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  • ID:2-5969279 2020高考语文一轮复习第3部分专题14(第1-3讲)课件新人教版

    高中语文/高考专区/一轮复习

    第三部分 现代文阅读 专题十四 实用类文本阅读——非连续性文本阅读 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 第一步:①切片是将选项分为若干单位。(一般以一个逗 选项切片号为一单位)。②标关键词是将各切片中的主干 标关键词:词或重要的修饰限制词标出 第三步:要根据选项中关键词的提示,先找到文本对应的 回归原文「区域再找出具体的对应语句或词语。 找对应点 选项情况不同,比对的侧重点也要不同 ①概括转述性强的选项要侧重比对信息的“有 第三步:无”或内容要点的整合提炼的一致性。②评析 视情比对|:推断性强的选项要比对对原文思想观点、事件 确定正误性质等的评价的恰当与否,或者根据原文比对选 1项前后间推理是否合理。 第三部分 现代文阅读 专题十四 实用类文本阅读——非连续性文本阅读 第2讲 增强层次意识,攻克图表信息转述 * * * * * * * * * * * * * * * * * * 习成绩得分 50 40 30 20 10 05101520253035 练习天数 第三部分 现代文阅读 专题十四 实用类文本阅读——非连续性文本阅读 第3讲 非连续性文本的主观概括、比较分析题 * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * 可颈回 扫码看微课

  • ID:11-5969008 (鲁京津琼)2020版高考生物一轮复习加练半小时第九单元(第64-71练)(含解析)

    高中生物/高考专区/一轮基础复习

    第64练 1.(2018·洛阳高三上学期期中)调查法是生态学常用的研究方法,下列有关叙述正确的是(  ) A.调查土壤小动物类群丰富度常用取样器取样法 B.样方法只适用于调查植物种群的密度 C.用标志重捕法调查时,标记物的脱落,将会导致调查结果较实际值偏小 D.调查酵母菌种群数量的变化时,将样液滴入计数室后盖上盖玻片,再用显微镜观察 2.(2018·南昌高三二模)甲种群与乙种群存在生殖隔离,如图表示甲、乙种群个体数量比随时间变化的坐标图。据图可以得出的结论是(  ) A.甲、乙两种群的种间关系为捕食,其中乙为捕食者 B.甲、乙两种群均为“J”型增长,增长不受本身密度制约 C.甲、乙两种群为竞争关系,t时刻两种群竞争程度最低 D.0~t时间范围内,甲种群的出生率小于乙种群的出生率 3.(2019·本溪模拟)如图表示种群的各个特征之间的关系,下列叙述正确的是(  ) A.甲为出生率和死亡率,乙为迁入率和迁出率 B.丙为性别比例,主要通过影响出生率来间接影响种群密度 C.丁为年龄组成,每种类型包括老年、中年和幼年三个年龄期 D.种群密度是种群最基本的数量特征,调查方法有标志重捕法和取样器取样法 4.(2019·湖南师范大学附属中学高三模拟)蝴蝶为昆虫纲鳞翅目锤角亚目动物的统称,全世界有14000多种蝴蝶幼虫嗜食叶片,成虫大部分吸食花蜜。下列有关叙述错误的是(  ) A.16平方米草地上有8只蝴蝶可以表示蝴蝶的种群密度 B.若调查一长方形地块中某蝴蝶幼虫的种群密度,可用等距取样法取样 C.诱捕某种蝴蝶的雄性个体,会降低该种蝴蝶的种群密度 D.蝴蝶属于初级消费者,能加快生态系统的物质循环 5.某生物科技小组对一地段中的蒲公英进行调查,得到下表所示数据: 样方 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 X8 种群密度 (株/m2) 3 7 15 2 4 9 8 4 则下列说法正确的是(  ) A.该地蒲公英的种群密度为6.5株/m2 B.用此方法求得的种群密度与实际种群密度应完全相同 C.再重新选一次样方,所得的结果与这次应相同 D.利用此方法可调查池塘中某种鱼的种群密度 6.(2018·辽宁实验中学等五校高三期末)蚜虫是农作物常见的害虫,七星瓢虫是蚜虫的天敌,下图表示某农田生态系统中蚜虫和七星瓢虫种群数量的变化,下列说法不正确的是(  ) A.6月14日以后物种丰富度表现为先增加后降低 B.甲、乙种群分别表示蚜虫、七星瓢虫 C.调查蚜虫的种群密度可采用样方法 D.7月13日~26日,蚜虫的年龄组成为稳定型 7.(2018·湖南浏阳一中、醴陵一中、南方中学高三联考)如图表示种群增长速率与时间关系的变化曲线,下列说法正确的是(  ) A.该曲线表明,种群数量的变化只与时间有关而与其他物种无关 B.C~D段种群数量下降,主要原因有天敌、生活空间和资源有限等 C.该图可表示密闭的恒定容积培养液中酵母菌种群增长速率的变化曲线 D.若该种群为海洋经济鱼类,捕捞后种群数量最好保持在C时期的水平 8.(2018·江西调研)某岛屿上生活着一种动物,其种群数量多年维持相对稳定。该动物个体从出生到性成熟需要6个月。下图为某年该动物种群在不同月份的年龄组成(每月最后一天统计种群各年龄组的个体数)。关于该种群的叙述错误的是(  ) A.该种群10月份的出生率可能为零 B.天敌的迁入可影响该种群的年龄组成 C.该种群的年龄组成随着季节更替而变化 D.大量诱杀雄性个体不会影响该种群的密度 9.大蚂蚁和小蚂蚁生活在某地相邻的两个区域。研究者在这两个蚂蚁种群生活区域的接触地带设4种处理区,各处理区均设7个10m×10m的观测点,每个观测点中设有均匀分布的25处小蚂蚁诱饵投放点。在开始实验后的第1天和第85天时分别统计诱饵上小蚂蚁的出现率并进行比较,结果见下表。 处理区 小蚂蚁出现率的变化/% 定时灌溉 不驱走大蚂蚁 增加35 驱走大蚂蚁 增加70 不灌溉 不驱走大蚂蚁 减少10 驱走大蚂蚁 减少2 对本研究的实验方法和结果分析,表述错误的是(  ) A.小蚂蚁抑制大蚂蚁的数量增长 B.采集实验数据的方法是样方法 C.大蚂蚁影响小蚂蚁的活动范围 D.土壤含水量影响小蚂蚁的活动范围 10.(2019·济南一中质检)某研究机构对我国北方草原一种主要害鼠——布氏田鼠进行了调查。调查样方总面积为2hm2(1hm2=10000m2)。在调查区内,放置100个捕鼠笼,在一夜间对布氏田鼠进行初捕,将捕获的鼠经标记后在原地释放。3日后,在同一地方再放置同样数量的捕鼠笼进行重捕,结果如下表所示。请回答下列问题: 项目 捕获 数(只) 标记 数(只) 雌性个 体数(只) 雄性个 体数(只) 初捕 32 32 14 18 重捕 36 4 18 18 (1)该草地布氏田鼠的平均种群密度为________只/hm2。事实上田鼠在被捕捉过一次后更难捕捉,上述计算所得的平均种群密度与实际种群密度相比可能会偏______。 (2)调查甲、乙两草原所捕获鼠的月龄,它们的月龄组成如下图所示。据图分析:乙草原的田鼠种群属于______型;甲草原的田鼠种群属于________型。 11.(2018·南阳方城一中等五校联考)请回答下列与种群特征有关的问题: (1)某生物课外小组对一个草原生态系统进行了相关的生态学调查。采用样方法调查草原中某种植物的种群密度,取样的关键是要注意____________。若选取5个样方,种群密度分别是每平方米N1、N2、N3、N4、N5(株),则该植物的种群密度约为__________________________株/m2。 (2)如图表示的是四种不同种群中不同年龄的个体所占的比例,其中种群密度会越来越小的是________。 (3)某同学对一云杉林的种群密度进行调查统计,将统计到的植株按高度(h)分为5级,每一级的植株数量如下表所示: 等级 高度(cm) 数量(株) a级 h≤10 120 b级 10<h≤30 62 c级 30<h≤100 32 d级 100<h≤300 16 e级 h>300 6 分析表中数据可知,此云杉种群的年龄组成属于__________________________。 答案精析 1.A 2.C [甲种群与乙种群存在生殖隔离,说明是两个物种。题图显示:随时间的推移,甲乙种群个体数量的比先增加后减少,最后在t时刻降为零,说明甲种群生物的数量先增后减,最终被淘汰,因此甲、乙两种群为竞争关系,t时刻两种群竞争程度最低,A错误、C正确;在有限的环境条件下,乙种群最终呈“S”型增长,甲种群生物最终被淘汰,但甲、乙两种群的增长都受本身密度制约,B错误;0~t时间范围内,甲种群出生率先高于乙种群的出生率,而后二者的出生率相等,最后甲种群的出生率小于乙种群的出生率,D错误。] 3.B 4.A [蝴蝶的活动能力和范围较大,16平方米面积太小,8只蝴蝶不一定都是同一种生物,因此16平方米草地上有8只蝴蝶不能表示蝴蝶的种群密度,A错误;若调查一长方形地块中某蝴蝶幼虫的种群密度,因该蝴蝶幼虫的活动能力较弱,所以可用等距取样法取样,B正确;诱捕某种蝴蝶的雄性个体,会打破该种蝴蝶的性别比例,进而降低其种群密度,C正确;蝴蝶幼虫嗜食叶片,成虫大部分吸食花蜜,因此属于初级消费者,能加快生态系统的物质循环,D正确。] 5.A [对植物种群密度的调查采用的是样方法,由于是通过调查求取的平均值,所以它是相对接近真实值的,但并不是真实值。] 6.A 7.D [据图分析,种群数量变化与时间有关,另外与捕食者和竞争者之间的数量关系也有关,A错误;因为存在天敌、生活空间和资源有限等原因,C~D段种群增长速率减慢,但种群数量仍然在缓慢增加,B错误;因为代谢产物的积累、pH变化、溶解氧不足等原因,酵母菌的种群数量在后期可能减少,即不能维持种群数量相对稳定(或者后期增长速率小于0),C错误;若该种群为海洋经济鱼类,种群数量最好保持在C时期,因为此时种群增长速率最快,能持续获得最大产量,D正确。] 8.D 9.A 10.(1)144 高 (2)稳定 增长 解析 (1)根据标志重捕法的计算公式可知,重捕取样中标记比例与样方总数中标记的比例相等,则M∶N=m∶n,所以N=M·n/m=(32×36)/4=288(只),由于测定的是2hm2的数量,因此该草地布氏田鼠的平均种群密度为288/2=144(只/hm2);田鼠在被捕捉过一次后更难捕捉,因此捕获被标记的田鼠数量比实际值小,故求得的田鼠总数就比实际值要高。(2)根据“月龄组成”图可知,甲种群属于增长型,乙种群属于稳定型。 11.(1)随机取样 (N1+N2+N3+N4+N5)÷5 (2)A (3)增长型 解析 (1)用样方法调查植物的种群密度时,应随机取样,调查不同的植物类型时样方面积应不同,样方大小根据调查的对象来确定。种群密度分别是每平方米N1、N2、N3、N4、N5(株),则该植物的种群密度约为其平均值。(2)A种群中幼年个体较少,而老年个体较多,这样的种群正处于衰退时期,种群密度会越来越小。(3)从题干提供的表格信息可知,幼年个体很多,老年个体较少,可以确定此云杉种群的年龄组成属于增长型。 1 第65练 1.(2018·鞍山第一中学高三二模)某高级中学迁入新建校园14年,校园中鸟纲鹎科动物白头鹎在14年间的种群增长速率如表所示。据表分析可知(  ) 年份 第2年 第4年 第6年 第8年 第10年 第12年 第14年 增长 速率 0.66 1.52 2.83 3.69 2.91 1.20 0.03 A.这14年中白头鹎种群的数量呈“J”型增长 B.第12年时白头鹎种群的年龄组成为衰退型 C.研究时用样方法调查白头鹎的种群密度并经计算得出表中的数据 D.白头鹎在该中学的环境容纳量约为第8年时白头鹎种群数量的两倍 2.(2019·佛山一模)假设在某草原上散养的某种家畜的种群呈“S”型曲线增长,该种群的增长速率随时间的变化趋势如图所示。下列叙述中不正确的是(  ) A.种群增长速率为甲时,该家畜种群的年龄组成为增长型 B.种群增长速率为乙时,该家畜种群的数量达到最大值 C.若要持续尽可能多地收获该家畜,可以在丙点时适当捕获 D.种群增长速率为丁时对应的种群数量可随环境的变化而发生变化 3.在资源和空间有限的条件下,种群数量呈“S”型增长。如图是某藻类在不同环境温度下的种群增长曲线,下列有关叙述不正确的是(  ) A.环境容纳量随环境温度不同而改变 B.19.8℃条件下环境容纳量最小 C.24.8℃条件下第5天左右的种群增长速率最大 D.33.6℃条件下种群数量将维持在K值恒定不变 4.(2018·山大附中月考)图1和图2表示出生率、死亡率、净补充量(出生率与死亡率之差)和种群密度的关系,下列有关叙述正确的是(  ) A.图1中曲线a代表死亡率,曲线b代表出生率 B.海洋鱼类捕捞后应使鱼类的数量保持在图1的E点 C.图2中在F点控制有害动物最有效 D.图2中G点代表种群的环境容纳量 5.如图表示在锥形瓶中用不同方式培养酵母菌时的种群增长曲线。图中曲线⑤是对照组,其余曲线代表每3h、12h、24h换一次培养液及不换培养液但保持pH恒定,4种不同情况下酵母菌种群增长曲线。下列叙述不正确的是(  ) A.①②③分别代表每3h、12h、24h换一次培养液的种群增长曲线 B.在保持培养液的更换频率不变的情况下,曲线①将保持“J”型增长 C.造成曲线⑤K值较小的原因可能是代谢产物的积累、pH变化、溶解氧不足等 D.若用血细胞计数板统计细胞数量,不能直接从静置的培养瓶中取出培养原液进行计数 6.(2019·吉安第一中学高三周考)科研小组对某地两个种群的数量进行了多年的跟踪调查,并研究Nt+1/Nt随时间的变化趋势,结果如图所示(图中Nt表示第t年的种群数量,Nt+l表示第t+1年的种群数量)。下列分析正确的是(  ) A.甲种群在O~t3段的年龄组成为增长型 B.乙种群在O~t1段的种群数量呈“J”型增长 C.乙种群在t2时数量最少 D.甲种群在t3后数量相对稳定可能是生存条件得到了改善 7.(2018·滨州联考)种群在理想环境中呈“J”型曲线增长(如曲线甲),在有环境阻力条件下呈“S”型曲线增长(如曲线乙)。下列有关种群增长曲线的叙述,正确的是(  ) A.若乙表示某害虫种群增长曲线,则在种群数量达到c点时防治,防治成本最低 B.图中c点时,环境阻力最小,种群增长速率最快 C.种群数量达到K值以后,种群的基因频率将保持不变 D.若乙表示一段时间内酵母菌种群增长曲线,通过镜检观察统计的结果可能比实际值低 8.如图所示是将绵羊引入某个岛屿后其数量变化情况(图中小圆圈表示特定时间内该种群的个体数)。请分析该图,种群达到约2500只时,下列叙述正确的是(  ) A.环境因素对种群的影响没有作用 B.种群的数量保持相对稳定 C.食物将不再是限制种群发展的因素 D.出生率小于死亡率 9.(2018·哈尔滨第三中学高三四模)森林生态系统主要以高大的乔木为主,同时拥有丰富的其他动植物资源,物种多样性程度较高。回答下列问题: (1)森林生态系统中的苔藓、油松、松鼠、红隼等全部生物共同构成了____________,其除了明显的垂直结构,有利于提高利用阳光等资源的能力之外,还具有__________结构。其中油松等植物因体型大、数量多、生命力强而成为该地的__________。 (2)若要调查该地区的物种数量,依据图甲可知选取样方的最佳面积为________。 (3)森林生态系统中的部分地区人工林纯度较高,容易出现虫灾。图乙所示为林业部门对某次害虫生物防治过程中种群数量变化的调查结果,由图可知,该防治依据的原理是__________________,导致害虫种群数量下降的直接原因是________________________。 10.(2019·梅河口第五中学高三周测)某野外调查小组在我国东部地区对东部群落进行深入调查,获得下面有关信息资料,请分析回答问题: (1)该野外调查小组通过调查获得了树林中物种数与样方面积的关系图(如图1),该研究方法叫做__________。 (2)调查小组对该地区的树种进行了辨认和挂牌(如图2),并进行生物多样性研究:树木A与树木B之间的差异属于__________多样性,主要是由____________________和____________引起的。树木A与树木D、E、G之间的差异属于________多样性。 (3)调查小组对一块荒地的几种植物的种群密度进行了连续五年的调查,调查的结果如下表所示(单位:株/m2)。 年份 植物 2001 2002 2003 2004 2005 A 10.0 9.2 8 6.8 5.5 B 3.0 2.1 1.1 0.3 0.1 C 0.3 0.6 1.1 1.5 2.3 D 3.0 2.0 0.4 0 0 如果4种植物中有一种属于入侵物种,则该入侵物种是________;入侵物种往往会对本土物种造成危害,其主要原因是__________________________________________________ ________________________________________________________________________。 (4)图3是调查小组从当地主管部门获得的某物种种群数量的变化图,据此分析该种群在30年中种群数量最少的是第________年,第20~30年种群的增长率为________。 答案精析 1.D 2.B [种群增长速率为甲时,该家畜种群的数量处于增加状态,说明该种群的年龄组成为增长型,A项正确;乙表示该种群的最大增长速率,呈“S”型曲线增长的该家畜种群的增长速率为乙时,该家畜种群的数量为K/2,B项错误;收获该家畜的最佳时间是超过K/2(如丙点),这样收获后,可使其种群数量降至K/2,以保持最大的增长速率,可持续尽可能多地收获该家畜,C项正确;种群增长速率为丁时对应的种群数量达到K值,K值可随环境的变化而发生变化,D正确。] 3.D 4.D [图1中曲线a代表出生率,曲线b代表死亡率,A项错误;海洋鱼类捕捞后应使鱼类的数量保持在K/2时,E点为K值,B项错误;在F点时种群数量增长最快,不利于控制有害动物的数量,C项错误;图2中的G点对应图1中的E点,均表示种群的环境容纳量,D项正确。] 5.B 6.B [种群数量变化的“J”型曲线中λ值(即Nt+1/Nt)不变,而“S”型曲线的λ值是变化的,λ>1种群数量增加,λ=1种群数量相对不变,λ<1种群数量减少;分析图中曲线可知,甲种群在O~t3段λ值先小于1后大于1,故种群的年龄组成先为衰退型后为增长型,A错误;乙种群在O~t1段λ值始终大于1且保持不变,故该时段种群数量呈“J”型增长,B正确;乙种群在t2时前后λ值始终小于1,种群数量一直下降,t3以后λ=1,故t3时数量最少,C错误;甲种群在t3后λ值始终大于1且保持不变,故该时段种群数量呈“J”型增长,D错误。] 7.D 8.B [种群的“S”型增长曲线的特点是开始时经过一个适应环境的停滞期后,进入迅速增长时期,种群密度增加,然后由于食物、空间等生态因素的影响,使得增长速率变慢,最后增加量和减少量相等,种群不再增长而达到最高密度的稳定期,这时种群增长速率为零,种群的数量保持相对稳定。] 9. (1)生物群落 水平 优势种 (2)S5 (3)降低环境容纳量 害虫死亡率大于出生率 10.(1)样方法 (2)基因 基因突变 基因重组 物种 (3)C 新环境中缺少天敌或其他限制因素,因此繁殖很快,抢占食物、空间等资源 (4)20 0 1 第66练 1.关于群落的描述不准确的是(  ) A.水平结构上种群分布与土壤湿度、光照强度及生物自身的生长特点有关 B.同一时间栽培,长势相同的人工马尾松形成树林,该群落不存在垂直结构的分层现象 C.自然群落往往是向物种丰富度越来越高的方向演替,而且种间关系越来越复杂 D.沙丘上造林说明人类活动可改变群落演替的方向和速度 2.早在宋代,我国就产生了四大家鱼混养技术。下图表示某池塘中四大家鱼及其食物的分布,下列相关分析正确的是(  ) A.四大家鱼在池塘中的分布具有垂直分层现象 B.此图表明四种鱼类在能量流动上的关系为鲢鱼→鳙鱼→青鱼 C.鲢鱼和鳙鱼、青鱼和草鱼在混合放养时都是互利共生关系 D.若浮游动物大量死亡,鲢鱼数量将以“J”型曲线持续增长 3.(2018·济宁实验中学高三一轮复习)下图甲表示弃耕农田的群落演替情况,图乙、丙、丁表示演替过程中各种量随时间的变化曲线。下列有关分析不正确的是(  ) A.图甲中,b点时只存在群落的水平结构,d点时存在群落的垂直结构和水平结构 B.图乙可表示演替过程中物种丰富度与时间的关系 C.图丙可表示该地块上恢复力稳定性与时间的关系 D.图丁可表示草本植物数量随时间变化的情况 4.(2018·梅河口第五中学高三周测)将两种仓库害虫拟谷盗和锯谷盗共同饲养于面粉中,两者数量变化如图所示。据图判断,下列说法正确的是(  ) A.拟谷盗种群增长率的最大值出现在第50天以后 B.拟谷盗种群似呈“S”型增长,其增长受种内斗争因素制约 C.拟谷盗种群和锯谷盗种群为竞争关系,竞争程度由强到弱 D.拟谷盗种群和锯谷盗种群为捕食关系,因此拟谷盗必须依赖于锯谷盗种群 5.(2018·南宁第三中学调研)四个生物群落分别包含若干种群,下图中给出了这些种群的密度(每平方米的个体数),当受到大规模虫害袭击时,不易受到影响的群落是(  ) A.群落甲B.群落乙C.群落丙D.群落丁 6.下列关于实验“土壤中小动物类群丰富度的研究”的说法中,正确的是(  ) A.对于无法知道名称的小动物,可忽略,不必记录下它们的特征 B.丰富度的统计方法有两种:一是取样器取样法;二是目测估计法 C.为了调查不同时间土壤中小动物丰富度,可分别在白天和晚上取同一地块的土样进行调查 D.许多土壤小动物有较强的活动能力,可采用标志重捕法调查土壤小动物类群丰富度 7.(2018·枣强中学高三月考)在一段新建公路的边坡(甲)上移栽灌木和草本植物以保护边坡,另一段边坡(乙)不进行移栽,其他实验条件相同,1年后两段边坡的检测结果如下表。下列分析合理的是(  ) 边坡 处理方式 植被覆盖率 (%) 小型土壤动物 土壤有机质 (g/kg) 物种数 个体数 甲 种植植物 97 37 260 19.8 乙 不干预 8 9 28 11.9 A.可以推测移栽植物会降低该群落结构的稳定性 B.小型土壤动物的增多是移栽植物的预期结果 C.边坡甲上因没有移栽乔木而不可能自然长出乔木 D.边坡甲上的群落演替会随时间延长而逐渐加剧 8.(2019·泉州检测)科学家通过研究种间捕食关系,构建了捕食者—猎物模型,如图所示(图中箭头所指方向代表曲线变化趋势)。下列相关叙述错误的是(  ) A.该模型属于数学模型 B.猎物和捕食者之间存在负反馈调节 C.猎物和捕食者K值的数据分别为N3和P3 D.图中猎物和捕食者的关系是自然选择的结果,对双方种群的繁殖都有利 9.图1表示4个不同地区的4种森林群落,其中不同的树轮廓表示不同树种,每一树轮廓分别代表10个个体,根据图形判断下列说法错误的是(  ) A.图1的群落中,具有最高的物种丰富度的是西部群落 B.若调查图2所示地区群落物种数,最合适的样方面积是S0m2 C.在样方设置与抽样过程中要遵循样方面积大小均等和随机取样等原则 D.干旱荒漠地区大片耕作区将退耕,随着时间推移,群落最终将演替成图1中的大片森林 10.(2019·厦门第一中学高三模拟)近几十年随着森林不断遭到砍伐,马鹿的栖息环境受到了很大的破坏。为了更好地保护马鹿,科研人员进行了研究。请回答: (1)马鹿的栖息环境受到了很大的破坏,导致生活在该空间的马鹿的________降低,马鹿种群数量降低。同时生境破碎化会加快物种的灭绝,导致群落中________________降低。(注:生境是指生物生活的空间和全部生态因子的总和) (2)科研人员冬季调查得到不同类型的生境占森林总面积的比例(记为M)和马鹿在不同生境类型中的出现频率(记为N),结果如下图所示。 由图可知,在________中没有观察到马鹿活动点。结合M和N分析,马鹿冬季最喜欢的生境是______________,判断依据是____________________________________________。 11.保护生态环境,实现可持续发展,某地区实施退耕还林之后,群落经过数十年的演替发展为树林。 甲、乙、丙分别表示群落演替的三个连续阶段中,植物优势种群数量的变化情况 种名 山桃 丁香 油松 刺槐 山桃 1 丁香 0.124 1 油松 0.125 0.734 1 刺槐 0.148 0.761 0.884 1 注:上表所示科研人员对林地植被的种群密度进行调查后,对阳坡的物种生态位重叠(即两个物种在同一资源状态上的相遇频率)变化进行分析的结果。 请根据图形及数据回答下列问题: (1)根据图分析,该群落的演替类型是______________。该群落发展至第3阶段时,甲、乙、丙之间为__________关系。该群落的空间结构应具有____________现象。 (2)在该演替过程中,由于群落的物种数目即__________提高,导致生态系统的________稳定性会逐渐提高。 (3)根据表中数据可知,阳坡群落物种中竞争最激烈的是________________。有一种鞭毛藻能感受光线的强弱,可借助鞭毛移动到光线合适的位置进行光合作用,这说明________________________离不开信息的作用。 12.(2019·宜宾高三诊断)下图是科学家研究种间关系的实验结果,请据图回答下列问题: 图1 两种草履虫单独和混合培养时的种群动态 (1)图1中在4~10天时,混合培养时双小核草履虫数量低于单独培养时的原因是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________, 16天后大草履虫数量下降变为0的原因是_____________________________________ ________________________________________________________________________。 图2 大草履虫和袋状草履虫混合培养 (2)图2中两种草履虫混合培养的最终结果是________________。研究发现,混合培养时,大草履虫多生活于培养试管的中、上部,而袋状草履虫生活于底部,其分布体现了群落的__________________结构。 (3)图中影响草履虫各种群数量变化的直接因素是_______________________________ ________________________________________________________________________。 答案精析 1.B [任何一个群落都存在垂直结构的分层现象,故B错误。] 2.A 3.A [图甲中,b点和d点时都存在群落的水平结构和垂直结构,A错误;群落演替过程中,物种丰富度不断提高,最终趋于稳定,因此图乙可表示演替过程中物种丰富度与时间的关系,B正确;群落演替过程中,物种丰富度不断提高,生态系统的抵抗力稳定性增强,而恢复力稳定性减弱,因此图丙可表示该地块上恢复力稳定性与时间的关系,C正确;群落演替过程中存在“优势取代”现象,因此图丁可表示草本植物数量随时间变化的情况,D正确。] 4.B 5.D [根据图形中的信息可知,丁群落物种丰富度最高,而且各物种比例恰当,所以当受到大规模虫害袭击时,该群落不易受到影响,D项正确。] 6.C 7.B [根据表中数据可知,移栽植物的边坡物种数较多,营养结构复杂,群落结构稳定,A错误;小型土壤动物的增多是移栽植物的预期结果,B正确;边坡甲可能自然长出乔木,C错误;边坡甲上的群落演替会随时间延长而趋于稳定,D错误。] 8.C 9.D [四种群落中,西部群落的树种最多,故物种丰富度最高的是西部群落,A项正确;图2所示地区样方面积为S0m2时物种数不再增加,故调查物种数时样方面积最好是图2中的S0m2,B项正确;抽样过程中样方面积大小应均等,并要随机取样,C项正确;干旱荒漠地区由于缺乏水分,群落不一定能演替成大片森林,D项错误。] 10.(1)环境容纳量 物种丰富度(或“生物多样性”) (2)农田 皆伐迹地 N与M的差值最大 11.(1)次生演替 竞争 垂直分层 (2)物种丰富度 抵抗力 (3)油松和刺槐 生命活动的正常进行 12.(1)混合培养时,两种草履虫生活习性相似,导致对食物和空间等的竞争 随着两种草履虫数量的增加,竞争加剧,大草履虫在竞争中处于劣势,最终因无法获取食物而死亡 (2)两种群共存 垂直 (3)出生率和死亡率 1 第67练 1.(2018·新余第四中学高三上学期第一次段考)如图表示某生态系统各成分(丁为非生物环境)之间的关系,有关分析错误的是(  ) A.太阳能通过甲输入生态系统 B.参与构成食物链的成分有甲和乙 C.碳元素在乙与丙之间以CO2形式传递 D.丙主要是指营腐生生活的细菌和真菌 2.(2018·东北育才中学高二期中)下图所示为某河流中食物网结构示意图,下列说法正确的是(  ) A.该食物网中含有生态系统中所有的生物成分 B.鳜鱼属于第三、四营养级 C.该食物网能量的来源只有水草固定的太阳能 D.该河流中引入外来物种有利于增加生物多样性 3.(2018·柳州模拟)下图是某生态系统的营养结构,其中竞争最为激烈的是(  ) A.狼和兔 B.狼和红狐 C.兔和鼠 D.昆虫和青草 4.(2019·河南实验中学质检)如图表示某生态系统的食物网。下列有关叙述中,不正确的是(  ) A.生态系统中的食物链交错连接形成食物网的原因是多种生物在食物链中占有不同营养级 B.该食物网由8条食物链组成,蛇与鼠、食虫鸟与蛙的关系分别是捕食和竞争 C.该图仅体现了生态系统成分中的生产者和消费者,未体现的成分是分解者 D.鹰在植物→鼠→蛇→鹰这条食物链中属于三级消费者、第四营养级 5.(2019·山大附中质检)如图表示一个海滩湿地生态系统中部分生物的食物关系。下列有关分析错误的是(  ) A.细菌既可作为分解者,又可作为消费者的食物 B.第三营养级的生物有食草虫、线虫、海螺 C.若大米草死亡,将导致细菌数量增加,沼蟹数量亦增加 D.若喷洒只杀灭食草虫的杀虫剂,则蜘蛛数量将减少 6.(2018·北京顺义区高三第二次统练)在一个生态系统中,许多食物链彼此相互交错连接的复杂营养关系构成了食物网。如图是一个陆地生态系统食物网的结构模式图。下列各项叙述中,不正确的是(  ) A.生态系统中生产者有2个,是该生态系统的主要成分 B.若丙种群数量下降20%,辛种群数量不会发生明显变化 C.在该食物网中辛占有3个营养级 D.只在丁和辛、丙和乙之间既存在竞争关系又存在捕食关系 7.(2018·延边高考模拟)如果一个生态系统有四种生物,并构成一条食物链,在某一时间分别测得这四种生物(甲、乙、丙、丁)所含有机物的总量如下图所示。在一段时间内(  ) A.如果乙的数量增加,则会引起甲、丙数量增加 B.如果乙大量捕食甲,会降低甲种群的丰富度 C.丁的数量发生变化,不会影响乙的环境容纳量 D.甲与乙之间存在反馈调节,以维持其相对稳定 8.(2019·厦门质检)如图是生态系统中碳循环示意图,图中“→”表示碳的流动方向。以下叙述正确的是(  ) A.碳元素以二氧化碳形式从D传到A和F B.D→A→B→E构成了一条食物链 C.图中包含了7条食物链 D.B和F之间的关系为竞争和捕食 9.长期处于相对稳定状态的生态瓶中只有一条食物链,共含有三个营养级。若每个营养级每日每小时的耗氧量如图中曲线所示,则曲线a、b、c所反映的营养级依次是(  ) A.第三营养级、第二营养级、第一营养级 B.第三营养级、第一营养级、第二营养级 C.第二营养级、第三营养级、第一营养级 D.第一营养级、第二营养级、第三营养级 10.(2018·滕州一中月考)如图是一个生态系统内组成成分的相互关系图,下列有关说法正确的是(  ) A.该生态系统的成分包括b、c、d、e、f B.若b产生60mol氧气,则流入c的能量一般不超过相当于2mol葡萄糖的能量 C.由于长期使用DDT,c类群产生了对DDT的抗药性,c类群抗药性的增强是基因突变的结果 D.可以用标志重捕法调查某种植物b的种群密度 11.(2018·长春质检)图1表示含有大量绿藻、水草、芦苇、香莲等新型池塘生态系统模式图。图2中a~d表示藻类和鲢鱼能量流动过程中,不同去向能量的相对值。 (1)根据图1回答问题: ①该池塘中的芦苇、香莲属于挺水植物,绿藻属于浮游植物,水草属于沉水植物,这一现象体现了群落具有____________结构。 ②芦苇与香莲的种间关系属于________。 ③在人工影响下,池塘的物种逐渐丰富,其群落演替类型属于____________。 ④如果鱼类大量死亡,分解者的数量变化情况是___________________________________ ________________________。 (2)若图2中c1=a2+b2+c2+d2,则从藻类到鲢鱼的能量传递效率为________________(用字母表示)。c2表示什么含义?_______________________________________________。 12.图1表示一个人工白杨林中的食物网简图。苔类与物种C、G和I生活于白杨树中层的树枝表面,物种A、E和F则在白杨林中部来回飞动寻找食物。 (1)图1中共有______________条食物链,次级消费者是__________;二者之间既有捕食关系又有竞争关系的是____________________。 (2)如果因某种原因,物种E突然大量减少,而较长时间内发现A的数量无明显变化,这是因为________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。 (3)物种A的食物中各种类所占比例如图2所示。除去物种A一年后,与对照地区相比,该处种类组成发生了很大变化,其中________将成为优势种,而物种E和F数量大量减少的原因是________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。 13.(2019·泉州质检)图甲是某草原生态系统中几种生物之间的食物关系示意图,据图回答下列问题: (1)图甲中共有________条食物链,蚱蜢属于__________消费者。 (2)同时具有两个营养级的动物是________,占第________营养级。 (3)蛇和鹰的关系是________________________。 (4)给牧草施加含32P标记的复合肥后,检测32P在蚱蜢和青蛙体内的放射性强度,结果见图乙,图中B为________。若增加对鹰和蛇体内的放射性强度的检测,则达到最高峰时的强度应______(填“高于”或“低于”)前两者。 (5)商贩在某一时间大量收购蛇,导致蛇数量大量减少,则鹰的数量会________,青蛙的数量________。 答案精析 1.C [依题意和图示分析可知:甲为生产者,乙为消费者,丙为分解者。太阳能通过生产者的光合作用输入生态系统,A项正确;参与构成食物链的成分是生产者和消费者,即甲和乙,B项正确;碳元素在乙和丙之间以有机物的形式传递,C项错误;分解者主要是指营腐生生活的细菌和真菌,D项正确。] 2.B 3.C [在生态系统中,处于同一营养级的生物因为共用相同的资源而竞争激烈。狼和兔、昆虫和青草均处于不同的营养级无竞争关系,A、D项错误;狼和红狐、兔和鼠都处于同一营养级,但狼和红狐还有各自的食物来源,竞争程度小于兔和鼠,B项错误,C项正确。] 4.C 5.B [细菌在生态系统中可以作为生产者、消费者或分解者,图示中的细菌可以作为消费者线虫的食物,A项正确;食物链的营养级一般以捕食链划分,生产者为第一营养级,食草虫、线虫和海螺都是第二营养级,第三营养级的生物有沼蟹和蜘蛛,B项错误;若大米草死亡,则细菌数量增加,以细菌为食的线虫数量增加,沼蟹数量亦增加,C项正确;若喷洒只杀灭食草虫的杀虫剂,则蜘蛛的食物减少,引起蜘蛛数量减少,D项正确。] 6.D [由图可知,除丁和辛、丙和乙之间存在竞争和捕食关系外,乙和丁之间也存在竞争和捕食关系。] 7.D 8.B [分析题图可知,C是大气中的二氧化碳库,D是生产者,A、B、E是消费者,F是分解者。碳元素在生物群落和无机环境之间以二氧化碳的形式循环,在生物群落内部以含碳有机物的形式传递,A项错误;根据生产者与各级消费者之间的食物关系可知,D→A→B→E构成了一条食物链,B项正确;食物链中不含有分解者,图中只有一条食物链,C项错误;F是分解者,B和F之间没有捕食和竞争关系,D项错误。] 9.D [由图示曲线可看出,a物种耗氧量随时间发生了较大的变化,说明a可以产生氧气,为生产者;b的耗氧量大,为初级消费者;c的耗氧量最小,为次级消费者。生产者是第一营养级,初级消费者是第二营养级,次级消费者是第三营养级。] 10.B [分析图形可知,c是初级消费者,e是三级消费者。生态系统的成分包括生物部分与非生物部分,A项错误;若生产者b产生60 mol氧气,则产生葡萄糖的量为10 mol,因此流入c的能量一般不超过相当于10×20%=2 mol葡萄糖的能量,B项正确;抗药性的增强是药物对动物抗药性变异长期选择的结果,C项错误;可以用样方法调查某种植物b的种群密度,D项错误。] 11.(1)①垂直 ②竞争 ③次生演替 ④先增后减,最后趋于稳定 (2)c1/(a1+b1+c1+d1)[或(a2+b2+c2+d2)/(a1+b1+c1+d1)] 流入第三营养级的能量(或第三营养级的同化量) 解析 (1)①人工湿地中的芦苇属于挺水植物,绿藻属于浮游植物,水草属于沉水植物,这一现象体现了群落具有垂直结构。②香莲和芦苇都属于挺水植物,生活于同一生态位,因此它们属于竞争关系。③在人工影响下,池塘的物种逐渐丰富,该演替是在原生物群落的基础上进行的,故为次生演替。④如果池塘鱼类大量死亡,池塘中分解者的数量先增加,当分解者增加到一定数量时,由于生存环境限制及种内斗争的加剧,导致分解者的数量又减少,最后趋于稳定。(2)能量传递效率是相邻两个营养级同化量之比。由图2可知,藻类的总能量为a1+b1+c1+d1,由于c1=a2+b2+c2+d2,所以从藻类到鲢鱼的能量传递效率为c1/(a1+b1+c1+d1)。c2表示流入第三营养级的能量即第三营养级的同化量。 12.(1)7 I、D、A A和D (2)E在食物网中的位置可由同营养级的其他多种生物代替 (3)C C大量繁殖,占据了白杨树中层的树枝表面,使苔类不能生长,物种E和F因失去食物而数量减少 解析 (1)由图1分析可知,该食物网中共有7条食物链,以苔类为第一营养级的食物链有2条,以白杨树为第一营养级的食物链有5条,次级消费者有I、D、A;其中A与D有共同的食物G、C,且D是A的食物,因此二者之间既有捕食关系又有竞争关系。(2)由于有C、F、G等多种动物与E处于同一营养级,当E大量减少时,E在食物网中的位置可由同营养级的其他多种生物替代,因而A的数量基本不受影响。(3)由图2可知,C是A最主要的食物来源,除去A,C将大量繁殖,成为优势种。据题干信息可知,苔类与物种C生活于白杨树中层的树枝表面,而E、F则以白杨树中层的树枝表面的苔类为食,C的大量繁殖使苔类减少,进而导致E、F减少。 13.(1)4 初级 (2)鹰 四、五 (3)捕食和竞争 (4)青蛙 高于 (5)增加 基本不变 解析 (1)图甲中共有4条食物链,蚱蜢处于第二营养级,属于初级消费者。(2)鹰同时占第四、五两个营养级,其他生物都只有一个营养级。(3)蛇和鹰的关系有捕食和竞争两种。(4)因蚱蜢所处的营养级低于青蛙,故青蛙体内的放射性出现的时间应落后于蚱蜢。鹰和蛇所处的营养级高于蚱蜢和青蛙,因此放射性强度达到峰值时应高于蚱蜢和青蛙。(5)蛇数量大量减少,但蚱蜢和蟋蟀的数量不变,故青蛙数目基本不变,但蛇减少后,由青蛙流向鹰的能量增加,因此鹰的数量增加。 1 第68练 1.(2019·梅河口第五中学高三周测)下图表示某池塘生态系统中饲养草鱼时的能量流动过程示意图,a~i表示能量值。关于该过程的叙述正确的是(  ) A.流经该生态系统的总能量为a B.第一、二营养级之间的能量传递效率为(g+h)/a C.第一、二营养级之间的能量传递效率为h/b D.可通过投放消化酶提高第一、二营养级之间的能量利用效率 2.(2019·日照检测)如图为草原生态系统的能量流动图解模型,A、B、C分别表示流入各营养级生物的能量,D、E、F分别表示各营养级生物用于生长、发育和繁殖的能量,G、H、I分别表示草、兔子、狼呼吸作用消耗的能量,J、K、L分别表示流入分解者的能量。下列说法中正确的是(  ) A.图中A=D,B=E,C=F B.K中能量包括兔子尸体及狼粪便中的能量 C.食物链中能量最少的是分解者所处的营养级 D.第一营养级与第二营养级间的能量传递效率是E/D 3.(2018·烟台高三高考适应性练习)某同学绘制了如图所示的能量流动图解,下列叙述正确的是(  ) A.生产者固定的总能量可表示为(A1+B1+C1+A2+B2+C2+D2) B.由生产者到初级消费者的能量传递效率为D2/W1 C.初级消费者摄入的能量为(A2+B2+C2) D.W1=D1+D2 4.(2018·湖南省长郡中学高三下学期临考冲刺)科学家对生活在某生态系统的一个蜘蛛种群的能量进行定量分析,得出了能量流经这种肉食动物的有关数据如图所示(能量以种群的质量表示),下列叙述正确的是(  ) ①被蜘蛛吃下未被蜘蛛同化的能量属于上一营养级同化量中的一部分 ②在食物链中,蜘蛛至少位于第三营养级 ③图中X代表用于蜘蛛生长、发育和繁殖的能量 ④根据图中的数据不能算出猎物种群和蜘蛛间的能量传递效率 A.①②③④ B.①②④ C.②③ D.③④ 5.(2019·绍兴质检)如图是能量流动的图解,对此图解的理解不正确的是(  ) A.图中方框的大小可表示该营养级生物所具有的能量多少 B.该图中C所具有的能量为B的10%~20% C.该图中的A表示流经该生态系统的总能量 D.图中所示四个营养级能量的关系为A≥B+C+D 6.下表是对某生态系统营养级和能量流动情况的调查结果[单位:102 kJ/(m2·a)]。表中的①②③④分别表示不同的营养级,⑤为分解者。GP表示生物同化作用固定的能量,NP表示生物体贮存着的能量(NP=GP-R),R表示生物呼吸消耗的能量。下列有关叙述正确的是(  ) GP NP R ① 15.91 2.81 13.10 ② 871.27 369.69 501.58 ③ 0.88 0.34 0.54 ④ 141.20 62.07 79.13 ⑤ 211.85 19.26 192.59 A.生态系统能量流动的渠道可能是②→④→①→③→⑤ B.能量在初级消费者和次级消费者之间的传递效率约为5.5% C.若该生态系统维持现在的能量输入、输出水平,则有机物的总量会增多 D.④营养级GP的去向中,未被利用的能量有一部分残留在自身的粪便中 7.(2018·长沙月考)下图所示为桑基鱼塘生态系统局部的能量流动示意图,图中字母代表相应的能量。下列有关叙述不正确的是(  ) A.如果c1表示蚕传递给分解者的能量,则b1表示未被利用的能量 B.图中b表示桑树呼吸作用散失的能量 C.图中的c可表示桑树用于生长、发育和繁殖的能量 D.图中d1/d可表示第一营养级到第二营养级的能量传递效率 8.(2018·临川调研)下图表示生态系统中各营养级能量的类型和去向(d表示该营养级未被利用的能量)。下列相关叙述中不正确的是(  ) A.图中a1、a2可表示生产者与消费者的呼吸量,但所占比例不同 B.图中能量传递效率为(a2+b2+c2+d2)/(a1+b1+c1+d1) C.消费者从生产者摄取的能量数值可用b1表示,且此部分能量存在于有机物中 D.在食物链中,各营养级获得能量的方式及能量的用途相同 9.图1为某池塘生态系统的能量金字塔简图,其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分别代表不同的营养级,m1、m2代表不同的能量形式。图2表示能量流经该生态系统某一营养级的变化示意图,其中a~g表示能量值的多少。请据图回答下列问题: (1)图2中,若A表示图1中营养级Ⅱ所摄入的全部能量,则B表示营养级Ⅱ同化的能量,C表示____________________________。若图1中营养级Ⅰ所固定的太阳能总量为y,营养级Ⅰ、Ⅱ间的能量传递效率是__________(用图中所给字母表示)。 (2)若图1中营养级Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ各有一种生物甲、乙、丙,构成食物关系如图3。其中甲能量中比例为x的部分直接提供给丙,要使丙能量增加AkJ,至少需要消耗甲的能量是__________________kJ。 (3)除图1中所示的生物类群,该生态系统的生物组成成分还应有________才能保证其物质循环的正常进行。 10.(2018·青岛月考)如图是某人工鱼塘生态系统能量流动图解[能量单位:J/(cm2·a)]。请回答下列问题: (1)输入该生态系统中的总能量为________J/(cm2·a),图中第二、三营养级之间的能量传递效率约为________________________________________________________________________。 (2)图中A可表示__________________,图中输出的能量在生物体内的存在形式是______________。 (3)某个季节,由于光照减弱,导致鱼塘中某种鱼向上层转移,此现象表明:环境因素的改变,可使生物群落的________结构发生改变。群落中动物的明显分层现象,依赖于植物为其创造的______________________。 11.(2018·抚州市临川二中高三第五次训练)图甲为某草原生态系统的食物网关系图,图乙为该生态系统中与鼠相关的能量流动过程,图中字母代表能量值。请回答下列问题: (1)图甲中存在________条食物链,蛇和鹰的种间关系为______________。 (2)假设蛇所获得的能量中,1/2来自蟾蜍,1/2来自鼠。若蛇的同化量增加a,至少需要消耗草的同化量为b,则a和b之间的关系可以表示为________。 (3)图乙中的A属于图甲中____________的同化量,C为__________________________的能量。若该生态系统中草的同化量为E,则该生态系统中第一营养级与第二营养级的能量传递效率________(填“大于”“等于”或“小于”)B/E。 (4)在草原上,当草原返青时,“绿色”为食草昆虫提供了可以采食的信息,这说明信息能够调节__________________,以维持生态系统的稳定。蛇由于某种原因数量下降,导致蟾蜍的数量先增多后减少,最后趋于稳定,这属于__________调节。 答案精析 1.D 2.B [由题图可知,A>D,B>E,C>F,A项错误;食物链中能量最少的是狼所处的营养级,分解者不在食物链中,C项错误;第一营养级与第二营养级间的能量传递效率是B/A,D项错误。] 3.A [由图可知,W1为生产者固定的太阳能,D1为初级消费者同化的能量,则W1=A1+B1+C1+D1,D1=A2+B2+C2+D2;生产者固定的太阳能为W1,初级消费者同化的能量为D1,由生产者到初级消费者的能量传递效率为D1/W1;初级消费者摄入的能量=同化量+粪便量,其值远大于D1,故大于A2+B2+C2;由于能量传递效率约为10%~20%,所以W1>D1+D2。] 4.A 5.D [无机环境中的能量进入生态系统的起点是生产者,所以A为生产者,B、C、D为消费者,由于能量流动是逐级递减的,所以图中方框大小可以用来表示该营养级生物所具有的能量多少。A所固定的能量有四个去向:自身呼吸消耗、流向下一营养级、流向分解者、未被利用,所以A具有的能量大于B、C、D的能量之和。] 6.C 7.D [图中d表示蚕同化的能量,a1表示蚕通过呼吸作用散失的能量,如果c1表示蚕传递给分解者的能量,则b1表示未被利用的能量,A项正确;流经该生态系统的总能量为桑树通过光合作用所固定的太阳能总量,即a;生产者(桑树)所固定的太阳能总量中有一部分通过生产者的呼吸作用以热能的形式散失,即图中的b,另一部分则储存在生产者体内的有机物中,用于生产者的生长、发育和繁殖等生命活动,即图中的c,B、C项正确;d1/d表示第二营养级到第三营养级的能量传递效率,D项错误。] 8.D 9.(1)营养级Ⅱ用于生长、发育和繁殖的能量 b/y×100% (2)25A/(1+4x) (3)分解者 解析 (1)同化的能量一部分以呼吸作用产生热能的形式散失掉,一部分用于自身的生长、发育和繁殖,C表示营养级Ⅱ用于生长、发育和繁殖的能量。能量传递效率是相邻两个营养级同化量之比,即b/y×100%。(2)最少消耗按照最大的传递效率20%计算,其中甲能量中比例为x的部分直接提供给丙,假设甲的能量是M,即Mx/5+M(1-x)/25=A,计算可得M=25A/(1+4x)。(3)图1中包含了生产者和消费者,在生态系统中的生物成分还缺少分解者。 10.(1)117 15.6% (2)在呼吸作用中散失的热能 有机物中的化学能 (3)垂直 栖息空间和食物条件 解析 (1)该生态系统中生产者固定的总能量=流入分解者的能量+未利用的能量+呼吸作用散失的能量+植食性动物同化量=3+70+23+(0.05+0.25+5.1+2.1-5+0.5+9+4-2)=110 [J/(cm2·a)],由于外界有机物投入7 J/(cm2·a),因此输入该生态系统中的总能量为117 J/(cm2·a);第三营养级从第二营养级同化的能量为5.1+2.1+0.25+0.05-5=2.5[J/(cm2·a)],第二营养级同化的能量为2.5+9+4+0.5=16[J/(cm2·a)],图中第二、三营养级之间的能量传递效率为2.5÷16×100%≈15.6%。(2)图中A表示呼吸作用散失的热能,图中能量在生物体内以有机物中化学能的形式输出。(3)由于光照减弱,水体中的植物垂直分层出现了变化,因此导致某种鱼向上层转移,说明生物群落的垂直结构发生改变。群落中动物的明显分层现象,依赖于植物为其创造的栖息空间和食物条件。 11.(1)3 竞争和捕食 (2)b=75a (3)草 鼠用于自身生长、发育和繁殖 大于 (4)生物的种间关系 负反馈(或反馈) 解析 (1)分析图示可知,该食物网有3条食物链,分别是草→食草昆虫→蟾蜍→蛇→鹰、草→鼠→蛇→鹰、草→鼠→鹰。蛇和鹰都可以捕食鼠,表明二者存在竞争关系;鹰也能以蛇为食,说明二者又存在捕食关系。 (2)蛇的同化量增加a,至少需要消耗草的同化量为b,应按能量传递效率为20%计算。假设蛇所获得的能量中,1/2来自蟾蜍,1/2来自鼠,则a和b之间的关系可以表示为b=1/2a÷20%÷20%÷20%+1/2a÷20%÷20%,解得b=75a。 (3)图乙中的A为鼠的粪便量,属于图甲中草的同化量,C为鼠用于自身生长、发育和繁殖的能量。若该生态系统中草的同化量为E,则该生态系统中第一营养级与第二营养级的能量传递效率=(食草昆虫和鼠的同化量÷草的同化量)×100% ,而B为鼠的同化量,所以该能量传递效率大于B/E。 (4)在草原上,当草原返青时,“绿色”为食草昆虫提供了可以采食的信息,这说明信息能够调节生物的种间关系,以维持生态系统的稳定。蛇由于某种原因数量下降,导致蟾蜍的数量先增多后减少,最后趋于稳定,这属于负反馈(或反馈)调节。 1 第69练 1.(2019·重庆模拟)下表是某个相对稳定的生态系统中几种生物种群的能量值,下列营养关系不成立的是(  ) 生物 甲 乙 丙 丁 戊 能量(kJ) 2×108 1.5×109 1.0×1010 9×107 3×107 2.下表是某生态系统中能量流动情况的调查结果,表中甲、乙、丙、丁、戊分别代表构成该生态系统食物网的主要种群[表中数据单位:102 kJ/(m2·a)]。下列说法错误的是(  ) 种群 同化固定 的能量 体内贮存 的能量 呼吸消耗 的能量 甲 16.74 4.54 12.2 乙 70 15.8 54.2 丙 930 229 701 丁 69.5 20 49.5 戊 1.674 0.4 1.274 A.表中的丙为生产者 B.表中的种群构成2条食物链 C.当某种原因导致乙大量减少时,戊的数量仍能保持相对稳定 D.第一营养级和第二营养级之间的能量传递效率约为18% 3.如图表示某生态系统食物网的图解,猫头鹰体重每增加1kg,至少需消耗a约(  ) A.100kg B.44.5kg C.25kg D.15kg 4.(2018·佛山质检)如图所示的食物网中,戊的食物有1/2来自乙,1/4来自丙,1/4来自丁,且能量从生产者到消费者的传递效率为10%,从消费者到消费者的能量传递效率为20%。若戊体重增加20g,需要消耗植物(  ) A.1125g B.1600g C.2000g D.6500g 5.(2019·长沙模拟)若某一经济鱼类的食物有1/2来自植物,1/4来自草食鱼类,1/4来自以草食鱼类为食的小型肉食鱼类,一条长到4kg的鱼最多需消耗植物(  ) A.1120kg B.6440kg C.2240kg D.1220kg 6.有一食物网如图所示,如果能量传递效率为10%,各条食物链传递到庚的能量相等,则庚同化1kJ的能量,丙需同化多少能量(  ) A.550kJ B.500kJ C.400kJ D.100kJ 7.(2018·南京一中月考)下表是某营养级昆虫摄食植物后能量流动情况,下列说法错误的是(  ) 项目 昆虫 摄食量 昆虫 粪便量 昆虫呼吸 消耗量 昆虫储存在有 机物中的能量 能量/kJ 410 210 130 70 A.昆虫同化的能量中约有35%用于其生长、发育和繁殖 B.昆虫粪便量属于植物中未被昆虫利用的能量 C.昆虫储存在有机物中的能量属于未利用的能量 D.若能量传递效率为10%~20%,昆虫的前一营养级的能量至少有1000kJ 8.在如图所示的食物网中,假如猫头鹰的食物有来自兔子,来自鼠,来自蛇,若猫头鹰体重增加20g,需要消耗植物(传递效率为10%)(  ) A.600g B.900g C.1600g D.5600g 9.(2019·山大附中质检)在某草原生态系统能量流动过程中,假设羊摄入体内的能量为n,羊粪便中的能量为36%n,呼吸作用散失的能量为48%n,则(  ) A.羊同化的能量为64%n B.贮存在羊体内的能量为52%n C.由羊流向分解者的能量为16%n D.由羊流向下一营养级的能量为64%n 10.(2018·兰州一中月考)某生态系统中存在如下图所示的食物网,如将c的食物比例由a∶b=1∶1调整为2∶1,能量传递效率按10%计算,该生态系统能承载c的数量是原来的(  ) A.1.875倍 B.1.375倍 C.1.273倍 D.0.575倍 11.(2018·西安第一中学高三上学期第一次考试)如图为能量流动示意图,其中a1是流入第一营养级的总能量,下列相关说法正确的是(  ) A.第一营养级传递给分解者的总能量是a4 B.能量散失a3不能再被生物同化利用 C.a1、a2、a3、a6中的能量都以稳定化学能的形式存在 D.第一营养级到第二营养级之间的能量传递效率是(a6÷a2)×100% 12.(2018·太原五中高三调研)下图为某农场的年能量流动示意图[单位:103 kJ/(m2·y)],A、B、C、D共同构成生物群落。从第二营养级到第三营养级的能量传递效率是(  ) A.18.75% B.16.67% C.12.50% D.11.11% 13.(2018·新乡一中周考)某弃耕地的主要食物链由植物→田鼠→鼬构成。生态学家对此食物链能量流动进行了研究,结果如下表[单位:J/(hm2·a)]。 植物 田鼠 鼬 固定的 太阳能 摄入量 同化量 呼吸量 摄入量 同化量 呼吸量 2.45×1011 1.05×109 7.50×108 7.15×108 2.44×107 2.25×107 2.18×107 (1)能量从田鼠传递到鼬的效率是_______________________________________________。 (2)在研究能量流动时,可通过标志重捕法调查田鼠种群密度。在1hm2范围内,第一次捕获标记40只田鼠,第二次捕获30只,其中有标记的15只。该种群密度是______只/hm2。若标记的田鼠有部分被鼬捕食,则会导致种群密度估算结果________。 (3)田鼠和鼬都是恒温动物,同化的能量中只有3%~5%用于________________,其余在呼吸作用中以热能形式散失。 14.下图是某草原生态系统中部分营养结构示意图。请据图回答下列问题: (1)若草固定的总能量为6.8×109kJ,食草昆虫和鼠同化的总能量是1.3×108kJ,则人最多能获得能量______kJ。 (2)若蛇取食鼠的比例由1/4调整到3/4,从理论上分析,改变取食比例后蛇体重增加1kg,人能比原来多增重________kg(能量传递效率按20%计算)。 15.(2018·济宁一中质检)下图是对某湖泊的能量调查结果[单位:kJ/(cm2·a)],请据图回答下列问题: (1)流经该生态系统的总能量是指____________________________,有________kJ/(cm2·a)。 (2)能量从第一营养级到第二营养级的传递效率为________%,这说明了能量流动的特点是____________的,也就是说食物链越长,________________越多。 (3)D(热能)是通过________________产生的能量。 (4)能量流动具有单向、不循环的特点,主要原因是由于生物不能在代谢中利用________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________。 答案精析 1.C [生态系统中,能量流动是沿着食物链逐级递减的,并且营养级之间的能量传递效率为10%~20%左右。结合表中数据计算可知,不可能出现C,故选C项。] 2.D [根据各种群同化量可判断甲、乙、丙、丁、戊能形成食物网:,其中丙为生产者,A、B项正确;当乙大量减少时,戊可以通过丙→丁→甲→戊食物链获得能量进而保持数量相对稳定,C项正确;乙和丁处于第二营养级,同化的能量是139.5×102kJ/(m2·a),丙处于第一营养级,同化的能量是930×102 kJ/(m2·a),则能量由第一营养级到第二营养级的传递效率是(139.5×102)/(930×102)×100%=15%,D项错误。] 3.C [图中有3条食物链,即a→b→猫头鹰、a→c→b→猫头鹰、a→c→d→猫头鹰。题中所问为猫头鹰体重每增加1 kg,至少需消耗的a的量,已知高营养级的能量,求低营养级能量时:(1)需最多能量:选最长食物链,按÷10%计算;(2)需最少能量:选最短食物链,按÷20%计算,所以选最短食物链(a→b→猫头鹰),按÷20%计算,则至少消耗的a为1÷20%÷20%=25 (kg),C项正确。] 4.C [甲为生产者,戊共有以下食物链:①甲→乙→戊,戊增加20 g×1/2=10g,需要乙10÷20%=50g,需要甲50÷10%=500g;②甲→丙→戊,戊增加20g×1/4=5 g,需要丙5÷20%=25 g,需要甲25÷10%=250 g;③甲→丙→丁→戊,戊增加20 g×1/4=5g,需要丁5g÷20%=25g,需要丙25g÷20%=125g,需要甲125g÷10%=1250g,故共需要甲500+250+1250=2000 (g),C项正确。] 5.A [依题意可知,三条食物链分别是植物→经济鱼、植物→草食鱼→经济鱼、植物→草食鱼→肉食鱼→经济鱼。当能量传递效率为10%时,消耗的植物最多,故该鱼长到4 kg需消耗植物至多为:(4×1/2÷10%)+(4×1/4÷10%÷10%)+(4×1/4÷10%÷10%÷10%)=1120 (kg),A项正确。] 6.A [各条食物链传递到庚的能量相等,则庚同化1 kJ的能量,0.5 kJ 来自戊,0.5 kJ来自己,能量传递效率为10%,故丙需同化的能量为0.5÷10%÷10%+0.5÷10%÷10%÷10%=550 (kJ),故A正确。] 7.C [昆虫的摄入量-粪便量=同化量,所以同化量=410-210=200 (kJ),昆虫储存在有机物中的能量就是用于其生长、发育和繁殖的能量,所以昆虫同化的能量中约有70/200×100%=35%用于其生长、发育和繁殖,A正确;昆虫粪便量属于前一营养级植物中未被昆虫利用的能量,B正确;昆虫储存在有机物中的能量属于用于其生长、发育和繁殖的能量,C错误;若能量传递效率为10%~20%,昆虫的前一营养级的能量至少有200/20%=1 000 kJ,D正确。] 8.D [由题图可知,若猫头鹰体重增加20g,则需要消耗植物:20×÷10%÷10%+20×÷10%÷10%÷10%=5600(g),故D项正确。] 9.A [羊同化的能量为:n-36%n=64%n,A项正确;贮存在羊体内的能量为:n-36%n-48%n=16%n,B项错误;根据题意,由羊流向分解者的能量为其同化量中贮存在羊体内的能量的一部分,小于16%n,C项错误;由羊流向下一营养级的能量为其同化量的10%~20%,D项错误。] 10.B [根据题中所给的食物比例和能量传递效率可计算,按原食物比例,c每增长1 kg需消耗a 55 kg;按调整后的比例,c每增长1 kg需消耗a 40 kg,所以1/40÷1/55=1.375倍。] 11.B [第二营养级粪便中的能量a7也属于第一营养级传递给分解者的能量,A项错误;能量a3以热能的形式散失,不能再被生物同化利用,B项正确、C项错误;第一营养级到第二营养级的能量传递效率应该是(a6÷a1)×100%,D项错误。] 12.B [据图分析,第二营养级的能量为18×103 kJ/(m2·y),传递到第三营养级的能量是3×103kJ/ (m2·y),所以图中第二营养级到第三营养级的能量传递效率=(3×103)/(18×103)×100%=16.67%,故选B。] 13.(1)3% (2)80 偏大 (3)生长、发育和繁殖 解析 (1)能量从田鼠传递到鼬的效率是(2.25×107)÷(7.50×108)×100%=3%。(2)根据标志重捕计算公式,种群总个体数为40×30÷15=80(只),所以该种群密度是80只/hm2。若标记的田鼠有部分被鼬捕食,则第二次捕获标记个体数减少,因此会导致种群密度估算结果偏大。(3)田鼠和鼬都是恒温动物,同化的能量中只有3%~5%用于生长、发育和繁殖等生命活动,其余在呼吸作用中以热能形式散失。 14.(1)2.46×108 (2)2 解析 (1)已知低营养级求高营养级能量时按传递效率20%计算,因此人最多能获得的能量为(6.8×109-1.3×108÷20%)×(20%)2=2.46×108kJ。(2)改变前:1kg蛇消耗草为3/4÷(20%)3+1/4÷(20%)2=100 (kg);改变后:1kg蛇消耗草为1/4÷(20%)3+3/4÷(20%)2=50 (kg) ,所以改变后与改变前相比节余的50 kg 草可流向人。故人比原来增重了50×20%×20%=2 (kg)。 15.(1)生产者固定的太阳能的总量 0.46 (2)13.5 逐级递减 能量流失 (3)呼吸作用 (4)呼吸放出的热能 解析 解答本题容易出现的问题是:①识图不准,分辨能力差,把487.28当成流经该生态系统的总能量;②能量传递效率应该通过计算回答,即×100%≈13.5%,不能填写10%~20%;③热能是通过各营养级生物的呼吸作用释放出来的,这部分能量是不能再利用的,只能散失。“呼吸作用”此时不能用“分解作用”或“代谢作用”来代替。 1 第70练 1.(2019·天津质检)下图为生态系统碳循环示意图,图中甲、乙、丙代表生态系统的成分,数字表示碳的流动。下列有关叙述正确的是(  ) A.图中生产者、乙、丙、甲构成了两条食物链 B.①②⑥⑦为CO2形式进行循环,③④⑤为有机物形式进行传递 C.③④⑤⑥⑦之和等于生产者同化的碳的总量 D.经③流向乙的碳全部储存于乙体内的有机物中 2.(2018·德州高三上学期期末)下图表示生态系统中碳循环的部分过程,其中甲、乙、丙组成生物群落。下列分析错误的是(  ) A.①②过程中,碳元素是以有机物的形式存在的 B.③增多是温室效应产生的主要原因 C.乙的存在能加快生态系统的碳循环 D.碳循环是指碳元素在生物群落和无机环境之间循环 3.(2018·山西省怀仁第一中学高三期末)如图表示生物圈中碳元素的循环过程,下列有关叙述不正确的是(  ) A.B是生态系统的主要成分,增加B有利于减缓温室效应 B.③⑤⑧均表示呼吸作用 C.A和B属于捕食关系 D.温室效应主要是由⑦过程造成的 4.(2018·菏泽高三期末)下图是生物圈中碳循环示意图,下列相关分析错误的是(  ) A.生物圈通过碳循环实现碳元素的自给自足 B.A是消费者,C是生产者,碳在各成分间以CO2的形式循环 C.对E过度开发利用会打破生物圈中碳平衡 D.碳循环过程需要能量驱动,同时含碳有机物又是能量的载体 5.下图是生态系统中碳循环示意图,其中“→”表示碳的流动方向。下列叙述不正确的是(  ) A.在碳循环过程中,同时伴随着能量流动 B.由于某种原因造成图中E生物数量大量减少,推测短期内与之相邻的两个营养级生物数量发生的变化是D增多,F减少 C.该生态系统的消费者包括图中的D、E、F、B D.在A→C过程中碳主要以CO2的形式进行循环,在F→B过程中以含碳有机物的形式进行流动 6.图甲为部分碳循环示意图,图乙为我国北方某地20年间CO2浓度变化的示意图。下列相关说法错误的是(  ) A.图甲中成分a在碳循环中的主要作用是吸收大气中的CO2 B.图甲中缺少a→CO2的过程,图甲中d为分解者 C.每年的冬季CO2浓度变化,从碳循环角度分析主要原因是图甲中①过程大大减少且⑥过程增加 D.每年夏季CO2浓度与前一年冬季相比下降,而每年的CO2浓度的平均值却逐年增加,原因是每年CO2的排放量都大于CO2的吸收量 7.下图为碳循环示意图,甲、乙、丙表示生态系统中的三种成分,下列叙述正确的是(  ) ①碳循环是指二氧化碳在甲与丙之间不断循环的过程 ②乙在该生态系统中均处于第二营养级 ③甲、乙、丙共同组成生物群落 ④生物X可能不具有核膜,生物Y可能含有线粒体 A.①④B.①②C.②③D.③④ 8.(2018·武汉联考)下图是我国北方处于平衡状态的某森林生态系统的碳循环示意图,其中箭头表示碳的传递方向,字母表示碳的传递途径。则下列叙述错误的是(  ) A.碳从植物体流入动物体的主要形式是有机物 B.a途径是通过光合作用实现的,b、d、g途径是通过呼吸作用实现的 C.碳在生物群落与无机环境之间的循环主要以二氧化碳的形式进行 D.如果图中的字母表示碳元素传递的数量,植物正常生长,则夏季a、b、c、e之间的关系可表示为a=b+c+e 9.(2018·西安第一中学高三上学期第一次考试)雾霾,是雾和霾的组合词,雾霾常见于城市。中国不少地区将雾并入霾一起作为灾害性天气现象进行预警预报,统称为“雾霾天气”。雾霾是特定气候条件与人类活动相互作用的结果,雾霾的形成与汽车尾气、工业污染等碳的不良排放有关。下图为生态系统“碳”的循环途径。下列说法正确的是(  ) A.该图中A、B1、B2、B3、C分别为一个种群,如果B2中某种生物被过度捕杀,B3的数量就可以维持相对稳定 B.为了提高B3的产量,人们往往需要投入一些饲料,饲料中的能量不是流入该生态系统的能量 C.②是形成温室效应的主要原因。为减少雾霾天气,应该提倡植树造林,减少化石燃料的燃烧,改善化石燃料的品质 D.若B3中某生物能依据B2中某生物的气味、声音等进行捕猎,说明信息传递能够调节生物的种间关系,维持生态系统的稳定性 10.雾霾天气的持续出现,是粗放式无序发展、环境污染、生态恶化带来的后果。减少人类生活的碳排放,对维持生态系统的稳定,解决环境污染至关重要。如图为某地区生态系统的物质循环及能量分布情况,其中甲、乙、丙是生态系统的组成成分,A、B、C、D是乙中的四种生物。 (1)该生态系统中可能存在的食物网为______________________________________。 (2)图中丙为________,通过________作用产生二氧化碳,甲通过____________过程吸收二氧化碳。 (3)该生态系统的总能量主要为_______________________________________________。 食物链中能量流动逐级递减的原因是___________________________________________ ________________________________________________________________________。 11.(2019·长沙模拟)图一为某生态系统的碳循环示意图,其中甲、乙、丙、丁为生态系统的组成成分,A、B、C、D是丙中关系密切的四种生物;图二为某生态系统的能量金字塔简图,其中①、②、③、④分别代表不同的营养级;图三为能量流经图二所示生态系统第二营养级的变化示意图,其中能量的单位为kJ。请据图回答下列问题:    (1)图一生态系统中的分解者是________,②过程中碳的传递形式是________,丙中A为第________营养级,③代表的生理作用为______________________。 (2)若图一中的生产者固定了2000kJ的能量,则图中D理论上最多可获得的能量为________kJ。 (3)若图二中营养级①所固定的太阳能总量为3125kJ,则营养级①、②之间的能量传递效率是____________。从中可以看出生态系统的能量流动具有______________的特点。 (4)分析图三中能量关系可知,乙表示第二营养级生物用于生长、发育和繁殖的能量,这其中包括________生物粪便中的能量。 答案精析 1.B 2.B [据图分析,甲是生产者,乙是消费者,丙是分解者,因此①②过程中,碳元素是以有机物的形式存在的,A正确;③是分解者的分解作用,而引起温室效应的主要原因是化石燃料的燃烧,B错误;消费者的存在能加快生态系统的碳循环,C正确;碳循环是指碳元素在生物群落和无机环境之间循环,D正确。] 3.C [由物质循环的箭头指向可以看出B是生产者,在生态系统中处于主导地位。A是分解者,不可能与B构成捕食关系。] 4.B 5.C [分析题图,A、B、D、E、F均有箭头指向C,则C是无机环境中的二氧化碳库。A、C之间为双向箭头,A为生产者。A、D、E、F均有箭头指向B,则B为分解者,D、E、F为消费者。图示中包含的食物链为A→D→E→F,故E减少,短时间内D增多,F减少。碳在生物群落与无机环境之间主要以CO2的形式循环,在生物群落内部以含碳有机物的形式流动。] 6.B 7.D 8.D [碳元素在生物群落中以含碳有机物的形式流动,在生物群落和无机环境之间以CO2的形式循环,A、C正确;a代表植物的光合作用,b、d、g代表生产者、消费者、分解者的呼吸作用,c代表捕食,B正确;e、f代表动植物的残枝败叶、遗体和粪便流向分解者,夏季植物正常生长,植物体内碳元素的来源(a)多于去路(b+c+e),D错误。] 9.D [图中A、B1、B2、B3、C分别为生产者、初级消费者、次级消费者、三级消费者和分解者,都可能包括多个种群,A错误;为了提高B3的产量,人们往往需要投入一些饲料,饲料中的能量也属于流入该生态系统的能量,B错误;③化石燃料的燃烧释放了大量的CO2,是形成温室效应的主要原因,C错误;若B3中某生物能依据B2中某生物的气味、声音等进行捕猎,说明信息传递能够调节生物的种间关系,维持生态系统的稳定性,D正确。] 10.(1) (2)分解者 分解(或呼吸) 光合作用(或光合作用和化能合成作用) (3)甲通过光合作用固定的太阳能的总量 一个营养级同化的能量除了自身呼吸消耗外,还有一部分未被下一营养级利用及流向分解者 11.(1)丁 有机物 二 呼吸(分解)作用 (2)80 (3)12.8% 逐级递减 (4)第三营养级 解析 (1)图一生态系统中的分解者是丁,②过程中碳的传递形式是有机物,丙中A为第二营养级,③代表的生理作用为呼吸作用。(2)若图一中的生产者固定了2000kJ的能量,则图中D理论上最多可获得的能量(以最短食物链最大传递效率计算)为2000×20%×20%=80 (kJ)。(3)若图二中营养级①所固定的太阳能总量为3125kJ,则营养级①、②之间的能量传递效率是(500-100)÷3125×100%=12.8%。从中可以看出,生态系统的能量流动具有逐级递减的特点。(4)分析图三中能量关系可知,乙表示第二营养级生物用于生长、发育和繁殖的能量,这其中包括第三营养级生物粪便中的能量。 1 第71练 1.天鹅洲自然保护区是为了实现麋鹿回归自然而建立起来的,保护区内野生动植物资源丰富,但没有大型食肉动物。1993年以来,分三批从北京引进的94头麋鹿,自由生活在保护区内,完全以野生植物为食,种群数量明显增加,2003年约为450头,目前已经超过800头,并形成了3个亚种群。但近年来,随着人类在保护区内的某些活动增加,麋鹿开始出现种群密度增长受制约的迹象。以下分析正确的是(  ) A.保护麋鹿的意义在于保护基因的多样性和物种的多样性 B.建立自然保护区后,麋鹿的环境容纳量就可以一直稳定不变 C.麋鹿在保护区内生活,没有捕食者,食物充足,因此没有环境阻力 D.麋鹿繁殖太快 2.(2018·厦门双十中学高三月考)如图是一个农业生态系统模式图,下列关于该系统的叙述,错误的是(  ) A.微生物也能利用农作物通过光合作用储存的能量 B.沼气池中的微生物也是该生态系统的分解者 C.沼渣、沼液作为肥料还田,使能量能够循环利用 D.多途径利用农作物可提高该系统的能量利用率 3.(2018·河北省定州中学高三月考)鱼鳞藻和脆杆藻是鱼类的饵料,微囊藻会产生有毒物质污染水体。某研究小组调查了当地部分湖泊营养化程度对藻类种群数量的影响,结果如图所示。下列叙述中错误的是(  ) A.用取样调查的方法可测定藻类的种群密度 B.富营养化水体有利于能量流向对人类有益的部分 C.若该水体出现了“水华”现象,将对鱼鳞藻的影响最大 D.当水体达到中营养化时,可以利用脆杆藻控制微囊藻的数量,净化水体 4.(2019·郑州模拟)如图表示某种处于平衡状态的生物种群因某些外界环境变化导致种群中生物个体数量改变时的四种情形,下列有关产生这些变化原因的分析,最合理的是(  ) A.若图①所示为草原生态系统中某种群,则a点后的变化原因可能是过度放牧 B.若图②所示为某发酵罐中菌种数量,则b点肯定增加了营养供应 C.图③中c点后发生的变化表明生态系统崩溃 D.若图④表示海洋生态系统中的某种鱼,d点表明捕捞过度 5.(2018·西安第一中学高三上学期第一次考试)下图是河流生态系统受到生活污水(含大量有机物)轻度污染后的净化过程示意图。下列分析不正确的是(  ) A.在该河流的AB段上,需氧型细菌大量繁殖,溶解氧随有机物被细菌分解而被大量消耗 B.该河流生态系统的结构包括非生物的物质和能量、生产者、消费者和分解者 C.相对于海洋生态系统,该河流生态系统具有较强的恢复力稳定性 D.BC段有机物分解后形成的NH等无机盐离子有利于藻类大量繁殖 6.某池塘演变早期,藻类大量繁殖,食藻浮游动物水蚤随之大量繁殖,导致藻类数量减少,接着又引起水蚤减少。后期因排入污水,引起部分水蚤死亡,加重了污染,导致更多水蚤死亡。关于上述过程的叙述,正确的是(  ) A.早期不属于负反馈调节,后期属于负反馈调节 B.早期属于负反馈调节,后期属于正反馈调节 C.早期、后期均属于负反馈调节 D.早期、后期均属于正反馈调节 7.如图为某生态系统成分的模式图,下列叙述不正确的是(  ) A.图中的各成分之间均可以传递信息 B.生产者和消费者之间的信息传递可以调节种间关系 C.无机环境发出的信息种类只能是物理信息 D.生态系统的能量流动、物质循环和信息传递是生态系统的三大功能 8.某水库存在一条由甲、乙、丙三种生物组成的食物链,如图表示三种生物在水库中不同深度的分布状况。下列说法正确的是(  ) A.甲、乙、丙一起可以构成一个生物群落 B.甲的光合作用能推动物质和能量的循环 C.影响甲分布的物理信息主要来源于无机环境 D.丙与乙之间的个体数量比值就是能量传递效率 9.下图表示气候变化对甲、乙生态系统中种群类型数量的影响。据图分析,下列叙述正确的是(  ) A.甲生态系统的抵抗力稳定性一定较乙生态系统强 B.甲生态系统的恢复力稳定性一定较乙生态系统强 C.乙生态系统在S点后一定有新物种产生 D.乙生态系统在S点后一定经历初生演替过程 10.(2018·安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校高三联考)人工湿地是为了处理污水人为设计建造的、工程化的湿地生态系统(如图)。对该人工湿地作用效果进行检测,结果见下表。其中化学耗氧量(COD)表示在强酸性条件下重铬酸钾氧化一升污水中的有机物所需的氧气量;生化耗氧量(BOD)表示微生物分解水体中有机物所需的氧气量。调查结果显示此人工湿地生态系统中(  ) 项目 COD(mg/L) BOD(mg/L) 总氮量(mg/L) 进水 750 360 700 出水 150 50 25 A.COD、BOD值越高,说明污染程度越低 B.植物的吸收作用可降低水体富营养化程度 C.群落结构多种多样有利于生态系统稳态的维持 D.物质的分解只依靠无氧呼吸的微生物完成 11.圆石藻是一种海洋浮游生物,代谢过程中会产生二甲基硫醚(DMS)。下图是DMS在海洋中生成的主要过程,分析回答: (1)从生态系统的组成成分上看,圆石藻属于________。经研究圆石藻对海洋气候变化有影响,这体现了生物多样性的__________价值。 (2)圆石藻大量繁殖会诱发病毒侵染其细胞,从而使其数量下降,这体现了生态系统可通过________调节机制维持自身的相对稳定。 (3)研究发现,海洋中生物能促进DMS氧化分解产生SO,从而加快生态系统的________。 (4)图中浮游动物所同化的能量除自身呼吸作用以热能的散失外,还将流向__________________。 (5)中间产物X浓度上升到一定程度时,它能作为一种__________信息使浮游动物对圆石藻的捕食明显减少,这体现了生态系统中信息传递的作用是___________________________ ________________________________________________________________________。 12.如图为某条小河流从高山湖泊进入大河的示意图及A处水域浮游植物在一年内的数量变化曲线图,其中食品工厂会向河流排污。结合所学知识,回答下列问题: (1)图中高山、河流、村庄在生物种类上的差异属于群落空间结构中的________结构,其中河流生态系统中的能量来源是___________________________________________________。 (2)食品工厂向河流排污,导致鱼类因为缺少__________而大量死亡,使水体变浑浊,但是村庄附近的河流又保持清澈见底,这依赖于该河流的____________能力。 (3)根据图示推测,A处1~2月份无机盐大幅下降的主要原因是________________________,12月份限制浮游植物繁殖的主要因素是________。 (4)调查表明,近年来高山冰川越来越少,主要原因是人类活动加速了碳循环的哪一个环节? ________________________________________________________________________。 13.(2018·焦作高三上学期期中)高密度水产养殖常会引起池塘水体富营养化,影响养殖。下图为利用稻田生态系统净化鱼塘尾水的示意图,箭头所指为水流方向。请回答下列问题: (1)图示系统在实现了水资源循环利用的同时,鱼塘富营养化还为水稻生长提供了一定的________元素。 (2)为调查图中稻田害虫的发生状况,可采用__________法,分别统计____________的种群密度。为修复长期使用农药导致有机物污染的稻田,向土壤中投放由多种微生物组成的复合菌剂,土壤有毒物质的减少有利于增加稻田动物的种类,降低了________的优势度。某种农药降解菌分解农药的能力不同,体现了________多样性。 (3)通过稻田净化,B处水样中可溶性有机物浓度比A处显著下降,其主要原因是________________________________________________________________________。 稻田中物种的丰富度较低,丰富度是指________________________。 (4)出现藻类水华的鱼塘尾水流经稻田后,B处水样中藻类数量大大减少。从生态学角度分析,藻类数量减少的原因有______________________________________________________ ________________________________________________________________________。 答案精析 1.A [由于环境的变化,建立自然保护区后,麋鹿的环境容纳量也并非一直稳定不变;“随着人类在保护区内的某些活动增加,麋鹿开始出现种群密度增长受制约的迹象”,这个信息告诉我们,麋鹿在保护区内生活,同样存在环境阻力。] 2.C 3.B 4.A 5.B 6.B [负反馈调节是指某一成分的变化所引起的一系列变化抑制或减弱最初发生变化的那种成分所发生的变化,题干中所述的早期符合负反馈调节的机制。正反馈调节是指某一成分的变化所引起的一系列变化促进或加强最初所发生的变化,题干中所述的后期属于正反馈调节。] 7.C [从图中可以看出,生态系统的每种成分均能发出信息,也能接受信息,所以说生态系统的信息传递在生态系统的各种成分之间均能进行;信息传递的主要功能之一就是调节生物的种间关系;无机环境发出的信息可以是物理信息,也可以是一些营养物质发出的化学信息。] 8.C [群落是在一定的自然区域中所有生物的集合,该水库中的甲、乙、丙不能构成一个生物群落,A项错误;物质可以循环利用,而能量不能循环利用,B项错误;甲是生产者,影响其分布的最主要因素是光照,C项正确;能量传递效率是相邻两个营养级同化量的比值,并不是个体数量的比值,D项错误。] 9.A [从图中可看出甲生态系统的抵抗力稳定性一定较乙生态系统强,A项正确;抵抗力稳定性强的生态系统一般恢复力稳定性弱,B项错误;新物种产生一般需要经历漫长的时间;乙生态系统在S点生物群落基本消失,S点以后又出现新的种群,属于次生演替,但不一定形成新物种,C、D项错误。] 10.B [由题意可知,COD、BOD值越高,表明污染程度越高,A错误;从处理前后总氮量下降可以看出,植物可吸收水中的氮,从而可以降低水体富营养化程度,B正确;由调查结果不能得出群落结构多种多样有利于生态系统稳态的维持的结论,C错误;物质的分解依靠有氧呼吸的微生物、兼性厌氧呼吸的微生物和厌氧呼吸的微生物共同完成,D错误。] 11.(1)生产者 间接 (2)反馈(负反馈) (3)物质循环 (4)下一营养级和分解者 (5)化学 调节种间关系,维持生态系统的稳定 12.(1)水平 太阳能和工厂、村庄排放污水中有机物的化学能 (2)氧气 自我调节 (3)浮游植物大量繁殖消耗了无机盐 温度和光照强度 (4)化石燃料的燃烧 13.(1)N、P (2)五点取样 各种害虫 害虫 基因 (3)稻田中的微生物的分解作用 群落中物种数目的多少 (4)水稻与藻类竞争光照和营养、动物摄食、微生物产生杀藻物质等 1

