3条直线与曲线y=f(x)相切; 过点B(2,10)存在2条直线与曲线y=f(x)相切; 过点C(0,2)存在1条直线与曲线y=f(x)相切. 7.【2012年北京文科18】已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx. (1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处有公共切线,求a,b的值; (2)当a=3,b=﹣9时,函数f(x)+g(x)在区间[k,2]上的最大值为28,求k的取值范围. 【解答】解:(1)f(x)=ax2+1(a>0),则f′(x)=2ax,k1=2a, g(x)=x3+bx,则g′(x)=3x2+b,k2=3+b, 由(1,c)为公共切点,可得:2a=3+b① 又f(1)=a+1,g(1)=1+b, ∴a+1=1+b, 即a=b,代入①式,可得:a=3,b=3. (2)当a=3,b=﹣9时,设h(x)=f(x)+g(x)=x3+3x2﹣9x+1 则h′(x)=3x2+6x﹣9, 令h'(x)=0, 解得:x1=﹣3,x2=1; ∴k≤﹣3时,函数h(x)在(﹣∞,﹣3)上单调增,在(﹣3,1]上单调减,(1,2)上单调增,所以在区间[k,2]上的最大值为h(﹣3)=28 ﹣3<k<2时,函数h(x)在区间[k,2]上的最大值小于28 所以k的取值范围是(﹣∞,﹣3] 8.【2011年北京文科18】已知函数f(x)=(x﹣k)ex. (Ⅰ)求f(x)的单调区间; (Ⅱ)求f(x)在区间[0,1]上的最小值. 【解答】解:(Ⅰ)f′(x)=(x﹣k+1)ex, 令f′(x)=0,得x=k﹣1, f′(x)f(x)随x的变化情况如下: x (﹣∞,k﹣1) k﹣1 (k﹣1,+∞) f′(x) ﹣ 0 + f(x) ↓ ﹣ek﹣1 ↑ ∴f(x)的单调递减区间是(﹣∞,k﹣1),f(x)的单调递增区间(k﹣1,+∞); (Ⅱ)当k﹣1≤0,即k≤1时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递增, ∴f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(0)=﹣k; 当0<k﹣1<1,即1<k<2时,由(I)知,f(x)在区间[0,k﹣1]上单调递减,f(x)在区间(k﹣1,1]上单调递增, ∴f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(k﹣1)=﹣ek﹣1; 当k﹣1≥1,即k≥2时,函数f(x)在区间[0,1]上单调递减, ∴f(x)在区间[0,1]上的最小值为f(1)=(1﹣k)e; 综上所述f(x)min. 9.【2010年北京文科18】设定函数f(x)x3+bx2+cx+d(a>0),且方程f′(x)﹣9x=0的两个根分别为1,4. (Ⅰ)当a=3且曲线y=f(x)过原点时,求f(x)的解析式; (Ⅱ)若f(x)在(﹣∞,+∞)无极值点,求a的取值范围. 【解答】解:由得f′(x)=ax2+2bx+c 因为f′(x)﹣9x=ax2+2bx+c﹣9x=0的两个根分别为1,4,所以(*) (Ⅰ)当a=3时,又由(*)式得 解得b=﹣3,c=12 又因为曲线y=f(x)过原点,所以d=0, 故f(x)=x3﹣3x2+12x. (Ⅱ)由于a>0,所以“在(﹣∞,+∞)内无极值点”等价于“f′(x)=ax2+2bx+c≥0在(﹣∞,+∞)内恒成立”. 由(*)式得2b=9﹣5a,c=4a. 又△=(2b)2﹣4ac=9(a﹣1)(a﹣9) 解得a∈[1,9] 即a的取值范围[1,9] 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:导数的概念及运算,导数与函数的单调性、极值、最值,导数与函数的综合问题.历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为:导数的运算,导数与函数的单调性、极值、最值,导数与函数的综合问题,预测明年本考点题目会比较稳定.备考方向以知识点导数的运算,导数与函数的单调性、极值、最值,导数与函数的综合问题为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.已知函数,若有3个零点,则的取值范围为( ) A.(,0) B.(,0) C.(0,) D.(0,) 【答案】C 【解析】 由题意,函数,要使得函数在R上有3个零点, 当时,令,可得, 要使得有两个实数解,即和有两个交点, 又由,令,可得, 当时,,则单调递增; 当时,,则单调递减, 所以当时,, 若直线和有两个交点,则, 当时,和有一个交点,则, 综上可得,实数的取值范围是,故选C. 2.已知,,则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意,,, 设, , 设, , 在单调递减,且, , 所以在递减, ,故选C. 3.已知函数(为大于1的整数),若与的值域相同,则的最小值是( )(参考数据:,,) A.5 B.6 C.7 D.8 【答案】A 【解析】 ,当时,,函数单调递减,当时,,函数单调递增, 故,又当,所以函数的值域为,令 因此是单调递增函数,因此当时, ,令由上可知:, ,由上可知函数在时,单调递增,在时,单调递减,要想的值域为,只需,即,设,,,所以当时,函数单调递增,, ,所以的最小值是5,故本题选A. 4.已知实数,,,满足,则的最小值为( ) A.8 B.4 C.2 D. 【答案】D 【解析】 , 可以看成和之间的最小值 当时,即点到直线的距离最小 5.若函数在区间上存在零点,则实数的取值范围为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为函数, 所以 令,因为, 当 时,,所以 所以在上为增函数,则, 当时,,所以,所以在上为增函数, 则,所以在上没有零点. 当时,即,因为在上为增函数,则存在唯一的,使得,且当时,,当时,; 所以当时,,为减函数,当时,,为增函数,当时,, 因为,当趋于时,趋于, 所以在内,一定存在一个零点. 所以, 故答案选D. 6.已知函数,若对任意,都有成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 令, 则, 因为对任意,都有成立, 所以在上恒成立; 即在上恒成立; 即在上恒成立; 令,, 则, 由得,解得(舍)或, 所以,当时,,单调递减; 当时,,单调递增; 所以, 因为在上恒成立, 所以只需,解得. 故选D 7.已知奇函数是定义在上的可导函数,其导函数为,当时,有,则不等式的解集为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 设, 因为为上奇函数, 所以, 即为上奇函数 对求导,得, 而当时,有 故时,,即单调递增, 所以在上单调递增 不等式 , 即 所以,解得 故选A项. 8.已知函数,则使不等式成立的的最小整数为( ) A.-3 B.-2 C.-1 D.0 【答案】D 【解析】 根据题意,函数,其导数, 时,可以看成是1为首项,为公比的等比数列, 则有, 函数在上为增函数, 又由, , 则函数在上存在唯一的零点,设其零点为, , 又由,则, 故不等式成立的的最小整数为0; 故选:D. 9.直线是曲线的切线,则实数____. 【答案】1 【解析】 解:∵,∴ 设切点为,得切线的斜率为, 所以曲线在点处的切线方程为:. 即: 它过原点,∴,∴, ∴. 故答案为:1. 10.函数与的图象上存在关于轴的对称点,则实数的取值范围为_________. 【答案】 【解析】 关于轴对称的函数为, 因为函数与的图象上存在关于轴的对称点, 所以与的图象有交点, 方程有解,即有解, 时符合题意, 时转化为有解, 即的图象有交点, 是过定点的直线,其斜率为, 设相切时,切点的坐标为, 则,解得,切线斜率为, 由图可知,当,即且时,的图象有交点, 此时,与的图象有交点,函数与的图象上存在关于轴的对称点, 综上可得,实数的取值范围为,故答案为. 11.已知函数,若存在实数使得,则的最大值为________. 【答案】 【解析】 作出函数图像如下: 由题意,令为方程的两个根,由图像易得; 由得,解得或, 因为,所以,, 因此, 令,, 则, 因为,所以由得;由得, 即函数在上单调递增;在上单调递减; 所以, 因此的最大值为. 故答案为 12.已知实数a,b,c满足(e为自然对数的底数),则的最小值是_______. 【答案】 【解析】 设,则, 所以函数u(x)的增区间为(0,+),减区间为(-,0), 所以,即; 可知, 当且仅当时取等; 因为 所以,. 所以, 解得,当且仅当时,取等号. 故答案为: 13.已知直线与曲线分别交于两点,则的最小值为________ 【答案】1. 【解析】 令, ,显然为增函数,且 所以当时,单调递减; 当时,单调递增. 所以. 故答案为1. 14.曲线在处的切线的斜率为,则切线的方程为_____. 【答案】 【解析】 解:曲线,可得, 曲线在处的切线的斜率为, 可得, 所以. 所以切点坐标为:, 则切线的方程为:. 即:. 故答案为:. 15.已知函数若方程恰有两个不同的实数根,则的最大值是______. 【答案】 【解析】 作出的函数图象如图所示, 由,可得, 即, 不妨设 ,则, 令,则, ,令,则, 当 时,,在上递增; 当时,,在上递减; 当时,取得最大值, 故答案为. 16.已知函数的图象恰好经过三个象限,则实数的取值范围______. 【答案】或 【解析】 (1)当时,在上单调递减,又,所以函数的图象经过第二、三象限, 当时,, 所以, ①若时,恒成立,又当时,,所以函数图象在时,经过第一象限,符合题意; ②若时,在上恒成立,当时,令,解,所以在上单调递减,在上单调递增, 又 所以函数图象在时,经过第一象限,符合题意; (2)当时,的图象在上,只经过第三象限,在上恒成立,所以的图象在上,只经过第一象限,故不符合题意; (3)当时,在上单调递增,故的图象在上只经过第三象限,所以在上的最小值, 当时,令,解得, 若时,即时,在上的最小值为 , 令. 若时,则在时,单调递减, 当时,令,解得, 若,在上单调递增,故在上的最小值为,令,所以; 若,在上单调递减,在上单调递增,故在上的最小值为, 显然,故; 结上所述:或. 17.已知函数. (Ⅰ)讨论的单调性; (Ⅱ)比较与的大小且,并证明你的结论. 【答案】(I)见解析;(II)见解析 【解析】 (Ⅰ)函数可化为, 当时,,从而在上总是递减的, 当时,,此时要考虑与1的大小. 若,则,故在上递增, 若,则当时,,当时,,故在上递减, 在上递增,而在处连续,所以 当时,在上递减,在上递增; 当时,在上递减,在上递增. (Ⅱ)由(Ⅰ)可知当,时,,即,所以.所以 . 18.已知函数. (1)讨论的单调性; (2)若为的两个极值点,证明:. 【答案】(1)当时,在为增函数,减函数,为增函数;当时,在为增函数.(2)证明见解析. 【解析】 (1)的定义域为,, 对于函数, ①当时,即时,在恒成立. 在恒成立,在为增函数; ②当,即或时, 当时,由,得或,, 在为增函数,减函数, 为增函数, 当时,由在恒成立, 在为增函数. 综上,当时,在为增函数,减函数,为增函数; 当时,在为增函数. (2)由(1)知,且, 故 故只需证明, 令,故, 原不等式等价于对成立, 令,所以单调递减,有 得证. 19.已知函数. (Ⅰ)当时,求的最大值; (Ⅱ)若对恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ)1;(Ⅱ) 【解析】 (Ⅰ)当时,,定义域为. . 令,得. 当时,,单调递增, 当时,,单调递减. 所以. (Ⅱ),.令,得. 当时,,单调递增;当时,,单调递减,所以. 依题意有,设, 则,所以在上单调递增. 又,故, 即实数的取值范围为. 20.对于函数的定义域,如果存在区间,同时满足下列条件:①在上是单调函数;②当时,的值域为,则称区间是函数的“单调倍区间”.已知函数 (1)若,求在点处的切线方程; (2)若函数存在“单调倍区间”,求的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】 (1)当时, 当时,,则:,又 在处的切线方程为: 即: (2) 列表如下: 极大值 设函数存在“单调倍区间”是 ①当时,由在上单调递减,则有 两式相减得: 即 ,代入得: 要使此关于的方程组在时有解,则使得与的图象有两个公共点 当时,,当时, 结合两函数图象,则,即: 即此时满足存在“单调倍区间”的的取值范围是 ②当时,由在上单调递增,则有 即: 设,则 当时,,为增函数 当时,,为减函数 要使方程有两解,则与的图象在有两个交点 结合两函数图象,则,即: 解得: 即此时满足存在“在单调倍区间”的的取值范围是 ③当时,由在上单调递减,则有 两式相减得:,此式不成立,即此时不存在“单调倍区间” 综上,函数存在“单调倍区间”的的取值范围是 21.已知函数. (1)讨论函数的单调性; (2)当时,设函数有最小值,求的值域. 【答案】(1)见解析;(2) 【解析】 解:(1)定义域为, . 令,① , 当时,,, 即且不恒为零,故单调递增区间为,, 当时,,方程①两根为,, 由于, . 故, 因此当时,,单调递增, ,,单调递减, ,,单调递减, ,,单调递增, 综上,当时,在单调递增,单调递增, 当时,在单调递增, ,单调递减; 在单调递增. (2), 设, 由(1)知,时,在单调递增, 由于,, 故在存在唯一,使, , 又当,,即,单调递减, ,,即,单调递增, 故时, ,. 又设,, , 故单调递增,故, 即,即. 22.已知函数(无理数…). (1)若在单调递增,求实数的取值范围: (2)当时,设, 证明:当时,. 【答案】(1); (2)见解析. 【解析】 (1)解:由题意可得在上恒成立. ∴, 令,则, ∴函数在上单调递增. ∴. ∴实数a的取值范围是. (2)证明:当时,. ,令, 则,可得时,函数取得极小值,. ∵,又. ∴存在,使得. 由单调性可得:时,函数取得极小值,即最小值, ∴. 由,可得函数单调递减,故. ∴当时,. PAGE 1

  • ID:3-6131564 (北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题03函数概念与基本初等函数文(含解析)

