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qiming_wu

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  • ID:3-4732870 第15讲 分班考试之数论

    小学数学/竞赛专区/六年级竞赛专区

    第十五讲 分班考试之数论 模块一、整除特征: 2、5家族:2和5的整除看末位: 判断一个数能否被2,5整除,只需看这个数的末位是不是2,5的倍数; 判断一个数能否被4,25整除,只需要看其末两位是不是4,25的倍数; 判断一个数能否被8,125整除,只需要看末三位是不是8,125的倍数; 以此类推,可以不断地延续下去。 3、9家族:3和9的整除看数字和: 判断整除:一个数能否被9整除,只需看这个数的各个数位上的数字和是否是9的倍数即可。 1l:11的整除看数字差: 判断一个数能否被11整除,从右向左依次标位,把所有处于奇数位上的数字加起来,得到奇数位的和;所有处于偶数位上的数字加起来,得到偶数位的和;然后奇数位和与偶数位和相减(以大减小)所得的差如能被11整除,则这个数就能被11整除。 例如:判断136528是否为11的倍数: (1)从右向左标数位; (2)奇数位和:8+5+3=16;偶数位和:2+6+1=9,奇数位和?偶数位和=16?9=7; (3)7不是11的倍数,所以136528也不是11的倍数。 7,11,13的整除看数段差(7×l1×13=1001) 判断数能否被7整除,只需看把这个数从右向左三位一段分段,看成一个个三位数,然后标上奇偶数段,把奇数位上的三位数加起来,偶数位数上的三位数加起来,然后奇位和减去偶位和,最后看所得差能否被7整除即可,11和13的判断方法也是如此。 例如:判断123456789能否被7整除,三位一截,把这个数截成三个三位数;789,456,123, 奇数位上的三位数和=789+123=912;偶数位上的三位数和=456; 912?456=456,456不能被7整除,那么该数也不能被7整除 例1.一个五位数,空格中的数未知。如果该数能被72整除,这个五位数是 。 解:72=8×9,能被8整除,要求能被8整除,所以此时填6, 这样这个数为,又能被9整除,则8+□+2+5+6=21+□能被9整除,这个方格中也填6. 五位数是86256. 例2.已知51位数能被13整除,中间方格内的数字是 。 解:6个5写成555555能被13整除,同样999999能被13整除,25÷6=4……1, 于是只要能被13整除即可,又559÷13=43,所以中间方格内的数字是5. 模块二、短除模型 短除法 先找出所有共有的因数,然后相乘得到最大公因数;把外面所有的数连乘得到最小公倍数。 例如:,所以(12,18)=2×3=6,[12,18]=2×3×3×2=36. (多个数求最小公倍数时,需要短除到两两互质) 最大公因数与最小公倍数进阶 1.两个自然数分别除以它们的最大公因数,所得的商互质。 如果m为A、B的最大公因数,且A=ma,B=mb,那么a,b互质,所以A、B的最小公倍数为mab,所以最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系 M | A B a b A×B= ma×mb=m×mab,即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积 ② 最大公因数是A、B、A+B、A?B及最小公倍数的因数。 2.对于任意3个连续的自然数,如果三个连续数的奇偶性为: ①奇偶奇,那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数。 例如:5×6×7=210,210就是5,6,7的最小公倍数; ②偶奇偶,那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2倍。 例如:6×7×8=336,而6,7,8的最小公倍数为336÷2=168。 例3.已知A、B两数的最小公倍数是180,最大公因数是30,若A=90,则B= 。 解:设B=30b,A=90,所以90b=180,b=2,得到B=60. 例4.两个自然数的和是125,它们的最大公因数是25,那么这两个数的差最小为 。 解:设A=25a,B=25b,且25(a+b)=125,所以a+b=5, 又要求这两个数的差最小,所以取a=3,b=2, 两个数分别为A=75,B=50,差为25. 模块三、质数综合: 例5.如果a、b均为质数,且3a+7b=41,则a+b= . 解:若a、b均为奇数质数,则3a+7b一定是偶数,矛盾, 说明a、b中一定有一个为偶数2。 若a=2,则7b=35,b=5;若b=2,则3a=27,a=9,(9不是质数,矛盾,舍去), 所以只有a=2,b=5,a+b=7. 例6.3个质数的倒数和是,则项和3个质数之和是 。 解:1986=2×3×331,所以=, 所以2+3+1986=1991. 随 堂 练 习 1.六位数N=,可以被88整除,那么这个六位数是 。 解:88=8×11,所以可以被8整除,y=0或8, 若y=9,则8+9+2?(x+6+2)=11?x能被11整除,x=0,而x≠0,所以舍去, 若y=0,则0+9+2?(x+6+2)=3?x可以被11整除,x=3, ∴ N=326920. 2.已知A、B两数的最小公倍数是360,最大公因数是6,若A=30,则B= 。 解:A=30=5×6,设B=6m,则30m=360,m=12,∴ B=72. 3.两个自然数的和是48,它们的最大公因数是6,这两个数的差是 。 解:设A=6m,B=6n,则6m+6n=48,m+n=8,且m、n互质, 若m=1,m=7,则A=6,B=42,此时两个数的差B?A=36; 若m=3,m=5,则A=18,B=30,此时两个数的差30?18=12; 4.四个不同的质数之和为31,其中最小的质数是 。 解:假设四个不同的质数都是奇数,那么它们的和是偶数,与31矛盾, 所以四个质数中一定有一个是偶数质数2。 2就是最小的质数。 5.三个质数的倒数和为,那么这三个质数的和是 。 解:1001=7×11×13,所以=,7+11+13=31. 所以 三个质数的和是31.