  • ID:3-5968336 2020版高考数学复习第一单元(第1-3讲)课件文新人教A版

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    第1讲 UNIT 01 集合 课前双基巩固│课堂考点探究│课间10分钟│教师备用例题 知识聚焦 课前双基巩固 确定性 互异性 ∈ ? 描述法 图示法 N N* Z Q R 课前双基巩固 任意一个元素 B?A 至少 A B 相同 A=B 不含 子集 课前双基巩固 且 且 A∩B 或 或 A∪B 不 ? ?UA 课前双基巩固 2n ? A U A B 2n-1 对点演练 课前双基巩固 课前双基巩固 课前双基巩固 课前双基巩固 课前双基巩固 课前双基巩固 课堂考点探究 考点一 集合的含义与表示 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 考点二 集合间的基本关系 考向1 求子集的个数 课堂考点探究 课堂考点探究 考向2 集合间关系的判定 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 考向3 根据集合间的关系求参数 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 强化演练 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 考点三 集合的基本运算 考向1 集合的交、并、补基本运算 课堂考点探究 课堂考点探究 考向2 利用集合运算求参数 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 考向3 集合语言的运用 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 强化演练 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课间10分钟 课间10分钟 课间10分钟 课间10分钟 课间10分钟 课间10分钟 教师备用例题 【备选理由】例1是元素与集合的关系问题;例2是集合之间的关系问题;例3是集合的运算问题. 教师备用例题 教师备用例题 教师备用例题 第2讲 UNIT 01 命题及其关系、充分条件与必要条件 课前双基巩固│课堂考点探究│课间10分钟│教师备用例题 知识聚焦 课前双基巩固 判断真假 判断为真 判断为假 “若q,则p” “若 p,则 q” “若 q,则 p” 课前双基巩固 相同 没有 课前双基巩固 充分 必要 充要 课前双基巩固 对点演练 课前双基巩固 课前双基巩固 课前双基巩固 课前双基巩固 课前双基巩固 课堂考点探究 考点一 命题及其相互关系 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 考点二 充分、必要条件的判定 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 考点三 充分、必要条件的应用 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课间10分钟 课间10分钟 课间10分钟 课间10分钟 课间10分钟 课间10分钟 教师备用例题 【备选理由】例1考查四种命题及其真假;例2为充分、必要条件的判定问题. 教师备用例题 教师备用例题 教师备用例题 第3讲 UNIT 01 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词 课前双基巩固│课堂考点探究│课间10分钟│教师备用例题 知识聚焦 课前双基巩固 或 非 且 p∧q 或 p∨q p 课前双基巩固 真 假 假 真 假 假 真 真 假 真 假 真 真 课前双基巩固 所有的 至少 全称 存在 课前双基巩固 特称 全称 非p或非q ?x0∈M,????p(x0) ?x∈M,????p(x) 对点演练 课前双基巩固 课前双基巩固 课前双基巩固 课前双基巩固 课前双基巩固 课堂考点探究 考点一 含逻辑联结词的命题及真假 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 考点二 全称命题与特称命题 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 考点三 根据命题的真假求参数的取值范围 课堂考点探究 课堂考点探究 课堂考点探究 课间10分钟 课间10分钟 课间10分钟 课间10分钟 课间10分钟 教师备用例题 【备选理由】例1考查复合命题真假的判断;例2考查特称命题和全称命题真假的判断;例3考查根据命题的真假求参数的取值范围. 教师备用例题 教师备用例题 教师备用例题

  • ID:3-5968330 2020年高考数学一轮复习第五章数列、推理与证明(第1-7讲)课件理

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    第五章 数列、推理与证明 第1讲 数列的概念与简单表示法 1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式). 2.了解数列是自变量为正整数的一类函数. 1.数列的定义 按照一定顺序排列着的一列数称为数列,数列中的每一个 数叫做这个数列的项.数列可以看作是定义域为N*的非空子集 的函数,其图象是一群孤立的点. 2.数列的分类 无限 < 分类原则 类型 满足条件 按项数分类 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数______ 按项与项之 间的大小关 系分类 递增数列 an+1>an 其中n∈N* 递减数列 an+1_____an 常数列 an+1=an 按其他 标准分类 有界数列 存在正数M,使|an|≤M 摆动数列 an 的符号正负相间,如 1,-1,1,-1,… 3.数列的表示法 数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式 如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个 公式an=f(n)来表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式. 5.Sn与an的关系 an+1 an-1 1.数列 1,2,4,8,16,32,…的一个通项公式是(   ) B B A.an=2n-1 B.an=2n-1 C.an=2n D.an=2n+1 2.数列1,-3,5,-7,9,…的一个通项公式为( ) A.an=2n-1 B.an=(-1)n+1(2n-1) C.an=(-1)n(2n-1) D.an=(-1)n(2n+1) 4.如图 5-1-1,根据下面的图形及相应的点数,写出点数构 成的数列的一个通项公式an=________. 图 5-1-1 D 5n-4 考点 1 由数列的前几项写数列的通项公式 例 1:分别写出下列数列的一个通项公式,数列的前 4 项 已给出. (3)0.9,0.99,0.999,0.9999,…; (4)5,4,5,4,…. (3)∵0.9=1-0.1,0.99=1-0.01,0.999=1-0.001, 0.9999=1-0.0001, 又0.1=10-1,0.01=10-2,0.001=10-3,0.0001=10-4, ∴它的一个通项公式为an=1-10-n. (4)∵这个数列前4项构成一个摆动数列,奇数项是5,偶数项是4. 【规律方法】对于一个公式能否成为一个给出的前 n 项的 数列的通项公式,需逐项加以验证,缺一不可. 根据数列{an}的前 n 项求通项公式,我们常常取其形式上 较简便的一个即可.另外,求通项公式,一般可通过观察数列中 各项的特点,进行分析、概括,然后得出结论,必要时可加以 验证. 已知数列的前几项求通项公式,主要从以下几个方面来 考虑: ①负号用(-1)n与(-1)n+1[或(-1)n-1]来调节; ②分数形式的数列,分析分子、分母的特征,且充分借助 分子、分母的关系; ③相邻项的变化特征; ④拆项后的特征; ⑤对于比较复杂的通项公式,要借助于等差数列、等比数 列(后面专门学习)和其他方法解决; ⑥此类问题虽无固定模式,但也有规律可循,主要靠观察 (观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差 数列或等比数列)等方法. 【互动探究】 1.写出下面各数列的一个通项公式: (1)3,5,7,9,…; (3)-1,7,-13,19,…; (4)3,33,333,3333,…. 考点 2 由数列的前 n 项和求数列的通项公式 考向 1 Sn 与 n 的关系问题 例 2:已知下面数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=2n2-3n +1. 解:(1)a1=S1=2-3=-1, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5, 由于a1也适合此等式,∴an=4n-5. (2)a1=S1=2-3+1=0, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n+1)-[2(n-1)2- 3(n-1)+1]=4n-5, 显然,a1不适合此等式. 【规律方法】由Sn求an的步骤: ①先利用a1=S1求出a1. ②用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an= Sn-Sn-1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式. ③对n=1时的结果进行检验,看是否符合n≥2时an的表达式,若符合,则可以把数列的通项公式合写;若不符合,则应写成分段函数的形式. 考向 2 Sn 与an 的关系问题 例 3:(1)设 Sn是数列{an}的前n项和,且a1=-1,an+1= SnSn+1,则Sn=________. 解析:当n=1时,a1=1; 当n=1时,也符合an=(-2)n-1. 综上所述,an=(-2)n-1. 答案:(-2)n-1 【规律方法】Sn 与 an 关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化. (1)利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式(如 第(1)题). (2)利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式, 再求解(如第(2)题). 考点 3 由数列的递推关系求数列的通项公式 例 4:(1)设数列{an}中,a1=2,an+1=an+n+1,则通项 an=________. 解析:由题意,得当 n≥2 时, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+…+(an-an-1) 答案: n(n+1) 2 +1 (2)若a1=1,nan-1=(n+1)an(n≥2),则an=________; (3)在数列{an}中,a1=1,an+1=3an+2,则它的一个通项 公式为 an=________. 解析:方法一,(累乘法) an+1=3an+2,即an+1+1=3(an+1), 即an+1=2×3n-1(n≥1). 所以an=2×3n-1-1(n≥2). 又a1=1也满足上式, 故数列{an}的一个通项公式为an=2×3n-1-1. 答案:2×3n-1-1 方法二,(迭代法) an+1=3an+2, 即an+1+1=3(an+1)=32(an-1+1)=33(an-2+1) =…=3n(a1+1)=2×3n(n≥1). 所以an=2×3n-1-1(n≥2).又a1=1也满足上式, 故数列{an}的一个通项公式为an=2×3n-1-1. an-1+f(n)时,用累加法求解;当出现 【规律方法】已知数列的递推关系,求数列的通项时,通 常用累加、累乘、构造法求解.当出现an=an-1+m 时,构造等 差数列;当出现an=xan-1+y时,构造等比数列;当出现an= =f(n)时,用累乘法 求解. 思想与方法 ⊙用分类讨论的思想探讨数列的单调性 例题:(2017年安徽淮北一中)已知数列{an}与{bn}满足an+1+2bn=2bn+1+an(n∈N*),若a1=9,bn=3n(n∈N*)且λan>3n+36(n-3)+3λ对一切n∈N*恒成立,则实数λ的取值范围是________. 【互动探究】 答案:C 【方法与技巧】本题考查了数列的单调性、不等式的性质, 考查了推理能力与计算能力,属于中档题.解题时由an0,则数列单调递增;若 公差 d<0,则数列单调递减;若公差 d=0,则数列为常数列. 7.等差数列的最值 在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若 a1<0,d>0,则Sn存在最______值. (4)若等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,S4k-S3k是等差数列. 小 1.(2015 年重庆)在等差数列{an}中,若a2=4,a4=2,则a6 =( ) A.-1 B.0 C.1 D.6 B 2.(2015 年新课标Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列,Sn 为{an}的前n项和,若S8=4S4,则a10=( ) B 3.在等差数列{an}中,a1=2,a3+a5=10,则a7=(   ) A.5 B.8 C.10 D.14 B 27 考点 1 等差数列的基本运算 例 1:(1)(2017 年新课标Ⅰ)记 Sn为等差数列{an}的前n项 和.若a4+a5=24,S6=48,则{an}的公差为(  ) A.1 B.2 C.4 D.8 答案:C (2)(2016 年新课标Ⅰ)已知等差数列{an}前 9 项的和为 27, a10=8,则a100=(  ) A.100 B.99 C.98 D.97 所以a100=a1+99d=-1+99=98.故选C. 答案:C (3)(2018 年新课标Ⅰ)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若 3S3=S2+S4,a1=2,则a5=(  ) A.-12 B.-10 C.10 D.12 解析:3S3=S2+S4?3a1+2d=0,∴d=-3.∴a5=a1+4d =2-12=-10.故选 B. 答案:B (4)(2013 年新课标Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn, Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,则m=(  ) A.3 B.4 C.5 D.6 解析:因为 Sm-Sm-1=am=2,Sm+1-Sm=am+1=3,所以 am+1-am=d=1. 答案:C 【规律方法】在解决等差数列问题时,已知a1,an,d,n, Sn 中的任意三个,可求其余两个,称为“知三求二”.而求得 a1和d是解决等差数列{an}所有运算的基本思想和方法. 考点 2 等差数列的基本性质及应用 例2:(1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S10=1,S30=5,则S40=(  ) A.7 B.8 C.9 D.10 思路点拨:思路1,设等差数列{an}的首项为a1,公差为d,根据题意列方程组求得a1,d,进而可用等差数列前n项和公式求S40; 思路2,设{an}的前n项和Sn=An2+Bn,由题意列出方程组求得A,B,从而得Sn,进而得S40; 答案:B (2)若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146, 且所有项的和为 390,则这个数列的项数为( ) A.13 B.12 C.11 D.10 解析:∵a1+a2+a3=34,an-2+an-1+an=146, 答案:A ∴a1+a2+a3+an-2+an-1+an=34+146=180. 又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2, ∴3(a1+an)=180.∴a1+an=60. (3)(2018 年吉林百校联盟联考)已知等差数列{an}的前 n 项 和为Sn,若2a11=a9+7,则S25=(  ) A. 145 2 B.145 C. 175 2 D.175 解析:∵2a11=a9+a13=a9+7,∴a13=7. 答案:D 【规律方法】(1)利用等差数列{an}的性质“若 m+n=p+ q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq”. (2)等差数列{an}的前n项和为Sn,则Sk,S2k-Sk,S3k-S2k, S4k-S3k是等差数列. (4)可以把an与Sn结合起来,给计算带来很大便利,是解决 等差数列的有效方法. “巧用性质、减少运算量”在等差数列、 等比数列的计算中非常重要,但也要用好“基本量法”,运用 方程的思想“知三求二”. 【互动探究】 1.(2017 年广东深圳第二次调研)在等差数列{an}中,若前 10项的和S10=60,且a7=7,则a4=(   ) A.4 B.-4 C.5 D.-5 答案:C 由等差数列的性质有a1+a10=a7+a4=12. 又∵a7=7,∴a4=5.故选C. 考点 3 等差数列前 n 项和的最值问题 例 3:(1)(2013 年新课标Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn, 已知S10=0,S15=25,则nSn的最小值为________. 解析:设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,由等差数列 前 n 项和公式可得 答案:-49 (2)若等差数列{an}满足a7+a8+a9>0,a7+a10<0,则当n =________时,{an}的前n项和最大. 解析:由等差数列的性质,及a7+a8+a9=3a8,得a8>0. ∵a7+a10<0,∴a8+a9<0. ∴a9<0.∴公差d<0.故数列{an}的前8项和最大. 答案:8 答案:C 【规律方法】设等差数列{an}的公差为 d,其前 n 项和 【互动探究】 2.设等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足S2014>0,S2015<0,对任意正整数n,都有|an|≥|ak|,则k的值为( ) A.1006       B.1007 C.1008       D.1009 答案:C 思想与方法 ⊙利用函数的思想求等差数列的最值 例题:在等差数列{an}中,若a1=25,S17=S9,则Sn的最 大值为________. 思维点拨:利用前 n 项和公式和二次函数的性质求解. 解析:方法一,由S17=S9,得 解得 d=-2. 由二次函数的性质知,当n=13时,Sn有最大值169. 方法二,先求出 d=-2, ∵a1=25>0, 方法三,由S17=S9,得a10+a11+…+a17=0, 而a10+a17=a11+a16=a12+a15=a13+a14,故a13+a14=0. ∵d=-2<0,a1>0,∴a13>0,a14<0. 故当 n=13 时,Sn有最大值 169. 方法四,由 d=-2,得 Sn 的图象如图 5-2-1(图象上一些孤立点). 图 5-2-1 ∴当n=13时,Sn取得最大值169. 答案:169 【规律方法】求等差数列前 n 项和的最值常用的方法: ①利用等差数列的单调性,求出其正负转折项;②利用等差数 列的性质求出其正负转折项,便可求得和的最值;③将等差数 列的前n项和Sn=An2+Bn(A,B为常数)看作二次函数,根据 二次函数的性质或图象求最值. 【互动探究】 3.在等差数列{an}中,已知a1=10,前n项和为Sn,若S9= S12,则Sn取得最大值时,n=_______,Sn的最大值为______. 解析:方法一,因为 a1=10,S9=S12, 所以d=-1.所以an=-n+11. 所以a11=0,即当n≤10时,an>0,当n≥12时,an<0, 所以当 n=10 或 11 时,Sn 取得最大值, 方法二,同方法一求得 d=-1. 因为n∈N*,所以当n=10或11时,Sn有最大值,且最大 值为S10=S11=55. 答案:10 或 11 55 方法三,同方法一求得d=-1. 又由S9=S12,得a10+a11+a12=0. 所以3a11=0,即a11=0. 所以a1>a2>…>a10>a11=0. 所以当n=10或11时,Sn有最大值, 且最大值为S10=S11=55. 第3讲 等比数列 1.理解等差数列的概念. 2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等差数列与一次函数的关系. 1.等比数列的定义 如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于 同一常数(不为零),那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫 做等比数列的______,通常用字母 q 表示. 公比 2.等比数列的通项公式 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则它的通项an= a1·qn-1. 3.等比中项 若G2=a·b(ab≠0),则G叫做a与b的等比中项. 4.等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*), 则ak·al=am·an. (4)已知等比数列{an}, ①若首项a1>0,公比q>1或首项a1<0,公比00,公比01,则数 列{an}单调________; 递减 ③若公比 q=1,则数列{an}为常数列; ④若公比 q<0,则数列{an}为摆动数列. 5.等比数列的前 n 项和公式 设等比数列{an}的公比为q(q≠0),其前n项和为Sn. 当q=1时,Sn=________; 6.等比数列前 n 项和的性质 若公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn, S2n-Sn,S3n-S2n仍是等比数列. na1 C 1.在等比数列{an}中,a4=4,则a2·a6=( ) A.4 C.16 B.8 D.32 2.(2017 年新课标Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有 如下问题:“远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八 十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座 7 层塔共挂了 381 盏 灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍,则塔的 顶层共有灯( ) B A.1 盏 B.3 盏 C.5 盏 D.9 盏 解析:设塔的顶层共有灯 x 盏,则各层的灯数构成一个首 项为 x,公比为 2 的等比数列,结合等比数列的求和公式有 3.(2015 年新课标Ⅰ)在数列{an}中,a1=2,an+1=2an,Sn 为{an}的前n项和,若Sn=126,则n=_______. 6 解析:∵ a1=2,an+1=2an,∴数列{an}是首项为2,公比 4.(2017 年新课标Ⅲ)设等比数列{an}满足a1+a2=-1,a1 -a3=-3,则a4=______. -8 解析:设等比数列的公比为 q,很明显 q≠-1, 结合等比数列的通项公式和题意可得方程组: 由等比数列的通项公式,可得a4=a1q3=-8. 考点 1 等比数列的基本运算 例 1:(1)(2018 年新课标Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和, 若Sn=2an+1,则S6=________. 答案:-63 (2)(2016 年新课标Ⅰ)设等比数列{an}满足a1+a3=10, a2+a4=5,则a1a2·…·an的最大值为__________. 解析:方法一,设等比数列{an}的公比为 q,由 方法二,设等比数列{an}的公比为 q, 所以当n=3或n=4时,a1a2·…·an的值最大,最大值为 26=64. 答案:64 (3)(2018 年河北石家庄模拟)在等比数列{an}中,若a4=8a1, 且a1,a2+1,a3成等差数列,则其前5项和为(   ) A.30 B.32 C.62 D.64 解析:由题意,得a1q3=8a1,又a1≠0,∴q=2.又a1, a2+1,a3成等差数列,∴2(a2+1)=a1+a3,即2(2a1+1)= a1+4a1.解得a1=2.∴S5= 2(1-25) =62.故选 C. 1-2 答案:C 答案:32 【规律方法】在解决等比数列问题时,已知a1,an,q,n, Sn 中任意三个,可求其余两个,称为“知三求二”.而求得a1 和 q 是解决等比数列{an}所有运算的基本思想和方法. 考点 2 等比数列的基本性质及应用 例 2:(1)(2016 年河北衡水中学调研)在等比数列{an}中,若 a4,a8是方程x2-3x+2=0的两根,则a6的值是(  ) 答案:C (2)若等比数列{an}的各项均为正数,且a10a11+a9a12=2e5, 则ln a1+ln a2+…+ln a20=________. 解析:因为a10a11+a9a12=2a10a11=2e5,所以a10a11=e5.所 以ln a1+ln a2+…+ln a20=ln(a1a2·…·a20)=ln[(a1a20)·(a2a19)·…· (a10a11)]=ln(a10a11)10=10ln(a10a11)=10ln e5=50ln e=50. 答案:50 (3)已知各项都是正数的等比数列{an},Sn为其前n项和, 且S3=10,S9=70,那么S12=(  ) A.150 B.-200 C.150 或-200 D.400 或-50 解析:方法一,设等比数列的公比为 q,显然 q≠1, ∴S12=15S3=150.故选A. 方法二,∵S9=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+(a7+a8+a9)=S3+q3S3+q6S3=S3(1+q3+q6), ∴10(q6+q3+1)=70.∴q3=2或-3(舍去). ∴S12=S9+q9S3=70+80=150.故选A. 方法三,由等比数列的性质,知S3,S6-S3,S9-S6,S12-S9是等比数列, ∴(S6-10)2=10(70-S6). 解得S6=30或-20(舍去). 又(S9-S6)2=(S6-S3)(S12-S9), 即402=20(S12-70),解得S12=150.故选A. 方法四,设等比数列前n项和为Sn=A-Aqn, 解得q3=2或-3(舍去).∴A=-10. ∴S12=-10(1-24)=150.故选A. 答案:A (4)(2018 年河南中原名校质量考评)已知数列{an}为正项等 比数列,且a1a3+2a3a5+a5a7=4,则a2+a6=(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 【规律方法】(1)解决给项求项问题,先考虑利用等比数列 的性质“若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq”, 再考虑基本量法. (2)等比数列前 n 项和的性质:若公比不为-1 的等比数列 {an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍是等比数列. 【互动探究】 A.2015 B.2016 C.-2015 D.-2016 D 解析:lg a1+lg a2+…+lg a2016=lg(a1a2·…·a2016) 考点 3 等差与等比数列的混合运算 例 3:(2017 年新课标Ⅰ)记Sn为等比数列{an}的前n项和, 已知S2=2,S3=-6. (1)求{an}的通项公式; (2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列. 【互动探究】 2.(2017 年新课标Ⅱ)已知等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,等 比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若 a3+b3=5,求{bn}的通项公式; (2)若 T3=21,求S3. 解:设{an}的公差为 d,{bn}的公比为 q, 则an=-1+(n-1)d,bn=qn-1. 由a2+b2=2,得d+q=3. ① (1)由a3+b3=5,得2d+q2=6, ② 因此{bn}的通项公式为bn=2n-1,n∈N*. (2)由b1=1,T3=21,得q2+q-20=0. 解得q=-5,q=4. 当q=-5时,由①,得d=8,则S3=21. 当q=4时,由①,得d=-1,则S3=-6. 思想与方法 ⊙分类讨论思想在数列中的应用 例题:(2015 年福建)若 a,b 是函数 f(x)=x2-px+q(p>0, q>0)的两个不同的零点,且 a,b,-2 这三个数可适当排序后 成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则 p+q 的值等于 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9 答案:D 【互动探究】 3.设{an}是公比为q的等比数列,|q|>1,令bn=an+1(n= 1,2,…),若数列{bn}有连续四项在集合{-53,-23,19,37,82} 中,则 6q=_______. -9 第4讲 数列的求和 1.掌握等差数列、等比数列的求和公式. 2.了解一般数列求和的几种方法. 数列求和 B A 3.若数列{an}满足a1=1,an+1=2an(n∈N*),则a5=______, 前8项的和S8=______(用数字作答). 10,则项数 n=_______. 16 255 120 考点 1 公式或分组法求和 例 1:(2018 年天津)设{an}是等差数列,其前n项和为Sn (n∈N*);{bn}是等比数列,公比大于0,其前n项和为Tn(n∈ N*).已知b1=1,b3=b2+2,b4=a3+a5,b5=a4+2a6. (1)求Sn和Tn ; (2)若Sn+(T1+T2+…+Tn)=an+4bn,求正整数n的值. (2)由(1),知T1+T2+…+Tn=(21+22+…+2n)-n= 2n+1-n-2. 整理,得n2-3n-4=0.解得n=-1(舍),或n=4. 所以 n 的值为 4. 【规律方法】若一个数列是由等比数列和等差数列组成, 则求和时,可采用分组求和,即先分别求和,再将各部分合并. 【互动探究】 9 考点 2 裂项相消法求和 例 2:(2017 年新课标Ⅲ)设数列{an}满足a1+3a2+…+ (2n-1)an=2n. (1)求{an}的通项公式; 解:(1)因为 a1+3a2+…+(2n-1)an=2n, 故当n≥2时,a1+3a2+…+(2n-3)an-1=2(n-1), 两式相减,得(2n-1)an=2. 又因题设可得 a1=2,满足上式, 【规律方法】常见的裂项公式: 【互动探究】 2.(2018 年天津)设{an}是等比数列,公比大于 0,其前 n 项 和为Sn(n∈N*),{bn}是等差数列.已知a1=1,a3=a2+2,a4= b3+b5,a5=b4+2b6. (1)求{an}和{bn}的通项公式; (2)设数列{Sn}的前n项和为Tn(n∈N*), ①求Tn; (1)解:设等比数列{an}的公比为q.由a1=1,a3=a2+2, 可得 q2-q-2=0. 因为q>0,可得q=2,故an=2n-1. 设等差数列{bn}的公差为d,由a4=b3+b5,可得b1+3d=4. 由a5=b4+2b6,可得3b1+13d=16, 从而b1=1,d=1,故bn=n. 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1,数列{bn}的通项公式为bn=n. 考点 3 错位相减法求和 例 3:(2018 年浙江)已知等比数列{an}的公比 q>1,且 a3+a4+a5=28,a4+2是a3,a5的等差中项.数列{bn}满足b1= 1,数列{(bn+1-bn)an}的前n项和为2n2+n. (1)求 q 的值; (2)求数列{bn}的通项公式. 解:(1)由a4+2是a3,a5的等差中项,得a3+a5=2a4+4, 所以 a3+a4+a5=3a4+4=28. 解得 a4=8. 因为 q>1,所以 q=2. (2)设cn=(bn+1-bn)an,数列{cn}的前n项和为Sn. 【规律方法】(1)一般地,如果数列{an}是等差数列,{bn} 是等比数列,求数列{an·bn}的前 n 项和时,可采用错位相减法, 一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比,然后作差求解. (2)在写出“Sn”与“qSn” 的表达式时应特别注意将两式“错项 对齐”以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式. 【互动探究】 3.(2014 年新课标Ⅰ)已知{an}是递增的等差数列,a2,a4是 方程 x2-5x+6=0 的根. (1)求{an}的通项公式; 思想与方法 ⊙放缩法在数列中的应用 例题:已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,3Sn=an+1-2. (1)求数列{an}的通项公式; (1)解:由题设 3Sn=an+1-2, 当n≥2时,3Sn-1=an-2, 两式相减,得3an=an+1-an,即an+1=4an. 又a1=2,3a1=a2-2,可得a2=8, ∴a2=4a1. ∴数列{an}构成首项为2,公比为4的等比数列. ∴an=2×4n-1=22n-1. 【互动探究】 第5讲 合情推理和演绎推理 1.了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,了解合情推理在数学发现中的作用. 2.了解演绎推理的重要性,掌握演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单的推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异. 推理 合情推理 归纳推理 由特殊到一般 类比推理 由特殊到特殊 演绎推理 由一般到特殊 2.在△ABC中,若BC⊥AC,AC=b,BC=a,则△ABC的 论是:在四面体 S-ABC 中,若 SA,SB,SC 两两垂直,SA=a, SB=b,SC=c,则四面体 S-ABC 的外接球半径 R=__________. 3.(2017 年浙江)我国古代数学家刘徽创立的“割圆术”可 以估算圆周率π,理论上能把π的值计算到任意精度.祖冲之继承 并发展了“割圆术”,将π的值精确到小数点后七位,其结果领 先世界一千多年,“割圆术”的第一步是计算单位圆内接正六 边形的面积 S6,S6=___________. 解析:将正六边形分割为 6 个等边三角形,则 S6=6× 4.(2017 年北京)能够说明“设 a,b,c 是任意实数.若 a>b>c, 则 a+b>c”是假命题的一组整数 a,b,c 的值依次为_________ __________________. -1,-2, -3(答案不唯一) 考点 1 归纳推理 例 1:(1)(2016 年山东)观察下列等式: (2)(2015 年陕西)观察下列等式: …… 据此规律,第 n 个等式可为___________________________ _____________________________________________________. 解析:观察等式知:第 n 个等式的左边有 2n 个数相加减, 奇数项为正,偶数项为负,且分子为 1,分母是 1 到 2n 的连续 正整数,等式的右边是 (3)观察下列不等式: …… 照此规律,第 5 个不等式为__________________________. (4)对于实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,观察下列 等式: 按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为____________. …… 答案:2n2+n 【规律方法】归纳推理的一般步骤:①通过对某些个体的 观察、分析和比较,发现它们的相同性质或变化规律;②从已 知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题.如以上两小 题在进行归纳总结时,要看等号左边式子的变化规律,右边结 果的特点,根据以上规律写出所求等式,注意行数、项数及其 变化规律是解题的关键. 【互动探究】 1.观察以下等式: 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 13=1 13+23=9 13+23+33=36 13+23+33+43=100 13+23+33+43+53=225 可以推测 13+23+33+…+n3=____________(用含有 n 的 式子表示,其中 n 为自然数). 考点 2 类比推理 图 5-5-1 答案:A 【规律方法】类比推理经常用到转化与化归的思想,如空 间转化为平面、三角形类比三棱锥、正方形类比正方体、实数 类比到向量、椭圆类比到双曲线、等差数列类比到等比数列等. 类比推理的一般步骤:①找出两类事物之间的相似性或一致性; ②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出一个明确 的命题(猜想). 考点 3 演绎推理 (2)(2017 年上海外国语大学附中统测)等比数列前 n 项和为 Sn,有人算得S1=27,S2=63,S3=109,S4=175,后来发现有 一个数算错了,错误的是( ) A.S1    B.S2    C.S3     D.S4 答案:C 【规律方法】演绎推理是一种必然性推理,只要前提和推 理形式正确,其结论也必然正确. 【互动探究】 1 和 3 2.(2016 年新课标Ⅱ)有三张卡片,分别写有 1 和 2,1 和 3,2 和 3.甲、乙、丙三人各取走一张卡片,甲看了乙的卡片后说: “我与乙的卡片上相同的数字不是 2”,乙看了丙的卡片后说: “我与丙的卡片上相同的数字不是 1”,丙说:“我的卡片上 的数字之和不是 5”,则甲的卡片上的数字是_________. 难点突破 ⊙信息给予题(一) 解:①因为α=(1,1,0),β=(0,1,1), ②设α=(x1,x2,x3,x4)∈B,则M(α,α)=x1+x2+x3+x4. 由题意,知x1,x2,x3,x4∈{0,1},且M(α,α)为奇数, 所以x1,x2,x3,x4中1的个数为1或3. 所以 B?{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1), (1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}. 将上述集合中的元素分成如下四组: (1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1); (0,0,0,1),(0,1,1,1). 经验证,对于每组中两个元素α,β,均有 M(α,β)=1. 所以每组中的两个元素不可能同时是集合 B 的元素. 所以集合 B 中元素的个数不超过 4. 又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件, 所以集合 B 中元素个数的最大值为 4. 【互动探究】 3.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛,其中只有一位获 奖,有人走访了四位歌手,甲说:“我没有获奖”,乙说:“是 丙获奖”,丙说:“是丁获奖”,丁说:“我没有获奖”.在以 上问题中只有一人回答正确,根据以上的判断,获奖的歌手是 _______. 甲 第6讲 直接证明与间接证明 1.了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法;了解分析法和综合法的思考过程、特点. 2.了解间接证明的一种基本方法——反证法;了解反证法的思考过程、特点. 1.直接证明 (1)综合法. ①定义:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等, 经过一系列的推理论证,最后推导出所要证明的结论成立,这 种证明方法叫做综合法. 中 P 表示已知条件、已有的定义、公理、定理等,Q 表示要证 明的结论) (2)分析法. ①定义:从要证明的结论出发,逐步寻求使它成立的充分 条件,直至最后,把要证明的结论归结为判定一个明显成立的 条件(已知条件、定义、定理、公理等)为止,这种证明方法叫 做分析法. 2.间接证明 反证法:假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出 矛盾,因此说明假设错误,从而证明了原命题成立,这样的证 明方法叫做反证法. 1.下列表述:①综合法是由因导果法;②综合法是顺推法; ③分析法是执果索因法;④分析法是逆推法;⑤反证法是间接 证法.其中正确的个数是( ) A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 2.用反证法证明命题:“三角形三个内角中至少有一个不 大于 60°”时,应假设( ) D B A.三个内角都不大于 60° B.三个内角都大于 60° C.三个内角中至多有一个大于 60° D.三个内角中至多有两个大于 60° A.分析法 B B.综合法 C.反证法 D.分析法与综合法并用 3.若a,b,c是不全相等的实数,求证:a2+b2+c2>ab+bc+ac.其证明过程如下: ∵a,b,c∈R,∴a2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac. 又a,b,c不全相等,∴2(a2+b2+c2)>2(ab+bc+ac). ∴a2+b2+c2>ab+bc+ac.此证法是( ) A.分析法 C.间接证法 B.综合法 D.分析法与综合法并用 A 考点 1 综合法 例 1:已知 a,b,c 为正实数,a+b+c=1.求证: 证明:(1)方法一,∵a+b+c=1, 方法二,∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc ≤a2+b2+c2+(a2+b2)+(a2+c2)+(b2+c2), ∴原不等式成立. 【互动探究】 1.设函数 f(x)=|2x-1|. (1)设 f(x)+f(x+1)<5 的解集为集合 A,求集合 A; (2)已知 m 为集合 A 中的最大自然数,且 a+b+c=m(其中 (2)证明:由(1)知 m=1,则 a+b+c=1. 考点 2 分析法 证明:因为 m>0,所以 1+m>0. 只需证明(a+mb)2≤(1+m)(a2+mb2), 即证m(a2-2ab+b2)≥0, 即证(a-b)2≥0. 又(a-b)2≥0显然成立, ∴原不等式成立. 【互动探究】 考点 3 反证法 即(a+b)2+a+b-2ab<4. 由(1)知 ab=1 因此(a+b)2+a+b<6. 而由(1)知a+b≥2,可得(a+b)2+a+b≥6, ① ② 因此①②矛盾,所以假设不成立,原结论成立. 【规律方法】反证法主要适用于以下两种情形:①要证的 条件和结论之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不 够清晰;②如果从正面出发,需要分成多种情形进行分类讨论, 而从反面证明,只要研究一种或很少几种情形. 【互动探究】 3.已知 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数,a,b∈R,对命题 “若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”. (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论. 证明:(1)逆命题:已知函数 f(x)是(-∞,+∞)上的增函数, a,b∈R,若 f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则 a+b≥0. 逆命题为真,(用反证法证明)假设 a+b<0,则有 a<-b, b<-a. ∵f(x)在(-∞,+∞)上是增函数, ∴f(a)0,且b≠1,所以当n≥2时,{an}是以b为公比的等比数列. 【规律方法】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题: ①当遇到与正整数 n 有关的不等式证明时,应用其他办法 不容易证,则可考虑应用数学归纳法. ②用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k 成立,推证 n=k+1 时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、 综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明方法. 【互动探究】 2.函数f(x)=x2-2x-3.定义数列{xn}如下:x1=2,xn+1是过两点P(4,5),Qn(xn,f(xn))的直线PQn与x轴交点的横坐标. (1)证明:2≤xn

  • ID:3-5968324 2020年高考数学一轮复习第四章平面向量(第1-4讲)课件理

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    第四章 平面向量 第1讲 平面向量及其线性运算 1.平面向量的实际背景及基本概念. (1)了解向量的实际背景. (2)理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义. (3)理解向量的几何表示. 2.向量的线性运算. (1)掌握向量的加法、减法的运算,并理解其几何意义. (2)掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义. (3)了解向量线性运算的性质及其几何意义. 1.向量的有关概念 名称 定义 备注 向量 既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量 零向量 长度为零的向量;其方向是任意的 记作0 单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a的单位向 量为± 共线向量 (平行向量) 方向相同或相反的非零向量 零向量与任一向量平行或共线 相等向量 长度相等且方向相同的向量 记作a=b 2.向量的线性运算 向量 运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的 运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律: a+b=b+a. (2)结合律: (a+b)+c =a+(b+c) (续表) |λ||a| 0 λμa λa+λb 3.共线向量定理 向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ, 使得 b=λa. D A 3.(2017 年广东茂名一模)对于向量 a,b,c 和实数λ,下列 命题中真命题是( ) A.若 a·b=0, 则 a=0 或 b=0 B B.若λa=0,则λ=0 或 a=0 C.若 a2=b2,则 a=b 或 a=-b D.若 a·b=a·c,则 b=c 解析:因为非零向量 a⊥b 时,也有 a·b=0,所以 A 错误; a2=b2 只说明向量 a 与 b 的模相等,a 与 b 不一定共线,所以 C 错误;当向量 a,b,c 两两垂直时,也有 a·b=a·c,但 b 与 c 方向不一定相同,故 b≠c,所以 D 错误.故选 B. 图 4-1-1 D 考点 1 平面向量的基本概念 例 1:(1)给出下列命题: ①若|a|=|b|,则 a=b; ABCD 为平行四边形的充要条件; ③若 a=b,b=c,则 a=c; ④若 a∥b,b∥c,则 a∥c. 其中正确命题的序号是( ) A.②③ B.②④ C.③④ D.②③④ 答案:A (2)(2017 年新课标Ⅱ)设非零向量 a,b 满足|a+b|=|a-b|, 则( ) A.a⊥b B.|a|=|b| C.a∥b D.|a|>|b| 解析:方法一,由|a+b|=|a-b|,得 |a+b|2=|a-b|2,得a·b =0?a⊥b.故选 A. 方法二,由|a+b|=|a-b|得平行四边形为矩形,所以 a⊥b. 故选 A. 答案:A 【规律方法】(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也 具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关. (3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量.解题时, 考点 2 平面向量的线性运算 答案:A 图 D27 答案:C 【规律方法】(1)解题的关键在于熟练地找出图形中的相等 向量,并能熟练运用相反向量将加减法相互转化.(2)用几个基本 向量表示某个向量问题的基本技巧:①观察各向量的位置; ②寻找相应的三角形或多边形;③运用法则找关系;④化简结果. 考点 3 共线向量定理的应用 例 3:设两个非零向量 a 与 b 不共线. D 三点共线; (2)试确定实数 k,使 ka+b 和 a+kb 共线. 【规律方法】(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决, 但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且 有公共点时,才能得出三点共线.(2)向量 a,b 共线是指存在不 全为零的实数λ1,λ2,使λ1a+λ2b=0成立;若λ1a+λ2b=0,当 且仅当λ1=λ2=0时成立,则向量a,b不共线. 【互动探究】 1.(2015 年新课标Ⅱ)设向量 a,b 不平行,向量λa+b 与 a+2b 平行,则实数λ=_______. 考点 4 三点共线的充要条件 ∵有公共点 A,∴A,P,B 三点共线. 必要性:若 P,A,B 三点共线, 【互动探究】 图 4-1-2 答案:(1)D 3 (2) 5 难点突破 ⊙利用向量加法的几何意义解决三角形的四心问题 例题:(1)已知 O 是平面上一定点,A,B,C 是平面上不共 则点 P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.外心 C.内心 B.垂心 D.重心 答案:D 答案:B 【互动探究】 答案:C 答案:(1)垂心 (2)外心 第2讲 平面向量基本定理及坐标表示 平面向量的基本定理及坐标表示. (1)了解平面向量的基本定理及其意义. (2)掌握平面向量的正交分解及其坐标表示. (3)会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算. (4)理解用坐标表示的平面向量共线的条件. 1.平面向量基本定理 如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2,其中不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 2.平面向量坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模: (λx1,λy1) 3.共线向量及其坐标表示 (1)向量 a(a≠0)与 b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ, 使得 b=λa. (2)设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,当且仅当x1y2 -x2y1=0 时,向量 a,b 共线. 1.(2014 年北京)已知向量 a=(2,4),b=(-1,1),则 2a-b =( ) A.(5,7) B.(5,9) C.(3,7) D.(3,9) 2.(2017 年河南郑州一模)设向量 a=(x,1),b=(4,x),若 a, b 方向相反,则实数 x 的值是( ) A D A.0 B.±2 C.2 D.-2 3.已知 a=(3,-2),b=(-2,1),c=(7,-4),则( ) A.c=a+2b C.c=2b-a B.c=a-2b D.c=2a-b 4.(2017 年山东)已知向量 a=(2,6),b=(-1,λ),若 a∥b, 则λ=_________. B -3 考点 1 平面向量基本定理的应用 答案:B 【规律方法】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是 利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运 算.(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路是:先选择一组 基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过 向量的运算来解决. 【互动探究】 考点 2 平面向量的坐标运算 A.(-7,-4) C.(-1,4) B.(7,4) D.(1,4) 答案:A A.(-2,-4) C.(3,5) B.(-3,-5) D.(2,4) 答案:B (3)(2015 年江苏)已知向量 a=(2,1),b=(1,-2),若 ma+ nb=(9,-8)(m,n∈R),则 m-n 的值为__________. 解析:由题意,得 2m+n=9,m-2n=-8?m=2,n=5. ∴m-n=-3. 答案:-3 考点 3 向量共线的坐标表示 答案:A (2)(2017 年甘肃天水一中统测)设向量 a=(2,3),b=(-1,2), 若 ma+b 与 a-2b 平行,则实数 m=( ) 解析:∵a=(2,3),b=(-1,2), 则 ma+b=m(2,3)+(-1,2)=(2m-1,3m+2), a-2b=(2,3)-2(-1,2)=(4,-1). 又 ma+b 与 a-2b 平行, 故选 D. 答案:D (3)(2018 年新课标Ⅲ)已知向量 a=(1,2),b=(2,-2),c= (1,λ).若 c∥(2a+b),则λ=________. 【规律方法】明确两向量相等的充要条件,它们的对应坐 标相等,其实质为平面向量基本定理的应用.向量共线的充要条 件的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b?x1y2-x2y1=0.向量垂直的充要条件的坐标表示:若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a⊥b?x1x2+y1y2=0. 【互动探究】 2.已知 a=(1,0),b=(2,1).求: (1)|a+3b|; (2)当 k 为何实数时,ka-b 与 a+3b 平行,平行时它们是 同向还是反向? 易错、易混、易漏 ⊙利用方程的思想求解平面向量问题 图 4-2-1 【失误与防范】(1)学生的易错点是:找不到问题的切入口, 亦即想不到利用待定系数法求解.(2)数形结合思想是向量加法、 减法运算的核心,向量是一个几何量,是有“形”的量,因此 在解决向量有关问题时,多数习题要结合图形进行分析、判断、 求解,这是研究平面向量最重要的方法与技巧.如本题很多学生 易忽视 A,M,D 共线和 B,M,C 共线这两个几何特征. 第3讲 平面向量的数量积 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义. 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系. 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算. 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系. 1.两个向量的数量积的定义 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ 叫做 a 与 b 的数量积(或内积),记作 a·b,即 a·b=|a||b|cos θ.规 定零向量与任一向量的数量积为 0,即 0·a=0. 2.平面向量数量积的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos θ 的乘积. 3.平面向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是单位向量,θ为 a 与 b(或 e)的 夹角,则: (1)e·a=a·e=|a|cos θ. (2)a⊥b?a·b=0. (3)当 a 与 b 同向时,a·b=|a||b|; 当 a 与 b______向时,a·b=-|a||b|. 反 ≤ 4.平面向量数量积的坐标运算 ⊥ 1.(2017 年新课标Ⅲ)已知向量 a=(-2,3),b=(3,m),且 a⊥b,则 m=_______. 2 -1 D 2.(2018 年北京)设向量 a=(1,0),b=(-1,m),若 a⊥(ma -b),则 m=________. 3.(2016 年新课标Ⅱ)已知向量 a=(1,m),b=(3,-2),且 (a+b)⊥b,则 m=( ) A.-8 B.-6 C.6 D.8 4.(2015 年福建)设 a=(1,2),b=(1,1),c=a+kb.若 b⊥c, 则实数 k 的值等于( ) A.- 3 2 B.- 5 3 A C. 5 3 D. 3 2 考点 1 平面向量的数量积 例 1:(1)(2014 年大纲)已知 a,b 为单位向量,其夹角为 60°,则(2a-b)·b=(  ) A.-1 B.0 C.1 D.2 解析:(2a-b)·b=2a·b -b2 =2×|a|×|b|cos〈a,b〉-|b|2 =2×1×1×cos 60°-1=0.故选 B. 答案:B A.1 B.2 C.3 D.5 解析:a2+2a·b+b2=10,a2-2a·b+b2=6,二式相减,得 4a·b=4,a·b=1. 答案:A (3)(2018 年新课标Ⅱ)已知向量 a,b 满足|a|=1,a·b=-1, 则 a·(2a-b)=( ) A.4 B.3 C.2 D.0 解析:a·(2a-b)=2a2-a·b=2-(-1)=3. 答案:B 考点 2 平面向量的夹角与垂直 例 2:(1)(2017 年新课标Ⅰ)已知向量 a=(-1,2),b=(m,1). 若向量 a+b 与 a 垂直,则 m=__________. 解析:a+b=(m-1,3),因为(a+b)·a=0,所以-(m-1) +2×3=0.解得 m=7. 答案:7 (2)(2016 年新课标Ⅰ)设向量 a=(x,x+1),b=(1,2),且 a⊥b,则 x=________. 则∠ABC=( ) A.30° B.45° C.60° D.120° 答案:A 【互动探究】 1.(2015 年重庆)已知非零向量 a,b 满足|b|=4|a|,且 a⊥(2a +b),则 a 与 b 的夹角为( ) C 考点 3 平面向量的模及应用 例 3:(1)(2017 年新课标Ⅰ)已知向量 a,b 的夹角为 60°, |a|=2,|b|=1,则| a+2b |=________; 图 D28 (2)(2017 年浙江)已知向量 a,b 满足|a|=1,|b|=2,则|a+b| +|a-b|的最小值是________,最大值是________; (3)已知 a 与 b 均为单位向量,其夹角为θ,有下列四个命题: 答案:A 答案:D 【规律方法】(1)求向量的模的方法:①公式法,利用|a|= 运算;②几何法,利用向量的几何意义,即利用向量加减法的 平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方 法求解. (2)求向量模的最值(范围)的方法:①代数法,把所求的模 表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解;②几何法(数 形结合法),弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图 形求解. 考点 4 平面向量的投影 例 4:(1)已知点 A(-1,1),B(1,2),C(-2,-1),D(3,4), 答案:A (2)已知向量 a,b 的夹角为 120°,且|a|=2,|b|=3,则向 量2a+3b 在向量 2a+b 方向上的投影为( ) 答案:D 难点突破 ⊙三角函数与平面向量的综合应用 【互动探究】 (1)求函数 f(x)的单调递增区间; (2)设△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,且 a,b,c 成等比数列,求 f(B)的取值范围. 第4讲 平面向量的应用举例 1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题. 2.会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题. 1.向量在平面几何中的应用 平面向量在平面几何中的应用主要是用向量的线性运算及 数量积解决平面几何中的平行、垂直、平移、全等、相似、长 度、夹角等问题. 设a=(x1,y1),b=(x2,y2),λ为实数. (1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线 向量定理: a∥b?a=λb(b≠0)?x1y2-x2y1=0. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质: a⊥b?a·b=0?________________. (3)求夹角问题,利用夹角公式: x1x2+y1y2=0 2.平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角 函数、数列、解析几何等知识结合.当平面向量给出的形式中含 有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该未 知数的关系式.在此基础上,可以求解有关函数、不等式、三角 函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代数运 算,其转化途径主要有两种:一是利用平面向量平行或垂直的 充要条件;二是利用向量数量积的公式和性质. 1.如图 4-4-1,已知正六边形 P1P2P3P4P5P6,下列向量的数 量积中最大的是( ) 图 4-4-1 A 2.如图 4-4-2,已知在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠BAD= 图 4-4-2 A 90° 4. 已知正方形 ABCD 的边长为 2,E 为CD的中点, 解析:方法一,如图 D29,以 A 为坐标原点,AB 所在的直 线为 x 轴,AD 所在的直线为 y 轴,建立平面直角坐标系,则 A(0,0),B(2,0),D(0,2),E(1,2). 图 D29 答案:2 考点 1 平面向量在平面几何中的应用 答案:B (3)(2018 年天津)如图 4-4-3,在平面四边形 ABCD 中,AB ⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1.若点 E 为边 CD 图 4-4-3 A. 21 16 B. 3 2 C. 25 16 D.3 解析:建立如图 D30 所示的平面直角坐标系. 答案:A 图 D30 答案:D (5)在菱形 ABCD 中,对角线 AC=4,E 为 CD 的中点,则 A.8 B.10 C.12 D.14 方法二,(坐标化)如图 D31,建立平面直角坐标系, 则 A(-2,0),C(2,0). 不妨设 D(0,2a),则 E(1,a). 答案:C 图 D31 【规律方法】用向量方法解决平面几何问题的步骤: ①建立平面几何与向量的联系,用向量表示问题中涉及的 几何元素,将平面几何问题转化为向量问题; ②通过向量运算,研究几何元素之间的关系; ③把运算结果“翻译”成几何关系. 建立平面几何与向量联系的主要途径是建立平面直角坐标 系,将问题坐标化,利用平面向量的坐标运算解决有关问题. 考点 2 平面向量在解析几何中的应用 答案:6 图 D32 答案:A 答案:A 答案:A 图 4-4-4 难点突破 ⊙利用数形结合的思想求最值 答案:A (2)已知 a,b 是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量 c 满足(a-c)·(b-c)=0,则|c|的最大值是( ) A.1 B.2 解析:方法一,直接设出向量的直角坐标,把问题转化为 坐标平面内曲线上的问题,根据曲线的几何意义解决. 图 4-4-5 答案:C 【互动探究】 解析:如图 D33,建立平面直角坐标系, 图 D33