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    专题03函数概念与基本初等函数 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 单选题 2019 函数的单调性 2019年北京文科03 单选题 2018 函数模型 2018年北京文科05 单选题 2017 函数的周期性 2017年北京文科05 单选题 2017 对数函数 2017年北京文科08 单选题 2016 函数的单调性 2016年北京文科04 单选题 2016 函数模型 2016年北京文科08 单选题 2015 函数的奇偶性 2015年北京文科03 单选题 2015 函数模型 2015年北京文科08 单选题 2014 函数的单调性 2014年北京文科02 单选题 2014 函数零点存在定理 2014年北京文科06 单选题 2014 函数模型 2014年北京文科08 单选题 2013 函数的奇偶性 2013年北京文科03 单选题 2012 函数零点存在定理 2012年北京文科05 单选题 2012 函数的定义 2012年北京文科08 单选题 2011 对数函数 2011年北京文科03 单选题 2010 函数的单调性 2010年北京文科06 填空题 2017 函数的值域 2017年北京文科11 填空题 2016 函数的值域 2016年北京文科10 填空题 2016 函数模型 2016年北京文科14 填空题 2015 对数函数 2015年北京文科10 填空题 2014 函数模型 2014年北京文科14 填空题 2013 分段函数 2013年北京文科13 填空题 2012 对数函数 2012年北京文科12 填空题 2012 指数函数 2012年北京文科14 填空题 2011 分段函数 2011年北京文科13 填空题 2011 函数模型 2011年北京文科14 填空题 2010 分段函数 2010年北京文科09 填空题 2010 函数模型 2010年北京文科14 历年高考真题汇编 1.【2019年北京文科03】下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是(  ) A.y=x B.y=2﹣x C.y=logx D.y 【解答】解:在(0,+∞)上单调递增,和在(0,+∞)上都是减函数. 故选:A. 2.【2018年北京文科05】“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献,十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为(    ) A.f B.f C.f D.f 【解答】解:从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于. 若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为:. 故选:D. 3.【2017年北京文科05】已知函数f(x)=3x﹣()x,则f(x)(    ) A.是偶函数,且在R上是增函数 B.是奇函数,且在R上是增函数 C.是偶函数,且在R上是减函数 D.是奇函数,且在R上是减函数 【解答】解:f(x)=3x﹣()x=3x﹣3﹣x, ∴f(﹣x)=3﹣x﹣3x=﹣f(x), 即函数f(x)为奇函数, 又由函数y=3x为增函数,y=()x为减函数, 故函数f(x)=3x﹣()x为增函数, 故选:B. 4.【2017年北京文科08】根据有关资料,围棋状态空间复杂度的上限M约为3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约为1080,则下列各数中与最接近的是(    ) (参考数据:lg3≈0.48) A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 【解答】解:由题意:M≈3361,N≈1080, 根据对数性质有:3=10lg3≈100.48, ∴M≈3361≈(100.48)361≈10173, ∴1093, 故选:D. 5.【2016年北京文科04】下列函数中,在区间(﹣1,1)上为减函数的是(    ) A.y B.y=cosx C.y=ln(x+1) D.y=2﹣x 【解答】解:A.x增大时,﹣x减小,1﹣x减小,∴增大; ∴函数在(﹣1,1)上为增函数,即该选项错误; B.y=cosx在(﹣1,1)上没有单调性,∴该选项错误; C.x增大时,x+1增大,ln(x+1)增大,∴y=ln(x+1)在(﹣1,1)上为增函数,即该选项错误; D.; ∴根据指数函数单调性知,该函数在(﹣1,1)上为减函数,∴该选项正确. 故选:D. 6.【2016年北京文科08】某学校运动会的立定跳远和30秒跳绳两个单项比赛分成预赛和决赛两个阶段,表中为10名学生的预赛成绩,其中有三个数据模糊. 学生序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 立定跳远(单位:米) 1.96 1.92 1.82 1.80 1.78 1.76 1.74 1.72 1.68 1.60 30秒跳绳(单位:次) 63 a 75 60 63 72 70 a﹣1 b 65 在这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人,同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人,则(    ) A.2号学生进入30秒跳绳决赛 B.5号学生进入30秒跳绳决赛 C.8号学生进入30秒跳绳决赛 D.9号学生进入30秒跳绳决赛 【解答】解:∵这10名学生中,进入立定跳远决赛的有8人, 故编号为1,2,3,4,5,6,7,8的学生进入立定跳远决赛, 又由同时进入立定跳远决赛和30秒跳绳决赛的有6人, 则3,6,7号同学必进入30秒跳绳决赛, 剩下1,2,4,5,8号同学的成绩分别为:63,a,60,63,a﹣1有且只有3人进入30秒跳绳决赛, 故成绩为63的同学必进入30秒跳绳决赛, 故选:B. 7.【2015年北京文科03】下列函数中为偶函数的是(    ) A.y=x2sinx B.y=x2cosx C.y=|lnx| D.y=2﹣x 【解答】解:对于A,(﹣x)2sin(﹣x)=﹣x2sinx;是奇函数; 对于B,(﹣x)2cos(﹣x)=x2cosx;是偶函数; 对于C,定义域为(0,+∞),是非奇非偶的函数; 对于D,定义域为R,但是2﹣(﹣x)=2x≠2﹣x,2x≠﹣2﹣x;是非奇非偶的函数; 故选:B. 8.【2015年北京文科08】某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况 加油时间 加油量(升) 加油时的累计里程(千米) 2015年5月1日 12 35000 2015年5月15日 48 35600 注:“累计里程”指汽车从出厂开始累计行驶的路程,在这段时间内,该车每100千米平均耗油量为 (    ) A.6升 B.8升 C.10升 D.12升 【解答】解:由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,所以该车每100千米平均耗油量48÷6=8; 故选:B. 9.【2014年北京文科02】下列函数中,定义域是R且为增函数的是(    ) A.y=e﹣x B.y=x C.y=lnx D.y=|x| 【解答】解:A.函数的定义域为R,但函数为减函数,不满足条件. B.函数的定义域为R,函数增函数,满足条件. C.函数的定义域为(0,+∞),函数为增函数,不满足条件. D.函数的定义域为R,在(0,+∞)上函数是增函数,在(﹣∞,0)上是减函数,不满足条件. 故选:B. 10.【2014年北京文科06】已知函数f(x)log2x,在下列区间中,包含f(x)零点的区间是(    ) A.(0,1) B.(1,2) C.(2,4) D.(4,+∞) 【解答】解:∵f(x)log2x, ∴f(2)=2>0,f(4)0, 满足f(2)f(4)<0, ∴f(x)在区间(2,4)内必有零点, 故选:C. 11.【2014年北京文科08】加工爆米花时,爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”,在特定条件下,可食用率p与加工时间t(单位:分钟)满足函数关系p=at2+bt+c(a,b,c是常数),如图记录了三次实验的数据,根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为(    ) A.3.50分钟 B.3.75分钟 C.4.00分钟 D.4.25分钟 【解答】解:将(3,0.7),(4,0.8),(5,0.5)分别代入p=at2+bt+c,可得, 解得a=﹣0.2,b=1.5,c=﹣2, ∴p=﹣0.2t2+1.5t﹣2,对称轴为t3.75. 故选:B. 12.【2013年北京文科03】下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是(    ) A. B.y=e﹣x C.y=lg|x| D.y=﹣x2+1 【解答】解:A中,y为奇函数,故排除A; B中,y=e﹣x为非奇非偶函数,故排除B; C中,y=lg|x|为偶函数,在x∈(0,1)时,单调递减,在x∈(1,+∞)时,单调递增, 所以y=lg|x|在(0,+∞)上不单调,故排除C; D中,y=﹣x2+1的图象关于y轴对称,故为偶函数,且在(0,+∞)上单调递减, 故选:D. 13.【2012年北京文科05】函数f(x)()x的零点个数为(    ) A.0 B.1 C.2 D.3 【解答】解:函数f(x)的定义域为[0,+∞) ∵y在定义域上为增函数,y在定义域上为增函数 ∴函数f(x)在定义域上为增函数 而f(0)=﹣1<0,f(1)0 故函数f(x)的零点个数为1个 故选:B. 14.【2012年北京文科08】某棵果树前n年的总产量Sn与n之间的关系如图所示.从目前记录的结果看,前m年的年平均产量最高,则m的值为(    ) A.5 B.7 C.9 D.11 【解答】解:若果树前n年的总产量S与n在图中对应P(S,n)点 则前n年的年平均产量即为直线OP的斜率 由图易得当n=9时,直线OP的斜率最大 即前9年的年平均产量最高, 故选:C. 15.【2011年北京文科03】如果xy<0,那么(    ) A.y<x<1 B.x<y<1 C.1<x<y D.1<y<x 【解答】解:不等式可化为: 又∵函数的底数01 故函数为减函数 ∴x>y>1 故选:D. 16.【2010年北京文科06】给定函数①,②,③y=|x﹣1|,④y=2x+1,其中在区间(0,1)上单调递减的函数序号是(    ) A.①② B.②③ C.③④ D.①④ 【解答】解:①是幂函数,其在(0,+∞)上即第一象限内为增函数,故此项不符合要求; ②中的函数是由函数向左平移1个单位长度得到的,因为原函数在(0,+∞)内为减函数,故此项符合要求; ③中的函数图象是由函数y=x﹣1的图象保留x轴上方,下方图象翻折到x轴上方而得到的,故由其图象可知该项符合要求; ④中的函数图象为指数函数,因其底数大于1,故其在R上单调递增,不合题意. 故选:B. 17.【2017年北京文科11】已知x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2的取值范围是    . 【解答】解:x≥0,y≥0,且x+y=1,则x2+y2=x2+(1﹣x)2=2x2﹣2x+1,x∈[0,1], 则令f(x)=2x2﹣2x+1,x∈[0,1],函数的对称轴为:x,开口向上, 所以函数的最小值为:f(). 最大值为:f(1)=2﹣2+1=1. 则x2+y2的取值范围是:[,1]. 故答案为:[,1]. 18.【2016年北京文科10】函数f(x)(x≥2)的最大值为    . 【解答】解:; ∴f(x)在[2,+∞)上单调递减; ∴x=2时,f(x)取最大值2. 故答案为:2. 19.【2016年北京文科14】某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种,则该网店 ①第一天售出但第二天未售出的商品有    种; ②这三天售出的商品最少有    种. 【解答】解:①设第一天售出商品的种类集为A,第二天售出商品的种类集为B,第三天售出商品的种类集为C, 如图, 则第一天售出但第二天未售出的商品有19﹣3=16种; ②由①知,前两天售出的商品种类为19+13﹣3=29种,第三天售出但第二天未售出的商品有18﹣4=14种,当这14种 商品第一天售出但第二天未售出的16种商品中时,即第三天没有售出前两天的商品时,这三天售出的商品种类最少为29种. 故答案为:①16;②29. 20.【2015年北京文科10】2﹣3,,log25三个数中最大数的是    . 【解答】解:由于0<2﹣3<1,12, log25>log24=2, 则三个数中最大的数为log25. 故答案为:log25. 21.【2014年北京文科14】顾客请一位工艺师把A,B两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这项任务,每件原料先由徒弟完成粗加工,再由师傅进行精加工完成制作,两件工艺品都完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下: 工序时间原料 粗加工 精加工 原料A 9 15 原料B 6 21 则最短交货期为     个工作日. 【解答】解:由题意,徒弟利用6天完成原料B的加工,由师傅利用21天完成精加工,与此同时,徒弟利用9天完成原料A的加工,最后由师傅利用15天完成精加工,故最短交货期为6+21+15=42 个工作日. 故答案为:42. 22.【2013年北京文科13】函数f(x)的值域为    . 【解答】解:当x≥1时,f(x); 当x<1时,0<f(x)=2x<21=2. 所以函数的值域为(﹣∞,2). 故答案为(﹣∞,2). 23.【2012年北京文科12】已知函数f(x)=lgx,若f(ab)=1,则f(a2)+f(b2)=    . 【解答】解:∵函数f(x)=lgx,f(ab)=lg(ab)=1, f(a2)+f(b2)=lga2+lgb2 =lg(ab)2=2lg(ab)=2. 故答案为:2. 24.【2012年北京文科14】已知f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3),g(x)=2x﹣2.若?x∈R,f(x)<0或g(x)<0,则m的取值范围是    . 【解答】解:∵g(x)=2x﹣2,当x≥1时,g(x)≥0, 又∵?x∈R,f(x)<0或g(x)<0 ∴此时f(x)=m(x﹣2m)(x+m+3)<0在x≥1时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与x轴交点都在(1,0)的左面 则 ∴﹣4<m<0 故答案为:(﹣4,0) 25.【2011年北京文科13】已知函数若关于x 的方程f(x)=k有两个不同的实根,则数k的取值范围是    . 【解答】解:函数的图象如下图所示: 由函数图象可得当k∈(0,1)时 方程f(x)=k有两个不同的实根, 故答案为:(0,1) 26.【2011年北京文科14】设A(0,0),B(4,0),C(t+4,3),D(t,3)(t∈R).记N(t)为平行四边形ABCD内部(不含边界)的整点的个数,其中整点是指横、纵坐标都是整数的点,则N(0)=    ,N(t)的所有可能取值为    . 【解答】解:当t=0时,平行四边形ABCD内部的整点有(1,1);(1,2);(2,1);(2,2);(3,1);(3,2)共6个点, 所以N(0)=6 作出平行四边形ABCD 将边OD,BC变动起来,结合图象得到N(t)的所有可能取值为6,7,8 故答案为:6;6,7,8 27.【2010年北京文科09】已知函数y,如图表示的是给定x的值,求其对应的函数值y的程序框图, ①处应填写    ; ②处应填写    . 【解答】解:由题目可知:该程序的作用是 计算分段函数y的值, 由于分段函数的分类标准是x是否大于2, 而满足条件时执行的语句为y=2﹣x, 易得条件语句中的条件为x<2 不满足条件时②中的语句为y=log2x 故答案为:x<2,y=log2x. 28.【2010年北京文科14】(北京卷理14)如图放置的边长为1的正方形PABC沿x轴滚动.设顶点P(x,y)的轨迹方程是y=f(x),则f(x)的最小正周期为    ;y=f(x)在其两个相邻零点间的图象与x轴所围区域的面积为     说明:“正方形PABC沿X轴滚动”包括沿x轴正方向和沿x轴负方向滚动.沿x轴正方向滚动指的是先以顶点A为中心顺时针旋转,当顶点B落在x轴上时,再以顶点B为中心顺时针旋转,如此继续.类似地,正方形PABC可以沿x轴负方向滚动. 【解答】解:不难想象,从某一个顶点(比如A)落在x轴上的时候开始计算,到下一次A点落在x轴上,这个过程中四个顶点依次落在了x轴上,而每两个顶点间距离为正方形的边长1,因此该函数的周期为4.下面考察P点的运动轨迹,不妨考察正方形向右滚动,P点从x轴上开始运动的时候,首先是围绕A点运动个圆,该圆半径为1,然后以B点为中心,滚动到C点落地,其间是以BP为半径,旋转90°,然后以C为圆心,再旋转90°,这时候以CP为半径,因此最终构成图象如下:故其与x轴所围成的图形面积为. 故答案为:4,π+1. 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:函数,函数的单调性与最值,函数的奇偶性与周期性,幂函数与二次函数,指数函数,对数函数,分段函数,函数的图象,函数与方程等.历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为:函数的单调性与最值,函数的奇偶性与周期性,指数函数,对数函数,分段函数,函数的图象,函数与方程等.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点函数的单调性与最值,函数的奇偶性与周期性,指数函数,对数函数,分段函数,函数的图象,函数与方程等为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.已知是定义域为[a,a+1]的偶函数,则=( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵f(x)在[a,a+1]上是偶函数, ∴﹣a=a+1?a, 所以f(x)的定义域为[,], 故:f(x)x2﹣bx+1, ∵f(x)在区间[,]上是偶函数, 有f()=f(),代入解析式可解得:b=0; ∴. 故选:B. 2.已知函数的定义域为,为偶函数,且对,满足.若,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 因为对,满足,所以当时,是单调递减函数,又因为为偶函数,所以关于对称,所以函数当时,是增函数,又因为,所以有, 当时,即当时, 当时,即当时, ,综上所述:不等式的解集为,故本题选A. 3.函数的单调减区间为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 函数,所以或,所以函数的定义域为或,当时,函数是单调递减,而,所以函数的单调减区间为,故本题选A。 4.已如定义在上的函数的周期为6.且,则( ) A.11 B. C.7 D. 【答案】A 【解析】 根据的周期是6,故,,所以,故选A. 5.下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据题意,依次分析选项: 对于A,y=x3为幂函数,是奇函数,不符合题意, 对于B,y=|x-1|,不是奇函数,不符合题意; 对于C,y=|x|-1,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数,符合题意; 对于D,y=,为指数函数,不是偶函数,不符合题意; 故选:C. 6.设函数则下列结论中正确的是( ) A.对任意实数,函数的最小值为 B.对任意实数,函数的最小值都不是 C.当且仅当时,函数的最小值为 D.当且仅当时,函数的最小值为 【答案】D 【解析】 因为, 所以,当时,单调递增,此时; 当时,; (1)若,则,此时值域为,无最小值; (2)若,则,此时的值域为; 此时,最小值为. 故选D 7.已知是偶函数,在上单调递减,,则的解集是( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为是偶函数,所以关于直线对称; 因此,由得; 又在上单调递减,则在上单调递增; 所以,当即时,由得,所以, 解得; 当即时,由得,所以, 解得; 因此,的解集是. 8.设函数,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意,函数,则, 所以,故选C. 9.已知函数的图象关于直线对称,则函数的值域为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 ∵函数的图象关于直线对称 ∴, 即, ∴, 整理得恒成立, ∴, ∴,定义域为. 又, ∵时,, ∴, ∴函数的值域为. 故选D. 10.已知函数是上的偶函数,且对任意的有,当 时,,则( ) A.11 B.5 C.-9 D.-1 【答案】C 【解析】 ; ; 的周期为6; 又是偶函数,且时,; (8)(2). 故选:. 11.已知函数,若对任意,总存在,使,则实数a的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 对任意,则,即函数的值域为, 若对任意,总存在,使, 设函数的值域为A, 则满足,即可, 当时,函数为减函数,则此时, 当时,, ①当时,(红色曲线),即时,满足条件, ②当时,此时,要使成立, 则此时, 此时满足(蓝色曲线),即,得, 综上或, 故选:C. 12.已知函数,若方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4,则的取值范围为(  ) A.(﹣1,+∞) B.(﹣1,1] C.(﹣∞,1) D.[﹣1,1) 【答案】B 【解析】 作函数f(x)的图象如图所示,∵方程f(x)=a有四个不同的解x1,x2,x3,x4,且x1<x2<x3<x4, ∴x1,x2关于x=﹣1对称,即x1+x2=﹣2,0<x3<1<x4,则|log2x3|=|log2x4|, 即﹣log2x3=log2x4,则log2x3+log2x4=0,即log2x3x4=0,则x3x4=1; 当|log2x|=1得x=2或,则1<x4≤2;≤x3<1; 故; 则函数y=﹣2x3+,在≤x3<1上为减函数,则故当x3=取得y取最大值y=1, 当x3=1时,函数值y=﹣1.即函数取值范围是(﹣1,1]. 故选:B. 13.已知定义在实数集上的函数的图象经过点,且满足,当时不等式恒成立,则不等式的解集为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 , 所以函数f(x)是偶函数, 因为时不等式恒成立, 所以函数f(x)在(0,+)上是增函数,在(-上是减函数, 因为, 所以. 故选:A 14.已知,则是( ) A.偶函数,且在是增函数 B.奇函数,且在是增函数 C.偶函数,且在是减函数 D.奇函数,且在是减函数 【答案】C 【解析】 由,得, 故函数的定义域为,关于原点对称, 又,故函数为偶函数, 而, 因为函数在上单调递减,在上单调递增, 故函数在上单调递减,故选C. 15.已知与函数关于点(,0)对称,与函数关于直线对称,若对任意,存在使成立,则实数的取值范围是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 依题意得:,, 设,,, 所以在单调递增,所以, 故原题等价于存在使得, ,,故只需, 而在上单调递减, 而,所以, 故选. 16.函数的定义域都为,且是奇函数,是偶函数,设,则下列结论中正确的是( ) A.的图象关于对称 B.的图象关于对称 C.的图象关于对称 D.的图象关于对称 【答案】D 【解析】 首先考查函数, 其定义域为,且, 则函数为偶函数,其图像关于轴对称, 将的图像向左平移一个单位可得函数的图像, 据此可知的图象关于对称. 故选:D. 17.偶函数在上递增,且,,大小为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 因为,又在上递增,所以,选C. 18.设函数,则满足的的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 作出的图象,可得的最小值为, 令,考虑的解, 考虑与的图像的交点情况,如图所示 故,下面考虑的解,如图所示, 可得或.故选D. 19.设函数,则使成立的的取值范围是(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 根据题意,函数, 则, 即函数为偶函数, 又,当时,有, 即函数在上为增函数, , 解得或, 即的取值范围为; 故选D. 20.已知函数的定义域为,对于定义域内任意,,则函数的零点所在的区间为( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 根据题意,对任意的,都有,又由是定义在上的单调函数,则为定值,设,则,又由,∴,所以,所以,所以,因为,所以零点所在的区间为(3,4). 21.已知函数是奇函数,当时,,则的值为 ______ 【答案】 【解析】 =,, 函数是奇函数 ,所以的值为。 22.设函数,若,则_______. 【答案】 【解析】 当时,,而,故舍去; 当时,,所以. 23.函数图象的对称中心为_____ 【答案】 【解析】 由题意设对称中心的坐标为,则有对任意均成立, 代入函数解析式得, 整理得到: , 整理得到对任意均成立, 所以,所以,. ,即对称中心.故答案为:. 24.已知函数,则__________. 【答案】 【解析】 由函数,可得当时,满足, 所以函数是周期为1的函数,所以. 25.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且.若当 时,,则__________ 【答案】6 【解析】 解:由,可得, 可得为周期为6的周期函数,, 由是定义在R上的偶函数,可得, 且当 时,,可得, 故答案:6. 26.已知直线与曲线有三个不同的交点,,,且,则__________. 【答案】3 【解析】 由题意,函数是奇函数,则函数的图象关于原点对称, 所以函数的函数图象关于点对称, 因为直线与曲线有三个不同的交点, 且, 所以点为函数的对称点,即,且两点关于点对称, 所以,于是. 27.已知实数a,b(0,2),且满足,则a+b的值为_______. 【答案】2 【解析】 由,化简为:,即, 设,则在上递增,因为a,b(0,2),所以2-b(0,2), 且,所以,即. 故答案为:2 28.设函数若,则的最小值为__________; 若有最小值,则实数的取值范围是_______. 【答案】 【解析】 (1)当a=1, ,= ()=()>0,1>x>ln2;()<0,x0时,()单调递增,故 对=, 当0ln2, 由(1)知,此时最小值为,即有最小值,综上a 故答案为 ; 29.在平面直角坐标系中,对于点,若函数满足:,都有,就称这个函数是点的“限定函数”.以下函数:①,②,③,④,其中是原点的“限定函数”的序号是______.已知点在函数的图象上,若函数是点的“限定函数”,则的取值范围是______. 【答案】①③ 【解析】 要判断是否是原点O的“限定函数”只要判断:,都有, 对于① ,由可得,则①是原点O的“限定函数”; 对于②,由可得,则②不是原点O的“限定函数” 对于③ ,由可得,则③是原点O的“限定函数” 对于④,由可得,则④不是原点O的“限定函数” 点在函数的图像上,若函数是点A的“限定函数”,可得, 由,即, 即,可得, 可得,且,即的范围是, 故答案为:①③;. 30.函数为奇函数,则实数__________. 【答案】 【解析】 函数为奇函数 即 则,即 ,则: 则: 当时,,则定义域为:且 此时定义域不关于原点对称,为非奇非偶函数,不满足题意 当时,,满足题意 本题正确结果: PAGE 1

  • ID:3-6130812 (北京卷)十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题02复数文(含解析)