  • ID:3-4732868 第14讲 分班考试冲刺之应用题

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    第十四讲 分班考试冲刺之应用题 模块一、经济问题: 1、相关概念: 成本:商品的进价。也称为买入价、成本价、进价; 售价:商品被卖出时候的标价。也称为卖出价、标价、定价、零售价; 利润:商品卖出后商家赚到的钱; 利润率:利润占成本的比率; 打折扣:打折就是在原来售价的基础上降价销售,几折则表示实际售价占原来售价的成数。 如:一折即售价×10%,八折即售价×80%,对折即售价×50%,七五折即售价75%。 2、相关公式: 售价=成本+利润,利润=售价?成本; 利润率=×100%=×100%(利润率要写成百分数形式); 利润=成本×利润率; 售价=成本×(1+利润率),成本=; 售价=定价×折扣。 例1.商场卖一种款式的冰箱,按照25%的利润来定价,如果打九折出售,每台能赚450元,那么这款冰箱的进价是 元。 解:设冰箱的进价为x元,则定价为1.25x元, 1.25x×90%?x=450,0.125x=450,解得x=3600元。 例2.费叔叔有10000元钱,打算存入银行两年。办法一:存两年期的整存整取定期储蓄,年利率为4.7%,到期后可去取出本金和利息一共 元。办法二:先存一年期的整存整取定期储蓄,年利率为4%;到期后将本金和利息再存一年,最后本金和利息一共 元。 解:办法一:10000+10000×4.7%×2=10940(元); 办法二:10000+10000×4%=10400(元), 10400+10400×4%=10400+416=10816(元)。 例3.2008年3月1日起,我国实行新的税率标准,费用扣除标准调高为2000元/月。表中是工资、薪金所有项目税率表: 级别 全月应纳税所得额 税率(%) 1 不超过500元部分 5 2 超过500元至2000元部分 10 3 超过2000元至5000元部分 15 4 超过5000元至20000元部分 20 5 超过20000元至40000元部分 25 …… …… …… 表中“全月应纳税所得额”是指从月工资、薪金收入中减去2000元后的余额,它与相应税率的乘积就是应缴纳的税款数。则在这种税率实行期间: (1)王先生某个月的工资、薪金收入为4480元,该月份他缴纳的税款是 元; (2)张先生某月份缴纳了1165元个人所得税,该月份张先生工资、薪金收入是 元。 解:(1)4480?2000=2480(元),2480?2000=480, 所以他缴纳的税款为500×5%+1500×10%+480×15%=25+150+72=247(元); (2)500×5%=25,1500×10=150,3000×15%=450, 1165?(25+150+450)=540,540÷20%=2700。 即他的工资、薪金收入是2000+5000+2700=9700(元)。 模块二、工程问题 基本概念: 1、工作量:完成任务的多少; 2、工作时间:工作持续的时间; 3、工作效率:单位时间内所做的工作量。 基本公式: 1、工作效率=工作量÷工作时间; 2、工作时间=工作量÷工作效率; 3、工作量=工作效率×工作时间。 合作问题: 甲乙合作的工作效率=甲的工作效率+乙的工作效率。 例4.甲、乙两个工程队共同完成一项工程需18天,如果甲队干3天、乙队干4天则完成工程的,问甲、乙两队独立完成该工程各需要 天、 天。 解:由题意甲队干3天、乙队干4天则完成工程的, 则甲队干15天、乙队干20天则完成全部工程,而甲、乙两个工程队共同完成此项工程需18天, 即甲队少工作了3天,而乙队多工作了2天,也就是甲队3天的工作量与乙队2天的工作量相同。 则甲队工作18天相当于乙队工作12天, 所以若完全由乙队来完成需要12+18=30天,而完全由甲队来完成需要30÷2×3=45天。 例5.一项工程甲队单独完成需40天,若乙队先做10天,余下的工程由甲、乙两队合做,又需要20天可完成,如果乙队单独完成此工程,则需要 天。 解:设乙队单独完成需要x天, 则,所以,,x=60, 所以乙队单独完成此工程需要60天。 例6.一部书稿,甲单独打字要14小时完成,乙单独打字要20小时完成。如果先由甲打1小时,然后由乙接着甲打1小时,再由甲接替乙打1小时,…,两人如此交替工作。那么,打完这部书稿时,甲、乙二人共用了 小时。 解:,140÷17=8……4,即甲、乙各工作8小时之后,还有的工作量没有完成, 最后这的量由甲完成,需要÷=(小时), 所以两人共用了16小时。 随 堂 练 习 1.将商品的原价提高80%,然后在广告中写上“大酬宾八折优惠"。按照这种做法,一台原价2000元的彩电,卖出价格比原价多多少? 解:2000×(1+80%)=3600(元), 3600×0.8=2880(元), 2880?2000=880(元)。 答:卖出价格比原价多880元。 2.小兰把3000元压岁钱存入银行,如果年利率是3.96%,两年到期时,小兰可以取回本金和利息总共 。(不考虑利息税) 解:3000+3000×3.96%×2=3237.6(元)。 3.一项工程,甲单独做需要28天时间,乙单独做需要21天时间,如果甲、乙合作需要 天完成。 解:,所以甲、乙合作需要12天。 4.一项工程,甲队单独干,8天完成;乙队单独干,10天完成。两队先合干1天,剩下的由甲队来干,还需 天干完。 解:1?()=,÷=(天), 即还需要天干完。 5.一项工程,甲单独完成需12小时,乙单独完成需15小时。甲乙合作1小时后,由甲单独做1小时,再由乙单独做1小时,……,甲、乙如此交替下去,则完成该工程共用 小时。 解:=,1?()=,17÷3=5……2, 所以合作1小时后,甲、乙又分别工作5小时后,剩余工程的, 这时甲再工作1小时,完成,剩余?=, 这由乙单独完成,需要÷=, 所以一共需要1+5×2+1+=12(小时).

  • ID:3-4732858 第13讲 分班考试冲刺之计算与巧算

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    第十三讲 分班考试冲刺之计算与巧算 模块一、混合计算: 1、繁分数的认识: 分子或分母含有四则运算或分数的分数,叫繁分数。 例如:,这个分数就是繁分数,分子是,分母是°° 在一个繁分数里,最长的分数线叫做繁分数的主分数线,主分数线上下不管有多少个数或运算,都把它们分别看做是繁分数的分子和分母。 2、繁分数的化简: (1) 分子、分母同时扩倍 例如:; (2) 分子除以分母 例如:。 例1.计算:= 。 解:原式= = ===12?=。 例2.(1)化简:= 。 (2)已知:,则x的值是 。 解:(1)原式==; (2),∴ ,∴ , ∴ ,∴ ,解得x=1. 模块二、速算与巧算: 运算定律: (1)加法交换律:a+b=b+a; (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c); (3)减法的性质:a?b?c=a?(b+c); (4)乘法交换律:a×b=b×a; (5)乘法结合律:(a×b)×c=a×(b×c); (6)除法的性质:a÷(b×c)=a÷b÷c,(a+b)÷c=a÷c+b÷c;(a?b)÷c=(a÷c)?(b÷c); (7)乘法分配律:a×(b±c)=a×b±a×c; (8)提取公因式数:a×b±a×c=a×(b±c)。 上面的这些运算律,既可以从左到右顺着用,又可以从右到左逆着用。 例3.计算:4.7×8.4+9.4×19+4.7×3.6= . 解:原式=4.7×8.4+4.7×38+4.7×3.6=4.7×(8.4+38+3.6)=4.7×50=235. 例4.计算:= 。 解:原式==8. 例5.计算: (0.1+0.21+0.321+0.4321)×(0.21+0.321+0.4321+0.54321)?(0.1+0.21+0.321+0.4321+0.54321)×(0.21+0.321+0.4321)的值为 。 解:设0.21+0.321+0.4321+0.54321=x, 则原式=x×(x+0.1?0.54321)?(x+0.1)(x?0.54321) =x2+0.1x?0.54321x?x2?0.1x+0.54321x+0.1×0.54321 =0.054321. 模块三、阅读类定义新运算 定义新运算:即定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。 基本思路:严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。 例6.在密码学中,直接可以看到的内容为明码,对明码进行某种处理后得到的内容为密码。有一种密码,将英文26个字母a、b、c、……、z(不论大小写)依次对应1、2、3、……、26这26个自然数(见表格)。当明码对应的序号x为奇数时,密码对应的序号为y=(x+1)÷2;当明码对应的序号x为偶数时,密码对应的序号为y=x÷2+13。 字 a b c d e f g h i j k l m 序 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字 n o p q r s t u v w x y z 序 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 按上述规定,请你算出明码“love”译成密码是 . 解:l→12→19;o→15→8;v→22→24;e→5→3,∴ love→19,8,24,3→shxc。 随 堂 练 习 1.= . 解:原式=。 2.计算:= 。 解:原式==。 3.67×8.1+67×10.1+67×12.1?67×0.3= 。 解:原式=67×(8.1+10.1+12.1?0.3)=67×30=2010. 4.(1+0.45+0.56)×(0.45+0.56+0.67)? (1+0.45+0.56+0.67)×(0.45+0.56)= . 解:设0.45+0.56+0.67=x, 则原式=x×(x+1?0.67)?(1+x)(x?0.67) =x2+x?0.67x?x2?x+0.67x+0.67 =0.67. 5.一般我们都认为手枪指向谁,谁好像是有危险的,下面的规则同学们能看懂吗?规定: 警察小偷=警察,警察小偷=小偷。那么:(猎人小兔) (山羊白菜)= 。 解:原式=猎人山羊=猎人。