  • ID:3-5968318 2020年高考数学一轮复习第十章算法初步、复数与选考内容(第1-4讲6份)课件理

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    第十章 算法初步、复数与选考内容 第1讲 程序框图及简单的算法案例 1.算法的含义、程序框图. (1)了解算法的含义,了解算法的思想. (2)理解程序框图的三种基本逻辑结构:顺序、条件分支、循环. 2.基本算法语句. 理解几种基本算法语句——输入语句、输出语句、赋值语句、条件语句、循环语句的含义. 3.流程图:了解程序框图;了解工序流程图(即统筹图);能绘制简单实际问题的流程图,了解流程图在解决实际问题中的作用. 4.结构图:了解结构图;会运用结构图梳理已学过的知识,整理收集到的资料信息. 1.算法的概念 算法通常是指可以用计算机来解决的某一类问题的程序或 步骤,这些程序或步骤必须是明确和有效的,而且能够在有限 步之内完成. 2.程序框图 程序框图又称流程图,是一种用规定的图形、指向线及文 字说明来准确、直观地表示算法的图形.通常程序框图由程序框 和流程线组成,一个或几个程序框的组合表示算法中的一个步 骤;流程线为带方向的箭头,按照算法进行的顺序将程序框连 接起来. 3.算法的三种基本逻辑结构 (1)顺序结构:由若干个依次执行的处理步骤组成的,这是 任何一个算法都离不开的基本结构.其结构形式为: (2)条件结构:指算法的流程根据给定的条件是否成立而选 择执行不同的流向的结构形式.其结构形式为: (3)循环结构:指从某处开始,按照一定条件反复执行处理 某一步骤的情况.反复执行的处理步骤称为循环体.循环结构又 分为当型(WHILE 型)和_____________________. 其结构形式为: 直到型(UNTIL 型) 4.输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能 语句 一般格式 功能 输入语句 INPUT“提示内容”;变量 输入信息 输出语句 PRINT“提示内容”;表达式 输出常量、变量的值 和系统信息 赋值语句 变量=表达式 将表达式代表的值 赋给变量 5.条件语句 (1)程序框图中的条件结构与条件语句相对应. (2)条件语句的格式及框图如下: ①IF—THEN 格式 ②IF—THEN—ELSE 格式 6.循环语句 循环结构 (1)程序框图中的____________与循环语句相对应. (2)循环语句的格式及框图如下: ①UNTIL 语句 ②WHILE 语句 7.辗转相除法 辗转相除法是用于求最大公约数的一种方法,其基本过程 是:对于给定的两个数,用较大的数除以较小的数,若余数不 为零,则将较小的数和余数构成新的一对数,继续上面的除法, 直到大数被小数除尽,则这时的除数就是原来两个数的最大公 约数. 8.更相减损术 更相减损术是一种求两数最大公约数的方法,其基本过程 是:对于给定的两数,判断它们是否都是偶数,若是,则用 2 约简;若不是,则以较大的数减去较小的数,接着把所得的差 与较小的数比较,并以大数减小数,继续这个操作,直到所得 的减数与差相等为止,则这个等数或其与约简的数的乘积就是 所求的最大公约数. 9.秦九韶算法 秦九韶算法是一种用于计算一元 n 次多项式的值的方法. 10.进位制 人们为了计数和运算方便而约定的记数系统, “满 k 进 1”,就是 k 进制,k 进制的基数是 k. 1.(2017 年新课标Ⅰ)如图10-1-1 所示的程序框图是为了求 出满足 3n-2n>1000的最小偶数 n,那么在 和 两个空白 框中,可以分别填入( ) D A.A>1000 和 n=n+1 B.A>1000 和 n=n+2 C.A≤1000 和 n=n+1 D.A≤1000 和 n=n+2 图 10-1-1 2.(2016 年新课标Ⅰ)执行如图10-1-2 所示的程序框图,如 ) C 果输入 x=0,y=1,n=1,那么输出 x,y 的值满足( 图 10-1-2 A.y=2x B.y=3x C.y=4x D.y=5x 3.(2015 年新课标Ⅰ)执行如图 10-1-3 所示的程序框图,若 输入的 t=0.01,则输出 n=( C ) 图 10-1-3 A.5 B.6 C.7 D.8 4.(2014 年新课标Ⅰ)执行如图10-1-4 所示的程序框图,若 ) 输入的 a,b,k 分别为 1,2,3,则输出 M=( 图 10-1-4 D 考点 1 程序框图 考向 1 程序运行的考查 例 1:(1)(2017 年新课标Ⅱ)执行如图 10-1-5 所示的程序框 图,如果输入 a=-1,则输出 S=( ) 图 10-1-5 A.2 B.3 C.4 D.5 解析:阅读流程图,初始化数值 a=-1,K=1,S=0. 循环结果执行如下: 第一次:S=0-1=-1,a=1,K=2; 第二次:S=-1+2=1,a=-1,K=3; 第三次:S=1-3=-2,a=1,K=4; 第四次:S=-2+4=2,a=-1,K=5; 第五次:S=2-5=-3,a=1,K=6; 第六次:S=-3+6=3,a=-1,K=7. 结束循环,输出 S=3 .故选 B. 答案:B (2)(2017 年天津)阅读如图 10-1-6 所示的程序框图,运行相 ) 应的程序,若输入 N 的值为 24,则输出 N 的值为( 图 10-1-6 A.0 B.1 C.2 D.3 解析:依次为 N=8,N=7,N=6,N=2,输出 N=2.故 选 C. 答案:C (3)(2016 年新课标Ⅲ)执行如图 10-1-7 所示的程序框图,如 ) 果输入的 a=4,b=6,那么输出的 n=( 图 10-1-7 A.3 B.4 C.5 D.6 解析:第一次循环,a=6-4=2,b=6-2=4,a=4+2 =6,s=6,n=1;第二次循环,a=4-6=-2,b=4-(-2) =6,a=6-2=4,s=10,n=2;第三次循环,a=6-4=2,b =6-2=4,a=4+2=6,s=16,n=3;第四次循环,a=4-6 =-2,b=4-(-2)=6,a=6-2=4,s=20,n=4,满足题意, 结束循环. 答案:B (4)(2018 年天津)阅读如图 10-1-8 所示的程序框图,运行相 ) 应的程序,若输入 N 的值为 20,则输出 T 的值为( 图 10-1-8 A.1 B.2 C.3 D.4 答案:B 考向 2 算法终止条件的判断 例 2:(1)(2017 年新课标Ⅲ)执行如图 10-1-9 所示的程序框 图,为使输出 S 的值小于 91,则输入的正整数 N 的最小值为 ( ) 图 10-1-9 A.5 B.4 C.3 D.2 解析:阅读程序框图,程序运行如下: 首先初始化数值:t=1,M=100,S=0,然后进入循环体: 此时应满足 t≤N,执行循环语句: 此时应满足 t≤N,执行循环语句: 此时满足 S<91,可以跳出循环,则输入的正整数 N 的最小 值为 2.故选 D. 答案:D (2)(2017 年山东)执行如图 10-1-10 所示的程序框图,当输 入 x 的值为 4 时,输出 y 的值为 2,则空白判断框中的条件可能 为( ) 图 10-1-10 A.x>3 B.x>4 C.x≤4 D.x≤5 解析:若当 x=4 满足条件,则 y=x+2=6,不合题意,故 排除 A,C,D.故选 B. 答案:B 图 10-1-11 A.i=i+1 B.i=i+2 C.i=i+3 D.i=i+4 答案:B (4)执行如图 10-1-12 所示的程序框图,若输出的结果为 40, 则判断框中可填( ) 图 10-1-12 A.k≤6? B.k≥5? C.k≤5? D.k>6? 解析:执行程序: S=0,a=2,k=1,得到 S=0+2=2,a=5,k≥5?,否; k=2,S=7,a=8,k≥5?,否; k=3,S=15,a=11,k≥5?,否; k=4,S=26,a=14,k≥5?,否; k=5,S=40,a=17,k≥5?,是; 输出 40.故选 B. 答案:B 【规律方法】在循环结构中,要注意把当型与直到型区分 开来,在解答含循环结构的程序框图时,可以自己“运行”循 环刚开始的几次,找出循环的规律,再“运行”最后一次,确 定循环的“终点”,就可以把握循环的全过程.算法终止条件的 判断比直接计算算法的结果要难一些,减少失误的关键还是要 避免多运行或少运行. 考点 2 基本算法语句 例 3:(1)(2018 年江苏)一个算法的伪代码如图10-1-13,执 行此算法,最后输出的 S 的值为________. 图 10-1-13 解析:执行此算法,其功能为:先判断 I<6 是否成立,若 成立,再计算 I,S,若不成立,结束循环,输出结果.由伪代码, 可得 I=3,S=2;I=5,S=4;I=7,S=8,因为 7>6,所以结 束循环,最后输出的 S 的值为 8. 答案:8 (2)按照如下程序(图 10-1-14)运行,则输出 k 的值是_______. x=3 k=0 DO x=2x+1 k=k+1 LOOP UNTIL x>16 PRINT k END 图10-1-14 解析:第一次循环,x=7,k=1; 第二次循环,x=15,k=2; 第三次循环,x=31,k=3. 终止循环,输出 k 的值是 3. 答案:3 【规律方法】(1)本题主要考查条件语句,输入语句、输出 语句与赋值语句,要注意赋值语句一般格式中的“=”不同于 等式中的“=”,其实质是计算“=”右边表达式的值,并将 该值赋给“=”左边的变量. (2)解决此类问题关键要理解各语句的含义,以及基本算法 语句与算法结构的对应关系. 考点 3 算法案例 例 4:(1)(2016 年新课标Ⅱ)中国古代有计算多项式值的秦 九韶算法,如图 10-1-15 是实现该算法的程序框图.执行该程序 框图,若输入 x=2,n=2,依次输入 a 为 2,2,5,则输出 s= ( ) 图 10-1-15 A.7 B.12 C.17 D.34 解析:输入 x=2,n=2. 第一次,a=2,s=2,k=1,不满足 k>n; 第二次,a=2,s=2×2+2=6,k=2,不满足 k>n; 第三次,a=5,s=6×2+5=17,k=3,满足 k>n,输出 s=17. 答案:C (2)(2015 年新课标Ⅱ)如图10-1-16 所示的程序框图的算法 思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”. ) 执行该程序框图,若输入 a,b 分别为 14,18,则输出 a=( 图 10-1-16 A.0 B.2 C.4 D.14 解析:程序在执行过程中,a,b 的值依次为 a=14,b=18; b=4;a=10;a=6;a=2;b=2.此时 a=b=2,程序结束,输 出 a 的值为 2.故选 B. 答案:B (3)根据如图 10-1-17 所示的求公约数方法的程序框图,输 ) 入 m=2146,n=1813,则输出 m 的值为( 图 10-1-17 A.36 B.37 C.38 D.39 解析:算法的功能是利用辗转相除法求 2146 与 1813 的最 大公约数,2146=1813+333;1813=5×333+148;333=2×148 +37;148=4×37+0,最大公约数是 37.故选 B. 答案:B 第2讲 复数的概念及运算 1.理解复数的基本概念,理解复数相等的充要条件. 2.了解复数的代数表示法及其几何意义. 3.会进行复数代数形式的四则运算,了解复数代数形式的加、减运算的几何意义. 1.复数的有关概念 (1)形如 a+bi(a,b∈R)的数叫做复数,其中 a,b 分别是复 数的实部和虚部.若 b=0,则 a+bi 为实数;若 b≠0,则 a+bi 为虚数;若 a=0,且 b≠0,则 a+bi 为纯虚数. (3)a+bi 的共轭复数为 a-bi(a,b∈R). (4)复数 z=a+bi(a,b∈R)与复平面内的点 Z(a,b)一一 对应. 注意:任意两个复数全是实数时能比较大小,其他情况不 能比较大小. 2.(2017 年新课标Ⅰ)下列各式的运算结果为纯虚数的是 ( ) A.i(1+i)2 C.(1+i)2 B.i2(1-i) D.i(1+i) C C 3.(2016 年新课标Ⅰ)设(1+2i)(a+i)的实部与虚部相等,其 中 a 为实数,则 a=( ) A.-3 B.-2 C.2 D.3 4.(2016 年新课标Ⅰ)设 x(1+i)=1+yi,其中 x,y 为实数, 则|x+yi|=( ) A B 解析:因为 x(1+i)=1+yi,所以 x+xi=1+yi.解得 x=1, y=x=1.|x+yi|=|1+i|= .故选 B. 5.(2015 年新课标Ⅰ)已知复数 z 满足(z-1)i=1+i,则 z= ( ) C A.-2-i C.2-i B.-2+i D.2+i 故选 C. A 考点 1 复数的概念 例 1:(1)(2016 年天津)i是虚数单位,复数 z 满足(1+i)z=2, 则 z 的实部为________. 解析:(1+i)z=2?z= 2 1+i =1-i,所以 z 的实部为 1. 答案:1 =-(i-2)=2-i.实部 (2)(2018 年江苏)若复数 z 满足 i·z=1+2i,其中 i 是虚数单 位,则 z 的实部为________. 解析:i·z=1+2i,z= 1+2i i = (1+2i)i i·i 为 2. 答案:2 (3)若复数 z 满足(3-4i)z=|4+3i|,则 z的虚部为(  ) 答案:D ( ) A.1+i C.-1+i B.1-i D.-1-i 2(1+i) 解析: 2 1-i = = (1-i)(1+i) 2(1+i) 2 =1+i.共轭复数是 1-i. 答案:B 【规律方法】(1)复数a+bi(a,b∈R)的虚部是b 而不是bi; (2)复数z=a+bi(a,b∈R),当b≠0 时,z 为虚数;当b= 0 时,z 为实数;当 a=0,b≠0 时,z 为纯虚数. 答案:B 考点 2 复数的模及几何意义 例 2:(1)(2017 年新课标Ⅲ)复平面内表示复数 z=i(-2+i) 的点位于( ) A.第一象限 C.第三象限 B.第二象限 D.第四象限 解析:z=i(-2+i)=-1-2i,点(-1,-2)位于第三象限. 故选 C. 答案:C A.-1+2i C.3+2i B.1-2i D.3-2i 解析:由 z+i=3-i,得 z=3-2i.所以 z =3+2i.故选 C. 答案:C 答案:D (4)(2016 年新课标Ⅱ)已知 z=(m+3)+(m-1)i 在复平面内 对应的点在第四象限,则实数 m 的取值范围是( ) A.(-3,1) C.(1,+∞) B.(-1,3) D.(-∞,-3) 解析:要使复数 z 对应的点在第四象限,则应满足 解得-30) 与圆ρ=2cos θ相切,则 a=__________. 2 考点 1 极坐标与直角坐标的相互转化 例 1:(2018 年新课标Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的 方程为 y=k|x|+2.以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极 坐标系,曲线 C2的极坐标方程为ρ2+2ρcos θ-3=0. (1)求 C2 的直角坐标方程; (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程. 解:(1)由 x=ρcos θ,y=ρsin θ,得 C2 的直角坐标方程为 (x+1)2+y2=4. (2)由(1),知C2是圆心为A(-1,0),半径为2的圆. 由题设知,C1是过点B(0,2)且关于y轴对称的两条射线.记y轴右边的射线为l1,y轴左边的射线为l2.由于B在圆C2的外面,故C1与C2有且仅有三个公共点等价于l1与C2只有一个公共点且l2与C2有两个公共点,或l2与C2只有一个公共点且l1与C2有两个公共点. 当l1与C2只有一个公共点时,A到l1所在直线的距离为2, 【互动探究】 1.(2017 年新课标Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原 点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C1 的极坐 标方程为ρcos θ=4. (1)M 为曲线 C1 上的动点,点 P 在线段 OM 上,且满足 |OM|·|OP|=16,求点 P 的轨迹 C2 的直角坐标方程; 面积的最大值. 考点 2 极坐标与参数方程的相互转化 ∴x2+(y-1)2=a2. ① ∴C1为以(0,1)为圆心,a为半径的圆. 方程为x2+y2-2y+1-a2=0. ∵x2+y2=ρ2,y=ρsin θ, ∴ρ2-2ρsin θ+1-a2=0,即为C1的极坐标方程. (2)C2:ρ=4cos θ, 两边同乘ρ,得ρ2=4ρcos θ. ∵ρ2=x2+y2,ρcos θ=x, ∴x2+y2=4x. 即(x-2)2+y2=4. ② C3化为普通方程为y=2x. 由题意C1和C2的公共点所在直线即为C3, ①-②得,4x-2y+1-a2=0,即为C3. ∴1-a2=0. ∵a>0,∴a=1. 【规律方法】将曲线C2 与C3 的极坐标方程化为直角坐标 方程,联立求交点,得其交点的直角坐标,也可以直接联立极 坐标方程,先求得交点的极坐标,再化为直角坐标. 【互动探究】 2,曲线 C 的方程为ρ=4cos θ,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长. 解:因为曲线 C 的极坐标方程为ρ=4cos θ, 所以曲线 C 的圆心为(2,0),直径为 4 的圆. 所以 A 为直线 l 与圆 C 的一个交点. 解:(1)消去参数 t,得l1的普通方程l1:y=k(x-2); 消去k,得x2-y2=4(y≠0). 所以C的普通方程为x2-y2=4(y≠0). 易错、易混、易漏 ⊙直接利用极坐标解题应该注意几何意义 例题:(2016 年新课标Ⅱ)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为(x+6)2+y2=25. (1)以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系, 求 C 的极坐标方程; 于 A,B 两点,|AB|= 10,求直线 l 的斜率. 思路点拨:(1)利用ρ2=x2+y2 ,x=ρcos θ可得 C 的极坐标 方程;(2)另法:可先将直线 l 的参数方程化为普通方程,利用 弦长公式可得直线 l 的斜率. 正解:(1)由 x=ρcos θ,y=ρsin θ可得 C 的极坐标方程为 ρ2+12ρcos θ+11=0. (2)在(1)中建立的极坐标系中, 直线 l 的极坐标方程为θ=α(ρ∈R). 由 A,B 所对应的极径分别为ρ1,ρ2 ,将直线 l 的极坐标方 程代入C的极坐标方程ρ2+12ρcos α+11=0, 于是有ρ1+ρ2=-12cos α,ρ1ρ2=11. 【失误与防范】极坐标与直角坐标互化的注意点:在由点 的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角的 范围,否则点的极坐标将不唯一.在曲线的方程进行互化时,一 定要注意变量的范围.要注意转化的等价性. 第2课时 参数方程 1.了解参数方程,了解参数的意义. 2.能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程. 3.了解平摆线、渐开线的生成过程,并能推导出它们的参数方程. 4.了解其他摆线的生成过程,了解摆线在实际中的应用,了解摆线在表示行星运动轨道中的作用. 参数方程 解析:因为ρ(sin θ-3cos θ)=0, 所以ρsin θ-3ρcos θ=0.所以 y-3x=0,即 y=3x. 答案:A 考点 1 圆的参数方程 (1)求α的取值范围; (2)求 AB 中点 P 的轨迹的参数方程. 【互动探究】 考点 2 椭圆的参数方程 【互动探究】 2.在平面直角坐标系xOy中,已知曲线C1:x2+y2=1,以 平面直角坐标系 xOy 的原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴, 取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线 l:ρ(2cos θ- sin θ)=6. (2)在曲线 C2 上求一点 P,使点 P 到直线 l 的距离最大,并 求出此最大值. 考点 3 直线的参数方程 (1)求 C 和 l 的直角坐标方程; (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1,2),求 l 的 斜率. 【互动探究】 易错、易混、易漏 ⊙直线的参数方程中对 t 几何意义的理解 第4讲 不等式选讲 第1课时 不等式的证明 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: (1)|a+b|≤|a|+|b|; (2)|a-b|≤|a-c|+|c-b|; (3)会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c;|ax+b|≥c;|x-a|+|x-b|≥c. 1.常用的证明不等式的方法 (1)比较法:比较法包括作差比较法和作商比较法. (2)综合法:利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数 与几何平均数的定理)和不等式的性质,推导出所要证明的不等 式. (3)分析法:证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发, 分析使这个不等式成立的充分条件,把证明不等式转化为判定 这些充分条件是否具备的问题,如果能够肯定这些充分条件都 已具备,那么就可以断定原不等式成立. (4)反证法:可以从正难则反的角度考虑,即要证明不等式 A>B,先假设 A≤B,由题设及其他性质,推出矛盾,从而肯定 A>B.凡涉及的证明不等式为否定命题、唯一性命题或含有“至 多”“至少”“不存在”“不可能”等词语时,都可以考虑用 反证法. (5)放缩法:要证明不等式 A0,|f(x)|a?f(x)<-a 或 f(x)>a. (2)理解绝对值的几何意义: |a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. 答案:A 2.已知x,y∈R,满足x2+2xy+4y2=6,则z=x2+4y2的最 小值为_______. 4 的最大值为_______. 考点 1 比较法证明不等式 考向 1 求差法比较大小 例 1:已知函数 f(x)=|x-1|-|x+2|. (1)求不等式-22|m-n|. 【规律方法】比较法证不等式的步骤可归纳为: ①作差并化简,其化简目标应是 n 个因式之积或完全平方 式或常数的形式; ②判断差值与零的大小关系,必要时需进行讨论; ③得出结论. 考向 2 求商法比较大小 例 2:已知正数 a,b,求证: aabb≥abba. 思路点拨:根据同底数幂的运算法则,可考虑作商比较法. 【规律方法】(1)由于所证不等式对于a,b 具有轮换对称 性,故不妨设a≥b>0,这样处理既不影响结果,又可避免后面 的讨论,尤其是有三个或三个以上的字母,分类讨论不太可能, 这种方法显得更加便利. (2)比较法的关键是第二步的变形,一般说来,变形越彻底, 对下一步的判断就越有利. 考点 2 综合法证明不等式 例 3:(2017 年新课标Ⅱ)已知 a>0,b>0, a3+b3=2. 证明:(1)(a+b)(a5+b5)≥4; (2)a+b≤2. 证明:(1)(a+b) (a5+b5)=a6+ab5+a5b+b6 =(a3+b3)2-2a3b3+ab(a4+b4) =4+ab(a2-b2)2≥4. 当且仅当 a=b=1 时,等号成立. (2)因为(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 所以(a+b)3≤8,因此a+b≤2. 当且仅当 a=b=1 时,等号成立. 【规律方法】综合法:利用某些已经证明过的不等式和不 等式的性质时要注意它们各自成立的条件.综合法证明不等式 的逻辑关系是: A?B1?B2?…?Bn?B,及从已知条件A 出发, 逐步推演不等式成立的必要条件,推导出所要证明的结论B. 【互动探究】 1.已知函数 f(x)=|x+1|. (1)若?x0∈R,使不等式f(x-2)-f(x-3)≥u成立,求满足 条件的实数 u 的集合 M; (2)已知 t 为集合 M 中的最大正整数,若 a>1,b>1,c>1, 且(a-1)(b-1)(c-1)=t,求证:abc≥8. 解:(1)由已知,得 f(x-2)-f(x-3)=|x-1|-|x-2| 则-1≤f(x)≤1. 由于?x0∈R,使不等式|x-1|-|x-2|≥u成立, 所以 u≤1,即 M={u|u≤1}. 2.已知关于 x 的不等式|x-m|+2x≤0 的解集为{x|x≤-2}, 其中 m>0. (1)求 m 的值; (1)解:由已知,得|x-m|+2x≤0, 由于 m>0,所以不等式组的解集为 {x|x≤-m} . 由题设,可得-m=-2,故 m=2. (2)证明:由(1)可知,a+b+c=2, 考点 3 分析法证明不等式 例 4:(2017 年广东广州二模)(1)已知 a+b+c=1, (2)若对任意实数 x,不等式|x-a|+|2x-1|≥2 恒成立,求 实数 a 的取值范围. (1)证明:因为 a+b+c=1, 所以(a+1)2+(b+1)2+(c+1)2 =a2+b2+c2+2(a+b+c)+3=a2+b2+c2+5. 因为a2+b2+c2=(a+b+c)2-2(ab+bc+ca)≥ (a+b+c)2-2(a2+b2+c2), 所以3(a2+b2+c2)≥(a+b+c)2. 【规律方法】分析法证明不等式,就是“执果索因”,从 所证的不等式出发,不断用充分条件代替前面的不等式,直至 使不等式成立的条件已具备,就断定原不等式成立.当证题不知 从何入手时,有时可以运用分析法而获得解决,特别对于条件 简单而结论复杂的题目往往是行之有效的方法. 用分析法论证“若 A,则 B”这个命题的模式是:欲证命 题 B 为真,只需证明命题B1 为真,从而又只需证明命题B2 为 真,从而又……只需证明命题A 为真,今已知A 真,故B 必真. 简写为: B?B1?B2?…?Bn?A. 【互动探究】 即证 1+cos αcos β-sin αsin β>2cos αcos β, 只需证 1>cos(α-β), ∵α≠β,∴结论显然成立. 故原不等式成立. 考点 4 反证法证明不等式 易错、易混、易漏 ⊙放缩法证明不等式中正确把握放缩的度 【失误与防范】(1)在利用放缩法解题时,一定要注意经过 放缩后的结果要尽量接近结论并且有利于运算; (2)在利用放缩法解题时,一定要注意“放缩”都应适度, 放得过大或缩得过小都达不到预想的效果,如在解本题时,我 们是第一、二项没变,从第三项起开始变形,恰好得到我们想 果从第四项开始变形,我们会得到什么结论?是否比原结论更 精确?为什么? 第2课时 绝对值不等式 1.理解绝对值的几何意义,并能利用含绝对值不等式的几何意义证明以下不等式: |a+b|≤|a|+|b|; |a-b|≤|a-c|+|c-b|. 2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式: |ax+b|≤c; |ax+b|≥c; |x-a|+|x-b|≥c. 3.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法. (1)含绝对值不等式的解法:设 a>0,|f(x)|a?f(x)<-a 或 f(x)>a. (2)理解绝对值的几何意义:|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|. 1.(2015 年新课标Ⅱ)不等式 x+|2x+3|≥2的解集是 __________________________. A 2.(2015 年山东)不等式|x-1|-|x-5|<2 的解集是( ) A.(-∞,4) C.(1,4) B.(-∞,1) D.(1,5) 3.(2014 年陕西)设 a,b,m,n∈R,且a2+b2=5,ma+nb 考点 1 绝对值不等式的解法 例 1:(2017 年新课标Ⅰ)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x) =|x+1|+|x-1|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥g(x)的解集; (2)若不等式 f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求实数 a 的取值 范围. (2)当 x∈[-1,1]时,g(x)=2. ∴由 f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当 x∈[-1,1]时, 恒有f(x)≥2,即f(x)min≥2. 又 f(x)在[-1,1]的最小值必为 f(-1)与 f(1)之一,由 f(-1)≥2,且 f(1)≥2,得-1≤a≤1. ∴实数 a 的取值范围为[-1,1]. 例 2:(2016 年新课标Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|. (1)画出 y=f(x)的图象(如图 10-4-1); (2)求不等式|f(x)|>1 的解集. 图 10-4-1 解:(1)如图 D104. 图 D104 【规律方法】形如|x-a|+|x-b|≥c(或≤c)型的不等式主要 有三种解法: ①分段讨论法:利用绝对值号内式子对应方程的根,将数 轴分为(-∞,a],(a,b],(b,+∞)(此处设 ac(c>0)的几何意义:数轴上 到点x1=a和x2=b的距离之和大于c的全体,|x-a|+|x-b|≥ |x-a-(x-b)|=|a-b|. ③图象法:作出函数y1=|x-a|+|x-b|和y2=c的图象,结 合图象求解. 【互动探究】 1.(2015 年新课标Ⅰ)已知函数 f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 f(x)的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 6,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时, 不等式 f(x)>1 化为|x+1|-2|x-1|>1, 考点 2 绝对值的几何意义 例 3:(2018 年新课标Ⅱ)设函数f(x)=5-|x+a|-|x-2|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)≥0 的解集; (2)若 f(x)≤1,求实数 a 的取值范围. 可得f(x)≥0的解集为{x|-2≤x≤3}. (2)f(x)≤1 等价于|x+a|+|x-2|≥4. 而|x+a|+|x-2|≥|a+2|,且当 x=2 时等号成立.故 f(x)≤1 等价于|a+2|≥4. 由|a+2|≥4,可得 a≤-6 或 a≥2, 所以实数 a 的取值范围是(-∞,-6]∪[2,+∞). 【规律方法】对于绝对值三角不等式,易忽视等号成立的 条件.对|a+b|≥|a|-|b|,当且仅当a>-b>0 时,等号成立;对|a| -|b|≤|a-b|≤|a|+|b|,当且仅当|a|≥|b|,且 ab≥0 时左边等号 成立,当且仅当 ab≤0 时右边等号成立. 【互动探究】 2.(2016 年新课标Ⅲ)已知函数 f(x)=|2x-a|+a. (1)当 a=2 时,求不等式 f(x)≤6 的解集; (2)设函数 g(x)=|2x-1|.当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=2 时,f(x)=|2x-2|+2. 解不等式|2x-2|+2≤6,得-1≤x≤3. 因此,f(x)≤6 的解集为{x|-1≤x≤3}. (2)当 x∈R 时, f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥ |2x-a+1-2x|+a=|1-a|+a, 所以当 x∈R 时,f(x)+g(x)≥3 等价于|1-a|+a≥3.① 当 a≤1 时,①等价于 1-a+a≥3,无解; 当 a>1 时,①等价于 a-1+a≥3,解得 a≥2. 所以实数 a 的取值范围是[2,+∞). 考点 3 绝对值不等式中的恒成立问题 例 4:(2018 年新课标Ⅰ)已知 f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)当 a=1 时,求不等式 f(x)>1 的解集; (2)若 x∈(0,1)时不等式 f(x)>x 成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=1 时,f(x)=|x+1|-|x-1|, (2)当 x∈(0,1)时|x+1|-|ax-1|>x 成立等价于当 x∈(0,1)时 |ax-1|<1 成立. 若a≤0,则当x∈(0,1)时|ax-1|≥1; 综上所述,实数 a 的取值范围为(0,2]. 【互动探究】 3.已知f(x)=|2x+3a2|. (1)当 a=0 时,求不等式 f(x)+|x-2|≥3 的解集; (2)对于任意实数 x,不等式|2x+1|-f(x)<2a 成立,求实数 a 的取值范围. 解:(1)当 a=0 时,f(x)+|x-2|=|2x|+|x-2|≥3, (2)对于任意实数x,不等式|2x+1|-f(x)<2a成立,即|2x+1|-|2x+3a2|<2a恒成立. 因为|2x+1|-|2x+3a2|≤|2x+1-2x-3a2|=|3a2-1|, 所以原不等式恒成立只需|3a2-1|<2a. 当a<0时,无解; 难点突破 ⊙绝对值不等式中的存在性问题 例题:已知函数 f(x)=3|x-a|+|3x+1|,g(x)=|4x-1|- |x+2|. (1)求不等式 g(x)<6 的解集; (2)若存在x1,x2∈R,使得f(x1)和g(x2)互为相反数,求实 数 a 的取值范围. 【互动探究】 4.已知函数 f(x)=|x-1|+|x+3|. (1)解不等式 f(x)≥8; (2)若不等式f(x)1时,由2x+2≥8,解得x≥3. ∴不等式f(x)≥8的解集为{x|x≤-5,或x≥3}. (2)∵f(x)=|x-1|+|x+3|≥4,∴f(x)min=4. 又不等式f(x)4.∴a>4或a<-1. 即实数a的取值范围是(-∞,-1)∪(4,+∞).

  • ID:3-5968311 2020年高考数学一轮复习第三章三角函数与解三角形(第1-8讲)课件理

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    第三章 三角函数与解三角形 第1讲 弧度制与任意角的三角函数 1.了解任意角的概念. 2.了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化. 3.理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义. 1.任意角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另 一个位置所成的图形.正角是按逆时针方向旋转形成的;负角是 按________方向旋转形成的;一条射线没有作任何旋转,我们 称它为零角. 顺时针 2.终边相同的角 终边与角α相同的角,可写成 S={β|β=α+k·360°,k∈Z}. 3.弧度制 (1)长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角. (2)用弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制. (3)正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧 度数为零.角α的弧度数的绝对值|α|=______(其中 l 是以角α作为 圆心角时所对圆弧的长,r 是圆的半径). (4)弧度与角度的换算:180°=π rad; 4.弧长公式和扇形面积公式 (1)在弧度制下,弧长公式和扇形面积公式分别为 l=|α|·r; S=__________. 5.任意角的三角函数的定义 设α是一个任意角,角α的终边上任意一点 P(x,y),它与原 点的距离是 r(r>0),那么 6.三角函数值在各象限的符号 7.三角函数线 设角α的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边与 单位圆相交于点 P,过点 P 作 PM 垂直于 x 轴于点 M,则点 M 是点 P 在 x 轴上的正射影. 三角 函数线 余弦线 → OM 正弦线 → MP 正切线 → AT ) 1.下列各命题正确的是( A.终边相同的角一定相等 C C B.第一象限角都是锐角 C.锐角都是第一象限角 D.小于 90 度的角都是锐角 2.若 sin α<0,且 tan α>0,则α是( ) A.第一象限角 C.第三象限角 B.第二象限角 D.第四象限角 ) 3.(2016 年江西模拟)下列说法中,正确的是( B.第一象限的角不可能是负角 C.终边相同的两个角的差是 360°的整数倍 D.若α是第一象限角,则 2α是第二象限角 它们都不是锐角,A 选项错误;-300°角的终边就落在第一象 限,B 选项错误;与角α终边相同的角都可以写成α+k·360°(k∈ Z)的形式,其差显然是 360°的整数倍,C 选项正确;若α是第一 象限角,则 k·360°<α0). 即当α=2 rad 时,扇形周长 C 最小,且最小值为 8. 【规律方法】(1)自变量是线(线段或曲线)的长度时,求函 数的定义域的基本方法是所有的线的长度均为正数.应用扇形 【互动探究】 6.周长为 20 cm 的扇形面积最大时,用该扇形卷成圆锥的 侧面,求此圆锥的体积. 解:设扇形半径为 r,弧长为 l,则 l+2r=20.∴l=20-2r. 难点突破 ⊙三角函数线的应用 图 3-1-4 解析:方法一,当α为锐角时,显然有 tan α>sin α,故 A, B 错误; 当α在第三象限时,显然有 tan α>0,cos α<0,sin α<0, 故 D 错误.故选 C. 图 3-1-5 AT=tan α,OM=cos α,MP=sin α. 显然选 C. 答案:C 【互动探究】 7.(2014 年新课标Ⅰ)如图 3-1-6,圆 O 的半径为 1,A 是圆 上的定点,P 是圆上的动点,角 x 的始边为射线 OA,终边为射 线 OP,过点 P 作直线 OA 的垂线,垂足为 M.将点 M 到直线 OP 的距离表示成 x 的函数 f(x),则 y=f(x)在[0,π]的图象大致 为( ) 图 3-1-6 A C B D 答案:B 第2讲 同角三角函数的基本关系式与 诱导公式 1.同角三角函数关系式 (1)平方关系:sin2α+cos2α=1. 2.六组诱导公式 -sin α cos α -tan α 组数 一 二 三 四 五 六 角 2kπ+α (k∈Z) π+α -α π-α 正弦 sin α ________ -sin α sinα cos α cos α 余弦 cos α -cos α ______ -cos α sin α -sin α 正切 tan α tan α -tan α ________ — — 口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 C A 4.(2016 年四川)sin 750°=________. B 考点 1 诱导公式 答案:A 【互动探究】 B 解析:f(x)=-cos 2x 是最小正周期为π的偶函数.故选 B. 考点 2 同角三角函数基本关系式 考向 1 三角函数求值 例 2:(1)(2016 年上海)设 a∈R,b∈[0,2π).若对任意实数x 对数为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 注意到 b∈[0,2π),只有这两组.故选 B. 答案:B 答案:D 【规律方法】已知sin α,cos α,tan α三个三角函数值中的 一个,就可以求另外两个.但在利用平方关系开方时,符号的选 择要看α属于哪个象限,这是易出错的地方,应引起重视.而当 角α的象限不确定时,则需分象限讨论,不要遗漏终边在坐标轴 上的情况. 考向 2 化简 【规律方法】化简三角函数式应看清式子的结构特征并作 有目的的变形,注意“1”的代换、乘法公式、切化弦等变形技, 巧对于有平方根的式子,去掉根号的同时加绝对值号再化简.本 题出现了sin4α,sin6α,cos4α,cos6α,应联想到把它们转化为 sin2α, cos2α的关系,从而利用1=sin2α+cos2α进行降幂解决. 考向 3 证明 ∴原等式成立. ∵左边=右边,∴原等式成立. 方法三,∵tan α-sin α≠0,tan α·sin α≠0, 要证原等式成立, 只要证tan2α·sin2α=tan2α-sin2α成立, 而tan2α·sin2α=tan2α(1-cos2α)=tan2α-(tan αcos α)2 =tan2α-sin2α,即tan2α·sin2α=tan2α-sin2α成立, ∴原等式成立. 【规律方法】证明三角恒等式,可以从左向右证,也可以 从右向左证,证明两端等于同一个结果,对于含有分式的还可 以考虑应用比例的性质. 考点 3 诱导公式与同角三角函数 基本关系式的综合应用 考向 1 sin α±cos α型 【互动探究】 或 sin αcos α=1.由题意,知-10, ω>0)的图象的步骤 A C A B ) 如图 3-4-1,则ω,φ的值分别是( 图 3-4-1 A 考点 1 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象及变换 考向 1 “五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)请将上表数据补充完整,并直接写出函数 f(x)的解析式; (2)将 y=f(x)图象上所有点向左平移θ(θ>0)个单位长度,得 解:(1)数据补全如下表: 【规律方法】(1)函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象 的两种作法是五点作图法和图象变换法. (2)用“五点法”作函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图 求出对应的 x,y,即可得到所画图象上关键点的坐标. 【互动探究】 1.(2017 年甘肃天水一中)函数 f(x)=Asin(ωx+φ)的图象如 图 3-4-2,为了得到 g(x)=-Acos ωx 的图象,可以将 f(x)的图象 ( ) 图 3-4-2 答案:B 考向 2 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象的变换 答案:D 答案:D 答案:A (5)将函数 y=cos x-sin x 的图象先向右平移φ(φ>0)个单位 长度,再将所得的图象上每个点的横坐标变为原来的 a 倍,得 到 y=cos2x+sin2x 的图象,则φ,a 的可能取值为( ) 解析:由题意结合辅助角公式有:y=cos x-sin x= 答案:D 【规律方法】图象变换的两种方法的区别:由 y=sin x 的 图象,利用图象变换作函数 y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)(x∈ R)的图象,要特别注意:当周期变换和相位变换的先后顺序不 同时,原图象沿 x 轴的伸缩量的区别.先平移变换再周期变换(伸 缩变换),平移的量是|φ|个单位长度,而先周期变换(伸缩变换) 考点 2 函数 y=Asin(ωx+φ)图象与性质的应用 考向 1 求函数 y=Asin(ωx+φ)的解析式 答案:A 解析:由函数 y=Asin(ωx+φ)+b 的最大值为 4,最小值为 0,可知 b=2,A=2. 答案:D 【规律方法】确定y=Asin(ωx+φ)+B(A>0,ω>0)的解析式 的步骤: (3)求φ,常用方法有: ①代入法:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在 上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代 入. ②五点法:确定φ值时,往往以寻找“五点法”中的特殊点 作为突破口.具体如下: “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为ωx+φ=0; “第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为ωx+φ=π; “第五点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为ωx+φ=2π. 【互动探究】 答案:C 考向 2 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象与性质 (1)求实验室这一天上午 8:00 的温度; (2)求实验室这一天的最大温差. 于是 f(t)在[0,24)上取得最大值 12,最小值 8. 故实验室这一天最高温度为 12 ℃,最低温度为 8 ℃,最大 温差为 4 ℃. 【互动探究】 3.2018 年元月我国多地出现暴雪天气,气象部门统计结果 显示,某地某天从 6~14 时的温度(单位:℃)变化曲线近似满 足函数y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0,0≤φ≤π)如图3?4?3,则 该地该天 8 时的温度大约是( ) 图 3-4-3 A.-3.5 ℃ B.-4.5 ℃ C.-4.8 ℃ D.-5.1 ℃ 答案:B 第5讲 两角和与差及二倍角的 三角函数公式 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 1.两角和与差的三角函数 cos αcos β-sin αsin β 三角函数 两角和 简写形式 正弦 sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β Sα+β 余弦 cos(α+β)=____________________ Cα+β 正切 Tα+β (续表) 三角函数 两角差 简写形式 正弦 sin(α-β)=sin αcos β- cos αsin β Sα-β 余弦 cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β Cα-β 正切 Tα-β 2.二倍角的三角函数 3.降次公式 2sin αcos α 三角 函数 二倍角 简写形式 正弦 sin 2α=______________ S2α 余弦 cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C2α 正切 T2α D C B 考点 1 给角求值问题 例1:(1)(2015 年新课标Ⅰ) sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10° =( ) 故选 D. 答案:D 答案:B (3)(2015 年四川)sin 15°+sin 75°=________. 解析:方法一,sin 15°+sin 75°=sin 15°+cos 15°= 【规律方法】三角函数的给角求值,关键是把待求角用已 知角表示: ①已知角为两个时,待求角一般表示为已知角的和或差; ②已知角为一个时,待求角一般与已知角成“倍的关系” 或“互余、互补”的关系. 考点 2 给值求值问题 答案:A 故选 B. 答案:B 考点 3 给值求角问题 ∴cos(A+B)=cos Acos B-sin Asin B 【规律方法】(1)已知三角函数值求角的解题步骤:①求出 角的某一三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围确 定角. (2)给值求角的原则:①已知正切函数值,选正切函数; ②已知正、余弦函数值,选正弦或余弦函数;若角的范围是 【互动探究】 难点突破 ⊙利用转化化归的思想探讨三角函数的求值问题 【规律方法】求cosβ的值,注意β=(α+β)-α的转化. 【互动探究】 则 cos α=__________. 第6讲 简单的三角恒等变换 1.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式,但对这三组公式不要求记忆). 1.转化思想 (1)转化思想是三角变换的基本思想,包括角的变换、函数名 的变换、和积变换、次数变换等.   三角函数公式中次数和角的关系:次降角升;次升角降.   (2)常用的升次公式有:1+sin 2α=(sin α+cos α)2;1-sin 2α =(sin α-cos α)2;1+cos 2α=2cos2α;1-cos2α=2sin2α. 2.三角函数公式的三大作用 (1)三角函数式的化简. (2)三角函数式的求值. (3)三角函数式的证明. 3.求三角函数最值的常用方法 (1)配方法.(2)化为一个角的三角函数.(3)数形结合法.(4)换 元法.(5)基本不等式法. 4.辅助角公式的应用 (2)用辅助角公式变形三角函数式时: ①遇两角和或差的三角函数,要先展开再重组; ②遇高次时,要先降幂; ③熟记以下常用结论: B ______. 3.(2017 年新课标Ⅱ)函数 f(x) =2cos x +sin x 的最大值为 ______. 4.(2016 年浙江)已知2cos2x+sin 2x=Asin(ωx+φ)+b(A>0), 则 A=_______,b=_____. π 1 考点 1 三角变换的综合应用 例 1:(1)(2018 年新课标Ⅰ)已知函数f(x)=2cos2x-sin2x+2, 则( ) A.f(x)的最小正周期为π,最大值为 3 B.f(x)的最小正周期为π,最大值为 4 C.f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 3 D.f(x)的最小正周期为 2π,最大值为 4 答案:B 【规律方法】(1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则, 一看角,二看名,三看式子结构与特征. (2)三角函数式化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、 倍、互余、互补等),寻找式子和三角函数公式之间的共同点. 【互动探究】 A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 答案:B 考点 2 辅助角公式的应用 考向 1 求值 故选 C. 答案:C 【互动探究】 A 考向 2 求最值 【互动探究】 [-3,1] 显然f(x)max=1,f(x)min=-3. 故 f(x)的值域为[-3,1]. [-2,2] 5. 设当x=θ时,函数 f(x)=sin x-2cos x取得最大值,则 cos θ=___________. 解析:f(x)=sin x-2cos x 难点突破 ⊙三角不等式中的恒成立问题 ∴m>f(x)max-2,且mb 解的 个数 一解 两解 一解 一解 1 2 C 120°,则 AC=( ) A.1 B.2 C.3 D.4 A 考点 1 正弦定理 答案:B (2)(2017年新课标Ⅱ)△ABC的内角A,B,C的对边分别为 a,b,c,若 2bcos B=acos C+ccos A,则 B=________. 或 B=135°(舍), 则 A=75°. 答案:75° (4)(2015 年新课标Ⅰ)在平面四边形 ABCD 中,∠A=∠B= ∠C=75°,BC=2,则 AB 的取值范围是____________. 解析:如图 D23,延长 BA,CD 交于 E,平移 AD,当 A 与 D 重合于 E 点时,AB 最长,在△BCE 中,∠B=∠C=75°, 图 D23 【规律方法】在解有关三角形的题目时,要有意识地考虑 用哪个定理更适合,或是两个定理都用,要抓住能够利用某个 定理的信息.一般地,如果式子中含有角的余弦或边的二次式, 要考虑用余弦定理;如果式子中含有角的正弦或边的一次式, 则考虑用正弦定理;以上特征都不明显时,则要考虑两个定理 都有可能用到. 考点 2 余弦定理 答案:D 【规律方法】在解三角形时,余弦定理可解决两类问题: ①已知两边及夹角或两边及一边对角,求其他边或角;②已知 三边,求三个角. 考点 3 正弦定理与余弦定理的综合应用 例 3:(2018 年新课标Ⅰ)在平面四边形ABCD 中,∠ADC =90°,∠A=45°,AB=2,BD=5. (1)求 cos∠ADB; 【规律方法】有关三角函数知识与解三角形的综合题是高 考题中的一种重要题型,解这类题,首先要保证边和角的统一, 用正弦定理或余弦定理通过边角互化达到统一.一般步骤为: ①先利用正弦定理或余弦定理,将边的关系转化为只含有 角的关系; ②再利用三角函数的和差角公式、二倍角公式及二合一公 式将三角函数化简及求值. 【互动探究】 1.(2018 年新课标Ⅰ)△ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,已知bsin C+csin B=4asin Bsin C,b2+c2-a2=8, 则△ABC 的面积为__________. 思想与方法 ⊙转化与化归思想在解三角形中的应用 思路点拨:利用正、余弦定理化边角关系为边(或角)的关系:(1)注意到b2+c2-a2想余弦定理求解.(2)边角关系化为角的关系求解. 【规律方法】已知条件中既有边,又有角,解决此问题的一般思路有两种:①利用余弦定理将所有的角转换成边后求解;②利用正弦定理将所有的边转换成角后求解. 【互动探究】 2.(2016年河南开封调研)已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+b2)sin(A-B)=(a2-b2)sin(A+B),则△ABC的形状是( ) A.等腰三角形 B.直角三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形或直角三角形 答案:D 第8讲 解三角形应用举例 1.掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题. 2.能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题. 1.解三角形的常见类型及解法 在三角形的 6 个元素中要已知三个(除三个角外)才能求解, 常见类型及其解法如下表所示: 已知条件 应用定理 一般解法 一边和两角 (如 a,B,C) 正弦定理 由 A+B+C=180°,求角 A;由正弦定理 求 b 与 c. 在有解时只有一解 (续表) 已知条件 应用定理 一般解法 两边和夹角 (如 a,b,C) 余弦定理 正弦定理 由余弦定理求第三边 c;由正弦定理求出角 A 或 B;再由 A+B+C=180°求另一角. 在有解时只有一解 三边 (a,b,c) 余弦定理 由余弦定理求角 A,B;再由 A+B+C= 180°求角 C. 在有解时只有一解 两边和其中一 边的对角 (如 a,b,A) 正弦定理 余弦定理 由正弦定理求角 B;再由 A+B+C=180°, 求角 C;再利用正弦定理或余弦定理求 c. 可有两解、一解或无解 2.用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型 测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航 海问题等. 3.实际问题中的常用角 (1)仰角和俯角: 与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹 角,目标视线在水平视线上方的角叫做仰角,目标视线在水平 视线下方的角叫做俯角[如图 3-8-1(1)]. (1) (2) 图 3-8-1 (2)方向角: 相对于某正方向的水平角,如南偏东 30°,北偏西 45°等. (3)方位角: 指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如 B 点的 方位角为α[如图 3-8-1(2)]. (4)坡角: 坡面与水平面所成的二面角的度数. 2.如图 3-8-2,某河段的两岸可视为平行,在河段的一岸边 选取两点 A,B,观察对岸的点 C,测得∠CAB=75°,∠CBA =45°,且 AB=200 m.则 A,C 两点的距离为( ) A 3.江岸边有一炮台高 30 m,江中有两条船,由炮台顶部测 得俯角分别为 45°和 30°,且两条船与炮台底部连线成 30°角, 则两条船相距( ) 图 D24 =30 m. 答案:D 4.一船向正北航行,看见正西方向有相距 10 海里的两个灯 塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在 船的南偏西 60°,另一灯塔在船的南偏西 75°,则这艘船的速 度是(  ) 图 D25 答案:C 考点 测量问题 考向 1 测量距离问题 例 1:某沿海四个城市 A,B,C,D 的位置如图3-8-3所示, 其中∠ABC=60°,∠BCD=135°,AB=80 nmile,BC=40+ 50 nmile/h 的速度向 D 直线航行,60 min 后,轮船由于天气原 因收到指令改向城市 C 直线航行,则收到指令时该轮船到城市 C 的距离是__________nmile. 图 3-8-3 答案:100 【规律方法】(1)利用示意图把已知量和待求量尽量集中在 有关的三角形中,建立一个解三角形的模型. (2)利用正弦、余弦定理解出所需要的边和角,求得该数学 模型的解. 1.(2017 年江西赣州模拟)如图 3-8-4,为了测量 A,B 处岛 屿的距离,小明在 D 处观测,A,B 分别在 D 处的北偏西 15°、 北偏东 45°方向,再往正东方向行驶 40 海里至 C 处,观测 B 在 C 处的正北方向,A 在 C 处的北偏西 60°方向,则 A,B 两处岛 屿间的距离为( ) 图 3-8-4 【互动探究】 解析:由题意,可知∠BDC=90°-45°=45°, 又∠BCD=90°,∴BC=CD=40 海里. 在△ADC 中,∠ADC=105°,∠ACD=90°-60°=30°, 答案:A 考向 2 测量高度问题 例 2:(1)(2015 年湖北)如图 3-8-5,一辆汽车在一条水平的 公路上向正西行驶,到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30°的方向上,行驶 600 m 后到达 B 处,测得此山顶在西偏北 75°的方向上,仰角为 30°,则此山的高度 CD=________m. 图 3-8-5 (2)(2014 年新课标Ⅰ)如图3-8-6,为测量山高 MN,选择点 A 和另一座山的山顶 C 为测量观测点.从点 A 测得点 M 的仰角 为∠MAN=60°,点C的仰角为∠CAB=45°,以及∠MAC= 75°;从点 C 测得∠MCA=60°.已知山高 BC=100 m,则山 高 MN= ________m. 图 3-8-6 答案:150 【规律方法】(1)测量高度时,要准确理解仰角、俯角的 概念. (2)分清已知量和待求量,分析(画出)示意图,明确在哪个 三角形内运用正弦或余弦定理. 【互动探究】 2.在 200 m 高的山顶上,测得山下一塔顶和塔底的俯角分 别是 30°,60°,则塔高为________m. 图 D26 考向 3 测量角度问题 例 3:如图 3-8-7,在一个坡度一定的山坡 AC 的山顶上有 一高度为 25 m 的建筑物 CD.为了测量该山坡相对于水平地面的 坡角θ,在山坡的 A 处测得∠DAC=15°,沿山坡前进50 m到达 B 处,又测得∠DBC=45°.根据以上数据计算可得 cos θ=____. 图 3-8-7 【规律方法】关于角度的问题同样需要在三角形中进行, 同时要理解实际问题中常用角的概念:仰角和俯角、方向角、 方位角、坡角等. 【互动探究】 B 3.两座灯塔 A 和 B 与海岸观察站 C 的距离相等,灯塔 A 在 观察站北偏东 40°,灯塔 B 在观察站南偏东 60°,则灯塔 A 在 灯塔 B 的( ) A.北偏东 10° C.南偏东 10° B.北偏西 10° D.南偏西 10° 难点突破 ⊙三角函数在解三角形中的应用 例题:在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, (1)求角 B 的大小; (2)若 M 为 AB 的中点,且 AM=AC,求 sin∠BAC. (2)方法一,如图 3-8-8,取线段 MC 的中点 D,连接 AD, ∵AM=AC,∴AD⊥MC.设 CD=x,则 BD=3x. 图 3-8-8 方法二,设 BM=x,则 AB=c, 【互动探究】 4.(2014 年新课标Ⅱ)四边形 ABCD 的内角 A 与 C 互补, AB=1,BC=3,CD=DA=2. (1)求角 C 和 BD; (2)求四边形 ABCD 的面积. 解:(1)由题设及余弦定理,得 BD2=BC2+CD2-2BC·CDcos C=13-12cos C, ① BD2=AB2+DA2-2AB·DAcos A=5+4cos C. ② (2)四边形 ABCD 的面积

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    第七章 解析几何 第1讲 直线的方程 1.在平面直角坐标系中,结合具体图形,确定直线位置的几何要素. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.掌握确定直线位置的几何要素,掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式),了解斜截式与一次函数的关系. 1.直线的倾斜角 0° [0,π) (1)定义:当直线 l 与 x 轴相交时,取 x 轴作为基准,x 轴正 方向与直线 l 向上方向之间所成的角α,叫做直线 l 的倾斜角. 当直线 l 与 x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为________. (2)倾斜角的取值范围是____________. 2.直线的斜率 (1)定义:当α≠90°时,一条直线的倾斜角α的正切值叫做这 条直线的斜率.斜率通常用小写字母 k 表示,即 k=tan α.当α= 90°时,直线没有斜率. (2)经过两点的直线的斜率公式: 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式 为____________. 3.直线方程的五种形式 y=kx+b 名称 方程 适用范围 点斜式 y-y1=k(x-x1) 不含垂直于 x 轴的直线 斜截式 ______________ 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 不含垂直于坐标轴的直线 截距式 不含垂直于坐标轴和过原 点的直线 一般式 Ax+By+C=0(A,B 不同时为零) 平面直角坐标系内的直线 都适用 x=x1 y=y1 5.线段的中点坐标公式 A.30° C.150° B.60° D.120° ) 直线 l 的方程为( A.3x+4y-14=0 C.4x+3y-14=0 B.3x-4y+14=0 D.4x-3y+14=0 C A 3.已知点 A(1,2),B(3,1),则线段 AB 的垂直平分线的方程 为( ) B A.4x+2y=5 C.x+2y=5 B.4x-2y=5 D.x-2y=5 是( ) A B C D 等于__________. B 考点 1 直线的方程 考向 1 倾斜角和斜率 点的线段有公共点,则直线 l 斜率的取值范围为_____________. 图 D45 图 D46 (3)经过点 P(0,-1)作直线 l,若直线 l 与连接 A(1,-2), B(2,1) 的线段总有公共点,则直线 l 的倾斜角α 的取值范围为 ____________. 图 D47 考向 2 截距 例 2:(1)求过点 A(4,2),且在两坐标轴上的截距的绝对值 相等的直线 l 的方程. (2)求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距相等的直线 l 的方程. (3)求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距互为相反数的直线 l 的方程. (4)求过点 A(4,2)且在 x 轴上截距是在 y 轴上截距的 3 倍, 求直线 l 的方程. (5)求过点 A(4,2)且在两坐标轴上截距之和为 12 的直线 l 的 方程. 所以|a|=|b|. ② ∴4b+2a=ab.即 4(12-a)+2a=a(12-a). ∴a2-14a+48=0.解得 a=6 或 a=8. ∴直线 l 的方程为 x+y-6=0 或 x+2y-8=0. 【规律方法】如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距 相等”“截距的绝对值相等”“截距互为相反数”“在一坐标 轴上的截距是另一坐标轴上截距的 m 倍(m>0)”等条件时,可 采用截距式求直线方程,但一定要注意考虑“零截距”的情况. 考向 3 直线的方程 例 3:直线 l1:3x-y+1=0,直线l2过点(1,0),且l2的倾 斜角是l1的倾斜角的2倍,则直线l2的方程为(  ) A.y=6x+1 B.y=6(x-1) 解析:方法一,设直线 l1 的倾斜角为α,由 tan α=3,可求 方法二,由l2过点(1,0),排除A选项,由l1的斜率k1=3>1 知,其倾斜角大于 45°,从而直线 l2 的倾斜角大于 90°,斜率 为负值,排除 B,C 选项.故选 D. 答案:D 【规律方法】题中直线l2 的倾斜角是l1 的倾斜角的2 倍, 不要理解为l2 的斜率为l1 的斜率的2 倍,应该设直线l1 的倾斜 角为α,由tan α=3,可求出直线l2 的斜率k=tan 2α. 考点 2 直线方程的综合应用 例 4:过点 P(2,1)作直线 l,与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交 于 A,B 两点,求: (1)△AOB 的面积的最小值及此时直线 l 的方程; (2)求直线 l 在两坐标轴上截距之和的最小值及此时直线 l 的方程; (3)求|PA |·|PB|的最小值及此时直线 l 的方程. 解:(1)方法一,设直线 l 的方程为 y-1=k(x-2), 故|PA |·|PB|的最小值为 4,此时,直线 l 的方程为 x+y-3 =0. 【互动探究】 1.已知直线 x+2y=2 与 x 轴、y 轴分别相交于 A,B 两点, 若动点 P(a,b)在线段 AB 上,则 ab 的最大值为_______. 思想与方法 ⊙直线中的函数与方程思想 例题:如果直线 l 经过点 P(2,1),且与两坐标轴围成的三角 形的面积为 S. (1)当 S=3 时,这样的直线 l 有多少条? (2)当 S=4 时,这样的直线 l 有多少条? (3)当 S=5 时,这样的直线 l 有多少条? (4)若这样的直线 l 有且只有 2 条,求 S 的取值范围; (5)若这样的直线 l 有且只有 3 条,求 S 的取值范围; (6)若这样的直线 l 有且只有 4 条,求 S 的取值范围. 前一个方程Δ>0 有两个不相等的解,后一个方程Δ>0 有两 个不相等的解,所以这样的直线 l 共有 4 条. (4)若这样的直线 l 有且只有 2 条,则 即a2-2Sa+4S=0或a2+2Sa-4S=0. 后一个方程Δ>0 恒成立,肯定有两个不相等的解, 所以如果这样的直线有且只有 2 条,那么前一个方程必须 有Δ<0,即(-2S)2-4×4S<0. 故 S 的取值范围为(0,4). (5)若这样的直线 l 有且只有 3 条,则 即a2-2Sa+4S=0或a2+2Sa-4S=0. 后一个方程Δ>0 恒成立,肯定有两个不相等的解, 所以如果这样的直线有且只有 3 条,那么前一个方程必须 有Δ=0, 即(-2S)2-4×4S=0.故 S=4. (6)若这样的直线 l 有且只有 4 条,则 即a2-2Sa+4S=0或a2+2Sa-4S=0. 后一个方程Δ>0 恒成立,肯定有两个不相等的解, 所以如果这样的直线有且只有 4 条,那么前一个方程必须 有Δ>0,即(-2S)2-4×4S>0.故 S 的取值范围为(4,+∞). 【规律方法】因为关系到直线与两坐标轴围成的三角形的 面积,所以解本题的关键就在于能否很敏锐地想到利用直线方 想,应把握题型,注意一题多变,培养思维的灵活性和发散性. 【互动探究】 2.过点 P(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直 ) 线共有( A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条 解析:设过点 P(-2,3)且与两坐标轴围成的三角形面积为 12 的直线的斜率为 k,则有直线的方程为 y-3=k(x+2),即 kx -y+2k+3=0.它与坐标轴的交点分别为M(0,2k+3), 故满足条件的直线有 3 条. 答案:C 第2讲 两直线的位置关系 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线互相平行或垂直. 2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标. 3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式,会求两条平行直线间的距离. 1.两条直线的位置关系 一般式 斜截式 直线 方程 l1:A1x+B1y+C1=0 l2:A2x+B2y+C2=0 l1:y=k1x+b1 l2:y=k2x+b2 相交 k1≠k2 (续表) -1 一般式 斜截式 平行 ____________________ k1=k2,且b1≠b2 重合 k1=k2,且b1=b2 垂直 A1A2+B1B2=0 k1·k2=________ 2.三个距离公式 1.与直线 3x-4y+5=0, 关于 x 轴对称的直线方程为__________________; 关于 y 轴对称的直线方程为__________________; 关于原点对称的直线方程为__________________; 关于直线 y=x 对称的直线方程为__________________; 关于直线 y=-x 对称的直线方程为_________________. 3y-4x+5=0 4x-3y+5=0 3x+4y+5=0 3x+4y-5=0 3x-4y-5=0 2.(2016年上海)已知平行直线l1:2x+y-1=0,l2:2x+y +1=0,则l1,l2间的距离为____________. 3.(2016年北京)圆(x+1)2+y2=2的圆心到直线y=x+3的 距离为( ) C 4.已知 A(-4,2),B(6,-4),C(12,6),D(2,12),下面四个 结论:①AB∥CD;②AB⊥AD;③AC∥BD;④AC⊥BD.其中正 确的有( ) C A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 考点 1 两直线的平行与垂直关系 例 1:已知直线 l1:x+my+6=0,l2:(m-2)x+3y+2m= 0,求 m 的值,使得: (1)l1与l2相交;(2)l1⊥l2;(3)l1∥l2;(4)l1,l2重合. 解:(1)由已知 1×3≠m(m-2), 【规律方法】(1)充分掌握两直线平行与垂直的条件是解决 本题的关键,对于斜率都存在且不重合的两条直线l1和l2,l1∥l2?k1=k2,l1⊥l2?k1·k2=-1.如果有一条直线的斜率不存在,那么另一条直线的斜率是多少一定要特别注意. (2)设l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0,则l1⊥l2?A1A2+B1B2=0. 【互动探究】 1.已知两条直线l1:x+m2y+6=0,l2:(m-2)x+3my+2m=0 ,当m为何值时,l1与l2(1)相交;(2)平行;(3)重合? 考点 2 直线系中的过定点问题 例 2:求证:不论 m 取什么实数,直线(m-1)x+(2m-1)y =m-5 都通过一定点. 证明:方法一,取 m=1,得直线方程 y=-4; 从而得两条直线的交点为(9,-4). 又当 x=9,y=-4 时, 有 9(m-1)+(-4)(2m-1)=m-5, 即点(9,-4)在直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 上. 故直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 都通过定点(9,-4). 方法二,∵(m-1)x+(2m-1)y=m-5, ∴m(x+2y-1)-(x+y-5)=0. 则直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 都通过直线 x+2y-1=0 与 x+y-5=0 的交点. ∴直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 通过定点(9,-4). 方法三,∵(m-1)x+(2m-1)y=m-5, ∴m(x+2y-1)=x+y-5. 由 m 为任意实数知,关于 m 的一元一次方程 m(x+2y-1) =x+y-5 的解集为 R, ∴直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5 都通过定点(9,-4). 【规律方法】本题考查了方程思想在解题中的应用,构建 方程组求解是解决本题的关键.很多学生不理解直线过定点的 含义,找不到解决问题的切入点,从而无法下手. 【互动探究】 2.直线(2k-1)x-(k+3)y-(k-11)=0(k∈R)所经过的定点 是( ) A.(5,2) B.(2,3) D.(5,9) B 考点 3 对称问题 考向 1 中心对称 例 3:在平面直角坐标系中,直线 y=2x+1 关于点(1,1)对 称的直线方程是____________. 解析:方法一,在直线 l 上任取一点 P′(x,y),其关于点 (1,1)的对称点 P(2-x,2-y)必在直线 y=2x+1 上,∴2-y=2(2 -x)+1,即 2x-y-3=0.因此,直线 l 的方程为 y=2x-3. 方法二,由题意,得直线 l 与直线 y=2x+1 平行, 设直线 l 的方程为 2x-y+C=0(C≠1), 则点(1,1)到两平行线的距离相等. 答案:y=2x-3 【规律方法】中心对称:解决中心对称问题的关键在于运 用中点坐标公式.①点 P(x,y)关于点 M(a,b)的对称点 P′(x′, 点的对称问题来解决. 考向 2 轴对称 例 4:已知直线 l:2x-3y+1=0,点 A(-1,-2),求: (1)点 A 关于直线 l 的对称点 A′的坐标; (2)直线 m:3x-2y-6=0 关于直线 l 的对称直线 m′的方 程; (3)直线 l 关于点 A(-1,-2)对称的直线 l′的方程. 解:(1)设 A′(x,y),再由已知有: (2)在直线 m 上取一点,如 M(2,0),则 M(2,0)关于直线 l 的 对称点必在直线 m′上.设对称点为 M′(a,b), 又∵m′经过点 N(4,3), ∴由两点式得直线 m′的方程为 9x-46y+102=0. (3)设 P(x,y)为直线 l′上的任意一点, 则 P(x,y)关于点 A(-1,-2)的对称点为 P′(-2-x,-4 -y). ∵点 P′在直线 l 上, ∴2(-2-x)-3(-4-y)+1=0,即 2x-3y-9=0. 【规律方法】轴对称:解决轴对称问题,一般是转化为求 对称点的问题,在求对称点时,关键是抓住两点:一是两对称 点的连线与对称轴垂直;二是两对称点连线的中点在对称轴上, 即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分” 列出一个方程,联立求解. 【互动探究】 3.(2017 年广东广州模拟)直线 x-2y+1=0 关于直线 x+y ) -2=0 对称的直线方程是( A.x+2y-1=0 C.2x+y-3=0 B.2x-y-1=0 D.x+2y-3=0 解析:由题意,得直线 x-2y+1=0 与直线 x+y-2=0 的 交点坐标为(1,1). 在直线 x-2y+1=0 上取点 A(-1,0), 设 A 点关于直线 x+y-2=0 的对称点为 B(m,n), 答案:B 考向 3 对称的应用 例 5:在直线 l:3x-y-1=0 上存在一点 P,使得点 P 到 点 A(4,1)和点 B(3,4)的距离之和最小,求此时的距离之和. 解:设点 B 关于直线 3x-y-1=0 的对称点为 B′(a,b), 如图 D48. 图 D48 【互动探究】 4.光线从点 A(-4,-2)射出,到直线 y=x 上的点 B 后被 直线 y=x 反射到 y 轴上的点 C 处,又被 y 轴反射,这时反射光 线恰好过点 D(-1,6),则 BC 所在的直线方程为_____________. 解析:作出草图,如图 D49. 图 D49 设 A 关于直线 y=x 的对称点为 A′, D 关于 y 轴的对称点为 D′, 则易得 A′(-2,-4),D′(1,6). 由入射角等于反射角可得 A′D′所在直线经过点 B 与 C. 即 10x-3y+8=0. 答案:10x-3y+8=0 易错、易混、易漏 ⊙忽略直线方程斜率不存在的特殊情形致误 例题:过点 P(-1,2)引一条直线 l,使它到点 A(2,3)与到点 B(-4,5)的距离相等,求该直线 l 的方程. 错因分析:设直线方程,只要涉及直线的斜率,易忽略斜 率不存在的情形,要注意分类讨论. 正解:方法一,当直线 l 的斜率不存在时,直线 l:x=-1, 显然到点 A(2,3),B(-4,5)的距离相等. 当直线 l 的斜率存在时,设斜率为 k, 则直线 l 的方程为 y-2=k(x+1), 即 kx-y+2+k=0. 故所求直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1. 当直线 l 过线段 AB 的中点时,线段 AB 的中点为(-1,4), ∴直线 l 的方程为 x=-1. 故所求直线 l 的方程为 x+3y-5=0 或 x=-1. 【失误与防范】方法一是常规解法,本题可以利用代数方 法求解,即设点斜式方程,然后利用点到直线的距离公式建立 等式求斜率 k,但要注意斜率不存在的情况,很容易漏解且计 算量较大.方法二是利用数形结合的思想使运算量大为减少,即 A,B 两点到直线 l 的距离相等,有两种情况:①直线 l 与 AB 平行;②直线 l 过线段 AB 的中点. 第3讲 圆的方程 1.掌握确定圆的几何要素. 2.掌握圆的标准方程与一般方程. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 1.圆的定义 在平面内,到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆.确定 一个圆最基本的要素是圆心和半径. 2.圆的标准方程 (1)方程(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)表示圆心为______,半径 为 r 的圆的标准方程. (a,b) x2+y2=r2 (2)特别地,以原点为圆心,半径为 r(r>0)的圆的标准方程 为____________. 3.圆的一般方程 > 1.(2015 年北京)圆心为(1,1)且过原点的圆的方程是( ) A.(x-1)2+(y-1)2=1 C.(x+1)2+(y+1)2=2 B.(x+1)2+(y+1)2=1 D.(x-1)2+(y-1)2=2 2.若点 P(1,1)为圆(x-3)2+y2=9 的弦 MN 的中点,则弦 MN 所在直线的方程为( ) D D A.2x+y-3=0 C.x+2y-3=0 B.x-2y+1=0 D.2x-y-1=0 3.若直线y=x+b平分圆x2+y2-8x+2y+8=0的周长,则 b=( ) A.3 B.5 C.-3 D.-5 4.(2016年天津)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上,点M(0, 的方程为________________. D (x-2)2+y2=9 考点 1 求圆的方程 例 1:(1)经过点 A(5,2),B(3,2),圆心在直线 2x-y-3=0 上的圆的方程为______________; 解析:方法一,从数的角度,选用标准式. 设圆心P(x0,y0),则由|PA|=|PB|,得 (x0-5)2+(y0-2)2=(x0-3)2+(y0-2)2. ∴圆的标准方程为(x-4)2+(y-5)2=10. 方法三,从形的角度. 线段 AB 为圆的弦,由平面几何知识知,圆心 P 应在线段 AB 的垂直平分线 x=4 上, ∴圆的方程是(x-4)2+(y-5)2=10. 答案:(1)(x-4) 2+(y-5)2=10(或x2+y2-8x-10y+31=0) (2)已知圆 M 与直线 x-y=0 及 x-y+4=0 都相切,圆心 在直线 y=-x+2 上,则圆 M 的标准方程为____________. 答案:x2+(y-2)2=2 (3)(2018 年天津)在平面直角坐标系中,经过三点(0,0) , (1,1),(2,0)的圆的方程为______________. 答案:x2+y2-2x=0 【规律方法】研究圆的问题,既要理解代数方法,熟练运 用解方程思想,又要重视几何性质及定义的运用,以降低运算 量.总之,要数形结合,拓宽解题思路.与弦长有关的问题经常需 要用到点到直线的距离公式、勾股定理、垂径定理等. 考点 2 与圆有关的最值问题 图 D50 (2)设 y-x=b,则 y=x+b,当且仅当直线 y=x+b 与圆切 于第四象限时,纵轴截距 b 取得最小值. 最值问题; ②形如 t=ax+by 形式的最值问题,可转化为动直线截距 的最值问题; ③形如(x-a)2+(y-b)2形式的最值问题,可转化为圆心已 定的动圆半径的最值问题. 【互动探究】 A 2.由直线y=x+1上的动点P向圆C:(x-3)2+y2=1引切 线,则切线长的最小值为( ) C 图 D51 考点 3 圆的综合应用 例 3:(1)(2014 年大纲)直线l1和l2是圆x2+y2=2的两条切 线,若l1与l2的交点为(1,3),则l1与l2的夹角的正切值等于 ________. 图 7-3-1 思想与方法 ⊙利用函数与方程的思想求圆的方程 例题:(2017 年新课标Ⅲ)已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0) 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,圆 M 是以线段 AB 为直径的圆. (1)证明:坐标原点 O 在圆 M 上; (2)设圆 M 过点 P(4,-2),求直线 l 与圆 M 的方程. 所以 OA⊥OB. 故坐标原点 O 在圆 M 上. 【互动探究】 3.已知圆C:x2+y2=1,点P为直线x+2y-4=0上一动 点,过点 P 向圆 C 引两条切线 PA ,PB,A,B 为切点,则直线 ) AB 经过定点( 答案:B 第4讲 直线与圆的位置关系 1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系;能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系. 2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题. 3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想. 1.直线与圆的位置关系 2.两圆的位置关系 圆与圆的位置关系 内含 内切 相交 外切 外离 判断圆与圆的位置 关系的方法(rR+r 公切线条数 0 1 2 3 4 直线与圆的位置关系 相交 相切 相离 判断直线与圆的位置关系 的方法 几何法 dr 代数法 Δ>0 Δ=0 Δ<0 3.计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法:运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的 一半及半径构成的直角三角形计算. (2)代数方法:运用韦达定理及弦长公式: AB 的斜率). 说明:圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法. 4.圆的切线方程常用结论 (1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2. (2)过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2. (3)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2. 1.(2015年重庆)已知直线l:x+ay-1=0(a∈R)是圆C:x2 +y2-4x-2y+1=0的对称轴.过点A(-4,a)作圆C的一条切 线,切点为 B,则|AB|=( ) C 2.已知圆x2+y2+2x-2y+a=0截直线x+y+2=0所得弦 的长度为 4,则实数 a 的值为( ) B A.-2 B.-4 C.-6 D.-8 3.已知直线x-y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x-4y-4 =0 相交于 A,B 两点,且 AC⊥BC,则实数 a 的值为_______. 0 或 6 4.(2015 年重庆)若点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则 该圆在点 P 处的切线方程为_____________. x+2y-5=0 解析:由点 P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上知此圆的方 程为x2+y2=5,所以该圆在点P处的切线方程为1×x+2×y =5,即 x+2y-5=0. 考点 1 直线与圆的位置关系 考向 1 直线与圆位置关系的判断 例 1:若直线 4x-3y+a=0 与圆 x2+y2=100 有如下关系: ①相交;②相切;③相离.试分别求实数 a 的取值范围. 解:方法一,(代数法) Δ=(8a)2-4×25(a2-900)=-36a2+90 000 ①当直线和圆相交时,Δ>0,即-36a2+90 000>0, -5050. 方法二,(几何法) 圆x2+y2=100的圆心为(0,0),半径r=10, 【规律方法】判断直线与圆位置关系的三种方法: (1)几何法:由圆心到直线的距离 d 与圆的半径 r 的大小关 系判断;(2)代数法:根据直线与圆的方程组成的方程组解的个 数来判断;(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断点与圆 的位置关系判断,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系. 【互动探究】 B 1.(2018年广东深圳模拟)已知点M(a,b)在圆O:x2+y2=1 外,则直线 ax+by=1 与圆 O 的位置关系是( ) A.相切 C.相离 B.相交 D.不确定 考向 2 切线问题 例 2:过点 A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1 的切线 l,求 切线 l 的方程. 解:∵(-1-2)2+(4-3)2=10>1, ∴点 A 在圆外. 方法一,当直线 l 的斜率不存在时, 直线 l 的方程是 x=-1, 不满足题意. 设切线 l 的斜率为 k,则方程为 y-4=k(x+1). 即 kx-y+4+k=0. 【规律方法】1.过圆上一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法: 先求切点与圆心连线的斜率 k,再由垂直关系得切线的斜率为 图形可直接得切线方程为 y=y0 或 x=x0. 2.过圆外一点(x0,y0)的圆的切线方程的求法: 设切线方程为 y-y0=k(x-x0),由圆心到直线的距离等于 半径建立方程,可求得 k,也就得切线方程.当用此法只求出一 个方程时,另一个方程应为 x=x0,因为在上面解法中不包括斜 率不存在的情况,而过圆外一点的切线有两条.一般不用联立方 程组的方法求解. 【互动探究】 2.(2015年山东)一条光线从点(-2,-3)射出,经y轴反射 后与圆(x+3)2+(y-2)2=1相切,则反射光线所在直线的斜率为 ( ) 解析:由光的反射原理知,反射光线的反向延长线必过点 (2,-3),设反射光线所在直线的斜率为 k,则反射光线所在直 线的方程为:y+3=k(x-2),即 kx-y-2k-3=0.又因为反射 答案:D 考向 3 弦长问题 例 3:(1)(2018 年新课标Ⅰ)直线y=x+1与圆x2+y2+2y -3=0 交于 A,B 两点,则|AB|=________. 答案:4π 【规律方法】关于圆的弦长问题,可用几何法从半径、弦 心距、弦长的一半所组成的直角三角形求解,也可用代数法的 弦长公式求解. 考点 2 圆与圆的位置关系 A.内切 C.外切 B.相交 D.相离 答案:B (2)若圆x2+y2-2mx+m2-4=0与圆x2+y2+2x-4my+ 4m2-8=0 相切,则实数 m 的取值集合是__________. 【规律方法】(1)判断圆与圆的位置关系利用圆心距与两圆 半径之间的关系;(2)两圆相切包括内切和外切,两圆相离包括 外离和内含. 考点 3 直线与圆的综合应用 例 5:已知圆 C: x2+y2+x-6y+m=0和直线x+2y-3= 0 相交于 P,Q 两点,若 OP⊥OQ,求 m 的值. 思维点拨:本题主要考查直线的方程、直线与圆的位置关 系、根与系数的关系等知识. ∵OP⊥OQ,∴坐标原点在该圆上. 则(0+1)2+(0-2)2=r2=5. 在Rt△CMQ中,CM2+MQ2=CQ2, 方法四,设过P,Q的圆系方程为x2+y2+x-6y+m+λ(x +2y-3)=0. 由 OP⊥OQ 知,点 O(0,0)在圆上. ∴m-3λ=0,即 m=3λ. 【规律方法】求解本题时,应避免去求 P,Q 两点坐标的 具体数值.除此之外,还应对求出的m 值进行必要的检验,这是 因为在求解过程中并没有确保有交点存在,这一点很容易被大 家忽略;方法一显示了解这类题的通法,方法二的关键在于依 需要一定的变形技巧,同时也可以看出,这种方法一气呵成. 【互动探究】 3.(2018 年北京)在平面直角坐标系中,记 d 为点 P(cos θ, sin θ)到直线 x-my-2=0 的距离,当θ,m 变化时,d 的最大值 为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析:点 P(cos θ,sin θ)在圆 x2+y2=1上,直线x-my-2 =0 过定点 A(2,0),如图 D52,圆心到直线 x-my-2=0 的距离 d≤OA,最大值为 2,所以圆上任意点到直线 x-my-2=0 的 距离的最大值为 2+1=3. 图 D52 答案:C 第5讲 椭 圆 1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.理解数形结合的思想. 3.了解椭圆的简单应用. 1.椭圆的概念 a>c 在平面内到两定点F1,F2的距离之和等于常数2a(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫做椭圆.这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a>0, c>0,且a,c为常数. (1)若________,则集合P为椭圆; (2)若a=c,则集合P为线段; (3)若a0,n>0,m≠n),这样可以避免分 类讨论. 考点 3 椭圆的几何性质 图 D54 答案:B 答案:D 答案:A 【规律方法】讨论椭圆的几何性质时,离心率问题是重点. 求离心率的常用方法有以下两种:①求得 a,c 的值,直接代入 用b2=a2-c2消去b,转化成关于e的方程(或不等式)求解. 思想与方法 ⊙利用函数与方程的思想求椭圆的方程 F,过 F 的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,点 M 的坐标为(2,0). (1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 AM 的方程; (2)设 O 为坐标原点,证明:∠OMA=∠OMB. (1)解:由已知得 F(1,0),l 的方程为 x=1. (2)证明:当 l 与 x 轴重合时,∠OMA=∠OMB=0°. 当 l 与 x 轴垂直时,OM 为 AB 的垂直平分线, 所以∠OMA=∠OMB. 当 l 与 x 轴不重合也不垂直时,设 l 的方程为 y=k(x-1) (k≠0),A(x1,y1),B(x2,y2), 从而kMA+kMB=0,故MA,MB的倾斜角互补, 所以∠OMA=∠OMB. 综上所得,∠OMA=∠OMB. 【互动探究】 答案:5 第6讲 双曲线 1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程,知道它们的简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线). 2.理解数形结合的思想. 3.了解双曲线的简单应用. 1.双曲线的概念 ac 时,点 M 不存在. 平面内与两个定点F1,F2(|F1F2|=2c>0)的距离之差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做焦距. 集合P={M|||MF1|-|MF2||=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为常数且a>0,c>0. 2.双曲线的标准方程和几何性质 a -a 标准方程 图形 性 质 范围 x≥____或x≤____,y∈R x∈R,y≤-a或y≥a 对称性 对称轴:坐标轴 对称中心:原点 顶点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) (续表) a2+b2 3.等轴双曲线 实轴和虚轴长相等的双曲线为等轴双曲线,其渐近线方程 B D 4 2 考点 1 双曲线的定义及应用 答案:A 答案:C 考点 2 求双曲线的标准方程 答案:D 答案:C 【规律方法】求双曲线方程的关键是确定a,b 的值,常利 用双曲线的定义或待定系数法解题.若已知双曲线的渐近线方 程为ax±by=0,可设双曲线系方程为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).与双 考点 3 双曲线的几何性质 答案:A 图 D55 答案:B 的右顶点为 A,以 A 为圆心,b 为半径作圆 A,圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点.若∠MAN=60°,则 C 的离心率 为________. 解析:如图 D56,作 AP⊥MN,因为圆 A 与双曲线 C 的一条渐近线交于 M,N 两点, A(a,0). 图 D56 因为 AM=AN=b,又 AP⊥MN,∠MAN=60°, 所以∠PAN =30°. 答案:4 易错、易混、易漏 ⊙双曲线中的不等关系 A.(1,4] C.(1,2] B.(1,4) D.(1,2) 答案:A 答案:B 【互动探究】 答案:D 第7讲 抛物线 1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程,知道其简单几何性质(范围、对称性、顶点、离心率). 2.理解数形结合的思想. 3.了解抛物线的简单应用. 1.抛物线的定义 平面上到定点的距离与到定直线 l(定点不在直线 l 上)的距 离相等的点的轨迹叫做抛物线,定点为抛物线的焦点,定直线 为抛物线的________. 准线 2.抛物线的标准方程、类型及其几何性质(p>0) (续表) 标准 方程 y2=2px y2=-2px x2=2py x2=-2py 准线 范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0 对称轴 x 轴 x 轴 y 轴 y 轴 顶点 (0,0) 离心率 e=1 D C 3.若抛物线 y2=4x 上的点 M 到焦点的距离为 6,则点 M 的 横坐标是________. 5 (1,0) 4.(2018 年北京)已知直线 l 过点(1,0)且垂直于 x 轴,若 l 被 抛物线 y2 =4ax 截得的线段长为 4 ,则抛物线的焦点坐标为 _________. 考点 1 抛物线的标准方程 A.1 B.2 C.4 D.8 解析:根据抛物线的定义:抛物线上的点到焦点的距离等 答案:A A.2 B.4 C.6 D.8 图 D57 答案:B 答案:B 【方法与技巧】第(1)题利用抛物线的定义直接得出 p 的值 可以减少运算;第(2)题主要考查抛物线的性质及运算,注意解 析几何问题中最容易出现运算错误,所以解题时一定要注意运 算的准确性与技巧性. 考点 2 抛物线的几何性质 例 2:(1)已知点 P 是抛物线 y2=2x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛物线准线的距离之和的最小值为 ( ) 解析:由抛物线的定义知,点 P 到该抛物线准线的距离等 于点 P 到其焦点的距离,因此点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该 抛物线准线的距离之和即为点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到该抛 物线焦点 F 的距离之和.显然,当 P,F,(0,2)三点共线时,距 离之和取得最小值,最小值为 答案:A (2)已知直线l1:4x-3y+6=0和直线l2:x=-1,抛物线 y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是 ( ) A.2 B.3 C. 11 5 D. 37 16 解析:直线l2:x=-1为抛物线y2=4x的准线.由抛物线的 定义知,点 P 到 l2 的距离等于点 P 到抛物线的焦点 F(1,0)的距 离,故本题化为在抛物线 y2=4x 上找一个点 P,使得点 P 到该 抛物线焦点 F(1,0)和直线 l1 的距离之和最小,最小值为 F(1,0) 答案:A (3)(2017年新课标Ⅱ)已知F是抛物线C:y2=8x的焦点, M 是 C 上一点,FM 的延长线交 y 轴于点 N.若 M 为 FN 的中点, 则|FN|=____________. 解析:如图 D58,不妨设点 M 位于第一象限,设抛物线的 准线 l 与 x 轴交于点 F′,作 MB⊥l 于点 B,NA⊥l 于点 A,由 抛物线的解析式可得准线方程为 x=-2,则|AN|=2,|FF′|=4. 在 直 角 梯 形 ANFF′ 中 , 中 位 线 |BM| = =3.由抛物线的定义有|MF|=|MB|= 3,结合题意,有|MN|=|MF|=3.线段 FN 的长度 图 D58 |FN|=|FM|+|MN|=3+3=6. 答案:6 (4)(2015年浙江)如图7?7?1,设抛物线y2=4x的焦点为F, 不经过焦点的直线上有三个不同的点 A,B,C,其中点 A,B 在抛物线上,点 C 在 y 轴上,则△BCF 与△ACF 的面积之比是 ( ) 图 7-7-1 答案:A 【规律方法】求两个距离和的最小值,当两条线段拉直(三 点共线)时和最小,当直接求解怎么做都不可能三点共线时,联 想到抛物线的定义,即点 P 到该抛物线准线的距离等于点 P 到 其焦点的距离,进行转换再求解. 考点 3 直线与抛物线的位置关系 例 3:(2018 年新课标Ⅰ)设抛物线 C:y2=2x,点 A(2,0), B(-2,0),过点 A 的直线 l 与 C 交于 M,N 两点. (1)当 l 与 x 轴垂直时,求直线 BM 的方程; (2)证明:∠ABM=∠ABN. 【互动探究】 D 思想与方法 ⊙利用运动变化的思想探求抛物线中的不变问题 例题:AB 为过抛物线焦点的动弦,P 为 AB 的中点,A,B, P在准线l的射影分别是A1,B1,P1.在以下结论中:①FA1⊥FB1; ②AP1⊥BP1;③BP1⊥FB1;④AP1⊥FA1.其中,正确的有(  ) A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 ④如图7-7-2(4),同③有AP1⊥FA1. 综上所述,①②③④都正确.故选 D. (1) (2) (3) (4) 图 7-7-2 答案:D 【规律方法】首先利用抛物线的定义能得到多个等腰三角 形,然后利用平行线的性质,得到多对相等的角,最后充分利 用平面几何的性质解题. 【互动探究】 B 2.过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点且倾斜角为锐角的直线 l 与 C 交于 A,B 两点,过线段 AB 的中点 N 且垂直于 l 的直线 与 C 的准线交于点 M,若|MN|=|AB|,则 l 的倾斜角为( ) A.15° B.30° C.45° D.60° 第8讲 轨迹与方程 1.掌握椭圆的定义、几何图形和标准方程. 2.了解双曲线、抛物线的定义、几何图形和标准方程. 求轨迹方程的常用方法 直接法 待定系数法 定义法 相关点法 参数法 将动点满足的几何条件或者等量关系,直接坐标化,列出等式化简即得动点轨迹方程 已知所求曲线的类型,求曲线方程.先根据条件设出所求曲线的方程,再由条件确定其待定系数 若动点轨迹的条件符合某一基本轨迹的定义(如椭圆、双曲线、抛物线、圆等),则用定义直接探求 动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线得到要求的轨迹方程 当动点P(x,y)坐标之间的关系不易直接找到,也没有相关动点可用时,可考虑将x,y均用一中间变量(参数)表示,得参数方程,再消去参数得到普通方程 1.(2016 年广东珠海模拟)已知 B(-2,0),C(2,0),A 为动点, △ABC 的周长为 10,则动点 A 满足的方程为( ) 解析:∵|AB|+|AC|+|BC|=10,B(-2,0),C(2,0), ∴|AB|+|AC|=6>|BC|. ∴点 A 的轨迹是以 B,C 为焦点的椭圆(除去与 B,C 共线 二顶点),且 2a=6,c=2. 故选 B. 答案:B 示的曲线是( ) A B C D 答案:D D 考点 1 利用直接法求轨迹方程 例 1:如图 7-8-1,已知点 C 的坐标是(2,2),过点 C 的直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B.设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的轨迹方程. 图 7-8-1 解:方法一(直接法),设点 M 的坐标为(x0,y0),则点 A 的 坐标为(2x0,0),点 B 的坐标为(0,2y0), 因为直线 CA 垂直于直线 CB, 化简,得x0+y0-2=0. 所以点 M 的轨迹方程为 x+y-2=0. 方法二(参数法),若 CA⊥x 轴,则 CB⊥y 轴,故 A 的坐标 为(2,0),B 的坐标为(0,2),所以 M 的坐标为(1,1). 若 CA 不垂直于 x 轴, 则设直线 CA 的方程为 y-2=k(x-2), 两式相加,得x0+y0=2,即x0+y0-2=0(x0≠1). 又点(1,1)在直线 x0+y0-2=0 上, 所以点 M 的轨迹方程为 x+y-2=0. M 到点 C,O 的距离相等,故点 M 在线段 OC 的垂直平分线上. 又线段 OC 的垂直平分线过 OC 中点(1,1),斜率 k=-1, 即 y-1=-(x-1),化简,得 x+y-2=0. 所以点 M 的轨迹方程为 x+y-2=0. 【规律方法】求轨迹的步骤是“建系、设点、列式、化简”, 建系的原则是特殊化(把图形放在最特殊的位置上),这类问题 一般需要通过对图形的观察、分析、转化,找出一个关于动点 的等量关系. 【互动探究】 1.如图7-8-2,F是抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点,直线l 过点 F 且与抛物线及其准线交于 A,B,C 三点,若|BC|=3|BF|, ) |AB|=9,则抛物线 C 的标准方程是( 图 7-8-2 A.y2=2x   B.y2=4x   C.y2=8x  D.y2=16x 答案:C 考点 2 利用定义法求轨迹方程 例 2:(1)已知圆 C1:(x+3)2+y2=1和圆C2:(x-3)2+y2 =9, ①动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________________; ②若动圆M同时与圆C1及圆C2相内切,则动圆圆心M的轨迹方程为________________; ③若动圆M与圆C1外切及圆C2相内切,则动圆圆心M的轨迹方程为________________; ④若动圆M与圆C1内切及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为__________________. 解析:如图 D59,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于点 A 和点 B,根据两圆外切的充要条件,得 |MC1|-|AC1|=|MA|, |MC2|-|BC2|=|MB|. 因为|MA|=|MB|, 所以|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=3-1=2. 图 D59 这表明动点 M 到两定点 C2,C1 的距离之差是常数 2. A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 解析:对于①,如图 D60,|ME|+|MF|=|ML|+|LE|+|MF| =|MN|+|AE|+|MF|=|AE|+|NF|=|AE|+|AF|=2a,故点 M 恒在 以 E,F 为焦点,AB 为长轴的椭圆上,①正确; 图 D60 图 D61 答案:A 考点 3 利用相关点法求轨迹方程 【规律方法】动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x0,y0)的变化而变化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲线上,则可先用x,y的代数式表示x0,y0,再将x0,y0代入已知曲线方程得出要求的轨迹方程.这种求轨迹方程的方法叫做相关点法(也叫做转移法). 【互动探究】 答案:A 思想与方法 ⊙轨迹方程中的分类讨论 例题:(由人教版选修 1-1P35-例3改编)已知动点P(x,y)与两 个定点 M(-1,0),N(1,0)的连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0). (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程; (2)试根据λ的取值情况讨论轨迹 C 的形状. 解:(1)由题设知,PM,PN 的斜率存在且不为 0, (2)讨论如下: ①当λ>0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的双曲 线(除去顶点); ②当-1<λ<0 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 x 轴上的 椭圆(除去长轴上的两个端点); ③当λ=-1 时,轨迹 C 为以原点为圆心,1 为半径的圆[除 去点(-1,0),(1,0)]; ④当λ<-1 时,轨迹 C 为中心在原点,焦点在 y 轴上的椭 圆(除去短轴上的两个端点). 【互动探究】 3.设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积是-1,求点M的轨迹方程. 第9讲 直线与圆锥曲线的位置关系 1.了解直线与圆锥曲线的位置关系. 2.理解数形结合的思想. 3.了解圆锥曲线的简单应用. 1.直线与圆锥曲线的位置关系 判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时,通常将直线 l 的 方程 Ax+By+C=0(A,B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x,y)=0,消去 y(也可以消去 x),得到一个关于变量 x(或变 量 y)的一元方程. (1)当 a≠0 时,设一元二次方程 ax2+bx+c=0 的判别式为 Δ,则Δ>0?直线 l 与圆锥曲线 C 相交; 相切 Δ=0?直线 l 与圆锥曲线 C__________; Δ<0?直线 l 与圆锥曲线 C 无公共点. (2)当 a=0,b≠0 时,即得到一个一次方程,则直线 l 与圆 锥曲线 C 相交,且只有一个交点,此时,若 C 为双曲线,则直 线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是平行;若 C 为抛物线,则 直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是平行. 2.圆锥曲线的弦长 (1)圆锥曲线的弦长: 直线与圆锥曲线相交有两个交点时,这条直线上以这两个 交点为端点的线段叫做圆锥曲线的弦(就是连接圆锥曲线上任 意两点所得的线段),线段的长就是弦长. (2)圆锥曲线的弦长的计算: 3.直线与圆锥曲线的位置关系口诀 “联立方程求交点,根与系数的关系求弦长,根的分布找 范围,曲线定义不能忘”. 1.平面上一机器人在行进中始终保持与点 F(1,0)的距离和 到直线 x=-1 的距离相等.若机器人接触不到过点 P(-1,0)且斜 率为 k 的直线,则 k 的取值范围是_________________. 答案:(-∞,-1)∪(1,+∞) 答案:D 3.(2016 年河北唐山模拟)过抛物线 C:y2=4x 的焦点 F 作直 线 l 交抛物线 C 于 A,B 两点,若 A 到抛物线的准线的距离为 4, 则|AB|=___________. 考点 1 弦长公式的应用 图 7-9-1 (1)求椭圆的方程; 思维点拨:利用点到直线的距离求解|CD|后;再将直线方 程与圆锥曲线方程联立,消元后得到一元二次方程,利用根与 系数的关系得到两根之和、两根之积的代数式,然后利用弦长 公式进行整体代入求出|AB|. 【互动探究】 1.椭圆 x2+4y2=4 的长轴上一个顶点为 A,以 A 为直角顶 点作一个内接于椭圆的等腰直角三角形,则该三角形的面积是 _________. 考点 2 点差法的应用 思维点拨:用点差法求出割线的斜率,再结合已知条件 求解. 【规律方法】(1)本题的三个小题都设了端点的坐标,但最 终没有求点的坐标,这种“设而不求”的思想方法是解析几何 的一种非常重要的思想方法. (2)本例这种方法叫“点差法”,“点差法”主要解决四类 题型:①求平行弦的中点的轨迹方程;②求过定点的割线的弦 的中点的轨迹方程;③求过定点且被该点平分的弦所在的直线 的方程;④有关对称的问题. (3)本题中“设而不求”的思想方法和“点差法”还适用 于双曲线和抛物线. 【互动探究】 考点3 直线与圆锥曲线的位置关系 【互动探究】 思想与方法 ⊙圆锥曲线中的函数与方程思想和数形结合思想 (1)求椭圆 C 及圆 O 的方程; (2)设直线 l 与圆 O 相切于第一象限内的点 P. ①若直线 l 与椭圆 C 有且只有一个公共点,求点 P 的坐标; 图 7-9-2 图 7-9-3 【规律方法】解决直线与椭圆的位置关系的相关问题,其 常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立,消元、化简,然后 应用根与系数的关系建立方程,解决相关问题.直线与圆锥曲线 位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函 数、方程思想和数形结合思想的考查,一直是高考考查的重点, 特别是焦点弦和中点弦等问题,涉及中点公式、根与系数的关 系以及设而不求、整体代入的技巧和方法,也是考查数学思想 方法的热点题型. 【互动探究】 4.已知直线l:x=-1,F(1,0),P是直线l上的动点,过点P作直线l的垂线l1,线段PF的中垂线交直线l1于点M,M的轨迹为C. (1)求轨迹C的方程; (2)过F且与坐标轴不垂直的直线交曲线C于A,B两点,若以线段AB为直径的圆与直线3x+4y+3=0相切,求直线AB的方程.