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    专题02复数 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 单选题 2019 复数的四则运算 2019年北京文科02 单选题 2018 复数的四则运算 2018年北京文科02 单选题 2017 复数的四则运算 2017年北京文科02 单选题 2016 复数的四则运算 2016年北京文科02 单选题 2013 复数的四则运算 2013年北京文科04 单选题 2012 复数的四则运算 2012年北京文科02 单选题 2011 复数的四则运算 2011年北京文科02 单选题 2010 数系的扩充与复数的定义 2010年北京文科02 填空题 2015 复数的四则运算 2015年北京文科09 填空题 2014 数系的扩充与复数的定义 2014年北京文科09 历年高考真题汇编 1.【2019年北京文科02】已知复数z=2+i,则z?(  ) A. B. C.3 D.5 【解答】解:∵z=2+i, ∴z?. 故选:D. 2.【2018年北京文科02】在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于(    ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解答】解:复数, 共轭复数对应点的坐标(,)在第四象限. 故选:D. 3.【2017年北京文科02】若复数(1﹣i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是(    ) A.(﹣∞,1) B.(﹣∞,﹣1) C.(1,+∞) D.(﹣1,+∞) 【解答】解:复数(1﹣i)(a+i)=a+1+(1﹣a)i在复平面内对应的点在第二象限, ∴,解得a<﹣1. 则实数a的取值范围是(﹣∞,﹣1). 故选:B. 4.【2016年北京文科02】复数(    ) A.i B.1+i C.﹣i D.1﹣i 【解答】解:i, 故选:A. 5.【2013年北京文科04】在复平面内,复数i(2﹣i)对应的点位于(    ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解答】解:∵复数z=i(2﹣i)=﹣i2+2i=1+2i ∴复数对应的点的坐标是(1,2) 这个点在第一象限, 故选:A. 6.【2012年北京文科02】在复平面内,复数对应的点的坐标为(    ) A.(1,3) B.(3,1) C.(﹣1,3) D.(3,﹣1) 【解答】解:∵ 1+3i, ∴在复平面内,复数对应的点的坐标为(1,3), 故选:A. 7.【2011年北京文科02】复数(    ) A.i B.﹣i C. D. 【解答】解:i 故选:A. 8.【2010年北京文科02】在复平面内,复数6+5i,﹣2+3i对应的点分别为A,B.若C为线段AB的中点,则点C对应的复数是(    ) A.4+8i B.8+2i C.2+4i D.4+i 【解答】解:两个复数对应的点的坐标分别为A(6,5),B(﹣2,3),则其中点的坐标为C(2,4), 故其对应的复数为2+4i. 故选:C. 9.【2015年北京文科09】复数i(1+i)的实部为    . 【解答】解:复数i(1+i)=﹣1+i, 所求复数的实部为:﹣1. 故答案为:﹣1. 10.【2014年北京文科09】若(x+i)i=﹣1+2i(x∈R),则x=    . 【解答】解:∵(x+i)i=﹣1+2i, ∴﹣1+xi=﹣1+2i, 由复数相等可得x=2 故答案为:2 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件,考查复数的代数形式的四则运算,重点考查复数的除法运算,与向量结合考查复数及其加法、减法的几何意义等,历年考题主要以选择填空题题型出现,重点考查的知识点为复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件,考查复数的代数形式的四则运算,重点考查复数的除法运算等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点复数的基本概念(复数的实部、虚部、共轭复数、复数的模等),复数相等的充要条件,考查复数的代数形式的四则运算为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.复数在复平面上的对应点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】 ,在复平面上的对应点为,位于第一象限. 故选A. 2.设(a,,i是虚数单位),且,则有( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为,所以,, 解得或,所以,故选D. 3.若复数为纯虚数,则实数的值为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 故 ,解 故选:B 4.复数i(1+i)的虚部为(  ) A. B.1 C.0 D. 【答案】B 【解析】 ∵i(1+i)=-1+i, ∴i(1+i)的虚部为1. 故选:B. 5.已知复数,复数满足,则 (  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由题得, 所以. 故选:B 6.已知复数,则复数的实部为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解:∵, ∴复数的实部为. 故选A. 7.复数( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 . 故选B 8.已知为虚数单位,复数满足:,则在复平面上复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】D 【解析】 因为, 所以复平面上复数对应的点为,位于第四象限, 故选. 9.设复数,是其共轭复数,若,则实数( ) A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】C 【解析】 解: 10.已知是虚数单位,复数满足,则( ) A. B.2 C.1 D. 【答案】A 【解析】 , 所以,故本题选A. 11.复数,其中为虚数单位,则的实部是(  ) A.-1 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】 解:∴, ∴的实部是3 故选:D. 12.已知复数,则复数( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由题意,复数,则,故选C. 13.已知为虚数单位,若,则( ) A.1 B. C. D.2 【答案】C 【解析】 为虚数单位,若, 根据复数相等得到. 故答案为:C. 14.已知复数满足,则( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 ∵, ∴, ∴. 故选C. 15.已知是虚数单位,则复数在复平面上所对应的点的坐标为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 ∵,∴该复数在复平面上对应的点的坐标为. 故选A. 16.若复数满足,则在复平面内的共轭复数对应的点位于( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】 由题得, 所以, 所以在复平面内的共轭复数对应的点为(1,1),在第一象限. 故选:A 17.已知复数满足,则的虚部是(  ) A. B. C.2 D. 【答案】A 【解析】 因为 所以 所以虚部为 所以选A 18.已知(其中为虚数单位),则的虚部为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 因为, 所以,故的虚部为,故选B. 19.复数的虚部为   A. B. C.1 D.2 【答案】B 【解析】 所以的虚部为 故选B项. 20.已知复数,(为虚数单位),若为纯虚数,则(  ) A. B.2 C. D. 【答案】C 【解析】 ∵, ∴, ∵为纯虚数, ∴,解得. 故选:C. 21.设复数满足,则( ) A.1 B. C.3 D.5 【答案】B 【解析】 , , ,故选B. 22.已知复数,则在复平面内对应的点位于(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】A 【解析】 ∵ ,∴ , ∴在复平面内对应的点的坐标为,位于第一象限. 故选:A. 23.复数z满足,则复数(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 由题意得: 本题正确选项: 24.若复数是纯虚数,其中是实数,则( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 复数z=m(m+1)+(m+1)i是纯虚数,故m(m+1)=0且(m+1)≠0, 解得m=0,故z=i,故i. 故选:B. 25.设i为虚数单位,则复数的共扼复数( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 解:, 故选:A. 26.已知复数、在复平面内对应的点关于虚轴对称,,则=( ) A.2 B. C. D.1 【答案】D 【解析】 由题意,复数、在复平面内对应的点关于虚轴对称,, 则,所以,故选D. 27.已知复数z1=1+2i,z2=l﹣i,则(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵, ∴. 故选:B. 28.在复平面内,复数对应的点位于第二象限,则复数可取( ) A.2 B.-1 C. D. 【答案】B 【解析】 不妨设,则, 结合题意可知:,逐一考查所给的选项: 对于选项A:,不合题意; 对于选项B:,符合题意; 对于选项C:,不合题意; 对于选项D:,不合题意; 故选:B. 29.已知为虚数单位,则复数的虚部为( ) A.1 B.2 C. D. 【答案】C 【解析】 因为,所以的虚部为. 30.已知复数(为虚数单位)在复平面内对应的点在直线上,则实数的值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 因为,对应的点为,因为点在直线上,所以,解得. 故选D. PAGE 1

  • ID:3-6130798 十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题17不等式选讲理(含解析)

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    专题17不等式选讲 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 解答题 2019 不等式选讲 2019年新课标1理科23 解答题 2018 综合测试题 2018年新课标1理科23 解答题 2017 综合测试题 2017年新课标1理科23 解答题 2016 综合测试题 2016年新课标1理科24 解答题 2014 综合测试题 2014年新课标1理科24 解答题 2013 综合测试题 2013年新课标1理科24 解答题 2012 综合测试题 2012年新课标1理科24 解答题 2011 综合测试题 2011年新课标1理科24 解答题 2010 综合测试题 2010年新课标1理科24 历年高考真题汇编 1.【2019年新课标1理科23】已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1)a2+b2+c2; (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24. 【解答】证明:(1)分析法:已知a,b,c为正数,且满足abc=1. 要证(1)a2+b2+c2;因为abc=1. 就要证:a2+b2+c2; 即证:bc+ac+ab≤a2+b2+c2; 即:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2; 2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0 (a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0; ∵a,b,c为正数,且满足abc=1. ∴(a﹣b)2≥0;(a﹣c)2≥0;(b﹣c)2≥0恒成立;当且仅当:a=b=c=1时取等号. 即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0得证. 故a2+b2+c2得证. (2)证(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24成立; 即:已知a,b,c为正数,且满足abc=1. (a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数; (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)?(b+c)?(c+a); 当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:a=b=c=1时取等号; ∵a,b,c为正数,且满足abc=1. (a+b)≥2;(b+c)≥2;(c+a)≥2; 当且仅当a=b,b=c;c=a时取等号;即:a=b=c=1时取等号; ∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)?(b+c)?(c+a)≥3×8??24abc=24; 当且仅当a=b=c=1时取等号; 故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证. 故得证. 2.【2018年新课标1理科23】已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围. 【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|, 由f(x)>1, ∴或, 解得x, 故不等式f(x)>1的解集为(,+∞), (2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立, ∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x>0, 即x+1﹣|ax﹣1|﹣x>0, 即|ax﹣1|<1, ∴﹣1<ax﹣1<1, ∴0<ax<2, ∵x∈(0,1), ∴a>0, ∴0<x, ∴a ∵2, ∴0<a≤2, 故a的取值范围为(0,2]. 3.【2017年新课标1理科23】已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围. 【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x的二次函数, g(x)=|x+1|+|x﹣1|, 当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,]; 当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2. 当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2. 综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,]; (2)依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,则只需,解得﹣1≤a≤1, 故a的取值范围是[﹣1,1]. 4.【2016年新课标1理科24】已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|. (Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集. 【解答】解:(Ⅰ)f(x), 由分段函数的图象画法,可得f(x)的图象,如右: (Ⅱ)由|f(x)|>1,可得 当x≤﹣1时,|x﹣4|>1,解得x>5或x<3,即有x≤﹣1; 当﹣1<x时,|3x﹣2|>1,解得x>1或x, 即有﹣1<x或1<x; 当x时,|4﹣x|>1,解得x>5或x<3,即有x>5或x<3. 综上可得,x或1<x<3或x>5. 则|f(x)|>1的解集为(﹣∞,)∪(1,3)∪(5,+∞). 5.【2014年新课标1理科24】若a>0,b>0,且. (Ⅰ)求a3+b3的最小值; (Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由. 【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且, ∴2,∴ab≥2, 当且仅当a=b时取等号. ∵a3+b3 ≥224,当且仅当a=b时取等号, ∴a3+b3的最小值为4. (Ⅱ)∵2a+3b≥22,当且仅当2a=3b时,取等号. 而由(1)可知,2246, 故不存在a,b,使得2a+3b=6成立. 6.【2013年新课标1理科24】已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[,]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0. 设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则y,它的图象如图所示: 结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2). (Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[,]时,f(x)=1+a,不等式化为1+a≤x+3, 故x≥a﹣2对x∈[,]都成立. 故a﹣2, 解得a, 故a的取值范围为(﹣1,]. 7.【2012年新课标1理科24】已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2| ①当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集; ②f(x)≤|x﹣4|若的解集包含[1,2],求a的取值范围. 【解答】解:(1)当a=﹣3时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即 ,可得x≤1; ,可得x∈?; ,可得x≥4. 取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}. (2)原命题即f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1,2]上恒成立, 等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立. 故当 1≤x≤2时,﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x的最小值为0, 故a的取值范围为[﹣3,0]. 8.【2011年新课标1理科24】设函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0. (Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集 (Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值. 【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为 |x﹣1|≥2. 由此可得x≥3或x≤﹣1. 故不等式f(x)≥3x+2的解集为 {x|x≥3或x≤﹣1}. (Ⅱ)由f(x)≤0得 |x﹣a|+3x≤0 此不等式化为不等式组 或 即或 因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x} 由题设可得1,故a=2 9.【2010年新课标1理科24】设函数f(x)=|2x﹣4|+1. (Ⅰ)画出函数y=f(x)的图象: (Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)由于f(x), 函数y=f(x)的图象如图所示. (Ⅱ)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,极小值在点(2,1) 当且仅当a<﹣2或a时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点. 故不等式f(x)≤ax的解集非空时, a的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪[,+∞). 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.求解的一般方法是去掉绝对值,也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,证明不等式为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.已知函数. (1)当时,求不等式的解集; (2)若时不等式成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)或;(2)空集. 【解析】 解:(1)不等式,即. 可得,或或, 解得或,所以不等式的解集为. (2)当时,,所以, 由得,即, 则,该不等式无解, 所以实数的取值范围是空集(或者). 2.已知. (1)求不等式的解集; (2)设、、为正实数,且,求证:. 【答案】(1) (2)见证明 【解析】 (1)①时,, 由,∴,∴,即, ②时,,由,∴,∴,即, ③时,,由,∴,∴,可知无解, 综上,不等式的解集为; (2)∵,∴, ∴,且为正实数 ∴, ∵,,, ∴, ∴ 又为正实数,∴可以解得. 3.[选修4—5:不等式选讲] 已知函数. (1)当,求不等式的解集; (2)对于任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】 (1)当时,为: 当时,不等式为:,解得:,无解 当时,不等式为:,解得:,此时 当时,不等式为:,解得:,此时 综上所述,不等式的解集为 (2)对于任意实数,,不等式恒成立等价于 因为,当且仅当时等号成立 所以 因为时,, 函数单调递增区间为,单调递减区间为 当时, ,又,解得: 实数的取值范围 4.选修4-5不等式选讲 已知关于的不等式的解集为,其中. (1)求的值; (2)若正数,,满足,求证:. 【答案】(1)(2)见证明 【解析】 (1)由题意知: 即或 化简得:或 不等式组的解集为 ,解得: (2)由(1)可知, 由基本不等式有:,, 三式相加可得: ,即: 5.选修4-5:不等式选讲 已知函数 (1)当时,解不等式; (2)若存在满足,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)当时,, 当时,不等式等价于,解得,; 当时,不等式等价于,解得,; 当时,不等式等价于,解得,. 综上所述,原不等式的解集为. (2)由,得, 而, (当且仅当时等号成立) 由题可知,即, 解得实数的取值范围是. 6.已知函数. (Ⅰ)当时,求不等式的解集; (Ⅱ)若时,不等式成立,求的取值范围. 【答案】(I);(II) 【解析】 (I)当时,原不等式即,即. 当时,,解得,∴; 当时,,无解; 当时,,解得,∴; 综上,原不等式的解集为 (II)由得(*) 当时,(*)等价于 即,所以恒成立,所以 当时,(*)等价于 即,所以恒成立,所以 综上,的取值范围是 7.已知函数,. (1)当时,求不等式的解集; (2)设,且当,,求的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】 (1)当时,不等式化为: 当时,不等式化为,解得: 当时,不等式化为,解得: 当时,不等式化为,解得: 综上,原不等式的解集为 (2)由,得, 又 则 不等式化为: 得对都成立 ,解得: 又,故的取值范围是 8.已知函数. (Ⅰ)求不等式的解集; (Ⅱ)若函数的定义域为,求实数的取值范围. 【答案】(I)(II) 【解析】 解:(I)由已知不等式,得, 当时,不等式为,解得,所以; 当时,不等式为,解得,所以; 当时,不等式为,解得,此时无解. 综上:不等式的解集为. (II)若的定义域为,则恒成立. ∵,当且仅当时取等号. ∴,即. 所以实数的取值范围是. 9.已知函数. (Ⅰ)解关于的不等式; (Ⅱ)若恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 解:(I)当时,不等式为:,解得,故. 当时,不等式为:,解得,故1<x<3, 当时,不等式为:,解得,故. 综上,不等式的解集为. (II)由恒成立可得恒成立. 又,故在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增, ∴的最小值为. ∴,解得. 即的最值范围是. 10.已知函数. (Ⅰ)解不等式; (Ⅱ)记函数的最小值为,若均为正实数,且,求的最小值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 (Ⅰ)由题意, , 所以等价于或或. 解得:或,所以不等式的解集为; (Ⅱ)由(1)可知,当时, 取得最小值, 所以,即, 由柯西不等式得, 整理得, 当且仅当时, 即时等号成立. 所以的最小值为. 11.已知函数. (Ⅰ)求时,的解集; (Ⅱ)若有最小值,求的取值范围,并写出相应的最小值. 【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)见解析. 【解析】 (Ⅰ)当时, ∵ 当时解得 当时恒成立 当时解得 综上可得解集. (Ⅱ) 当,即时,无最小值; 当,即时,有最小值; 当且,即时, 当且,即时, 综上:当时,无最小值; 当时,有最小值; 当时, ; 当时, ; 12.选修4-5:不等式选讲 已知函数. (1)求不等式的解集; (2)设集合满足:当且仅当时,,若,求证:. 【答案】(1) ;(2)见解析. 【解析】 (1) 当 时, ,得 ,故; 当 时, ,得 ,故; 当 时, ,得 ,故; 综上,不等式的解集为 (2)由绝对值不等式的性质可知 等价于,当且仅当, 即 时等号成立,故 所以, 所以, 即. 13.[选修4—5:不等式选讲] 已知函数 (1)若,求不等式的解集. (2)对任意的,有,求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】 (1), 所以 解之得不等式的解集为. (2) 当时,由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合, 所以,所以, 当时,不等式恒成立, 当时,由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合, 由题得,所以m没有解. 综上,. 14.已知. (1)证明; (2)若,记的最小值为,解关于的不等式. 【答案】(1)见证明;(2) 【解析】 (1).当且仅当,等号成立 (2)∵,当且仅当a=b=c等号成立 由不等式即. 由得:不等式的解集为. 15.选修4—5:不等式选讲 已知函数,。 (1)当时,求不等式的解集; (2)若的解集包含,求实数的取值范围。 【答案】(1) .(2) . 【解析】 (1)当时,. ①当时,原不等式可化为, 化简得,解得,∴; ②当时,原不等式可化为, 化简得,解得,∴; ③当时,原不等式可化为, 化简得,解得,∴; 综上所述,不等式的解集是; (2)由题意知,对任意的,恒成立, 即对任意的,恒成立, ∵当时,, ∴对任意的,恒成立, ∵,,∴, ∴,即实数的取值范围为. PAGE 1

  • ID:3-6130796 十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题16坐标系与参数方程理(含解析)