  • ID:3-4732852 第12讲 小初衔接知识点之几何图形

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    第十二讲 小初衔接知识点之几何图形 模块一、线的认识: 直线 定义:能够向两端无限延伸的线。 表示:(1) 用两个大写字母来表示,这两个大写字母表示直线上的点,不分先后顾序,如AB; (2) 用一个小写字母来表示,如a。 射线 定义:直线上的一点和这点一旁的部分,这个点叫做射线的端点。 表示:(1) 用两个大写字母来表示,第一个大写字母表示射线的端点,第二个大写字母表示射线上的点。 (2) 用一个小写字母表示。 线段 定义:直线上两点和这两点之间的部分叫做线段,这两个点叫做线段的端点。 表示:(1) 用两个大写字母来表示,这两个大写字母表示线段的两个端点,无先后之分。 (2) 用一个小写字母来表示。 线段可以双向延长 例1.下面的图中,直线有 ,线段有 ,射线有 。 解:直线有 (3) ,线段有 (2、8) ,射线有 (1、7) 。 例2.若线段AB=5cm,点C是线段AB的中点,点D是直线AB上一点,且BD=3cm,请你画出符合题意的图形,并求出线段CD的长。 解: 因为AB=5cm,C是AB的中点,所以BC=2.5cm, BD=3cm,点D有两种情况: (1)D在AB的延长线上,此时CD=2.5+3=5.5cm; (2)D’在AB上,此时CD’=3?2.5=0.5cm。 模块二、角的认识: 多边形 (1) 多边形:由平面内不在同一直线上的一些线段,首尾顺次连接所组成的封闭图形;由n条线段组成的多边形就称为n边形。组成多边形的线段至少有三条,三角形是最简单的多边形。 (2) 多边形的边:组成多边形的每一条线段。 (3) 多边形的顶点:相邻两条线段的公共端点。 (4) 多边形的内角:多边形相邻两边所成的角。 (5) 多边形的外角:多边形的一个内角的邻补角。 (6) 多边形的对角线:连接多边形的两个不相邻的顶点的线段。 (7) 凸多边形与凹多边形:对于任意一个多边形,画出它的任意一边所在直线,如果其余各边都在这条直线的一侧,那么这个多边形叫做凸多边形,否则就叫做凹多边形。 二、多边形内角和定理 (1) n边形的内角和为(n?2)×180°。 (2) 正多边形各内角度数为: (3) n边形有(n?3)条对角线。 三、多边形的外角和 对多边形的每一个内角,从与它相部的两个外角中取一个,这样取得的所有外角的和,叫做多边形的外角和。 重要结论:多边形的外角和等于360°。 例3.图中五个相同的圆的圆心连线构成一个边长为10厘米的正五边形。则五边形内阴影部分的面积是 平方厘米。(π=3.14) 解:每块阴影部分的圆心角是108°,所以五块阴影合在一起恰好是一个半圆, 圆的半径是5厘米,所以阴影部分的面积是S=1.5×π×52=117.75平方厘米。 例4.如图,三角形ABC中,∠A=65°,∠B=75°,将纸片的一角折叠,使点C落在△ABC内部,若∠1=20°,则∠2的大小是 度。 解:如图延长线段,恢复到原来的图形,∠C=∠C’, ∠A+∠B+∠C=180°,所以∠C=40°, 可以看出∠1+∠3+∠2+∠4=180°?(∠A+B)=220°, 而∠3+∠4=∠A+∠B=140°, 所以∠1+∠2=220°+115°?140°=80°, ∠1=20°,所以∠2=60°。 模块三、角度中的模型 例5.如图,∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=70°,那么∠5= 度。 解:∠1=∠2,∠3=∠4,∠A=70°, 所以∠2+∠4=(180°?∠A)=55°, 所以∠5=180°?(∠2+∠4)=125°. 例6.如图:求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E= 度。 解:连结BC,所以∠D+∠E =∠1+∠2, ∠A+∠B+∠C+∠D+∠E =∠A+∠B+∠C+∠1+∠2 =180°. 随 堂 练 习 1.观察一下9个图,填写下面三道小题: 以上图形属于直线的是哪几个? 以上图形属于射线的是哪几个? 以上图形属于线段的是哪几个? 答:属于直线的是①、⑤、⑨; 属于射线的是②、④; 属于线段的是③、⑧。 2.如果延长线段AB到C,使得BC=AB,那么AC : AB等于 。 解: 设AB=2m,BC=m,AC=3m,则AC : AB=3 : 2. 3.如图,ABCDJ为正五边形,DEFGHJ为正六边形,∠AJH的度数是 度。 解:五边形的一个内角是108°,六边形的一个内角是120°, 所以∠AJD+∠DJH=108°+120°=228°, 所以∠AJH=360°?228°=132°. 4.小玲用胶水将两张同样长的纸粘成了一张长为80厘米的长条,其中粘在一起的部分长10厘米,这两张纸条各长 厘米。 解:80+10=90厘米,90÷2=45厘米。 所以两张纸条的 长都是45厘米。 5.如图,两条直线相交成四个角,已知∠2=3∠1,那么∠4= 度。 解:∠2=3∠1,∠2+∠1=4∠1=180°, 所以∠1=45°,∠4=∠2=135°.

  • ID:3-4732842 第11讲 小初衔接知识点之数与式

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    第十一讲 小初衔接知识点之数与式 模块一、有理数的认识: 一.定义: 整数和分数统称为有理数。 二.两种分类: 三.数轴 1.定义:规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。 2.数轴三要素:原点、正方向、单位长度(三者缺一不可)。 ① 原点:在直线上任取一点表示数0,这个点叫原点; ② 正方向:通常规定直线上从原点向右为正方向; ③ 单位长度:选取适当长度为单位长度(可长可短,同一数轴上的单位长度一旦确定,则不能改动)。 四、相反数 1.定义:只有符号不同的两个数互为相反数。(几何意义:在数轴上,互为相反数的两个数关于原点对称。) 注意:相反数是成对出现的,可以说a的相反数是?a,可以说?a是a的相反数,也可以说a与?a互为相反数; 2.a的相反数是一a: ① 当a=0时,0的相反数是0它本身(易设陷阱考查); ② 当a≠0时,正数(负数)的相反数是负数(正数),非零数和它的相反数异号; 3.数轴上表示相反数的两个点关于原点对称; 4.如果a与b互为相反数,那么a+b=0,a=?b,b=?a,当a与b都不为零,那么还有; 5.写出一个数的相反数:正数——加负号;负数——去负号;0——0; 五、倒数: 1.定义:乘积为1的两个数互为倒数。a,b互为倒数,则a×b=1,反之亦然; 注意:倒数是成对出现的,单独一个数不能称为倒数。 2.零没有倒数。 3.一个数若有倒数,它的倒数和原数同号。 4.倒数是本身的数有1和?1两个。(容易漏掉?1) 5.求一个非零有理数的倒数: ① 整数——,如3的倒数是;?5的倒数是; ② 分数——分子和分母倒位置(注意:能约分的还要约分),如的倒数是3。 6.负倒数:乘积为?1的两个数互为负倒数。a,b互为负倒数,则a×b=?1,反之亦然。 六、绝对值: 定义:一般地,数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值,记为|a|,|a|≥0. ,概括为,或 如|99.3|=99.3,|0|=0,|?1.5|=1.5. 例1.将下列各数填在下面的横线上:?3;;?7;?4.2;3.5;0.6;;10;;;6.5. 属于正数的数: ; 属于负数的数: ; 属于整数的数: ; 属于分数的数: ; 属于正整数的数: ; 属于负整数的数: ; 属于正分数的数: ; 属于负分数的数: ; 解:属于正数的数:、3.5、0.6、10、、6.5; 属于负数的数:?3、?7、?4.2、、; 属于整数的数:?3、?7、10; 属于分数的数:、?4.2、3.5、0.6、、、、6.5; 属于正整数的数:10; 属于负整数的数:?3、?7; 属于正分数的数:、3.5、0.6、、6.5; 属于负分数的数:?4.2、、; 例2.用数轴上的点表示下列各数,并将它们按从小到大的顺序排列起来: ?4、2.5、、0、、?0.5 解: ?4、、?0.5、0、、2.5。 例3.(1)写出下列各数:、?7、?(?1.8)、的绝对值分别是 。 (2)2|x?1|+|x?2|的最小值是 。 解:(1)||=、|?7|=7、|?(?1.8)|=1.8、||=; (2)2|x?1|+|x?2|的最小值在1≤x≤2中取得, 所以当1≤x≤2时,2|x?1|+|x?2|=2(x?1)+2?x=x, 所以当x=1时,取得最小值为1. 模块二、有理数的计算: 七、有理数比较大小 1.借助数轴,数轴上的数,右边的数总大于左边的数; 2.正数>0>负数; 3.两个正数,绝对值大的数大;两个负数,绝对值大的反而小。 八、有理数运算法则: 1.化简——奇负为负,偶负为正,如?(?1.8)=1.8,?[?(?18)=?1.8. 2.加法法则: (1) 同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加; (2) 异号两数相加 ① 绝对值相等时(即两数互为相反数)和为0; ② 绝对值不等时,取绝对值较大的数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。 (3) 一个数同0相加,仍得这个数; (4) 加法交换律和加法结合律仍适用。 3.减法法则:减去一个数等于加上这个数的相反数。(减法转换成加法做) 4.乘法法则: ① 定符号:奇负为负,偶负为正; ② 把绝对值相乘。 注意:任何数乘以0,都得0。 5.除法法则:除以一个非零的数等于乘以这个数的倒数。(除法转换成乘法做) 例4.(1)计算:= 。 (2)计算:= 。 = 。 解:(1)=; (2)=140; =。 例5.若a、b均为非零的有理数,求的值。 解:当a>0,b>0时,=1?1=0; 当a>0,b<0时,=1+1=2; 当a<0,b>0时,=?1?1=?2; 当a<0,b<0时,=?1?(?1)=0; 例6.若|a|=4,|b|=2,且a