  • ID:3-5968305 2020年高考数学一轮复习第六章不等式(第1-5讲)课件理

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    第六章 不等式 第1讲 不等式的概念与性质 1.了解现实世界和日常生活中的不等关系. 2.了解不等式(组)的实际背景. 1.两个实数比较大小的方法 2.不等式的基本性质 a>c ac<bc 性质 性质内容 特别提醒 对称性 a>b?bb,b>c?________ ? 可加性 a>b?a+c>b+c ? 可乘性 注意 c 的符号 (续表) > A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 B C 3.如果 a,b,c 满足 cac C.cb20 D.ac(a-c)<0 a,b 的值依次为____________________. C 2,-1(答案不唯一) 考点 1 不等式的基本性质 例 1:(1)(2016 年福建泉州月考)若 x>y,a>b,则在下列五 个式子中: 恒成立的不等式的序号是__________. 解析:令 x=-2,y=-3,a=3,b=2,符合题意 x>y, a>b. 因为 a-x=3-(-2)=5,b-y=2-(-3)=5,所以 a-x =b-y.故①不成立; 因为 ax=-6,by=-6,所以 ax=by.故③也不成立; 所以恒成立的有②④. 答案:②④ (2)(2018 年山东德州期中)已知a0. ∵ab>0,c<0,下列不等关系 中正确的是( ) 解析:方法一,(赋值法)不妨取 a=2,b=1,c=-1,则 无意义,C 错误.故选 D. 方法二,∵a>b,c<0,∴acb>0,∴acb 成 ) 立的充分而不必要的条件是( A.a>b-1 C.a>b+1 B.a2>b2 D.a3>b3 答案:C 【规律方法】(1)判断一个关于不等式的命题的真假时,先 把要判断的命题与不等式性质联系起来考虑,找到与命题相近 的性质,并应用性质判断命题的真假. (2)特殊值法是判断命题真假时常用到的一个方法,特别对 于有一定条件限制的选择题,用特殊值验证的方法更方便.判断 一个命题为假命题时,可以用特殊值法,但不能用特殊值法肯 定一个命题,此时只能用所学知识严密证明. (3)重要结论: 考点 2 利用作差比较大小 例 2:(1)(2015 年浙江)有三个房间需要粉刷,粉刷方案要 求:每个房间只用一种颜色,且三个房间颜色各不相同.已知三 个房间的粉刷面积(单位:m2)分别为 x,y,z,且 x0,故 ax+by+cz>az+by+ cx;同理,ay+bz+cx-(ay+bx+cz)=b(z-x)+c(x-z)=(x- z)(c-b)<0,故 ay+bz+cxa4+a5. 答案:A (2)在等比数列{an}中,an>0(n∈N),公比q≠1.则(  ) A.a1+a8>a4+a5 B.a1+a8a8S9 C.a9S8=a8S9 D.a9S8与a8S9的大小关系与a1的值有关 【规律方法】作差比较法证明不等式的步骤是:作差、变 形、判断差的符号.作差是依据,变形是手段,判断差的符号才 是目的.常用的变形方法有配方法、通分法、因式分解法等.有时 把差变形为常数,有时变形为常数与几个数平方和的形式,有 时变形为几个因式积的形式等.总之,变形到能判断出差的符号 为止. 考点 3 利用作商比较大小 例 3:(2014 年辽宁)设等差数列{an}的公差为d,若数列 A.d<0 C.a1d<0 B.d>0 D.a1d>0 答案:C 【规律方法】本题利用作商法比较大小.所谓作商法:若 判断商值与 1 的大小关系.指数不等式常用作商法证明.作答时 有时要用到指数函数的性质,如若a>1,且x<0,则ax<1 等. 【互动探究】 比较1816与1618的大小. 易错、易混、易漏 ⊙忽略考虑等号能否同时成立 例题:设 f(x)= ax2+bx,1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2) 的取值范围. 正解:方法一,设 f(-2)=mf(-1)+nf(1)(m,n 为待定系 数),则 4a-2b=m(a-b)+n(a+b). 即 4a-2b=(m+n)a+(n-m)b. ∴f(-2)=4a-2b=3f(-1)+f(1). ∴f(-2)=3f(-1)+f(1). ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10. ∴5≤f(-2)≤10. 图 6-1-1 ∵1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4, ∴5≤3f(-1)+f(1)≤10. ∴5≤f(-2)≤10. 当 f(-2)=4a-2b 过点 B(3,1)时, 取得最大值 4×3-2×1=10. ∴5≤f(-2)≤10. 【失误与防范】本题主要考查多个不等式等号能否成立的 问题,可以考虑待定系数法、换元法和线性规划法,要特别注 意1≤a-b≤2,2≤a+b≤4中的a,b不是独立的,而是相互制 约的,因此无论用哪种方法都必须将a-b,a+b 当作一个整体 来看待. 第2讲 一元二次不等式及其解法 1.会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型. 2.通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系. 3.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图. 一元二次不等式(a>0)与相应的二次函数(a>0)及一元二次 方程的关系 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c的图象 (续表) ? 判别式 Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0 一元二次方程ax2+bx+c=0的根 有两相异实根x1,2= ______________ 有两相同实根 没有实根 ax2+bx+c>0的解集 {x|xx2} R ax2+bx+c<0的解集 {x|x10},则 A∩B=( ) D 2.不等式ax2-x+c>0的解集为{x|-20},则?RA =( ) A.{x|-12} B C D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 4.(2017 年山东)设集合 M={x||x-1|<1},N={x|x<2},则 M∩N=( ) A.(-1,1) B.(-1 , 2) C.(0,2) D.(1,2) 考点 1 解一元二次、分式不等式 答案:B (2)(2015年广东)不等式-x2-3x+4>0的解集为________. (用区间表示) 解析:由-x2-3x+4>0,得-40 的解集为(-4,1). 答案:(-4,1) (3)(2016年上海)设x∈R,则不等式|x-3|<1的解集为________. 解析:由题意,得-11 【规律方法】解一元二次不等式的一般步骤是:①化为标 准形式,即不等式的右边为零,左边的二次项系数为正;②确 定判别式Δ的符号;③若Δ≥0,则求出该不等式对应的二次方 程的根,若Δ<0,则对应的二次方程无根;④结合二次函数的 图象得出不等式的解集.特别地,若一元二次不等式的左边的二 次三项式能分解因式,则可立即写出不等式的解集. 考点 2 含参数不等式的解法 例2:(1)解关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0; (2)解关于x的不等式ax2-(a+1)x+1<0; (3)解关于x的不等式kx2-2x+k<0(k∈R). (4)解关于x的不等式:ax2-2≥2x-ax(a∈R). 解:(1)原不等式可化为(x-a)(x-1)<0. 当a>1时,原不等式的解集为(1,a); 当a=1时,原不等式的解集为?; 当a<1时,原不等式的解集为(a,1). 【规律方法】解含参数的有理不等式时分以下几种情况 讨论: ①根据二次项系数讨论(大于 0,小于 0,等于 0); ②根据根的判别式讨论(Δ>0,Δ=0,Δ<0); ③根据根的大小讨论(x1>x2,x1=x2,x10对任意的实数b都成立. 所以b2+(4a-2)b+1>0对任意的实数b都成立. 所以(4a-2)2-4<0.所以03} 解析:x2+(k-4)x+4-2k>0 恒成立,即 g(k)=(x-2)k+(x2 -4x+4)>0,在 k∈[-1,1]上恒成立.只需 g(-1)>0 且 g(1)>0, 第3讲 算术平均数与几何平均数 1.了解基本不等式的证明过程. 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. (1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. 式可叙述为两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数. 2.几个常用的重要不等式 ≥ 3.最值定理 1.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A.有最大值 C.是增函数 B.有最小值 D.是减函数 D B 4.已知 x>0,y>0,且 x+4y=1,则 xy 的最大值为______. 2 考点 1 利用基本不等式求最值(或取值范围) 解析:∵x>1,∴x-1>0. 答案:A 的最小值为__________. 答案:4 考点 2 利用基本不等式求参数的取值范围 +∞)上恒成立,则 a 的最小值为( ) A.4 B.2 C.16 D.1 答案:A 【互动探究】 则 a=_______. 36 考点 3 利用逆代法求最值 答案:8 (2)(2018 年江苏)在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC 的平分线交 AC 于点 D,且 BD=1,则 4a+c 的最小值为________. 答案:9 (3)已知函数 f(x)=cos πx(00,y>0,x+2y+2xy=8,则 x+2y 的最小 值是( ) A.3 B.4 C. 9 2 D. 11 2 整理,得(x+2y)2+4(x+2y)-32≥0. ∴(x+2y-4)(x+2y+8)≥0. 又 x+2y>0,∴x+2y≥4. 答案:B (2)若实数x,y满足x2+y2+xy=1,则x+y的最大值是 __________. 【规律方法】本题主要考查了基本不等式在求最值时的运 用.整体思想是分析这类题目的突破口,即x+y 与x+2y 分别是 统一的整体,如何构造出只含x+y(构造xy 亦可)与x+2y(构造 x·2y 亦可)形式的不等式是解本题的关键. 【互动探究】 2.设x,y为实数.若4x2+y2+xy=1,则2x+y的最大值是 ____________. 第4讲 简单的线性规划 1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组. 2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组. 3.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 1.二元一次不等式(组)表示的平面区域 (1)一般地,直线 l:Ax+By+C=0 把直角坐标平面分成三 个部分: Ax+By+C=0 ①直线 l 上的点(x,y)的坐标满足______________; ②直线 l 一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 Ax+By +C>0; ③直线 l 另一侧的平面区域内的点(x,y)的坐标满足 Ax+ By+C<0. (2)由于对直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点(x,y),把它 的坐标(x,y)代入 Ax+By+C 所得到实数的符号都相同,所以 只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0,y0),由Ax0+By0+C 的符号即可判断不等式表示的平面区域. 2.线性规划相关概念 最小值 最小值 名称 意义 目标函数 欲求最大值或__________的函数 z=Ax+By 约束条件 目标函数中的变量所要满足的不等式组 线性约束条件 由 x,y 的一次不等式(或方程)组成的不等式组 线性目标函数 目标函数是关于变量的一次函数 可行解 满足线性约束条件的解 可行域 由所有可行解组成的集合 最优解 使目标函数取得最大值或最小值的点的坐标 线性规划问题 在线性约束条件下,求线性目标函数的最大值 或________问题 B C D A C 2.(2016 年辽宁沈阳四校联考)下列各点中,与点(1,2)位于直 线 x+y-1=0 的同一侧的是( ) C A.(0,0) C.(-1,3) B.(-1,1) D.(2,-3) 面区域的面积是_______. 1 解析:不等式组表示的区域为如图 D35 所示的阴影部分, 由 x=1,x+y=0,得 A(1,-1); 由 x=1,x-y-4=0,得 B(1,-3); 由 x+y=0,x-y-4=0,得 C(2,-2). ∴|AB|=2. 图 D35 4.若点(1,3)和点(-4,-2)在直线 2x+y+m=0 的两侧,则 实数 m 的取值范围是____________. -5<m<10 考点 1 二元一次不等式(组)表示的平面区域 例 1:(1)设集合 A={(x,y)|x,y,1-x-y 是三角形的三边 长} ,则集合 A 所表示的平面区域( 不含边界的阴影部分) 是 ( ) A B C D 思维点拨:由三角形的三边关系(两边之和大于第三边)来 确定二元一次不等式组,然后求可行域. 解析:由于 x,y,1-x-y 是三角形的三边长, 答案:A 答案:C 图 D36 答案:4 【规律方法】本题以三角形、集合为载体来考查线性规划 问题,由于是选择题,只要找出正确的不等式组并作出相应的 直线即可看出答案,这就是做选择题的特点. 考点 2 线性规划中求目标函数的最值问题 例 2:(1)(2017 年新课标Ⅰ)设 x,y 满足约束条件 解析:不等式组表示的可行域如图 D37,易求得 A(-1,1), 就越小,所以当直线 z=3x-2y 过点 A 时,z 取得最小值. 所以 z 的最小值为 图 D37 3×(-1)-2×1=-5. 答案:-5 则 z=3x+2y 的最大值为________. 解析:如图 D38,当直线过点 B(2,0)时,z=3x+2y 取最大 值 6. 图 D38 答案:6 【规律方法】利用线性规划求最值,一般用图解法求解, 其步骤是:①在平面直角坐标系内作出可行域; ②考虑目标函数的几何意义,将目标函数进行变形; ③确定最优解:在可行域内平行移动目标函数变形后的直 线,从而确定最优解; ④求最值:将最优解代入目标函数即可求出最大值或最 小值. 考点 3 非线性目标函数的最值问题 考向 1 斜率相关 例 3:(1)(2015 年新课标Ⅰ)若 x,y 满足约束条件 解析:作出可行域如图 6-4-1 所示的阴影部分,由斜率的 图 6-4-1 答案:3 图 6-4-2 答案:C 考向 2 距离相关 则x2+y2的最大值是(  ) A.4 B.9 C.10 D.12 解析:画出可行域如图 6-4-3 所示的阴影部分,x2+y2表示 可行域内的点(x,y)到原点的距离的平方.点 A(3,-1)到原点距 离最大.故选 C. 图 6-4-3 答案:C 解析:作出不等式组所表示的平面区 域,如图 6-4-4 所示的阴影部分. (x+1)2+y2 表示平面区域内的点与点 A(-1,0)距离的平方, 图 6-4-4 ∴B(1,1).由图可知点 B 到点 A 的距离最小, ∴(x+1)2+y2 的最小值为 5.故选 C. 答案:C 【规律方法】用线性规划求最值时,要充分理解目标函数 的几何意义,只有把握好这一点,才能准确求解,常见的非线 性目标函数的几何意义如下: 思想与方法 ⊙利用数形结合的思想求线性规划问题中的参数 解析:本题考查线性规划与指数函数.如图 6-4-5 所示的阴 影部分为平面区域 M,显然 a>1,只需研究过 B(1,9)、C(3,8)两 种情形.a1≤9且a3≥8,即2≤a≤9. 答案:C 图 6-4-5 【互动探究】 (m+1)2=4.解得 m=-3 或 m=1.检验知当 m=-3 时,已知不 等式组不能表示一个三角形区域,故舍去,所以 m=1.故选 B. 图 D39 答案:B 第5讲 不等式的应用 1.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题. 2.会从实际情境中抽象出一些简单的二元线性规划问题,并能加以解决. 1.如果a,b∈R,那么a2+b2≥______(当且仅当a=b时取 “=”号). 取“=”号). 2ab 以上不等式从左至右分别为:调和平均数(记作 H),几何平 均数(记作 G),算术平均数(记作 A),平方平均数(记作 Q),即 H≤G≤A≤Q,各不等式中等号成立的条件都是 a=b. 4.常用不等式 则 z=3x-4y 的最小值为_______. 解析:不等式组表示的可行域如图 D40 所示的阴影部分, 图 D40 数在点 A(1,1)处取得最小值 z=3x-4y=-1. 答案:-1 候目标函数取得最小值,数形结合可得目标函 则 z=x+2y 的最大值是( ) A.0 B.2 C.5 D.6 解析:画出可行域及直线 x+2y=0 如图 D41,平移 x+2y =0 发现,当其经过直线 3x+y+5=0 与 x=-3 的交点 A 时, z=x+2y最大为zmax=-3+2×4=5. 图 D41 答案:C 3.(2014 年福建)要制作一个容积为 4 m3,高为 1 m 的无盖 长方体容器.已知该容器的底面造价是 20 元/m2,侧面造价是 10 元/m2,则该容器的最低总造价是( ) C A.80 元 B.120 元 C.160 元 D.240 元 4.一批货物随 17 列货车从 A 市以 v 千米/时匀速直达 B 市, 已知两地路线长 400 千米,为了安全,两辆货车间距至少不得 (不计货车长度). 8 考点 1 实际生活中的基本不等式问题 例 1:桑基鱼塘是某地一种独具地方特色的农业生产形式, 某研究单位打算开发一个桑基鱼塘项目,该项目准备购置一块 1800 平方米的矩形地块,中间挖出三个矩形池塘养鱼,挖出的 泥土堆在池塘四周形成基围(阴影部分所示)种植桑树,池塘周 围的基围宽均为 2 米,如图 6-5-1,设池塘所占 的总面积为 S 平方米. (1)试用 x 表示 S; (2)当 x 取何值时,才能使得 S 最大?并求 出 S 的最大值. 图 6-5-1 即当 x 为 45 米时,S 最大,且 S 的最大值为 1352 平方米. 【规律方法】利用不等式解决实际问题时,首先要认真审 题,分析题意,建立合理的不等式模型,最后通过基本不等式 解题.注意最常用的两种题型:积一定,和最小;和一定,积最 大. 【互动探究】 D 1.某村计划建造一个室内面积为 800 m2 的矩形蔬菜温室.在 温室内,沿左、右两侧与后侧内墙各保留 1 m 宽的通道,沿前 侧内墙保留 3 m 宽的空地,则最大的种植面积是( ) A.218 m2 B.388 m2 C.468 m2 D.648 m2 解析:设矩形温室的左侧边长为 a m,后侧边长为 b m,则 ab=800.蔬菜的种植面积:S=(a-4)(b-2)=ab-4b-2a+8= 40 m,b=20 m时,Smax=648 m2. 2.一份印刷品,其排版面积为 432 cm2(矩形),要求左、右 各留有 4 cm 的空白,上、下各留有 3 cm 的空白,则当排版的 长为______cm,宽为_____cm 时,用纸最省. 24 18 考点 2 实际生活中的线性规划问题 例 2:某家具厂有方木料 90 m3,五合板 600 m3,准备加工 成书桌和书橱出售,已知生产一张书桌需要方木料 0.1 m3,五 合板 2 m3,生产一个书橱需要方木料 0.2 m3,五合板 1 m3,出 售一张书桌可获利润 80 元,出售一个书橱可获利润 120 元. (1)如果只安排生产书桌,可获利润多少? (2)如果只安排生产书橱,那么可获利润多少? (3)如何安排生产可使所得利润最大? 解:(1)设只生产书桌 x 张,可获利润 z 元, ∴当x=300时,zmax=80×300=24 000(元). 即如果只安排生产书桌,最多可生产 300 张书桌,可获利 润 24 000 元. (2)设只生产书橱 y 个,可获利润 z 元, ∴当y=450时,zmax=120×450=54 000(元). 即如果只安排生产书橱,最多可生产 450 个书橱,可获利 润 54 000 元. (3)设生产书桌 x 张,生产书橱 y 个,可获总利润 z 元, z=80x+120y. 在直角坐标平面内作出上面不等式组所表示的平面区域, 即可行域,如图 D42. 图 D42 作直线 l:80x+120y=0,即直线 2x+3y=0. 把直线l向右上方平移到l1的位置,直线l1经过可行域上 的点 M,此时 z=80x+120y 取得最大值. ∴当 x=100,y=400 时, zmax=80×100+120×400=56 000(元). 因此安排生产 400 个书橱,100 张书桌,可获利润最大为 56 000 元. 【方法与技巧】根据已知条件写出不等式组是解题的第一 步;画出可行域是第二步;找出最优解是第三步. 【互动探究】 3.(2016 年新课标Ⅰ)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需 要甲、乙两种新型材料.生产一件产品 A 需要甲材料 1.5 kg,乙 材料 1 kg,用 5 个工时;生产一件产品 B 需要甲材料 0.5 kg, 乙材料 0.3 kg,用 3 个工时.生产一件产品 A 的利润为 2100 元, 生产一件产品 B 的利润为 900 元.该企业现有甲材料 150 kg,乙 材料 90 kg,则在不超过 600 个工时的条件下,生产产品 A、产 品 B 的利润之和的最大值为_________元. 解析:设生产产品 A、产品 B 分别为 x,y 件,利润之和为 z 元,那么 目标函数 z=2100x+900y. 二元一次不等式组①等价于 作出二元一次不等式组②表示的平面区域(如图 D43),即可 行域. 图 D43 所以当x=60,y=100时,zmax=2100×60+900×100= 216 000(元). 故生产产品 A、产品 B 的利润之和的最大值为 216 000 元. 答案:216 000 4.某农户计划种植黄瓜和韭菜,种植面积不超过 50 亩(1 亩 ≈666.7 平方米),投入资金不超过 54 万元,假设种植黄瓜和韭 菜的产量、成本和售价如下表: 为使一年的种植总利润(总利润=总销售收入-总种植成 本)最大,那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位:亩)分别为( ) A.50,0 B.30,20 C.20,30 D.0,50 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 黄瓜 4 吨 1.2 万元 0.55 万元 韭菜 6 吨 0.9 万元 0.3 万元 解析:设黄瓜和韭菜的种植面积分别为 x, y 亩,种植总利润为 z 万元, 则目标函数 z=(0.55×4x-1.2x)+(0.3× 6y-0.9y)=x+0.9y. 作出约束条件如图 D44 所示的阴影部分. 图 D44 易求得点 A(0,50),B(30,20),C(45,0). 平移直线 x+0.9y=0,当直线 x+0.9y=0 经过点 B(30,20) 时,z 取得最大值为 48.故选 B. 答案:B 易错、易混、易漏 ⊙利用基本不等式时忽略了等号成立的条件 思路点拨:本题主要考查均值不等式的应用、分析问题及解决 问题的能力,本题的关键就是如何利用14 m 旧墙,有两种方案: ①利用14 m 旧墙的一部分作为矩形厂房的一边,剩余的旧墙拆 去,用所得的材料建新墙;②14 m 旧墙全部是矩形厂房的一边, 这时就不存在拆旧墙来建新墙的问题了. 综合(1)(2)两种方案,以第一种方案总费用最低,即以 12 m 旧墙改建,剩下 2 m 旧墙拆得的材料建新墙,其余的建新墙. 【规律总结】此题是生活实际中常碰到的问题,有实际意 义,综合分析能力很强,尤其②x≥14,往往容易疏忽,不加以 考虑,仅以①分析,利用部分旧墙,拆除部分旧墙,用拆得的 材料建新墙,其余的建新墙,虽然结果正确,但没有与②作比 较,不能算是一种完整的解法.

  • ID:3-5968300 2020年高考数学一轮复习第九章概率与统计(第1-10讲课件理

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    第1讲 计数原理与排列组合 第九章 概率与统计 1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决 一些简单的实际问题. 3.理解排列、组合的概念. 4.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式. 5.能解决简单的实际问题. 1.分类加法原理与分步乘法原理 m1·m2·…·mn (1)分类加法原理:做一件事,完成它有n类办法,在第一类办法中有m1种不同的方法,在第二类办法中有m2种不同的方法,…,在第n类办法中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=m1+m2+…+mn种不同的方法. (2)分步乘法原理:做一件事,完成它要分成n个步骤,缺一不可,在第一个步骤中有m1种不同的方法,在第二个步骤中有m2种不同的方法,…,在第n个步骤中有mn种不同的方法,那么完成这件事共有N=____________________种不同的方法. 2.排列与排列数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素,按照一定的顺 序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (2)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素的所有不同排列 的个数,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数,用 n! (n-m)! n! 1 3.组合与组合数 (1)从 n 个不同元素中取出 m(m≤n)个元素合成一组,叫做 从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合. 1 1.(2014 年辽宁)6 把椅子摆成一排,3 人随机就座,任何 2 人不相邻的坐法种数为( ) D B A.144 种 C.72 种 B.120 种 D.24 种 2.(2014 年四川)6 个人从左至右排成一行,最左端只能排甲 或乙,最右端不能排甲,则不同的排法共有( ) A.192 种 C.240 种 B.216 种 D.288 种 3.(2018 年新课标Ⅰ)从 2 位女生,4 位男生中选 3 人参加科 技比赛,且至少有 1 位女生入选,则不同的选法共有______种. (用数字填写答案) ________种.(用数字作答) 16 480 4.6 个人排成一行,其中甲、乙两人不相邻的不同排法共有 考点 1 排列问题 例 1:7 位同学站成一排: (1)共有多少种不同的排法? (2)站成两排(前 3 后 4),共有多少种不同的排法? (3)其中甲站在中间的位置,共有多少种不同的排法? (4)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种? (5)甲、乙不能站在两端的排法共有多少种? (6)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种? (7)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种? (8)甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有多少种? (9)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的 排法有多少种? (10)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种? (11)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种? (12)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种? (13)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种? (14)甲、乙两同学不能相邻,甲、丙两同学也不能相邻的 排法共有多少种? (15)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种? (16)甲、乙两人中间恰好有 3 人的不同排法共有多少种? (9)甲、乙两同学必须相邻,而且丙不能站在排头和排尾的 排法有: 方法一,将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素, 此时一共有 6 个元素, 方法二,将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素, 此时一共有 6 个元素, 方法三,将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素, 此时一共有 6 个元素, 因为丙不能站在排头和排尾,所以可以从其余的四个位置 【规律方法】(1)对有约束条件的排列问题,应注意如下 类型: ①某些元素不能在或必须排列在某一位置; ②某些元素要求连排(即必须相邻); ③某些元素要求分离(即不能相邻). (2)基本的解题方法: ①有特殊元素或特殊位置的排列问题,通常是先排特殊元 素或特殊位置,称为优先处理特殊元素(位置)法(优先法); ②某些元素要求必须相邻时,可以先将这些元素看作一个 元素,与其他元素排列后,再考虑相邻元素的内部排列,这种 方法称为“捆绑法”; ③某些元素不相邻排列时,可以先排其他元素,再将这些 不相邻元素插入空挡,这种方法称为“插空法”; ④在处理排列问题时,一般可采用直接和间接两种思维形 式,从而寻求有效的解题途径,这是学好排列问题的根基. 【互动探究】 D 1.(2017 年新课标Ⅱ)安排 3 名志愿者完成 4 项工作,每人 至少完成 1 项,每项工作由 1 人完成,则不同的安排方式共有 ( ) A.12 种 B.18 种 C.24 种 D.36 种 2.将 7 个座位连成一排,安排 4 个人就座,恰有两个空位 相邻的不同坐法有( ) A.240 B.480 C.720 D.960 B 考点 2 组合问题 例 2:从 4 名男同学和 3 名女同学中,选出 3 人参加学校 的某项调查,求在下列情况下,各有多少种不同的选法? (1)无任何限制; (2)甲、乙必须当选; (3)甲、乙都不当选; (4)甲、乙只有一人当选; (5)甲、乙至少有一人当选; (6)甲、乙至多有一人当选. 思维点拨:此题不讲究顺序,故采用组合数. 【规律方法】组合问题常有以下两类题型变化: ①“含有”或“不含有”某些元素的组合题型:“含”, 则先将这些元素取出,再由另外元素补足;“不含”,则先将 这些元素剔除,再从剩下的元素中去选取; ②“至少”或“至多”含有几个元素的题型:解这类题必 须十分重视“至少”或“至多”这两个关键词的含义,谨防重 复与漏解.用直接法和间接法都可以求解,通常用直接法,分类 复杂时,考虑逆向思维,用间接法处理. 【互动探究】 75 3.某校开设 9 门课程供学生选修,其中 A,B,C 三门由于 上课时间相同,至多选一门.学校规定,每位同学选修 4 门,共 有_______种不同的选修方案(用数值作答). 考点 3 排列组合中的平均分配问题 例 3:六本不同的书,按照以下要求处理,各有几种分法? (1)平均分成三堆,每堆两本; (2)平均分给甲、乙、 丙三人,每人两本; (3)一堆一本,一堆两本,一堆三本; (4)甲得一本,乙得两本,丙得三本; (5)一人得一本,一人得两本,一人得三本. 【规律方法】解决分组分配问题的策略: (1)对于整体均分,解题时要注意分组后,不管它们的顺序 如何,都是一种情况,所以分组后一定要除以 (n 为均分的组 数),避免重复计数. (2)对于部分均分,解题时注意重复的次数是均匀分组的阶 乘数,即若有 m 组元素个数相等,则分组时应除以m!,一个 分组过程中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列 数. (3)对于不等分组,只需先分组,后排列,注意分组时任何 组中元素的个数都不相等,所以不需要除以全排列数. 【互动探究】 C 4.现安排 4 名老师到 3 所不同的学校支教,每所学校至少 安排一名老师,其中甲、乙两名老师分别到不同的学校的安排 方法有( ) A.42 种 B.36 种 C.30 种 D.25 种 5.国家教育部为了发展贫困地区教育,在全国重点师范大 学免费培养教育专业师范生,毕业后要分到相应的地区任教.现 有 6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到 3 所学校去 任教,有_______种不同的分派方法. 90 思想与方法 ⊙分类讨论思想在排列组合问题中的应用 例题:(1)(2018 年云南昆明高三质检)某小区一号楼共有 7 层,每层只有 1 家住户,已知任意相邻两层楼的住户在同一天 至多一家有快递,且任意相邻三层楼的住户在同一天至少一家 有快递,则在同一天这 7 家住户有无快递的可能情况共有 ________种. 答案:12 (2)(2018 年浙江)从 1,3,5,7,9 中任取 2 个数字,从 0,2,4,6 中 任取 2 个数字,一共可以组成__________个没有重复数字的四 位数.(用数字作答) 答案:1260 【规律方法】在排列组合中由于某个元素的原因而导致其 他元素位置的选取出现变化,故出现了分类讨论,分类讨论既 不能重复,又不能遗漏,这样才能保证考虑事情的严谨性. 【互动探究】 6.3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,则 3 位男生中 有且只有 2 位男生相邻的概率为_______. 第2讲 二项式定理 1.能用计数原理证明二项式定理. 2.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 1.二项式定理 2.二项式定理的特征 (1)项数:二项式展开式共有________项. 中的第 r+1 项. (3)二项式系数: 二项式展开式第 r+1 项的二项式系数为 ________. n+1 3.二项式系数的性质 2n A.10 B.20 C.40 D.80 C 2.(2014年新课标Ⅰ)(x-y)(x+y)8的展开式中x2y7的系数为 _________.(用数字填写答案) -20 _______.(用数字填写答案) 10 考点 1 求二项展开式中待定项的系数或特定项 数为( ) A.15 B.20 C.30 D.35 答案:C (2)(2017年新课标Ⅲ)(x+y)(2x-y)5的展开式中x3y3的系数 为( ) A.-80 B.-40 C.40 D.80 答案:C (3)(2015年新课标Ⅰ)(x2+x+y)5的展开式中,x5y2的系数为 ( ) A.10 B.20 C.30 D.60 答案:C 答案:7 (5)已知(1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1- x)10,则a8=__________. 解析:∵(1+x)10=(-1-x)10=[(-2)+(1-x)]10, (1+x)10=a0+a1(1-x)+a2(1-x)2+…+a10(1-x)10, 故答案为 180. 答案:180 【规律方法】本题主要考查二项式定理及其运算求解能力, 属于容易题,解答此题关键在于熟记二项式展开式的通项即展 类问题可以分两步完成:第一步是根据所给出的条件(特定项) 和通项公式,建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 k 的隐含条件,即 n,k 均为非负整数,且 n≥k);第二步 是根据所求的指数,再求特定项. 考点 2 二项式系数和与各项的系数和 例 2:在(2x-3y)10的展开式中,求: (1)二项式系数的和; (2)各项系数的和; (3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和; (4)奇数项系数和与偶数项系数和; (5)x 的奇次项系数和与 x 的偶次项系数和. 解:设(2x-3y)10=a0x10+a1x9y+a2x8y2+…+a10y10,① 由于①是恒等式,故可用“赋值法”求出相关的系数和. (2)令x=y=1,各项系数和为(2-3)10=(-1)10=1. 各项系数和为a0+a1+…+a10, 奇数项系数和为a0+a2+…+a10, 偶数项系数和为a1+a3+a5+…+a9, x的奇次项系数和为a1+a3+a5+…+a9, x的偶次项系数和为a0+a2+a4+…+a10. 【规律方法】“赋值法”普遍适用于恒等式,是一种重要 的方法,对形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b∈R)的式子求其展 开式的各项系数之和,常用赋值法,只需令x=1 即可;对形如 (ax+by)n(a,b∈R)的式子求其展开式各项系数之和,只需令x =y=1 即可. 【互动探究】 112 中常数项为( ) A.-40 B.-20 C.20 D.40 答案:D 中常数项为( ) A.-40 B.-20 C.20 D.40 D 考点 3 二项式展开式中系数的最值问题 (1)求 n 的值; (2)求展开式中二项式系数最大的项; (3)求展开式中系数最大的项. 【规律方法】(1)求二项式系数最大项: 【互动探究】 112 易错、易混、易漏 ⊙组合数公式的应用 思路点拨:(1)根据组合数公式化简求值. 【规律方法】本题从性质上考查组合数性质,从方法上考 查利用数学归纳法解决与自然数有关的命题,从思想上考查运 用算两次解决二项式有关模型.组合数性质不仅有课本上介绍 【互动探究】 第3讲 随机事件的概率 1.了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性,了解概率的意义,了解频率与概率的区别. 2.了解两个互斥事件的概率加法公式. 1.随机事件和确定事件 (1)在条件 S 下,一定会发生的事件叫做相对于条件 S 的必 然事件. (2)在条件 S 下,一定不会发生的事件叫做相对于条件 S 的 不可能事件. (3)必然事件与不可能事件统称为确定事件. (4)在条件 S 下可能发生也可能不发生的事件,叫做随机事件. (5)确定事件和随机事件统称为事件,一般用大写字母 A,B, C……表示. 2.频率与概率 (1)在相同的条件 S 下重复 n 次试验,观察某一事件 A 是否 出现,称 n 次试验中事件 A 出现的次数 nA 为事件 A 出现的频数, 称事件 A 出现的比例 fn(A)=______为事件 A 出现的频率. (2)对于给定的随机事件 A,如果随着试验次数的增加,事 件 A 发生的频率 fn(A)稳定在某个常数附近,把这个常数记作 P(A),则称 P(A)为事件 A 的概率,简称为 A 的概率. 3.事件的关系与运算 A=B 关系与运算 定义 符号表示 包含关系 若事件 A 发生,则事件 B 一定发生, 这时称事件 B 包含事件 A(或称事件 A 包含于事件 B) B?A (或 A?B) 相等关系 若 B?A,且 A?B ________ 并事件 (和事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生或 事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与 事件 B 的并事件(或和事件) A∪B (或 A+B) (续表) 关系与运算 定义 符号表示 交事件 (积事件) 若某事件发生当且仅当事件 A 发生且 事件 B 发生,则称此事件为事件 A 与 事件 B 的交事件(或积事件) A∩B(或 AB) 互斥事件 若 A∩B 为不可能事件,则事件 A 与 事件 B 互斥 A∩B=? 对立事件 若 A∩B 为不可能事件,A∪B 为必然 事件,那么称事件 A 与事件 B 互为对 立事件 P(A∪B)=P(A) +P(B)=1 4.概率的几个基本性质 1 0 1-P(A) (1)概率的取值范围:0≤P(A)≤1. (2)必然事件的概率 P(E)=________. (3)不可能事件的概率 P(F)=________. (4)互斥事件概率的加法公式: ①若事件 A 与事件 B 互斥,则 P(A∪B)=P(A)+P(B); ②若事件 B 与事件 A 互为对立事件,则 P(A)=1-P(B). (5)对立事件的概率:P( A )=__________. 1.(2016 年北京)从甲、乙等 5 名学生中随机选出 2 人,则 甲被选中的概率为( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 8 25 D. 9 25 2.容量为 20 的样本数据,分组后的频数如下表: 则样本数据落在区间[10,40)的频率为( ) A.0.35 B.0.45 C.0.55 D.0.65 B B 分组 [10,20) [20,30) [30,40) [40,50) [50,60) [60,70) 频数 2 3 4 5 4 2 3.(2018 年新课标Ⅲ)若某群体中的成员只用现金支付的概 率为 0.45,既用现金支付也用非现金支付的概率为 0.15,则不 用现金支付的概率为( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 B A 考点 1 事件的概念及判断 例 1:一个口袋内装有 5 个白球和 3 个黑球,从中任意取 出 1 个球. (1)“取出的球是红球”是什么事件?它的概率是多少? (2)“取出的球是黑球”是什么事件?它的概率是多少? (3)“取出的球是白球或是黑球”是什么事件?它的概率 是多少? 解:(1)由于口袋内只装有黑、白两种颜色的球,故“取出 的球是红球”不可能发生,因此,它是不可能事件,其概率 为 0. (2)由已知,从口袋内取出 1 个球,可能是白球也可能是黑 (3)由于口袋内装的是黑、白两种颜色的球,故取出 1 个球 不是黑球,就是白球.因此,“取出的球是白球或是黑球”是必 然事件,它的概率是 1. 【规律方法】一定会发生的事件叫做必然事件;一定不会 发生的事件叫做不可能事件;可能发生也可能不发生的事件叫 做随机事件. 【互动探究】 B 1.从 6 名男生、2 名女生中任取 3 人,则下列事件中的必然 事件是( ) A.3 人都是男生 B.至少有 1 名男生 C.3 人都是女生 D.至少有 1 名女生 考点 2 随机事件的频率与概率 例 2:(2015 年陕西)随机抽取一个年份,对西安市该年 4 月份的天气情况进行统计,结果如下: (1)在 4 月份任取一天.估计西安市在该天不下雨的概率; (2)西安市某学校拟从 4 月份的一个晴天开始举行连续 2 天 的运动会,估计运动会期间不下雨的概率. 日期 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 天气 晴 雨 阴 阴 阴 雨 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 晴 日期 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 天气 晴 阴 雨 阴 阴 晴 阴 晴 晴 晴 阴 晴 晴 晴 雨 解:(1)在容量为 30 的样本中,不下雨的天数是 26,以频 (2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如,1 日与 2 日, 2 日与 3 日等).这样,在 4 月份中,前一天为晴天的互邻日期对 有 16 个,其中后一天不下雨的有 14 个,所以晴天的次日不下 【规律方法】概率和频率的关系:概率可看成频率在理论 上的稳定值,它从数量上反映了随机事件发生的可能性的大小, 它是频率的科学抽象,当试验次数越来越多时频率向概率靠近, 只要次数足够多,所得频率就近似地当作随机事件的概率. 【互动探究】 2.(2015 年北京)某超市随机选取 1000 位顾客,记录了他们 购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其 中“√”表示购买,“×”表示未购买. 顾客人数 商品 甲 乙 丙 丁 100 √ × √ √ 217 × √ × √ 200 √ √ √ × 300 √ × √ × 85 √ × × × 98 × √ × × (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率; (2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买 3 种商品的概率; (3)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪 种商品的可能性最大? 解:(1)从统计表可以看出,在这 1000 位顾客中有 200 位 顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以 估计为 200 1000 =0.2. (2)从统计表可以看出,在这 1000 位顾客中有 100 位顾客 同时购买了甲、丙、丁,另有 200 位顾客同时购买了甲、乙、 丙,其他顾客最多购买了 2 种商品,所以顾客在甲、乙、丙、 丁中同时购买 3 种商品的概率可以估计为 100+200 1000 =0.3. (3)与(1)同理.可得: 所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性 最大. 考点 3 互斥事件、对立事件的概率 例 3:(1)在一次随机试验中,彼此互斥的事件 A,B,C, ) D的概率分别为 0.2,0.2,0.3,0.3,则下列说法正确的是( A.A∪B 与 C 是互斥事件,也是对立事件 B.B∪C 与 D 是互斥事件,也是对立事件 C.A∪C 与 B∪D 是互斥事件,但不是对立事件 D.A 与 B∪C∪D 是互斥事件,也是对立事件 解析:由于 A,B,C,D 彼此互斥,且 A∪B∪C∪D 是一 个必然事件,故其事件的关系可由如图 D91 所示的韦恩图表示, 由图可知,任何一个事件与其余 3 个事件的和事件必然是对立 事件,任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对 立事件. 图 D91 答案:D (2)某商场有奖销售中,购满100元商品得1张奖券,多购多得.1000张奖券为一个开奖单位,设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A,B,C,求: ①P(A),P(B),P(C); ②1张奖券的中奖概率; ③1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率. (3)设“1 张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件 N,则 事件 N 与“1 张奖券中特等奖或中一等奖”为对立事件, 所以 P(N)=1-P(A∪B) 【规律方法】求复杂的互斥事件的概率的两种方法: (1)直接求解法,将所求事件的概率分解为一些彼此互斥的 事件的概率的和,运用互斥事件的概率求和公式计算. (2)间接求法,先求此事件的对立事件的概率,再用公式P(A) =1-P( A ),即运用逆向思维(正难则反).特别是“至多”“至 少”型题目,用间接求法就显得较简便. 【互动探究】 3.根据以往统计资料,某地车主购买甲种保险的概率为0.5,购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3. (1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的一种的概率; (2)求该地1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率.   记A表示事件:该车主购买甲种保险;B表示事件:该车主购买乙种保险但不购买甲种保险;C表示事件:该车主至少购买甲、乙两种保险中的一种;D表示事件:该车主甲、乙两种保险都不购买. (1)由题意,得P(A)=0.5,P(B)=0.3,又C=A∪B, 所以P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.5+0.3=0.8. (2)因为D与C是对立事件,所以P(D)=1-P(C)=1-0.8=0.2. 解: 易错、易混、易漏 ⊙正难则反求互斥事件的概率 例题:某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安 排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数 据,如下表所示. 已知这 100 位顾客中一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. 一次购物量 1 至 4 件 5 至 8 件 9 至 12 件 13 至 16 件 17 件及以上 顾客数/人 x 30 25 y 10 结算时间/ (分钟/人) 1 1.5 2 2.5 3 (1)确定 x,y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均 值; (2) 求一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概 率.(将频率视为概率) 思维点拨:若某一事件包含的基本事件多,而它的对立事 件包含的基本事件少,则可用“正难则反”思想求解. 正解:(1)由已知,得 25+y+10=55,x+30=45, 所以 x=15,y=20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收 集的 100 位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为 100 的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用 样本平均数估计,其估计值为: 1×15+1.5×30+2×25+2.5×20+3×10 100 =1.9(分钟). (2)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分 钟”, A1,A2 分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为 2.5 分钟”,“该顾客一次购物的结算时间为 3 分钟”,将频率视 【规律方法】(1)要准确理解题意,善于从图表信息中提炼 数据关系,明确数字的特征含义. (2)正确判定事件间的关系,善于将 A 转化为互斥事件的和 或对立事件,切忌盲目代入概率加法公式. 【失误与防范】(1)对统计表的信息不理解,错求 x,y,难 以用样本平均数估计总体. (2)不能正确地把事件 A 转化为几个互斥事件的和或对立事 件,导致计算错误. 第4讲 古典概型 1.理解古典概型及其概率计算公式. 2.会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率. 1.基本事件的特点 (1)任何两个基本事件是互斥的. (2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和. 2.古典概型 具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型,简称古 典概型: (1)试验中所有可能出现的基本事件有有限个; (2)每个基本事件出现的可能性相等. 3.古典概型的概率公式 P(A)= A 包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 1.(2016 年新课标Ⅲ)小敏打开计算机时,忘记了开机密码 的前两位,只记得第一位是 M,I,N 中的一个字母,第二位是 1,2,3,4,5 中的一个数字,则小敏输入一次密码能够成功开机的 概率是( ) A. 8 15 B. 1 8 C. 1 15 D. 1 30 C 答案:D 3.(2018 年新课标Ⅱ)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务,则选中的 2 人都是女同学的概率为( ) A.0.6 B.0.5 C.0.4 D.0.3 4.(2014 年新课标Ⅰ)将 2 本不同的数学书和 1 本语文书在 书架上随机排成一行,则 2 本数学书相邻的概率为_____. D 考点 1 简单的古典概型 答案:C (2)(2016 年新课标Ⅰ)为美化环境,从红、黄、白、紫 4 种 颜色的花中任选 2 种花种在一个花坛中,余下的 2 种花种在另 一个花坛中,则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( ) A. 1 3 B. 1 2 C. 2 3 D. 5 6 解析:从 4 种颜色的花中任选 2 种种在一个花坛中,余下 2 种种在另一个花坛,有[(红黄),(白紫)],[(白紫),(红黄)],[(红 白),(黄紫)],[(黄紫),(红白)],[(红紫),(黄白)],[(黄白),(红 紫)],共 6 种种法,其中红色和紫色不在一个花坛的种法有[(红 黄),(白紫)],[(白紫),(红黄)],[(红白),(黄紫)],[(黄紫),(红 答案:C (3)(2015 年新课标Ⅰ)如果 3 个正整数可作为一个直角三角 形三条边的边长,则称这 3 个数为一组勾股数,从 1,2,3,4,5 中 任取 3 个不同的数,则这 3 个数构成一组勾股数的概率为( ) A. 3 10 B. 1 5 C. 1 10 D. 1 20 解析:从 1,2,3,4,5 中任取 3 个不同的数共有 10 种不同的取 法,其中的勾股数只有 3,4,5,故 3 个数构成一组勾股数的取法 只有 1 种,故所求概率为 1 10 .故选 C. 答案:C 答案:C 【规律方法】本题考查的是古典概型,利用的公式是 P(A) 所有可能出现的实验结果数 n 必须是有限个;②出现的所有不 同的实验结果的可能性大小必须是相同的.解决这类问题的关 键是列举做到不重不漏. 考点 2 掷骰子模型的应用 例 2:若以连续掷两次骰子分别得到的点数 m,n 作为点 P 的坐标: (1)则点P落在直线x+y-7=0上的概率为________; (2)则点P落在圆x2+y2=25外的概率为________; (3)则点P落在圆x2+y2=25内的概率为________; (4)若点P落在圆x2+y2=r2(r>0)内是必然事件,则r的范围是________; (5)若点P落在圆x2+y2=r2(r>0)内是不可能事件,则r的范围是________; (6)事件“|m-n|=2”的概率为________. 解析:掷两次骰子,点数的可能情况有: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6), (2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6), (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6), (4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6), (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6), 此问题中含有 36 个等可能基本事件. (1)由点 P 落在直线 x+y-7=0 上,得 m+n=7, 有(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(6,1)共 6 种,概率为 (2)点P落在圆x2+y2=25外?m2+n2>25. 有(1,5),(1,6),(2,5),(2,6),(3,5),(3,6),(4,4),(4,5),(4,6), (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4), (6,5),(6,6),概率为 p= (3)点P落在圆x2+y2=25内?m2+n2<25. 有(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1), (3,2),(3,3),(4,1),(4,2),概率为 p= 13 36 . (6)事件“|m-n|=2”有(1,3),(2,4),(3,1),(3,5),(4,2), (5,3),(6,4),共 8 种, 【互动探究】 C 1.随机投掷两枚质地均匀的骰子,它们向上的点数之和不 超过 5 的概率为 p1,点数之和大于 5 的概率为 p2,点数之和为 ) 偶数的概率为 p3,则( A.p1|AC|的概率为( ) 解析:M 为斜边 AB 上任一点,结果应该 为斜边 AB 上的长度比.如图 D95, 取 AD=AC,∠A=30°,欲使|AM|>|AC|, 点 M 必须在线段 BD 内,其概率为 图 D95 答案:C 8-4 1 (5)在长为 12 cm 的线段 AB 上任取一点 C,以线段 AC,BC 为邻边作矩形,则该矩形的面积大于 32 cm2 的概率为________. 解析:设 AC=x,则 BC=12-x,矩形的面积为 S=AC× BC=x(12-x)=12x-x2. ∵12x-x2>32,∴4|AC|的概率为( ) 解析:“过直角顶点 C 作射线 CM 交线段 AB 于点 M”, CM 在直角内等可能,结果应该为角度的比.如图 D96,取 AD =AC,∠A=30°,此时∠ACD=75°,欲使|AM|>|AC|,CM 必须在∠BCD 内,其概率为 答案:B 图 D96 (2)如图9-5-6,在△ABC中,∠B=60°,∠C=45°,高AD = ,在∠BAC 内作射线 AM 交 BC 于点 M,则 BM<1 的概率 为________. 图 9-5-6 答案: 2 5 【规律方法】与角度有关的几何概型的求法:当涉及射线 的转动,扇形中有关落点区域问题时,应以角的大小作为区域 度量来计算概率,且不可用线段的长度代替,这是两种不同的 度量手段. 难点突破 ⊙与线性规划有关的几何概型 例题:节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两 串彩灯的第一次闪亮相互独立,且都在通电后的4秒内任一时刻等可能发生,然后每串彩灯以4秒为间隔闪亮.那么这两串彩灯同时通电后,它们第一次闪亮的时刻相差不超过2秒的概率是(  ) 解析:设两串彩灯同时通电后,第一次 闪亮的时刻分别为 x,y,则 0≤x≤4,0≤y≤4, 而事件 A“它们第一次闪亮的时刻相差不超 过 2 秒”,即|x-y|≤2,可行域为如图 9-5-7 所示的阴影部分. 图 9-5-7 由几何概型概率公式,得 P(A)= 答案:C 【规律方法】将随机事件转化为面积之比时,要注意哪部 分代表总的基本事件表示的区域,哪部分是所求事件所表示的 区域. 【互动探究】 1.(人教版教材必修3P137?例2改编)某校早上8:00 开始上课, 假设该校学生小张与小王在早上 7:30~7:50 之间到校,且每 人在该时间段的任何时刻到校是等可能的,则小张比小王至少 早 5 分钟到校的概率为___________.(用数字作答) 解析:如图 D97,用 x 表示小张到校的 时间,30≤x≤50,用 y 表示小王到校的时间, 30≤y≤50,则所有可能的结果对应平面直角 坐标系的正方形 ABCD 区域.小张比小王至少 早 5 分钟到校,即 y-x≥5.所对应的区域为 △DEF. 图 D97 A.p10,称 P(B|A)= 为事件 A 发生的条件下,事件 B 发生的概率. (2)条件概率的求法: 求条件概率除了可借助定义中的公式,还可以借助古典概 型概率公式,即 P(B|A)= n(AB) . n(A) (3)条件概率的性质: ①条件概率具有一般概率的性质,即____≤P(B|A)≤____; ②若 B 和 C 是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)=P(B|A)+ P(C|A). 3.事件的相互独立性 (1)设 A,B 为两个事件,若 P(AB)=__________,则称事件 A 与事件 B 相互独立. 0 1 P(A)P(B) 4.离散型随机变量的分布列 称为离散型随机变量 X 的概率分布列,简称为 X 的分布列. 有时为了表达简单,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表 示 X 的分布列. 一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2,…,xi,…,xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,则表 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 5.离散型随机变量分布列的性质 (1)pi≥0(i=1,2,…,n).(2)p1+p2+…+pn=1. 6.常见的离散型随机变量的分布列 (1)两点分布: 如果随机变量 X 的分布列为: 其中 0400,故应该对余下的产品作检验. 【规律方法】(1)判断一个随机变量是否服从二项分布,关 键有两点:一是对立性,即一次试验中,事件发生与否必居其 一;二是重复性,即试验是否独立重复进行了n 次. (2)二项分布满足的条件: ①每次试验中,事件发生的概率是相同的; ②各次试验中的事件是相互独立的; ③每次试验只有两种结果:事件要么发生,要么不发生; ④随机变量是这 n 次独立重复试验中事件发生的次数. 【互动探究】 3.自 2016 年底,共享单车日渐火爆起来,逐渐融入大家的 日常生活中,某市针对 18 岁到 80 岁之间的不同年龄段的城市 市民使用共享单车情况进行了抽样调查,结果如下表所示: 年龄 男性 女性 合计 [18,25) 180 40 220 [25,35) 360 240 600 [35,50) 40 100 140 [50,80) 20 20 40 (1)采用分层抽样的方式从年龄在[25,35)内的人中抽取 10 人,求其中男性、女性的使用人数各为多少? (2)在(1)中选出的 10 人中随机抽取 4 人,求其中恰有 2 人 是女性的概率; (3)用样本估计总体,在全市 18 岁到 80 岁的市民中抽 4 人, 其中男性使用的人数记为ξ,求ξ的分布列. 思想与方法 ⊙分类讨论思想与离散型随机变量的结合 例题:(2014 年福建)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖 的方式对 1000 位顾客进行奖励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所标的面 值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其 余 3 个均为 10 元,求: ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率; ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望. (2)商场对奖励总额的预算是 60 000 元,并规定袋中的 4 个 球只能由标有面值为 10 元和 50 元的两种球组成,或标有面值 为 20 元和 40 元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡,请对袋 中的 4 个球的面值给出一个合适的设计,并说明理由. 解:(1)设顾客所获的奖励额为 X. 所以顾客所获的奖励额的期望为 E(X)=20×0.5+60×0.5 =40. 即 X 的分布列为: X 20 60 P 0.5 0.5 (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元. 所以先寻找期望为 60 元的可能方案. 对于面值由10元和50元组成的情况,如果选择(10,10,10,50) 的方案,因为 60 元是面值之和的最大值,所以期望不可能为 60 元;如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的 最小值,所以期望也不可能为60元,因此可能的方案是(10,10, 50,50),记为方案 1; 对于面值由 20 元和 40 元组成的情况,同理可排除(20,20, 20,40)和(40,40,40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40), 记为方案 2. 以下是对两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50),设顾客所获的奖励额为 X1,则X1的分布列为: 对于方案 2,即方案(20,20,40,40),设顾客所获的奖励额为 X2,则X2的分布列为: 因为两种方案的奖励额的期望都符合要求,但方案 2 奖励 额的方差比方案 1 的小,所以应该选择方案 2. 【规律方法】本题主要考查相互独立事件及互斥事件概率 的计算,考查分类讨论思想以及运用数学知识解决问题的能力. 尤其是运用分类讨论思想解决离散型随机变量分布列问题的时 候,可通过检查最后求出的分布列是否符合分布列的两个性质 来检查分类讨论是否有所遗漏或重复. 【互动探究】 4.十九大提出,加快水污染防治,建设美丽中国.根据环保 部门对某河流的每年污水排放量 X(单位:吨)的历史统计数据, 得到如下频率分布表: 将污水排放量落入各组的频率作为概率,并假设每年该河 流的污水排放量相互独立. (1)求在未来 3 年里,至多 1 年污水排放量 X∈[270,310)的 概率; 污水量 [230,250) [250,270) [270,290) [290,310) [310,330) [330,350) 频率 0.3 0.44 0.15 0.1 0.005 0.005 (2)该河流的污水排放对沿河的经济影响如下:当 X ∈ [230,270)时,没有影响;当 X∈[270,310)时,经济损失为 10 万 元;当 X∈[310,350)时,经济损失为 60 万元.为减少损失,现有 三种应对方案: 方案一:防治 350 吨的污水排放,每年需要防治费 3.8 万 元; 方案二:防治 310 吨的污水排放,每年需要防治费 2 万元; 方案三:不采取措施. 试比较上述三种文案,哪种方案好,并请说明理由. ∴在未来 3 年里,至多 1 年污水排放量 X∈[270,310)的概 率为 27 32 . (2)方案二好,理由如下:由题意得 P(230≤X<270)=0.74, P(310≤X<350)=0.01. 用S1,S2,S3分别表示方案一、方案二、方案三的经济损 失.则 S1=3.8 万元. S2 的分布列为: E(S2)=2×0.99+62×0.01=2.6(万元). S3 的分布列为: E(S3)=0×0.74+10×0.25+60×0.01=3.1(万元). 所以三种方案中方案二的平均损失最小,故采取方案二 最好. S3 0 10 60 P 0.74 0.25 0.01 S2 2 62 P 0.99 0.01 第7讲 离散型随机变量的均值与方差 理解取有限个值的离散型随机变量均值、方差的概念, 能计算简单离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些简单 问题. 1.离散型随机变量的均值和方差 一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为: 则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 2.均值和方差的性质 aE(X)+b p np 设 a,b 是常数,随机变量 X,Y 满足 Y=aX+b, 则 E(Y)=E(aX+b)=____________, D(Y)=D(aX+b)=a2D(X). 3.两点分布及二项分布的均值和方差 (1)若 X 服从两点分布,则 E(X)=________,D(X)=p(1-p). (2)若 X~B(n,p),则 E(X)=________,D(X)=np(1-p). 1.已知ξ的分布列为 D 则 E(ξ)=( ) A.0 B.0.2 C.-1 D.-0.3 ξ -1 0 1 P 0.5 0.3 0.2 2.已知随机变量ξ的分布列是: B 则 D(ξ)=( ) A.0.6 B.0.8 C.1 D.1.2 解析:E(ξ)=1×0.4 +2×0.2+3×0.4 =2 ,则 D(ξ)=(1- 2)2×0.4+(2-2)2×0.2+(3-2)2×0.4=0.8. ξ 1 2 3 P 0.4 0.2 0.4 4.(2017 年新课标Ⅱ)一批产品的二等品率为 0.02,从这批 产品中每次随机取一件,有放回地抽取 100 次,X 表示抽到的 二等品件数,则 D(X)=______. 1.96 解析:由题意可得,抽到二等品的件数符合二项分布,即 X~B(100,0.02), 由二项分布的期望方差公式,可得D(X)=np(1-p)= 100×0.02×0.98=1.96. 考点 1 离散型随机变量的期望与方差 例 1:2018 年 2 月 22 日,在韩国平昌冬奥会短道速滑男子 500 米比赛中,中国选手武大靖以连续打破世界纪录的优异表 现,为中国代表队夺得了本届冬奥会的首枚金牌,也创造中国 男子冰上竞速项目在冬奥会金牌零的突破.根据短道速滑男子 500 米的比赛规则,运动员自出发点出发进入滑行阶段后,每 滑行一圈都要经过 4 个直道与弯道的交接口 Ak(k=1,2,3,4).已知 在用 X 表示该运动员在滑行最后一圈时在这一圈后已经顺利通 过的交接口数. (1)求该运动员停止滑行时恰好已顺利通过 3 个交接口的概率; (2)求 X 的分布列及数学期望 E(X). 图 9-7-1 【规律方法】(1)一般地,若离散型随机变量 X 的分布列为: 则称E(X)=x1 p1+x2 p2+…+xi pi+…+xn pn为随机变量X的 均值或数学期望.它反映了离散型随机变量取值的平均水平. (2)求数学期望(均值)的关键是求出其分布列.若已知离散型 分布列,可直接套用公式E(X)=x1 p1+x2 p2+…+xi pi+…+xn pn 求其均值.随机变量的均值是一个常数,它不依赖于样本的抽 取,只要找准随机变量及相应的概率即可计算. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 【互动探究】 1.《中国好声音(The Voice of China)》是由浙江卫视联合星 空传媒旗下灿星制作强力打造的大型励志专业音乐评论节目. 每期节目有四位导师参加.导师背对歌手,当每位参赛选手演唱 完之前有导师为其转身,则该选手可以选择加入为其转身的导 师的团队中接受指导训练.已知某期《中国好声音》中,6 位选 手演唱完后,四位导师为其转身的情况如下表所示: 现从这 6 位选手中随机抽取两人考查他们演唱完后导师的 转身情况. (1)求选出的两人导师为其转身的人数和为 4 的概率; (2)记选出的 2 人导师为其转身的人数之和为 X,求 X 的分 布列及数学期望 E(X). 导师转身人数/人 4 3 2 1 获得相应导师转身 的选手人数/人 1 2 2 1 解:(1)设 6 位选手中,A 有 4 位导师为其转身,B,C 有 3 位导师为其转身,D,E 有 2 位导师为其转身,F 只有 1 位导师 为其转身. 考点 2 超几何分布的期望和方差 例 2:(2018 年天津)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员 工人数分别为 24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取 7 人, 进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的 7 人中有 4 人睡眠不足,3 人睡眠充足,现从 这 7 人中随机抽取 3 人做进一步的身体检查. ①用 X 表示抽取的 3 人中睡眠不足的员工人数,求随机变 量 X 的分布列与数学期望; ②设 A 为事件“抽取的 3 人中,既有睡眠充足的员工,也 有睡眠不足的员工”,求事件 A 发生的概率. 解:(1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为 3∶ 2∶2,由于采用分层抽样的方法从中抽取 7 人,因此应从甲、 乙、丙三个部门的员工中分别抽取 3 人,2 人,2 人. (2)①随机变量 X 的所有可能取值为 0,1,2,3. 所以随机变量 X 的分布列为: 【互动探究】 2.某高校在自主招生期间,把高三学生的平时成绩按“百 分制”进行折算,选出前 n 名学生,并对这 n 名学生按成绩分 组,第一组[75,80) ,第二组[80,85) ,第三组[85,90) ,第四组 [90,95),第五组[95,100],图 9-7-2 为频率分布直方图的一部分, 其中第五组、第一组、第四组、第二组、第三组的人数依次成 等差数列,且第四组的学生人数为 60,第五组对应的小长方形 的高为 0.02. 图 9-7-2 (1)请在图中补全频率分布直方图; (2)若该大学决定在成绩较高的第三、四、五组学生中用分 层抽样的方法抽取 6 名学生进行面试,并且在这 6 名学生中随 机抽取 3 名学生接受考官 B 的面试,设第三组有ξ名学生被考官 B 面试,求ξ的分布列和数学期望. 解:(1)因为第四组的学生人数为 60,且第五组、第一组、 第四组、第二组、第三组的学生人数依次成等差数列,所以总 人数为 n=5×60=300. 由频率分布直方图可知,第五组的学生人数为 0.02×5× 300=30,又公差为 60-30 2 =15, 所以第一组的学生人数为 45,第二组的学生人数为 75,第 三组的学生人数为 90. 补全频率分布直方图如图 D99: 图 D99 因此ξ的分布列为: 考点 3 二项分布的期望和方差 例 3:生蚝即牡蛎(oyster)是所有食物中含锌最丰富的,在 亚热带、热带沿海都适宜生蚝的养殖,我国分布很广,北起鸭 绿江,南至海南岛,沿海皆可产生蚝,生蚝乃软体有壳,依附 寄生的动物,咸淡水交界所产尤为肥美,因此生蚝成为了一年 四季不可或缺的一类美食,某饭店从某水产养殖厂购进一批生 蚝,并随机抽取了 40 只统计质量,得到结果如下表所示: 质量/g [5,15) [15,25) [25,35) [35,45) [45,55] 数量 6 10 12 8 4 (1)若购进这批生蚝 500 kg,且同一组数据用该组区间的中 点值代表,试估计这批生蚝的数量(所得结果保留整数); (2)以频率估计概率,若在本次购买的生蚝中随机挑选 4 个, 记质量在[5,25)间的生蚝的个数为 X,求 X 的分布列及数学期望. 解:(1)由表中的数据可以估算每只生蚝的质量为: 所以 X 的分布列为: 【规律方法】(1)求随机变量ξ的期望与方差时,可首先分析 ξ是否服从二项分布,如果ξ~B(n,p),那么用公式 E(ξ)=np, D(ξ)=np(1-p)求解,可大大减少计算量. (2)有些随机变量虽不服从二项分布,但与之具有线性关系 的另一随机变量服从二项分布,这时,可以综合应用 E(aξ+b) =aE(ξ)+b 以及 E(ξ)=np 求出 E(aξ+b),同样还可求出D(aξ+ b). 【互动探究】 3.某水泥厂销售工作人员根据以往该厂的销售情况,绘制 了该厂日销售量的频率分布直方图,如图 9-7-3: 图 9-7-3 将日销售量落入各组的频率视为概率,并假设每天的销售 量相互独立. (1)求未来 3 天内,连续 2 天日销售量不低于 8 吨,另一天 日销售量低于 8 吨的概率; (2)用 X 表示未来 3 天内日销售量不低于 8 吨的天数,求随 机变量 X 的分布列及数学期望. 解:(1)由频率分布直方图可知,日销售量不低于 8 吨的频 率为: 2×(0.125+0.075)=0.4, 记未来 3 天内,第 i 天日销售量不低于 8 吨为事件 Ai(i= 1,2,3),则 P(Ai)=0.4. 未来 3 天内,连续 2 天日销售不低于 8 吨,另一天日销量 (2)由(1)知,第i天日销售量不低于8吨的概率P(Ai)=0.4, X 的可能取值为 0,1,2,3,且 X~B(3,0.4), P(X=0)=(1-0.4)3=0.216; P(X=3)=0.43=0.064. 所以 X 的分布列为: E(X)=3×0.4=1.2. X 0 1 2 3 P 0.216 0.432 0.288 0.064 思想与方法 ⊙利用分类讨论思想求数学期望 例题:(2014 年湖北)计划在某水库建一座至多安装 3 台发 电机的水电站,过去 50 年的水文资料显示,水的年入流量 X(年 入流量:一年内上游来水与库区降水之和,单位:亿立方米) 都在 40 以上,其中,不足 80 的年份有 10 年,不低于 80 且不 超过 120 的年份有 35 年,超过 120 的年份有 5 年,将年入流量 在以上三段的频率作为相应段的概率,并假设各年的年入流量 相互独立. (1)求在未来 4 年中,至多有 1 年的年入流量超过 120 的 概率; (2)水电站希望安装的发电机尽可能运行,但每年发电机最 多可运行台数受年入流量 X 限制,并有如下关系: 若某台发电机运行,则该台年利润为 5000 万元;若某台发 电机未运行,则该台年亏损 800 万元,欲使水电站年总利润的 均值达到最大,应安装发电机多少台? 年入流量 X 40120 发电机最多可运行台数 1 2 3 (2)记水电站年总利润为 Y 万元. ①安装 1 台发电机的情形. 由于水库年入流量总大于 40,故 1 台发电机运行的概率为 1,对应的年利润 Y=5000,E(Y)=5000×1=5000; ②安装 2 台发电机的情形. 依题意,当 40120时,3台发电机运行,此时Y=5000×3=15 000,因此P(Y=15 000)=P(X>120)=p3=0.1. Y 4200 10 000 P 0.2 0.8 由此得 Y 的分布列如下: 所以 E(Y)=3400×0.2+9200×0.7+15 000×0.1=8620. 综上所述,欲使水电站年总利润的均值达到最大,应安装 发电机 2 台. 【规律方法】本题考查学生在不同背景下迁移知识的能力, 关键在于如何迅速、准确将信息提取、加工,构建数学模型, 化归为数学期望问题. Y 3400 9200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 【互动探究】 4.某保险公司对一个拥有 20 000 人的企业推出一款意外险 产品,每年每位职工只要交少量保费,发生意外后可一次性获 得若干赔偿金,保险公司把企业的所有岗位共分为 A,B,C 三 类工种,从事这三类工种的人数分别为 12 000,6000,2000,由历 史数据统计出三类工种的赔付频率如下表(并以此估计赔付概 率): 已知 A,B,C 三类工种职工每人每年保费分别为 25 元、 25 元、40 元,出险后的赔偿金额分别为 100 万元、100 万元、 50 万元,保险公司在开展此项业务过程中的固定支出为每年 10 万元. (1)求保险公司在该业务所获利润的期望值; (2)现有如下两个方案供企业选择: 方案 1:企业不与保险公司合作,职工不交保险,出意外 企业自行拿出与保险公司提供的等额赔偿金赔偿付给意外职 工,企业开展这项工作的固定支出为每年 12 万元; 方案 2:企业与保险公司合作,企业负责职工保费的 70%, 职工个人负责保费的 30%,出险后赔偿金由保险公司赔付,企 业无额外专项开支. 请根据企业成本差异给出选择合适方案的建议. 解:(1)设工种 A,B,C 职工的每份保单保险公司的收益为 随机变量 X,Y,Z,则 X,Y,Z 的分布列为: 保险公司的期望收益为: 则保险公司的利润的期望值为 12 000×E(X)+6000×E(Y) +2000×E(Z)-100 000=90 000, 故保险公司在该业务所获利润的期望值为 9 万元. (2)方案 1,企业不与保险公司合作,则企业每年安全支出 与固定开支共为: 方案 2,企业与保险公司合作,则企业支出保险金额为: (12 000×25+6000×25+2000×40)×0.7=37.1×104, 46×104>37.1×104,故建议企业选择方案2. 第8讲 正态分布 利用实际问题的直方图,了解正态分布曲线的特点及曲线 所表示的意义. 1.正态分布 的图象为正态分布密度曲线,简称正态曲线. 2.正态曲线的特点 (1)曲线位于 x 轴上方,与 x 轴不相交. (2)曲线是单峰的,关于直线________对称. (4)曲线与 x 轴之间的面积为______. (5)当σ一定时,曲线随μ的变化沿 x 轴平移. (6)当μ一定时,曲线形状由σ确定:σ越大,曲线越“矮胖”, 表示总体分布越分散;σ越______,曲线越“高瘦”,表示总体 分布越集中. x=μ 1 小 3.3σ原则 (1)P(μ-σ2)=0.023, 则 P(-2≤ξ≤2)=( ) A.0.477 B.0.628 D.0.977 4.已知随机变量 X 服从正态分布 N(a,4),且 P(X>1)=0.5, 则实数 a 的值为( ) A.1 B. C.2 D.4 C A C.0.954 考点 1 正态分布的相关计算 例 1:(1)(2015 年山东)已知某批零件的长度误差(单位:毫 米)服从正态分布 N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区 间(3,6)内的概率为( ) (附:若随机变量ξ服从正态分布 N(μ,σ2),则 P(μ-σ<ξ< μ+σ)=68.27%,P(μ-2σ<ξ<μ+2σ)=95.45%) A.4.56% C.27.18% B.13.59% D.31.74% 答案:B (2)已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,σ2),且 P(X<4)=0.8, ) 则 P(090)= 2 =0.15. 答案:D (4)在如图 9-8-1 所示的正方形中随机投掷 10 000 个点,则 落入由曲线 C(曲线 C 为正态分布 N(2,1)的密度曲线)与直线 x =0,x=1 及 y=0 围成的封闭区域内点的个数的估计值为( ) (附:若 X~N(μ,σ2),则 P(μ-σσ2 C.μ1>μ2,σ1<σ2    D.μ1>μ2,σ1>σ2 解析:因为正态曲线的图象关于直线 x=μ对称,由图知 μ1<μ2. 又σ2 越大,即方差越大,说明样本数据越发散,图象越矮 胖;反之,σ2 越小,即方差越小,说明样本数据越集中,图象 越瘦高. 答案:A (2)(2017 年江西南昌二模)已知随机变量ξ 服从正态分布 N(μ,σ2),若P(ξ<2)=P(ξ>6)=0.15,则P(2≤ξ<4)=(  ) A.0.3 B.0.35 C.0.5 D.0.7 解析:由题意,可得 P(2≤ξ<4)= 1-0.15×2 2 =0.35.故选 B. 答案:B 【规律方法】正态曲线的性质. ①曲线在 x 轴的上方,与 x 轴不相交. ②曲线是单峰的,它关于直线 x=μ对称. ③曲线在 x=μ处达到峰值 ④曲线与 x 轴之间的面积为 1. ⑤当σ一定时,曲线随着μ的变化而沿 x 轴平移,如图 9-8-3(1). (1) (2) 图 9-8-3 ⑥当μ 一定时,曲线的形状由σ 确定.σ 越大,曲线越“矮 胖”,总体分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,总体分布越 集中.如图 9-8-3(2). 易错、易混、易漏 ⊙与正态分布结合的综合问题 例题:(2017 年新课标Ⅰ)为了监控某种零件的一条生产线 的生产过程,检验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件,并 测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验,可以认为这条生产 线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布 N(μ,σ2). (1)假设生产状态正常,记 X 表示一天内抽取的 16 个零件 中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件数,求 P(X≥1)及 X 的数 学期望; (2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ) 之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现 了异常情况,需对当天的生产过程进行检查. ①试说明上述监控生产过程方法的合理性; ②下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸: 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95 解:(1)抽取的一个零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之内的概 率为 0.9973,从而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率为 0.0027,故 X~B(16,0.0027). 因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997316≈0.0423. X 的数学期望为 E(X)=16×0.0027=0.0432. (2)①如果生产状态正常,一个零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ) 之外的概率只有 0.0027,一天内抽取的 16 个零件中,出现尺寸 在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有 0.0423,发生的概率很 小.因此一旦发生这种情况,就有理由认为这条生产线在这一天 的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检 查,可见上述监控生产过程的方法是合理的. 【规律方法】正态分布的特点可结合图象记忆,并可根据μ 和σ的不同取值得到不同的图象,特别地,当μ=0 时,图象关 于 y 轴对称. 第9讲 随机抽样 1.理解随机抽样的必要性和重要性. 2.会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;了解分层抽样和系统抽样方法. 1.简单随机抽样 抽签法 (1)定义:设一个总体含有 N 个个体,从中逐个不放回地抽 取 n 个个体作为样本(n≤N),如果每次抽取时总体内的各个个 体被抽到的机会都相等,就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. (2)最常用的简单随机抽样的方法:________和随机数法. 2.系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本. (1)编号:先将总体的 N 个个体编号; (3)确定首个个体:在第 1 段用简单随机抽样确定第 1 个个 体编号 l(l≤k); (4)获取样本:按照一定的规则抽取样本,通常是将 l 加上 间隔 k 得到第 2 个个体编号 l+k,再加 k 得到第 3 个个体编号 ________,依次进行下去,直到获取整个样本. l+2k 3.分层抽样 (1)定义:在抽样时,将总体分成互不交叉的层,然后按照 一定的比例,从各层独立地抽取一定数量的个体,将各层取出 的个体合在一起作为样本,这种抽样方法叫做分层抽样; (2)分层抽样的应用范围:当总体是由差异明显的几个部分 组成时,往往选用分层抽样. 1.(2018 年山西大同一中月考)用简单随机抽样的方法从含 有 10 个个体的总体中,抽取一个容量为 3 的样本,其中某一个 体 a“第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到”的可能性 分别是( ) A 2.(由人教版必修 3P100-1改编)在“世界读书日”前夕,为了 解某地 5000 名居民某天的阅读时间,从中抽取了 200 名居民的 阅读时间进行统计分析.在这个问题中,5000 名居民的阅读时间 的全体是( ) A A.总体 B.个体 C.样本的容量 D.从总体中抽取的一个样本 3.对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本,当选取简 单随机抽样、系统抽样和分层抽样三种不同方法抽取样本时, 总体中每个个体被抽中的概率分别为p1,p2,p3,则( ) A.p1=p2z 的有 (151,149),(152,148),(153,147),(154,146),(155,145),共 5 组. 所以丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多的概率 【互动探究】 (2017 年广西南宁一模)某购物中心为了了解顾客使用新推 出的某购物卡的顾客的年龄分布情况,随机调查了 100 位到购 物中心购物的顾客年龄,并整理后画出频率分布直方图如图 9-9-2,年龄落在区间[55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为 4∶2∶1. (1)求顾客年龄值落在区间[75,85]内的频率; (2)拟利用分层抽样从年龄在[55,65),[65,75)的顾客中选取 6 人召开一个座谈会,现从这 6 人中选出 2 人,求这两人在不 同年龄组的概率. 图 9-9-2 第10讲 用样本估计总体 1.了解分布的意义和作用,会列频率分布表,会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图,理解它们各自的特点. 2.理解样本数据标准差的意义和作用,会计算数据标准差. 3.能从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差),并给出合理的解释. 4.会用样本的频率分布估计总体分布,会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征,理解用样本估计总体的思想. 5.会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题. 1.用样本估计总体 通常我们对总体作出的估计一般分成两种:一种是用样本 的频率分布估计总体的分布;另一种是用样本的数字特征估计 总体的数字特征. 2.统计图 (1)频率分布直方图. ①求极差:极差是一组数据的最大值与最小值的差. ②决定组距和组数:当样本容量不超过 100 时,常分成 5~ 12 组,组距=________; ③将数据分组:通常对组内数值所在区间取左闭右开区间, 最后一组取闭区间,也可以将样本数据多取一位小数分组. ④列频率分布表:登记频数,计算频率,列出频率分布表. 将样本数据分成若干个小组,每个小组内的样本个数称作 频数,频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率.频率反映各 个数据在每组所占比例的大小. ⑤绘制频率分布直方图:把横轴分成若干段,每一段对应 一个组距,然后以线段为底作一小长方形,它的?