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    专题16坐标系与参数方程 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 解答题 2019 参数方程 2019年新课标1理科22 解答题 2018 综合测试题 2018年新课标1理科22 解答题 2017 综合测试题 2017年新课标1理科22 解答题 2016 综合测试题 2016年新课标1理科23 解答题 2015 综合测试题 2015年新课标1理科23 解答题 2014 综合测试题 2014年新课标1理科23 解答题 2013 综合测试题 2013年新课标1理科23 解答题 2012 综合测试题 2012年新课标1理科23 解答题 2011 综合测试题 2011年新课标1理科23 解答题 2010 综合测试题 2010年新课标1理科23 历年高考真题汇编 1.【2019年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11=0. (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值. 【解答】解:(1)由(t为参数),得, 两式平方相加,得(x≠﹣1), ∴C的直角坐标方程为(x≠﹣1), 由2ρcosθρsinθ+11=0,得. 即直线l的直角坐标方程为得; (2)设与直线平行的直线方程为, 联立,得16x2+4mx+m2﹣12=0. 由△=16m2﹣64(m2﹣12)=0,得m=±4. ∴当m=4时,直线与曲线C的切点到直线的距离最小,为. 2.【2018年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. 【解答】解:(1)曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0. 转换为直角坐标方程为:x2+y2+2x﹣3=0, 转换为标准式为:(x+1)2+y2=4. (2)由于曲线C1的方程为y=k|x|+2,则:该射线关于y轴对称,且恒过定点(0,2). 由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点. 所以:必有一直线相切,一直线相交. 则:圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2. 故:,或 解得:k或0, 当k=0时,不符合条件,故舍去, 同理解得:k或0 经检验,直线与曲线C2没有公共点. 故C1的方程为:. 3.【2017年新课标1理科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为 ,(t为参数). (1)若a=﹣1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l距离的最大值为,求a. 【解答】解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),化为标准方程是:y2=1; a=﹣1时,直线l的参数方程化为一般方程是:x+4y﹣3=0; 联立方程, 解得或, 所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(,). (2)l的参数方程(t为参数)化为一般方程是:x+4y﹣a﹣4=0, 椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π), 所以点P到直线l的距离d为: d,φ满足tanφ,且的d的最大值为. ①当﹣a﹣4≤0时,即a≥﹣4时, |5sin(θ+φ)﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=|5+a+4|=17 解得a=8和﹣26,a=8符合题意. ②当﹣a﹣4>0时,即a<﹣4时 |5sin(θ+φ)﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=|5﹣a﹣4|=17, 解得a=﹣16和18,a=﹣16符合题意. 4.【2016年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ. (Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. 【解答】解:(Ⅰ)由,得,两式平方相加得,x2+(y﹣1)2=a2. ∴C1为以(0,1)为圆心,以a为半径的圆. 化为一般式:x2+y2﹣2y+1﹣a2=0.① 由x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0; (Ⅱ)C2:ρ=4cosθ,两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ, ∴x2+y2=4x,② 即(x﹣2)2+y2=4. 由C3:θ=α0,其中α0满足tanα0=2,得y=2x, ∵曲线C1与C2的公共点都在C3上, ∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程, ①﹣②得:4x﹣2y+1﹣a2=0,即为C3 , ∴1﹣a2=0, ∴a=1(a>0). 5.【2015年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程; (Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积. 【解答】解:(Ⅰ)由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2, 故C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1的极坐标方程为: (ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ﹣2)2=1, 化简可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0. (Ⅱ)把直线C3的极坐标方程θ(ρ∈R)代入 圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1, 可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0, 求得ρ1=2,ρ2, ∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|,由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N, △C2MN的面积为?C2M?C2N?1?1. 6.【2014年新课标1理科23】已知曲线C:1,直线l:(t为参数) (Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程. (Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 【解答】解:(Ⅰ)对于曲线C:1,可令x=2cosθ、y=3sinθ, 故曲线C的参数方程为,(θ为参数). 对于直线l:, 由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0; (Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ). P到直线l的距离为. 则,其中α为锐角. 当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为. 7.【2013年新课标1理科23】已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 【解答】解:(1)将,消去参数t,化为普通方程(x﹣4)2+(y﹣5)2=25, 即C1:x2+y2﹣8x﹣10y+16=0, 将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0, 得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0. ∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0. (2)∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ. ∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0, 联立, 解得或, ∴C1与C2交点的极坐标为()和(2,). 8.【2012年新课标1理科23】已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的坐标系方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,). (1)求点A,B,C,D的直角坐标; (2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围. 【解答】解:(1)点A,B,C,D的极坐标为 点A,B,C,D的直角坐标为 (2)设P(x0,y0),则为参数) t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ ∵sin2φ∈[0,1] ∴t∈[32,52] 9.【2011年新课标1理科23】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数)M是C1上的动点,P点满足2,P点的轨迹为曲线C2 (Ⅰ)求C2的方程; (Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|. 【解答】解:(I)设P(x,y),则由条件知M(,).由于M点在C1上, 所以即 从而C2的参数方程为 (α为参数) (Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ. 射线θ与C1的交点A的极径为ρ1=4sin, 射线θ与C2的交点B的极径为ρ2=8sin. 所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|. 10.【2010年新课标1理科23】已知直线C1(t为参数),C2(θ为参数), (Ⅰ)当α时,求C1与C2的交点坐标; (Ⅱ)过坐标原点O做C1的垂线,垂足为A,P为OA中点,当α变化时,求P点的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线. 【解答】解:(Ⅰ)当α时,C1的普通方程为,C2的普通方程为x2+y2=1. 联立方程组, 解得C1与C2的交点为(1,0). (Ⅱ)C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①. 则OA的方程为xcosα+ysinα=0②, 联立①②可得x=sin2α,y=﹣cosαsinα; A点坐标为(sin2α,﹣cosαsinα), 故当α变化时,P点轨迹的参数方程为:, P点轨迹的普通方程. 故P点轨迹是圆心为,半径为的圆. 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:极坐标方程与直角坐标方程的转化,极坐标几何意义的应用,参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用。历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为:极坐标方程与直角坐标方程的转化,参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点极坐标方程与直角坐标方程的转化,参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以直角坐标系的原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆的极坐标方程; (2)设曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,求三条曲线,,所围成图形的面积. 【答案】(1); (2). 【解析】 (1)由条件得圆的直角坐标方程为, 得,将,代入, 得, 即,则, 所以圆的极坐标方程为. (2)由条件知曲线和是过原点的两条射线,设和分别与圆交于异于点的点和, 将代入圆的极坐标方程,得,所以; 将代入圆的极坐标方程,得,所以. 由(1)得圆的圆心为,其极坐标为,故射线经过圆心, 所以,. 所以, 扇形的面积为, 故三条曲线,,所围成图形的面积为. 2.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数). (Ⅰ)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程; (Ⅱ)若射线与有两个不同的交点、,求的取值范围. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) 【解析】 解:(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为,即, 又,,, 所以曲线的极坐标方程为. (Ⅱ)联立射线与曲线,得,设, , , 又圆心的极坐标为,所以的取值范围是, 所以,,, 所以的取值范围为. 3.选修4-4:坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数),点的坐标为. (1)若点在曲线上运动,点在线段上运动,且,求动点的轨迹方程. (2)设直线与曲线交于两点,求的值. 【答案】(1)(2) 【解析】 (1)设,, 则由,得, 即 消去,得,此即为点的轨迹方程. (2)曲线的普通方程为,直线的普通方程, 设为直线的倾斜角,则,, 则直线的参数方程可设为(为参数), 代入曲线的普通方程,得, 由于, 故可设点对应的参数为,, 则. 4.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)求的直角坐标方程; (2)已知,与的交点为,求的值. 【答案】(1);(2)20 【解析】 (1)由,得, ∴,即. (2)设, 把代入, 得,则是该方程的两个实数根, ∴,故. 5.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与轴交于点,与曲线交于两点,. (1)求曲线的直角坐标方程; (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 解:(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ, 把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入,可得x2+y2﹣2y=0. ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0; (2)将直线l的参数方程代入圆的方程,得t2+(2cosα﹣2sinα)t+1=0. 由△=(2cosα﹣2sinα)2﹣4>0,得sin2α<0, 且t1+t2=﹣2cosα+2sinα,t1t2=1. ∴. sin2α<0∴ 即的取值范围是(2,6]. 6.在直角坐标系中,圆的参数方程为 (为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求的极坐标方程和直线的直角坐标方程; (2)射线与圆的交点为,,与直线的交点为,求的取值范围. 【答案】(1)圆的极坐标方程为.直线的直角坐标方程为.(2) 【解析】 (1)圆的普通方程是, 将,代入上式:,化简得:, 所以圆的极坐标方程为. 直线的极坐标方程为, 将,代人上式,得:, ∴直线的直角坐标方程为. (2)设,因为点在圆上,则有, 设,因为点在直线,则有, 所以, ∵,∴,∴, ∴,即, 故的范围为. 7.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为,( 为参数).直线与曲线分别交于、两点. (1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程; (2)若点的直角坐标为,,求的值. 【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程为.(2) 【解析】 (1)由,得, 所以曲线的直角坐标方程为,即, 由直线的参数方程得直线的普通方程为. (2)将直线的参数方程代入, 化简并整理,得. 因为直线与曲线分别交于、两点,所以, 解得,由一元二次方程根与系数的关系,得 ,, 又因为,所以. 因为点的直角坐标为,且在直线上, 所以, 解得,此时满足,故. 8.曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程; (2)若直线与曲线,的交点分别为、(、异于原点),当斜率时,求的最小值. 【答案】(1)的极坐标方程为;曲线的直角坐标方程.(2) 【解析】 (1) 由题曲线的参数方程为(为参数),消去参数, 可得曲线的直角坐标方程为,即, 则曲线的极坐标方程为,即, 又因为曲线的极坐标方程为,即, 根据,代入即可求解曲线的直角坐标方程. (2)解法1:设直线的倾斜角为, 则直线的参数方程为(为参数,), 把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:, 解得,,, 把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:, 解得,,, , ,即,,, , 当且仅当,即时去等号, 故的最小值为. 解法2:设直线的极坐标方程为), 代入曲线的极坐标方程,得,, 把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得:, ,即,, 曲线的参,即, ,,, 当且仅当,即时去等号, 故的最小值为. 9.在直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),把曲线向左平移2个单位,再把图象上的每一点纵坐标缩短为原来的一半(横坐标不变),得到曲线,直线的普通方程是,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线的极坐标方程和曲线的普通方程; (2)记射线与交于点,与交于点,求的值. 【答案】(1),;(2). 【解析】 (1)曲线C的普通方程为:,经过变换后得到的方程为:, 即的普通方程为:. 直线的极坐标方程为:,即:. (2)由(1)可求的极坐标方程为:,令解得:,即:,∴, 同理直线的极坐标方程中令有:, 故. 10.在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为,倾斜角为的直线经过点. (1)写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程; (2)设直线与曲线交于两点,求的取值范围. 【答案】(1),;(2). 【解析】 (1)由可得,,即. 设点,则,,即点, ∴直线的参数方程为(为参数) (2)将直线的参数方程代入得,, 恒成立, 设点对应的参数为,点对应的参数为, 则,, 则 . 11.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求圆的极坐标方程; (2)已知射线,若与圆交于点(异于点),与直线交于点,求的最大值. 【答案】(1);(2)3 【解析】 (1)由圆的参数方程为消去参数, 得到圆的普通方程为,即, 所以其极坐标方程为,即; (2)由题意,将代入圆的极坐标方程得; 将代入线的极坐标方程,得, 所以 , 因为, 所以, 因此,当,即时,取得最大值3. 12.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的方程为,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求直线和曲线的极坐标方程; (2)设直线与曲线交于,两点,求的值. 【答案】(1):,:;(2) 【解析】 (1)由得,所以的极坐标方程为, 由得, 又因为,,, 所以曲线的极坐标方程为. (2)将代入, 可得,即, 所以,, 由极坐标几何意义得. 13.在直角坐标系中,曲线的方程为,过点且斜率为的直线与曲线相切于点. (1)以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程和点的极坐标; (2)若点在曲线上,求面积的最大值. 【答案】(1) ;点的极坐标为或.(2) 【解析】 解(1)由得 故曲线的极坐标方程为,即, 如图:当与圆相切时,, ∴, ∴为等边三角形, ∴,, ∴点的极坐标为或. (2)由于圆、点、点均关于轴对称, 故不论点A在何处,都不会影响面积最大值的取得. 不妨取,设, 则, ∴ , ∵, ∴, ∴, ∴, ∴,即时,面积取得最大值. 14.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的圆心为. (1)说明是哪一种曲线,并将的方程化为极坐标方程; (2)过原点且与直线 (为参数,)平行的直线与的交点为,,且的面积为2,求的值. 【答案】(1)是以为圆心,为半径的圆;极坐标方程为;(2)或 【解析】 (1)消去参数得到的普通方程为: 是以为圆心,为半径的圆 将,代入的普通方程中 得到的极坐标方程为: (2)直线的极坐标方程为,与的交点分别为, ,得 得:或 15.在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数,).以坐标原点 为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为. (l)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程: (2)若直线与曲线C相交于A,B两点,且.求直线 的方程. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 (1)由消去参数t得(), 由得曲线C的直角坐标方程为: (2)由得,圆心为(1,0),半径为2, 圆心到直线的距离为, ∴,即,整理得 ,∵,∴,,, 所以直线l的方程为:. PAGE 1

  • ID:3-6130794 十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题15算法理(含解析)

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    专题15算法 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 单选题 2019 程序框图 2019年新课标1理科08 单选题 2017 程序框图 2017年新课标1理科08 单选题 2016 程序框图 2016年新课标1理科09 单选题 2015 程序框图 2015年新课标1理科09 单选题 2014 程序框图 2014年新课标1理科07 单选题 2013 程序框图 2013年新课标1理科05 单选题 2012 程序框图 2012年新课标1理科06 单选题 2011 程序框图 2011年新课标1理科03 单选题 2010 程序框图 2010年新课标1理科07 历年高考真题汇编 1.【2019年新课标1理科08】如图是求的程序框图,图中空白框中应填入(  ) A.A B.A=2 C.A D.A=1 【解答】解:模拟程序的运行,可得: A,k=1; 满足条件k≤2,执行循环体,A,k=2; 满足条件k≤2,执行循环体,A,k=3; 此时,不满足条件k≤2,退出循环,输出A的值为, 观察A的取值规律可知图中空白框中应填入A. 故选:A. 2.【2017年新课标1理科08】如图程序框图是为了求出满足3n﹣2n>1000的最小偶数n,那么在和两个空白框中,可以分别填入(    ) A.A>1000和n=n+1 B.A>1000和n=n+2 C.A≤1000和n=n+1 D.A≤1000和n=n+2 【解答】解:因为要求A>1000时输出,且框图中在“否”时输出, 所以“”内不能输入“A>1000”, 又要求n为偶数,且n的初始值为0, 所以“”中n依次加2可保证其为偶数, 所以D选项满足要求, 故选:D. 3.【2016年新课标1理科09】执行下面的程序框图,如果输入的x=0,y=1,n=1,则输出x,y的值满足(  ) A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x 【解答】解:输入x=0,y=1,n=1, 则x=0,y=1,不满足x2+y2≥36,故n=2, 则x,y=2,不满足x2+y2≥36,故n=3, 则x,y=6,满足x2+y2≥36, 故y=4x, 故选:C. 4.【2015年新课标1理科09】执行如图所示的程序框图,如果输入的t=0.01,则输出的n=(    ) A.5 B.6 C.7 D.8 【解答】解:第一次执行循环体后,S,m,n=1,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S,m,n=2,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S,m,n=3,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S,m,n=4,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S,m,n=5,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S,m,n=6,不满足退出循环的条件; 再次执行循环体后,S,m,n=7,满足退出循环的条件; 故输出的n值为7, 故选:C. 5.【2014年新课标1理科07】执行如图的程序框图,若输入的a,b,k分别为1,2,3,则输出的M=(    ) A. B. C. D. 【解答】解:由程序框图知:第一次循环M=1,a=2,b,n=2; 第二次循环M=2,a,b,n=3; 第三次循环M,a,b,n=4. 不满足条件n≤3,跳出循环体,输出M. 故选:D. 6.【2013年新课标1理科05】执行程序框图,如果输入的t∈[﹣1,3],则输出的s属于(    ) A.[﹣3,4] B.[﹣5,2] C.[﹣4,3] D.[﹣2,5] 【解答】解:由判断框中的条件为t<1,可得: 函数分为两段,即t<1与t≥1, 又由满足条件时函数的解析式为:s=3t; 不满足条件时,即t≥1时,函数的解析式为:s=4t﹣t2 故分段函数的解析式为:s, 如果输入的t∈[﹣1,3],画出此分段函数在t∈[﹣1,3]时的图象, 则输出的s属于[﹣3,4]. 故选:A. 7.【2012年新课标1理科06】如果执行右边的程序框图,输入正整数N(N≥2)和实数a1,a2,…,an,输出A,B,则(    ) A.A+B为a1,a2,…,an的和 B.为a1,a2,…,an的算术平均数 C.A和B分别是a1,a2,…,an中最大的数和最小的数 D.A和B分别是a1,a2,…,an中最小的数和最大的数 【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序, 可知,该程序的作用是:求出a1,a2,…,an中最大的数和最小的数 其中A为a1,a2,…,an中最大的数,B为a1,a2,…,an中最小的数 故选:C. 8.【2011年新课标1理科03】执行如图的程序框图,如果输入的N是6,那么输出的p是(    ) A.120 B.720 C.1440 D.5040 【解答】解:执行程序框图,有 N=6,k=1,p=1 P=1,k<N成立,有k=2 P=2,k<N成立,有k=3 P=6,k<N成立,有k=4 P=24,k<N成立,有k=5 P=120,k<N成立,有k=6 P=720,k<N不成立,输出p的值为720. 故选:B. 9.【2010年新课标1理科07】如果执行如图的框图,输入N=5,则输出的数等于(    ) A. B. C. D. 【解答】解:分析程序中各变量、各语句的作用, 再根据流程图所示的顺序,可知: 该程序的作用是累加并输出S的值. ∵S1 故选:D. 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:算法的逻辑结构,顺序结构、条件结构、循环结构,程序框图和算法思想,求程序框图中的执行结果和确定控制条件.历年考题主要以选择填空题型出现,重点考查的知识点为:算法的循环结构,程序框图和算法思想.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以算法的循环结构,程序框图和算法思想为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.我国古代数学专著《九章算术》中有一个“两鼠穿墙题”,其内容为:“今有垣厚五尺,两鼠对穿,大鼠日一尺,小鼠也日一尺,大鼠日自倍,小鼠日自半.问何日相逢?各穿几何?”如图的程序框图源于这个题目,执行该程序框图,若输入x=20,则输出的结果为(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】C 【解析】 第1步:T=2,S=2,S<20成立,a=2,b=,n=2, 第2步:T=,S=,S<20成立,a=4,b=,n=3, 第3步:T=,S=,S<20成立,a=8,b=,n=4, 第4步:T=,S=,S<20成立,a=16,b=,n=5, 第5步:T=,S=,S<20不成立,退出循环,输出n=5,故选C. 2.如图所示的程序框图,若x=5,则运算多少次停止( ) A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】C 【解析】 输入, 第一步:,进入循环; 第二步:,进入循环; 第三步:,进入循环; 第四步:,结束循环,输出结果; 共运行4次. 故选C 3.正整数除以后的余数为,记为,如.执行如图的程序框图,则输出的数是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 依题意,进入内循环时为10,出内循环时被4除余数是3,即此时, 外循环当除以5余数是2时结束循环, 综合两个循环,输出的比11大,且被4除余3,被5除余2, 所以该数,所以, 所以, 所以当时符合条件,即,故选C. 4.执行如图所示的程序框图,输出的值为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由程序框图可知: 若,即,解得: 即当时, 此时输出: 本题正确选项: 5.为了计算,设计如图所示的程序框图,则在空白框中应填入(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 由, 即,. 则每次循环,增加2个数,即. 故选:B. 6.如图程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若输入的,分别为16,20,则输出的( ) A.14 B.4 C.2 D.0 【答案】B 【解析】 解:初始值:,, 第1次循环:满足,不满足,, 第2次循环:满足,满足,, 第3次循环:满足,满足,, 第4次循环:满足,满足,, 不满足,输出, 故选:B. 7.执行如图所示的程序框图,则输出的S值为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 第1步:a=7-2n=5,a>0成立,S=S+a=5,n=2; 第2步:a=7-2n=3,a>0成立,S=S+a=8,n=3; 第3步:a=7-2n=1,a>0成立,S=S+a=9,n=4; 第4步:a=7-2n=-1,a>0不成立,退出循环,输出S=9。 选D. 8.某程序框图如图所示,若该程序运行后输出的值是,则的值是( ) A.7 B.6 C.5 D.4 【答案】D 【解析】 模拟执行程序框图,可得 , 不满足条件,, 不满足条件,, 不满足条件,, 不满足条件,, 根据题意,此时应该满足条件,退出循环,输出的值为. 故选:. 9.执行如图的程序框图,如果输出的S=3,则输入的t=(  ) A. B. C.1或3 D.1或 【答案】C 【解析】 由已知中的程序语句可知:该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值, 由于输出的S=3, 则当t≥1时,可得:4t-t2=3,解得:t=3或1, 当t<1时,可得:3t=3,解得t=1(舍去). 故选:C. 10.如图是一个算法流程图,则输出的结果是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意,执行上述的程序框图: 第1次循环:满足判断条件,; 第2次循环:满足判断条件,; 第3次循环:满足判断条件,; 不满足判断条件,输出计算结果, 故选A. 11.《九章算术》中有如下问题:“今有牛、羊、马食人苗,苗主责之粟五斗,主日:‘我羊食半马.’马主日:‘ 我马食半牛.’今欲衰偿之,问各出几何?”翻译为:今有牛、马、羊吃了别人的禾苗,禾苗主人要求赔偿斗粟.羊主人说:“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说“我马吃的禾苗只有牛的一半”打算按此比率偿还,问:牛、马、羊的主人各应赔偿多少粟?已知斗=升,针对这一问题,设计程序框图如图所示,若输出的值为,则( ) A. B.. C. D. 【答案】B 【解析】 运行该程序,第一次循环,,;第二循环,,; 第三次循环,,此时要输出的值,则,解得,故选. 12.在如图所示的计算程序框图中,判断框内应填入的条件是( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由题意结合流程图可知当时,程序应执行,, 再次进入判断框时应该跳出循环,输出的值; 结合所给的选项可知判断框内应填入的条件是. 故选:A. 13.如图所示的程序框图所实现的功能是( ) A.输入的值,计算 B.输入的值,计算 C.输入的值,计算 D.输入的值,计算 【答案】B 【解析】 由程序框图,可知, 由的初值为,末值为 可知,此递推公式共执行了次 又由,得,得 即: 故 本题正确选项: 14.执行如图所示的程序框图,如果输入的,那么输出的值不可能为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 输入的, 当时,y=2x,可能是B、C; 当时,y=x2-2x,可能是A; 所以,不可能是y=2, 故选:D 15.阅读如图所示的程序框图,则输出的( ) A.30 B.29 C.90 D.54 【答案】D 【解析】 模拟程序的运行,可得,执行循环体,; 不满足条件,执行循环体,; 不满足条件,执行循环体,; 不满足条件,执行循环体,; 此时,满足条件,退出循环,输出的值为54. 故应选D. 16.执行如图所示的程序框图,若输出的,则判断框内应填入的条件是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 由程序框图可得:初始值为, 第一步:,需要继续循环; 第二步:,需要继续循环; 第三步:,需要进入循环; 。。。。 由此可知,该程序框图即是计算等比数列的前项和, 又数列的前项和为, 由可得; 即该程序框图需要计算, 因此判断框中需要填入 故选C 17.执行如图所示的程序框图,则输出的( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】 由题意,执行给定的程序框图,可知: 第1次循环,不满足判断条件,; 第2次循环,不满足判断条件,; 第3次循环,不满足判断条件,, 满足判断条件,终止循环,输出,故选B. 18.执行下面程序框图,若输入的的值分别为0和44,则输出的值为( ) A.4 B.7 C.10 D.13 【答案】C 【解析】 第一次循环:; 第二次循环:; 第三次循环:; 第四次循环:,刚好满足条件, 结束循环,此时输出.故选. 19.执行如图所示的程序框图,若输出结果为1,则可输入的实数值的个数为(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【解析】 根据题意,该框图的含义是: 当 时,得到函数 ;当时,得到函数, 因此,若输出的结果为1时, (1) 若,得到,解得, (2) 若,得到,解得, 因此,可输入的实数的值可能为 , ,共有2个。 故答案选B。 20.运行程序框图,如果输入某个正数后,输出的,那么的值为( ) A.3 B.4 C.5 D.6 【答案】B 【解析】 依次运行框图中的程序,可得: 第一次:; 第二次:; 第三次:; 第四次:; 第五次:; …… 因为输出的, 所以程序运行完第四次即可满足题意,所以判断框中的值为4. 故选B. PAGE 4