  • ID:3-4732834 第10讲 组合问题总复习(二)

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    第十讲 组合问题总复习(二) 模块一、逻辑推理: 把不同排列顺序的意识进行相关性的推导就是逻辑推理,而我们小学阶段题目多以形式逻辑为主,在既定的情況下,通过对题目条件的分析推导出一个题目设定的结论。 一、真假型: 前提:题目所给的条件有真有假; 方法:假设法,通过有顺序的假设去寻找正确的条件(真命题),从而推导出题目设定的结论。 假设的结果无外乎两种 有矛盾:重新假设; 无矛盾:推出结论。 特殊:说的正好相反的两句话(两个条件)一定一对一错。 二、条件型: 前提:题目所给的条件全是真命题,即都是真话,可以直接用来推导分析。 方法:列表法。 构造表格: 根据条件在相应的位置画出√和×; 结合对应关系判断(如一行一列有且只有一个√,那其他位置都是×),在判断不出的位置根据情况少的原则进行合理假设。 例1.在神话王国内,居民不是骑士就是骗子,骑士不说谎,骗子永远说谎,有一天国王遇到该国的居民小白、小黑、小蓝。小白说:“小蓝是骑士,小黑是骗子。”小蓝说:“小白和我不同,一个是骑士,一个是骗子。”国王很快判断出谁是骑士,谁是骗子。请你分析并判断:三人中 是骑士。(小白填1,小黑填2,小蓝填3) 解:如果小白是骑士,则小白说:“小蓝是骑士,小黑是骗子。”都是真的,那么小蓝也是骑士, 而小蓝说:“小白和我不同,一个是骑士,一个是骗子。”矛盾了,所以小白是骗子; 因为小白是骗子,所以他说的都是谎话,四小蓝是骗子,小黑是骑士。 填2. 例2.小王、小张和小李一位是工人,一位是农民,一位是教师。现在只知道:小李比教师年龄大;小王与农民不同岁;农民比小张年龄小,则 是工人; 是农民; 是教师。 解: 小王 小张 小李 工人 × √ × 农民 × × √ 教师 √ × × 容易推出,小李是农民, 再回到题中,农民小李比小张年龄小,农民小李比教师年龄大, 所以小张不是教师,小张是工人,小王是教师。 模块二、容斥原理: 二量重叠:总量等于满足一个条件的减去满足两个条件的,再加上满足零个条件的; 三量重叠:总量等于满足一个条件的减去满足两个条件的,加上满足三个条件的加上满足零个条件的。 例3.某校四年级有102人,其中50人去过北京,48个去过上海,35人去过广州;17人去过北京和上海,8人去过北京和广州,7人去过上海和广州,3个地方都去过的有 1 人;只去过广州的有 21 人。(班里每个人都至少去过上述一个地方) 解:设3个地方都去过的有x人, 则50+48+35?(17+8+7)+x=102,解得x=1, 其中去过广州和北京的8人中有7人去过广州,去过广州和上海的7人中有6人去过广州, 所以只去过广州的有35?7?6?1=21(人)。 例4.在1到2004的所有自然数中,不是2、3、5的倍数的数有 个。 解:在1到2004中,是2的倍数的有1002个,是3的倍数的有668个,是5的倍数的有400个, 既是2的倍数,又是3的倍数的有334个,既是2的倍数,又是5的倍数的有200个,既是3的倍数,又是5的倍数的有133个,既是2的倍数,又是3和5的倍数的有66个, 所以不是2、3、5的倍数的数有2004?(1002+668+400)+(334+200+133)?66=535(个)。 模块三、抽屉原理: 抽屉原理推广到一般情况有以下两种表现形式: 抽屉原理1:将多于n件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于2件; 抽屉原理2:将多于mn件的物品任意放到n个抽屉中,那么至少有一个抽屉中的物品不少于(m+1)件。 例5.(1)向阳小学有730个学生,那么至少有 个学生生日是同一天。 (2)把十只小兔放进至多 个笼子里,才能保证至少有一个笼子里有2只或两只以上的小兔。 解:(1)730÷12=60……10,所以至少有61个同学的生日是同一天; (2)把十只小兔放进至多 9 个笼子里,才能保证至少有一个笼子里有2只或两只以上的小兔。 例6.将400本书随意分给若干名同学,每人至少分得1本,但是不许超过11本,那么至少有 个同学分到的书的本数相同。 解:1+2+3+……+11=66, 400÷66=6……4,所以至少有5名同学分到的书的本数相同。 随 堂 练 习 1.四张卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字(一张上写一个字),取出三张字朝下放在桌上,A、B、C三人分别猜每张卡片上是什么字,猜的情况见下表: 第一张 第二张 第三张 A 林 奥 克 B 林 匹 克 C 匹 奥 林 结果有1人一张也没有猜中,1人猜中两张,另1人猜中三张。那么这三张卡片上各写着 , , 字。 解:假设A猜中三张,则B猜中两张,而C猜中一张,矛盾; 假设B猜中三张,则A猜中两张,C一张也没有猜中,所以中符合题意。 所以这三张卡片上分别写着“林”、“匹”、“克”。 2.甲说:“乙和丙都说谎。”乙说:“甲和丙都说谎。”丙说:“甲和乙都说谎。”根据三人所说,下面的结论 正确; (1)三人都说谎;(2)三人都不说谎;(3)三人中只有一人说谎;(4)三人中只有一人不说谎; 解:假设(1)正确,则甲、乙、丙都没说错,与假设矛盾;??? 假设(2)正确,则甲、乙、丙都说错了,与假设矛盾;??? 假设(3)正确,可是三个人都说有两人说谎,即三人都说错了,与假设矛盾;? ?? 假设(4)正确,推不出矛盾,符合题意。 3.在自然数列1、2、3、……、1000中,能被3或5整除的自然数有 个。 解:在1到1000中,能被3整除的有333个,能被5整除的有200个,同时能被3和5整除的有66个, 能被3或5整除的有333+200?66=467(个)。 4.某学校五年级1班,有20人参加了科技兴趣小组,有17人参加了英语兴趣小组,有9人两个小组都参加了,那么有 人只参加了科技小组而没有参加英语小组。 解:20?9=11,即有11人只参加了科技小组而没有参加英语小组。 5.从1、2、3、……、100这100各个数中任意挑出51个数来,证明在这51个数中,一定有两个数的差为50. 证明:把这100个数分成50组:(1、51);(2、52);(3、53);……;(50、100), 从中挑出51个数,那么至少有2个数在同一小组,这两个数的差为50.