  • ID:3-5968296 2020年高考数学一轮复习第二章函数、导数及其应用(第1-9讲)课件理

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    第二章 函数、导数及其应用 第1讲 函数与映射的概念 1.了解构成函数的要素. 2.会求一些简单函数的定义域和值域. 3.了解映射的概念. 4.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,且a≠1). 映射的 定义 设A,B是两个非空集合,如果按照某种对应关系 f,对于集合A中的任意元素,在集合B中都有唯一确定的元素与之对应 ,那么这样的对应关系叫做从集合A到集合B的映射,通常记为 f :A→B 函数的 概念 函数的 定义 设A,B是两个非空的数集,如果按照某种确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,通常记为y=f(x),x∈A 定义域 x的取值范围A 函数的 三个要素 值域 函数值的集合{f(x)|x∈A} 对应关系f 1.下列函数中,与函数 y=x 相同的是( A.[0,+∞) B.(-∞,0] C.(0,+∞) D.(-∞,0) ) B B 3.已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定 义域为( ) B 4.函数f(x)=2x的反函数y=f -1(x)的图象为( ) A A C B D 考点1 有关映射与函数的概念 例1:(1)(2018 年甘肃武威调研)下列四个对应中,哪个对 应不是从 A 到 B 的映射?( ) A.设 A={矩形},B={实数},对应关系 f:矩形和它的面 积对应 B.A=R,B={0,1},对应关系 f:x→y= 1,(x≥0) 0,(x<0) C.A=N,B=N*,对应关系 f:x→|x-1|. D.A={x||x|≥3,x∈N},B={a|a≥0,a∈Z},f:x→a= x2-2x+4 解析:x=1∈A,x→|x-1|=0 B,即对集合 A 中元素 1, 在集合 B 中没有元素与之对应.故选 C. 答案:C (2)下列四个图象中,是函数图象的是( ) A.① C.①②③ B.①③④ D.③④ 解析:由每一个自变量 x 对应唯一一个 f(x)可知②不是函数 图象,①③④是函数图象.故选 B. 答案:B (3)(2015 年浙江)存在函数 f(x),满足对任意 x∈R 都有( ) A.f(sin 2x)=sin x C.f(x2+1)=|x+1| B.f(sin 2x)=x2+x D.f(x2+2x)=|x+1| 答案:D 【规律方法】理解映射的概念,应注意以下几点: ①集合 A,B 及对应法则 f 是确定的,是一个整体系统; ②对应法则有“方向性”,即强调从集合A 到集合B 的对 应,它与从集合 B 到集合A 的对应关系一般是不同的; ③集合A 中每一个元素在集合B 中都有象,并且象是唯一 的,这是映射区别于一般对应的本质特征; ④集合A 中不同的元素在集合B 中对应的象可以是同一 个; ⑤不要求集合B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象. 【互动探究】 1.已知函数 f(x),g(x)分别由下表给出: 1 则 f[g(1)]的值为_____; 满足 f[g(x)]>g[f(x)]的 x 的值为_____. 2 x 1 2 3 f(x) 1 3 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 2.已知映射 f:A→B,其中 A=B=R,对应关系 f:x→y= -x2+2x,对于实数 k∈B,且在集合 A 中没有元素与之对应, A 则 k 的取值范围是( A.k>1 B.k≥1 ) C.k<1 D.k≤1 解析:y=-(x-1)2+1≤1,若 k∈B,且在集合 A 中没有 元素与之对应,则 k>1.故选 A. 考点2 求函数的定义域 考向1 具体函数的定义域 解析:要使函数 f(x)有意义,则 log2x-1≥0.解得 x≥2.即函 数 f(x)的定义域为[2,+∞). 答案:[2,+∞) 解析:要使函数有意义,必须 3-2x-x2≥0,即 x2+2x- 3≤0.解得-3≤x≤1. 答案:[-3,1] (3)若函数 f(x)= 1 x+1 ,则函数 y=f[f(x)]的定义域为 ______________________. 答案:{x|x∈R,x≠-1,且 x≠-2} 【规律方法】(1)求函数定义域的一般步骤: ①写出使得函数式有意义的不等式(组); ②解不等式(组); ③写出函数的定义域. (2)常见的一些具体函数的定义域: 有分母的保证分母不为零;有开偶次方根的要保证被开方 数为非负数;有对数函数的保证真数大于零,底数大于零,且 不等于1. 【互动探究】 C 解析:由题意,得 -x2-x+2≥0, x>0 且 ln x≠0, 解得 00, 0, x=0, -1,x<0. A.|x|=x|sgn x| C.|x|=|x|sgn x B.|x|=xsgn|x| D.|x|=xsgn x 解析:对于选项 A,右边=x|sgn x|= x,x≠0, 0,x=0, 而左边 =|x|= x,x≥0, -x,x<0, 显然不正确;对于选项 B,右边=xsgn|x| = x,x≠0, 0,x=0, 而左边=|x|= x,x≥0, -x,x<0, 显然不正确;对于 x,x>0, 选项 C,右边=|x|sgn x= 0,x=0, x,x<0, 而左边=|x|= x,x≥0, -x,x<0, 显然不正确 ; 对于选项 D , 右边 = xsgn x = x,x>0, 0,x=0, -x,x<0, 而左边=|x|= x,x≥0, -x,x<0, 显然正确.故选 D. 答案:D 考点1 求f(x)的函数值 例1:(1)(2014 年上海)设常数 a∈R,函数 f(x)=|x-1|+ |x2-a|.若 f(2)=1,则 f(1)=________. 解析:由题意,得 f(2)=1+|4-a|=1,解得 a=4.所以 f(1) =|1-1|+|1-4|=3. 答案:3 (2)设函数 f(x)=x3cos x+1.若 f(a)=11,则 f(-a)=________. 解析:f(a)=a3cos a+1=11,即 a3cos a=10,则 f(-a)= (-a)3cos(-a)+1=-a3cos a+1=-10+1=-9. 答案:-9 A.2 B.4 C.6 D.8 答案:C 【规律方法】第(1)小题由 f(2)=1 求出a,然后将x=1 代 入求出 f(1);第(2)小题函数 f(x)=x3cos x+1 为非奇非偶函数, 但 f(x)=x3cos x 为奇函数,可以将a3cos a 整体代入. 【互动探究】 无解 1.已知函数 f(x)=x2+2x+a,f(bx)=9x2-6x+2,其中 x∈R, a,b 为常数,则方程 f(ax+b)=0 的解为________. 解析:由题意知,f(bx)=b2x2+2bx+a=9x2-6x+2?a=2, b=-3.所以 f(2x-3)=4x2-8x+5=0,Δ<0,所以方程无解. 2.已知 a,b 为常数,若 f(x)=x2+4x+3,f(ax+b)=x2+10x +24,则 5a-b=_______. 2 解析:因为 f(x)=x2+4x+3, 所以 f(ax+b)=(ax+b)2 +4(ax+b)+3=a2x2 +(2ab+4a)x +(b2+4b+3). a2=1, 又 f(ax+b)=x2+10x+24,所以 2ab+4a=10, b2+4b+3=24. 解得 a=1, b=3, 或 a=-1, b=-7. 所以 5a-b=2. 考点2 求函数的解析式 例2:(1)已知 f(x+1)=x2-1,求 f(x)的表达式; (2)已知 f(x)是一次函数,且满足 3f(x+1)-2f(x-1)=2x+ 17,求 f(x)的表达式; (3)已知 f(x)+2f =2x+1,求 f(x)的表达式. 解:(1)方法一,f(x+1)=x2-1=(x+1)2-2x-2 =(x+1)2-2(x+1). 可令 t=x+1,则有 f(t)=t2-2t.故 f(x)=x2-2x. 方法二,令 x+1=t,则 x=t-1. 代入原式,有 f(t)=(t-1)2-1=t2-2t, ∴f(x)=x2-2x. (2)设 f(x)=ax+b(a≠0), 则 3f(x+1)-2f(x-1)=3ax+3a+3b-2ax+2a-2b =ax+5a+b, 即 ax+5a+b=2x+17 不论 x 为何值都成立. ∴ a=2, b+5a=17. 解得 a=2, b=7. ∴f(x)=2x+7. 【规律方法】本例中(1)题是换元法,注意换元后变量的取 值范围;(2)题是待定系数法,对于已知函数特征,如正、反比 例函数,一、二次函数等可用此法;(3)题是构造方程组法,通 过变量替换消去f ,从而求出 f(x)的表达式. 且 f(x)+g(x)= 3.已知 f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,它们有相同的定义域, 1 x-1 ,则( ) 【互动探究】 B 难点突破 ⊙对信息给予题的理解 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:①x-f(x)≥0,当0≤x<1 时,[x]=0,f(x)=2(1-x)≤x 当 1≤x<2 时,[x]=1,f(x)=x-1≤x 成立,所以 1≤x<2; 当 x=2 时,f(x)=1≤2 成立,所以 x=2. 因此定义域为 ; ②f(1)=0,f(0)=2,f(2)=1,∴1∈B; f(0)=2,f(2)=1,f(1)=0,∴0∈B; f(2)=1,f(1)=0,f(0)=2,∴2∈B. 因此 A=B; 答案:C 【互动探究】 5.(2017 年甘肃天水一中)德国著名数学家狄利克雷在数学 领域成就显著,以其名命名的函数称为狄利克雷函数:f(x)= 1,x 为有理数, 0,x 为无理数, 则关于函数 f(x)有以下四个命题: ①f[f(x)]=1;②函数 f(x)是偶函数;③任意一个非零有理数 T,f(x+T)=f(x)对任意 x∈R 恒成立;④存在三个点 A(x1,f(x1)), B(x2,f(x2)),C(x3,f(x3)),使得△ABC为等边三角形. 其中真命题的个数是( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 答案:A 第3讲 分段函数 1.在实际情境中,会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.了解简单的分段函数,并能简单应用. 分段函数 对于自变量 x 的不同的取值范围,有着不同的对应法则, 这样的函数称为分段函数.它是一个函数,而不是几个函数. C B A 考点1 分段函数与函数值 答案:A A.3 B.6 C.9 D.12 答案:C 【规律方法】(1)分段函数求值时,应先判断自变量在哪一 段内,再代入相应的解析式求解.若给定函数值求自变量,应根 据函数每一段的解析式分别求解,并注意检验该自变量的值是 否在允许值范围内,有时也可以先由函数值判断自变量的可能 取值范围,再列方程或不等式求解. (2)分段函数是一个函数,值域是各段函数取值范围的并集. (3)分段函数解不等式应分段求解. 考点2 分段函数与方程 2x+a,x<2, (2)已知函数 f(x)= a-x 无零点,那么实数 a 的 x≥2 取值范围是________. 解析:首先讨论有零点的情形 x<2,a=-2x,∴a∈(-4,0); x≥2,a-x=0,a=x≥2.所以函数无零点,实数 a 的取值范围 是(-∞,-4]∪[0,2). 答案:(-∞,-4]∪[0,2) 【规律方法】已知函数有零点求参数取值范围常用的方法 和思路. ①直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,通 过解不等式确定参数范围; ②分离参数法:将参数分离,转化成求函数值域问题加以 解决; ③数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系 中,画出函数的图象,再数形结合求解. 【互动探究】 1.(2017 年河南郑州模拟)已知函数 f(x)= 2x-a,x≤0, 2x-1,x>0 (a∈R),若函数 f(x)在 R 上有两个零点,则 a 的取值范围是( ) A.(-∞,-1) C.[-1,0) B.(-∞,-1] D.(0,1] 解析:因为当x>0时,f(x)=2x-1,由f(x)=0,得x= . 1 2 所以要使 f(x)在 R 上有两个零点,则必须 2x-a=0 在(-∞,0] 上有唯一实数解.又当 x∈(-∞,0]时,2x∈(0,1],且 y=2x 在 (-∞,0]上单调递增,故所求 a 的取值范围是(0,1].故选 D. 答案:D 考点3 分段函数与不等式 ,∴x<0.则-12x,∴x<1.则 x≤-1; 当-10,2x≤0, 由 f(x+1)0 时,x+1>0,2x>0,由 f(x+1)=1,f(2x)=1, f(x+1)0,a≠1,函数 f(x)= 在R上单调递增,则实数a的取值范围是________. 答案:2≤a≤5 【规律方法】分段函数单调性的判断:先判断每段的单调 性,若单调性相同,则需判断函数是连续的还是断开的,若函 数连续,则单调区间可以合在一起,若函数不连续,则要根据 函数在两段分界点处的函数值(和临界值)的大小确定能否将单 调区间并在一起. 【互动探究】 第4讲 函数的奇偶性与周期性 1.结合具体函数,了解函数奇偶性的含义. 2.会运用函数图象理解和研究函数的性质. 1.函数的奇偶性 y 轴 函数 定义 等价形式 图象性质 奇函数 对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x) f(-x)+f(x)=0 关于原点对称 偶函数 对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x) f(-x)-f(x)=0 关于_____对称 2.函数的周期性 对于函数 f(x),如果存在一个非零常数 T,使得定义域内的 每一个 x 值,都满足 f(x+T)=f(x),那么函数 f(x)就叫做周期函 数,非零常数 T 叫做这个函数的周期. 1.(2014 年新课标Ⅱ)偶函数 y=f(x)的图象关于直线 x=2 对 称,f(3)=3,则 f(-1)=______. 3 2.(2017 年新课标Ⅱ)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数, 当 x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则 f(2)=_______. 12 3.(2018 年新课标Ⅲ)下列函数中,其图象与函数 y=ln x 的 图象关于直线 x=1 对称的是( ) B A.y=ln(1-x) C.y=ln(1+x) B.y=ln(2-x) D.y=ln(2+x) 4.已知 R 上的奇函数 f(x)满足:当 x<0 时,f(x)=log2(1-x), 则 f[f(1)]=( ) C A.-1 B.-2 C.1 D.2 考点1 判断函数的奇偶性 例1:(1)(2014 年新课标Ⅰ)设函数 f(x),g(x)的定义域都为 R,且 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是 ( ) A.f(x)g(x)是偶函数 B.|f(x)|g(x)是奇函数 C.f(x)|g(x)|是奇函数 D.|f(x)g(x)|是奇函数 解析:依题意,得对任意 x∈R,都有 f(-x)=-f(x),g(-x) =g(x),因此,f(-x)g(-x)= -f(x)g(x)= -[f(x)·g(x)], f(x) g(x) 是奇函数,A 错误;|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|·g(x)=|f(x)|g(x),|f(x)|g(x) 是偶函数,B 错误;f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|=-[f(x)|g(x)|], f(x)|g(x)|是奇函数,C 正确;|f(-x)·g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|, |f(x)g(x)|是偶函数,D 错误.故选 C. 答案:C (2)(2015 年北京)下列函数中为偶函数的是( ) A.y=x2sin x C.y=|ln x| B.y=x2cos x D.y=2-x 答案:B (3)(2015 年湖南)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是 ( ) A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 解析:显然,f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称.又 f(-x) =ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),∴ f(x)为奇函数. 显然,f(x)在(0,1) 上单调递增.故选 A. 答案:A 答案:A 【规律方法】判断函数奇偶性的方法: ①定义法:第一步先看函数 f(x)的定义域是否关于原点对 称,若不对称,则为非奇非偶函数.第二步直接或间接利用奇偶 函数的定义来判断,即若有 f(-x)= ②图象法:利用奇偶函数图象的对称性来判断.分段函数奇 偶性的判断常用图象法; ③复合函数奇偶性的判断:若复合函数由若干个函数复合 而成,则复合函数的奇偶性可根据若干个函数的奇偶性而定, 概括为“同奇为奇,一偶则偶”; ④抽象函数奇偶性的判断:应充分利用定义,巧妙赋值, 通过合理、灵活的变形配凑来判断. 【互动探究】 1.(2016 年广东肇庆三模)在函数 y=xcos x,y=ex+x2,y= ) lg ,y=xsin x 中,偶函数的个数是( A.3 个 B.2 个 C.1 个 D.0 个 B 解析:y=xcos x 是奇函数,y=lg 和 y=xsin x 是偶 函数,y=ex+x2 是非奇非偶函数.故选 B. 考点2 根据函数的奇偶性求参数的值(范围) 例2:(1)(2015 年新课标Ⅰ)若函数 f(x)=xln(x+ )为 偶函数,则 a=________. 答案:1 (2)(2014 年湖南)若 f(x)=ln(e3x+1)+ax 是偶函数,则 a= ________. 答案:- 3 2 x (2x+1)(x-a) 为奇 (3)(2017 年浙江金华模拟)若函数 f(x)= 函数,则 a=( ) A. 1 2 B. 2 3 C. 3 4 D.1 答案:A 【规律方法】已知函数的奇偶性,求函数解析式中参数的 值常常用待定系数法:先利用f(x)±f(-x)=0 得到关于待求参数 的恒等式,再利用恒等式的性质列方程求解. 方法四,根据奇函数的特点及定义域求解: 考点3 函数奇偶性与周期性的综合应用 例3:(1)(2017 年山东)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且 f(x+4)=f(x-2).若当 x∈[-3,0]时,f(x)=6-x ,则 f(919)= ________. 解析:由 f(x+4)=f(x-2),得 T=6, f(919)=f(153×6+1) =f(1)=f(-1)=6-(-1)=6. 答案:6 (2)(2018 年新课标Ⅱ)已知 f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇 函数,满足 f(1-x)=f(1+x).若 f(1)=2,则 f(1)+f(2)+f(3)+… +f(50)=( ) A.-50 B.0 C.2 D.50 解析:f(1-x)=f(1+x)?f(2-x)=f(x)?f(2+x)=f(-x)= -f(x)?f(x+4)=f(x),f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,f(0) =0,f(1)=2,f(2)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=0, ∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0. 则 f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2. 答案:C 所以 g(-x)=-g(x).所以 g(x)为奇函数. 由 f(a)=g(a)+1=4,得 g(a)=3, 则 f(-a)=g(-a)+1=-g(a)+1=-3+1=-2. 答案:-2 【规律方法】本题考查函数的奇偶性与周期性,属于基础 题.在涉及函数求值问题中,可利用周期性f(x)=f(x+T),化函 数值的自变量到已知区间或相邻区间,如果是相邻区间,再利 用奇偶性转化到已知区间上,再由函数式求值即可. 【互动探究】 -2 难点突破 ⊙函数对称性质的判断及应用 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:f(-x)≠f(x),故①不正确; f(-x)+f(x)=3,f(x)的图象关于点 对称,g(x)图象也 关于点 对称,所以 f(x)与 g(x)有相同的对称中心,故②正 确; 因为 f(x)与 g(x)有相同的对称中心 ,所以函数 y=f(x) 与 y=g(x)的图象交点的横坐标之和为 0,故③正确; 答案:C 【互动探究】 答案:2m 第5讲 函数的单调性与最值 1.了解构成函数的要素,会求一些简单函数的定义域和值域. 2.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义. 3.会运用函数图象理解和研究函数的性质. 1.函数的单调性 (续表) f(x0)=M 2.函数的最大(小)值 前提 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足 条件 ①对于任意x∈I,都有f(x)≤M; ②存在x0∈I,使得 f(x0)=M ①对于任意x∈I,都有f(x)≥M; ②存在x0∈I,使得__________ 结论 M为最大值 M为最小值 1.函数 y=x2-6x 的单调递减区间是( ) D A.(-∞,2] C.[3,+∞) B.[2,+∞) D.(-∞,3] 2.(2018 年北京)能说明“若 f(x)>f(0)对任意的 x∈(0,2]都成 立,则 f(x)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是 ________________________. y=sin x(答案不唯一) 3.(2016 年北京)下列函数中,在区间(-1,1) 上为减函数的 是( ) D A.y= 1 1-x B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x 4.(2016 年北京)函数f(x)= x x-1 (x≥2)的最大值为_____. 2 考点1 函数单调性的判断 考向1 利用定义(或性质)判断函数的单调性 例1:(1)(2017年新课标Ⅱ)函数 f(x)=ln(x2-2x-8)的单调 递增区间是( ) A.(-∞,-2) B.(-∞,-1) C.(1,+∞) D.(4,+∞) 解析:x2-2x-8>0,x<-2 或 x>4,f(x)=ln(x2-2x-8)的 定义域为(-∞,-2)∪(4,+∞).又 y=x2-2x-8=(x-1)2-9, 当 x<1 时单调递减, 当 x>1 时单调递增,所以函数 f(x)=ln(x2 -2x-8)的单调递增区间是(4,+∞).故选 D. 答案:D (2)(2017年广东深圳第二次调研)下列四个函数中,在定义 域上不是单调函数的是( ) 答案:C 考向2 利用导数判断函数的单调性 例2 :(1)(2017 年广东广州模拟) 已知函数 f(x) =( -x2 + 2x)ex,x∈R,e 为自然对数的底数.则函数 f(x)的单调递增区间 为__________. 的单调递增 (2)(2017年西藏日喀则一中统测)函数 f(x)= ln x x 区间是________. 答案:(0,e) 考点2 函数单调性的应用 考向1 比较大小 答案:B 考向2 解不等式 例4:(2017 年新课标Ⅰ)函数 f(x)在(-∞ ,+∞)单调递减, 且为奇函数.若 f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1 的 x 的取值 范围是( ) A.[-2,2] B.[-1,1] C.[0,4] D.[1,3] 解析:因为函数 f(x)为奇函数,f(1)=-1,f(-1)=1,-1≤ f(x-2)≤1?f(1)≤f(x-2)≤f(-1),函数 f(x)在(-∞,+∞)单调 递减,有-1≤x-2≤1,解得 1≤x≤3.故选 D. 答案:D 考向3 求参数的范围 答案:C 的最小值为 2,则实数 a 的取值范围是________. 解析:当 x≥1 时,f(x)≥2;当 x<1 时,f(x)>a-1.由题意 知 a-1≥2,∴a≥3. 答案:[3,+∞) 3x+2 (2)y= 2 (3)y= 2 考点3 函数的最值与值域 例6:求下列函数的值域: (1)y= x-2 ; x2-x x -x+1 ; x-1 x +x+2 (x>1); (4)y=|x+1|+|x-2|. 3x+2 (3x-6)+8 =3+ 解:(1)方法一,y= = x-2 x-2 8 x-2 , ∵ 8 x-2 ≠0,∴y≠3. ∴函数 y= 3x+2 x-2 的值域是{y|y∈R,且 y≠3}. 方法二,由 y= 3x+2 x-2 2(y+1) ,得 x= y-3 .∴y≠3. 解得-—≤y≤1.又 y≠1,故该函数的值域为 方法二,∵x2-x+1≠0,∴对函数去分母,整理,得 (y-1)x2-(y-1)x+y=0. 易知 y≠1,故上式可看作是关于 x 的二次方程. ∵x∈R,∴方程有实根,∴Δ=(y-1)2-4y(y-1)≥0. 1 3 . (4)方法一:绝对值不等式法: 由于|x+1|+|x-2|≥|(x+1)-(x-2)|=3, 所以函数值域为[3,+∞). -2x+1(x<-1), 方法二:数形结合法:y= 3(-1≤x≤2), 2x-1(x>2). 画出此分段函数的图象如图 2-5-1, 可知值域为[3,+∞). 图 2-5-1 【规律方法】常用的求值域的方法有: ①代入法:适用于定义域为有限集的函数; ②分离系数法:若函数y=f(x)的解析式中含有|x|,x2, , sin x,cos x 等元素,又能用y 表示出来,则利用这些元素的有 界性解出 y 的范围; ③配方法:适用于二次函数类的函数; ④反函数法:适用于形如y= ax+b cx+d 类的函数; mx +nx+p ⑤判别式法:适用于形如y= ax2+bx+c 2 类的函数; ⑥换元法:主要处理一些根式类的函数; ⑦不等式法:借助于不等式的性质和均值不等式等工具求 最值; ⑧最值法:通过求导数进而求出最值; ⑨求三角函数的值域主要有三条途径:将sin x 或cos x 用 所求变量y 来表示,如sin x=f(y),再由|sin x|≤1 得到一个关于 y 的不等式|f(y)|≤1,从而求得y 的取值范围. 【互动探究】 难点突破 ⊙正确理解函数在区间A 上单调与f(x)的单调区间为 A 的 区别 例题:(1)若 f(x)=x3-6ax 的单调递减区间是(-2,2),则 a ) 的取值范围是( A.(-∞,0] C.{2} B.[-2,2] D.[2,+∞) 答案:C (2)若 f(x)=x3-6ax 在区间(-2,2)内单调递减,则 a 的取值 范围是( ) A.(-∞,0] C.{2} B.[-2,2] D.[2,+∞) 答案:D 【规律方法】(1)在研究函数的单调性时,应先确定函数的 定义域.函数的单调性是对某一个区间而言的.f(x)在区间A 与B 上都是增(或减)函数,在 A∪B 上不一定单调. (2)注意 f(x)在区间A 上单调递减与f(x)的单调递减区间为A 的区别.本题(1)中f(x)的单调递减区间是(-2,2)是指方程f ′(x) =3x2-6a=0 的两根为±2;(2)题 f(x)在(-2,2)上单调递减是指 f ′(x)=3x2-6a≤0 在(-2,2)上恒成立. 【互动探究】 2.已知函数 f(x)=x3+ax2-2x+3 在区间(1,2)单调递减,则 a 的取值范围是___________. 第6讲 指数式与指数函数 1.了解指数函数模型的实际背景. 2.理解有理数指数幂的含义,了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算. 3.理解指数函数的概念,理解指数函数的单调性,掌握指数函数图象通过的特殊点. 4.知道指数函数是一类重要的函数模型. 1.分数指数幂 a = 正分数 指数幂 正数的正分 数指数幂 (a>0,m,n∈N*,且n>1) 0的正分数 指数幂 0 (续表) ar+s arbr 2.指数函数的图象与性质 (0,1) 减函数 0<y<1 y>1 指数函数 y=ax(a>1) y=ax(00,且 a≠1)的图象可能是( 1 a ) D A B C D 4.方程 9 3x-1 +1=3x 的实数解为___________. x=log34 考点1 指数幂运算 例1:计算: 思路点拨:根式的形式通常写成分数指数幂后再进行运算. 根式化成指数式的形式,依据为 【规律方法】因为幂的运算性质都是以指数式的形式给出 的,所以对既有根式又有指数式的代数式进行化简时,要先将 ,注意结果不要同时 含有根号和分数指数幂. 【互动探究】 -23 考点2 指数函数的图象 答案:C 图 D3 解析:在同一平面直角坐标系中作出函数 的图象,如图 D4. 图 D4 故③④不成立.故选 B. 答案:B 【互动探究】 C 2.若函数 f(x)=kax-a-x(a>0,a≠1)在(-∞,+∞)上既是 奇函数又是增函数,则函数 g(x)=loga(x+k)的图象是( ) A B C D 解析:若函数 f(x)是奇函数,所以 f(0)=k-1=0?k=1.又 函数是增函数,所以a>1.那么g(x)=loga(x+1)的图象为增函数, 并且过点(0,0).故选 C. 3.(2016年浙江模拟)已知实数 a,b 满足等式 2017a=2018b, 下列五个关系式:①01,则有 a>b>0.①成立; 若 t=1,则有 a=b=0.⑤成立; 若 00 且 a≠1)有两个零点, 则实数 a 的取值范围是________. 解析:考查函数 y=ax 与函数 y=x+a 的交点的个数,当 a>1 时,有两个交点; 当 00,且 a≠1)有两个不相等 的实根,则实数 a 的取值范围是( A.(0,1)∪(1,+∞) ) B.(0,1) C.(1,+∞) (1) (2) 图2-6-1 答案:D 【规律方法】(1)在指数函数解析式中,必须时刻注意底数 a>0,且a≠1,对于指数函数的底数a,在不清楚其取值范围时, 应运用分类讨论的数学思想,分a>1 和00,且 a≠1)的图象,应抓住三个关键点:(1,a),(0,1), 再利用相应指数函数的图象,通过平移、对称变换得 到其他图象. 【互动探究】 5.设f(x)=|3x-1|,cf(a)>f(b),则下列关系式中一定成立的是( ) A.3c>3a B.3c>3b C.3c+3a>2 D.3c+3a<2 图 D6 答案:D 解析:y=|3x-1|的图象是由y=3x向下平移一个单位后,其x轴上方的图象保持不变,将x轴下方的图象翻折上去得到的,如图D6,由图可知,要使cf(a)>f(b)成立,则有c<0f(a),∴1-3c>3a-1,即3c+3a<2.故选D. 第7讲 对数式与对数函数 1.理解对数的概念及其运算性质,知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数;了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念,理解对数函数的单调性,掌握对数函数图象通过的特殊点. 3.知道对数函数是一类重要的函数模型. 4.了解指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a>0,且a≠1). 1.对数的概念 (续表) 2.对数函数的图象及性质 (0,+∞) R 对数函数 y=logax(a>1) y=logax(01) y=logax(00,a≠1) 的图象恒过点( ) A.(1,2) B.(2,2) C.(2,3) D.(4,4) 2 D B 4.(2013年新课标Ⅱ)设 a=log36,b=log510,c=log714, 则( ) A.c>b>a C.a>c>b B.b>c>a D.a>b>c 解析:a = log36 = log3(2×3) = log32+1;b = log510 = log5(2×5)=log52+1;c=log714=log7(2×7)=log72+1. ∵1log52>log72.∴a>b>c.故选 D. D 考点1 对数式的运算 考向1 对数运算法则的应用 答案:D 考向2 对数恒等式的应用 答案:A 答案:4 2 【规律方法】(1)题根据条件中的对数式将其等价转化为指 数式,变形即可求解;(2)题利用对数恒等式 =N;(3)题考 查指数式与对数式的互化及换底公式的变形形式logab= 1 logba . 对数的运算法则及换底公式是对数运算的基础,应该熟记并能 灵活应用. 考向3 换底公式的应用 例3:(1)(2017 年新课标Ⅰ)设 x,y,z 为正数,且 2x=3y =5z,则( ) A.2x<3y<5z C.3y<5z<2x B.5z<2x<3y D.3y<2x<5z 答案:D (3)(2018 年新课标Ⅲ)设 a=log0.20.3,b=log20.3,则( ) A.a+bb>1 B.b>1>a>0 C.0a>1 解析:令 y1=logax,y2=logbx,由于 loga2<logb2,它们的 函数图象可能有如下三种情况.由图 D7(1)(2)(3),分别得 0<a <1<b,a>b>1,0<b<a<1. 图D7 答案:D (2)若 A(a,b),B(c,d)是 f(x)=ln x 图象上不同的两点,则 下列各点一定在 f(x)图象上的是( ) A.(a+c,b+d) C.(ac,b+d) B.(a+c,bd) D.(ac,bd) 解析:因为 A(a,b),B(c,d)在 f(x)=ln x 的图象上,所以 b=ln a,d=ln c.所以 b+d=ln a+ln c=ln ac.因此(ac,b+d) 在 f(x)=ln x 的图象上.故选 C. 答案:C 【规律方法】本题(1)中两个对数的真数相同,底数不同, 利用单调性相同的对数函数图象在直线 x =1 右侧“底大图 低”的特点比较大小.注意loga2<logb2,要考虑两个对数的底 数分别在1 的两侧、同在1 的右侧及同在0 和1 之间三种情况. 【互动探究】 1.函数 f(x)=|log2x|的图象是( ) A A B C D 解析:方法一,f(x)=|log2x|= log2x,x≥1, -log2x,00},排除 B,D,f(x)≥0,排除 C.故选 A. 答案:D 图 D8 考点3 对数函数的性质及其应用 例5:(1)(2017 年新课标Ⅰ)已知函数 f(x)=ln x+ln(2-x), 则( ) A.f(x)在(0,2)单调递增 B.f(x)在(0,2)单调递减 C.y=f(x)的图象关于直线 x=1 对称 D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 答案:C 答案:D (3)函数 f(x)=loga(2-ax)在[0,3]上为增函数,则 a 的取值范 围是( ) 解得 00, 2 3 解析:依题意,可知 答案:C 【规律方法】比较两个对数的大小的基本方法: ①若底数相同,真数不同,可构造相应的对数函数,利用 其单调性比较大小; ②若真数相同,底数不同,可转化为同底(利用换底公式) 或借助函数图象,利用单调性相同的对数函数图象在直线x=1 右侧“底大图低”的特点比较大小; ③若底数、真数均不相同,则经常借助中间值“0”或“1” 比较大小. 【互动探究】 3.(2016年新课标Ⅰ)若a>b>0,0cb   解析:由0b>0,所以logca1,则 m21 D.0|lg x2|. ∴-lg x1>lg x2,即 lg x1+lg x2<0. ∴00 时,在实数集 R 上是增 函数;当 k<0 时,在实数集 R 上是减函数. 2.反比例函数 k x 当 k>0 时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上都是减函数;当 k<0 时,函数在(-∞,0),(0,+∞)上都是增函数. f(x)=a(x-h)2+k(a≠0) 3.二次函数解析式的三种形式 (1)一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:_________________________,顶点为(h,k). (3)两根式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2 为二次函数 图象与 x 轴的两个交点的横坐标. 4.二次函数的图象及性质 (续表) 1.若二次函数 f(x)=x2-4x+3,则 f(x)在[0,1]上的值域为 _______,在[0,3]上的值域为_________. [0,3] [-1,3] 解析:因为函数图象的对称轴方程为 x=- -4 2 =2,所以 f(x)在[0,1]上单调递减,最大值为 f(0)=3,最小值为 f(1)=1-4 +3=0,值域为[0,3].当 x∈[0,3]时,f(x)在[0,2]上单调递减,在 [2,3]上单调递增,最大值 f(0)=3,最小值为 f(2)=22-4×2+3 =- 1,值域为[-1,3]. 4.(2017 年北京)已知 x≥0,y≥0,且 x+y=1,则 x2+y2 的 取值范围是__________. B 单调递增 考点1 二次函数的图象及应用 例1:已知函数 y=ax2+bx+c,若 a>b>c,且 a+b+c =0,则它的图象可能是( ) A B C D 答案:D 【互动探究】 1.设 b>0,二次函数 y=ax2+bx+a2-1 的图象为下列之一, 则 a 的值为( ) 图 2-8-1 C.1 D.-1 解析:因为 b>0,故对称轴不可能为 y 轴,排除①②.由给 出的函数图象可知对称轴在 y 轴右侧,故 a<0.所以二次函数的 图象为第③个图,图象过原点,故a2-1=0.解得 a=±1.又a<0, 所以 a=-1.故选 D. 答案:D 考点2 含参数问题的讨论 考向1 区间固定对称轴动型 【规律方法】“区间固定对称轴动”以及“对称轴固定区 间动”是二次函数中分类讨论的最基本的两种题型,应该引起 同学们足够的重视.本例中的二次函数是区间[-1,1]固定,对称 【互动探究】 2.(2017 年云南曲靖一中)已知函数 f(x)=x2-kx-2 在区间 (1,5)上既没有最大值也没有最小值,则实数k的取值范围是( ) A.[10,+∞) C.(-∞,2]∪[10,+∞) B.(-∞,2] D.(-∞,1]∪[5,+∞) C 考向2 对称轴固定区间动型 例3:已知二次函数 f(x)=x2-16x+q+3. (1)若函数在区间[-1,1]上存在零点,求实数 q 的取值范围; (2)问是否存在常数 t(t≥0),当 x∈[t,10]时,f(x)的值域为区 间 D,且区间 D 的长度为 12-t(视区间[a,b]的长度为 b-a), 若存在,求出所有满足条件的 t,若不存在,说明理由. 解:(1)∵f(x)=x2-16x+q+3 的对称轴方程是 x=8,   ∴f(x)在区间[-1,1]上是减函数. 函数在区间[-1,1]上存在零点,则必有 f(1)≤0, f(-1)≥0, 即 1-16+q+3≤0, 1+16+q+3≥0. ∴-20≤q≤12,即 q 的取值范围是[-20,12]. (2)∵0≤t<10,f(x)在区间[0,8]上是减函数,在区间[8,10] 上是增函数,且对称轴方程是 x=8. ①当 0≤t≤8, 8-t≥10-8, 即 0≤t≤6 时, 解得 在区间[t,10]上,f(t)最大,f(8)最小, ∴f(t)-f(8)=12-t,即 t2-15t+52=0. ②当 0≤t≤8, 8-t<10-8, 即 6<t≤8 时, 在区间[t,10]上,f(10)最大,f(8)最小, ∴f(10)-f(8)=12-t.解得 t=8. 或 8 或 9 满足条件. ③当 8<t<10 时,在区间[t,10]上,f(10)最大,f(t)最小, ∴f(10)-f(t)=12-t,即 t2-17t+72=0. 解得 t=8(舍去)或 t=9.∴t=9. 综上所述,存在常数 t= 【规律方法】本题(2)中的二次函数是“对称轴固定区间 动”,即对称轴 x=8 固定,而区间[t,10]不固定,因此需要讨论 该区间相对于对称轴的位置关系,即分0≤t≤6,6<t≤8 及8<t <10 三种情况讨论. 【互动探究】 3.已知 f(x)=x2-2x+5. (1)若 x∈R,则函数 f(x)的最小值为_____; (2)若 x∈[-1,2],则函数 f(x)的最小值为___,最大值为___; (3)若 x∈[t,t+1],则函数 f(x)的最小值为 f(x)min=________. 解析:(1)f(x)=x2-2x+5=(x-1)2+4≥4, ∴f(x)的最小值为 4. (2)∵f(x)的对称轴为 x=1,又 1∈[-1,2], ∴f(x)min=f(1)=4.由二次函数的图象知,f(x)在[-1,1]上单 调递减,在[1,2]上单调递增. 又 f(-1)=(-1)2-2×(-1)+5=8,f(2)=22-2×2+5=5, ∴f(x)max=8,f(x)min=4. (3)∵f(x)的对称轴为 x=1. 当 t≥1 时,f(x)在[t,t+1]上单调递增,∴f(x)min=f(t)=t2 -2t+5; 答案:(1)4 当 t<10. 若对任意 x∈[-3,+∞),f(x)≤|x| 恒成立,则 a 的取值范围是__________. —,2 ②当-3≤x≤0 时,f(x)≤|x|,即 x2+2x+a-2≤-x, 整理,得 a≤-x2-3x+2. 由恒成立的条件,可知 a≤[-x2-3x+2]min. 结合二次函数的性质可知: 当 x=-3 或 x=0 时,[-x2-3x+2]min=2,则 a≤2. . 答案: 综合①②,可得 a 的取值范围是 1 8 【规律方法】不等式恒成立问题: ①对于 f(x)≥0 在区间[a,b]上恒成立的问题,一般等价转 化为 f(x)min≥0,x∈[a,b]. ②对于 f(x)≤0 在区间[a,b]上恒成立的问题,一般等价转 化为 f(x)max≤0,x∈[a,b]. ③若 f(x)含有参数,则要对参数进行讨论或分离参数. 特别地:ⅰ)ax2 +bx +c>0 ,a≠0 恒成立的充要条件是 ⅱ )ax2 +bx +c<0 ,a≠0 恒成立的充要条件是 a>0, b2-4ac<0. a<0, b2-4ac<0. 【互动探究】 答案:A 第9讲 幂函数 1.幂函数的定义 一般地,形如y=xα(α∈R)的函数称为幂函数,其中x 是自 变量,α是常数. 2.幂函数的图象 图 2-9-1 3.幂函数 y=xα的图象 在第一象限内,直线 x=1 的右侧,图象由下至上,指数α 由小到大;y 轴和直线x=1之间,图象由上至下,指数α由小到 大. [0,+∞) (-∞,0)∪ (0,+∞) 单调递减 2.函数 y=x 的图象是( 1.所有幂函数的图象都经过的定点的坐标是( ) A.(0,0) C.(1,1) B.(0,1) D.(-1,-1) ) A B C D C B 3.若幂函数 y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数 y=f(x)的图 象是( ) C A B C D 4.如图 2-9-2,曲线是幂函数 y=xα在第一象限内的图象.已 1 2 图 2-9-2 c4, c2, c3, c1 知α分别取-1,1, — ,2四个值,则相应图象依次为:__________. 考点1 幂函数的概念 答案:C (2)(2017 年江西九江七校联考) 幂函数 f(x) =(m2 - 4m + 4) 在(0,+∞)为增函数,则 m 的值为( ) A.1 或 3 C.3 B.1 D.2 解析:由题意,可知 m2-4m+4=1, m2 -6m+8>0, 解得 m=1.故选 B. 答案:B 【规律方法】(1)幂函数 y=xα的特点:①系数必须为 1; ②指数必须为常数. (2)第(2)小题求出 m=1 或 m=3 后需根据幂函数为增函数 可知 m=3 不符合题意. 【互动探究】 1.已知函数 g(x)=loga(x-3)+2(a>0,a≠1)的图象经过定点 M,若幂函数 f(x)=xα的图象过点 M,则α的值等于( ) A.-1 B. 1 2 C.2 D.3 解析:函数 g(x)=loga(x-3)+2(a>0,a≠1)的图象经过定 点 M(4,2),若幂函数 f(x)=xα的图象过点 M(4,2),则 4α=2. ∴α B 考点2 幂函数的图象 例2:请把如图 2-9-3 所示的幂函数图象的代号填入下面的 表格内. A E B F C G D H 图2-9-3 答案:E C A G B D H F 函数代号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 图象代号 【规律方法】(1)探讨幂函数图象的分布规律,应先观察图 象是否过原点,过原点时α>0,否则α<0;若α>0,再观察图象 是上凸还是下凸,上凸时 0<α<1,下凸时α>1;最后由x>1 时, α的值按逆时针方向依次增大得出结论. (2)幂函数y=xα(α∈R)的图象如下表: 【互动探究】 2.下面给出 4 个幂函数的图象(如图 2-9-4),则图象与函数 的大致对应是( ) 图 2-9-4 答案:B 考点3 比较大小 答案:A 答案:C 【规律方法】本题表面是考查零点存在性定理,其实质是 比较 的大小.比较两个幂的大小,如果指数相同 而底数不同(即底数为变量),此时利用幂函数的单调性来比较 大小;如果底数相同而指数不同(即指数为变量),此时利用指 数函数的单调性来比较大小;如果两个幂指数、底数全不同, 此时需要引入中间变量,常用的中间变量有 0,1 或由一个幂的 底数和另一个幂的指数组成的幂.注意:指数函数 a>1 时单调递 增,00 时在第一象限单调递增, α<0 时在第一象限单调递减. 【互动探究】 ) C c 的大小关系是( A.a0.60.6>0.61.5,即 b10.6=1,即c>1.综上所述,b

  • ID:3-5968276 2020年高考数学一轮复习专题五圆锥曲线的综合及应用问题(3课时)课件理

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    专题五 圆锥曲线的综合及应用问题 第1课时 题型 1 利用圆锥曲线的方程性质求最值、范围问题 圆锥曲线中常见最值问题及解题方法: (1)两类最值问题:①涉及距离、面积的最值以及与之相关 的一些问题;②求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些 元素存在最值时与之相关的一些问题. (2)两种常见解法:①几何法,若题目的条件和结论能明显 体现几何特征及意义,则考虑利用图形性质来解决;②代数法, 若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系,则可先建立 起目标函数,再求这个函数的最值,最值常用基本不等式法、 配方法及导数法求解. (3)两点防范:①求范围问题要注意变量自身的范围. ②利用几何意义求最值时,要注意“相切”与“公共点唯 一”的不等价关系,注意特殊关系,特殊位置的应用. 答案:15 【规律方法】先由对称性可设点P在右支上,进而可得|PF1|和|PF2|,再由△F1PF2为锐角三角形可得|PF1|2+|PF2|2>|F1F2|2,进而可得x的不等式,解不等式可得|PF1|+|PF2|的取值范围. 答案:9 A.2 B.3 C.6 D.8 答案:C 题型 2 直线与圆锥曲线的位置关系及范围问题 例 2:(2016 年新课标Ⅰ)设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为 A,直线 l 过点 B(1,0)且与 x 轴不重合,l 交圆 A 于 C,D 两点, 过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E. (1)求证|EA|+|EB|为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (2)设点 E 的轨迹为曲线 C1,直线 l 交 C1 于 M,N 两点, 过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P,Q 两点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围. 解:(1)因为|AD|=|AC|,EB∥AC, 所以∠EBD=∠ACD=∠ADC. 所以|EB|=|ED|. 故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圆A的标准方程为(x+1)2+y2=16, 从而|AD|=4,所以|EA|+|EB|=4. 由题设,得 A(-1,0),B(1,0),|AB|=2. 【规律方法】(1)求参数范围的问题,牢记“先找不等式,有时需要找出两个量之间的关系,然后消去另一个量,保留要求的量”.不等式的来源可以是Δ>0或圆锥曲线的有界性或是题目条件中的某个量的取值范围. (2)求最值的问题,牢记“转化为只含一个变量的目标函数,确定变量的取值范围”或“考虑几何意义”. 【互动探究】 已知动圆过定点 N(0,2),且在 x 轴上截得弦 PQ 的长为 4. (1)求动圆圆心的轨迹 C 的方程; (2)过点(0,1)作直线与曲线 C 交于两点 A,B,与直线 y= -2 交于点 M,求|MA|·|MB|的最小值. 解:(1)设动圆圆心 C(x,y),PQ 中点为 T, 则|CP2|=|CT2|+|PT2|. 又|CN|=|CP|, 化简,得 x2=4y. ∴动圆圆心的轨迹 C 的方程为 x2=4y. 第2课时 题型 1 圆锥曲线中的定点问题 作为高考的一个热点,从考纲的要求以及全国各省高考命 题的趋势来看,圆锥曲线背景下的定点与定值问题要引起我们 的高度重视,特别是和向量、不等式的结合.关于定点与定值问 题,一般来说从两个方面来解决:①从特殊入手,求出定点或 定值,再证明这个点或值与变量无关;②直接推理、计算,并 在计算的过程中消去变量,从而得到定点或定值. 【名师点评】1.圆锥曲线中定点问题的两种解法: (1)引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示 变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点; (2)特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定 点,再证明该定点与变量无关. 2.定点的探索与证明问题的两种策略: (1)探索直线过定点时,可设出直线方程为 y=kx+b,然后 利用条件建立 b,k 的等量关系进行消元,借助于直线系的思想 找出定点; (2)从特殊情况入手,先探求定点,再证明与变量无关. 【互动探究】 ②直线 l 是否恒过定点?若过定点,求出该定点的坐标; 若不过定点,请说明理由. 图 5-1 题型 2 圆锥曲线中的定值问题 (1)解:因为抛物线 y2=2px 经过点 P(1,2), 所以 4=2p.解得 p=2.所以抛物线的方程为 y2=4x. 由题意可知直线 l 的斜率存在且不为 0, 设直线 l 的方程为 y=kx+1(k≠0). 依题意,得Δ=(2k-4)2-4×k2×1>0.解得k<0或0

  • ID:3-5968274 2020年高考数学一轮复习专题四函数、不等式中的恒成立问题课件理

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    专题四 函数、不等式中的恒成立问题 近几年高考对于函数、不等式中恒成立问题的考查重点是一次函数、二次函数的性质、不等式的性质及应用,图象、渗透换元、化归、数形结合、函数与方程、分类讨论、转化等数学思想方法.有的学生看到就头疼的题目,分析原因除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.本文就高中阶段出现的这类问题进行总结和探讨. 利用导数研究不等式问题的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下: 不等式类型 与最值的关系 ?x∈D,f(x)>M ?x∈D,f(x)min>M ?x∈D,f(x)<M ?x∈D,f(x)max<M ?x0∈D,f(x0)>M ?x∈D,f(x)max>M ?x0∈D,f(x0)<M ?x∈D,f(x)min<M ?x∈D,f(x)>g(x) ?x∈D,[f(x)-g(x)]min>0 ?x∈D,f(x)<g(x) ?x∈D,[f(x)-g(x)]max<0 ?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)>g(x2) ?x∈D1,?x∈D2,f(x)min>g(x)max ?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)>g(x2) ?x∈D1,?x∈D2,f(x)min>g(x)min ?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)>g(x2) ?x∈D1,?x∈D2,f(x)max>g(x)max ?x1∈D1,?x2∈D2,f(x1)>g(x2) ?x∈D1,?x∈D2,f(x)max>g(x)min 注:上述的大于、小于改为不小于、不大于,相应的与最 值对应关系的不等式也改变.如果函数没有最值,那么上述结果 可以用函数值域相应的端点值表述. 例 1:已知两个函数 f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+ 4x,x∈[-3,3],k∈R. (1)若对?x∈[-3,3],都有 f(x)≤g(x)成立,求实数 k 的取 值范围; (2)若?x∈[-3,3],使得 f(x)≤g(x)成立,求实数 k 的取值 范围; (3)若对?x1,x2∈[-3,3],都有f(x1)≤g(x2),求实数k的取 值范围. 解:(1)设h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k, 问题转化为x∈[-3,3]时,h(x)≥0恒成立,即h(x)min≥0,x∈[-3,3]. 令h′(x)=6x2-6x-12=0,得x=2或x=-1, ∵h(-3)=k-45,h(-1)=k+7,h(2)=k-20,h(3)=k-9,∴h(x)min=k-45≥0,得k≥45. (2)据题意:?x∈[-3,3],使f(x)≤g(x)成立, 即为h(x)=g(x)-f(x)≥0在x∈[-3,3]上能成立, ∴h(x)max≥0. ∴h(x)max=k+7≥0,即k≥-7. (3)据题意:f(x)max≤g(x)min,x∈[-3,3], 易得f(x)max=f(3)=120-k,g(x)min=g(-3)=-21, ∴120-k≤-21,得k≥141. 方法二,当 x=0 时,f(x)=0; 当 x∈(0,2]时,f(x)>0, 【规律方法】(1)求 f(x)的值域可以利用导数,也可以利用 基本不等式求解; (2)若对任意x1∈[0,2],总存在x2∈[0,2],使f(x1)=g(x2)的 本质就是函数 f(x)的值域是函数 g(x)值域的子集. 【互动探究】 (1)若曲线 y=f(x)在 x=1 和 x=4 处的切线相互平行,求 a 的值; (2)讨论函数 f(x)的单调性; (3)设g(x)=x2-2x,对任意的x1∈(0,2],均存在x2∈(0,2], 使得f(x1)0 时,是否存在实数 a,使得当 x∈[1,e]时,不 等式 f(x)>0 恒成立?如果存在,求 a 的取值范围;如果不存在, 请说明理由(其中 e 是自然对数的底数,e=2.71828…). 【互动探究】 (1)当 a=0 时,求曲线 f (x)在 x=1 处的切线方程; (2)设函数 h(x)=alnx-x-f(x),求函数 h (x)的极值; (3)若 g(x)=alnx-x 在区间[1,e](e=2.718 28…)上存在一 点x0,使得g(x0)≥f(x0)成立,求a的取值范围. ①当a+1>0,即a>-1时,令h′(x)>0, ∵x>0,∴0<x<1+a. 此时,h(x) 在区间(0, a+1)上单调递增. 令h′(x)<0,得x>1+a. 此时,h(x)在区间(a+1,+∞)上单调递减. ②当a+1≤0,即a≤-1时,h′(x)<0恒成立,h(x)在区间(0,+∞)上单调递减. 综上所述,当a>-1时,h(x)在x=1+a处取得极大值h (1+a)=aln(1+a)-a-2,无极小值; 当a≤-1时,h(x)在区间(0,+∞)内无极值. ②当 0<a+1≤1,或 a≤-1,即 a≤0 时, h(x)在区间[1, e]上单调递减. ∴h(x)max=h(1)=-1-1-a≥0.∴a≤-2. ③当 1<a+1<e,即 0<a<e-1 时, 由(2)可知,h(x)在 x=1+a 处取得极大值,也是区间(0, +∞)内的最大值, 即h(x)max=h(1+a)=aln(1+a)-a-2=a[ln(1+a)-1]-2. ∵0<ln(a+1)<1,∴h(1+a)<0 在区间[1, e]上恒成立. 此时不存在x0使h(x0)≥0成立. 3.已知函数f(x)=ex-x-2(e是自然对数的底数). (1)求函数 f(x)的图象在点 A(0,-1)处的切线方程; (2)若 k 为整数,且当 x>0 时,(x-k+1)f′(x)+x+1>0 恒 成立,其中 f′(x)为 f(x)的导函数,求 k 的最大值. 函数h(x)=ex-x-2在(0,+∞)上单调递增, 而h(1)<0,h(2)>0, 所以h(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点, 故g′(x)在(0,+∞)上存在唯一的零点. 设此零点为α,则α∈(1,2). 当x∈(0,α)时,g′(x)<0;当x∈(α,+∞)时,g′(x)>0. 所以g(x)在(0,+∞)上的最小值为g(α). 由g′(α)=0,可得eα=α+2. 所以g(α)=α+2∈(3,4). 由于①式等价于k

  • ID:3-5968272 2020年高考数学一轮复习专题三数列与不等式课件理

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    专题三 数列与不等式 题型 1 等差、等比数列的综合问题   等差数列与等比数列的综合应用常出现在全国各地高考试卷中,主要考查等差数列、等比数列的基本概念、基本公式、基本性质及基本运算,对于Sn与an的关系式,备考复习时应该予以重视. 因为an>0,所以an-an-1=2. 所以数列{an}是首项为3,公差为2的等差数列. 所以an=2n+1. 例 2:已知递增的等比数列{an}满足:a1+2a4=34,a2a3 =32. (1)求数列{an}的通项公式; 【规律方法】已知数列前 n 项和与第 n 项的关系,求数列 的通项公式,常用公式 将所给条件化为 关于前 n 项和的递推关系或关于第 n 项的递推关系,若满足等 比数列或等差数列的定义,用等比数列或等差数列的通项公式 求出数列的通项公式,否则适当变形构造等比数列或等差数列 求通项公式. 【互动探究】 1.(2017年北京)已知等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1= b1=1,a2+a4=10,b2b4=a5. (1)求{an}的通项公式; (2)求和:b1+b3+b5+…+b2n-1. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d. 因为a2+a4=10,所以2a1+4d=10. 又a1=1,所以d=2. 所以an=2n-1. (2)设等比数列{bn}的公比为q. 因为b2b4=a5,所以b1qb1q3=9. 又b1=1,所以q2=3. 所以b2n-1=b1q2n-2=3n-1. 2.已知Sn为数列{an}的前n项和,且3Sn=1-an. (1)求数列{an}的通项公式; 题型 2 数列与不等式的综合问题 数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种:一是判断数列问题中的一些不等关系;二是以数列为载体,考查不等式的恒成立问题;三是考查与数列问题有关的不等式的证明.在解决这些问题时,如果是证明题要灵活选择不等式的证明方法,如比较法、综合法、分析法等.如果是解不等式问题,要使用不等式的各种不同解法,如数轴法、因式分解法等. 【互动探究】 3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,且满足an+Sn= n2+3n(n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (1)解:an+Sn=n2+3n, 当n=1时,a1+S1=4?a1=2; 当n=2时,a2+a1+a2=10?a2=4. 又∵{an}是等差数列,∴d=a2-a1=2. ∴an=2+(n-1)×2=2n. 即(3d)2=(d+2)·6d. 整理,得3d2-12d=0,即d2-4d=0. 因为d≠0,所以d=4. 所以an=(n-1)d=4(n-1)=4n-4.