  • ID:3-6130782 十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题15不等式选讲文(含解析)

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    专题15不等式选讲 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 解答题 2019 不等式选讲 2019年新课标1文科23 解答题 2018 综合测试题 2018年新课标1文科23 解答题 2017 综合测试题 2017年新课标1文科23 解答题 2016 综合测试题 2016年新课标1文科24 解答题 2015 综合测试题 2015年新课标1文科24 解答题 2014 综合测试题 2014年新课标1文科24 解答题 2013 综合测试题 2013年新课标1文科24 解答题 2012 综合测试题 2012年新课标1文科24 解答题 2011 综合测试题 2011年新课标1文科24 解答题 2010 综合测试题 2010年新课标1文科24 历年高考真题汇编 1.【2019年新课标1文科23】已知a,b,c为正数,且满足abc=1.证明: (1)a2+b2+c2; (2)(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24. 【解答】证明:(1)分析法:已知a,b,c为正数,且满足abc=1. 要证(1)a2+b2+c2;因为abc=1. 就要证:a2+b2+c2; 即证:bc+ac+ab≤a2+b2+c2; 即:2bc+2ac+2ab≤2a2+2b2+2c2; 2a2+2b2+2c2﹣2bc﹣2ac﹣2ab≥0 (a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0; ∵a,b,c为正数,且满足abc=1. ∴(a﹣b)2≥0;(a﹣c)2≥0;(b﹣c)2≥0恒成立;当且仅当:a=b=c=1时取等号. 即(a﹣b)2+(a﹣c)2+(b﹣c)2≥0得证. 故a2+b2+c2得证. (2)证(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24成立; 即:已知a,b,c为正数,且满足abc=1. (a+b)为正数;(b+c)为正数;(c+a)为正数; (a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)?(b+c)?(c+a); 当且仅当(a+b)=(b+c)=(c+a)时取等号;即:a=b=c=1时取等号; ∵a,b,c为正数,且满足abc=1. (a+b)≥2;(b+c)≥2;(c+a)≥2; 当且仅当a=b,b=c;c=a时取等号;即:a=b=c=1时取等号; ∴(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥3(a+b)?(b+c)?(c+a)≥3×8??24abc=24; 当且仅当a=b=c=1时取等号; 故(a+b)3+(b+c)3+(c+a)3≥24.得证. 故得证. 2.【2018年新课标1文科23】已知f(x)=|x+1|﹣|ax﹣1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (2)若x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立,求a的取值范围. 【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=|x+1|﹣|x﹣1|, 由f(x)>1, ∴或, 解得x, 故不等式f(x)>1的解集为(,+∞), (2)当x∈(0,1)时不等式f(x)>x成立, ∴|x+1|﹣|ax﹣1|﹣x>0, 即x+1﹣|ax﹣1|﹣x>0, 即|ax﹣1|<1, ∴﹣1<ax﹣1<1, ∴0<ax<2, ∵x∈(0,1), ∴a>0, ∴0<x, ∴a ∵2, ∴0<a≤2, 故a的取值范围为(0,2]. 3.【2017年新课标1文科23】已知函数f(x)=﹣x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x﹣1|. (1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[﹣1,1],求a的取值范围. 【解答】解:(1)当a=1时,f(x)=﹣x2+x+4,是开口向下,对称轴为x的二次函数, g(x)=|x+1|+|x﹣1|, 当x∈(1,+∞)时,令﹣x2+x+4=2x,解得x,g(x)在(1,+∞)上单调递增,f(x)在(1,+∞)上单调递减,∴此时f(x)≥g(x)的解集为(1,]; 当x∈[﹣1,1]时,g(x)=2,f(x)≥f(﹣1)=2. 当x∈(﹣∞,﹣1)时,g(x)单调递减,f(x)单调递增,且g(﹣1)=f(﹣1)=2. 综上所述,f(x)≥g(x)的解集为[﹣1,]; (2)依题意得:﹣x2+ax+4≥2在[﹣1,1]恒成立,即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1,1]恒成立,则只需,解得﹣1≤a≤1, 故a的取值范围是[﹣1,1]. 4.【2016年新课标1文科24】已知函数f(x)=|x+1|﹣|2x﹣3|. (Ⅰ)在图中画出y=f(x)的图象; (Ⅱ)求不等式|f(x)|>1的解集. 【解答】解:(Ⅰ)f(x), 由分段函数的图象画法,可得f(x)的图象,如右: (Ⅱ)由|f(x)|>1,可得 当x≤﹣1时,|x﹣4|>1,解得x>5或x<3,即有x≤﹣1; 当﹣1<x时,|3x﹣2|>1,解得x>1或x, 即有﹣1<x或1<x; 当x时,|4﹣x|>1,解得x>5或x<3,即有x>5或x<3. 综上可得,x或1<x<3或x>5. 则|f(x)|>1的解集为(﹣∞,)∪(1,3)∪(5,+∞). 5.【2015年新课标1文科24】已知函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|,a>0. (Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集; (Ⅱ)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,不等式f(x)>1,即|x+1|﹣2|x﹣1|>1, 即①,或②, 或③. 解①求得x∈?,解②求得x<1,解③求得1≤x<2. 综上可得,原不等式的解集为(,2). (Ⅱ)函数f(x)=|x+1|﹣2|x﹣a|, 由此求得f(x)的图象与x轴的交点A (,0), B(2a+1,0), 故f(x)的图象与x轴围成的三角形的第三个顶点C(a,a+1), 由△ABC的面积大于6, 可得[2a+1]?(a+1)>6,求得a>2. 故要求的a的范围为(2,+∞). 6.【2014年新课标1文科24】若a>0,b>0,且. (Ⅰ)求a3+b3的最小值; (Ⅱ)是否存在a,b,使得2a+3b=6?并说明理由. 【解答】解:(Ⅰ)∵a>0,b>0,且, ∴2,∴ab≥2, 当且仅当a=b时取等号. ∵a3+b3 ≥224,当且仅当a=b时取等号, ∴a3+b3的最小值为4. (Ⅱ)∵2a+3b≥22,当且仅当2a=3b时,取等号. 而由(1)可知,2246, 故不存在a,b,使得2a+3b=6成立. 7.【2013年新课标1文科24】已知函数f(x)=|2x﹣1|+|2x+a|,g(x)=x+3. (Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)的解集; (Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[,]时,f(x)≤g(x),求a的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)当a=﹣2时,求不等式f(x)<g(x)化为|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3<0. 设y=|2x﹣1|+|2x﹣2|﹣x﹣3,则y,它的图象如图所示: 结合图象可得,y<0的解集为(0,2),故原不等式的解集为(0,2). (Ⅱ)设a>﹣1,且当x∈[,]时,f(x)=1+a,不等式化为1+a≤x+3, 故x≥a﹣2对x∈[,]都成立. 故a﹣2, 解得a, 故a的取值范围为(﹣1,]. 8.【2012年新课标1文科24】已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2| ①当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集; ②f(x)≤|x﹣4|若的解集包含[1,2],求a的取值范围. 【解答】解:(1)当a=﹣3时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即 ,可得x≤1; ,可得x∈?; ,可得x≥4. 取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}. (2)原命题即f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1,2]上恒成立, 等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立. 故当 1≤x≤2时,﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x的最小值为0, 故a的取值范围为[﹣3,0]. 9.【2011年新课标1文科24】设函数f(x)=|x﹣a|+3x,其中a>0. (Ⅰ)当a=1时,求不等式f(x)≥3x+2的解集 (Ⅱ)若不等式f(x)≤0的解集为{x|x≤﹣1},求a的值. 【解答】解:(Ⅰ)当a=1时,f(x)≥3x+2可化为 |x﹣1|≥2. 由此可得x≥3或x≤﹣1. 故不等式f(x)≥3x+2的解集为 {x|x≥3或x≤﹣1}. (Ⅱ)由f(x)≤0得 |x﹣a|+3x≤0 此不等式化为不等式组 或 即或 因为a>0,所以不等式组的解集为{x|x} 由题设可得1,故a=2 10.【2010年新课标1文科24】设函数f(x)=|2x﹣4|+1. (Ⅰ)画出函数y=f(x)的图象: (Ⅱ)若不等式f(x)≤ax的解集非空,求a的取值范围. 【解答】解:(Ⅰ)由于f(x), 函数y=f(x)的图象如图所示. (Ⅱ)由函数y=f(x)与函数y=ax的图象可知,极小值在点(2,1) 当且仅当a<﹣2或a时,函数y=f(x)与函数y=ax的图象有交点. 故不等式f(x)≤ax的解集非空时, a的取值范围为(﹣∞,﹣2)∪[,+∞). 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.求解的一般方法是去掉绝对值,也可以借助数形结合求解.历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为解绝对值不等式、证明不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,求含有绝对值的函数最值也是考查的热点.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点解绝对值不等式、利用不等式恒成立求参数的值或范围,证明不等式为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.已知函数. (1)当时,求不等式的解集; (2)若时不等式成立,求实数的取值范围. 【答案】(1)或;(2)空集. 【解析】 解:(1)不等式,即. 可得,或或, 解得或,所以不等式的解集为. (2)当时,,所以, 由得,即, 则,该不等式无解, 所以实数的取值范围是空集(或者). 2.已知. (1)求不等式的解集; (2)设、、为正实数,且,求证:. 【答案】(1) (2)见证明 【解析】 (1)①时,, 由,∴,∴,即, ②时,,由,∴,∴,即, ③时,,由,∴,∴,可知无解, 综上,不等式的解集为; (2)∵,∴, ∴,且为正实数 ∴, ∵,,, ∴, ∴ 又为正实数,∴可以解得. 3.[选修4—5:不等式选讲] 已知函数. (1)当,求不等式的解集; (2)对于任意实数,不等式恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】 (1)当时,为: 当时,不等式为:,解得:,无解 当时,不等式为:,解得:,此时 当时,不等式为:,解得:,此时 综上所述,不等式的解集为 (2)对于任意实数,,不等式恒成立等价于 因为,当且仅当时等号成立 所以 因为时,, 函数单调递增区间为,单调递减区间为 当时, ,又,解得: 实数的取值范围 4.选修4-5不等式选讲 已知关于的不等式的解集为,其中. (1)求的值; (2)若正数,,满足,求证:. 【答案】(1)(2)见证明 【解析】 (1)由题意知: 即或 化简得:或 不等式组的解集为 ,解得: (2)由(1)可知, 由基本不等式有:,, 三式相加可得: ,即: 5.选修4-5:不等式选讲 已知函数 (1)当时,解不等式; (2)若存在满足,求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 (1)当时,, 当时,不等式等价于,解得,; 当时,不等式等价于,解得,; 当时,不等式等价于,解得,. 综上所述,原不等式的解集为. (2)由,得, 而, (当且仅当时等号成立) 由题可知,即, 解得实数的取值范围是. 6.已知函数. (Ⅰ)当时,求不等式的解集; (Ⅱ)若时,不等式成立,求的取值范围. 【答案】(I);(II) 【解析】 (I)当时,原不等式即,即. 当时,,解得,∴; 当时,,无解; 当时,,解得,∴; 综上,原不等式的解集为 (II)由得(*) 当时,(*)等价于 即,所以恒成立,所以 当时,(*)等价于 即,所以恒成立,所以 综上,的取值范围是 7.已知函数,. (1)当时,求不等式的解集; (2)设,且当,,求的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】 (1)当时,不等式化为: 当时,不等式化为,解得: 当时,不等式化为,解得: 当时,不等式化为,解得: 综上,原不等式的解集为 (2)由,得, 又 则 不等式化为: 得对都成立 ,解得: 又,故的取值范围是 8.已知函数. (Ⅰ)求不等式的解集; (Ⅱ)若函数的定义域为,求实数的取值范围. 【答案】(I)(II) 【解析】 解:(I)由已知不等式,得, 当时,不等式为,解得,所以; 当时,不等式为,解得,所以; 当时,不等式为,解得,此时无解. 综上:不等式的解集为. (II)若的定义域为,则恒成立. ∵,当且仅当时取等号. ∴,即. 所以实数的取值范围是. 9.已知函数. (Ⅰ)解关于的不等式; (Ⅱ)若恒成立,求实数的取值范围. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 解:(I)当时,不等式为:,解得,故. 当时,不等式为:,解得,故1<x<3, 当时,不等式为:,解得,故. 综上,不等式的解集为. (II)由恒成立可得恒成立. 又,故在上单调递减,在上单调递减,在上单调递增, ∴的最小值为. ∴,解得. 即的最值范围是. 10.已知函数. (Ⅰ)解不等式; (Ⅱ)记函数的最小值为,若均为正实数,且,求的最小值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ). 【解析】 (Ⅰ)由题意, , 所以等价于或或. 解得:或,所以不等式的解集为; (Ⅱ)由(1)可知,当时, 取得最小值, 所以,即, 由柯西不等式得, 整理得, 当且仅当时, 即时等号成立. 所以的最小值为. 11.已知函数. (Ⅰ)求时,的解集; (Ⅱ)若有最小值,求的取值范围,并写出相应的最小值. 【答案】(Ⅰ); (Ⅱ)见解析. 【解析】 (Ⅰ)当时, ∵ 当时解得 当时恒成立 当时解得 综上可得解集. (Ⅱ) 当,即时,无最小值; 当,即时,有最小值; 当且,即时, 当且,即时, 综上:当时,无最小值; 当时,有最小值; 当时, ; 当时, ; 12.选修4-5:不等式选讲 已知函数. (1)求不等式的解集; (2)设集合满足:当且仅当时,,若,求证:. 【答案】(1) ;(2)见解析. 【解析】 (1) 当 时, ,得 ,故; 当 时, ,得 ,故; 当 时, ,得 ,故; 综上,不等式的解集为 (2)由绝对值不等式的性质可知 等价于,当且仅当, 即 时等号成立,故 所以, 所以, 即. 13.[选修4—5:不等式选讲] 已知函数 (1)若,求不等式的解集. (2)对任意的,有,求实数的取值范围. 【答案】(1);(2) 【解析】 (1), 所以 解之得不等式的解集为. (2) 当时,由题得2必须在3m+1的右边或者与3m+1重合, 所以,所以, 当时,不等式恒成立, 当时,由题得2必须在3m+1的左边或者与3m+1重合, 由题得,所以m没有解. 综上,. 14.已知. (1)证明; (2)若,记的最小值为,解关于的不等式. 【答案】(1)见证明;(2) 【解析】 (1).当且仅当,等号成立 (2)∵,当且仅当a=b=c等号成立 由不等式即. 由得:不等式的解集为. 15.选修4—5:不等式选讲 已知函数,。 (1)当时,求不等式的解集; (2)若的解集包含,求实数的取值范围。 【答案】(1) .(2) . 【解析】 (1)当时,. ①当时,原不等式可化为, 化简得,解得,∴; ②当时,原不等式可化为, 化简得,解得,∴; ③当时,原不等式可化为, 化简得,解得,∴; 综上所述,不等式的解集是; (2)由题意知,对任意的,恒成立, 即对任意的,恒成立, ∵当时,, ∴对任意的,恒成立, ∵,,∴, ∴,即实数的取值范围为. PAGE 1