  • ID:3-4732824 第9讲 应用题总复习(二)

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    第九讲 应用题总复习(二) 模块一、列方程解应用题: 列方程解应用题是用字母来代替未知数,根据等量关系列出含有未知数的等式,然后解出未知数的值,从而解出应用题的办法。这个含有末知数的等式就是方程。列方程解应用题的优点在于可以使未知数直接参加运算。解这类应用题的核心是正确找出等量关系,然后根据等量关系列出合适的方程。 例1.一个大人一餐能吃4个面包,四个幼儿一餐只吃一个面包,现有大人和幼儿共100人,一餐刚好吃100个面包,那么这100人中,幼儿有多少人? 解:设幼儿有x人,则大人有100?x人, 这,解得x=80(人), 例2.(1) 学校组织植树活动,已知在甲处植树的有23人,在乙处植树的有17人。现调20人去支援,使在甲处植树的人数是乙处植树人数的2倍多3人,则应调往甲、乙两处各 人和 人。 (2) 某车间有技工85人,平均每天每人可加工甲种部件16个或乙种部件10个,2个甲种部件和3个乙种部件配一套,那么加工甲、乙部件各安排 人和 人才能使每天加工的甲、乙两种部件刚好配套。 解:(1)设调往甲处的有x人,则调往乙处的有20?x人, 则23+x?3=2×(17+20?x),20+x=74?2x,3x=54,解得x=18,20?18=2, 所以调往甲处有18人,乙处2人。 (2)设每天有x人加工甲种部件,有(85?x)人加工乙种部件, 则16x : 10×(85?x)=2 : 3,所以1700?20x=48x,解得x=25,85?25=60 答:加工甲种部件的技工有25人,加工乙种部件的技工有60人。 模块二、比例应用题: 含有分数、百分数或者比例的应用题叫比例应用题。 解比例应用题注意方法有两种: 1.列比例方程。 2.抓不变量。不变量主要可以分为: (1) 单一量不变 (2) 和不变; (3) 差不变。 抓住不变量,统一每份量,比例即可直接加减求解。 例3.甲、乙两人原有的钱数之比为6 : 5,后来甲又得到180元,乙又得到100元,这时甲、乙钱数之比为3 : 2,则原来两人的钱数之和为 元。 解:设甲原来有6x元,乙有5x元,则(6x+180) : (5x+100)=3 : 2, 12x+360=15x+300,解得3x=60,x=20,所以6x=120,5x=100, 所以原来两人共有120+100=220(元)。 例4.已知甲、乙、丙三个数,甲的一半等于乙的2倍,也等于丙的,那么甲的、乙的2倍、丙的一半这三个数的比为 。 解:设甲数为2x,则乙数为,丙数为, 则那么甲的是、乙的2倍是x、丙的一半是, 所以 : x : =16 : 12 : 9. 例5.甲、乙两班男女学生人数的比分别是8 : 7和10 : 11,两班合并后,男、女生人数比为17 : 16,则合并前两班总人数比为 : . 解:设甲班男女生人数分别为8m,7m,乙班男女生人数分别为10n,11n, 则(8m+10n) : (7m+11n)=17 : 16,128m+160n=119m+187n,解得9m=27n,m=3n, 于是15m : 21n=5m : 7n=15n : 7n=15 : 7. 答:合并前甲、乙两班的总人数比为15 : 7. 例6.某校派出60名选手参加市少年田径邀请赛,其中女选手占参赛选手总数的,正式比赛时,有几名女选手因故缺席,这样使女选手人数变为参赛选手总数的,正式参赛的女选手有 名。 解:60×=15,60?15=45,男女选手的比由1 : 3,变为2 : 9,而男选手人数不变, 男选手人数为45人,所以正式参赛的女选手人数为10人。 随 堂 练 习 1.某校买来7只篮球和10只足球共付1230元,已知每只足球的价钱是每只篮球的价钱的2倍少12元,那么每只篮球和足球分别为 元和 元。 解:设篮球每只x元,足球每只2x?12元, 7x+10×(2x?12)=1230,27x?120=1230,解得x=50元,2x?12=88元, 答:篮球每只50元,足球每只88元。 2.第一小学六年级学生分三组参加植树活动,第一组和第二组人数之比是5 : 4,第二组和第三组人数之比是3 : 2,已知第一组人数比第二、三组人数的总和少15人,六年级参加植树的共有 人。 解:5 : 4=15 : 12,3 : 2=12 : 8,所以三组人数之比为15 : 12 : 8, (12+8?15)=5,所以5份为15人,每份3人,甲组45人,乙组36人,丙组24人, 六年级参加植树活动共有3×(15+12+8)=105人。 3.袋子里红球与白球的数量之比是19 : 13,放入若干只红球之后,红球与白球的数量之比变为5 : 3,在放入若干只白球后,红球与白球的数量之比变为13 : 11,已知放入的红球比白球少80只,那么原来袋子里共有 只球。 解:原来的比是19 : 13=57 : 39,放入若干红球之后的比是5 : 3=65 : 39, 白球数量不变,放入红球的数量是65?57=8份; 再放入若干白球,比例长为13 : 11=65 : 55, 此时红球数量不变,白球增加了55?39=16份, 放入的红球比白球少80只,这80只是16?8=8份,所以每份10只球; 原来袋子中有57+39=96粉,所以共有960只球。 4.李大娘把养的鸡分别关在东、西两个院内,已知东院养鸡40只;现在把西院养的鸡的卖给商店,卖给加工厂,在把剩下的鸡与东院全部的鸡相加,其和恰好等于东、西两院养鸡总数的50%,原来东、西两院一共养鸡养鸡 只。 解:设西院原来养鸡x只,现剩下1??=, 即40+x=,80+x=40+x,得到x=240, 所以东、西两院一共养鸡养鸡240+40=280只。 5.A、B两校的男、女生人数的比分别是8 : 7和30 : 31,两校合并后男、女生人数的比是27 : 26,则A、B两校合并前人数的比是 。 解:设A校男女生人数分别为8m,7m;B校男女生人数分别为30n,31n, 所以(8m+30n) : (7m+31n)=27 : 26, 208m+780n=189m+837n,解得19m=57n,所以m=3n, 合并前两校人数之比为15m : 61n=45 : 61.