  • ID:3-5968270 2020年高考数学一轮复习专题七概率与统计课件理

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    专题七 概率与统计 题型 1 概率与统计 概率与统计的综合题,自从 2005 年走进新高考试题后,就 以崭新的姿态,在高考中占有极其重要的地位,每年出现一道 大题(都有一定的命题背景,其地位相当于原来的应用题).连续 五年都为一题多问,前面考统计,后面考概率,预计这一趋势 在全国高考中会得到延续! 例 1:(2016 年新课标Ⅰ)某公司计划购买2 台机器,该种 机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件,在购进机器时, 可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间, 如果备件不足再购买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应 同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器在 三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图 7-1: 图 7-1 以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更 换的易损零件数发生的概率,记 X 表示 2 台机器三年内共需更 换的易损零件数,n 表示购买 2 台机器的同时购买的易损零件 数. (1)求 X 的分布列; (2)若要求 P(X≤n)≥0.5,确定 n 的最小值; (3)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n= 19 与 n=20 之中选其一,应选用哪个? 解:(1)由柱状图并以频率代替概率可得,一台机器在三年 内需更换的易损零件数为 8,9,10,11 的概率分别为 0.2 ,0.4 , 0.2,0.2,从而 P(X=16)=0.2×0.2=0.04; P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16; P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24; P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24; P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2; P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08; P(X=22)=0.2×0.2=0.04. 所以 X 的分布列为: (2)由(1)知,P(X≤18)=0.44,P(X≤19)=0.68, ∴P(X≤n)≥0.5 中,n 的最小值为 19. X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04 (3)记 Y 表示 2 台机器在购买易损零件上所需的费用(单位: 元). 当n=19时,E(Y)=19×200+500×0.2+1000×0.08+ 1500×0.04=4040. 当 n=20 时, E(Y)=20×200+500×0.08+1000×0.04=4080. 可知当 n=19 时所需费用的期望值小于 n=20 时所需费用 的期望值,故应选 n=19. 【名师点评】(1)高考中经常以统计图的形式显示相关的数 据信息,以统计图为载体来考查概率的相关问题.本小题主要考 查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体 分布的统计方法,考查运用概率统计知识解决实际问题的能力; (2)散点图与线性回归方程的有关知识,是高考考试的重要 知识点,因此是高考命题的一种重要题型,要注意熟练掌握.统 计问题最容易出错的两个方面:公式记错、计算出错! 【互动探究】 1.为建立健全国家学生体质健康监测评价机制,激励学生 积极参加身体锻炼,教育部印发《国家学生体质健康标准(2014 年修订)》,要求各学校每学期开展覆盖本校各年级学生的《标 准》测试工作,并根据学生每个学期总分评定等级.某校决定针 对高中学生,每学期进行一次体质健康测试,以下是小明同学 六个学期体质健康测试的总分情况. 学期 x 1 2 3 4 5 6 总分 y/分 512 518 523 528 534 535 (1)请根据上表提供的数据,用相关系数 r 说明 y 与 x 的线 性相关程度,并用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程(线 性相关系数保留两位小数); (2)在第六个学期测试中学校根据《标准》,划定 540 分以 上为优秀等级,已知小明所在的学习小组 10 个同学有 6 个被评 定为优秀,测试后同学们都知道了自己的总分但不知道别人的 总分,小明随机的给小组内 4 个同学打电话询问对方成绩,优 秀的同学有 X 人,求 X 的分布列和期望. 综上所述,y 与 x 的线性相关程度较高. 题型 2 离散型随机变量的期望与方差 随机变量的分布列与数学期望紧密相连,只有知道随机变 量的分布列,才能够计算出随机变量的数学期望,它们之间是 层层递进的关系.因此,这类试题经常是以两个小题的形式出 现,第一问是为第二问作铺垫的. 例 2:自2016 年 1 月 1 日起,我国全面二孩政策正式实施, 这次人口与生育政策的历史性调整,使得“要不要再生一 个”“生二孩能休多久产假”等成为千千万万个家庭在生育决 策上避不开的话题.为了解针对产假的不同安排方案形成的生 育意愿,某调查机构随机抽取了 200 户有生育二胎能力的适龄 家庭进行问卷调查,得到如下数据: 产假安排(单位:周) 14 15 16 17 18 有生育意愿家庭数 4 8 16 20 26 (1)若用表中数据所得的频率代替概率,面对产假为 14 周 与 16 周,估计某家庭有生育意愿的概率分别为多少? (2)假设从 5 种不同安排方案中,随机抽取 2 种不同安排分 别作为备选方案,然后由单位根据单位情况自主选择. ①求两种安排方案休假周数和不低于 32 周的概率; ②如果用ξ表示两种方案休假周数和,求随机变量ξ的分布 列及期望. ②由题知随机变量ξ的可能取值为 29,30,31,32,33,34,35. 因而ξ的分布列为: 所以 E(ξ)=29×0.1+30×0.1+31×0.2+32×0.2+33×0.2 +34×0.1+35×0.1=32. ξ 29 30 31 32 33 34 35 P 0.1 0.1 0.2 0.2 0.2 0.1 0.1 【规律方法】(1)会用频率估计概率,然后把问题转化为互 斥事件的概率; (2)首先确定 X 的取值,然后确定有关概率,注意运用对立 事件、相互独立事件的概率公式进行计算,列出分布列后即可 计算数学期望. (3)离散型随机变量分布列的性质p1+p2+…+pn=1,这条 性质是我们检验分布列是否正确最有效的工具,希望同学们在 求分布列时尽量将每个变量的概率求出,而不要偷懒,否则将 失去自我检查的机会. 【互动探究】 2.某大型商场去年国庆期间累计生成 2 万张购物单,从中 随机抽出 100 张,对每单消费金额进行统计得到下表: 由于工作人员失误,后两栏数据无法辨识,但当时记录表 明,根据由以上数据绘制成的频率分布直方图所估计出的每单 消费额的中位数与平均数恰好相等.用频率估计概率,完成下列 问题: 消费金额 (单位:元) (0,200] (200, 400] (400, 600] (600, 800] (800, 1000] 购物单张数 25 25 30 (1)估计去年国庆期间该商场累计生成的购物单中,单笔消 费额超过 800 元的概率; (2)为鼓励顾客消费,该商场计划在今年国庆期间进行促销 活动,凡单笔消费超过 600 元者,可抽奖一次.抽奖规则为:从 装有大小材质完全相同的 5 个红球和 5 个黑球的不透明口袋中, 随机摸出 4 个小球,并记录两种颜色小球的数量差的绝对值 X, 当 X=4,2,0 时,消费者可分别获得价值 500 元、200 元和 100 元的购物券.求参与抽奖的消费者获得购物券的价值的数学期 望. 解:(1)因消费额在区间(0,400]的频率为 0.5,故中位数估计 值为 400. 设所求概率为 p,而消费额在(0,600]的概率为 0.8. 故消费额在区间(600,800]内的概率为 0.2-p. 因此消费额的平均值可估计为 100×0.25 +300×0.25 + 500×0.3+700×(0.2-p)+900×p. 令其与中位数 400 相等,解得 p=0.05. 题型 3 独立性检验 独立性检验是新课标增加的内容,高考试卷多次以解答题 形式考查,体现新课程的理念,因此我们在备考时也应该引起 足够的重视. 例 3:(2017 年新课标Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、 旧网箱养殖方法的产量对比,收获时各随机抽取了 100 个网箱, 测量各箱水产品的产量(单位:kg), 其频率分布直方图如图 7-2: 图 7-2 (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立,记 A 表示事件“旧 养殖法的箱产量低于 50 kg,新养殖法的箱产量不低于 50 kg”, 估计 A 的概率; (2)填写下面列联表,并根据列联表判断是否有 99%的把握 认为箱产量与养殖方法有关: (3)根据箱产量的频率分布直方图,求新养殖法箱产量的中 位数的估计值(精确到 0.01). 养殖法 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 旧养殖法 新养殖法 附: P(K2≥k) 0.050 0.010 0.001 k 3.841 6.635 10.828 解:(1)记 B 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg”, C 表示事件“新养殖法的箱产量不低于 50 kg”, 由题意知 P(A)=P(BC)=P(B)P(C), 旧养殖法的箱产量低于 50 kg 的频率为(0.012 +0.014 + 0.024+0.034+0.040)×5=0.62,故 P(B)=0.62. 新养殖法的箱产量不低于 50 kg 的频率为(0.068+0.046+ 0.010+0.008)×5=0.66,故 P(C)=0.66. 因此,事件 A 的概率估计值为 0.62×0.66=0.4092. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下: 由于 15.705>6.635,故有 99%的把握认为箱产量与养殖方 法有关. 养殖法 箱产量<50 kg 箱产量≥50 kg 总计 旧养殖法 62 38 100 新养殖法 34 66 100 总计 96 104 200 (3)因为新养殖法的箱产量频率分布直方图中,箱产量低于 50 kg 的直方图面积为(0.004+0.020+0.044)×5=0.34<0.5, 箱产量低于 55 kg 的直方图面积为(0.004+0.020+0.044+ 0.068)×5=0.68>0.5, 故新养殖法箱产量的中位数的估计值为 50+ 0.5-0.34 0.068 ≈ 52.35(kg). 【规律方法】(1)本题是独立性检验问题,关键是由2×2 列联表确定 a,b,c,d,n 的值.高考对独立性检验这部分的要 求是:了解独立性检验(只要求 2×2 列联表)的基本思想、方法 及其简单应用.在复习中,不可小视.(2)利用公式K2= 计算要准确,近似计算要精确到小数点 后三位,可选择满足条件P(K2>k0)=a的k0作为拒绝域的临界值. 【互动探究】 3.中央政府为了应对因人口老龄化而造成的劳动力短缺等 问题,拟定出台“延迟退休年龄政策”.为了解人们对“延迟退 休年龄政策”的态度,责成人社部进行调研.人社部从网上年龄 在 15~65 岁的人群中随机调查 100 人,调查数据的频率分布直 方图和支持“延迟退休”的人数与年龄的统计结果如下: 年龄 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65] 支持“延迟退 休”的人数 15 5 15 28 17 图 7-3 (1)由以上统计数据填 2×2 列联表,并判断能否在犯错误 的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为分界点的不同人群 对“延迟退休年龄政策”的支持度有差异; (2)若以 45 岁为分界点,从不支持“延迟退休”的人中按 分层抽样的方法抽取 8 人参加某项活动.现从这 8 人中随机抽 2 人. ①抽到 1 人是 45 岁以下时,求抽到的另一人是 45 岁以上 的概率; 年龄 45 岁以下 45 岁以上 总计 支持 不支持 总计 ②记抽到 45 岁以上的人数为 X,求随机变量 X 的分布列及 数学期望. 参考数据: P(K2≥k0) 0.100 0.050 0.010 0.001 k0 2.706 3.841 6.635 10.828 解:由频率分布直方图知 45 岁以下与 45 岁以上各 50 人, 故填充 2×2 列联表如下: 因为 K2 的观测值 k= 100×(35×5-45×15)2 50×50×80×20 =6.25>3.841, 所以在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为以 45 岁为 分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”有差异. 45 岁以下 45 岁以上 总计 支持 35 45 80 不支持 15 5 20 总计 50 50 100 ②从不支持“延迟退休”的人中抽取 8 人,则 45 岁以下的 应抽 6 人,45 岁以上的应抽 2 人. 所以 X 的可能取值为 0,1,2, 故随机变量 X 的分布列为:

  • ID:3-5968269 2020年高考数学一轮复习专题六立体几何(3课时)课件理

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    专题六 立体几何 第1课时 题型 切割正方体所得的三视图问题 例题:(1)(2014 年新课标Ⅰ)如图 6-1,网格纸上小正方形 的边长为 1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体 ) 的各条棱中,最长的棱的长度为( 图 6-1 解析:根据题意,得该几何体是如图 6-2 所示的三棱锥 A-BCD,且该三棱锥是放在棱长为 4 的正方体中,所以,在三 图 6-2 答案:C (2)(2017 年北京)某四棱锥的三视图如图 6-3,则该四棱锥 的最长棱的长度为( ) 图 6-3 解析:该几何体是四棱锥,其直观图如图 6-4 所示的 P-ABCD, 图 6-4 几何体为正方体的一部分,最长的棱长为正方体的体对角 答案:B (3)(2016 年北京)某三棱锥的三视图如图 6-5,则该三棱锥 的体积为( ) 图 6-5 A. 1 6 B. 1 3 C. 1 2 D.1 解析:由三视图可得该几何体的直观图为三棱锥 A-BCD, 将其放在长方体中如图 6-6,其中 BD=CD=1,CD⊥BD, 三棱锥的高为 1, 图 6-6 答案:A (4)(2018 年北京)某四棱锥的三视图如图 6-7,在此四棱锥 ) 的侧面中,直角三角形的个数为( 图 6-7 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:如图 6-8,该四棱锥的侧面中,直角三角形有△ABE, △ABC,△ADE,共 3 个. 图 6-8 答案:C (5)(2018 年广东揭阳二模)图 6-9 是某几何体的三视图,图 ) 中每个小正方形的边长均为 2,则此几何体的体积为( 图 6-9 A. 8 3 B. 16 3 C.4 D. 20 3 解析:由已知中的三视图可得:该几何体是棱长为 2 的正 方体截去两个角所得的组合体,其直观图如图 6-10,故组合体 图 6-10 答案:B (6)如图 6-11,网格纸上正方形小格的边长为 1,粗线画出 ) 的是某几何体的三视图,则该几何体的最长棱的长度为( 图 6-11 解析:如图 6-12,该几何体的最长棱的长度为 AD= 图 6-12 答案:C (7)如图 6-13,虚线小方格是边长为 1 的正方形,粗实(虚) ) 线为某几何体的三视图,则该几何体外接球的表面积为( 图 6-13 A.4π B.8π C.16π D.32π 解析:几何体的直观图如图 6-14 所示的三棱锥 O-ABC, 三棱锥 O-ABC 中,∠AOC=∠ABC=90°, 所以外接球的直径为 AC. 图 6-14 所以外接球的表面积 S=4πR2=32π. 答案:D ) (8)一个四棱锥的三视图如图 6-15,则其体积为( 图 6-15 A.11 B.12 C.13 D.16 16.故选 D. 图 6-16 答案:D (9)如图 6-17,网格纸上正方形小格的边长为 1,图中粗线 ) 画的是某几何体的三视图,则该几何体最长棱的长度为( 图 6-17 解析:几何体如图 6-18,则该几何体最长棱的长度为正方 体对角线 2 .故选 D. 图 6-18 答案:D (10)已知一个三棱锥的三视图如图 6-19,主视图和俯视图 都是直角梯形,左视图是正方形,则该几何体最长的棱长为 ( ) 图 6-19 解析:几何体如图 6-20,则该几何体最长的棱长为 CD= 图 6-20 答案:D 第2课时 题型 几何体与球切、接的问题   纵观近几年高考对于组合体的考查,与球相关的外接与内切问题是高考命题的热点之一.高考命题小题综合化倾向尤为明显,要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教学来看,这部分知识是学生掌握较为薄弱、认识较为模糊、看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理.下面结合近几年高考题对球与几何体的切、接问题作深入的探究,以便更好地把握高考命题的趋势和高考的命题思路,力争在这部分内容不失分.从近几年全国高考命题来看,这部分内容以选择题、填空题为主,大题很少见. 例题:(1)在四面体 A-BCD 中,AB=CD=10,AC=BD= ( ) A.50π B.100π C.200π D.300π 解析:对棱相等,构造长方体,四面体 A-BCD 的六条棱分 别是长方体六个面的对角线, ∴a2+b2+c2=200=4R2. 则四面体A?BCD外接球的表面积为4πR2=200π. 答案:C (2)已知三棱锥 P-ABC 的底面为等边三角形,PA ,PB,PC 两两相等且互相垂直,若该三棱锥的外接球半径为 ,则球心 到截面 ABC 的距离为________. (3)(2017 年新课标Ⅰ)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,SC 是球 O 的直径.若平面 SCA⊥平面 SCB,SA= AC,SB=BC,三棱锥 S-ABC 的体积为 9,则球 O 的表面积为 ________. 解析:如图 6-21,取 SC 的中点 O,连接 OA,OB. 因为 SA=AC,SB=BC,所以 OA⊥SC, OB⊥SC. 因为平面 SCA⊥平面 SCB,平面 SCA∩平 面 SCB=SC, 所以 OA⊥平面 SCB. 图 6-21 答案:36π (4)(2016 年新课标Ⅲ)在封闭的直三棱柱 ABC-A1B1C1内有 一个体积为 V 的球,若 AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,则 V 的最大值是( ) 解析:要使球的体积 V 最大,必须使球的半径 R 最大.由题 意知球与直三棱柱的上、下底面都相切时,球的半径取得最大 答案:B (5)(2015 年新课标Ⅱ)已知 A,B 是球 O 的球面上两点, ∠AOB=90°,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的 最大值为 36,则球 O 的表面积为( ) A.36π B.64π C.144π D.256π 解析:如图 6-22,当点 C 位于垂直于面 AOB 的直径端点 时,三棱锥O-ABC的体积最大,设球O的半径为R,此时VO-ABC =4πR2=144π.故选 C. 图 6-22 答案:C (6)(2014 年大纲)正四棱锥的顶点都在同一球面上,若该棱 锥的高为 4,底面边长为 2,则该球的表面积是( ) 答案:A (7)已知四面体 P-ABC,其中△ABC 是边长为 6 的等边三角 形,PA ⊥平面 ABC,PA =4,则四面体 P-ABC 外接球的表面积 为________. 答案:64π (8)已知一个三棱锥的所有棱长均为 ,则该三棱锥的内切 球的体积为________. 图 6-23 设内切圆的半径为 r, (9)在四面体 ABCD 中,AB=AC=2 ,BC=6,AD⊥底 面 ABC,△DBC 的面积是 6,若该四面体的顶点均在球 O 的表 ) 面上,则球 O 的表面积是( A.24π C.46π B.32π D.49π 解析:设球的半径为 R,设底面三角形外接圆半径为 r, 答案:D (10)已知三棱锥 S-ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, △ABC 是边长为 1 的正三角形,SC 为球 O 的直径,且 SC=2, 则此棱锥的体积为( ) 解析:取 AB 的中点 D,连接 SD,CD,则 AB⊥SD, AB⊥CD. 所以 AB⊥平面 SDC. 因为 SC 为球 O 的直径,且 SC=2, 所以∠SBC=∠SAC=90°. 答案:A 答案:D (12)已知球面上有四个点 A,B,C,D,球心为点 O,O 在 面积为________. 解析:由题意知,CD 为该球的直径,由此易知,当顶点 A 在底面的射影为球心 O 时,且底面 BCD 为等腰直角三角形时, 求球 O 的表面积为 S=4πR2=16π. 答案:16π 第3课时 题型 1 利用空间向量求空间角(距离) 就新课标卷而言,对立体几何的命题基本上是“一题两 法”的格局.在备考中,对理科考生而言,还是应该注重两种方 法并重,不要盲目地追求空间向量(容易建系时才用空间向量), 千万不要重计算而轻论证! 例 1:(2018 年新课标Ⅱ)如图6-24,在三棱锥 P-ABC 中, (1)证明:PO⊥平面 ABC; (2)若点 M 在棱 BC 上,且二面角 M-PA -C 为 30°,求 PC 与平面 PAM 所成角的正弦值. 图 6-24 (1)证明:因为 PA =PC=AC=4,O 为 AC 的中点, 图 6-25 【规律方法】立体几何中的直线与平面的位置关系,以及 空间的三种角,是高考的必考内容,都可以采用传统的方法来 处理,对于直线与平面间几种位置关系,可采用平行垂直间的 转化关系来证明,对于异面直线所成的角、直线与平面所成的 角和二面角可分别通过平移法、射影法和垂面法将它们转化为 相交直线所成的角来处理.本题主要考查立体几何中传统的平 行与垂直关系,并且考查了线面所成的角,难度并不是太大, 旨在考查考生的对解题技巧的把握和抽象分析能力. 【互动探究】 1.(2017 年新课标Ⅰ)如图6-26,在四棱锥 P-ABCD 中,AB ∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°. (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD ; (2)若 PA =PD=AB=DC,∠APD=90°,求二面角A-PB-C 的余弦值. 图 6-26 (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90° ,得 AB⊥AP, CD⊥PD. 由于 AB∥CD,故 AB⊥PD.又 AP∩PD=P,从而 AB⊥平 面 PAD . 又 AB?平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAD . (2)解:在平面 PAD 内作 PF⊥AD,垂足为 F, 由(1)可知,AB⊥平面 PAD ,故 AB⊥PF,可得 PF⊥平面 ABCD. 建立如图 D88 所示的空间直角坐标系 F-xyz. 图 D88 题型 2 折叠问题 将平面图形沿其中一条或几条线段折起,使其成为空间图 形,把这类问题称为平面图形的翻折问题.平面图形经过翻折成 为空间图形后,原有的性质有的发生了变化,有的没有发生变 化,弄清它们是解决问题的关键.一般地,翻折后还在同一个平 面上的性质不发生变化,不在同一个平面上的性质发生变化.解 决这类问题就是要据此研究翻折以后的空间图形中的线面关系 和几何量的度量值,这是化解翻折问题难点的主要方法. 例 2:(2018 年新课标Ⅰ)如图6-27,四边形 ABCD 为正方 形,E,F 分别为 AD,BC 的中点,以 DF 为折痕把△DFC 折 起,使点 C 到达点 P 的位置,且 PF⊥BF. (1)证明:平面 PEF⊥平面 ABFD; (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值. 图 6-27 (1)证明:由已知可得,BF⊥PF,BF⊥EF, 又 PF∩EF=F,所以 BF⊥平面 PEF. 又 BF?平面 ABFD,所以平面 PEF⊥平面 ABFD. (2)解:作 PH⊥EF,垂足为 H.由(1)得,PH⊥平面 ABFD. 建立如图 6-28 所示的空间直角坐标系 H-xyz. 图 6-28 【规律方法】有关折叠问题,一定要分清折叠前后两图形 (折叠前的平面图形和折叠后的空间图形)各元素间的位置和数 量关系,哪些变,哪些不变.如角的大小不变,线段长度不变, 线线关系不变,再由面面垂直的判定定理进行推理证明. 【互动探究】 图 6-29 2.如图6?29,在长方形ABCD中,AB=4,BC=2,现将△ACD沿AC折起,使D折到P的位置且P在平面ABC的射影E恰好在线段AB上. (1)证明:AP⊥PB; (2)求锐二面角B?PC?E的余弦值. (1)证明:由题意,知 PE⊥平面 ABC, 又 BC?平面 ABC,∴PE⊥BC. 又 AB⊥BC 且 AB∩PE=E,∴BC⊥平面 PAB. 又 AP?平面 PAB,∴BC⊥AP. 又 AP⊥CP 且 BC∩CP=C,∴AP⊥平面 PBC. 又 PB?平面 PBC,∴AP⊥PB. 图 D89 题型 3 探索性问题 例 3:如图6-30,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是边 长为 2 的菱形,∠ABC=60°,△PAB 为正三角形,且侧面 PAB ⊥底面 ABCD,E 为线段 AB 的中点,M 在线段 PD 上. 图 6-30 (1)当 M 是线段 PD 的中点时,求证:PB∥平面 ACM; (2)求证:PE⊥AC; (3)是否存在点 M,使二面角 M-EC-D 的大小为 60°,若存 在,求出 的值;若不存在,请说明理由. (1)证明:如图 6-31,连接 BD 交 AC 于 H 点,连接 MH, 因为四边形 ABCD 是菱形,所以点 H 为 BD 的中点. 又因为 M 为 PD 的中点,所以 MH∥BP. 又因为 BP  平面 ACM,MH?平面 ACM, 所以 PB∥平面 ACM. 图 6-31 (2)证明:因为△PAB 为正三角形,E 为 AB 的中点, 所以 PE⊥AB. 因为平面 PAB⊥平面 ABCD,平面 PAB∩平面 ABCD=AB, PE?平面 PAB, 所以 PE⊥平面 ABCD. 又因为 AC?平面 ABCD,所以 PE⊥AC. (3)解:因为 ABCD 是菱形,∠ABC=60°,E 是 AB 的中点, 所以 CE⊥AB. 图 6-32 又因为 PE⊥平面 ABCD, 以 E 为原点,分别以 EB,EC,EP 为 x,y,z 轴, 因为二面角 M-EC-D 的大小为 60°, 【互动探究】 3.如图 6-33,在四棱锥 P-ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, 平面 PAD ⊥底面 ABCD,且△PAD 是边长为 2 的等边三角形, PC= ,M 在 PC 上,且 PA ∥平面 MBD. (1)求证:M 是 PC 的中点; (2)在 PA 上是否存在点 F,使二面角 AF AP 的值; F-BD-M 为直角?若存在,求出 若不存在,说明理由. 图 6-33 (1)证明:连接 AC 交 BD 于 E,连接 ME.∵ABCD 是矩形, ∴E 是 AC 中点.又 PA∥平面 MBD,且 ME 是平面 PAC 与平面 MDB 的交线,∴PA∥ME.∴M 是 PC 的中点. 图 D90 (2)解:取 AD 中点 O,由(1)知 OA,OE,OP 两两垂直.以 O 为原点,OA,OE,OP 所在直线分别为 x 轴,y 轴,z 轴建立 空间直角坐标系(如图 D90),则各点坐标为 A(1,0,0),B(1,3,0),

  • ID:3-5968266 2020年高考数学一轮复习专题二三角函数与平面向量课件理

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    专题二 三角函数与平面向量 题型 1 三角函数和解三角形 有关三角知识与解三角形的综合是全国各地的高考题中的一种重要题型,对于这类题,通常是先利用正弦定理或者余弦定理,将边的关系转化为只含有角的关系,再利用三角知识来处理.本题考查解三角形、三角恒等变换、两角和差公式以及正弦定理的应用. 例 1:(2018年天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边 (1)求角 B 的大小; (2)设 a=2,c=3,求 b 和 sin(2A-B)的值. 【互动探究】 题型 2 三角函数和平面向量 三角函数与平面向量的综合,是近几年全国各地高考试题中的一种重要题型,已成为热点.而广东高考仅在2007年、2009年中考查了三角与平面向量的结合,也只是用“平面向量”来包装,其实质还是考查三角函数的图象和性质.这不是因为平面向量不重要,而是平面向量常常与解析几何、平面几何、数列、方程、不等式等相结合,早已成为各类考试中的新热点.三角函数、解三角形与平面向量的结合主要体现在以下两个方面:(1)以三角函数式作为向量的坐标,由两个向量共线、垂直、求模或求数量积获得三角函数解析式;(2)根据平面向量加法、减法的几何意义构造三角形,然后利用正、余弦定理解决问题. 例 2:(2017 年江苏)已知向量 a=(cos x,sin x), b=(3, (1)若 a∥b,求 x 的值; (2)记 f(x)=a·b,求 f(x)的最大值和最小值以及对应的 x 的值. 【规律方法】(1)本题考查向量的平行和向量的数量积以及 三角函数的化简和三角函数的性质,属于基础题. (2)高考中经常将三角变换与解三角形知识综合起来命题, 其中关键是三角变换,而三角变换中主要是“变角、变函数名 和变运算形式”,其中的核心是 “变角”,即注意角之间的结 构差异,弥补这种结构差异的依据就是三角公式. 【互动探究】 题型 3 三角中的范围问题 换一角度理解,显然当S△ABC取最大值时,对b,c要求相 同,因此必有 b=c. 图 D34 【互动探究】

  • ID:11-5967205 2020版高考生物总复习第1讲走近细胞(课件+试卷2份打包)新人教版

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    第一单元 走近细胞和组成细胞的分子 第1讲 走近细胞 【考纲解读】 最新考纲 细解考点 核心素养 1.原核细胞和真核细胞的异同(Ⅱ) 2.细胞学说的建立过程(Ⅰ) 3.实验:用显微镜观察多种多样的 细胞 1.认同细胞是最基本的生命系统 2.说出生命系统的结构层次 3.说出病毒与细胞的关系 4.说出原核细胞的结构特点及原核细胞和真核细胞的相同点 5.说出原核细胞代谢、遗传和变异的特点 6.说出细胞学说的内容及 意义 1.生命观念——结构与功能观:原核细胞与真核细胞与功能的适应 2.科学思维——比较与分类:生命系统层次的认识;原核细胞与真核细胞的比较 3.科学探究——观察与分析:使用显微镜观察多种多样的细胞 考点一 细胞是最基本的生命系统 研析教材 内化基本概念 1.生命活动离不开细胞 (1)病毒:无细胞结构,但必须依赖 才能进行正常的生命活动。 (2)单细胞生物:依赖 完成各项生命活动。 (3)多细胞生物:依赖 的细胞密切合作,共同完成复杂的生命活动。 活细胞 单个细胞 各种分化 2.多细胞生物生命活动的基础(连线) 提示:①—c ②—a ③—b 生命活动 基础 ①生物与环境之间  物质和能量交换 a.细胞的增殖、分化 ②生长发育 b.细胞内基因的  传递和变化 ③遗传与变异 c.细胞代谢 3.生命系统的结构层次 (1)最基本的生命系统是 ,最大的生命系统是 。 (2)植物没有 层次,单细胞生物没有 、器官、 这三个层次。 (3)地球上最早的生命形式是 ,最简单的生命形式且不属于生命系统的是 。 (4)生物繁殖和进化的基本单位是 ,生态系统由 及其所处的无机环境构成。 细胞 生物圈 系统 组织 系统 单细胞生物 病毒 种群 群落 【深挖教材】 (1)病毒属于生命系统的结构层次吗?是生物吗?请说明理由。 提示:病毒无细胞结构,不能独立生存,故不属于生命系统的结构层次;但病毒在宿主细胞中能进行新陈代谢,能繁殖产生后代,故是生物。 (2)病毒能用普通培养基培养吗?请说明理由。 提示:不能。病毒无独立代谢能力,只能寄生在活的宿主细胞内,故不能用普通培养基培养。 思考探究 培养科学思维 据图分析病毒的结构和特点 (1)HIV和T2噬菌体分别主要由什么成分构成?这些成分的合成场所在哪里? (2)HIV和T2噬菌体相比,变异性更大,原因是什么? (3)HIV的最外层有脂质膜包被,推测其进入宿主细胞的方式是怎样的? (4)噬菌体是专一侵染细菌的病毒,如果想用放射性同位素标记法标记T2噬菌体,该如何操作?请写出基本思路。 提示:(1)HIV主要由RNA和蛋白质组成;T2噬菌体由DNA和蛋白质组成。这些物质都是利用宿主细胞的原料和相关结构合成的。 (2)HIV的RNA是单链结构,不稳定,容易发生变异。 (3)依靠脂质膜和细胞膜的融合,以类似胞吞的方式进入宿主细胞。 (4)先用含有放射性的培养基培养细菌,再用标记后的细菌培养T2噬菌体。 剖析题型 提升核心素养 题型一 生命系统的结构层次及相互关系 1.下列关于生命系统的叙述,错误的是(   ) A.一个变形虫在生命系统中既属于细胞层次,又属于个体层次 B.并非所有生物都具有生命系统的各个层次 C.个体是生命系统中能完整表现生命活动的最小层次 D.生命系统的各个层次可以相互联系,如种群、群落 解析:单细胞生物既属于细胞层次,又属于个体层次;植物无系统层次,病毒不属于生命系统的任何一个层次;细胞是生命系统的最基本层次,是能完整表现生命活动的最小层次;生命系统的各个层次之间是相互联系的,如一定区域内的所有种群构成群落。 C 题型二 病毒及其与细胞的关系 2.(2018·全国Ⅱ卷)下列关于病毒的叙述,错误的是(   ) A.从烟草花叶病毒中可以提取到RNA B.T2噬菌体可感染肺炎双球菌导致其裂解 C.HIV可引起人的获得性免疫缺陷综合征 D.阻断病毒的传播可降低其所致疾病的发病率 解析:烟草花叶病毒由RNA和蛋白质组成,故可从烟草花叶病毒中提取到RNA; T2噬菌体是专门寄生在大肠杆菌细胞内的病毒,在大肠杆菌体内增殖可导致其裂解;HIV主要攻击人的T细胞,使人体免疫力下降,引起人的获得性免疫缺陷综合征;病毒感染引发的疾病通常具有传染性,阻断病毒的传播,即切断传播途径,可降低其所致疾病的发病率。 B 3.(2018·山东临沂期中)诺瓦克病毒是一种单链RNA病毒,人生食其污染的贝类会引发急性腹泻。则该病毒(   ) A.进入消化道后,在消化液中进行增殖 B.RNA能直接整合到宿主细胞的染色体上 C.遗传信息储存在RNA的核糖核苷酸序列中 D.在其核糖体上合成自身的蛋白质 解析:病毒必须通过侵染细胞进行增殖,不能在消化液中进行增殖;病毒的RNA不能整合到人细胞的染色体上;诺瓦克病毒是一种单链RNA病毒,遗传信息储存在RNA的核糖核苷酸序列中;病毒没有细胞结构,在宿主细胞的核糖体上合成病毒的蛋白质。 C 题后提升 病毒的相关知识整合 考点二 原核细胞与真核细胞的异同及细胞学说 研析教材 内化基本概念 1.原核细胞与真核细胞 (1)图1属于 ,图2属于 。(填“原核细胞”或“真核细胞”) (2)图1代表的细胞与图2代表的细胞最主要的区别是____________________ _____________________;两类细胞共有的细胞器是 。 (3)写出图1细菌细胞中下列结构的名称: ① ;⑤ ;⑥ 。 (4)图1蓝藻细胞中无图2细胞中的⑥ ,但也能进行光合作用的原因是 。 原核细胞 真核细胞 图1代表的细胞没有以 核膜为界限的细胞核 核糖体 拟核 核糖体 鞭毛 叶绿体 其细胞中含有叶绿素和藻蓝素及光合作用所需的酶 (5)列表比较原核细胞和真核细胞 核膜 核膜 纤维素 核糖体 拟核 同时 比较项目 原核细胞 真核细胞 本质区别 无以 为界限的细胞核 有以 为界限的细胞核 细胞壁 主要成分为肽聚糖 植物细胞细胞壁的主要成分是 和果胶 细胞质 有 ,无其他细胞器 有核糖体和其他细胞器 细胞核 有 ,无核膜和核仁 有核膜和核仁 转录和 翻译 转录、翻译可 进行 转录主要在核内,翻译在细胞质(核糖体)内 遵循 不遵循 是否遵循 遗传定律 不遵循孟德尔遗传定律 核基因 ,质基因_________ 可遗传变 异类型 基因突变 基因突变、基因重组和染色体变异 2.细胞学说的建立 (1)细胞学说建立过程[连线] 提示:①—b—Ⅱ ②—c—Ⅰ ③—a—Ⅲ (2)基本内容 ①细胞是一个有机体,一切 都由 发育而来,并由细胞和细胞产物所构成。 ②细胞是一个 的单位,既有它自己的生命,又对与其他细胞共同组成的整体的生命起作用。 ③新细胞可以从 中产生。 (3)意义 ①揭示了细胞 和生物体结构统一性。 ②揭示了生物之间存在一定的 关系。 动植物 细胞 相对独立 老细胞 统一性 亲缘 【深挖教材】 细胞学说涉及的生物范围是什么? 提示:细胞学说仅涉及动植物细胞,不涉及原核细胞、真菌和病毒。 思考探究 培养科学思维 1.分析细胞多样性的“两个”原因 (1)直接原因: 。 构成细胞的蛋白质分子具有多样性 (2) 基因(DNA分子) 基因选择性表达 根本 原因 2.归纳细胞统一性的“五个”表现 细胞膜 细胞 质 种类 ATP 细胞分裂 DNA 核糖体 3.从细胞生命活动的角度分析,为什么原核细胞和真核细胞都具有核糖体这一种细胞器? 提示:蛋白质是细胞生命活动的主要承担者,蛋白质的合成场所是核糖体。 剖析题型 提升核心素养 题型一 原核细胞与真核细胞的异同 1.(2018·海南卷)关于酵母菌和乳酸菌的叙述,错误的是(   ) A.酵母菌和乳酸菌都能进行无氧呼吸 B.酵母菌有线粒体,而乳酸菌无线粒体 C.酵母菌具有细胞核,而乳酸菌具有拟核 D.溶菌酶能破坏酵母菌和乳酸菌的细胞壁 解析:酵母菌和乳酸菌都能进行无氧呼吸,但产物不同;酵母菌为真核生物,细胞中含有线粒体,乳酸菌为原核生物,细胞中不含线粒体;酵母菌具有细胞核,而乳酸菌具有拟核;溶菌酶只能破坏乳酸菌等细菌的细胞壁。 D 2.(2018·山东临沂期中)下列有关绿藻和蓝藻共性的叙述,正确的是(   ) A.细胞壁的形成都与高尔基体有关 B.都能产生基因突变和染色体变异 C.都能进行细胞分裂和细胞分化 D.都含有与光合作用有关的酶和色素 解析:绿藻是真核细胞,蓝藻是原核细胞。原核细胞没有高尔基体和染色体;单细胞的藻类没有细胞分化;绿藻和蓝藻都能进行光合作用,都含有与光合作用有关的酶和色素。 D 3.(2018·北京顺义区期末)下列关于原核生物和真核生物的叙述,正确的是(   ) A.没有核膜和染色体的细胞一定是原核生物的细胞 B.含有有氧呼吸酶的生物不可能是原核生物 C.真核生物只进行有丝分裂,原核生物只进行无丝分裂 D.真核生物细胞具有复杂的生物膜系统,有利于细胞代谢有序进行 解析:没有核膜和染色体的细胞不一定是原核生物的细胞,如高等植物成熟的筛管细胞,细胞中无细胞核,A错误;含有有氧呼吸酶的生物可能是原核生物或真核生物,B错误;真核生物可进行有丝分裂、减数分裂或无丝分裂,原核生物不能进行无丝分裂,可进行二分裂,C错误。 D 题后提升 真、原核细胞的6个不一定 (1)不属于真核生物的不一定就是原核生物,病毒没有细胞结构,既非原核生物也非真核生物。 (2)带“菌”的不一定都是细菌(原核生物),如酵母菌是真核生物。 (3)带“藻”的不一定都是原核生物,如绿藻是真核生物。 (4)能进行光合作用的细胞不一定都含有叶绿体,如蓝藻无叶绿体。 (5)能进行有氧呼吸的细胞不一定都含有线粒体,如硝化细菌。 (6)没有细胞核的细胞不一定都是原核细胞,如哺乳动物的成熟红细胞。 题型二 细胞学说的相关考查 4.下列关于细胞学说及其建立过程的叙述,不正确的是(   ) A.离不开显微技术的支持 B.需要科学思维和实验的结合 C.论证了动植物的统一性 D.标志着生物学的研究进入分子水平 解析:细胞体积较小,需借助于显微镜才能观察到,因此细胞学说的建立过程离不开显微技术的支持;细胞学说及其建立过程需要理性思维和实验的结合;细胞学说认为动植物都是由细胞构成的,论证了动植物的统一性;细胞学说及其建立标志着生物学的研究进入细胞水平。 D 5.下列关于细胞学说及其建立的叙述正确的是(   ) A.细胞学说认为细胞分为真核细胞和原核细胞 B.细胞学说阐明了细胞的统一性和生物体结构的统一性 C.细胞学说认为一切生物都是由细胞构成的 D.细胞均通过有丝分裂产生新细胞 解析:细胞学说并没有提出原核细胞和真核细胞的划分;细胞学说认为所有动植物都是由细胞及细胞产物组成,阐明了细胞的统一性和生物体结构的统一性,但并没有说所有生物都是由细胞构成的,如病毒没有细胞结构;细胞学说认为新细胞可以从老细胞中产生,但并没有指出具体的分裂方式,一般真核生物的体细胞通过有丝分裂方式进行增殖,原核生物通过二分裂方式进行增殖。 B 考点三 实验:用显微镜观察多种多样的细胞 实验基础 1.实验原理 (1)显微镜的放大倍数是指物体 的放大倍数,而不是面积或体积的放大倍数。 长度或宽度 (2)放大倍数= 。 (3)高倍显微镜的作用:可以将细胞放大,更清晰地观察到细胞的形态、结构,有利于区分不同的细胞。 目镜放大倍数×物镜放大倍数 2.实验步骤 (1)低倍镜:取镜→安放→ →压片→ →观察。 (2)高倍镜观察的“四字诀”。 ①“找”:在 下“找”到目标。 ②“移”:“移”动装片,使目标位于 。 ③“转”:“转”动 ,换用高倍镜。 ④“调”:“调”节 ,使视野亮度适宜;“调”节 ,使物像清晰。 对光 调焦 低倍镜 视野中央 转换器 光圈 细准焦螺旋 重点透析 1.目镜和物镜的结构及其长短与放大倍数之间的关系 (1)目镜越长,放大倍数越小,反之则放大倍数越大。 (2)物镜越长,放大倍数越大,距离装片越近,如H1;反之则放大倍数越小,距离装片越远,如H2。 2.高倍镜与低倍镜的比较 3.成像特点及装片移动规律 (1)显微镜下所成的像是倒立放大的虚像,倒立是指上下、左右均颠倒180度,相当于将观察物水平旋转180度。 (2)装片的移动规律:装片与物像移动方向相反,相对于视野中央,物像偏向哪个方向,装片就向哪个方向移动,即“同向移动”。 物像 大小 看到细 胞数目 视野 亮度 物镜与载 玻片的距离 视野 范围 高倍镜 大 少 暗 近 小 低倍镜 小 多 亮 远 大 题型演练 题型 显微镜的操作及观察结果 1.(2018·海南卷)关于普通光学显微镜的使用,下列叙述正确的是(   ) A.在高倍镜下观察时,用粗准焦螺旋调整焦距 B.高倍镜下无法观察到花生子叶中被染色的脂肪颗粒 C.由低倍镜转到高倍镜前,将待观察目标移至视野中央 D.高倍镜下可以观察到细胞膜清晰的暗—亮—暗三层结构 C 解析:在高倍镜下观察时,只能用细准焦螺旋调整焦距;高倍镜下可以清晰地观察到花生子叶中被染色的脂肪颗粒;由低倍镜转到高倍镜前,将待观察目标移至视野中央;高倍镜下无法观察到细胞膜清晰的暗—亮—暗三层结构。 2.(2019·河南洛阳月考)观察细胞结构时,下列说法正确的是(   ) A.低倍镜下物像清晰,换高倍镜后视野变暗,应首先调节细准焦螺旋 B.用光学显微镜观察神经细胞,可以观察到核糖体以及突触小体等结构 C.视野中有异物,转动目镜发现异物不动,移动装片也不动,则异物可能在物镜上 D.制作口腔上皮细胞装片时为防止产生气泡,首先在载玻片上滴加1~2滴清水,然后再盖载玻片 C 解析:低倍镜转换成高倍镜后视野变暗,应先通过调节光圈和反光镜调节亮度;光学显微镜下观察不到核糖体,核糖体在电子显微镜下才能观察到;转动目镜、移动装片异物均不动,异物可能在物镜上;制作口腔上皮细胞装片时应滴加生理盐水,盖上盖玻片时,盖玻片一端接触水滴,缓缓放下可防止产生气泡。 3.用显微镜的一个目镜分别与4个物镜组合来观察某一细胞装片。当成像清晰时,每一物镜与载玻片的距离如图甲所示。图乙是图甲中d条件下观察到的视野,如果不改变载玻片位置、光圈及反光镜,下列说法正确的是(   ) A.b条件下比c条件下看到的细胞数多 B.a条件下视野的亮度比d条件下大 C.a条件下可能观察不到细胞 D.由d条件下转变为c条件下观察时,应先将装片向左下方移动 C 解析:根据物镜距载玻片的距离,可判断物镜放大倍数的高低,b条件下物镜放大倍数高于c条件下物镜放大倍数,则b条件下比c条件下看到的细胞数目少;a条件下物镜放大倍数大于d条件下物镜放大倍数,放大倍数越大,视野越暗;在d条件下看到的物像在右上方,转化为a或c条件下观察时,应将载玻片向右上方移动,如果不改变载玻片位置,可能观察不到细胞。 课堂小结 【构建知识网络】 【记忆核心要点】 1.病毒没有细胞结构,只有依赖活细胞才能生活。 2.细胞是最基本的生命系统。 3.原核细胞与真核细胞最主要的区别是原核细胞没有成形的细胞核;共有的结构是细胞膜、细胞质和核糖体。 4.原核生物主要包括细菌和蓝藻两大类。 5.蓝藻没有叶绿体,但含有藻蓝素和叶绿素,能进行光合作用。 6.细胞学说揭示了细胞的统一性和生物体结构的统一性。 科学探究系列1 实验材料的选择 【素能培养】 生物科学是一门实验科学,生物科学的发展过程就是生物学家不断观察生命现象,提出假设、实验验证、得出科学结论的过程。在这些探究过程中,经典生物实验无一例外在选择实验材料中有其独到之处。鉴于此,选择理想的生物实验材料是生物科学实验、生物科学探究成败的关键之一。而选择适合的生物实验材料是制订计划与实施计划的关键。生物实验材料的选择应注意以下几点: (1)选择的生物材料应是当地较常见、易于获得的材料。 (2)选择的生物材料应健壮、新鲜。健壮的生物材料新陈代谢才旺盛,生物学特征才明显,用作实验效果才好。 (3)选择的生物材料应价格便宜、成本低廉。这是做任何实验都必须考虑的经济因素。 (4)最关键的选择原则应该是符合实验目的与要求。 1.有色、无色材料的选择和处理 实验名称 实验材料 及处理 取材主要原因 鉴定还原糖实验 苹果或梨的 匀浆 用还原糖丰富的,白色或近于白色的材料,以避免色素对实验现象造成干扰 观察DNA和RNA在细胞中的分布 人的口腔上皮细胞 取材方便,细胞结构完整且无色 观察植物细胞质壁分离及复原实验 紫色洋葱表皮细胞 细胞内具有中央液泡,且液泡内含有色素便于观察实验现象 用高倍镜观察叶绿体和线粒体实验 新鲜藓类的叶或者菠菜叶、黑藻叶、人的口腔上皮细胞 藓类植物的叶薄而小,叶绿体清晰,可取整个叶制片,选用菠菜叶(稍带叶肉)的下表皮(因为叶肉细胞中含有叶绿体) 2.实验材料的生理状态的选择 实验名称 实验材料及处理 取材原因 细胞膜的提取实验 哺乳动物成熟的红细胞 该细胞内无细胞核和各种细胞器,避免了其他膜结构对细胞膜的干扰 比较过氧化氢酶在不同条件下的分解 新鲜的肝脏研磨液 肝脏是人体内重要的解毒器官,富含H2O2酶 绿叶中色素提取和 分离 新鲜的绿叶(如菠菜的绿叶) 使滤液中含较多的色素 观察根尖分生组织细胞的有丝分裂实验 洋葱根尖 该部位细胞分裂旺盛,易观察到分裂期染色体的行为变化 【针对训练】 1.在生物组织中还原糖、脂肪、蛋白质的鉴定实验中,关于实验材料的选择的叙述,错误的是(   ) A.甘蔗茎的薄壁组织、甜菜的块根等都含有较多的糖,且近于白色,因此可以用于进行还原糖的检测 B.花生种子含脂肪多,且子叶肥厚,是用于脂肪鉴定的理想材料 C.大豆种子蛋白质含量高,是进行蛋白质鉴定的理想植物材料 D.鸡蛋清含蛋白质多,是进行蛋白质鉴定的理想动物材料 A 解析:甘蔗茎和甜菜的块根中含有的是蔗糖,蔗糖是非还原糖,不能作为还原糖检测的材料。 2.(2018·山东聊城一模)洋葱是常用的生物学实验材料,下列叙述错误的是(   ) A.取紫色洋葱鳞片叶外表皮制成装片,可用于观察植物细胞质壁分离和复原 B.取洋葱管状叶进行叶绿体中色素提取与分离,可观察到四条色素带 C.取紫色洋葱鳞片叶外表皮处理后制成装片,用于观察DNA和RNA在细胞中的分布 D.取洋葱幼根低温诱导后制成装片,可用于观察细胞染色体数目的变异 C 解析:观察DNA和RNA在细胞中的分布的实验应选择洋葱鳞片叶内表皮处理后制成装片,因为洋葱鳞片叶外表皮细胞颜色较深,影响实验观察。 3.下列关于实验材料选择或实验方法的描述,错误的是(   ) C 选项 实验内容 实验材料或方法 A 蛋白质的鉴定 可选用新鲜的或煮沸过的豆浆作为材料 B 观察植物细胞质壁分离和复原 可选用黑藻叶片作为材料 C 探究植物生长素类似物对扦插枝条生根的影响 将插条浸泡在系列浓度梯度的生长素类似物溶液中让其生根 D 利用样方法调查种群密度 采用随机取样 解析:蛋白质的鉴定时,可以选用新鲜的或煮沸过的豆浆作为材料(煮沸不会破坏肽键结构),豆浆中含有丰富的蛋白质;黑藻叶片的叶肉细胞属于成熟的植物细胞,其中含有叶绿体可以起到参照作用,可以用于观察植物细胞质壁分离和复原;浸泡法处理插条就是将插条浸泡在配制好的生长素类似物溶液中一段时间,然后取出进行扦插让其生根,不是在生长素类似物溶液中生根;利用样方法调查种群密度,要求随机取样。 第1讲 走近细胞 测控导航表 知识点 题号 1.细胞是最基本的生命系统 1,4 2.病毒 2,3 3.原核细胞与真核细胞 5,6,7,8,13,14,15,16 4.细胞学说 9,10 5.显微镜的使用和观察 11,12 6.综合考查 17 一、选择题 1.美国细胞生物学家威尔逊曾经说过:“每一个生物科学问题的答案都必须在细胞中寻找。”他作出这一结论的理由最可能是( C ) A.细胞内能发生一切生命活动 B.有些生物是由一个细胞构成的 C.各种生物的生命活动是在细胞内或细胞参与下完成的 D.细胞是一切生物体结构和功能的基本单位 解析:无论是细胞生物还是病毒,其生命活动都离不开细胞,因此各种生物的生命活动是在细胞内或细胞的参与下完成的。 2.(2018·北京四中期中)寨卡病毒是一种虫媒病毒,通过伊蚊属蚊子的叮咬进行传播,能够让人患上寨卡病。下列关于病毒的叙述,正确的是( B ) A.病毒是生命系统最基础的结构层次 B.病毒是不含细胞结构的生物 C.病毒的遗传物质都是RNA D.病毒可在内环境中完成增殖 解析:病毒不是生命系统的结构层次;病毒是不具有细胞结构的生物;病毒的遗传物质是DNA或RNA;病毒必须在宿主细胞内完成增殖,不能在内环境中完成增殖。 3.(2018·山东济南模拟)下列有关病毒的叙述正确的是( D ) A.病毒结构简单,只有核糖体这一种细胞器 B.病毒侵染宿主细胞时,只有遗传物质核酸进入细胞内 C.机体清除入侵体内的病毒只依赖于细胞免疫 D.利用同位素标记法分别标记宿主细胞的U或T,然后接种病毒,可确定病毒的遗传物质的类型 解析:病毒不具有细胞结构,无核糖体;多数动物病毒侵入宿主细胞是通过宿主细胞的内吞作用,整个病毒都进入宿主细胞内;机体清除入侵体内的病毒依赖于细胞免疫和体液免疫;病毒的遗传物质是DNA或RNA,DNA的特征成分是胸腺嘧啶,RNA的特征成分是尿嘧啶,因此利用同位素标记法分别标记宿主细胞的U或T,然后接种病毒,可确定病毒的遗传物质的类型。 4.下列各项分别属于生命系统的哪个结构层次( C ) ①一个细菌 ②一个湖泊中的全部鲫鱼 ③一片草地 ④一个生态瓶中的全部生物 A.细胞 种群  群落  生态系统 B.细胞 群落  生态系统  种群 C.个体 种群  生态系统  群落 D.个体 群落  种群  生态系统 解析:细菌为单细胞生物,故一个细菌属于细胞或个体层次;一个湖泊中的全部鲫鱼属于种群层次;一片草地既包括生物部分也包括无机环境,故属于生态系统层次;一个生态瓶中的全部生物属于群落层次。 5.(2019·山东青岛月考)下列有关酵母菌和乳酸菌的说法,正确的是( D ) A.都含有核糖体且细胞壁的成分相同 B.都可进行有丝分裂 C.都具有成形的细胞核且遗传物质都是DNA D.都能进行细胞呼吸但不一定产生CO2 解析:两者都含有核糖体,但细胞壁成分不同;乳酸菌是原核生物,没有染色体,不进行有丝分裂,没有成形的细胞核;乳酸菌进行无氧呼吸,产物是乳酸,没有CO2。 6.如图分别表示蓝藻和水绵两种生物,下列有关叙述错误的是( B ) A.两者都含有光合色素 B.两者的DNA均不与蛋白质结合 C.两者含有核酸的主要场所不同 D.两者细胞内均可完成能量转换 解析:蓝藻为原核生物,细胞中不含染色体,其DNA主要分布在拟核中,不与蛋白质结合,但在复制和转录时,DNA与DNA聚合酶和RNA聚合酶结合。水绵为多细胞真核生物,细胞核中的DNA和蛋白质结合在一起构成染色体的主要成分。 7.(2018·山东淄博二模)支原体是目前人类发现的细胞最小、结构最简单的原核生物,下列关于支原体的叙述错误的是( A ) A.无染色体,只能通过无丝分裂进行增殖 B.有核糖体,基因的转录和翻译可同时进行 C.有细胞膜,没有复杂的生物膜系统 D.无细胞核,核区DNA能复制并可产生基因突变 解析:原核生物的分裂方式不是无丝分裂,是二分裂。 8.(2018·湖南常德检测)下列叙述错误的是( A ) A.大肠杆菌细胞内不存在由蛋白质和核酸组成的结构 B.细胞中核糖体的合成不一定都与核仁有关 C.含有叶绿素的细胞可能是原核细胞 D.蛔虫细胞、人成熟红细胞都没有线粒体,不能进行有氧呼吸 解析:大肠杆菌细胞内存在由蛋白质和核酸组成的核糖体,原核细胞中无核仁,但能合成核糖体。 9.细胞学说揭示了( B ) A.植物细胞与动物细胞的区别 B.生物体结构的统一性 C.细胞为什么要产生新细胞 D.人们对细胞的认识是一个艰难曲折的过程 解析:细胞学说的内容:①细胞是一个有机体,一切动植物都由细胞发育而来,体现了生物体结构的统一性;②细胞是一个相对独立的单位;③新细胞可以从老细胞中产生。细胞学说未涉及动植物细胞的区别及细胞为什么要产生新细胞等内容。 10.下列关于细胞学说及其建立的叙述,错误的是( C ) A.细胞学说主要是由施莱登和施旺提出的 B.细胞学说的重要内容之一是一切动植物都是由细胞发育而来的 C.细胞学说认为细胞分为真核细胞和原核细胞 D.细胞学说阐明了细胞的统一性和生物体结构的统一性 解析:细胞学说对于真核细胞和原核细胞的区别还没有认识到。 11.(2018·山西太原月考)下面图甲和图乙分别表示不同物镜下观察到的图像。把视野中的标本从图甲转为图乙时,下列描述正确的是( D ) A.正确调节顺序为转动转换器→调节光圈→移动装片→转动细准焦螺旋 B.细胞变大,细胞数目变少,视野变亮 C.移动装片可确定视野中的污物是否在物镜上 D.移动装片时需向右方移动 解析:低倍镜换用高倍镜时应先移动装片,把物像移至视野中央,再转动转换器换用高倍物镜,最后调节光圈和细准焦螺旋;低倍镜换用高倍镜后细胞变大,细胞数目变少,视野变暗;移动装片可确定视野中的污物是否在装片上;移动装片时因题图甲中气孔在视野的右方,因此需向右方移动装片。 12.下列有关显微镜操作的叙述,不正确的是( C ) A.标本染色较深,观察时应选用凹面反光镜和大光圈 B.将位于视野右上方的物像移向中央,应向右上方移动玻片标本 C.若转换高倍物镜观察,需要先升镜筒,以免镜头破坏玻片标本 D.转换高倍物镜之前,应先将所要观察的物像移到视野正中央 解析:转换高倍物镜观察时,不需要先升镜筒,应直接转换,否则很难再看清物像。 13.(2019·山西太原月考)下列关于酵母菌、大肠杆菌和变形虫这三种微生物的共性的叙述,错误的是( C ) A.其活细胞内时刻发生着ATP和ADP的相互转化 B.都能在核糖体上发生碱基互补配对并合成多肽链 C.mRNA都能通过核孔进入细胞质中发挥作用 D.遗传物质都是DNA,并且都能发生基因突变 解析:在活细胞内,ATP和ADP的相互转化时刻都在进行;这三种生物都含有核糖体,且核糖体上能发生翻译过程,该过程中密码子与反密码子互补配对;大肠杆菌是原核生物,无细胞核,无核孔;凡是有细胞结构的生物,遗传物质都是DNA,且基因突变具有普遍性,各种生物均能发生。 14.下列有关细胞共性的叙述,正确的是( C ) A.都具有细胞膜但不一定具有磷脂双分子层 B.都具有细胞核但遗传物质不一定是DNA C.都能进行细胞呼吸但不一定发生在线粒体中 D.都能合成蛋白质但合成场所不一定是核糖体 解析:所有细胞均具有细胞膜,均具有磷脂双分子层;原核细胞无细胞核,但所有细胞的遗传物质均是DNA;所有细胞中合成蛋白质的场所均是核糖体;原核细胞中不含有线粒体。 15.关于原核细胞的说法不正确的是( A ) A.一定不具有染色体,遗传物质是DNA或RNA B.一定不具有线粒体,但可能进行有氧呼吸 C.一定不具有叶绿体,但可能进行光合作用 D.一定不具有核仁,但是含有核糖体 解析:原核细胞不具有细胞核结构,细胞中一定没有染色体,细胞中含有DNA和RNA,其遗传物质为DNA;细胞中一定没有线粒体,但可能含有与有氧呼吸有关的酶,可进行有氧呼吸;细胞中一定没有叶绿体,但可能进行光合作用,如蓝藻细胞;细胞中一定没有核仁,但细胞中含有核糖体。 二、非选择题 16.下图分别是蓝藻细胞和酵母菌细胞(①为细胞壁)的结构模式图,请据图回答: (1)蓝藻细胞中的⑤、酵母菌细胞中的②和④分别表示    、     、    。? (2)蓝藻细胞中合成蛋白质的场所是[  ]    ,其所需要的能量直接来自    (物质)。? (3)酵母菌细胞与菠菜叶肉细胞相比,主要的区别是酵母菌         。从细胞结构看,蓝藻细胞呼吸的场所可能是                 。? (4)从物质合成所利用的能量看,蓝藻与硝化细菌的主要区别是 。? (5)蓝藻细胞中含有色素的膜性结构④大大增加了细胞内的膜面积,该结构的主要功能是         ,由此可知叶绿体是否为完成光合作用的必要条件?       。? 解析:(1)由题图分析知蓝藻细胞中的⑤、酵母菌细胞中的②和④分别表示拟核、细胞核和核糖体。 (2)蓝藻细胞中合成蛋白质的场所是③核糖体,其所需要的能量直接来自ATP。 (3)酵母菌细胞结构与菠菜叶肉细胞相比,二者都是真核细胞,但酵母菌是异养生物,无叶绿体。从细胞结构看,蓝藻无线粒体,其细胞呼吸的场所可能是细胞质和细胞膜(或细胞质)。 (4)从物质合成所利用的能量看,蓝藻与硝化细菌的主要区别是蓝藻利用光能进行光合作用,硝化细菌利用化学能进行化能合成作用。 (5)由于蓝藻含有的色素是藻蓝素和叶绿素,与光合作用有关,因此蓝藻细胞中含有色素的膜性结构④的主要功能应该是进行光合作用。 答案:(1)拟核 细胞核 核糖体 (2)③ 核糖体 ATP (3)无叶绿体 细胞质和细胞膜(或细胞质) (4)蓝藻利用光能,硝化细菌利用化学能  (5)进行光合作用 否 17.探究分析: 实验一:在载玻片上滴一滴池塘水并加少许棉纤维,然后盖上盖玻片,先后用显微镜的低倍镜和高倍镜观察,所看到的图像如图甲。 实验二:用显微镜观察人体的组织切片,看到的图像如图乙。 实验三:用显微镜观察植物叶表皮,看到的图像如图丙。 请分析回答下列问题: (1)实验一所看到的图像中的生物有病毒吗?为什么? ?                 。因为病毒    (填“有”或“无”)细胞结构,所以说生物的生命活动有的可以不需要细胞参与,你认为对吗?请说明理由。 ? ?  。? (2)通过实验一与实验二中的图甲与图乙的比较,你能得出什么结论??  。? (3)从图甲、图乙、图丙中看到的细胞形态相同吗?      。这说明了  。? (4)实验三(即图丙)看到的是叶表皮的保卫细胞的两种不同形态,同样,红细胞呈两面凹的圆饼状、神经细胞伸出的突起有的达1米左右,以上这些事实说明?  。? 解析:(1)病毒不是细胞生物,个体极其微小,只有借助电子显微镜才能观察到;病毒只能营寄生生活,不能独立生存。病毒的生命活动离不开宿主细胞。(2)细胞的形态各种各样,细胞的大小也是各不相同,从显微镜下看到的许多细胞可以说明这一点。(3)甲、乙、丙中的细胞形态是不同的,说明细胞的形态具有多样性。(4)保卫细胞的两种形态有利于气孔的开闭,红细胞呈两面凹的圆饼状有利于气体交换;神经细胞的长突起有利于神经冲动的传导,三者都说明了细胞的形态与功能的适应性。 答案:(1)没有,因为病毒个体微小,必须用电子显微镜才能观察到 无 不对,病毒虽不具细胞结构,但必须寄生在活细胞中,单独存在时,不能繁殖,也没有生命活动 (2)不同生物及同种生物体中不同部位细胞的形态和大小千差万别 (3)不同 细胞的形态具有多样性 (4)细胞的形态与功能是相适应的 PAGE - 5 -