  • ID:3-6130778 十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题14坐标系与参数方程文(含解析)

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    专题14坐标系与参数方程 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 解答题 2019 参数方程 2019年新课标1文科22 解答题 2018 综合测试题 2018年新课标1文科22 解答题 2017 综合测试题 2017年新课标1文科22 解答题 2016 综合测试题 2016年新课标1文科23 解答题 2015 综合测试题 2015年新课标1文科23 解答题 2014 综合测试题 2014年新课标1文科23 解答题 2013 综合测试题 2013年新课标1文科23 解答题 2012 综合测试题 2012年新课标1文科23 解答题 2011 综合测试题 2011年新课标1文科23 解答题 2010 综合测试题 2010年新课标1文科23 历年高考真题汇编 1.【2019年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为(t为参数).以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线l的极坐标方程为2ρcosθρsinθ+11=0. (1)求C和l的直角坐标方程; (2)求C上的点到l距离的最小值. 【解答】解:(1)由(t为参数),得, 两式平方相加,得(x≠﹣1), ∴C的直角坐标方程为(x≠﹣1), 由2ρcosθρsinθ+11=0,得. 即直线l的直角坐标方程为得; (2)设与直线平行的直线方程为, 联立,得16x2+4mx+m2﹣12=0. 由△=16m2﹣64(m2﹣12)=0,得m=±4. ∴当m=4时,直线与曲线C的切点到直线的距离最小,为. 2.【2018年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中,曲线C1的方程为y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0. (1)求C2的直角坐标方程; (2)若C1与C2有且仅有三个公共点,求C1的方程. 【解答】解:(1)曲线C2的极坐标方程为ρ2+2ρcosθ﹣3=0. 转换为直角坐标方程为:x2+y2+2x﹣3=0, 转换为标准式为:(x+1)2+y2=4. (2)由于曲线C1的方程为y=k|x|+2,则:该射线关于y轴对称,且恒过定点(0,2). 由于该射线与曲线C2的极坐标有且仅有三个公共点. 所以:必有一直线相切,一直线相交. 则:圆心到直线y=kx+2的距离等于半径2. 故:,或 解得:k或0, 当k=0时,不符合条件,故舍去, 同理解得:k或0 经检验,直线与曲线C2没有公共点. 故C1的方程为:. 3.【2017年新课标1文科22】在直角坐标系xOy中,曲线C的参数方程为,(θ为参数),直线l的参数方程为 ,(t为参数). (1)若a=﹣1,求C与l的交点坐标; (2)若C上的点到l距离的最大值为,求a. 【解答】解:(1)曲线C的参数方程为(θ为参数),化为标准方程是:y2=1; a=﹣1时,直线l的参数方程化为一般方程是:x+4y﹣3=0; 联立方程, 解得或, 所以椭圆C和直线l的交点为(3,0)和(,). (2)l的参数方程(t为参数)化为一般方程是:x+4y﹣a﹣4=0, 椭圆C上的任一点P可以表示成P(3cosθ,sinθ),θ∈[0,2π), 所以点P到直线l的距离d为: d,φ满足tanφ,且的d的最大值为. ①当﹣a﹣4≤0时,即a≥﹣4时, |5sin(θ+φ)﹣a﹣4|≤|﹣5﹣a﹣4|=|5+a+4|=17 解得a=8和﹣26,a=8符合题意. ②当﹣a﹣4>0时,即a<﹣4时 |5sin(θ+φ)﹣a﹣4|≤|5﹣a﹣4|=|5﹣a﹣4|=17, 解得a=﹣16和18,a=﹣16符合题意. 4.【2016年新课标1文科23】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(t为参数,a>0).在以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2:ρ=4cosθ. (Ⅰ)说明C1是哪种曲线,并将C1的方程化为极坐标方程; (Ⅱ)直线C3的极坐标方程为θ=α0,其中α0满足tanα0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a. 【解答】解:(Ⅰ)由,得,两式平方相加得,x2+(y﹣1)2=a2. ∴C1为以(0,1)为圆心,以a为半径的圆. 化为一般式:x2+y2﹣2y+1﹣a2=0.① 由x2+y2=ρ2,y=ρsinθ,得ρ2﹣2ρsinθ+1﹣a2=0; (Ⅱ)C2:ρ=4cosθ,两边同时乘ρ得ρ2=4ρcosθ, ∴x2+y2=4x,② 即(x﹣2)2+y2=4. 由C3:θ=α0,其中α0满足tanα0=2,得y=2x, ∵曲线C1与C2的公共点都在C3上, ∴y=2x为圆C1与C2的公共弦所在直线方程, ①﹣②得:4x﹣2y+1﹣a2=0,即为C3 , ∴1﹣a2=0, ∴a=1(a>0). 5.【2015年新课标1文科23】在直角坐标系xOy中,直线C1:x=﹣2,圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1,以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (Ⅰ)求C1,C2的极坐标方程; (Ⅱ)若直线C3的极坐标方程为θ(ρ∈R),设C2与C3的交点为M,N,求△C2MN的面积. 【解答】解:(Ⅰ)由于x=ρcosθ,y=ρsinθ,∴C1:x=﹣2 的 极坐标方程为 ρcosθ=﹣2, 故C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1的极坐标方程为: (ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ﹣2)2=1, 化简可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0. (Ⅱ)把直线C3的极坐标方程θ(ρ∈R)代入 圆C2:(x﹣1)2+(y﹣2)2=1, 可得ρ2﹣(2ρcosθ+4ρsinθ)+4=0, 求得ρ1=2,ρ2, ∴|MN|=|ρ1﹣ρ2|,由于圆C2的半径为1,∴C2M⊥C2N, △C2MN的面积为?C2M?C2N?1?1. 6.【2014年新课标1文科23】已知曲线C:1,直线l:(t为参数) (Ⅰ)写出曲线C的参数方程,直线l的普通方程. (Ⅱ)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线,交l于点A,求|PA|的最大值与最小值. 【解答】解:(Ⅰ)对于曲线C:1,可令x=2cosθ、y=3sinθ, 故曲线C的参数方程为,(θ为参数). 对于直线l:, 由①得:t=x﹣2,代入②并整理得:2x+y﹣6=0; (Ⅱ)设曲线C上任意一点P(2cosθ,3sinθ). P到直线l的距离为. 则,其中α为锐角. 当sin(θ+α)=﹣1时,|PA|取得最大值,最大值为. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为. 7.【2013年新课标1文科23】已知曲线C1的参数方程为(t为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ. (1)把C1的参数方程化为极坐标方程; (2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 【解答】解:(1)将,消去参数t,化为普通方程(x﹣4)2+(y﹣5)2=25, 即C1:x2+y2﹣8x﹣10y+16=0, 将代入x2+y2﹣8x﹣10y+16=0, 得ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0. ∴C1的极坐标方程为ρ2﹣8ρcosθ﹣10ρsinθ+16=0. (2)∵曲线C2的极坐标方程为ρ=2sinθ. ∴曲线C2的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0, 联立, 解得或, ∴C1与C2交点的极坐标为()和(2,). 8.【2012年新课标1文科23】已知曲线C1的参数方程是(φ为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立坐标系,曲线C2的坐标系方程是ρ=2,正方形ABCD的顶点都在C2上,且A,B,C,D依逆时针次序排列,点A的极坐标为(2,). (1)求点A,B,C,D的直角坐标; (2)设P为C1上任意一点,求|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2的取值范围. 【解答】解:(1)点A,B,C,D的极坐标为 点A,B,C,D的直角坐标为 (2)设P(x0,y0),则为参数) t=|PA|2+|PB|2+|PC|2+|PD|2=4x2+4y2+16=32+20sin2φ ∵sin2φ∈[0,1] ∴t∈[32,52] 9.【2011年新课标1文科23】在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数)M是C1上的动点,P点满足2,P点的轨迹为曲线C2 (Ⅰ)求C2的方程; (Ⅱ)在以O为极点,x轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线θ与C1的异于极点的交点为A,与C2的异于极点的交点为B,求|AB|. 【解答】解:(I)设P(x,y),则由条件知M(,).由于M点在C1上, 所以即 从而C2的参数方程为 (α为参数) (Ⅱ)曲线C1的极坐标方程为ρ=4sinθ,曲线C2的极坐标方程为ρ=8sinθ. 射线θ与C1的交点A的极径为ρ1=4sin, 射线θ与C2的交点B的极径为ρ2=8sin. 所以|AB|=|ρ2﹣ρ1|. 10.【2010年新课标1文科23】已知直线C1(t为参数),C2(θ为参数), (Ⅰ)当α时,求C1与C2的交点坐标; (Ⅱ)过坐标原点O做C1的垂线,垂足为A,P为OA中点,当α变化时,求P点的轨迹的参数方程,并指出它是什么曲线. 【解答】解:(Ⅰ)当α时,C1的普通方程为,C2的普通方程为x2+y2=1. 联立方程组, 解得C1与C2的交点为(1,0). (Ⅱ)C1的普通方程为xsinα﹣ycosα﹣sinα=0①. 则OA的方程为xcosα+ysinα=0②, 联立①②可得x=sin2α,y=﹣cosαsinα; A点坐标为(sin2α,﹣cosαsinα), 故当α变化时,P点轨迹的参数方程为:, P点轨迹的普通方程. 故P点轨迹是圆心为,半径为的圆. 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:极坐标方程与直角坐标方程的转化,极坐标几何意义的应用,参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用。历年考题主要以解答题题型出现,重点考查的知识点为:极坐标方程与直角坐标方程的转化,参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用.预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点极坐标方程与直角坐标方程的转化,参数方程与普通方程的互化,参数方程的应用为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以直角坐标系的原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求圆的极坐标方程; (2)设曲线的极坐标方程为,曲线的极坐标方程为,求三条曲线,,所围成图形的面积. 【答案】(1); (2). 【解析】 (1)由条件得圆的直角坐标方程为, 得,将,代入, 得, 即,则, 所以圆的极坐标方程为. (2)由条件知曲线和是过原点的两条射线,设和分别与圆交于异于点的点和, 将代入圆的极坐标方程,得,所以; 将代入圆的极坐标方程,得,所以. 由(1)得圆的圆心为,其极坐标为,故射线经过圆心, 所以,. 所以, 扇形的面积为, 故三条曲线,,所围成图形的面积为. 2.在平面直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数). (Ⅰ)以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程; (Ⅱ)若射线与有两个不同的交点、,求的取值范围. 【答案】(Ⅰ)(Ⅱ) 【解析】 解:(Ⅰ)曲线的直角坐标方程为,即, 又,,, 所以曲线的极坐标方程为. (Ⅱ)联立射线与曲线,得,设, , , 又圆心的极坐标为,所以的取值范围是, 所以,,, 所以的取值范围为. 3.选修4-4:坐标系与参数方程: 在平面直角坐标系中,已知曲线的参数方程为(为参数),直线的参数方程为(为参数),点的坐标为. (1)若点在曲线上运动,点在线段上运动,且,求动点的轨迹方程. (2)设直线与曲线交于两点,求的值. 【答案】(1)(2) 【解析】 (1)设,, 则由,得, 即 消去,得,此即为点的轨迹方程. (2)曲线的普通方程为,直线的普通方程, 设为直线的倾斜角,则,, 则直线的参数方程可设为(为参数), 代入曲线的普通方程,得, 由于, 故可设点对应的参数为,, 则. 4.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为. (1)求的直角坐标方程; (2)已知,与的交点为,求的值. 【答案】(1);(2)20 【解析】 (1)由,得, ∴,即. (2)设, 把代入, 得,则是该方程的两个实数根, ∴,故. 5.在直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,直线与轴交于点,与曲线交于两点,. (1)求曲线的直角坐标方程; (2)求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 解:(1)由ρ=2sinθ,得ρ2=2ρsinθ, 把ρ2=x2+y2,y=ρsinθ代入,可得x2+y2﹣2y=0. ∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2y=0; (2)将直线l的参数方程代入圆的方程,得t2+(2cosα﹣2sinα)t+1=0. 由△=(2cosα﹣2sinα)2﹣4>0,得sin2α<0, 且t1+t2=﹣2cosα+2sinα,t1t2=1. ∴. sin2α<0∴ 即的取值范围是(2,6]. 6.在直角坐标系中,圆的参数方程为 (为参数),以为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求的极坐标方程和直线的直角坐标方程; (2)射线与圆的交点为,,与直线的交点为,求的取值范围. 【答案】(1)圆的极坐标方程为.直线的直角坐标方程为.(2) 【解析】 (1)圆的普通方程是, 将,代入上式:,化简得:, 所以圆的极坐标方程为. 直线的极坐标方程为, 将,代人上式,得:, ∴直线的直角坐标方程为. (2)设,因为点在圆上,则有, 设,因为点在直线,则有, 所以, ∵,∴,∴, ∴,即, 故的范围为. 7.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为;直线的参数方程为,( 为参数).直线与曲线分别交于、两点. (1)写出曲线的直角坐标方程和直线的普通方程; (2)若点的直角坐标为,,求的值. 【答案】(1) 曲线的直角坐标方程为,直线的普通方程为.(2) 【解析】 (1)由,得, 所以曲线的直角坐标方程为,即, 由直线的参数方程得直线的普通方程为. (2)将直线的参数方程代入, 化简并整理,得. 因为直线与曲线分别交于、两点,所以, 解得,由一元二次方程根与系数的关系,得 ,, 又因为,所以. 因为点的直角坐标为,且在直线上, 所以, 解得,此时满足,故. 8.曲线的参数方程为(为参数),以原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为. (1)求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程; (2)若直线与曲线,的交点分别为、(、异于原点),当斜率时,求的最小值. 【答案】(1)的极坐标方程为;曲线的直角坐标方程.(2) 【解析】 (1) 由题曲线的参数方程为(为参数),消去参数, 可得曲线的直角坐标方程为,即, 则曲线的极坐标方程为,即, 又因为曲线的极坐标方程为,即, 根据,代入即可求解曲线的直角坐标方程. (2)解法1:设直线的倾斜角为, 则直线的参数方程为(为参数,), 把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:, 解得,,, 把直线的参数方程代入曲线的普通坐标方程得:, 解得,,, , ,即,,, , 当且仅当,即时去等号, 故的最小值为. 解法2:设直线的极坐标方程为), 代入曲线的极坐标方程,得,, 把直线的参数方程代入曲线的极坐标方程得:, ,即,, 曲线的参,即, ,,, 当且仅当,即时去等号, 故的最小值为. 9.在直角坐标系中,曲线的参数方程是(为参数),把曲线向左平移2个单位,再把图象上的每一点纵坐标缩短为原来的一半(横坐标不变),得到曲线,直线的普通方程是,以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线的极坐标方程和曲线的普通方程; (2)记射线与交于点,与交于点,求的值. 【答案】(1),;(2). 【解析】 (1)曲线C的普通方程为:,经过变换后得到的方程为:, 即的普通方程为:. 直线的极坐标方程为:,即:. (2)由(1)可求的极坐标方程为:,令解得:,即:,∴, 同理直线的极坐标方程中令有:, 故. 10.在平面直角坐标系中,以为极点,轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,点的极坐标为,倾斜角为的直线经过点. (1)写出曲线的直角坐标方程和直线的参数方程; (2)设直线与曲线交于两点,求的取值范围. 【答案】(1),;(2). 【解析】 (1)由可得,,即. 设点,则,,即点, ∴直线的参数方程为(为参数) (2)将直线的参数方程代入得,, 恒成立, 设点对应的参数为,点对应的参数为, 则,, 则 . 11.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为. (1)求圆的极坐标方程; (2)已知射线,若与圆交于点(异于点),与直线交于点,求的最大值. 【答案】(1);(2)3 【解析】 (1)由圆的参数方程为消去参数, 得到圆的普通方程为,即, 所以其极坐标方程为,即; (2)由题意,将代入圆的极坐标方程得; 将代入线的极坐标方程,得, 所以 , 因为, 所以, 因此,当,即时,取得最大值3. 12.选修4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,曲线的方程为,直线的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴,建立极坐标系. (1)求直线和曲线的极坐标方程; (2)设直线与曲线交于,两点,求的值. 【答案】(1):,:;(2) 【解析】 (1)由得,所以的极坐标方程为, 由得, 又因为,,, 所以曲线的极坐标方程为. (2)将代入, 可得,即, 所以,, 由极坐标几何意义得. 13.在直角坐标系中,曲线的方程为,过点且斜率为的直线与曲线相切于点. (1)以坐标原点为极点,轴的非负半轴为极轴建立极坐标系,求曲线的极坐标方程和点的极坐标; (2)若点在曲线上,求面积的最大值. 【答案】(1) ;点的极坐标为或.(2) 【解析】 解(1)由得 故曲线的极坐标方程为,即, 如图:当与圆相切时,, ∴, ∴为等边三角形, ∴,, ∴点的极坐标为或. (2)由于圆、点、点均关于轴对称, 故不论点A在何处,都不会影响面积最大值的取得. 不妨取,设, 则, ∴ , ∵, ∴, ∴, ∴, ∴,即时,面积取得最大值. 14.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数).在以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴的极坐标系中,圆的圆心为. (1)说明是哪一种曲线,并将的方程化为极坐标方程; (2)过原点且与直线 (为参数,)平行的直线与的交点为,,且的面积为2,求的值. 【答案】(1)是以为圆心,为半径的圆;极坐标方程为;(2)或 【解析】 (1)消去参数得到的普通方程为: 是以为圆心,为半径的圆 将,代入的普通方程中 得到的极坐标方程为: (2)直线的极坐标方程为,与的交点分别为, ,得 得:或 15.在直角坐标系xOy中,直线的参数方程为(t为参数,).以坐标原点 为极点,x轴的非负半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为. (l)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程: (2)若直线与曲线C相交于A,B两点,且.求直线 的方程. 【答案】(1)见解析(2) 【解析】 (1)由消去参数t得(), 由得曲线C的直角坐标方程为: (2)由得,圆心为(1,0),半径为2, 圆心到直线的距离为, ∴,即,整理得 ,∵,∴,,, 所以直线l的方程为:. PAGE 1

  • ID:3-6130771 十年真题(2010_2019)高考数学真题分类汇编专题14概率统计理(含解析)