  • ID:3-4732812 第8讲 数论问题总复习(三)

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    第八讲 数论问题总复习(三) 模块一、带余除法: 余数的定义: 一般地,如果a是整数,b是整数(b≠0),若有a÷b=q……r,或者a=b×q+r,0≤r

  • ID:3-4732806 第7讲 几何问题总复习(三)

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    第七讲 几何问题总复习(三) 模块一、立体图形的表面积与体积: 例1一个无盖的长方体水槽,长5米,宽0.5米,高0.4米,做这个水槽至少要铁皮 平方米,将它注满水,水的体积是 立方米。. 解:S=2×(5×0.4+0.5×0.4)+5×0.5=10.4+2.5=12.9(平方米); V=5×0.5×0.4=1(立方米)。 例2.已知一个圆锥的底面直径为6厘米,高为4厘米,它的体积为 立方厘米。(π取3.14) 解:V=37.68(立方厘米)。 例3.如图,已知左边正方形的边长为4,右边正方形的对角线长度为6,如果按照图中所示方向旋转,那么得到的两个旋转体的体积之比是 。 解:V1=π×22×4=16π, V2==18π, 所以V1 : V2=8 : 9. 模块二、三视图、切片与染色: 例4.21个棱长为1厘米的小正方体组成一个立体图形(如图),它的表面积是 。 解:正面看有9块,面积为9×2=18(平方厘米); 从上往下看有12块,面积为12×2=24(平方厘米); 从左往右看有7块,还有1块在凹槽内,面积为(7+1)×2=16(平方厘米), 所以表面积为18+24+16=58(平方厘米)。 例5.思思在桌面上摆了一些大小一样的正方体木块,摆完后从正面看如左图,从侧面看如右图,那么他最多用了 块木块,最少用了 块木块。 解:从正面数,最多可以是3×7+2×2=25(块),最少可以是9(块)。 例6.把一个长、宽、高分别为5、4、3的长方体的表面染上红色,然后把这个长方体切成60个棱长为1的小正方体,请问在这些小正方体中: (1)恰好有3个面被涂成红色的小正方体有 个; (2)恰好有2个面被涂成红色的小正方体有 个; (3)恰好有1个面被涂成红色的小正方体有 个; (4)没有涂上红色的小正方体有 个。 解:(1)恰好有3个面被涂成红色的小正方体有8个; (2)恰好有2个面被涂成红色的小正方体有4×[(5?2)+(4?2)+(3?2)]=24个; (3)恰好有1个面被涂成红色的小正方体有2×(3×2+3×1+2×1)=22个 (4)没有涂上红色的小正方体有=3×2×1=6个。 随 堂 练 习 1.以下图形的体积分别为 , , 。(π取3) 解:(1)V1=10×6×5=300; (2)V2=π×102×10=1000π=3000; (3)V3==864。 2.一个稻谷囤,上面是圆锥体,下面是圆柱体,圆柱的底面周长是9.42米,高是2米,圆锥的高是0.6米,则这个粮囤的体积是 立方米。(π取3.14) 解:圆柱的底面周长是9.42米,所以底面圆的直径是9.42÷3.14=3, V圆柱=π×2×2=14.13(立方米); 圆锥的体积V圆锥==1.413, 所以粮囤的体积是14.13+1.413=15.543(立方米)。 3.如图,ABC是直角三角形,AB、AC的长分别是3和4,将△ABC绕AC旋转一周,△ABC扫出的立体图形的体积是 。(π取3.14) 解:V==37.68. 4.地上有一堆棱长为1厘米的小立方体,三视图如图所示,则这堆立方体共有 个,表面积为 平方厘米。 解:从俯视图上标出每个方格上的小方块数目, 可以看出立方体的个数为2+3+1+1+2+1=10(个); 表面积从前往后看,看到6个小正方形,还有1个在凹槽中,面积为2×(6+1)=14; 从上往下看,看到6个小正方形,面积为2×6=12; 从左往右看,看到6个小正方形,还有2个在凹槽中,面积为2×(6+2)=16; 所以表面积为14+12+16=42(平方厘米)。 5.把一个长、宽、高分别为8、7、6的长方体的表面染上红色,然后把这个长方体切成棱长为1的小立方体,则其中恰好有1面是红色的小立方体有 个。 解:恰好有1面是红色的小立方体是在6个面的中间,不占角,不靠边的小正方形, 所以有2×(6×5+5×4+6×4)=148(个)小立方体。

  • ID:3-4732800 第6讲 数列数表总复习

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    第六讲 数列数表总复习 模块一、数列问题: 等差数列基本公式: (1)通项公式:; (2)项数公式:; (3)公差:; (4)数列求和公式:或“和=中间项×项数”。 例1.(1)数列1、3、5、7、…,第18项是 ; (2)数列2、4、6、8、…,其中256是这个数列的第 项; (3)2、4、6、8、10、12,…,是个连续偶数列,如果其中五个连续偶数的和是320,则它们中最小的一个是 。 解:(1)第18项是1+2×17=35; (2)d第256项是256×2=512; (3)五个偶数中最中间的一个数是320÷5=64,所以它们中最小的数是60。 例2.有一列数2、3、5、8、12、17、23、30、…,问这列数的第101个是 。 解:3=2+1,5=3+2=2+1+2,8=5+3=2+1+2+3, 12=2+1+2+3+4,17=2+1+2+3+4+5,23=2+1+2+3+4+5+6, 30=2+1+2+3+4+5+6+7, 所以第101个数是2+1+2+3+4+5+…+100=5052。, 模块二:数表问题: 数表就是把数列中各项按一定顺序排布成一定形状后形成的表格。 首先数表具有数列的一般特征,即各项与其项数之间具有特定的对应关系,可以用通项公式或递推关系表示出来; 然后数表又不等同于普通数列,由于具有一定的形状,因此各项必须受其所在的位置的限制,这点是需要特别注意的。 1.观察:观察是解决数列数表问题的根本前提,许多数列数表问题首先就是找规律问题,这需要观察出突破口; 2.对应:找准数列的项与其项数及位置的对应关系,必要时要用代数式表示出来; 3.周期性:许多数列数表问题是周期问题,特别是某数在第几行第几列的问题; 4.递推问题:即数列的某项与其前面某些项之间的一种代数关系; 5.利用特殊位置:比如中间项,拐角,最大数或最小数等。 例3.用数摆成如图的三角形,请你观察后回答问题: (1)这个三角数列有什么规律; (2)依照规律写出第6行的数列; (3)推出第15行所有数之和是 。 解:(1)两边都是1,中间的数等于它肩上两个数的和; (2)第6行的数是1 6 15 20 15 6 1; (3)第15行所有数的和是215=32×1024=32768 例4.将自然数中的偶数2、4、6、8、10、…,按下表排成五列,则2016在第 列; 解:2016÷4=504,所以2016在第504行,且为最大的一个, 偶数行中最大的一个排在A列, 所以2016在A列。 例5.字母A、B、C、D、E和数字2、0、1、1、分别按下列方式变动其次序 A B C D E 2 0 1 1 B C D E A 0 1 1 2 (第一次变动) C D E A B 1 1 2 0 (第二次变动) D E A B C 1 2 0 1 (第三次变动) ………………………………… 问最少经过 次变动后A B C D E 2 0 1 1将重新出现。 解:ABCDE经过五次变动回到原来的位置,2011经过4次变动回到原来的位置, 所以最少经过20次变动,A B C D E 2 0 1 1将重新出现。 例6.如图,从1开始的自然数按某种方式排列起来,请问: (1)第10行左起第5个数是 ; (2)100在第 行,100是这一行左起第 个数; (3)前10行数的总和是 。 解:(1)前9行分别有1、2、3、4、5、6、7、8、9个数, 它们的个数和是1+2+3+4+5+6+7+8+9=45, 第10行从46开始,左起第5个数是50; (2)前10行,有45+10=55个数;前11行,有55+11=66行;前12行,有66+12=78个数, 前13行,有78+13=91个数,所以第14行,最小从92开始,100在第14行,是左起第9个数; (3)前10行共有55个数,它们的和为1+2+3+……+55==1540。 随 堂 测 试 1.对于数列4、7、10、13、16、19、…,第10项是 ,49是这个数列的第 项,第100项与第50项的差是 。 解:数列4、7、10、13、16、19、…, 第10项是4+3×9=31; 49是这个数列的第(49?4)÷3+1=16项; 第100项与第50项的差是3×(100?50)=150. 2.有一列数2、3、5、8、12、17、23、30、…,问这列数的第11个是 。 解:3=2+1,5=3+2=2+1+2,8=5+3=2+1+2+3, 12=2+1+2+3+4,17=2+1+2+3+4+5,23=2+1+2+3+4+5+6,30=2+1+2+3+4+5+6+7, 所以第11个数是2+(1+2+3+……+10)=57。 3.根据下图中数字的排列规律可知“?”所代表的数是 。 解:该数表的规律是上面的数等于它下面两个数的和, 所以“?”所代表的数是13+21=34。 4.将从1开始的自然数按下面的形式排列 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 … … 第11行最左边的数是 ,第11行所有数的和是 。 解:第1行有1个数,第2行有3个数,第3行有5个数,……,第10行有19个数, 所以前10行共有1+3+5+……+19=102=100个数, 第11行从101开始,一共有21个数, 所以第11行最左边的数是101,所有数的和是(101+121)×21÷2=2331。 5.如图将从5开始的连续自然数按规律填入数阵中,请问: 第1列 第2列 第3列 …… 5 10 15 …… 6 11 16 …… 7 12 17 …… 8 13 18 …… 9 14 19 …… 123应该排在第 列;第2行第20列的数是 。 解:123?4=119,119÷5=23……4,所以123排在第24列; 从第1列到第19列,共有19×5=95(个)数,从5开始,第95个数是5+95?1=99, 所以第20列的第1个数是100,第2个数,即第2行中第20列的数为101.