  • ID:11-5967195 2020版高考生物总复习素养提升课课件(10份打包)新人教版

    高中生物/高考专区/二轮专题突破

    素养提升课1 酶的相关实验设计(重点变量控制、检测) 突破点一 同位素标记法在高中生物实验中的应用归纳 典例引领 某科研小组经研究得知X酶存在于人的肝细胞中,能将糖原分解为还原糖。酶必须保持正常的结构才能发挥催化作用,请利用这一原理设计实验,探究X酶的化学本质究竟是蛋白质还是RNA。简要写出实验思路,并预期实验结果及结论(要求:实验包含可相互印证的甲、乙两个组)。 【审题指导】 (1)据题干可知,X酶的功能是能将糖原分解为还原糖。 (2)联想到蛋白酶可以改变蛋白质的空间结构从而使其失去功能。 (3)RNA酶可以催化RNA发生水解而失去功能。 (4)若X酶的化学本质是蛋白质,被蛋白酶处理后,则不能将糖原分解为还原糖。 (5)若X酶的化学本质是RNA,被RNA酶处理后,则不能将糖原分解为还原糖。 (6)题干中要求设计甲、乙两组实验,二者之间要能相互印证,因此联想相互对照。 解析:实验设置甲组和乙组,两组实验分别用蛋白酶和RNA酶处理X酶,然后与糖原混合检测两组实验中X酶有无活性。检测X酶是否有活性可用斐林试剂与产物反应是否产生了颜色变化来完成。 答案:实验思路:甲组:将X酶用蛋白酶处理,再与糖原溶液混合,在适宜条件下保持一段时间后,检测是否有还原糖的产生。乙组:将X酶用RNA酶处理,再与糖原溶液混合,在适宜条件下保持一段时间后,检测是否有还原糖的产生。 预期结果及结论:①若甲组有还原糖生成,乙组没有还原糖生成,则说明X酶的化学本质是RNA;②若甲组没有还原糖生成,乙组有还原糖生成,则说明X酶的化学本质是蛋白质。 素养提升 1.鉴定酶本质的“酶解法”模型 “酶解法”——从酶的化学本质上来讲,绝大多数的酶是蛋白质,少数的酶是RNA。其必须保持正常的空间结构才能发挥催化作用,因此可以分别利用蛋白酶和RNA酶处理某酶,再观察其功能是否受影响来确定该酶的本质。设计如右方案: 2.实验设计中也可用酶催化底物分解,根据底物的变化,来证明酶的作用。 对点落实 1.(2018·河北邢台高三质检)为了验证狗的胰腺分泌液中含有蛋白酶,某生物兴趣小组设计了如图所示的甲、乙两实验。在37 ℃水浴中保温一段时间后,1、2烧杯中不加任何试剂,3、4烧杯中加双缩脲试剂。下列实验组能达到实验目的的是(   ) A.甲组 B.乙组 C.两组都能 D.两组都不能 A 解析:1、2烧杯中不加任何试剂,但可以根据蛋白块的变化判断狗的胰腺分泌液中含有蛋白酶。由于胰蛋白酶也是蛋白质,3、4烧杯中加双缩脲试剂后,都显示紫色,不能达到实验目的。 2.(2018·山东潍坊一模)酶是活细胞产生的一类有机物,在细胞代谢中发挥重要的作用。请回答与酶有关的问题: (1)真核细胞内酶的合成场所有      ,细胞内酶的合成   (填“能”或“不能”)影响生物的性状。? 答案: (1)细胞核、核糖体 能 解析:(2)实验给的是蔗糖酶,要求根据渗透作用原理,选用一套渗透装置验证酶的专一性,因此应选用质量分数为10%的蔗糖溶液和质量分数为10%的麦芽糖溶液,因为蔗糖和麦芽糖都是二糖,实验开始时U形管两侧的物质的量浓度相等,液面平齐,蔗糖酶能分解蔗糖,不能分解麦芽糖,U形管两侧加入蔗糖酶后,物质的量浓度发生变化。 (2)酶的特性可通过实验进行验证。现有质量分数为10%的淀粉溶液、质量分数为10%的蔗糖溶液、质量分数为10%的麦芽糖溶液、蔗糖酶溶液、清水;半透膜(只允许水分子通过);长颈漏斗、烧杯、底部中央可放置半透膜的U形管各一个。请根据渗透作用的原理、选用一套装置设计实验,实验现象能支持酶的催化作用具有专一性,要体现等量原则等实验设计的基本原则。请写出最合理的实验思路及实验预期。 答案: (2)实验思路:在底部中央放置半透膜的U形管两侧分别加入等量的蔗糖溶液和麦芽糖溶液,再在两侧各加入等量的蔗糖酶溶液,适宜温度下一段时间后,观察两侧液面的变化。 实验预期:蔗糖溶液一侧液面明显升高,则支持酶的催化作用具有专一性。(或:麦芽糖溶液一侧液面明显降低,则支持酶的催化作用具有专一性。) 突破点二 酶相关实验设计中的“对比法” 典例引领 请用所给的实验材料和用具,设计实验来验证哺乳动物的蔗糖酶和淀粉酶的催化作用具有专一性。要求完成实验设计、补充实验步骤、预测实验结果、得出实验结论,并回答问题: 实验材料与用具:适宜浓度的蔗糖酶、唾液淀粉酶、蔗糖、淀粉4种溶液、斐林试剂、试管、恒温水浴锅。 (1)若“+”代表加入适量的溶液。“-”代表不加溶液,甲、乙等代表试管标号,请用这些符号完成下表实验设计(把答案填在相应的表格中)。   溶液 试管   蔗糖溶液 淀粉溶液 蔗糖酶 溶液 淀粉酶溶液 甲 + - + - (2)实验步骤: ①按照上表中的设计,取试管、加溶液。 ②  。? ③  。? ④  。? (3)结果预测:_____________________________________________________ __________________________________________________________________   。 (4)结论:  。? 【审题指导】 (1)酶专一性的内涵是每一种酶只能催化一种或一类化学反应。唾液淀粉酶只能将淀粉水解成还原糖,而对蔗糖不起作用;蔗糖酶只能将蔗糖水解成还原糖,而对淀粉不起作用。 (2)在可溶性还原糖溶液中加入适量的斐林试剂,在50~65 ℃恒温水浴条件下会出现砖红色沉淀。 (3)据题可知,该实验的目的是验证哺乳动物的蔗糖酶和淀粉酶的催化作用具有专一性。因此要设计两组对照实验:第一组是先分别在两支试管中加入等量的蔗糖溶液,再分别向这两支试管中滴加等量且适量的蔗糖酶溶液和淀粉酶溶液;另一组是分别在两支试管中加入等量的淀粉溶液,并分别向这两支试管中滴加等量且适量的蔗糖酶溶液和淀粉酶溶液。 解析:实验材料中给出了两种酶溶液,两种底物溶液,甲试管加入了蔗糖溶液和蔗糖酶溶液,另外三支试管应分别加入蔗糖溶液和淀粉酶溶液,淀粉溶液和蔗糖酶溶液,淀粉溶液和淀粉酶溶液。研究的两种酶都是哺乳动物的酶,因此要37 ℃恒温水浴一段时间,用斐林试剂检测时应50~65 ℃恒温水浴。 答案:(1)如下表所示   溶液 试管   蔗糖溶液 淀粉溶液 蔗糖酶 溶液 淀粉酶溶液 甲 + - + - 乙 + - - + 丙 - + - + 丁 - + + - 答案:(2)②混匀,37 ℃恒温水浴一段时间 ③取出试管,分别加入适量的斐林试剂,混匀,50~65 ℃恒温水浴一段时间 ④观察实验现象并记录实验结果 (3)含有蔗糖和蔗糖酶溶液的试管,以及含淀粉和淀粉酶溶液的试管中出现砖红色沉淀,其他试管中不出现砖红色沉淀 (4)酶的催化作用具有专一性 素养提升 1.对比法验证酶的高效性 (1)设计思路:通过将不同类型催化剂(主要是酶与无机催化剂)催化底物的反应速率进行比较,得出结论。 (2)设计方案 项目 实验组 对照组 材料 等量的同一种底物 试剂 与底物相对应的酶溶液(如生物材料研磨液) 等量的无机催化剂 现象 反应速率很快,或反应用时短 反应速率缓慢,或反应用时长 结论 酶具有高效性 2.对比法验证酶的专一性 (1)设计思路:常见的方案有两种,即底物相同但酶不同或底物不同但酶相同,最后通过观察酶促反应能否进行得出结论。 (2)设计方案 项目 方案一 方案二 实验组 对照组 实验组 对照组 材料 同种底物(等量) 与酶相对应的 底物 另外一种底物 试剂 与底物相对应的酶 另外一种酶 同一种酶(等量) 现象 发生反应 不发生反应 发生反应 不发生反应 结论 酶具有专一性 对点落实 1.(2018·湖北模拟)某同学进行了下列有关酶的实验: 甲组:淀粉溶液+新鲜唾液→加入斐林试剂→出现砖红色沉淀 乙组:蔗糖溶液+新鲜唾液→加入斐林试剂→不出现砖红色沉淀 丙组:蔗糖溶液+蔗糖酶溶液→加入斐林试剂→? 下列叙述正确的是(   ) A.丙组的实验结果是“不出现砖红色沉淀” B.三组实验都应始终在37 ℃条件下进行 C.该同学的实验目的是验证酶的专一性 D.可用碘液代替斐林试剂进行检测 C 解析:丙组的实验结果应是“出现砖红色沉淀”;三组实验加入斐林试剂后应沸水浴加热;甲组和乙组对照,乙组和丙组对照验证了酶的专一性;碘液只能检测淀粉不能检测蔗糖,因此不能用碘液代替斐林试剂进行检测。 2.(2019·湖北武汉调研)萌发的大麦种子中存在着两种淀粉酶:α-淀粉酶和β-淀粉酶。Α-淀粉酶耐热不耐酸;β-淀粉酶耐酸不耐热,70 ℃处理15 min即变性失活。为测定萌发种子中α-淀粉酶和β-淀粉酶活性的差异,将发芽3天的大麦种子加蒸馏水研磨匀浆、离心取上清液得到淀粉酶提取液,进行如下实验。 操作步骤 1号试管 2号试管 3号试管 ① 加淀粉酶提取液 1 mL 1 mL 1 mL ② 预处理 70 ℃恒温水浴15 min,取出冰浴中冷却 高温使α-淀粉酶和β-淀粉酶失活 不处理 ③ 加缓冲液 2 mL 2 mL 2 mL ④ 预保温 40 ℃恒温水浴10 min ⑤ 加40 ℃预热的淀粉溶液 2 mL 2 mL 2 mL ⑥ 保温 40 ℃恒温水浴5 min ⑦ 测定 加入试剂X,50~65 ℃水浴5 min,测定砖红色沉淀物的量 回答下列问题: (1)步骤⑦中加入的试剂X为  。? (2)上述实验操作步骤中,步骤②中对1号试管进行操作的目的是      ;为达成实验目的,设置的1、2、3号试管中,为对照组的一组是     号试管。? ?解析:(1)本实验的目的是测定萌发种子中α-淀粉酶和β-淀粉酶活性的差异,淀粉酶分解淀粉为还原糖,还原糖可以用斐林试剂进行鉴定,步骤⑦中加入的试剂X为斐林试剂。 (2)β-淀粉酶耐酸不耐热,70 ℃处理15 min即变性失活。上述实验操作步骤中,步骤②中对1号试管进行操作的目的是使β-淀粉酶变性失活,测定大麦种子中α-淀粉酶催化效率,为达成实验目的,设置的1、2、3号试管中,为对照组的一组是2号试管(2号试管α-淀粉酶和β-淀粉酶均失活,不能将淀粉变为还原糖,2号和1号对比能测定α-淀粉酶催化效率)。 答案: (1)斐林试剂 (2)使β-淀粉酶变性失活 2  (3)通过上述实验,能大致比较萌发3天时种子的α-淀粉酶和β-淀粉酶活性的大小。比较的方法是________________________________________________   。 解析:(3)通过题述实验,可以测定各试管沉淀物的量,1、2号试管的差值代表α-淀粉酶的活性、3、1号试管的差值代表β-淀粉酶的活性,差值大的表示该酶的活性大,从而能大致比较萌发3天时种子的α-淀粉酶和β-淀粉酶活性的大小。 答案: (3)测定各试管沉淀物的量,1、2号试管的差值代表α-淀粉酶的活性,3、1号试管的差值代表β-淀粉酶的活性,差值大的表示该酶的活性大 突破点三 酶实验设计中的“梯度法” 典例引领 某兴趣小组探究37 ℃条件下pH对某动物体内两种消化酶活性的影响,结果见下表。请回答下列相关问题: pH 1.0 X 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 淀粉酶活性mg/(g·30 min) 200 203 250 300 350 490 450 200 蛋白酶活性μg/ (g·30 min) 1 520 1 750 1 500 1 400 1 020 980 700 500 (1)该实验的因变量是  ,? 实验中对该类因变量的检测方法常有________________________________  。? 【审题指导】 (1)实验探究的内容是37 ℃条件下,pH对两种消化酶活性的影响,自变量是不同的pH。 解析:(1)随着自变量pH变化淀粉酶活性和蛋白酶活性发生改变,称为因变量;一般可通过检测底物的消耗速率或产物的生成速率来测定。 答案: (1)淀粉酶活性和蛋白酶活性 检测底物的消耗速率或产物的生成 速率 (2)表中X为    ,判断的理由是  ?   ? (3)表中数据说明:不同的酶      不同。? 【审题指导】 (2)要在适宜温度和不同pH下测定酶的活性。 (3)要设置具有一定梯度的pH。 解析:(2)分析表格可知,pH梯度为1,因此表中的X表示2.0。 (3)分析表中数据,淀粉酶的最适pH在6.0左右,蛋白酶的最适pH在2.0左右,因此两种酶的最适pH不同。 答案: (2)2.0 表中以pH相差1.0设置pH梯度(答案合理即可) (3)最适pH “梯度法”探究酶的最适温度或最适pH (2)设计方案 【素能培养】 1.下表所示是某同学探究温度对酶活性影响的实验操作和实验现象的记录。该同学进行实验时,正确的操作步骤应是(   ) D    分组 实验操作    甲组 乙组 丙组 ①取三支试管,分别加入唾液淀粉酶溶液 1 mL 1 mL 1 mL ②取三支试管,分别加入可溶性淀粉溶液 2 mL 2 mL 2 mL ③维持温度(5 min) 0 ℃ 37 ℃ 60 ℃ ④将唾液淀粉酶溶液与可溶性淀粉溶液混合、振荡 ⑤向试管中滴加碘液 1滴 1滴 1滴 ⑥观察实验现象 变蓝 不变篮 变蓝 解析:在以唾液淀粉酶和可溶性淀粉为材料探究温度对酶活性影响的实验中,自变量是温度,因变量是唾液淀粉酶的活性,淀粉是否被分解及被分解的量通过各组滴加碘液后的颜色来体现。由于实验需要严格控制单一变量,在可溶性淀粉溶液和唾液淀粉酶溶液混合之前首先需要将它们各自保温到一定温度(各组设定的温度),然后再混合,并且混合后还需要在相应的温度条件下保温一段时间,让其充分反应,因此正确的操作步骤应是①→③→②→③→④→③→⑤→⑥(或②→③→①→③→④→③→⑤→⑥)。 A.①→③→④→③→⑤→⑥ B.②→③→④→③→⑤→⑥ C.①→②→④→③→⑤→⑥ D.①→③→②→③→④→③→⑤→⑥ 解析:(1)酶大多数是蛋白质,少数是RNA,要鉴定该酶的化学本质,可将该酶液与双缩脲试剂混合,若反应液呈紫色,则该酶的化学本质为蛋白质。 2.普通淀粉酶的最适温度在40~60 ℃之间,而极端耐热淀粉酶在100 ℃仍能保持较高的活性,因此在生产上具有更为广泛的应用前景。请回答有关问题: (1)要鉴定该酶的化学本质,可将该酶液与______________________________ 混合,若反应液呈    色,则该酶的化学本质为蛋白质。? 答案: (1)双缩脲试剂 紫 解析:(2)测定淀粉酶活性时,根据酶的专一性,应选择淀粉作为该酶作用的底物,反应液中应加入(酸碱)缓冲溶液以维持其酸碱度稳定。 (2)测定淀粉酶活性时,应选择    作为该酶作用的底物,反应液中应加入    溶液以维持其酸碱度稳定。? 答案: (2)淀粉 (酸碱)缓冲 解析:(3)①此实验中除自变量和因变量外,无关变量需要保持相同且适宜,因此还需要考虑底物淀粉溶液的浓度和用量、pH及添加试剂的量、实验操作顺序等因素。 (3)设计实验测定极端耐热淀粉酶起催化作用的最适温度。 ①此实验中除自变量和因变量外,还需要考虑___________________________   (指出两点即可)等因素。? 答案: (3)①此实验中除自变量和因变量外,无关变量需要保持相同且适宜,因此还需要考虑底物淀粉溶液的浓度和用量、pH及添加试剂的量、实验操作顺序等因素。 解析:(3)①此实验中除自变量和因变量外,无关变量需要保持相同且适宜,因此还需要考虑底物淀粉溶液的浓度和用量、pH及添加试剂的量、实验操作顺序等因素。②测定该酶催化作用最适温度的实验思路:在 40 ℃和100 ℃之间每隔一定温度设置一个实验组,其他实验条件适宜且保持一致。以反应液和碘液发生颜色反应的程度为指标确定最适温度。 (3)设计实验测定极端耐热淀粉酶起催化作用的最适温度。 ①此实验中除自变量和因变量外,还需要考虑___________________________   (指出两点即可)等因素。? 答案: (3)①底物淀粉溶液的浓度和用量、pH及添加试剂的量、实验操作顺序 ②在40 ℃和100 ℃之间每隔一定温度设置一个实验组,其他实验条件适宜且保持一致。以反应液和碘液发生颜色反应的程度为指标确定最适温度 解析:(3)①此实验中除自变量和因变量外,无关变量需要保持相同且适宜,因此还需要考虑底物淀粉溶液的浓度和用量、pH及添加试剂的量、实验操作顺序等因素。②测定该酶催化作用最适温度的实验思路:在 40 ℃和100 ℃之间每隔一定温度设置一个实验组,其他实验条件适宜且保持一致。以反应液和碘液发生颜色反应的程度为指标确定最适温度。 (3)设计实验测定极端耐热淀粉酶起催化作用的最适温度。 ①此实验中除自变量和因变量外,还需要考虑___________________________   (指出两点即可)等因素。? 答案: (3)①底物淀粉溶液的浓度和用量、pH及添加试剂的量、实验操作顺序 ②在40 ℃和100 ℃之间每隔一定温度设置一个实验组,其他实验条件适宜且保持一致。以反应液和碘液发生颜色反应的程度为指标确定最适温度 1.科学性原则 科学探究系列4 实验设计的基本原则 【素能培养】 所谓科学性原则,是指实验的原理要符合科学原理,实验结果的预期有科学依据,实验的各个环节不能偏离生物学基本知识和基本原则,以及其他科学领域的基本原则。科学性原则具有两个方面的含义:首先,必须保证实验的设计不出现科学性错误;其次,实验设计要具有科学思想和科学方法的因素。具体地说,科学性原则体现在以下几个方面:实验原理的科学性、实验方法的科学性、实验材料选择的科学性、实验结果处理的科学性及实验结果分析的科学性等。 任何实验都必须能够重复,在同样条件下重复,实验结果应该一致或相近,实验设计时,可以通过在一组实验中同时处理多个材料体现重复性原则。 3.单一变量原则 单一变量原则可使实验中的复杂关系简单化,使结果更准确。其含义包括:①不论一个实验有几个实验变量,都应做到一个变量对应一个需要观测反应变量;②实验中要尽可能避免无关变量的干扰。这一原则强调实验组和对照组只有一个量是不同的,实验组和对照组的结果差异只能是由这个单一变量导致的,从而证明实验组变量的作用。因此,在进行实验设计时,要首先确定实验变量并正确设置。 2.平行重复原则 对照原则是中学实验中最常用的原则。通过设置对照实验,既可排除无关变量的干扰,又可增加实验结果的可信度和说服力。在一个对照实验中,可包括实验组和对照组。实验组是接受自变量处理的对象组,对照组是不接受自变量处理的对象组,一般是随机决定的。常用的对照组类型有空白对照、自身对照、条件对照、相互对照几种。 5.控制与平衡控制原则 该原则是指要严格地操纵自变量,以获取因变量。同时,要严格地均衡无关变量,以消除额外变量干扰。即尽量消除实验误差,以取得较为精确的结果。常用的方法有单组、等组及轮组实验法。 6.随机性原则 实验设计中的随机性原则是指被研究的样本是从总体或群体中随机抽取的。这样做可以:①消除或减少系统误差,使显著性测验有意义;②平衡各种条件,避免实验结果出现误差。 4.对照原则 【针对训练】 1.(2019·山东临沂期中)下列有关酶特性的实验设计思路,正确的是(   ) A.用淀粉酶和淀粉、蔗糖验证酶的专一性时,选用碘液作为检测试剂 B.用过氧化氢和新鲜的猪肝研磨液、氯化铁溶液来验证酶的高效性 C.以过氧化氢为底物,探究温度对过氧化氢酶活性的影响 D.探究胃蛋白酶的最适pH时,将其加入蛋清中再加入缓冲液 B 解析:用淀粉酶和淀粉、蔗糖验证酶的专一性时,不宜选用碘液作为检测试剂,因为碘液不能与蔗糖产生显色反应,应用斐林试剂检测;不能以过氧化氢为底物,探究温度对过氧化氢酶活性的影响,因为过氧化氢在加热时分解加快,自变量控制不准确;探究胃蛋白酶的最适pH时,将其加入蛋清中再加入缓冲液,酶与底物一旦混合,反应就开始了,应先加缓冲液再加入蛋清。 2.(2018·山师大附中检测)某生物兴趣小组对粳稻、籼稻和杂交稻三种水稻品种中的H2O2酶活性进行了实验研究,实验结果如下表所示。请回答下列问题: 子及 浓度H2O2 酶活性[U/ (g·FW)] 重金属离           水稻 品种 Cd2+(mmol/L) Cu2+(mmol/L) 0 0.5 1.0 1.5 0 0.5 1.0 1.5 粳稻 80 40 38 25 80 30 25 10 籼稻 80 35 30 20 80 20 10 8 杂交稻 85 30 20 10 85 10 8 1 (1)本实验的目的是探究_____________________________________________   。? 设计实验时,各实验组应遵循原则为        。? 解析:(1)由实验结果的表格数据看出该实验研究的是不同浓度的Cd2+和Cu2+对粳稻、籼稻和杂交稻中H2O2酶的影响,本实验有三个自变量:不同的水稻、不同的重金属离子、不同的离子浓度。设计实验时,各实验组应遵循单一变量原则、对照原则和平行重复原则。 答案: (1)不同浓度的Cd2+和Cu2+对不同水稻品种中H2O2酶活性的影响 单一变量、对照(或重复) (2)分析表中数据可知,在一定浓度范围内,Cd2+、Cu2+都能抑制H2O2酶的活性,且相同浓度的Cu2+的抑制作用     (填“大于”“小于”或“等于”)Cd2+。Cd2+、Cu2+对H2O2酶活性的影响主要取决于  ? (填“植物类型”或“重金属种类和浓度”)。 (3)Cd2+、Cu2+等重金属离子影响了H2O2酶的        ,从而引起酶活性的改变。? 解析:(2)分析表中数据可知,相同浓度的Cu2+和Cd2+,Cu2+的抑制作用大于Cd2+。Cu2+、Cd2+对H2O2酶活性的影响,重金属种类和浓度差别大,植物类型差别小。 (3)重金属影响了蛋白质的空间结构,从而影响了酶的活性。 答案: (2)大于 重金属种类和浓度 (3)空间结构 素养提升课2 光合作用和细胞呼吸的过程综合 突破点一 光合作用和细胞呼吸过程的联系 典例引领 (2017·全国Ⅱ卷)下图是表示某植物叶肉细胞光合作用和呼吸作用的示意图。 据图回答下列问题: (1)图中①、②、③、④代表的物质依次是  、?      、        、       ,[H]代表的物质主要是       。? 【审题指导】 (1)题目给出了叶肉细胞光合作用和呼吸作用的过程图解,首先根据光合作用和呼吸作用的过程判断A、B、C、D表示的过程,然后判断①、②、③、④代表的物质。 解析:(1)分析图可知,A为光反应阶段,水光解产生NADPH和O2,则①为O2,ADP和Pi得到光能生成ATP,因此③为ADP和Pi,同时NADP+与电子和质子H+结合,生成NADPH,因此②为NADP+。B为暗反应阶段,CO2与C5结合生成2个C3,因此④为C5。图中的[H]代表的是NADH。 答案:(1)氧气(或O2) NADP+ ADP和Pi C5 NADH(还原型辅酶Ⅰ) (2)B代表一种反应过程,C代表细胞质基质,D代表线粒体,则ATP合成发生在A过程,还发生在    (填“B和C”“C和D”或“B和D”)。? 【审题指导】 (2)光合作用和呼吸作用中产生ATP的过程和结构。 解析:(2)在A、B、C、D中能产生ATP的为A光反应阶段,细胞质基质(C)中的细胞呼吸第一个阶段和发生在线粒体(D)中的有氧呼吸第二、第三 阶段。 答案:(2)C和D (3)C中的丙酮酸可以转化成酒精,出现这种情况的原因是 。? 【审题指导】 (3)丙酮酸转化成酒精是进行的无氧呼吸,无氧呼吸是在缺氧的条件下进行的。 解析:(3)C中的丙酮酸在无氧条件下可在相应酶的催化作用下转化成 酒精。 答案:(3)没有氧气(无氧条件),进行无氧呼吸的第二阶段产生酒精 素养提升 1.光合作用和细胞呼吸的过程综合 (1)物质名称:b.O2,c.ATP,d.ADP,e.NADPH,f.C5,g.CO2,h.C3。 (2)生理过程及场所 序号 ① ② ③ ④ ⑤ 生理 过程 光反应 暗反应 有氧呼吸 第一阶段 有氧呼吸 第二阶段 有氧呼吸 第三阶段 场所 叶绿体 类囊 体膜 叶绿体 基质 细胞质 基质 线粒体 基质 线粒体 内膜 2.光合作用与细胞呼吸中物质及能量转化 (2)光合作用与有氧呼吸中[H]和ATP的来源、去路 比较项目 来源 去路 [H] 光合 作用 光反应中水的光解 用于暗反应中C3的还原 有氧 呼吸 产生于第一、二阶段 消耗于第三阶段,与O2结合生成H2O ATP 光合 作用 产生于光反应阶段,其中的能量来自光能 用于暗反应过程中C3的还原,其中的能量转变成有机物中稳定的化学能 有氧 呼吸 三个阶段均能产生,但第三阶段相对较多 用于各项生命活动(光合作用的暗反应除外) (3)光合作用与有氧呼吸中的能量转化 对点落实 1.(2018·山师大附中检测)下图表示某自养型生物细胞内光合作用、细胞呼吸过程中[H]的转移过程,其中①~④表示相关生理过程。下列叙述错误的是(   ) A.图中过程①③④都能产生ATP B.过程③需要H2O参与,能产生CO2 C.过程①和过程④离不开叶绿体和线粒体 D.过程①和过程③产生的[H]不是同种物质 C 解析:图中过程①③④分别表示光反应,有氧呼吸第一、二阶段,有氧呼吸第三阶段,三过程都产生ATP;过程③表示有氧呼吸第一、二阶段,有氧呼吸第二阶段需要H2O参与,产生CO2;若是原核生物如蓝藻,进行过程①和过程④不需要叶绿体和线粒体;过程①产生的[H]是NADPH,过程③产生的[H]是NADH,两者不是同种物质。 2.(2018·福建福州模拟)下图为绿色植物部分物质和能量转换过程的示意图,下列叙述正确的是(   ) A.过程①发生在叶绿体中,过程③发生在线粒体中 B.过程①产生NADH,过程③消耗NADPH C.若叶肉细胞中过程②速率大于过程③,则植物干重增加 D.过程③中ATP的合成与放能反应相联系,过程④与吸能反应相联系 D 解析:过程①发生在叶绿体中,过程③发生在细胞质基质和线粒体中;过程①产生NADPH,过程③产生NADH,也消耗NADH;若叶肉细胞中过程②速率大于过程③,则植物干重不一定增加,因为植物体还有很多细胞没有叶绿体,只进行细胞呼吸。 3.(2018·江苏卷)下图为某植物叶肉细胞中有关甲、乙两种细胞器的部分物质及能量代谢途径示意图(NADPH指[H]),请回答下列问题: 解析:(1)图中甲是叶绿体,是进行光合作用的场所。叶绿体中含有叶绿素和类胡萝卜素,可以吸收光能,并将光能转变为化学能;叶绿素通常需要在有光的条件下才能合成。 (2)光反应在叶绿体的类囊体膜上进行,参与光反应的酶(蛋白质)在细胞质中合成后,转运到叶绿体的类囊体膜上组装;CO2的固定发生在叶绿体基质中,催化CO2固定的酶在叶绿体基质中组装。 (1)甲可以将光能转变为化学能,参与这一过程的两类色素为       ,其中大多数高等植物的    需在光照条件下合成。? (2)在甲发育形成过程中,细胞核编码的参与光反应中心的蛋白,在细胞质中合成后,转运到甲内,在    (填场所)组装;核编码的Rubisco(催化CO2固定的酶)小亚基转运到甲内,在    (填场所)组装。? 答案: (1)叶绿素、类胡萝卜素 叶绿素 (2)类囊体膜上 基质中 解析:(3)图中乙为线粒体,是进行有氧呼吸的主要场所。氧气充足时,光合作用产生的三碳糖可被氧化为丙酮酸后进入线粒体,丙酮酸在线粒体基质中被彻底氧化分解成CO2,同时产生[H]和ATP;有氧呼吸前两个阶段产生的[H]在线粒体内膜上参与有氧呼吸的第三阶段,即和O2反应生成水,同时产生大量ATP。叶绿体中产生的过多的还原能通过物质转化合成NADPH,NADPH可通过参与有氧呼吸第三阶段产生ATP。 (3)甲输出的三碳糖在氧气充足的条件下,可被氧化为    后进入乙,继而在乙的    (填场所)彻底氧化分解成CO2;甲中过多的还原能可通过物质转化,在细胞质中合成NADPH,NADPH中的能量最终可在乙的    (填场所)转移到ATP中。 答案: (3)丙酮酸 基质中 内膜上 解析:(4)由图示可知,乙(线粒体)产生的ATP能够进入甲(叶绿体),所以在线粒体中合成的ATP可以用于C3的还原,同时还能用于内外物质的运输、酶的合成等。水的光解不需要ATP。 (4)乙产生的ATP被甲利用时,可参与的代谢过程包括    (填序号)。? ①C3的还原 ②内外物质运输 ③H2O裂解释放O2 ④酶的合成 答案:(4)①②④ 突破点二 总光合速率、净光合速率和呼吸速率的 典例引领 (2018·全国Ⅲ卷)回答下列问题: (1)高等植物光合作用中捕获光能的物质分布在叶绿体的       上,该物质主要捕获可见光中的   。 (2)植物的叶面积与产量关系密切。叶面积系数(单位土地面积上的叶面积总和)与植物群体光合速率、呼吸速率及干物质积累速率之间的关系如图所示。由图可知:当叶面积系数小于a时,随叶面积系数增加,群体光合速率和干物质积累速率均    。当叶面积系数超过b时,群体干物质积累速率降低,其原因是  ?  。? (3)通常,与阳生植物相比,阴生植物光合作用吸收与呼吸作用放出的CO2量相等时所需要的光照强度     (填“高”或“低”)。? 【审题指导】 (1)第二问第一空考查识图。第二空考查群体干物质积累速率(净光合速率)与群体总光合速率和群体呼吸速率的关系。即:净光合速率=总光合速率-呼吸速率。 (2)第三问明确阴生植物的特点:阴生植物适宜在弱光下生长,注意关键语句:“光合作用吸收和呼吸作用放出的CO2相等时”的理解,明确问的是“光照强度的高低”。 解析:(1)高等植物进行光合作用捕获光能的物质是色素,该物质分布在叶绿体的类囊体膜上,其捕获的光主要是蓝紫光和红光。 (2)由图中曲线可以看出,当叶面积系数小于a时,随叶面积系数增加,群体光合速率和干物质积累速率都在增加;当叶面积系数超过b时,群体光合速率不变,但群体呼吸速率增加,两者差值降低,故群体干物质积累速率降低。 (3)植物光合作用吸收与呼吸释放的CO2量相等时的光照强度为光补偿点。通常,与阳生植物相比,阴生植物的光补偿点较低, 即达到光补偿点所需光照强度低。 答案: (1)类囊体膜 蓝紫光和红光 (2)增加 群体光合速率不变,但群体呼吸速率仍在增加,故群体干物质积累速率降低 (3)低 素养提升 1.总(真正)光合速率、净光合速率的表示方法 净光合速率常用单位时间内O2释放量、CO2吸收量或有机物积累量表示;总(真正)光合速率常用单位时间内O2产生量、CO2固定量或有机物产生量来表示。 2.真正(总)光合速率、净光合速率与呼吸速率的关系 由以上分析可知:真正光合速率=净光合速率+呼吸速率。 3.光合作用和细胞呼吸的曲线分析 (1)植物生长速率取决于净光合量而不是“总光合量”,如下图中n值为净光合速率(虚线表示),n值=总光合速率-呼吸速率。 (2)解答与呼吸作用、光合作用曲线综合题应特别关注的信息 ①光照强度为“0”意味着光合作用不能进行,此时气体变化量全由细胞呼吸引起,可作为呼吸强度指标。 ②光照下吸收CO2量应为净光合量。 ③光照培养阶段,密闭装置中CO2浓度变化量应为光合作用消耗CO2的量与呼吸作用产生CO2量间的“差值”,切不可仅答成“光合作用消耗”导致装置中CO2浓度下降。 对点落实 1.(2016·四川卷)三倍体西瓜由于含糖量高且无籽,备受人们青睐。如图是三倍体西瓜叶片净光合速率(Pn,以CO2吸收速率表示)与胞间CO2浓度(Ci)的日变化曲线,以下分析正确的是(   ) A.与11:00时相比,13:00时叶绿体中合成C3的速率相对较高 B.14:00后叶片的Pn下降,导致植株积累有机物的量开始减少 C.17:00后叶片的Ci快速上升,导致叶片暗反应速率远高于光反应速率 D.叶片的Pn先后两次下降,主要限制因素分别是CO2浓度和光照强度 D 解析:与11:00时相比,13:00时因叶片气孔关闭,影响CO2的吸收,导致叶绿体中合成C3的速率相对较低;14:00后叶片的Pn大于0,植株积累有机物的量仍在增加;17:00后,光照强度较弱影响光反应速率,进而影响暗反应,导致叶片的Ci快速上升;Pn第一次下降,是因气孔关闭,CO2浓度限制了光合速率,Pn第二次下降是光照强度降低引起的。 2.(2018·山东潍坊期末)科研人员分别在25 ℃和42 ℃培养条件下(其他条件适宜)。测得某植物的部分数据如图所示。已知该植物生长的适宜温度条件是25~35 ℃。请回答相关问题: (1)图中甲组代表    ℃下测得的结果,作出该判断的理由是 ? ________________________________________________________________。 解析:(1)植物的生长速率取决于净光合速率。甲组净光合速率大于乙组,说明甲组植物生长的温度条件适宜。 答案: (1)25 此温度属于该植物适宜生长的温度,与 42 ℃相比,净光合速率大 (2)某兴趣小组测定了25~42 ℃范围内该植物的净光合速率,发现30 ℃时净光合速率最大,则30 ℃    (填“是”“不是”或“不一定是”)光合作用的最适温度,原因是  ?   。? 解析: (2)总光合速率=净光合速率+呼吸速率,30 ℃时,净光合速率最大,但没有测定相应温度下的呼吸速率,因此不能确定总光合速率是否最大,故无法确定该温度是否为最适温度。 答案: (2)不一定是 没有测定相应温度下的呼吸速率,无法确定实际光合速率 (3)若将培养温度由25 ℃快速提升至42 ℃时,据图分析,该植物叶肉细胞间隙CO2浓度明显    (填“上升”或“下降”),这一变化的主要原因是  ?  。? 解析: (3)从坐标图看出,42 ℃时植物的净光合速率降低,叶肉细胞对CO2的利用速率降低。 答案: (3)上升 净光合速率减弱,叶肉细胞对二氧化碳的利用速率降低 突破点三 自然环境和密闭环境中植物生长引起的CO2或O2含量的变化 典例引领 两棵生长状况基本相同的同种植物,分别置于透明的玻璃罩内,如图甲、乙所示;在相同自然条件下,测得一昼夜中植物氧气释放速率分别如图丙、丁曲线所示。回答下列问题: (1)ab段和cd段,引起曲线下降的主要环境因素分别是   和    。? 【审题指导】 (1)密闭环境不能与外界进行气体交换,自然环境气体是流通的。 解析:(1)图丙中,ab段下降的原因是密闭装置中二氧化碳被光合作用消耗,浓度降低;图丁中cd段下降的原因是光照减弱。 答案: (1)二氧化碳浓度 光照强度 【审题指导】 (2)氧气释放速率增加,说明净光合速率增大;氧气释放速率减小,说明净光合速率减小。 解析:(2)根据图丙和图丁可知,一昼夜中,图丁中曲线和横轴围成的面积,上部与下部的差值远大于图丙,说明装置乙中植物积累的有机物较多。 答案:(2)乙 (2)一昼夜中,装置甲、乙中植物积累的有机物较多的是     (填“甲”或“乙”)。? (3)导致e点光合作用强度明显减弱的主要原因是  。 【审题指导】 (3)氧气释放速率为正值表示有机物积累,植物生长,为负值表示植物有机物减少。 解析:(3)e点温度高,蒸腾作用强,为减少水分散失,气孔大量关闭,二氧化碳供应减少,导致光合作用强度明显减弱。 答案:(3)温度高,导致气孔关闭,二氧化碳供应减少 1.自然环境中一昼夜植物光合作用曲线 (1)a点:夜温降低,细胞呼吸减弱,CO2释放减少。 (2)开始进行光合作用的点:b,结束光合作用的点:m。 (3)光合速率与呼吸速率相等的点:c、h,有机物积累量最大的点:h。 (4)de段下降的原因是气孔关闭,CO2吸收减少,fh段下降的原因是光照减弱。 【素能培养】 2.密闭环境中一昼夜CO2和O2含量的变化 (1)光合速率等于呼吸速率的点:A、C。 (2)图(一)中若N点低于虚线,则该植物一昼夜表现为生长,其原因是N点低于M点,说明一昼夜密闭容器中CO2浓度减少,即总光合量大于总呼吸量,植物生长。 (3)图(二)中若N点低于虚线,则该植物一昼夜不能生长,其原因是N点低于M点,说明一昼夜密闭容器中O2浓度减少,即总光合量小于总呼吸量,植物不能生长。 1.如图表示一株生长迅速的植物在夏季24 h内CO2的吸收量和释放量,光合作用速率和呼吸作用速率用单位时间内CO2的吸收量和CO2的释放量表示(图中A、B、C表示相应图形的面积)。下列表述不合理的是(   ) A.在18:00和6:00时,该植物光合作用强度与呼吸作用强度相等 B.假设该植物在24 h内呼吸速率不变,最大光合速率为85 mg/h C.该植物在一昼夜中有机物积累量的代数式可表示为 A+C-B D.中午12:00左右,与曲线最高点所对应的时间相比,该植物叶绿体内C5的含量下降 D 解析:由图可以看出,在18:00和6:00时,CO2的吸收量均为0,即呼吸作用产生的CO2刚好被光合作用吸收,此时植物光合作用强度与呼吸作用强度相等。图中夜间只进行呼吸作用,其CO2的释放量为10 mg/h,该值表示呼吸速率,假设该植物在24 h内呼吸速率不变,在图中C区段CO2吸收的最高值为75 mg/h,此值为净光合速率,因此此时的真正光合作用速率=净光合速率+呼吸速率=75+10=85(mg/h)。白天光合速率大于呼吸速率,因此A和C区段表示的是白天积累的有机物,而夜间只进行呼吸作用,因此B区段表示夜间消耗的有机物,因此该植物在一昼夜中有机物积累量的代数式可表示为A+C-B。中午12:00左右,CO2浓度低,导致CO2的固定减少,而C3的还原仍在发生,因此与曲线最高点所对应的时间相比,C5的含量增加。 2.(2017·全国Ⅰ卷)植物的CO2补偿点是指由于CO2的限制,光合速率与呼吸速率相等时环境中的CO2浓度。已知甲种植物的CO2补偿点大于乙种植物的。回答下列问题: (1)将正常生长的甲、乙两种植物放置在同一密闭小室中,适宜条件下照光培养。培养后发现两种植物的光合速率都降低,原因是_____________________ ?  。? 甲种植物净光合速率为0时,乙种植物净光合速率    (填“大于0”“等于0”或“小于0”)。? 解析:(1)甲、乙两种植物在同一密闭小室中,在光下同时进行光合作用和呼吸作用,光照适宜时,光合作用强度大于呼吸作用强度,即光合作用吸收CO2的量大于呼吸作用释放CO2的量,故一段时间后密闭小室中CO2浓度降低,则光合速率也随之降低。甲种植物净光合速率为0,即光合速率与呼吸速率相等,此时CO2浓度为植物的CO2补偿点;由于甲种植物的CO2补偿点大于乙种植物,当甲种植物达到CO2补偿点时,此时的CO2浓度高于乙种植物的CO2补偿点,故乙种植物净光合速率大于0。 答案: (1)植物在光下光合作用吸收CO2的量大于呼吸作用释放CO2的量,使密闭小室中 解析:(2)植物照光后,进行光合作用产生O2,故可进行有氧呼吸,随着O2的增加,有氧呼吸增强。 (2)若将甲种植物密闭在无O2、但其他条件适宜的小室中,照光培养一段时间后,发现植物的有氧呼吸增加,原因是_________________________________ ?   ? 答案: (2)甲种植物在光下光合作用释放的O2使密闭小室中O2增加,而O2与有机物分解产生的NADH发生作用形成水是有氧呼吸的一个环节,所以O2增多时,有氧呼吸会增加 3.(2018·山西名校联考)将一绿色植物置于密闭容器中,给予适宜且恒定的温度,分别进行如下处理:①给予一定强度的光照;②黑暗放置一段时间;③维持光照,添加NaHCO3溶液。测定装置中O2浓度变化如图所示,回答相关问题: (1)施加上述3个条件所对应的图上的点分别为  。 (2)AB段呼吸速率是否恒定     (填“是”或“否”),如果B点所对应的时间是t,A和B分别代表图上纵坐标的值,AB段的平均呼吸速率值为  。? (3)BC段曲线减缓上升的原因为_______________________________________   ;? C点O2浓度不再上升的原因为_________________________________________  。?? 解析:从图上可以看出AB段O2浓度下降,是植物放在黑暗下只进行呼吸作用的结果,曲线斜率不变,呼吸速率不变,用该段的O2浓度差值与所用时间的比值即(A-B)/t可以代表这段的平均呼吸速率;B点O2增加,所以B点开始进行光合作用,但随着装置中CO2浓度降低,导致植物光合速率降低,所以曲线上升减慢,直到C点O2浓度不变,说明此时光合速率和呼吸速率相等,D点添加NaHCO3溶液,光合速率增加,说明之前影响光合作用的因素是CO2浓度。 答案: (1)B、A、D (2)是 (A-B)/t (3)光合作用强度大于呼吸作用强度,装置中CO2浓度降低,导致植物光合速率降低 密闭容器内,CO2浓度限制,光合作用强度等于呼吸作用强度(或者光合速率等于呼吸速率或者净光合速率为0) 4.(2018·河北邯郸检测)如图,将某绿色植物置于左侧密闭透明的容器中,给予恒定且适宜的光照;右侧容器充满氮气(氮气对生物的代谢无影响),并放置有酵母菌培养液,开始时阀门关闭。请回答下列问题: 解析:(1)实验开始后的一段时间内,阀门始终关闭,左侧容器内植物光合作用不断消耗CO2,CO2浓度不断下降,下降至光合速率等于呼吸速率时,容器内的CO2浓度趋于稳定。 (1)实验开始后的一段时间内,阀门始终关闭,则左侧容器内CO2浓度的变化趋势是  。? 答案:(1)逐渐降低后趋于稳定 解析:(2)一段时间后,在打开阀门的短时间内,右侧酵母菌无氧呼吸产生的CO2可以扩散至左侧容器,短时间内左侧容器中的CO2浓度增加,该植物叶肉细胞中CO2固定增强,C5的消耗增加,来路不变,最终导致C5的含量减少;同时C3的来路增加去路不变,结果C3的含量上升。所以叶肉细胞中C5/C3的值将变小。当容器中CO2浓度保持相对稳定时,植物的光合速率与酵母菌的呼吸速率与植物的呼吸速率之和相等,所以该植物的净光合速率大于0。 (2)一段时间后,在打开阀门的短时间内该植物叶肉细胞中C5/C3的值将   ;当容器中CO2浓度保持相对稳定时,该植物的净光合速率     (填“大于0”“小于0”或“等于0”),原因是 ?   。? 答案:(2)变小 大于0 此时植物的光合速率与酵母菌的呼吸速率和植物的呼吸速率之和相等 解析:(3)将酵母菌培养液换为乳酸菌培养液,其无氧呼吸不释放CO2,打开阀门后,CO2由左侧容器扩散至右侧容器,导致左侧容器内CO2浓度下降,因此该植物的光合速率下降。 (3)若将酵母菌培养液换为乳酸菌培养液,则打开阀门后该植物的光合速率有所下降,原因是_____________________________________________________   。? 答案:(3)乳酸菌无氧呼吸不释放CO2,打开阀门后,CO2由左侧容器扩散至右侧容器,导致左侧容器内CO2浓度下降,因此该植物的光合速率下降 素养提升课3 光合作用和细胞呼吸的实验探究 突破点一 细胞呼吸方式的探究与速率的测定 典例引领 (2018·山东联考)如图是探究酵母菌细胞呼吸方式类型的装置,下列说法正确的是(  ) A.装置一中液滴左移,装置二中液滴右移,说明酵母菌只进行无氧呼吸 B.装置一中液滴不移,装置二中液滴右移,说明酵母菌只进行有氧呼吸 C.装置一中液滴左移,装置二中液滴不移动,说明酵母菌死亡 D.装置一中液滴左移,装置二中液滴右移,说明酵母菌进行有氧呼吸和无氧呼吸 【审题指导】 (1)装置一中NaOH溶液:可吸收细胞呼吸释放出的CO2,由于有氧呼吸消耗氧气物质的量等于其产生的CO2物质的量,因此刻度管内的液滴移动情况反映的是氧气消耗量的变化,因此装置一可探究酵母菌是否发生有氧呼吸。 (2)装置二中因“NaOH溶液”换成“蒸馏水”,若只进行有氧呼吸,由于消耗氧气物质的量和释放二氧化碳物质的量相同,则液滴不移动。若只进行无氧呼吸,则会因释放CO2,导致液滴右移。因此装置二可探究酵母菌是否发生无氧呼吸。 解析:装置一中液滴左移,装置二中液滴右移,说明酵母菌进行有氧呼吸和无氧呼吸。装置一中液滴不移,装置二中液滴右移,说明酵母菌只进行无氧呼吸;装置一中液滴左移,装置二中液滴不移动,说明酵母菌只进行有氧呼吸。 答案:D 素养提升 1.细胞有氧呼吸速率的测定 (1)实验装置 (2)实验原理:组织细胞呼吸作用吸收O2,释放CO2,CO2被NaOH溶液吸收,使容器内气体压强减小,刻度管内的液滴左移。单位时间内液滴左移的体积即表示呼吸速率。装置乙为对照。 (3)误差的校正 ①如果实验材料是绿色植物,整个装置应遮光处理,否则植物的光合作用会干扰呼吸速率的测定。 ②如果实验材料是种子,为防止微生物呼吸对实验结果的干扰,应对装置及所测种子进行消毒处理。 ③为防止气压、温度等物理膨胀因素所引起的误差,应设置对照实验,将所测的生物材料灭活(如将种子煮熟),其他条件均不变。 2.探究细胞呼吸方式 (1)实验装置 (2)实验原理 ①装置一中NaOH溶液的作用是吸收掉细胞呼吸所产生的CO2,着色液移动的距离代表植物细胞呼吸吸收O2的量。 ②装置二中着色液移动的距离代表植物细胞无氧呼吸产生CO2量。 (3)结果分析 实验现象 结论 装置一 着色液 装置二 着色液 不动 不动 只进行产生乳酸的无氧呼吸或种子已死亡 不动 右移 只进行产生酒精的无氧呼吸 左移 右移 进行有氧呼吸和产生酒精的无氧呼吸 左移 不动 只进行有氧呼吸或进行有氧呼吸和产生乳酸的无氧呼吸 对点落实 1.(2018·山东淄博模拟)某同学用如图所示实验装置测定果蝇幼虫的呼吸速率。实验所用的毛细管横截面积为1 mm2,实验开始时,打开软管夹,将装置放入25 ℃水浴中,10 min后关闭软管夹,随后每隔5 min记录一次毛细管中液滴移动的位置,结果如下表所示。下列分析正确的是(   ) B 实验时间(min) 10 15 20 25 30 35 液滴移动距离(mm) 0 32.5 65 100 130 162.5 解析:题图中X为NaOH溶液,软管夹关闭后液滴将向左移动;在20~30 min内氧气的平均吸收速率为(130-65)×1÷10=6.5(mm3/min);果蝇幼虫无氧呼吸产生乳酸不产生CO2,无论是否进行无氧呼吸液滴都不会移动;对照实验中应将装置中的果蝇幼虫换成等数量的死幼虫,并将该装置置于相同环境中,重复上述实验。 A.图中X为NaOH溶液,软管夹关闭后液滴将向右移动 B.在20~30 min内氧气的平均吸收速率为6.5 mm3/min C.如将X换为清水,可测定果蝇幼虫无氧呼吸速率 D.增设的对照实验只需将装置中的X换成清水,并将该装置置于相同的环境中 2.(2019·山东德州月考)甲、乙两个生物兴趣小组分别利用图Ⅰ、图Ⅱ装置对酵母菌细胞呼吸方式进行了如下的探究实验。回答下列问题: (1)甲利用图Ⅰ装置探究酵母菌在有氧与无氧的条件下细胞呼吸放出的热量的多少。 材料用具:500 mL保温桶、温度计、活性酵母菌、0.1 mol/L葡萄糖溶液、棉花、石蜡油。 实验步骤: ①取A、B两套装置按下表的设计进行实验。 则X是         ;Y是  。? ②B装置中步骤一的主要目的是       ,这是控制实验的     变量。? 实验结果:略。 装置 步骤一 步骤二 步骤三 A 加入200 mL的葡萄糖溶液 加入10 g活性酵母菌 X B 加入200 mL煮沸后冷却的葡萄糖溶液 Y 加入石蜡油铺满液面 解析:(1)①分析表中相关内容,考虑到实验要遵循对照性原则、科学性原则和单一变量原则,本实验的自变量为是否含有氧气,其他都是无关变量,要求相同且适宜。因此X处应填:不加入石蜡油(或通入氧气),目的是给酵母菌创造有氧环境。Y处应填:加入10 g活性干酵母, 排除无关变量的影响。 ②B装置葡萄糖溶液煮沸的主要目的是去除氧气,氧气有无属于自变量。 答案: (1)①不加入石蜡油(通入氧气)  加入10 g活性酵母菌  ②去除氧气 自 (2)乙利用图Ⅱ装置(橡皮塞上的弯管为带有红色液滴的刻度玻璃管)探究酵母菌的细胞呼吸类型。 ①想得到实验结论还必须同时设置对照实验,假设该装置编号为Ⅲ,则装置Ⅲ除用      代替NaOH溶液外,其他设计与装置Ⅱ相同。? 解析:(2)①图Ⅱ装置中氢氧化钠吸收二氧化碳,红色液滴向左移动是酵母菌有氧呼吸消耗氧气引起的;探究呼吸方式,同时设置对照实验,装置Ⅲ除用等量清水代替氢氧化钠外,其他设计与装置Ⅱ相同。 答案: (2)①等量清水 解析:(2)②CO2可使澄清的石灰水变混浊;CO2可使溴麝香草酚蓝水溶液由蓝变绿再变黄。 ②检测酵母菌细胞呼吸是否产生CO2时,可用澄清的石灰水或溴麝香草酚蓝水溶液。CO2可使溴麝香草酚蓝水溶液发生的颜色变化是        。? 答案: (2)②由蓝变绿再变黄 解析:(2) ③装置Ⅱ烧杯内是氢氧化钠溶液,氢氧化钠溶液的作用是吸收细胞呼吸产生的二氧化碳,所以装置测量的是细胞呼吸消耗的氧气的量。装置Ⅲ烧杯内是清水,清水不能吸收气体,也不释放气体,该装置测量的是细胞呼吸释放的二氧化碳的量和消耗氧气的量的差值,如果气体体积增加,说明酵母菌进行无氧呼吸。所以若装置Ⅱ中红色液滴不移动,装置Ⅲ中红色液滴向右移动,说明酵母菌只进行无氧呼吸;若装置Ⅲ中红色液滴不移动,装置Ⅱ中红色液滴向左移动,说明酵母菌只进行有氧呼吸;若装置Ⅲ中红色液滴向右移动,装置Ⅱ中红色液滴向左移动,说明酵母菌同时进行有氧呼吸和无氧呼吸。 ③写出乙组改进后所得的实验结果及相应的结论: 若装置Ⅲ中红色液滴向右移,装置Ⅱ中红色液滴不移动,说明酵母菌只进行无氧呼吸;若 ,? 说明酵母菌只进行有氧呼吸;若 ,? 说明酵母菌同时进行有氧呼吸和无氧呼吸。 答案: (2)③装置Ⅲ中红色液滴不移动,装置Ⅱ中红色液滴向左移 装置Ⅲ中红色液滴向右移,装置Ⅱ中红色液滴向左移 突破点二 光合作用、细胞呼吸实验的常用研究方法 典例引领 (2016·全国Ⅱ卷)BTB是一种酸碱指示剂。BTB的弱碱性溶液颜色可随其中CO2浓度的增高而由蓝变绿再变黄。某同学为研究某种水草的光合作用和呼吸作用,进行了如下实验:用少量的NaHCO3和BTB加水配制成蓝色溶液,并向溶液中通入一定量的CO2使溶液变成浅绿色,之后将等量的浅绿色溶液分别加入到7支试管中。其中6支加入生长状况一致的等量水草,另一支不加水草,密闭所有试管。各试管的实验处理和结果见下表。 试管编号 1 2 3 4 5 6 7 水草 无 有 有 有 有 有 有 距日光灯 的距离(cm) 20 遮光* 100 80 60 40 20 50 min后试管 中溶液的颜色 浅绿 色 X 浅黄 色 黄绿 色 浅绿 色 浅蓝 色 蓝色 *遮光是指用黑纸将试管包裹起来,并放在距日光灯100 cm 的地方。 若不考虑其他生物因素对实验结果的影响,回答下列问题: (1)本实验中,50 min后1号试管的溶液是浅绿色,则说明2至7号试管的实验结果是由___________________________________________________________ ? 引起的;若1号试管的溶液是蓝色,则说明2至7号试管的实验结果是   (填“可靠的”或“不可靠的”)。? 【审题指导】 (1)弄清BTB指示剂的变色原因:BTB在弱碱性溶液中显蓝色,随CO2浓度的增高,pH降低,溶液由蓝变绿再变黄。 解析:(1)1号试管中没有加水草,50 min 后1号试管的溶液颜色仍为浅绿色,说明无关变量不会引起溶液颜色的变化。2至7号试管中都加了水草,2至7号试管中溶液颜色发生了改变说明是由不同光强下水草的光合作用和呼吸作用引起的。1号试管为对照组,若其溶液颜色发生了变化,说明还受其他因素的影响,故2至7号试管的实验结果也是不可靠的。 答案:(1)不同光强下水草的光合作用和呼吸作用 不可靠的 (2)表中X代表的颜色应为    (填“浅绿色”“黄色”或“蓝色”),判断依据是  ?  。 【审题指导】 (2)弄清实验分组的自变量及实验开始时各试管的颜色:7支试管中加入的都是浅绿色的BTB溶液,其中1号试管没有加入水草是对照组,BTB溶液的颜色不变,仍为浅绿色,2至7号试管都加入了水草,其中2号试管遮光,3至7号试管距日光灯的距离越来越小,光照越来越强。3至7号试管实验后的颜色由浅黄渐变到蓝色。 解析:(2)2号试管遮光,水草不能进行光合作用,只进行了呼吸作用释放CO2,溶液中CO2浓度高于3号试管,故2号试管中溶液的颜色为黄色。 答案:(2)黄色 水草不进行光合作用,只进行呼吸作用,溶液中CO2浓度高于3号试管 (3)5号试管中的溶液颜色在照光前后没有变化,说明在此条件下水草_______   。? 【审题指导】 (3)弄清各实验组的变化原因:1号试管没加入水草,溶液颜色浅绿色不变,是对照组;2号试管遮光,水草只进行细胞呼吸,产生CO2;3至7号试管同时进行光合作用和细胞呼吸,5号试管仍为浅绿色,说明光合作用吸收的CO2与呼吸作用产生的CO2量相等,CO2浓度不变;3、4号试管细胞呼吸速率大于光合速率,CO2浓度增大,6、7号试管光合速率大于呼吸速率,CO2浓度降低。 解析:(3)若在某光照条件下,水草光合作用吸收CO2的量等于呼吸作用释放的CO2的量,则溶液中CO2浓度不变,溶液的颜色在照光前后不发生变化。 答案:(3)光合作用强度等于呼吸作用强度,吸收与释放的CO2量相等 素养提升 1.“装置图法”测定光合速率与呼吸速率 (1)测定装置 (2)测定方法及解读 ①测定呼吸速率(装置甲) a.装置甲烧杯中放入适宜浓度NaOH溶液用于吸收CO2。 b.玻璃钟罩遮光处理,以排除光合作用干扰。 c.置于适宜温度环境中。 d.红色液滴向左移动(装置甲单位时间内向左移动距离代表呼吸速率)。 ②测定净光合速率(装置乙) a.装置乙烧杯中放入适宜浓度的CO2缓冲液,用于保证容器内CO2浓度恒定,满足光合作用需求。 b.必须给予较强光照处理,且温度适宜。 c.红色液滴向右移动(装置乙单位时间内向右移动距离代表净光合速率)。 ③根据“总(真正)光合速率=呼吸速率+净光合速率”可计算得到总(真正)光合速率。 物理误差的校正:为防止气压、温度等物理因素所引起的误差,应设置对照实验,即用死亡的绿色植物分别进行上述实验,根据红色液滴的移动距离对原实验结果进行校正。 2.“黑白瓶法”测定光合速率与呼吸速率 将装有水和水生植物的黑、白瓶置于不同水层中,测定单位时间内瓶中溶解氧含量的变化,借此测定水生植物的光合速率。黑瓶不透光,瓶中生物仅能进行呼吸作用;白瓶透光,瓶中生物可进行光合作用和呼吸作用。因此,真正光合作用量(光合作用总量)=白瓶中氧气增加量+黑瓶中氧气减少量。 3.“半叶法”测定光合作用有机物的产生量 “半叶法”的原理是将对称叶片的一部分(A)遮光,另一部分(B)不做处理,并采用适当的方法(可先在叶柄基部用热水或热石蜡液烫伤或用呼吸抑制剂处理)阻止两部分的物质和能量转移。在适宜光照下照射6小时后,在A、B的对应部位截取同等面积的叶片,烘干称重,分别记为MA、MB,获得相应数据,则可计算出该叶片的光合作用强度,其单位是mg/(dm2·h)。即M=MB-MA,M表示B叶片被截取部分在6小时内光合作用合成的有机物总量。 4.“叶片上浮法”探究影响光合作用的因素 利用“真空渗入法”排出叶肉细胞间隙的空气,充以水分使叶片沉于水中。在光合作用过程中植物吸收CO2放出O2,由于O2在水中溶解度很小而在细胞间积累,结果使原来下沉的叶片上浮。根据在相同时间内上浮叶片数目的多少(或者叶片全部上浮所需时间的长短),即能比较光合作用的强弱。 对点落实 1.(2019·河北唐山月考)如图为某研究小组测定光照强度对植物叶片光合作用影响的实验装置。将该装置先放在黑暗条件下一段时间,然后给予不同强度的光照。关于该实验的叙述,正确的是(   ) A.温度、CO2浓度和有色液滴的移动距离都是无关变量 B.CO2缓冲液的作用是维持容器中CO2浓度的稳定 C.如果有色液滴向右移动,说明不进行光合作用 D.如果有色液滴向左移动,说明不进行光合作用 B 解析:依题意可知:该实验的目的是探究光照强度对植物叶片光合作用的影响,自变量是光照强度,因变量是光合作用强度,有色液滴的移动距离作为观测的指标,温度、CO2浓度等都是无关变量;CO2缓冲液的作用是维持容器中CO2浓度的稳定;有色液滴移动的距离是由装置内O2的变化量引起的,如果有色液滴向右移动,说明光合作用释放的氧气量大于呼吸作用吸收的氧气量;如果有色液滴向左移动,说明光合作用释放的氧气量小于呼吸作用吸收的氧气量。 2.(2018·山东、湖北联考)将一株小麦密闭在无色玻璃钟罩内,在室内调温25 ℃,给予恒定适宜的光照60 min,然后遮光处理60 min。全程用CO2传感器测定钟罩内CO2浓度的变化,得到图2曲线。 (1)若要获得小麦的真正光合速率,    (填“需要”或“不需要”)另设对照组。0~60 min小麦的真正光合速率为    μ mol CO2/(L·h)。? 解析:(1)前60分钟测定净光合速率,后60分钟测定呼吸速率,不必另设对照。真正光合速率=净光合速率+呼吸速率=(2 000-800)+(1 200-800)= 1 600 [μmol CO2/(L·h)]。 答案:(1)不需要 1 600 (2)实验10 min时,小麦叶肉细胞进行光合作用所需CO2的来源是     。在停止光照的瞬间叶绿体内C3的含量   。? 解析: (2)光合作用旺盛,叶绿体需要较多CO2,包括线粒体供给和胞外吸收。停止光照,缺少NADPH和ATP,不能还原C3。 答案: (2)线粒体供给和胞外吸收 增多(或升高) 3.某研究小组采用“半叶法”对番茄叶片的光合速率进行测定。将对称叶片的一部分(A)遮光,另一部分(B)不做处理,并采用适当的方法阻止两部分的物质和能量转移。在适宜光照下照射6小时后,在A、B的对应部位截取同等面积的叶片,烘干称重,分别记为MA、MB,获得相应数据,则可计算出该叶片的光合速率,其单位是mg/(dm2·h)。请分析回答下列问题: (1)MA表示6小时后叶片初始质量-呼吸作用有机物的消耗量;MB表示6小时后(          )+(           )-呼吸作用有机物的消耗量。? (2)若M=MB-MA,则M表示______________________________________________  。? (3)光合速率的计算方法是  。? (4)本方法也可用于测定叶片的呼吸速率,写出实验设计思路。_____________ ?   。? 解析:叶片A部分遮光,虽不能进行光合作用,但仍可照常进行呼吸作用。叶片B部分不做处理,既能进行光合作用,又可以进行呼吸作用。分析题意可知,MB表示6 h后叶片初始质量+光合作用有机物的总产量-呼吸作用有机物的消耗量,MA表示6 h后叶片初始质量-呼吸作用有机物的消耗量,则MB-MA就是光合作用6 h有机物的总产量(B叶片被截取部分在6 h内光合作用合成的有机物总量)。由此可计算光合速率,即M值除以时间再除以面积。 答案:(1)叶片初始质量 光合作用有机物的总产量 (2)B叶片被截取部分在6 h内光合作用合成的有机物总量 (3)M值除以时间再除以面积,即M/(截取面积×时间) (4)将从测定叶片的相对应部分切割的等面积叶片分开,一部分立即烘干称重,另一部分在黑暗环境中保存几小时后再烘干称重,根据二者干重差即可计算出叶片的呼吸速率 4.(2018·宁夏银川模拟)某研究小组从当地一湖泊的某一深度取得一桶水样,分装于六对黑白瓶中,剩余的水样测得原初溶解氧的含量为10 mg/L,白瓶为透明玻璃瓶。黑瓶为黑布罩住的玻璃瓶。将它们分别置于六种不同的光照条件下,24小时后测定各组培养瓶中的氧含量,记录数据如下: 光照强度(klx) 0(黑暗) a b c d e 白瓶溶氧量(mg/L) 3 10 16 24 30 30 黑瓶溶氧量(mg/L) 3 3 3 3 3 3 (1)黑瓶中溶解氧的含量降低为3 mg/L的原因是__________________________  ;? 该瓶中所有生物细胞呼吸消耗的O2量为      mg/(L·24h)。? 解析:(1)黑瓶中溶解氧的含量降低为3 mg/L的原因是黑瓶没有光照,植物不能进行光合作用产生氧,其中的生物呼吸消耗氧气,该瓶中所有生物细胞呼吸消耗的O2量为:原初溶解氧减去24小时后氧含量,即10-3= 7[mg/(L·24 h)]。 答案:(1)黑瓶中植物不能进行光合作用产生氧,其中的生物呼吸作用消耗氧气 7 (2)当光照强度为c时,白瓶中植物产生的氧气量为    mg/(L·24h)。? (3)光照强度至少为    (填字母)klx时,该水层产氧量才能维持生物正常生活耗氧量所需。 解析:(2)当光照强度为c时,白瓶中植物光合作用产生的氧气量即为总光合作用量=净光合作用量+呼吸作用消耗量=(24-10)+7=21[mg/(L·24 h)]。 (3)光照强度为a klx时,白瓶中溶氧量不变,说明植物光合作用产生的氧刚好用于所有生物的呼吸作用消耗,故光照强度为a klx时,该水层生物产氧量与生物耗氧量可维持动态平衡。 答案:(2)21 (3)a 5.(2018·福建福州期末)为完成“探究环境因素对光合作用强度的影响”实验,提供以下材料用具:菠菜叶、打孔器(直径1 cm)、注射器、40 W台灯、烧杯、4% NaHCO3溶液、蒸馏水、不同颜色的透明薄膜等。 (1)某同学选取其中一个因素进行探究,以下是实验结果: 时间 上浮的叶圆片数量(片) 蒸馏水 0.5% NaHCO3 1% NaHCO3 1.5% NaHCO3 2% NaHCO3 2 min 0 7 11 10 4 4 min 0 15 16 13 7 ①该实验的目的是  ,? 实验检测指标是  。? ②有哪些措施可以减少实验误差?_____________________________________   。? (至少写出两项) ③有同学认为叶片之所以浮起,是因为呼吸作用消耗了有机物且产生了CO2导致叶片上浮的。根据实验结果判断该观点是否正确?并说明理由:__________ ?   。? 解析:(1)①由表格看出实验的自变量是不同浓度的 NaHCO3 溶液,NaHCO3溶液的浓度不同,提供的CO2浓度不同,因此该实验是探究的不同浓度的CO2对光合速率的影响。实验观察的指标是单位时间内上浮的叶圆片数量。②减少实验误差就要平衡无关变量,重复实验求平均值。③叶片上浮的原因是光合速率大于呼吸速率,叶片内氧气增多,叶圆片的密度变小。说明叶圆片上浮的原因不是呼吸作用消耗有机物且产生了CO2,应从蒸馏水中叶圆片没有上浮的角度来论述。 答案:(1)①探究CO2浓度(或NaHCO3浓度)对叶片光合速率的影响 相同时间内烧杯中叶片浮起的数量 ②用打孔器打出的叶片数量足够多;每组实验重复几次,记录的数据取平均值 ③不正确,因为在蒸馏水的那组实验中,叶片一样进行了呼吸作用,却没有叶片浮起,叶片上浮的原因是光合作用强度大于呼吸作用强度,叶片内氧气增多 (2)利用以上材料,还可以探究的环境因素有  。?   (答出两个) 解析:(2)上述实验材料,还有40 W台灯、不同颜色的透明薄膜,还可探究光照强度或不同光质对光合作用的影响。 答案:(2)光照强度、光的性质 科学探究系列6  分析实验结果,归纳实验结论 【素能培养】 实验结果是实验实际出现的现象,是通过观察或测量得到的。实验结论是根据实验现象,通过对实验因变量与自变量关系的分析,得出的具有普遍意义的理论性结论。实验结论的得出必须依据实验结果。分析实验结果,归纳实验结论的一般方法是: (1)通过实验目的、实验的对照组设置或步骤,根据单一因素不同,找出实验自变量。 (2)由果找因,分析实验结果(因变量)与实验控制的单一因素(自变量)之间的逻辑关系,得出正确结论。 (3)在有些实验中,还要根据各对照组中得出的“分结论”,综合为“全面结 论(总)”。 (4)在验证性实验中,因为要验证的事实是正确的,实验结果只有一种,实验结论即是要验证事实;在探究实验中,因为实验结果是未知的,可能出现的实验结果有多种,因此对应的实验结论也有多种,不同的结果对应不同的结论。 【针对训练】 1.下表是在适宜条件下测得某植物叶绿体色素吸收光能的情况,有关分析不正确的是(   ) B 波长(nm) 400 450 500 550 600 670 700 吸收光 能百分 比(%) 叶绿 素a 40 68 5 15 16 40 16 全部 色素 75 93 50 35 45 75 35 A.叶绿体色素吸收光能的前提是捕获光能 B.由550 nm波长的光转为670 nm波长的光时,叶绿体中C3的量会增加 C.该植物缺乏Mg时,叶绿素a吸收的光能百分比的减少幅度更大 D.环境温度降低,该植物对光能的利用能力降低 解析:植物光合色素的作用是吸收、传递和转化光能,所以捕获光能是吸收利用光能的前提;由550 nm波长的光转为670 nm波长的光时,吸收光能的百分比增加,光反应阶段产生的ATP和[H]增加,C3的还原加快,含量会减少;该植物缺乏Mg元素时,由于Mg是叶绿素的重要组成元素,故叶绿素a吸收的光能百分比会大量减少;表格中为适宜条件下的测量数据,环境温度降低,酶活性降低,光能利用率会降低。 2.某生物小组以新鲜菠菜叶为材料进行叶绿素提取的探究实验,结果如下表: 实验一 二氧化硅 粒径/目 20 50 100 200 叶绿素含量/mg·g-1 0.611 0.699 0.593 0.592 实验二 二氧化硅 用量/g 1 3 5 7 9 叶绿素含量/mg·g-1 0.490 0.648 0.610 0.575 0.553 解析:(1)实验一的自变量是二氧化硅的粒径,实验二的自变量是二氧化硅的用量,两个实验的因变量是叶绿素含量,因此实验目的是探究二氧化硅粒径和用量对叶绿素提取量的影响。 注:“目”表示颗粒大小的单位,且目数越大粒径越小;“叶绿素含量”表示每克叶中叶绿素的提取量。 回答下列问题: (1)以上实验的目的是_______________________________________________  。? 答案:(1)探究二氧化硅粒径和用量对叶绿素提取量的影响 解析:(2)叶绿素可以溶于无水乙醇等有机溶剂中,提取叶绿素时加入二氧化硅的作用是有助于研磨充分。 (2)提取叶绿素的实验原理是_________________________________________            ,实验中二氧化硅的作用是  ?       。? 答案:(2)叶绿素能溶解在无水乙醇等有机溶剂中 有助于研磨得充分  解析:(3)由实验一可知粒径为50目时提取叶绿素含量最多;实验二二氧化硅的用量是自变量,粒径大小是无关变量。 (4)镁是合成叶绿素的必需元素,在缺镁的培养液中培养,提取到的叶绿素含量将下降。 (3)依据实验一的结果,实验二最好选用    目的二氧化硅。在实验二中,粒径大小属于     变量。? (4)若实验使用的菠菜培养于缺镁培养液中,则提取到的叶绿素含量将 ____________(填“上升”“下降”或“不变”)。? 答案:(3)50 无关 (4)下降 3.(2018·湖北八校一模)某科研人员研究不同遮光处理对白桦光合作用生理特性的影响结果如图。 (1)叶片中叶绿素含量是维持植物正常光合作用的主要指标,叶绿素分布在叶肉细胞的__________________________________________________________ (具体部位),通过图的结果发现白桦叶绿素含量随          而增加,提高了白桦在弱光环境下的捕光能力。 解析:(1)叶绿素分布在叶绿体类囊体薄膜上。由图读出白桦叶绿素含量随遮光程度的增加而增加。 答案: (1)叶绿体类囊体薄膜 遮光程度的增加 (2)叶绿素b/a的值可作为植物利用弱光能力的判断指标,研究人员发现遮光处理提高了白桦叶绿素b/a的值。通过高中课本         实验可以验证该结论。你的实验证据是  ?   。 解析:(2)通过色素的提取和分离实验,提取和分离色素后,比较遮光组和全光组叶片中黄绿色色素带(叶绿素b)与蓝绿色色素带(叶绿素a)宽度的比值可证明遮光处理提高了白桦树叶片叶绿素b/a的值 答案:(2)色素的提取和分离 遮光组滤纸条上黄绿色的色素带宽度与蓝绿色的色素带宽度的比值大于非遮光组 素养提升课4 基因分离定律的异常、特殊分离比 突破点一 基因分离定律的特殊现象 典例引领 (2017·全国Ⅰ卷,节选)公羊中基因型为NN或Nn的表现为有角,nn无角;母羊中基因型为NN的表现为有角,nn或Nn无角。若多对杂合体公羊与杂合体母羊杂交,则理论上,子一代群体中母羊的表现型及其比例为        ;公羊的表现型及其比例为        。? 【审题指导】 (1)题目信息给出了羊的有角和无角性状在公羊和母羊中的差别即公羊和母羊中NN都为有角,公羊和母羊中nn都为无角。Nn基因型的公羊有角,母羊无角,同一基因型在公羊和母羊中表现型不同。 (2)杂合体的公羊与杂合体的母羊杂交,子一代的基因型为NN∶Nn∶nn= 1∶2∶1。分别分析公羊和母羊有角和无角的比例。 解析:多对杂合体公羊与杂合体母羊杂交,子一代的基因型及比例为NN∶ Nn∶nn=1∶2∶1。基因型为Nn的公羊表现为有角,则公羊的表现型及比例为有角∶无角=3∶1;基因型为Nn的母羊表现为无角,则母羊的表现型及比例为有角∶无角=1∶3。 答案:有角∶无角=1∶3 有角∶无角=3∶1 素养提升 1.了解与分离定律有关的四类特殊现象 (1)不完全显性:如等位基因A和a分别控制红花和白花,在完全显性时,Aa自交后代中红∶白=3∶1;在不完全显性时,Aa自交后代中红(AA)∶粉红(Aa)∶白(aa)=1∶2∶1。 (2)复等位基因:一对同源染色体的同一位置上的基因有多种,最常见的如人类ABO血型的遗传,涉及3个基因——IA、IB、i,其基因型与表现型的关系如表: 基因型 表现型 IAIA、IAi A型 IBIB、IBi B型 IAIB AB型 ii O型 (3)从性遗传:常染色体上的基因,由于性别的差异而表现出男女性分布比例上或表现程度上的差别。如男性秃顶的基因型为Bb、bb,女性秃顶的基因型只有bb。 从性遗传与伴性遗传的根本区别在于: 从性遗传 伴性遗传 特点 常染色体基因控制的性状 性染色体基因控制的性状 发生 在两种性别上,但受个体影响存在差异 在两种性别上,和性别的发生频率有差异 (4)环境影响:由于受环境影响,导致表现型与基因型不符合的现象。例如果蝇长翅(V)和残翅(v)的遗传受温度的影响,其表现型、基因型与环境的关系如表: 2.解题指导 (1)透过现象理解本质 ①不完全显性只是两个基因间的作用关系不同于完全显性,它们在形成配子时基因仍存在分离现象。 环境 表现型 基因型 25 ℃ (正常温度) 35 ℃ VV、Vv 长翅 残翅 vv 残翅 ②复等位基因尽管有多个,但遗传时仍符合分离定律,彼此之间有显隐性关系,表现特定的性状。 ③从性遗传的本质为表现型=基因型+环境条件(性激素种类及含量差异等)。 (2)掌握一个解题原则 此类问题遵循基因的分离定律,解题的关键是准确区分基因型和表现型的关系,明确特殊情境下的个体比例变化。 对点落实 1.在牵牛花的遗传实验中,用纯合红色牵牛花(AA)和纯合白色牵牛花(aa)杂交,F1全是粉红色牵牛花。将F1自交后,F2中出现红色、粉红色和白色三种类型的牵牛花,比例为1∶2∶1,如果取F2中的全部粉红色牵牛花和红色牵牛花分别进行自交,则后代表现型及比例应该为(   ) A.红色∶粉红色∶白色=1∶2∶1 B.红色∶粉红色∶白色=3∶2∶1 C.红色∶粉红色∶白色=1∶4∶1 D.红色∶粉红色∶白色=4∶4∶1 B 解析:由题意分析可知,F2中粉红色与红色的比例为2∶1,因此自交时,1/3AA自交子代为1/3AA,2/3Aa自交子代1/6AA、2/6Aa、1/6aa,整体下来为3/6AA、2/6Aa、1/6aa,对应表现型及比例为红色∶粉红色∶白色=3∶2∶1。 2.(2018·湖北重点中学联考)二倍体喷瓜有雄性(G)、两性(g)、雌性(g-)三种性别,三个等位基因的显隐性关系为G>g>g-,下列有关叙述错误的是(   ) A.雄性喷瓜的基因型中不存在GG个体 B.两性植株自交后代中不存在雄株 C.雄株与雌株杂交子代中雄株所占比例为2/3 D.两性植株群体内随机授粉,子代纯合子比例>50% C 解析:依题意可知:雌性(g-)植株和两性(g)植株均不能产生基因型为G的卵细胞,因此没有基因型为GG的受精卵,雄性喷瓜的基因型中不存在GG个体;两性植株的基因型为gg、gg-,其自交后代中不存在含有G基因的个体,即不存在雄株;雄株的基因型为Gg、Gg-,雌株的基因型为g-g-,二者杂交子代中雄株所占比例为50%;两性植株的基因型为gg、gg-,若群体内随机传粉,gg自交后代均为纯合子,gg-自交和gg×gg-杂交,其后代纯合子与杂合子比例相等,因此子代纯合子比例>50%。 3.果蝇的黑体(v)与灰体(V)是一对相对性状,某实验小组对果蝇的这对相对性状进行遗传研究。如果用含有某种添加剂的食物喂养果蝇,所有的果蝇都是黑体,现有一只用含有该种添加剂的食物喂养的黑体雄果蝇,请设计一个实验探究其基因型。 (1)应选取? 果蝇与待测果蝇交配。 (2)用             喂养子代果蝇。? 解析:(1)检测某动物的基因型,常用测交法,即选取多只用不含添加剂的食物喂养的黑体雌果蝇(vv)与待测雄果蝇交配。(2)用不含添加剂的食物喂养子代果蝇。 答案:(1)多只用不含添加剂的食物喂养的黑体雌 (2)不含添加剂的食物 (3)通过观察子代果蝇性状,推断待测果蝇的基因型: ①若子代       ,则待测果蝇的基因型为VV;? ②?  ;? ③?  。? 解析:(3)①若子代全为灰体,则待测果蝇的基因型为VV,即VV×vv→Vv;②若子代全为黑体,则待测果蝇的基因型为vv,即vv×vv→vv;③若子代既有灰体,也有黑体,则待测果蝇的基因型为Vv,即Vv×vv→Vv、vv。 答案:(3)①全为灰体 ②若子代全为黑体,则待测果蝇的基因型为vv ③若子代既有灰体,又有黑体,则待测果蝇的基因型为Vv 4.(2018·山东菏泽模拟)羊毛的黑色和白色(相关基因用A、a表示)、羊的有角和无角(相关基因用B、b表示)是由位于两对常染色体上的不同基因控制的,两对基因独立遗传,其毛色的遗传图解如下: 请回答下列相关问题: (1)羊的毛色中,     为显性性状, F1中的两黑色羊再生一黑色母羊的概率 为    。 解析:(1)根据图解判断白色为隐性性状,黑色为显性性状。F1黑色羊的基因型为Aa,F1中的两黑色羊再生一黑色母羊的概率为3/4×1/2=3/8。 答案:(1)黑色 3/8  (2)用多对纯合的有角公羊和无角母羊杂交,得到足够多的子一代,F1中公羊全为有角,母羊全为无角。F1个体相互交配,在F2公羊中,有角∶无角=3∶1;在F2母羊中,有角∶无角=1∶3。某生物学家对此作出的解释是相同的基因型在公羊和母羊中的    可能不同。若此解释正确,则F2无角母羊的基因型及比例为  。? 若要验证此解释是否成立,应让无角公羊和              交配,若子代               ,则此解释正确。该生物学家的探究过程体现了现代科学研究中常用的一种科学方法叫作       。? 解析:(2)根据F2的表现型判断F1的基因型为Bb,Bb的公羊有角,Bb的母羊无角。F2无角母羊的基因型及比例为Bb∶bb=2∶1。若要验证此解释成立,可让无角公羊(bb)与多只F1的无角母羊(Bb)或有角母羊(BB)交配,观察后代公羊和母羊的表现型及比例。 答案:(2)表现型 Bb∶bb=2∶1 F1中的多只无角母羊(或多只有角母羊) 公羊中,有角与无角比例为1∶1,母羊全为无角(或公羊全为有角,母羊全为无角) 假说—演绎法 突破点二 基因分离定律中的致死问题 典例引领 某生物的长尾对短尾为显性,控制基因为A/a,存在胚胎致死效应,假设有两种情况:甲情况为显性基因纯合致死;乙情况为隐性基因纯合致死。下列叙述不正确的是(  ) A.甲情况下,长尾个体相互交配,子代的性状分离比为 2∶1 B.甲情况下,无须通过测交来确定长尾个体的基因型 C.乙情况下,必须通过测交才能确定长尾个体的基因型 D.乙情况下,该生物种群中a基因频率可能会逐代降低 【审题指导】 (1)题目给出两种致死情况的信息:甲情况是显性纯合致死,乙情况是隐性纯合致死。 (2)甲情况显性纯合致死,群体中显性个体为Aa,隐性个体为aa;乙情况隐性纯合致死,群体中都为显性个体,基因型为AA或Aa。 解析:甲情况下,长尾中的雌雄个体交配,子代中基因型及比例为AA∶Aa∶ aa=1∶2∶1,其中AA胚胎致死,因此子代中长尾∶短尾=2∶1,甲情况为显性纯合致死,长尾个体的基因型只有Aa,无须通过测交来确定基因型;乙情况为隐性纯合致死,因此没有基因型为aa的个体存在,因此无法进行测交实验;隐性纯合致死会使a的基因频率逐渐降低。 答案:C 素养提升 1.理解五种常见的致死现象 (1)显性致死:显性基因具有致死作用。若为显性纯合致死,杂合子自交后代显∶隐=2∶1。 (2)隐性致死:隐性基因同时存在于同一对同源染色体上时,对个体有致死作用。如植物中的白化基因(bb)使植物不能形成叶绿素,不能进行光合作用而死亡。 (3)配子致死:致死基因在配子时期发生作用,不能形成有生活力的配子的现象。 (4)合子致死:致死基因在胚胎时期或成体阶段发生作用,不能形成活的幼体或个体早夭的现象。 (5)染色体缺失也有可能造成致死现象。 2.抓住一个解题关键 无论哪一种致死情况,只要掌握分离定律的实质,及一对相对性状遗传的各种组合方式和分离比,结合题目中的信息,通过和正常杂交对比就可以判断出造成比例异常的可能原因,进而快速解题。 对点落实 1.(2019·山东临沂月考)猫的无尾、有尾受一对等位基因控制,为了选育纯种的无尾猫,让无尾猫自交多代,发现每一代中总会出现约1/3的有尾猫,其余均为无尾猫。下列判断错误的是(   ) A.猫的无尾是显性性状 B.自交后代出现有尾猫是基因突变所致 C.自交后代无尾猫中只有杂合子 D.无尾猫与有尾猫杂交后代中无尾猫约占1/2 解析:无尾猫和无尾猫杂交,后代出现约1/3的有尾猫,说明无尾是显性,有尾是隐性,显性基因存在纯合致死现象。 B 2.一豌豆杂合子(Aa)植株自交时,下列叙述错误的是(   ) A.若自交后代的基因型比例是2∶3∶1,可能是含有隐性基因的花粉50%的死亡造成 B.若自交后代的基因型比例是2∶2∶1,可能是隐性个体有50%的死亡造成 C.若自交后代的基因型比例是4∶4∶1,可能是含有隐性基因的配子有50%的死亡造成 D.若自交后代的基因型比例是1∶2∶1,可能是花粉有50%的死亡造成 B 解析:一豌豆杂合子Aa植株自交时,后代基因型及比例理论上应该是AA∶Aa∶aa=1∶2 ∶1。若含有隐性基因的花粉50%死亡,则该豌豆杂合子Aa植株产生的雌配子为1/2A、1/2a,雄配子为2/3A、1/3a,其自交后代基因型比例是2∶3∶1;若自交后代的基因型比例是2∶2∶1,可能是显性杂合子和隐性个体都有50%的死亡造成;若含有隐性基因的配子有50%的死亡,则该豌豆杂合子Aa植株可以产生雌、雄配子均为2/3A、1/3a,其自交后代的基因型比例是 4∶4∶1;若花粉有50%的死亡,并不影响花粉的基因型比例,所以后代的性状分离比仍然是1∶2∶1。 3.果蝇的隐性突变基因a纯合时导致雌蝇不育(无生殖能力),对雄蝇无影响。一对基因型为Aa的果蝇交配产生子一代,子一代随机交配产生子二代。下列叙述正确的是(   ) A.在子二代和子一代中,雄性果蝇均多于雌性果蝇 B.子二代和子一代相比,A的基因频率增大 C.子二代和子一代相比,各基因型的比值没有改变 D.因为没有致死现象,子二代果蝇和子一代相比未进化 B 解析:一对基因型为Aa的果蝇交配产生的子一代基因型为AA∶Aa∶aa=1∶ 2∶1,A的基因频率为50%,子一代随机交配时,雄蝇产生的配子A、a各占1/2,雌蝇由于aa无生殖能力,产生的配子中A配子占2/3,a配子占 1/3,子二代中雌性果蝇和雄性果蝇中AA∶Aa∶aa=2∶3∶1,A的基因频率约为58%。 4.(2018·山东青岛一模)科研人员将某纯合的二倍体无叶舌植物种子送入太空,返回后种植得到了一株有叶舌变异植株,经检测发现该植株体细胞内某条染色体上多了4对脱氧核苷酸。已知控制有叶舌、无叶舌的基因位于常染色体上。请分析回答下列问题: (1)从变异类型分析,有叶舌性状的产生是       的结果,该个体为    (填“纯合子”或“杂合子”)。? 解析:(1)根据题意,有叶舌与无叶舌是一对相对性状,受常染色体上的等位基因控制,且有叶舌的出现是由于多了4对脱氧核苷酸,说明基因、DNA和染色体的数量都没有改变,改变的是基因的结构,属于基因突变。因只有一杂染色体上的基因发生突变,所以突变体为杂合子。 答案:(1)基因突变 杂合子 (2)让有叶舌变异植株自交,后代有叶舌幼苗134株、无叶舌幼苗112株,这一结果    (填“符合”或“不符合”)孟德尔自交实验的分离比。? 解析:(2)已知有叶舌变异植株是杂合子,其自交后代的性状分离比应该是3∶1,而结果是接近1∶1,不符合孟德尔自交实验的分离比。 答案:(2)不符合 (3)针对(2)中的现象,科研人员以有叶舌植株和无叶舌植株作为亲本进行杂交实验,统计母本植株的结实率,结果如表所示。 由表中数据分析推断,该变异能导致    配子育性大大降低。? 杂交 编号 亲本组合 结实数/授粉 的小花数 结实率 ① ♀纯合无叶舌× ♂纯合有叶舌 16/158 10% ② ♀纯合有叶舌× ♂纯合无叶舌 148/154 96% ③ ♀纯合无叶舌× ♂纯合无叶舌 138/141 98% 解析:(3)由表中数据分析推断,该变异能导致(有叶舌)雄配子育性大大降低。 答案:(3)(有叶舌)雄 (4)研究人员从上表杂交后代中选择亲本进一步设计测交实验,根据测交后代性状的出现情况验证上述推断。请写出实验的思路和结果。 ? ? ? ?  。 解析:(4)从杂交组合①或②的后代中选择有叶舌为父本,从杂交组合③的后代中选择无叶舌植株为母本进行杂交,观察记录后代的性状表现。结果是后代出现少量的有叶舌植株,大量的无叶舌植株。 答案:(4)思路:从杂交组合①或②的后代中选择有叶舌植株为父本,从杂交组合③后代中选择无叶舌植株为母本,进行杂交,观察记录后代的性状表现。 结果:后代出现少量的有叶舌植株,大量的无叶舌植株 素养提升课5 基因自由组合定律的异常、特殊分离比 突破点一 基因间相互作用导致性状分离比的改变 典例引领 (2016·全国Ⅲ卷)用某种高等植物的纯合红花植株与纯合白花植株进行杂交,F1全部表现为红花。若F1自交,得到的F2植株中,红花为272株,白花为212株;若用纯合白花植株的花粉给F1红花植株授粉,得到的子代植株中,红花为101株,白花为302株。根据上述杂交实验结果推断,下列叙述正确的是(  ) A.F2中白花植株都是纯合体 B.F2中红花植株的基因型有2种 C.控制红花与白花的基因在一对同源染色体上 D.F2中白花植株的基因型种类比红花植株的多 【审题指导】 (1)纯合红花与纯合白花植株杂交,F1全为红花,F1自交F2中红花∶白花为272∶212 ≈9∶7。 (2)F1红花与纯合白花植株杂交,杂交后代红花∶白花为101∶302≈1∶3。 (3)说明两对基因存在互作关系,A B 为红花,A bb,aaB ,aabb为白花。? 解析:题中“若用纯合白花植株的花粉给F1红花植株授粉,得到的子代植株中,红花为101株,白花为302株”,该结果相当于测交后代表现出了1∶3的分离比,可推断该相对性状受两对等位基因控制,且两对基因独立遗传,位于两对同源染色体上。设相关基因为A、a和B、b。由F2的性状分离比接近9∶7,可推知A B 表现为红花,A bb、aaB 、aabb都表现为白花,因此F2中的白花植株中既有纯合体也有杂合体;F2中红花植株的基因型有AABB、AaBB、AABb、AaBb,共4种;F2中白花植株的基因型有 5种,比红花植株的基因型种类多。? 答案:D 素养提升 1.理解9∶3∶3∶1变式的实质 由于非等位基因之间常常发生相互作用而影响同一性状表现,出现了不同于9∶3∶3∶1的异常性状分离比,如图所示,这几种表现型的比例都是从9∶3 ∶3∶1的基础上演变而来的,只是比例有所改变(根据题意进行合并或分解),而基因型的比例仍然和独立遗传是一致的,由此可见,虽然这种表现型比例不同,但同样遵循基因的自由组合定律。 2.“合并同类项法”巧解两对基因自由组合定律特殊分离比 第一步,判断是否遵循基因自由组合定律:若双杂合子自交后代的表现型比例之和为16(存在致死现象除外),不管以什么样的比例呈现,都符合基因