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    专题14概率统计 历年考题细目表 题型 年份 考点 试题位置 单选题 2019 概率 2019年新课标1理科06 单选题 2018 统计 2018年新课标1理科03 单选题 2018 概率 2018年新课标1理科10 单选题 2017 概率 2017年新课标1理科02 单选题 2016 概率 2016年新课标1理科04 单选题 2015 概率 2015年新课标1理科04 单选题 2014 概率 2014年新课标1理科05 单选题 2013 统计 2013年新课标1理科03 单选题 2011 概率 2011年新课标1理科04 单选题 2010 概率 2010年新课标1理科06 填空题 2019 概率 2019年新课标1理科15 填空题 2012 概率 2012年新课标1理科15 解答题 2019 概率统计综合题 2019年新课标1理科21 解答题 2018 概率统计综合题 2018年新课标1理科20 解答题 2017 概率统计综合题 2017年新课标1理科19 解答题 2016 概率统计综合题 2016年新课标1理科19 解答题 2015 概率统计综合题 2015年新课标1理科19 解答题 2014 概率统计综合题 2014年新课标1理科18 解答题 2013 概率统计综合题 2013年新课标1理科19 解答题 2012 概率统计综合题 2012年新课标1理科18 解答题 2011 概率统计综合题 2011年新课标1理科19 解答题 2010 概率统计综合题 2010年新课标1理科19 历年高考真题汇编 1.【2019年新课标1理科06】我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成,爻分为阳爻“”和阴爻“”,如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是(  ) A. B. C. D. 【解答】解:在所有重卦中随机取一重卦, 基本事件总数n=26=64, 该重卦恰有3个阳爻包含的基本个数m20, 则该重卦恰有3个阳爻的概率p. 故选:A. 2.【2018年新课标1理科03】某地区经过一年的新农村建设,农村的经济收入增加了一倍,实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况,统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例,得到如下饼图: 则下面结论中不正确的是(    ) A.新农村建设后,种植收入减少 B.新农村建设后,其他收入增加了一倍以上 C.新农村建设后,养殖收入增加了一倍 D.新农村建设后,养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半 【解答】解:设建设前经济收入为a,建设后经济收入为2a. A项,种植收入37%×2a﹣60%a=14%a>0, 故建设后,种植收入增加,故A项错误. B项,建设后,其他收入为5%×2a=10%a, 建设前,其他收入为4%a, 故10%a÷4%a=2.5>2, 故B项正确. C项,建设后,养殖收入为30%×2a=60%a, 建设前,养殖收入为30%a, 故60%a÷30%a=2, 故C项正确. D项,建设后,养殖收入与第三产业收入总和为 (30%+28%)×2a=58%×2a, 经济收入为2a, 故(58%×2a)÷2a=58%>50%, 故D项正确. 因为是选择不正确的一项, 故选:A. 3.【2018年新课标1理科10】如图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成,三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC,直角边AB,AC.△ABC的三边所围成的区域记为I,黑色部分记为Ⅱ,其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点,此点取自Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ的概率分别记为p1,p2,p3,则(    ) A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3 【解答】解:如图:设BC=2r1,AB=2r2,AC=2r3, ∴r12=r22+r32, ∴SⅠ4r2r3=2r2r3,SⅢπr12﹣2r2r3, SⅡπr32πr22﹣SⅢπr32πr22πr12+2r2r3=2r2r3, ∴SⅠ=SⅡ, ∴P1=P2, 故选:A. 4.【2017年新课标1理科02】如图,正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是(    ) A. B. C. D. 【解答】解:根据图象的对称性知,黑色部分为圆面积的一半,设圆的半径为1,则正方形的边长为2, 则黑色部分的面积S, 则对应概率P, 故选:B. 5.【2016年新课标1理科04】某公司的班车在7:00,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是(  ) A. B. C. D. 【解答】解:设小明到达时间为y, 当y在7:50至8:00,或8:20至8:30时, 小明等车时间不超过10分钟, 故P, 故选:B. 6.【2015年新课标1理科04】投篮测试中,每人投3次,至少投中2次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为0.6,且各次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为(    ) A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 【解答】解:由题意可知:同学3次测试满足X∽B(3,0.6), 该同学通过测试的概率为0.648. 故选:A. 7.【2014年新课标1理科05】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为(    ) A. B. C. D. 【解答】解:4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动,共有24=16种情况, 周六、周日都有同学参加公益活动,共有24﹣2=16﹣2=14种情况, ∴所求概率为. 故选:D. 8.【2013年新课标1理科03】为了解某地区中小学生的视力情况,拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查,事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大.在下面的抽样方法中,最合理的抽样方法是(    ) A.简单的随机抽样 B.按性别分层抽样 C.按学段分层抽样 D.系统抽样 【解答】解:我们常用的抽样方法有:简单随机抽样、分层抽样和系统抽样, 而事先已经了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异,而男女生视力情况差异不大. 了解某地区中小学生的视力情况,按学段分层抽样,这种方式具有代表性,比较合理. 故选:C. 9.【2011年新课标1理科04】有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为(    ) A. B. C. D. 【解答】解:由题意知本题是一个古典概型, 试验发生包含的事件数是3×3=9种结果, 满足条件的事件是这两位同学参加同一个兴趣小组, 由于共有三个小组,则有3种结果, 根据古典概型概率公式得到P, 故选:A. 10.【2010年新课标1理科06】某种种子每粒发芽的概率都为0.9,现播种了1000粒,对于没有发芽的种子,每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X,则X的数学期望为(    ) A.100 B.200 C.300 D.400 【解答】解:由题意可知播种了1000粒,没有发芽的种子数ξ服从二项分布,即ξ~B(1000,0.1). 而每粒需再补种2粒,补种的种子数记为X 故X=2ξ,则EX=2Eξ=2×1000×0.1=200. 故选:B. 11.【2019年新课标1理科15】甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一队赢得四场胜利时,该队获胜,决赛结束).根据前期比赛成绩,甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立,则甲队以4:1获胜的概率是  . 【解答】解:甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”. 设甲队主场取胜的概率为0.6,客场取胜的概率为0.5,且各场比赛结果相互独立, 甲队以4:1获胜包含的情况有: ①前5场比赛中,第一场负,另外4场全胜,其概率为:p1=0.4×0.6×0.5×0.5×0.6=0.036, ②前5场比赛中,第二场负,另外4场全胜,其概率为:p2=0.6×0.4×0.5×0.5×0.6=0.036, ③前5场比赛中,第三场负,另外4场全胜,其概率为:p3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054, ④前5场比赛中,第四场负,另外4场全胜,其概率为:p3=0.6×0.6×0.5×0.5×0.6=0.054, 则甲队以4:1获胜的概率为: p=p1+p2+p3+p4=0.036+0.036+0.054+0.054=0.18. 故答案为:0.18. 12.【2012年新课标1理科15】某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件1或元件2正常工作,且元件3正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正态分布N(1000,502),且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为    . 【解答】解:三个电子元件的使用寿命均服从正态分布N(1000,502) 得:三个电子元件的使用寿命超过1000小时的概率为 设A={超过1000小时时,元件1、元件2至少有一个正常},B={超过1000小时时,元件3正常} C={该部件的使用寿命超过1000小时} 则P(A),P(B) P(C)=P(AB)=P(A)P(B) 故答案为 13.【2019年新课标1理科21】为治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行动物试验.试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验.对于两只白鼠,随机选一只施以甲药,另一只施以乙药.一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验.当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效.为了方便描述问题,约定:对于每轮试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分,乙药得﹣1分;若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分,甲药得﹣1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得0分.甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β,一轮试验中甲药的得分记为X. (1)求X的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分,pi(i=0,1,…,8)表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲药比乙药更有效”的概率,则p0=0,p8=1,pi=api﹣1+bpi+cpi+1(i=1,2,…,7),其中a=P(X=﹣1),b=P(X=0),c=P(X=1).假设α=0.5,β=0.8. (i)证明:{pi+1﹣pi}(i=0,1,2,…,7)为等比数列; (ii)求p4,并根据p4的值解释这种试验方案的合理性. 【解答】(1)解:X的所有可能取值为﹣1,0,1. P(X=﹣1)=(1﹣α)β,P(X=0)=αβ+(1﹣α)(1﹣β),P(X=1)=α(1﹣β), ∴X的分布列为: X ﹣1 0 1 P (1﹣α)β αβ+(1﹣α)(1﹣β) α(1﹣β) (2)(i)证明:∵α=0.5,β=0.8, ∴由(1)得,a=0.4,b=0.5,c=0.1. 因此pi=0.4pi﹣1+0.5pi+0.1pi+1(i=1,2,…,7), 故0.1(pi+1﹣pi)=0.4(pi﹣pi﹣1),即(pi+1﹣pi)=4(pi﹣pi﹣1), 又∵p1﹣p0=p1≠0,∴{pi+1﹣pi}(i=0,1,2,…,7)为公比为4,首项为p1的等比数列; (ii)解:由(i)可得, p8=(p8﹣p7)+(p7﹣p6)+…+(p1﹣p0)+p0, ∵p8=1,∴p1, ∴P4=(p4﹣p3)+(p3﹣p2)+(p2﹣p1)+(p1﹣p0)+p0p1. P4表示最终认为甲药更有效的概率. 由计算结果可以看出,在甲药治愈率为0.5,乙药治愈率为0.8时,认为甲药更有效的概率为,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种试验方案合理. 14.【2018年新课标1理科20】某工厂的某种产品成箱包装,每箱200件,每一箱产品在交付用户之前要对产品作检验,如检验出不合格品,则更换为合格品.检验时,先从这箱产品中任取20件作检验,再根据检验结果决定是否对余下的所有产品作检验.设每件产品为不合格品的概率都为p(0<p<1),且各件产品是否为不合格品相互独立. (1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p),求f (p)的最大值点p0. (2)现对一箱产品检验了20件,结果恰有2件不合格品,以(1)中确定的p0作为p的值.已知每件产品的检验费用为2元,若有不合格品进入用户手中,则工厂要对每件不合格品支付25元的赔偿费用. (i)若不对该箱余下的产品作检验,这一箱产品的检验费用与赔偿费用的和记为X,求EX; (ⅱ)以检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据,是否该对这箱余下的所有产品作检验? 【解答】解:(1)记20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p), 则f(p), ∴, 令f′(p)=0,得p=0.1, 当p∈(0,0.1)时,f′(p)>0, 当p∈(0.1,1)时,f′(p)<0, ∴f (p)的最大值点p0=0.1. (2)(i)由(1)知p=0.1, 令Y表示余下的180件产品中的不合格品数,依题意知Y~B(180,0.1), X=20×2+25Y,即X=40+25Y, ∴E(X)=E(40+25Y)=40+25E(Y)=40+25×180×0.1=490. (ii)如果对余下的产品作检验,由这一箱产品所需要的检验费为400元, ∵E(X)=490>400, ∴应该对余下的产品进行检验. 15.【2017年新课标1理科19】为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取16个零件,并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布N(μ,σ2). (1)假设生产状态正常,记X表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件数,求P(X≥1)及X的数学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. (ⅰ)试说明上述监控生产过程方法的合理性; (ⅱ)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 经计算得9.97,s0.212,其中xi为抽取的第i个零件的尺寸,i=1,2,…,16. 用样本平均数作为μ的估计值,用样本标准差s作为σ的估计值,利用估计值判断是否需对当天的生产过程进行检查?剔除之外的数据,用剩下的数据估计μ和σ(精确到0.01). 附:若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ﹣3σ<Z<μ+3σ)=0.9974,0.997416≈0.9592,0.09. 【解答】解:(1)由题可知尺寸落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之内的概率为0.9974, 则落在(μ﹣3σ,μ+3σ)之外的概率为1﹣0.9974=0.0026, 因为P(X=0)(1﹣0.9974)0×0.997416≈0.9592, 所以P(X≥1)=1﹣P(X=0)=0.0408, 又因为X~B(16,0.0026), 所以E(X)=16×0.0026=0.0416; (2)(ⅰ)如果生产状态正常,一个零件尺寸在之外的概率只有0.0026,一天内抽取的16个零件中,出现尺寸在之外的零件的概率只有0.0408,发生的概率很小.因此一旦发生这种状况,就有理由认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查,可见上述监控生产过程的方法是合理的. (ⅱ)由9.97,s≈0.212,得μ的估计值为9.97,σ的估计值为0.212,由样本数据可以看出一个 零件的尺寸在之外,因此需对当天的生产过程进行检查. 剔除之外的数据9.22,剩下的数据的平均数为 (16×9.97﹣9.22)=10.02, 因此μ的估计值为10.02. 2=16×0.2122+16×9.972≈1591.134, 剔除之外的数据9.22,剩下的数据的样本方差为 (1591.134﹣9.222﹣15×10.022)≈0.008, 因此σ的估计值为0.09. 16.【2016年新课标1理科19】某公司计划购买2台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个200元.在机器使用期间,如果备件不足再购买,则每个500元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数,得如图柱状图: 以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率,记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数,n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数. (Ⅰ)求X的分布列; (Ⅱ)若要求P(X≤n)≥0.5,确定n的最小值; (Ⅲ)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在n=19与n=20之中选其一,应选用哪个? 【解答】解:(Ⅰ)由已知得X的可能取值为16,17,18,19,20,21,22, P(X=16)=()2, P(X=17), P(X=18)=()2+2()2, P(X=19), P(X=20), P(X=21), P(X=22), ∴X的分布列为: X 16 17 18 19 20 21 22 P (Ⅱ)由(Ⅰ)知: P(X≤18)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18) . P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19) . ∴P(X≤n)≥0.5中,n的最小值为19. (Ⅲ)解法一:由(Ⅰ)得P(X≤19)=P(X=16)+P(X=17)+P(X=18)+P(X=19) . 买19个所需费用期望: EX1=200(200×19+500)(200×19+500×2)(200×19+500×3)4040, 买20个所需费用期望: EX2(200×20+500)(200×20+2×500)4080, ∵EX1<EX2, ∴买19个更合适. 解法二:购买零件所用费用含两部分,一部分为购买零件的费用, 另一部分为备件不足时额外购买的费用, 当n=19时,费用的期望为:19×200+500×0.2+1000×0.08+1500×0.04=4040, 当n=20时,费用的期望为:20×200+500×0.08+1000×0.04=4080, ∴买19个更合适. 17.【2015年新课标1理科19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费x(单位:千元)对年销售量y(单位:t)和年利润z(单位:千元)的影响,对近8年的年宣传费xi和年销售量yi(i=1,2,…,8)数据作了初步处理,得到下面的散点图及一些统计量的值. (xi)2 (wi)2 (xi)(yi) (wi)(yi) 46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中wii, (Ⅰ)根据散点图判断,y=a+bx与y=c+d哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由) (Ⅱ)根据(Ⅰ)的判断结果及表中数据,建立y关于x的回归方程; (Ⅲ)已知这种产品的年利润z与x、y的关系为z=0.2y﹣x.根据(Ⅱ)的结果回答下列问题: (i)年宣传费x=49时,年销售量及年利润的预报值是多少? (ii)年宣传费x为何值时,年利润的预报值最大? 附:对于一组数据(u1v1),(u2v2)…..(unvn),其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,. 【解答】解:(Ⅰ)由散点图可以判断,y=c+d适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型; (Ⅱ)令w,先建立y关于w的线性回归方程,由于68, 563﹣68×6.8=100.6, 所以y关于w的线性回归方程为100.6+68w, 因此y关于x的回归方程为100.6+68, (Ⅲ)(i)由(Ⅱ)知,当x=49时,年销售量y的预报值100.6+68576.6, 年利润z的预报值576.6×0.2﹣49=66.32, (ii)根据(Ⅱ)的结果可知,年利润z的预报值0.2(100.6+68)﹣x=﹣x+13.620.12, 当6.8时,即当x=46.24时,年利润的预报值最大. 18.【2014年新课标1理科18】从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图: (Ⅰ)求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差s2(同一组中数据用该组区间的中点值作代表); (Ⅱ)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2. (i)利用该正态分布,求P(187.8<Z<212.2); (ii)某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2)的产品件数,利用(i)的结果,求EX. 附:12.2. 若Z~N(μ,σ2)则P(μ﹣σ<Z<μ+σ)=0.6826,P(μ﹣2σ<Z<μ+2σ)=0.9544. 【解答】解:(Ⅰ)抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差s2分别为: 170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02=200, s2=(﹣30)2×0.02+(﹣20)2×0.09+(﹣10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02=150. (Ⅱ)(i)由(Ⅰ)知Z~N(200,150),从而P(187.8<Z<212.2)=P(200﹣12.2<Z<200+12.2)=0.6826; (ii)由(i)知一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为0.6826, 依题意知X~B(100,0.6826),所以EX=100×0.6826=68.26. 19.【2013年新课标1理科19】一批产品需要进行质量检验,检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验,这4件产品中优质品的件数记为n.如果n=3,再从这批产品中任取4件作检验,若都为优质品,则这批产品通过检验;如果n=4,再从这批产品中任取1件作检验,若为优质品,则这批产品通过检验;其他情况下,这批产品都不能通过检验.