  • ID:3-4732794 第5讲 应用题总复习(一)

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    第五讲 应用题总复习(一) 模块一、基本浓度问题: 溶质+溶剂=溶液; 浓度=;溶质=溶液×浓度;溶液=溶质÷浓度。 例1.把20克盐放入100克水里配制成盐水,300克这样的盐水中含盐 克。 解:浓度是=16.67%,300×16.67%=50克。 答:含盐50克。 例2.有浓度为20%的糖水500克,另有浓度为56%的糖水625克,将它们混合后,糖水的浓度是 %。 解:浓度为20%的糖水500克中含糖500×20%=100克,浓度为56%的糖水625克中含糖625×56%=350克, 混合后的浓度为, 答:糖水的浓度是40%。 例3.1000千克葡萄含水率为96.5%,一周后含水率降为96%,这些葡萄的质量减少了 千克。 解:1000×(1?96.5%)=35千克,35÷4%=875(千克),1000?875=125(千克)。 答:葡萄的质量减少了125千克。 模块二、十字交叉法:(甲溶液浓度大于乙溶液浓度) 十字交叉法是进行两种混合物平均量与组分计算的一种简便方法。 即设甲、乙两瓶的溶液的质量分布为A和B,浓度分别为x%,y%(x>y),将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为z%,可得(x?z) : (y?z)=B : A。 形象表达:= =。 例4.甲种酒精溶液中有酒精3千克,水9千克;乙种酒精溶液中有酒精6千克,水2千克;要配制成40%的酒精溶液5千克,甲种酒精溶液需要 千克,乙种酒精溶液需 千克。 解:=25%,=75%, 25% 75% 40% 35% 15% 35% : 15%=7 : 3,所以5×=3.5,5?3.5=1.5。 答:甲种酒精溶液需要3.5千克,乙种酒精溶液需要1.5千克。 例5.现有浓度为20%的盐水100克,加入相同质量的盐和水后,浓度变成了30%的盐水,那么加了 克盐。 解:相同质量的盐和水,相当于浓度为50%, 20% 50% 30% 20% 10% 100 x 即100 : x=2 : 1,解得x=50,所以加了50÷2=25克盐。 答:加了25克盐。 模块三、方程法: 例6.A、B、C三瓶盐水的浓度分别为20%、18%、16%,它们混合之后得到100克浓度为18.8%的盐水,如果B瓶盐水比C瓶盐水多30克,那么A瓶盐水有多少克? 解:设C瓶的盐水重x克,则B瓶的盐水为x+30克,A瓶中的盐水中70?2x克, (70?2x)×20%+(x+30)×18%+x×16%=100×18.8%, 1400?40x+18x+540+16x=1880,6x=60,所以x=10(克),A瓶中有盐水70?20=50(克)。 答:A瓶中有盐水50克。 随 堂 练 习 1.要配制一种浓度为10%的盐水,12克盐需要加水 克,180克水需要加盐 克。 解:12÷10%=120,120?12=108,所以需要加水108克; 180÷90%=200,200?180=20,所以需要加盐20克。 2.买来蘑菇10千克,含水量为99%,晾晒一会儿后,含水量为98%,问蒸发掉多少千克水分? 解:开始蘑菇中含有的非水物质有10×(1?99%)=0.1(千克), 晾晒之后,质量为0.1÷2%=5(千克),所以蒸发掉5千克水。 答:蒸发掉5千克水。 3.现有80千克20%的盐水,和 千克14%的盐水刚好可以混合成18%的盐水。 解: 20% 14% 18% 4% 2% 80 x 所以80 : x=2 : 1,解得x=40(千克)。 答:需要用40千克14%的盐水。 4.A溶液的浓度是B溶液的2倍,取240克A和360克B混合,最终浓度为21%,则A的浓度是 %。 解:设B溶液的浓度为x%,A溶液的浓度为2x%, 2x% x% 21% (21?x)% (2x?21)% 240 360 所以(21?x) : (2x?21)=2 : 3,即4x?42=63?3x,解得7x=105,x=15,2x=30. 答:A溶液的浓度为30%。 5.A种酒精浓度为40%,B种酒精浓度为36%,C种酒精浓度为35%,它们混合在一起,得到11千克浓度为38.5%的酒精溶液,其中B种酒精比C种酒精多3千克,则A种酒精有 千克。 解:设C种酒精为x千克,B种酒精为x+3千克,则A种酒精有8?2x千克, (8?2x)×40%+(x+3)×36%+x×35%=11×38.5%, 即320?80x+36x+108+35x=423.5, 9x=4.5,x=0.5,8?2x=7(千克)。 答:A种酒精有7千克。

  • ID:3-4732788 第4讲 计数问题总复习(二)