  • ID:3-5967117 2020年高考数学一轮复习第八章立体几何课件理(第1-7讲)

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    第八章 立体几何 第1讲 空间几何体的三视图和直观图 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二测画法画出它们的直观图. 3.会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式. 4.会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不做严格要求). 1.空间几何体的结构特征 多 面 体 (1)棱柱的侧棱都平行且相等,上、下底面是全等的多边形; (2)棱锥的底面是任意多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形; (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到,其上、下底面是相似多 边形. 旋 转 体 (1)圆柱可以由矩形绕其任一边所在直线旋转得到; (2)圆锥可以由直角三角形绕其直角边所在直线旋转得到; (3)圆台可以由直角梯形绕直角腰所在直线或等腰梯形绕上、下底中 点连线所在直线旋转得到,也可由平行于底面的平面截圆锥得到; (4)球可以由半圆或圆绕直径所在直线旋转得到. 2.三视图与直观图 三视图 画法规则:长对正,高平齐,宽相等 直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画. 基本步骤是: ①原图形中 x 轴、y 轴、z 轴两两垂直,直观图中 x′轴、 y′轴的夹角为 45°(或 135°),z′轴与 x′轴垂直. ②原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍平行于坐标 轴.平行于 x 轴和 z 轴的线段在直观图中保持原长度不变, 平行于 y 轴的线段在直观图中长度为原来的一半. 1.在正五棱柱中,不同在任何侧面且不同在任何底面的两 顶点的连线称为它的对角线,那么一个正五棱柱对角线的条数 共有( ) D A A.20 C.12 B.15 D.10 2.某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是 ( ) A.圆柱 C.四面体 B.圆锥 D.三棱柱 3.如图 8-1-1,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的 ) B 是一个几何体的三视图,则这个几何体是( 图 8-1-1 A.三棱锥 B.三棱柱 C.四棱锥 D.四棱柱 4.(2018 年东北四市联考)如图 8-1-2,在正方体 ABCD- A1B1C1D1中,P是线段CD的中点,则三棱锥P-A1B1A的侧视 图为( ) 图 8-1-2 A B C D 解析:如图 D62,画出原正方体的侧视图,显然对于三棱 锥 P-A1B1A,B(C)点均消失了,其余各点均在,从而其侧视图 为 D. 图 D62 答案:D 考点 1 空间几何体的结构特征 例 1:(1)如图 8-1-3,模块①~⑤均由 4 个棱长为 1 的小正 方体构成,模块⑥由 15 个棱长为 1 的小正方体构成.现从模块 ①~⑤中选出三个放到模块⑥上,使得模块⑥成为一个棱长为 3 的大正方体,则下列方案中,能够完成任务的为( ) 图 8-1-3 A.模块①②⑤ C.模块②④⑤ B.模块①③⑤ D.模块③④⑤ 解析:本小题主要考查空间想象能力.先补齐中间一层,如 果补①,那么后续两块无法补齐,所以只能先用⑤补中间一层, 然后补齐其他两块. 答案:A (2)在正方体上任意选择 4 个顶点,它们可能是如下各种几 何体形的 4 个顶点,这些几何形体是__________(写出所有正确 结论的编号). ①矩形;②不是矩形的平行四边形;③有三个面为等腰直 角三角形,有一个面为等边三角形的四面体;④每个面都是等 边三角形的四面体;⑤每个面都是直角三角形的四面体. 解析:如图 D63,四边形 AA1C1C为矩形;三棱锥B1?A1BC1 就是有三个面为等腰直角三角形,有一个面为等边三角形的四 面体;三棱锥 D?A1BC1就是每个面都是等边三角形的四面体; 三棱锥 A1?ABC就是每个面都是直角三角形的四面体. 图 D63 答案:①③④⑤ (3)如图 8-1-4(1),在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分别 是AA1,C1D1的中点,G是正方形BCC1B1的中心,则四边形 AGFE 在该正方体的各个面上的投影可能是图 8-1-4(2) 中的 ____________. (1) (2) 图 8-1-4 解析:在平面 ABCD 上的投影是图(2)①;在平面 ADD1A1 上的投影是图(2)②;在平面 DCC1D1 上的投影是图(2)③. 答案:①②③ 考点 2 几何体的三视图 例 2:(1)(2018 年新课标Ⅲ)中国古建筑借助榫卯将木构件 连接起来,构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木 构件右边的小长方体是榫头.若如图 8-1-5 摆 放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成 长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图 可以是( ) 图 8-1-5 A B C D 解析:若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成 长方体,则卯眼在木构件的左中下部,看不见,应该选 A. 答案:A (2)(2017 年新课标Ⅰ)某多面体的三视图如图 8-1-6,其中正 视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成,正方形的边 长为 2,俯视图为等腰直角三角形.该多面体的各个面中有若干 ) 个是梯形,这些梯形的面积之和为( 图 8-1-6 A.10 B.12 C.14 D.16 解析:由题意该几何体的直观图是由一个三棱锥和三棱柱 构成,如图 D64,则该几何体只有两个相同的梯形的面,则这 些梯形的面积之和为 2× (2+4)×2 2 =12.故选 B. 图 D64 答案:B (3)(2016 年新课标Ⅰ)如图 8-1-7,某几何体的三视图是三个 半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的 体积是 28π 3 ,则它的表面积是( ) 图 8-1-7 A.17π B.18π C.20π D.28π 图 D65 答案:A (4)(2017 年新课标Ⅱ)如图 8-1-8,网格纸上小正方形的边长 为 1,粗实线画出的是某几何体的三视图,该几何体由一平面 ) 将一圆柱截去一部分所得,则该几何体的体积为( 图 8-1-8 A.90π B.63π C.42π D.36π 解析:构造相同的几何体互补成一个底面半径为 3,高为 14 的圆柱,其体积为π×32×14=126π,所以该几何体的体积为 63π.故选 B. 答案:B (5)(2015 年新课标Ⅰ)圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r)组成一个几何体,该几何体的三视图中的正视图和俯 ) 视图如图 8-1-9,若该几何体的表面积为 16+20π,则 r=( 图 8-1-9 A.1 B.2 C.4 D.8 解析:由正视图和俯视图知,该几何体是半球与半个圆柱 的组合体,圆柱的半径与球的半径都为 r,圆柱的高为 2r,其 解得 r=2.故选 B. 答案:B 【规律方法】(1)画三视图应遵循“长对正、高平齐、宽相 等”的原则,即“正、俯视图一样长,正、侧视图一样高,俯、 侧视图一样宽”,看得见的线条为实线,被遮挡的为虚线. (2)由三视图还原几何体的方法: 【互动探究】 1.(2017 年湖南长沙一中)某几何体的三视图如图 8-1-10,则 其体积为( ) 图 8-1-10 A.80 B.160 C.240 D.480 解析:由三视图可知,该几何体是由一个三棱柱截去一个 三棱锥得到的,三棱柱的底面是直角三角形,两直角边边长分 别为 6 和 8,三棱柱的高为 10,三棱锥的底面是直角三角形, 两直角边长分别为 6 和 8,三棱锥的高为 10,所以几何体的体 答案:B 2.放烟花是逢年过节的一种传统庆祝节日的方式,已知一 种烟花模型的三视图如图 8-1-11 所示的粗实线,网格纸上小正 ) 方形的边长为 1,则该烟花模型的表面积为( 图 8-1-11 解析:由三视图可知,几何体是由半径为 2,高为 3 的圆 柱,与半径为 1,高为 1 的圆柱,以及底面半径为 1,高为 2 的 圆锥组合而成,依题意,得所求表面积为π×22+2×π×2×3+ 答案:D 考点 3 几何体的直观图 例 3:已知正三角形 ABC 的边长为 a,那么△ABC 的平面 直观图△A′B′C′的面积为(  ) 解析:如图 8-1-12(1)(2)所示的是△ABC的实际图形和直观图. 图 8-1-12 答案:D 【规律方法】用斜二测画法画直观图,关键是掌握水平放 置的平面图形直观图的画法,而其中的关键是确定多边形顶点 的位置;将直观图还原为其空间几何体时,应抓住斜二测画法 的规则.本题采用斜二测画法作其直观图时,底不变,第三个顶 点在 y′轴上,长度为原高的一半,但它还不是高(夹角为 45°), 所以新三角形的高是原高的 倍,所以直观图的面积是原三角 形面积的 倍. 【互动探究】 3.一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为 45°,腰和上底长均为 1 的等腰梯形,则该平面图形的面积等于 ( ) D 易错、易混、易漏 ⊙将三视图还原成几何体时对数据的判断产生错误 例题:(1)某三棱锥的三视图如图 8-1-13,则该三棱锥最长 棱的棱长为________. 图 8-1-13 正解:由题中三视图可知,该几何体是三棱锥(如图 8-1-14), 其中 PA ⊥平面 ABC,M 为 AC 的中点,且 BM⊥AC,故该三棱 锥的最长棱为 PC. 图 8-1-14 (2)如图 8-1-15,水平放置的三棱柱的侧棱长和底面边长均 为 2,且侧棱 AA1⊥底面A1B1C1 ,正视图是边长为 2 的正方形, 该三棱柱的侧视图面积为( ) 图 8-1-15 正解:该三棱柱的侧视图是一个矩形,矩形的高是侧棱长 答案:B 【失误与防范】三视图还原几何体求面积或体积时,一定 要注意几何体摆放的形式,所给数据究竟是棱长还是棱的投影 (高). 第2讲 空间几何体的表面积和体积 1.认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2.了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式. 1.柱、锥、台和球的侧面积和体积 2πrh 几何体 侧面积 体积 圆柱 S侧=______ V=Sh=πr2h 圆锥 S侧=πrl 圆台 S侧=π(r1+r2)l (续表) 4πR2 2.几何体的表面积 (1)棱柱、棱锥、棱台的表面积就是各面面积之和. (2)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图分别是矩形、扇形、扇 环形;它们的表面积等于侧面积与底面面积之和. 3.等积法的应用 (1)等积法:包括等面积法和等体积法. (2)等积法的前提是几何图形(或几何体)的面积(或体积)通 过已知条件可以得到,利用等积法可以用来求解几何图形的高 或几何体的高,特别是求三角形的高和三棱锥的高.这一方法回 避了具体通过作图得到三角形(或三棱锥)的高,而通过直接计 算得到高的数值. 1.以边长为 1 的正方形的一边所在直线为旋转轴,将该正 方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于( ) A.2π B.π C.2 D.1 2.若两个球的表面积之比为 1∶4,则这两个球的体积之比 为( ) A C A.1∶2 C.1∶8 B.1∶4 D.1∶16 3.(2016 年新课标Ⅱ)体积为 8 的正方体的顶点都在同一球 面上,则该球的表面积为( ) A.12π B. 32 3 π A C.8π D.4π 4.(2017 年江苏)如图 8-2-1,在圆柱 O1O2 内有一个球 O,该 球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱 O1O2的体积为V1, 图 8-2-1 考点 1 几何体的面积 例 1:(1)(2017 年新课标Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3, 2,1,其顶点都在球 O 的球面上,则球 O 的表面积为________. 答案:14π (3)(2018 年新课标Ⅰ)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8 的正方形,则该圆柱的表面积为( ) 答案:B 【规律方法】第(1)小题是求实体的面积;第(2)小题只是给出几何体的三视图,求该几何体的表面积时,先要根据三视图画出直观图,再确定该几何体的结构特征,最后利用有关公式进行计算.注意表面积包括底面梯形的面积. 考点 2 几何体的体积 例 2:(1)(2017 年新课标Ⅲ)已知圆柱的高为 1,它的两个底 面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上,则该圆柱的体积为 ( ) 答案:B (2)(2018 年天津)如图 8-2-2,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,则四棱柱 A1-BB1D1D的体积为________. 图 8-2-2 图 D66 答案: 1 3 (3)(2018 年新课标Ⅱ)已知圆锥的顶点为 S,母线 SA,SB 互 相垂直,SA 与圆锥底面所成角为 30°,若△SAB 的面积为 8, 则该圆锥的体积为________. 答案:8π (4)(2018 年江苏)如图 8-2-3,正方体的棱长为 2,以其所有 面的中心为顶点的多面体的体积为________. 图 8-2-3 【规律方法】求几何体的体积时,若所给的几何体是规则 的柱体、锥体、台体或球,可直接利用公式求解;若是给出几 何体的三视图,求该几何体的体积时,先要根据三视图画出直 观图,再确定该几何体的结构特征,最后利用有关公式进行计 考点 3 立体几何中的折叠与展开 例 3:(2017 年新课标Ⅰ)如图 8-2-4,圆形纸片的圆心为 O, 半径为 5 cm,该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O.D,E, F 为圆 O 上的点,△DBC,△ECA,△FAB 分别是以 BC,CA, AB 为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后,分别 以 BC,CA,AB 为折痕折起△DBC,△ECA, △FAB ,使得 D,E,F 重合,得到三棱锥.当 △ABC 的边长变化时,所得三棱锥体积(单位: cm3)的最大值为________. 图 8-2-4 图 D67 【互动探究】 1.(2018 年新课标Ⅰ)某圆柱的高为 2,底面周长为 16,其 三视图如图 8-2-5.圆柱表面上的点 M 在正视图上的对应点为 A, 圆柱表面上的点 N 在左视图上的对应点为 B,则在此圆柱侧面 ) 上,从 M 到 N 的路径中,最短路径的长度为( 图 8-2-5 解析:剪开圆柱的一条母线展开,如图 D68,从 M 到 N 的 图 D68 答案:B 2.如图 8-2-6(1),五边形 PABCD 是由一个正方形与一个等 腰三角形拼接而成,其中∠APD=120°,AB=2,现将△PAD进 行翻折,使得平面 PAD ⊥平面 ABCD,连接 PB,PC,所得四 棱锥 P-ABCD 如图 8-2-6(2),则四棱锥 P-ABCD 的外接球的表 面积为( ) (1) (2) 图 8-2-6 解析:对四棱锥 P-ABCD 进行补型,得到三棱柱 PAD - P′BC,如图 D69,故四棱锥 P-ABCD 的外接球球心,即为 三棱柱 PAD -P′BC 的外接球球心;故其外接球半径 R= 选 C. 图 D69 答案:C 难点突破 ⊙组合体的相关运算 例题:Rt△ABC 的角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c(其 中 c 为斜边),分别以 a,b,c 边所在的直线为旋转轴,将△ABC 旋转一周得到的几何体的体积分别是 V1,V2,V3,则( ) 答案:D 【互动探究】 3.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之 为“堑堵”,将底面为矩形,一条侧棱垂直于底面的四棱锥称 之为“阳马”,已知某“堑堵”与某“阳马”组合而成的几何 ) 体的三视图如图 8-2-7,则该几何体的表面积为( 图 8-2-7 解析:三视图表示的几何体如图 D70,则该几何体的表面 积为 4+3 . 图 D70 答案:B 第3讲 点、直线、平面之间的位置关系 1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解如下可以作为推理依据的公理和定理. ◆公理1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线上所有的点在此平面内. ◆公理2:过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面. ◆公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线. ◆公理4:平行于同一条直线的两条直线互相平行. ◆定理:空间中如果两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补. 2.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点,认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定定理. 1.平面基本性质即四条公理的“图形语言”“文字语言” “符号语言”列表 项目 公理 1 公理 2 公理 3 公理 4 图形 语言 (续表) 项目 公理 1 公理 2 公理 3 公理 4 文字 语言 如果一条直线 上的两点在一 个平面内,那 么这条直线在 此平面内 过不在一条直 线上的三点, 有且只有一个 平面 如果两个不重 合的平面有一 个公共点,那么 它们有且只有 一条过该点的 公共直线 平行于同一条 直线的两条直 线平行 符号 语言 ?l?α A,B,C 不共 线?A,B,C 确定平面α P∈α,P∈β 推论 1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一 个平面 推论 2 经过两条相交直线,有且只有一个平面 推论 3 经过两条平行直线,有且只有一个平面 等角定理 空间中,如果两个角的两条边分别对应平行,那 么这两个角相等或互补 2.空间线、面之间的位置关系 两直线的 位置关系 共面 直线 平行 没有交点 相交 一个交点 异面直线 没有交点 直线与平面 的位置关系 平行 没有交点 相交 一个交点 在平面内 无数个交点 两平面的位 置关系 平行 没有交点 相交 无数个交点 3.异面直线所成的角 锐角或直角 (0°,90°] 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a′与 b′. 那么直线 a′与 b′所成的______________,叫做异面直线 a 与 b 所成的角(或夹角),其范围是______________. 1.在下列命题中,不是公理的是( ) A A.平行于同一个平面的两个平面相互平行 B.过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平面 C.如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在 此平面内 D.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只 有一条过该点的公共直线 2.下列命题正确的是( ) C A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线 平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这 两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个 平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行 3.(2016 年山东)已知直线 a,b 分别在两个不同的平面α,β 内,则“直线 a 和直线 b 相交”是“平面α和平面β相交”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 A D C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.若 A∈α,B∈α,A∈l,B∈l,P∈l,则( ) A.P?α B.P α C.l α D.P∈α 考点 1 平面的基本性质 ) 例 1:(1)若直线 l 不平行于平面α,且 l α,则( A.α内的所有直线与 l 异面 B.α内不存在与 l 平行的直线 C.α内存在唯一的直线与 l 平行 D.α内的直线与 l 都相交 解析:不妨设直线 l∩α=M,过点 M 的α内的直线与 l 不异 面,故 A 错误;假设存在与 l 平行的直线 m,则由 m∥l,得 l∥α,这与 l∩α=M 矛盾,故 B 正确;C 显然错误;α内存在与 l 异面的直线,故 D 错误.故选 B. 答案:B (2)(2018 年福建厦门模拟)下列四个命题中,真命题的个数 为( ) ①如果两个平面有三个不在一条直线上的公共点,那么这 两个平面重合; ②两条直线可以确定一个平面; ③空间中,相交于同一点的三条直线在同一平面内; ④若 M∈α,M∈β,α∩β=l,则 M∈l. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 解析:对于①来说,过不共线的三点有且只有一个平面, 因此①正确;对于②来说,若两直线异面,则不能确定一个平 面,因此②不正确;对于③来说,正方体中一个顶点引出的三 条棱,不在同一平面内,因此③不正确;由公理,可知④正确. 故选 B. 答案:B A.A∈l,A∈α,B∈l,B∈α?l?α B.A∈α,A∈β,B∈α,B∈β?α∩β=AB C.l α,A∈l?A α D.A,B,C∈α,A,B,C∈β,且 A,B,C 不共线? α,β重合 答案:C (3)下列推断中,错误的是( ) 【规律方法】直线在平面内也叫平面经过直线,如果直线 不在平面内,记作l α,包括直线与平面相交及直线与平面平 行两种情形.反映平面基本性质的三个公理是研究空间图形和 研究点、线、面位置关系的基础,三个公理也是立体几何作图 和逻辑推理的依据.公理1 是判断直线在平面内的依据;公理2 的作用是确定平面,这是把立体几何转化成平面几何的依据; 公理 3 是证明三(多)点共线或三线共点的依据. 考点 2 空间内两直线的位置关系 例 2:(1)如图 8-3-1,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N ) 分别是 BC1,CD1的中点,则下列判断错误的是( 图 8-3-1 A.MN 与 CC1 垂直 C.MN 与 BD 平行 B.MN 与 AC 垂直 D.MN 与 A1B1 平行 答案:D (2)如图 8-3-2,正方体 ABCD-A1B1C1D1中,M,N 分别为棱 C1D1,C1C 的中点,有以下四个结论: ①直线 AM 与 CC1 是相交直线; ②直线 AM 与 BN 是平行直线; ③直线 BN 与 MB1 是异面直线; ④直线 AM 与 DD1 是异面直线. 图 8-3-2 其中正确的结论为________(注:把你认为正确的结论序号 都填上). 解析:因为点 A 在平面 CDD1C1外,点M在平面CDD1C1 答案:③④ 内,直线CC1在平面CDD1C1内,CC1不过点M,所以AM与CC1是异面直线.故①错;取DD1中点E,连接AE,则BN∥AE,但AE与AM相交.故②错;因为B1与BN都在平面BCC1B1内,M在平面BCC1B1外,BN不过点B1,所以BN与MB1是异面直线.故③正确;同理④正确,故填③④. 【规律方法】判断直线是否平行比较简单直观,可以利用 公理 4;判断直线是否异面则比较困难,掌握异面直线的两种 判断方法:①反证法:先假设两条直线不是异面直线,即两条 直线平行或相交,再由假设的条件出发,经过严格的推理,导 出矛盾,从而否定假设,肯定两条直线异面;②在客观题中, 也可用下述结论:过平面外一点和平面内一点的直线,与平面 内不过该点的直线是异面直线. 【互动探究】 ①②③ 1.如图 8-3-3 所示的是正方体和正四面体,P,Q,R,S 分 别是所在棱的中点,则四个点共面的图形是___________(填上 所有正确答案的序号). 图 8-3-3 2.如图 8-3-4,G,H,M,N 分别是正三棱柱的顶点或所在 棱的中点,则使直线 GH,MN 是异面直线的图形有_______(填 上所有正确答案的序号). 图 8-3-4 解析:图①中,直线 GH∥MN;图②中,G,H,N 三点在 三棱柱的侧面上,MG 与这个侧面相交于 G,∴M 平面 GHN, 因此直线 GH 与 MN 异面;图③中,连接 MG,GM∥HN,因 此 GH 与 MN 共面;图④中,G,M,N 共面,但 H 平面 GMN, 因此 GH 与 MN 异面. 答案:②④ 考点 3 异面直线所成的角 例 3:(1)(2018 年新课标Ⅱ)在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E 为棱 CC1 的中点,则异面直线 AE 与 CD 所成角的正切值为 ( ) 解析:设正方体棱长为 2,异面直线 AE 与 CD 所成角就是 AE 与 AB 所成角,正切值为 tan α= 图 8-3-5 答案:C (2)(2016 年新课标Ⅰ)平面α过正方体 ABCD-A1B1C1D1的顶 点A,α∥平面CB1D1,α∩平面ABCD=m,α∩平面ABB1A1= n,则 m,n 所成角的正弦值为( ) 解析:如图 8-3-6,设平面CB1D1∩平面ABCD=m′,平 面CB1D1∩平面ABB1A1=n′, 因为α∥平面CB1D1, 所以m∥m′,n∥n′. 则m,n所成的角等于m′,n′所成 的角.延长AD,过D1作D1E∥B1C, 图 8-3-6 连接CE,B1D1,则CE为m′. 同理B1F1为n′. 而BD∥CE,B1F1∥A1B, 则m′,n′所成的角即为A1B,BD所成的角,即为60°, 故 m,n 所成角的正弦值为 .故选 A. 答案:A 【规律方法】求异面直线所成角的基本方法就是平移,有 时候平移两条直线,有时候只需要平移一条直线,直到得到两 条相交直线,最后在三角形或四边形中解决问题. 【互动探究】 3.三棱锥 A-BCD 的所有棱长都相等,M,N 分别是棱 AD, BC 的中点,则异面直线 BM 与 AN 所成角的余弦值为( ) 解析:如图 D71,设棱长为 2,连接 DN,取 DN 中点 O, 图 D71 答案:D 考点 4 三点共线、三线共点的证明 例 4:如图 8-3-7,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F 分 别是 AB 和 AA1 的中点.求证: (1)E,C,D1,F 四点共面; (2)CE,D1F,DA 三线共点. 图 8-3-7 证明:(1)如图 8-3-8,连接 EF,CD1,A1B. 图 8-3-8 ∵E,F分别是AB,AA1的中点,∴EF∥BA1. 又A1B∥D1C,∴EF∥CD1. ∴E,C,D1,F四点共面. ∴CE与D1F必相交. 设交点为点P,如图8-3-8, 则由点P∈CE,CE?平面ABCD,得点P∈平面ABCD. 同理点P∈平面ADD1A1. 又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA, ∴点P∈直线DA.∴CE,D1F,DA三线共点. 【规律方法】证明三线共点的步骤就是先说明两线交于一 点,再证明此交点在另一条线上,把三线共点的证明转化为三 点共线的证明,要证明D,A,P 三点共线,由公理 3 知,只要 证明 D,A,P 都在两个平面的交线上即可. 证明多点共线问题:①可由两点连一条直线,再验证其他 各点均在这条直线上;②可直接验证这些点都在同一条特定的 直线上——相交两平面的唯一交线,关键是通过绘出图形,作 出两个适当的平面或辅助平面,证明这些点是这两个平面的公 共点. 【互动探究】 A 4.在空间四边形 ABCD 的边 AB,BC,CD,DA 上分别取 E, ) F,G,H 四点,若 EF 与 GH 交于点 M,则( A.点 M 一定在 AC 上 B.点 M 一定在 BD 上 C.点 M 可能在 AC 上,也可能在 BD 上 D.点 M 既不在 AC 上,也不在 BD 上 5.如图 8-3-9,ABCD-A1B1C1D1是正方体,O是B1D1的中点, D 直线A1C交平面AB1D1于点M,则下列结论错误的是( ) 图 8-3-9 A.A,M,O 三点共线 B.A,M,O,A1 四点共面 C.A,O,C,M 四点共面 D.B,B1,O,M 四点共面 难点突破 ⊙空间中的线面关系 例题:(2018 年新课标Ⅰ)已知正方体的棱长为 1,每条棱 所在直线与平面α所成的角相等,则α截此正方体所得截面面积 的最大值为( ) 解析:每条棱所在直线与平面α所成的角相等,如图 8-3-10, 图 8-3-10 答案:A 【互动探究】 6.(2017 年新课标Ⅲ)a,b 为空间中两条互相垂直的直线, 等腰直角三角形 ABC 的直角边 AC 所在直线与 a,b 都垂直, 斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转,有下列结论: ①当直线 AB 与 a 成 60°角时,AB 与 b 成 30°角; ②当直线 AB 与 a 成 60°角时,AB 与 b 成 60°角; ③直线 AB 与 a 所成角的最小值为 45°; ④直线 AB 与 a 所成角的最小值为 60°. ②③ 其中正确的是_______.(填写所有正确结论的编号) 第4讲 直线、平面平行的判定与性质 1.理解以下判定定理. ◆如果平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,那么该直线与此平面平行. ◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行,那么这两个平面平行. 2.理解以下性质定理,并能够证明. ◆如果一条直线与一个平面平行,那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行. ◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交,那么它们的交线相互平行. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 直线 与平 面的 位置 关系 在平面内 无数个交点 相交 1 个交点 平行 0 个 交点 定义 若一条直线和平面平行,则它 们没有公共点 判定定理 1 a α,b?α,且 a∥b?a∥α 判定定理 2 α∥β,a?α?a∥β 性质定理 a∥α,a?β,α∩β=l?a∥l (续表) 平面 与平 面的 位置 关系 相交 无数个交点 平行 0 个 交点 定义 若两个平面平行,则它们没有 公共点 判定定理 1 a?α,b?α,a∩b=M,a∥β, b∥β?α∥β 判定定理 2 a⊥α,a⊥β?α∥β 性质定理 1 α∥β,a?α?a∥β 性质定理 2 α∥β,γ∩α=a,γ∩β=b?a∥b 1.设 AA′是长方体的一条棱,这个长方体中与 AA′平行 ) C 的棱共有( A.1 条 C.3 条 B.2 条 D.4 条 2.下列命题中,正确的是( ) D A.若 a,b 是两条直线,且 a∥b,那么 a 平行于经过 b 的 任何平面 B.若直线 a 和平面α满足 a∥α,那么 a 与α内的任何直线 平行 C.若直线 a,b 和平面α满足 a∥α,b∥α,那么 a∥b D.若直线 a,b 和平面α满足 a∥b,a∥α,b α,则 b∥α 3.下列命题中,正确命题的个数是( ) A ①若直线 l 上有无数个点不在平面α内,则 l∥α; ②若直线 l 与平面α平行,则 l 与平面α内的任意一条直线都 平行; ③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行,那么 另一条直线也与这个平面平行; ④若直线 l 与平面α平行,则 l 与平面α内的任意一条直线都 没有公共点. A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 4.(2018 年浙江)已知平面α,直线m,n 满足 m α,n?α, ) A 则“m∥n”是“m∥α”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 考点 1 直线与平面平行的判定与性质 例 1:(1)(2017 年新课标Ⅰ)在下列四个正方体中,A,B为 正方体的两个顶点,M,N,Q 为所在棱的中点,则在这四个正 方体中,直线 AB 与平面 MNQ 不平行的是( ) A B C D 解析:由 B 图知 AB∥MQ,则直线 AB∥平面 MNQ;由 C 图知 AB∥MQ,则直线 AB∥平面 MNQ;由 D 图知 AB∥NQ, 则直线 AB∥平面 MNQ.故选 A. 答案:A (2)如图 8-4-1,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别 为其所在棱的中点,能得出 AB∥平面 MNP 的图形的序号是 ________(写出所有符合要求的图形序号). 图 8-4-1 解析:如题图①,∵MN∥AC,NP∥AD,∴平面 MNP∥ 平面 ADBC.∴AB∥平面 MNP.如题图②,假设 AB∥平面 MNP, 设 BD∩MP=Q,则 NQ 为平面 ABD 与平面 MNP 的交线.∴AB ∥NQ.∵N 为 AD 的中点,∴Q 为 BD 的中点.但由 M,P 分别为 如题图③,∵BD 与 AC 平行且相等,∴四边形 ABDC 为平行四 边形.∴AB∥CD.又∵M,P 为棱的中点,∴MP∥CD.∴AB∥MP. 从而可得 AB∥平面 MNP.如题图④,假设 AB∥平面 MNP,并 设直线 AC∩平面 MNP=D,则有 AB∥MD.∵M 为 BC 中点, ∴D 为 AC 中点,显然与题设条件不符,∴得不到 AB∥平面 MNP. 答案:①③ 【规律方法】证明直线 a 与平面α平行,关键是在平面α内 找一条直线 b,使 a∥b,如果没有现成的平行线,应依据条件 作出平行线.有中点的常作中位线. 【互动探究】 1.(2017 年山东济南模拟)在如图 8-4-2 所示的三棱柱 ABC- A1B1C1中,过A1B1的平面与平面ABC交于DE,则DE与AB的位置 关系是( ) 图 8-4-2 A.异面 B.平行 C.相交 D.以上均有可能 解析:在三棱柱 ABC-A1B1C1中,AB∥A1B1. ∵AB?平面 ABC,A1B1 平面 ABC, ∴A1B1∥平面 ABC. ∵过 A1B1 的平面与平面 ABC 交于 DE, ∴DE∥A1B1.∴DE∥AB. 答案:B 考点 2 平面与平面平行的判定与性质 例 2:如图8-4-3,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB.过点 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E, G 分别是棱 SA,SC 的中点.求证: (1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA. 图 8-4-3 证明:(1)∵AS=AB,AF⊥SB,∴F 是 SB 的中点. ∵E,F 分别是 SA,SB 的中点,∴EF∥AB. 又∵EF 平面 ABC,AB?平面 ABC, ∴EF∥平面 ABC.同理,FG∥平面 ABC. 又∵EF∩FG=F,EF,FG?平面 EFG, ∴平面 EFG∥平面 ABC. (2)∵平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB, AF?平面 SAB,且 AF⊥SB,∴AF⊥平面 SBC. 又∵BC?平面 SBC,∴AF⊥BC. 又∵AB⊥BC,AB∩AF=A,AB?平面 SAB,AF?平面 SAB, ∴BC⊥平面 SAB. 又∵SA?平面 SAB,∴BC⊥SA. 【规律方法】证明平面与平面平行,就是在一个平面内找 两条相交直线平行于另一个平面,从而将面面平行问题转化为 线面平行问题. 【互动探究】 2.在棱长为 2 的正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E 为棱 AD 中 点,过点B1,且与平面A1BE平行的正方体的截面面积为( ) 图 D72 答案:C 考点 3 线面、面面平行的综合应用 例 3:如图 8-4-4,已知有公共边 AB 的两个正方形 ABCD 和 ABEF 不在同一平面内,P,Q 分别是对角线 AE,BD 上的点, 且 AP=DQ.求证:PQ∥平面 CBE. 图 8-4-4 = 证明:方法一,如图 8-4-5(1),连接 AQ 并延长交 BC 于 G, 连接 EG, 则 AQ QG = DQ QB . ∵AP=DQ,PE=BQ,∴ AQ AP . QG PE ∴PQ∥EG. 又 PQ 平面 CBE,EG?平面 CBE, ∴PQ∥平面 CBE. (1) (2) (3) 图 8-4-5 ∵CD=AB,AE=BD,PE=BQ, ∴PK=QH. ∴四边形 PQHK 是平行四边形. ∴PQ∥KH. 又 PQ 平面 CBE,KH?平面 CBE, ∴PQ∥平面 CBE. 方法三,如图 8-4-5(3),过点 P 作 PO∥EB,交 AB 于点 O, 连接 OQ, ∴平面 POQ∥平面 CBE. 又∵PQ 平面 CBE,PQ?平面 POQ, ∴PQ∥平面 CBE. 【规律方法】证明线面平行,关键是在平面内找到一条直 线与已知直线平行.方法一是作三角形得到的;方法二是通过作 平行四边形得到在平面内的一条直线KH;方法三利用了面面平 行的性质定理. 【互动探究】 3.(2015 年安徽)已知 m,n 是两条不同的直线,α,β是两个 不同的平面,则下列命题正确的是( ) A.若α,β垂直于同一平面,则α与β平行 B.若 m,n 平行于同一平面,则 m 与 n 平行 C.若α,β不平行,则在α内不存在与β平行的直线 D.若 m,n 不平行,则 m 与 n 不可能垂直于同一平面 解析:若α,β垂直于同一平面,则α,β可以相交、平行, 故 A 错误;若 m,n 平行于同一平面,则 m,n 可以平行、相 交、异面,故 B 错误;若α,β不平行,但平面α内会存在平行 于β的直线,如平面α中平行于α,β交线的直线,故 C 错误;其 逆否命题为“若 m 与 n 垂直于同一平面,则 m,n 平行”是真 命题,故 D 项正确.故选 D. 答案:D 难点突破 ⊙立体几何中的探究性问题 例题:(2018 年新课标Ⅲ)如图 8-4-6,矩形 ABCD 所在平面 与半圆弧 所在平面垂直,M 是 上异 于 C,D 的点. (1)证明:平面 AMD⊥平面 BMC; (2)在线段 AM 上是否存在点 P,使得 MC∥平面 PBD?说明理由. 图 8-4-6 (1)证明:由题设知,平面 CMD⊥平面 ABCD,交线为 CD. 因为 BC⊥CD,BC?平面 ABCD, 所以 BC⊥平面 CMD.故 BC⊥DM. 因为 M 为 上异于 C,D 的点,且 DC 为直径, 所以 DM⊥CM. 又 BC∩CM=C,所以 DM⊥平面 BMC. 而 DM?平面 AMD,故平面 AMD⊥平面 BMC. (2)解:当 P 为 AM 的中点时,MC∥平面 PBD. 证明如下:如图 8-4-7,连接 AC 交 BD 于 O. 图 8-4-7 因为 ABCD 为矩形,所以 O 为 AC 中点. 连接 OP,因为 P 为 AM 中点,所以 MC∥OP. 又 MC 平面 PBD,OP?平面 PBD,所以 MC∥平面 PBD. 【规律方法】解决探究性问题一般先假设求解的结果存在, 从这个结果出发,寻找使这个结论成立的充分条件,若找到了 使结论成立的充分条件,则存在;若找不到使结论成立的充分 条件(出现矛盾),则不存在.而对于探求点的问题,一般是先探 求点的位置,多为线段的中点或某个三等分点,然后给出符合 要求的证明. 【互动探究】 4.如图8?4?8,在斜三棱柱ABC-A1B1C1中,点D,D1分别 为AC,A1C1上的点. 图 8-4-8 解:(1)如图 D73,取 D1为线段A1C1的中点,此时 连接 A1B 交 AB1 于点 O,连接 OD1. 由棱柱的性质,知四边形 A1ABB1 为平行 四边形, ∴点 O 为 A1B 的中点. 在△A1BC1中,点O,D1分别为A1B,A1C1 图 D73 的中点. ∴OD1∥BC1. 第5讲 直线、平面垂直的判定与性质 1.理解以下判定定理. ◆如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,那么该直线与此平面垂直. ◆如果一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面互相垂直. 2.理解以下性质定理,并能够证明. ◆垂直于同一个平面的两条直线平行. ◆如果两个平面垂直,那么一个平面内垂直于它们交线的直线与另一个平面垂直. 3.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题. 1.直线与平面垂直 项目 图形 条件 结论 判定 a⊥b,b?α(b 为α内的任意一条直线) a⊥α a⊥m,a⊥n,m,n?α,m∩n=O a⊥α a∥b,a⊥α b⊥α (续表) 项目 图形 条件 结论 性质 a⊥α,b?α a⊥b a⊥α,b⊥α a∥b 2.平面与平面垂直 定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 如果一个平面经过 另一个平面的一条 垂线,那么这两个 平面互相垂直 性质 定理 如果两个平面垂 直,那么在一个平 面内垂直于它们交 线的直线垂直于另 一个平面 3.直线与平面所成的角 (1)如果直线与平面平行或者在平面内,那么直线与平面所 成的角等于 0°. (2)如果直线和平面垂直,那么直线与平面所成的角等 于 90°. (3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条 斜线与平面所成的角,其范围是(0°,90°).斜线与平面所成的 线面角是这条斜线和平面内经过斜足的直线所成的一切角中最小 的角. 4.二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图象叫做二面角.从 二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是 直角的二面角叫做直二面角. 1.垂直于同一条直线的两条直线一定( ) A.平行 B.相交 C.异面 D.以上都有可能 D C 2.(2017 年新课标Ⅲ)在正方体 ABCD- A1B1C1D1 中,E 为棱 ) CD 的中点,则( A.A1E⊥DC1 C.A1E⊥BC1 B.A1E⊥BD D.A1E⊥AC 3.如图 8-5-1,在正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,下列结论中正 确的个数是( ) 图 8-5-1 ①BD1⊥AC;②BD1⊥A1C1;③BD1⊥B1C. A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 D A.α∥β,且 l∥α B.α⊥β,且 l⊥β C.α与β相交,且交线垂直于 l D.α与β相交,且交线平行于 l D 考点 1 直线与平面垂直的判定与性质 例 1:(2018 年新课标Ⅱ)如图 8-5-2,在三棱锥 P-ABC 中, AB=BC=2 ,PA =PB=PC=AC=4,O 为 AC 的中点. (1)证明:PO⊥平面 ABC; (2)若点 M 在棱 BC 上,且 MC=2MB, 求点 C 到平面 POM 的距离. 图 8-5-2 (2)解:如图 D74,作 CH⊥OM,垂足为 H.又由(1)可得 OP⊥CH, 图 D74 所以 CH⊥平面 POM. 故 CH 的长为点 C 到平面 POM 的距离. 【规律方法】直线与直线垂直?直线与平面垂直?平面与 平面垂直?直线与平面垂直?直线与直线垂直,通过直线与平 面位置关系的不断转化来处理有关垂直的问题.出现中点时,平 行要联想到三角形中位线,垂直要联想到三角形的高;出现圆 周上的点时,联想到直径所对的圆周角为直角. 【互动探究】 1.如图 8-5-3,已知直线 PA 垂直于以 AB 为直径的圆所在的 平面,C 为圆上异于 A,B 的任一点,则下列关系中不正确的是 ( ) 图 8-5-3 A.PA ⊥BC B.BC⊥平面 PAC C.AC⊥PB D.PC⊥BC 解析:AB 为直径,C 为圆上异于 A,B 的一点,所以 AC ⊥BC.因为 PA ⊥平面 ABC,所以 PA ⊥BC.因为 PA ∩AC=A,所 以 BC⊥平面 PAC .从而 PC⊥BC.故选 C. 答案:C 考点 2 平面与平面垂直的判定与性质 例 2:(2018 年新课标Ⅰ)如图 8-5-4,在平行四边形 ABCM 中,AB=AC=3,∠ACM=90°,以 AC 为折痕将△ACM 折起, 使点 M 到达点 D 的位置,且 AB⊥DA. (1)证明:平面 ACD⊥平面 ABC; (2)Q 为线段 AD 上一点,P 为线 三棱锥 Q-ABP 的体积. 图 8-5-4 (1)证明:由已知可得,∠BAC=90°,BA⊥AC. 又 BA⊥AD,AC∩AD=A,所以 AB⊥平面 ACD. 又 AB?平面 ABC,所以平面 ACD⊥平面 ABC. 图 D75 【规律方法】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想 的常见类型. ①证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行. ②证明线面垂直,需转化为证明线线垂直. ③证明线线垂直,需转化为证明线面垂直. ④证明面面垂直,需转化为证明线面垂直,进而转化为证 明线线垂直. 【互动探究】 2.(2017 年新课标Ⅰ)如图 8-5-5,在四棱锥 P-ABCD 中, AB∥CD,且∠BAP=∠CDP=90°. (1)证明:平面 PAB⊥平面 PAD ; (2)若PA=PD=AB=DC,∠APD=90°,且四棱锥P?ABCD 图 8-5-5 (1)证明:由已知∠BAP=∠CDP=90°,得 AB⊥AP,CD⊥ PD. 由于 AB∥CD,故 AB⊥PD. 又 AP∩PD=D,所以 AB⊥平面 PAD . 又 AB?平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 PAD . (2)解:如图 D76,在平面 PAD 内作 PE⊥AD,垂足为 E. 图 D76 考点 3 线面所成的角 例 3:(2018 年新课标Ⅰ)在长方体ABCD- A1B1C1D1 中, AB=BC=2,AC1与平面BB1C1C所成的角为30°,则该长方体 的体积为( ) 解析:如图 8-5-6,∠AC1B为AC1与平面BB1C1C所成的角 为 30°, 图 8-5-6 答案:C 【互动探究】 3.已知在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AA1=2AB,则CD 与平面 BDC1 所成角的正弦值等于( ) 解析:如图 D77,连接 AC 交 BD 于点 O,连接 C1O,过点 C 作 CH⊥C1O 于点 H. ?CH⊥平面C1BD. 图 D77 ∴∠HDC为CD与平面BDC1所成的角. 答案:A 难点突破 ⊙面面所成的角 例题:(2018年浙江)已知四棱锥S?ABCD的底面是正方形,侧棱长均相等,E是线段AB上的点(不含端点),设SE与BC所成的角为θ1,SE与平面ABCD所成的角为θ2,二面角S?AB?C的平面角为θ3,则(  ) A.θ1≤θ2≤θ3    B.θ3≤θ2≤θ1 C.θ1≤θ3≤θ2    D.θ2≤θ3≤θ1 答案:D 【互动探究】   解析:    设O为三角形ABC中心,则O到PQ的距离最小,O到PR的距离最大,O到RQ的距离居中,而高相等,因此α<γ<β.故选B. 答案:B 第6讲 空间坐标系与空间向量 1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意 义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示. 2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示. 3.掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能运用向量的数 量积判断向量的共线与垂直. 4.理解直线的方向向量与平面的法向量. 5.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平 面的垂直和平行关系. 1.空间向量的概念 在空间,既有大小又有方向的量,叫做空间向量,记作a 2.空间向量的运算 (3)数乘向量:λa(λ∈R)仍是一个向量,且λa 与 a 共线, |λa|=|λ||a|. (4)数量积:a·b=|a||b|cos〈a,b〉,a·b 是一个实数. 3.空间向量的运算律 (1)交换律:a+b=b+a;a·b=b·a. (2)结合律:(a+b)+c=a+(b+c);(λa)·b=λ(a·b)(λ∈R)[注 意:(a·b)c=a(b·c)一般不成立]. (3)分配律: λ(a+b)=λa+λb(λ∈R);a·(b+c)=a·b+a·c. 4.空间向量的坐标运算 (λx1,λy1,λz1) 1.若向量 a=(1,λ,2),b=(2,-1,2),且 a 与 b 夹角的余 C A.一定不共面 C.不一定共面 B.一定共面 D.无法判断 B A 图 D78 考点 1 空间向量的线性运算 图 8-6-1 【规律方法】(1)选定空间不共面的三个向量作基向量,这 是用向量解决立体几何问题的基本要求.用已知基向量表示指 定向量时,应结合已知向量和所求向量观察图形,将已知向量 和未知向量转化至三角形或平行四边形中,然后利用三角形法 则或平行四边形法则进行运算. (2)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始点指向 末尾向量的终点的向量,我们把这个法则称为向量加法的多边 形法则. (3)向量的线性运算有一个常用的结论:如果 B 是线段 AC 运算. 【互动探究】 图 8-6-2 2.如图 8-6-3,已知空间四边形 OABC 中,点 M 在线段 OA 上,且 OM=2MA,N 为 BC 的中点,点 G 在线段 MN 上,且 图 8-6-3 考点 2 空间向量的数量积运算 图 8-6-4 (1)解:如图D79,建立空间直角坐标系. 图 D79 (2)解:依题意,得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2). 【规律方法】利用数量积解决问题的两条途径: 一是根据数量积的定义,利用模与夹角直接计算; 二是利用坐标运算.可解决有关垂直、夹角、长度问题. ①a≠0,b≠0,a⊥b?a·b=0; 考点 3 异面直线所成的角 例 3:(2015 年新课标Ⅰ)如图8-6-5,四边形 ABCD 为菱形, ∠ABC=120°,E,F 是平面 ABCD 同一侧的两点,BE⊥平面 ABCD,DF⊥平面 ABCD,BE=2DF,AE⊥EC. (1)证明:平面 AEC⊥平面 AFC; (2)求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值. 图 8-6-5 证明:连接 BD,设 BD∩AC=G,连接 EG,FG,EF,在 菱形 ABCD 中,不妨设 GB=1,由∠ABC=120°,可得 AG= 在直角梯形 BDFE 中, ∴EG2+FG2=EF2.∴EG⊥FG. ∵AC∩FG=G,AC,FG?平面 AFC, ∴EG⊥平面 AFC. ∵EG?平面 AEC,∴平面 AEC⊥平面 AFC. 图 D80 【规律方法】(1)求几何体中两个向量的夹角可以把其中一 个向量平移到与另一个向量的起点重合,从而转化为求平面中 的角的大小. 【互动探究】 3.三棱柱ABC?A1B1C1中,底面边长和侧棱长都相等, ∠BAA1=∠CAA1=60°,则异面直线AB1与BC1所成角的余弦值为_________. 答案:C 易错、易混、易漏 ⊙向量夹角不明致误 例题:如图 8-6-6,在 120°的二面角α-l-β中,A∈l,B∈l, AC?α,BD?β,且 AC⊥AB,BD⊥AB,垂足分别为 A,B.已知 AC=AB=BD=6,试求线段 CD 的长. 图 8-6-6 【失误与防范】(1)求解时,易混淆二面角的平面角与向量 此处应结合图形,根据向量的方向与二面角的棱的方向关系正 确地转化为向量夹角. (2)对所用的公式要熟练,变形时运用公式要正确并注意符 号等细节,避免出错. 第7讲 空间中角与距离的计算 1.能用向量方法证明有关直线和平面位置关系的一些定理 (包括三垂线定理). 2.能用向量方法解决直线与直线、直线与平面、平面与平 面的夹角的计算问题,了解向量方法在研究几何问题中的应用. 1.异面直线所成的角 过空间任一点 O 分别作异面直线 a 与 b 的平行线 a′与 b′. 那么直线 a′与 b′所成的锐角或直角,叫做异面直线 a 与 b 所 成的角(或夹角),其范围是_____________. (0°,90°] 2.直线与平面所成的角 (1)如果直线与平面平行或者在平面内,则直线与平面所成 的角等于 0°. (2)如果直线和平面垂直,则直线与平面所成的角等于_____. (3)平面的斜线与它在平面上的射影所成的锐角叫做这条 斜线与平面所成的角,其范围是(0°,90°). 斜线与平面所成的线面角是这条斜线和平面内经过斜足的 直线所成的一切角中最小的角. 90° 3.二面角 从一条直线出发的两个半平面组成的图形叫做二面角.从 二面角的棱上任意一点为端点,在两个面内分别作垂直于棱的 两条射线,这两条射线所成的角叫做二面角的平面角.平面角是 直角的二面角叫做____________. 直二面角 4.点到平面的距离 点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距 离.求点到平面的距离通常运用等体积法,即构造一个三棱锥, 将点到平面的距离转化为三棱锥的高. 5.直线与平面平行,那么直线上任一点到平面的距离叫做 这条直线与平面的距离. 1.若 a=(1,2,3)是平面γ的一个法向量,则下列向量中能作为 平面γ的法向量的是( ) B A.(0,1,2) C.(-1,-2,3) B.(3,6,9) D.(3,6,8) 解析:向量(1,2,3)与向量(3,6,9)共线. 2.若直线 l∥α,且 l 的方向向量为(2,m,1),平面α的法向 A.-4 B.-6 C.-8 D.8 C 3.已知平面α上的两个向量 a=(2,3,1),b=(5,6,4),则平面α ) 的一个法向量为( A.(1,-1,1) B.(2,-1,1) C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) C 4.如图8?7?1,在长方体ABCD?A1B1C1D1中,AB=BC=2, AA1=1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为_______. 图 8-7-1 考点 1 线面所成角的计算 例 1:(2018 年浙江)如图8-7-2,已知多面体ABC?A1B1C1, A1A,B1B,C1C 均垂直于平面 ABC,∠ABC= 120°,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2. (1)证明:AB1⊥平面 A1B1C1; (2)求直线 AC1 与平面 ABB1 所成的角的正 弦值. 图 8-7-2 (2)解:如图 D81,过点C1作C1D⊥A1B1,交直线A1B1于点 D,连接 AD. 图 D81 由AB1⊥平面A1B1C1得平面A1B1C1⊥平面ABB1, 由C1D⊥A1B1,得C1D⊥平面ABB1, 方法二,(1)证明:如图D82,以 AC 的中点 O 为原点,分 别以射线 OB,OC 为 x,y 轴的正半轴,建立空间直角坐标系 O-xyz. 图 D82 由题意知各点坐标如下: 【规律方法】求直线与平面所成的角,大致有两种基本 方法: ①传统立体几何的综合推理法:通过射影转化法作出直线 与平面所成的线面角,然后在直角三角形中求角的大小.找射影 的基本方法是过直线上一点作平面的垂线,连接垂足和斜足得 到直线在平面内的射影;有时也可通过找到经过斜线且垂直于 已知平面的垂面来确定斜线在平面内的射影,此时平面与垂面 的交线即为射影. ②空间向量的坐标法:建系并确定点及向量的坐标,然后 利用向量的夹角公式通过坐标运算求得直线和平面所成的角. 【互动探究】 1.(2018 年天津)如图 8-7-3,在四面体 ABCD 中,△ABC 是 等边三角形,平面 ABC⊥平面 ABD,点 M 为棱 AB 的中点,AB (1)求证:AD⊥BC; (2)求异面直线 BC 与 MD 所成角的余弦值; (3)求直线 CD 与平面 ABD 所成角的正弦值. 图 8-7-3 (1)证明:由平面 ABC⊥平面 ABD,平面 ABC∩平面 ABD =AB,AD⊥AB,可得 AD⊥平面 ABC,故 AD⊥BC. (2)解:如图 D84,取棱 AC 的中点 N,连接 MN,ND. 图 D84 因为 M 为棱 AB 的中点,所以 MN∥BC. 所以∠DMN(或其补角)为异面直线 BC 与 MD 所成的角. 考点 2 面面所成角的计算 例 2:(2018 年北京)如图 8-7-4,在三棱柱 ABC- A1B1C1中, CC1⊥平面 ABC,D,E,F,G 分别为 AA1, AC,A1C1,BB1 的中点,AB=BC= , AC=AA1=2. (1)求证:AC⊥平面 BEF; (2)求二面角 B-CD-C1 的余弦值; (3)证明:直线 FG 与平面 BCD 相交. 图 8-7-4 证明:(1)在三棱柱 ABC-A1B1C1 中, ∵CC1⊥平面 ABC,∴四边形 A1ACC1 为矩形. 又 E,F 分别为 AC,A1C1 的中点,∴AC⊥EF. ∵AB=BC,∴AC⊥BE. 又 EF∩BE=E,∴AC⊥平面 BEF. (2)解:由(1)知 AC⊥EF,AC⊥BE,EF∥CC1. 又 CC1⊥平面 ABC,∴EF⊥平面 ABC. ∵BE?平面 ABC,∴EF⊥BE. 如图 D83,建立空间直角坐称系 E-xyz. 图 D83 由题意,得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1). 设平面 BCD 的法向量为 n=(a,b,c), (3)证明:由(2)知,平面 BCD 的法向量为 n=(2,-1,-4), ∵G(0,2,1),F(0,0,2), ∴FG 与平面 BCD 不平行且不在平面 BCD 内. ∴FG 与平面 BCD 相交. 【规律方法】求二面角,大致有两种基本方法: (1)传统立体几何的综合推理法: ①定义法;②垂面法;③三垂线定理法;④射影面积法. (2)空间向量的坐标法:建系并确定点及向量的坐标,分别 求出两个平面的法向量,通过求两个法向量的夹角得出二面角 的大小. 【互动探究】 2.(2017 年新课标Ⅱ)如图8-7-5,四棱锥P-ABCD 中,侧面 =∠ABC=90°,E 是 PD 的中点. (1)证明:直线 CE∥平面 PAB; (2)点 M 在棱 PC 上,且直线 BM 与底面 ABCD 所成锐角为 45°,求二面角 M-AB-D 的余弦值. 图 8-7-5 (1)证明:取 PA 中点 F,连接 EF,BF. 由∠BAD=∠ABC=90°,得 BC∥AD, 所以四边形 BCEF 为平行四边形.所以 CE∥BF. 又 BF?平面 PAB,CE  平面 PAB, 所以 CE∥平面 PAB. 图 D85 难点突破 ⊙利用空间向量求空间距离 例题:(2018 年天津)如图8-7-6,AD∥BC 且 AD=2BC, AD⊥CD,EG∥AD 且 EG=AD,CD∥FG 且 CD=2FG,DG⊥ 平面 ABCD,DA=DC=DG=2. (1)若 M 为 CF 的中点,N 为 EG 的中点,求证:MN∥平面 CDE; (2)求二面角 E-BC-F 的正弦值; (3)若点 P 在线段 DG 上,且直线 BP 与平面 ADGE 所成的 角为 60°,求线段 DP 的长. 图 8-7-6 图 8-7-7 又因为直线 MN  平面 CDE,所以 MN∥平面 CDE. 不妨令 z=1,可得 n=(0,1,1). 设 m=(x,y,z)为平面 BCF 的法向量, 【规律方法】求点到平面的距离通常有以下方法: (1)直接法,即直接确定点到平面的垂线,再求出点到垂足 的距离,即为所求; (2)间接法,包括等体积法和转化法; (3)向量法,即求出已知点与平面上一点连接线段在平面法 向量方向上的射影长,此射影长即为所求,点P 到平面α的距离: 【互动探究】 图 8-7-8 (1)证明:如图 D86,设 G 为 AB1 的中点,连接 EG,GF. 图 D86 所以四边形 DEGF 是平行四边形. 所以 DF∥EG. 又DF  平面B1AE,EG?平面B1AE, 所以 DF∥平面 B1AE. (2)解:因为ABCD是菱形,且∠ABC=60°, 所以△ABC 是等边三角形. 如图 D87,取 BC 中点 G,则 AG⊥AD. 因为 AA1⊥平面 ABCD, 所以 AA1⊥AG,AA1⊥AD. 图 D87 建立如图所示的空间直角坐标系,令 AA1=t(t>0),