假设这批产品的优质品率为50%,即取出的产品是优质品的概率都为,且各件产品是否为优质品相互独立. (Ⅰ)求这批产品通过检验的概率; (Ⅱ)已知每件产品检验费用为100元,凡抽取的每件产品都需要检验,对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望. 【解答】解:(Ⅰ)设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件A1,第一次取出的4件产品全是优质品为事件A2, 第二次取出的4件产品全是优质品为事件B1,第二次取出的1件产品是优质品为事件B2, 这批产品通过检验为事件A,依题意有A=(A1B1)∪(A2B2),且A1B1与A2B2互斥, 所以P(A)=P(A1B1)+P(A2B2)=P(A1)P(B1|A1)+P(A2)P(B2|A2) (Ⅱ)X可能的取值为400,500,800,并且P(X=800),P(X=500), P(X=400)=1,故X的分布列如下: X 400 500 800 P 故EX=400500800506.25 20.【2012年新课标1理科18】某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花,然后以每枝10元的价格出售,如果当天卖不完,剩下的玫瑰花作垃圾处理. (1)若花店一天购进16枝玫瑰花,求当天的利润y(单位:元)关于当天需求量n(单位:枝,n∈N)的函数解析式. (2)花店记录了100天玫瑰花的日需求量(单位:枝),整理得如表: 日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数 10 20 16 16 15 13 10 以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率. (i)若花店一天购进16枝玫瑰花,X表示当天的利润(单位:元),求X的分布列、数学期望及方差; (ii)若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花,你认为应购进16枝还是17枝?请说明理由. 【解答】解:(1)当n≥16时,y=16×(10﹣5)=80; 当n≤15时,y=5n﹣5(16﹣n)=10n﹣80,得: (2)(i)X可取60,70,80,当日需求量n=14时,X=60,n=15时,X=70,其他情况X=80, P(X=60)0.1,P(X=70)0.2,P(X=80)=1﹣0.1﹣0.2=0.7, X的分布列为 X 60 70 80 P 0.1 0.2 0.7 EX=60×0.1+70×0.2+80×0.7=76 DX=162×0.1+62×0.2+42×0.7=44 (ii)购进17枝时,当天的利润的期望为y=(14×5﹣3×5)×0.1+(15×5﹣2×5)×0.2+(16×5﹣1×5)×0.16+17×5×0.54=76.4 ∵76.4>76,∴应购进17枝 21.【2011年新课标1理科19】某种产品的质量以其质量指标值衡量,质量指标值越大表明质量越好,且质量指标值大于或等于102的产品为优质品,现用两种新配方(分别称为A配方和B配方)做试验,各生产了100件这种产品,并测量了每件产品的质量指标值,得到下面试验结果: A配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 频数 8 20 42 22 8 B配方的频数分布表 指标值分组 [90,94) [94,98) [98,102) [102,106) [106,110] 频数 4 12 42 32 10 (Ⅰ)分别估计用A配方,B配方生产的产品的优质品率; (Ⅱ)已知用B配方生成的一件产品的利润y(单位:元)与其质量指标值t的关系式为y 从用B配方生产的产品中任取一件,其利润记为X(单位:元),求X的分布列及数学期望.(以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率) 【解答】解:(Ⅰ)由试验结果知,用A配方生产的产品中优质的频率为 ∴用A配方生产的产品的优质品率的估计值为0.3. 由试验结果知,用B配方生产的产品中优质品的频率为 ∴用B配方生产的产品的优质品率的估计值为0.42; (Ⅱ)用B配方生产的100件产品中,其质量指标值落入区间 [90,94),[94,102),[102,110]的频率分别为0.04,0.54,0.42, ∴P(X=﹣2)=0.04,P(X=2)=0.54,P(X=4)=0.42, 即X的分布列为 X ﹣2 2 4 P 0.04 0.54 0.42 ∴X的数学期望值EX=﹣2×0.04+2×0.54+4×0.42=2.68 22.【2010年新课标1理科19】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助,用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人,结果如表: 性别是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 (1)估计该地区老年人中,需要志愿者提供帮助的比例; (2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关? (3)根据(2)的结论,能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中需要志愿者提供帮助的老年人比例?说明理由. P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 附:K2. 【解答】解:(1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助,因此在该地区老年人中,需要帮助的老年人的比例的估计值为 (2)K2的观测值 因为9.967>6.635,且P(K2≥6.635)=0.01, 所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关. (3)根据(2)的结论可知,该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关,并且从样本数据能够看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异,因此在调查时,先确定该地区老年人中男、女的比例,再把老年人分成男女两层,并采取分层抽样方法比简单随机抽样方法更好. 考题分析与复习建议 本专题考查的知识点为:随机抽样,用样本估计总体,变量间的相关关系,独立性检验,随机事件的概率,古典概型,几何概型,离散型随机变量及其分布列,二项分布及其应用,离散型随机变量的均值与方差,正态分布等,历年考题主要以选择填空或解答题题型出现,重点考查的知识点为:随机抽样,用样本估计总体,变量间的相关关系,独立性检验,随机事件的概率,古典概型,几何概型,离散型随机变量及其分布列,二项分布及其应用,离散型随机变量的均值与方差,等,预测明年本考点题目会比较稳定,备考方向以知识点用样本估计总体,变量间的相关关系,独立性检验,随机事件的概率,离散型随机变量及其分布列,二项分布及其应用,离散型随机变量的均值与方差等为重点较佳. 最新高考模拟试题 1.如图是1990年-2017年我国劳动年龄(15-64岁)人口数量及其占总人口比重情况: 根据图表信息,下列统计结论不正确的是(  ) A.2000年我国劳动年龄人口数量及其占总人口比重的年增幅均为最大 B.2010年后我国人口数量开始呈现负增长态势 C.2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值 D.我国劳动年龄人口占总人口比重极差超过 【答案】B 【解析】 解:A选项,2000年我国劳动年龄人口数量增幅约为6000万,是图中最大的,2000年我国劳动年龄人口数量占总人口比重的增幅约为,也是最多的.故A对. B选项,2010年到2011年我国劳动年龄人口数量有所增加,故B错. C选项,从图上看,2013年的长方形是最高的,即2013年我国劳动年龄人口数量达到峰值,C对, D选项,我国劳动年龄人口占总人口比重最大为11年,约为,最小为92年,约为,故极差超过.D对. 故选:B. 2.一试验田某种作物一株生长果个数服从正态分布,且,从试验田中随机抽取10株,果实个数在的株数记作随机变量,且服从二项分布,则的方差为(  ) A.3 B.2.1 C.0.3 D.0.21 【答案】B 【解析】 ∵,且, 所以 ∴, ∴, 的方差为. 故选B. 3.小张刚参加工作时月工资为元,各种用途占比统计如下面的条形图.后来他加强了体育锻炼,目前月工资的各种用途占比统计如下面的拆线图.已知目前的月就医费比刚参加工作时少元,则目前小张的月工资为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由条形图可知,刚参加工作的月就医费为:元 则目前的月就医费为:元 目前的月工资为:元 本题正确选项: 4.若是从集合中随机选取的两个不同元素,则使得函数是奇函数的概率为( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 从集合中随机选取的两个不同元素共有 种 要使得函数是奇函数,必须都为奇数共有 种 则函数是奇函数的概率为 故选B 5.某企业的一种商品的产量与单位成本数据如下表: 产量(万件) 单位成本(元/件) 若根据表中提供的数据,求出关于的线性回归方程为,则的值等于( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 在线性回归方程上 则解得 故选B 6.学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在的同学有人,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为: 本题正确选项: 7.某学校美术室收藏有6幅国画,分别为人物、山水、花鸟各2幅,现从中随机抽取2幅进行展览,则恰好抽到2幅不同种类的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 设为“恰好抽到2幅不同种类” 某学校美术室收藏有6幅国画,分别为人物、山水、花鸟各2幅, 现从中随机抽取2幅进行展览,基本事件总数, 恰好抽到2幅不同种类包含的基本事件个数, 则恰好抽到2幅不同种类的概率为. 故选:B. 8.若即时起10分钟内,305路公交车和202路公交车由南往北等可能进入二里半公交站,则这两路公交车进站时间的间隔不超过2分钟的概率为( ) A.0.18 B.0.32 C.0.36 D.0.64 【答案】C 【解析】 设305路车和202路车的进站时间分别为、,设所有基本事件为 ,“进站时间的间隔不超过2分钟”为事件,则,画出不等式表示的区域如图中阴影区域,则,则. 选. 9.一个盒子中放有大小相同的4个白球和1个黑球,从中任取两个球,则所取的两个球不同色的概率为_______. 【答案】 【解析】 设个白球编号为:;个黑球为: 从中任取两个球的所有可能结果为:、、、、、、、、、,共种 所取的两个球不同色的有:、、、,共种 所求概率为: 本题正确结果: 10.已知某中学高三理科班学生共有800人参加了数学与物理的水平测试,现学校决定利用随机数表法从中抽取100人进行成绩抽样统计,先将800人按001,002,003,…,800进行编号。如果从第8行第7列的数开始向右读,请问检测的第5个人的编号是:____________(如图摘取了第7行至第9行)。 【答案】175 【解析】 由随机数表,从第8行第7列的数开始向右读,所取数据依次是:785, 667,199,507,175,…, 所以检测的第5个人的编号是175. 故答案为175 11.为了解某团战士的体重情况,采用随机抽样的方法.将样本体重数据整理后,画出了如图所示的频率分布直方图.已知图中从左到右前三个小组频率之比为1:2:3,第二小组频数为12,则全团共抽取人数为_______. 【答案】48 【解析】 由题得频率分布直方图左边三组的频率和为 所以全团抽取的人数为:=48. 故答案为:48 12.某中学高二年级的甲、乙两个班各选出5名学生参加数学竞赛,在竞赛中他们取得成绩(满分100分)的茎叶图如图所示,其中甲班5名学生成绩的平均分是83分,乙班5名学生成绩的中位数是86.若从成绩在85分及以上的学生中随机抽2名,则至少有1名学生来自甲班的概率为__________. 【答案】 【解析】 由题意,根据茎叶图可知, 解得, 成绩在85分及以上的学生一共有5名,其中甲班有2名,乙班有3名, 随机抽取2名,至少有1名来自甲班的概率:. 故答案为:. 13.已知随机变量服从正态分布且,则_____________ 【答案】0.76 【解析】 随机变量服从正态分布, 则曲线的对称轴为,, 由可得, 则 故答案为:0.76. 14.将一个质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次,则出现向上的点数之和大于10的概率为_______. 【答案】 【解析】 所有的基本事件可能如下: 共有36种,点数之和大于10的有(5,6),(6,5),(6,6),共3种,所求概率为:P=. 故答案为: 15.某省确定从2021年开始,高考采用“”的模式,取消文理分科,即“3”包括语文、数学、外语,为必考科目;“1”表示从物理、历史中任选一门;“2则是从生物、化学、地理、政治中选择两门,共计六门考试科目.某高中从高一年级2000名学生(其中女生900人)中,采用分层抽样的方法抽取名学生进行调查. (1)已知抽取的名学生中含男生110人,求的值及抽取到的女生人数; (2)学校计划在高二上学期开设选修中的“物理”和“历史”两个科目,为了了解学生对这两个科目的选课情况,对在(1)的条件下抽取到的名学生进行问卷调查(假定每名学生在这两个科目中必须选择一个科目且只能选择一个科目).下表是根据调查结果得到的列联表,请将列联表补充完整,并判断是否有的把握认为选择科目与性别有关?说明你的理由; 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 50 女生 30 总计 (3)在(2)的条件下,从抽取的选择“物理”的学生中按分层抽样抽取6人,再从这6名学生中抽取2人,对“物理”的选课意向作深入了解,求2人中至少有1名女生的概率. 附:,其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1),; (2)有的把握认为选择科目与性别有关; (3). 【解析】 (1)因为,所以,女生人数为. (2)列联表为: 性别 选择物理 选择历史 总计 男生 60 50 110 女生 30 60 90 总计 90 110 200 的观测值, 所以有的把握认为选择科目与性别有关. (3)从90个选择物理的学生中采用分层抽样的方法抽6名,这6名学生中有4名男生,记为,,,;2名女生记为,. 抽取2人所有的情况为、、、、、、、、、、、、、、,共15种,选取的2人中至少有1名女生情况的有、、、、、、、、,共9种, 故所求概率为. 16.某单位举办2020年杭州亚运会知识宣传活动,进行现场抽奖,盒中装有9张大小相同的精美卡片,卡片上分别印有“亚运会会徽”或“五环”图案;抽奖规则是:参加者从盒中抽取卡片两张,若抽到两张都是“五环”卡即可获奖,否则,均为不获奖.卡片用后放回盒子,下一位参加者继续重复进行. (Ⅰ)活动开始后,一位参加者问:盒中有几张“五环”卡?主持人答:我只知道,从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是,求抽奖者获奖的概率; (Ⅱ)现有甲、乙、丙、丁四人依次抽奖,用表示获奖的人数,求的分布列及的值. 【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)的分布列为: 0 1 2 3 4 . 【解析】 (Ⅰ)设“会徽”卡有张,因为从盒中抽取两张都是“会徽”卡的概率是,所以有,,所以“五环”图案卡片的张数为4,故抽奖者获奖的概率为; (Ⅱ)由题意可知本题中的离散型随机变量服从二项分布,即, ,, ,, ,的分布列为: 0 1 2 3 4 . 17.李克强总理在2018年政府工作报告指出,要加快建设创新型国家,把握世界新一轮科技革命和产业变革大势,深入实施创新驱动发展战略,不断增强经济创新力和竞争力.某手机生产企业积极响应政府号召,大力研发新产品,争创世界名牌.为了对研发的一批最新款手机进行合理定价,将该款手机按事先拟定的价格进行试销,得到一组销售数据,如表所示: 单价(千元) 销量(百件) 已知. (1)若变量具有线性相关关系,求产品销量(百件)关于试销单价(千元)的线性回归方程; (2)用(1)中所求的线性回归方程得到与对应的产品销量的估计值.当销售数据对应的残差的绝对值时,则将销售数据称为一个“好数据”.现从个销售数据中任取个子,求“好数据”个数的分布列和数学期望. (参考公式:线性回归方程中的估计值分别为. 【答案】(1) (2)见解析 【解析】 (1)由,可求得, 故,,,, 代入可得, , 所以所求的线性回归方程为. (2)利用(1)中所求的线性回归方程可得,当时,;当 时,;当时,;当时,;当时,;当时,. 与销售数据对比可知满足的共有4个“好数据”:、、、 于是的所有可能取值为 ,,, ∴ 的分布列为: 1 2 3 P 所以. 18.为了调查煤矿公司员工的饮食习惯与月收入之间的关系,随机抽取了30名员工,并制作了这30人的月平均收入的频率分布直方图和饮食指数表(说明:图中饮食指数低于70的人,饮食以蔬菜为主;饮食指数高于70的人,饮食以肉类为主).其中月收入4000元以上员工中有11人饮食指数高于70. 20 21 21 25 32 33 36 37 42 43 44 45 45 58 58 59 61 66 74 75 76 77 77 78 78 82 83 85 86 90 (Ⅰ)是否有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系?若有请说明理由,若没有,说明理由并分析原因; (Ⅱ)以样本中的频率作为概率,从该公司所有主食蔬菜的员工中随机抽取3人,这3人中月收入4000元以上的人数为,求的分布列与期望; (Ⅲ)经调查该煤矿公司若干户家庭的年收入(万元)和年饮食支出(万元)具有线性相关关系,并得到关于的回归直线方程:.若该公司一个员工与其妻子的月收入恰好都为这30人的月平均收入(该家庭只有两人收入),估计该家庭的年饮食支出费用. 附: . 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 【答案】(Ⅰ)有;(Ⅱ);(Ⅲ)3.0552万元. 【解析】 (Ⅰ)根据频率分布直方图,月收入4000元以上的人数, 所以完成下列列联表如下: 月收入4000元以下 月收入4000元以上 合计 主食蔬菜 8 10 18 主食肉类 1 11 12 合计 9 21 30 所以,故有95%的把握认为饮食习惯与月收入有关系. (Ⅱ)从公司所有主食蔬菜中的员工中任选1人, 该人月收入4000元以上的概率. 可取0,1,2,3. 所以. 的分布列为 0 1 2 3 ∵, ∴. (Ⅲ)根据频率分布直方图,(百元). 所以(万元),故该家庭的年饮食支出费用约为3.0552万元. 19.(理)某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制,已知所有这些学生的原始成绩均分布在内,发布成绩使用等级制各等级划分标准见下表,规定:三级为合格等级,为不合格等级. 百分制 85分及以上 70分到84分 60分到69分 60分以下 等级 为了解该校高一年级学生身体素质情况,从中抽取了名学生的原始成绩作为样本进行统计,按照的分组作出频率分布直方图如图所示,样本中分数在80分及以上的所有数据的茎叶图如图所示., (1)求和频率分布直方图中的的值; (2)根据样本估计总体的思想,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,若在该校高一学生任选3人,求至少有1人成绩是合格等级的概率; (3)在选取的样本中,从两个等级的学生中随机抽取了3名学生进行调研,记表示所抽取的名学生中为等级的学生人数,求随机变量的分布列及数学期望. 【答案】(1);,(2)(3)分布列见解析,期望为 【解析】 (1);, (2)设至少有1人成绩是合格等级的事件为 (3)由题意可知等级的学生人数为人,等级的学生人数为3人,故的取值为 , , , . 所以的分布列为: 20.某社区消费者协会为了解本社区居民网购消费情况,随机抽取了100位居民作为样本,就最近一年来网购消费金额(单位:千元),网购次数和支付方式等进行了问卷调査.经统计这100位居民的网购消费金额均在区间内,按,,,,,分成6组,其频率分布直方图如图所示. (1)估计该社区居民最近一年来网购消费金额的中位数; (2)将网购消费金额在20千元以上者称为“网购迷”,补全下面的列联表,并判断有多大把握认为“网购迷与性别有关系”; 男 女 合计 网购迷 20 非网购迷 45 合计 100 (3)调査显示,甲、乙两人每次网购采用的支付方式相互独立,两人网购时间与次数也互不. 影响.统计最近一年来两人网购的总次数与支付方式,所得数据如下表所示: 网购总次数 支付宝支付次数 银行卡支付次数 微信支付次数 甲 80 40 16 24 乙 90 60 18 12 将频率视为概率,若甲、乙两人在下周内各自网购2次,记两人采用支付宝支付的次数之和为,求的数学期望. 附:观测值公式: 临界值表: 0.01 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】(1) 中位数估计为17.5千元. (2)见解析;(3) 【解析】 (1)在直方图中,从左至右前3个小矩形的面积之和为, 后2个小矩形的面积之和为,所以中位数位于区间内. 设直方图的面积平分线为,则,得,所以该社区居民网购消费金额的中位数估计为17.5千元. (2)由直方图知,网购消费金额在20千元以上的频数为, 所以“网购迷”共有35人,由列联表知,其中女性有20人,则男性有15人. 所以补全的列联表如下: 男 女 合计 网购迷 15 20 35 非网购迷 45 20 65 合计 60 40 100 因为,查表得, 所以有97.5%的把握认为“网购迷与性别有关系”. (3)由表知,甲,乙两人每次网购采用支付宝支付的概率分别为,. 设甲,乙两人采用支付宝支付的次数分别为,,据题意,,. 所以,. 因为,则,所以的数学期望为. 21.某电视台举行文艺比赛,并通过网络对比赛进行直播.比赛现场由5名专家组成评委给每位参赛选手评分,场外观众也可以通过网络给每位参赛选手评分.每位选手的最终得分需要综合考虑专家评分和观众评分.某选手参与比赛后,现场专家评分情况如下表.另有约数万名场外观众参与评分,将观众评分按照分组,绘成频率分布直方图如下图. (Ⅰ)求a的值,并用频率估计概率,估计某场外观众评分不小于9的概率; (Ⅱ)从现场专家中随机抽取2人,求其中评分高于9分的至少有1人的概率; (Ⅲ)考虑以下两种方案来确定该选手的最终得分. 方案一:计算所有专家与观众评分的平均数作为该选手的最终得分; 方案二:分别计算专家评分的平均数和观众评分的平均数,用作为该选手最终得分. 请直接写出与的大小关系. 【答案】(Ⅰ),(Ⅱ)(Ⅲ) 【解析】 (Ⅰ)由频率分布直方图可知0.2+0.5+a=1,解得, 某场外观众评分不小于9的概率是. (Ⅱ)设“从现场专家中随机抽取2人,其中评分高于9分的至少有1人”为事件Q. 因为基本事件有共10种, 事件Q的对立事件只有1种, 所以. (Ⅲ). 22.中国茶文化博大精深,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关,经验表明,某种绿茶用的水泡制,再等到茶水温度降至时饮用,可以产生最佳口感.某研究人员每隔测量一次茶水温度,得到下表的一组数据。 时间 0 1 2 3 4 水温 85 79 75 71 68 (1)从表中所给的5个水温数据中任取2个,记表示这2个数据中高于的个数,求的分布列和数学期望. (2)在室温下,设茶水温度从开始,经过后的温度为,根据这些数据的散点图,可用回归方程近似地刻画茶水温度随时间变化的规律,其中,为比例系数,为温度的衰减比例,且的估计值.为第分钟对应的水温.根据表中数据求: (i)温度关于时间的回归方程(保留2位小数); (ii)刚泡好的茶水大约需要放置多少分钟才能达到最佳饮用口感?(保留整数,参考数据:,.) 【答案】(1)见解析;(2) (i)(ii)大约. 【解析】 (1)解:由题意可知,高于的数据有3个,随机变量可能取值为0,1,2. ,,, 分布列为: 0 1 2 所以. (2)(i)根据实际情况可知,当时,,代入回归方程得到从而求出回归方程,再令,利用给出的数据可算出对应的的值. 计算每分钟的值与上一分钟值的比值,可知: 0 1 2 3 4 60 54 50 46 43 0.90 0.93 0.92 0.93 所以, 故回归方程为:. (ii)将代入,得 ,所以,两边取对数: 得:, 由参考数据知:,. 所以,, 所以, 所以,泡制一杯最佳口感茶水所需时间大约. PAGE 1