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    第四讲 计数问题总复习(二) 模块一、排列组合: 排列数公式:; 全排列公式:; 组合数公式:; 关于组合数的几个重要结论: ;;。 例1.一台晚会上有6个演唱节目和四个舞蹈节目,求: (1)当4个舞蹈节目要排在一起时,有 种不同的安排方法; (2)当要求两个舞蹈节目之间至少安排一个演唱节目时,一共有 种不同的安排方法。 解:(1)4个舞蹈节目看做一个大节目,与6个演唱节目排序,同时4个舞蹈节目内部有顺序, 所以一共有=120×24=2880种不同的安排方法; (2)把4个舞蹈节目插入到排好顺序的6个演唱节目中, 所以一共有种不同的安排方法; 例2.在6名内科医生和4名外科医生中,内科主任和外科主任各一名,现要组成5人医疗小组送医下乡。 (1)若要求有3名内科医生和2名外科医生,则有 种选派方法; (2)若要求既有内科医生又有外科医生,则有 种选派方法; (3)若要求至少有一名主任参加,则有 种选派方法; 解:(1)从6名内科医生中选3人,再从4名外科医生中选2人, 有=20×6=120种选派方法; (2)从10人选5人,有=252种方法,其中若5人全是内科医生的方法有=6种, 所以既有内科医生又有外科医生的方法有252?6=246种; (3)从10人中任意选派5人的方法中减去没有主任参加的方法种数, 即=252?56=196(种)方法。 例3.(1)10个苹果放入4个不同的盘子里,要求每个盘子至少1个,共有 种不同的方法; (2)有10个相同的球要分给3个小朋友,保证每个小朋友至少能分到2个球,共有 种不同的分法。 解:(1)把10个苹果排成一排,在中间9个空中插入3块插板,就把10个苹果分成了从左到右的4份, 所以一共有种不同的分法; 解法2:首先每个盘子中先放入1个,剩下的6个苹果再分配: 若6个苹果一起放入其中1个盘子中,有4种分法; 若6个苹果分成两份,有6=5+1、6=4+2、6=3+3,对于前两种分法,各有=12种分法,对于3+3的情况,有=6种分法,这样有12+12+6=30种分法; 若6个苹果分成三份,有6=2+2+2和6=3+2+1,6=4+1+1分别有=4和=24和=12种分法,共有4+24+12=40种分法; 若6个苹果分成4份,有6=3+1+1+1和6=2+2+1+1,分别有=4和=6,共有4+6=10种分法; 综上所述一共有4+30+40+10=84(种)分法。 (2)把10个球中拿出6个,分给3个小朋友,每人2个, 剩下的4个球排成一排,再加入两块插板,这样连球带插板一共有6个位置; 再从这6个位置中任意选2个,放入插板,其他位置放入球,于是这4个球被分成了3份(如果插板在边上,相当于它的空白一边放0个球,若两块插板挨在一起,它们之间也相当于有一个0), 所以共有种分法。 例4.将书架上2本相同的漫画书、2本相同的故事书和3本相同的科学书排成一排,有 种不同的摆法。 解:将7本书排列,其中相同的的书交换位置与原来的没有变化, 所以一共有210(种)不同的摆法。 解2:在7个位置中选出3个位置放置科学书,剩下的4个位置中选2个放置漫画书,最后剩下的2个位置放故事书,有=35×6=210(种)不同的摆法。 模块二、概率问题: 例5.在一个不透明的袋子里,有5个除颜色外其他都相同的小球,其中3个是红球,2个是绿球,每次拿一个球然后放回去,拿2次,则至少有一次取到绿球的概率是 。 解:拿的方法一共有5×5=25种,两次都没有拿绿球的方法有3×3=9种, 所以至少一次取到绿球的概率是P=。 例6.妈妈去家乐福购物,正好碰上橘子、香蕉、葡萄和榴莲大降价。于是她决定从这4种水果中任选一种买回家。爸爸下班时路过集贸市场,发现有苹果、橘子、香蕉、葡萄和梨出售,他也简单任选一种买回家,请问他们买了不同水果的概率是 。 解:相同的水果有橘子、香蕉和葡萄, 他们买了相同的水果的概率是, 所以买了不同水果的概率是P=1?=。 随 堂 练 习 1.用1、2、3、4、5、6六张数字卡片,每次取3张卡片组成三位数,一共可以组成 个不同的偶数(6不能看做9)。 解:从2、4、6中选1张放在个位,在剩下的五张中选2张放在百位和十位, 所以一共有=3×20=60(个)不同的偶数。 2.学校乒乓球队一共有4名男生和3名女生,某次比赛后,他们站成一排照相,请问: (1)如果要求男生不能相邻,一共有 种不同的站法; (2)如果要求女生都站在一起,一共有 种不同的站法; 解:(1)4名男生先排队,有种排法,然后3名女生插入到男生之间(正好3个空),有种方法,所以一共有24×6=144种方法; (2)女生看做一个大团体,与男生排队,女生之间在排列, 所以一共有=120×6=720(种)不同的站法。 3.甲、乙、丙、丁、戊、己六个人站队,如果甲、乙两人之间恰好有两个人,一共有 种站法 解:甲、乙两人先站好,有2种站法, 再从丙、丁、戊、己中选2人站到他们中间(有顺序),有=12种站法, 最后这4人看做一个整体与其余两人排队,有=6种站法; 所以一共有2×12×6=144(种)不同的站法。 4.有2克、5克、20克的砝码个1个,只用砝码和一架已经调节平衡的天平,能称出 种不同的重量。 解:若只用1个砝码,每个砝码能称出1个重量,分别为2、5、20克; 若用两个砝码,如2、5克,则都放在一边,可以称出2+5=7克,若允许放在两边,可以称出5?2=3克, 所以每用两个砝码都可以称出2个重量,这样可以称出2×3=6个重量; 若三个砝码一起用,都放在同一边,可以称出2+5+20=27克,若允许放在两边,有20+5?2=23、20+2?5=17、20?5?2=13,共4个重量, 综上所述,有3+6+4=13(种)不同的重量。 5.约翰和汤姆掷硬币,约翰掷两次,汤姆掷两次,约翰掷两次,……,这样轮流掷下去。若约翰连续两次掷的结果相同,则记1分,否则记0分;若汤姆连续两次掷的结果中至少有1次硬币的正面向上,则记1分,否则记0分;谁先记满10分谁就赢, 赢的可能性较大(请填汤姆或约翰)。 解:约翰得1分的情况有两次都是正面或两次都是反面,概率是=; 汤姆得0分的概率是两次都是反面,所以得1分的概率是=, 所以汤姆赢的可能性较大。

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  • ID:3-4732784 第3讲 数论问题总复习(二)

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    第三讲 数论问题总复习(二) 模块一、质数、合数、分解质因数 判断一个数是否为质数的方法: 根据定义,如果能够找到一个小于p的质数p(均为整数),使得p能够整除P,那么P就不是质数,所以我们只要拿所有小于P的质数去除P就可以了;但是这样计算量很大,对于不太大的P,我们可以先找一个大于且接近P的平方数K2,再列出所以不大于K的质数,用这些质数去除P,如果没有能够除尽的,那么P就为质数。 分解质因数:把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫作分解质因数。 因数个数定理:设自然数n的质因数分解式如,那么n的个数为 。 例1.(1)分解质因数:160 (2)5×6×10×25×7×75×94的积的末尾共有 个0. 解:(1)160=25×5; (2)5×6×10×25×7×75×94的乘积中含有6个5,3个2,所以乘积的末尾有3个0. 例2.(1)已知两个自然数的积是180,差不大于5,则这两个自然数的和是 ; (2)A是一个一位数,B是一个两位数,C是一个三位数,已知A、B、C三个数的积是2004,则A+B+C= 。 解:(1)180=22×32×5=12×15,所以这两个自然数的和是12+15=27; (2)2004=22×3×167,所以A=1,B=12,C=167,A+B+C=1+12+167=180. 模块二、因数、倍数: 1.最大公因数与最小公倍数有如下一些基本关系: ①A×B=ma×mb=m×mab=(A,B)×[A,B],即两个数的最大公因数与最小公倍数之积等于这两个数的积; ②最大公因数是A、B、A+B、A?B及最小公倍数的因数。 2.求一组最简分数的最大公因数与最小公倍数: (1)求一组最简分数的最大公因数:先将各个分数化为假分数,求出各个分数分母的最小公倍数a,再求出各个分数的分子的最大公因数b,即为所求; (2)求一组最简分数的最小公倍数:先将各个分数化为假分数,求出各个分数分子的最小公倍数a,再求出各个分数分母的最大公因数b,即为所求; 例3.(1)(28,35),(108,360),(24,36,90)分别是 , , ; (2)[28,35],[108,360],[24,36,90]分别是 , , 。 解:(1)(28,35)=7,(108,360)=36,(24,36,90)=6; (2)[28,35]=140,[108,360]=1080,[24,36,90]=360. 例4.(1)已知A、B两数的最小公倍数是180,最大公因数是30,若A=90,则B= ; (2)已知两个自然数的积为450,最小公倍数是150,求这两个数的和的最大值是 。 解:(1)A=90=3×30,180=2×3×30,所以B=2×30=60。 (2)450=2×32×52,150=2×3×52,要使的两个数的和尽可能大,则可以使得这两个数的差尽可能大, 取A=2×3×52=150,B=3,所以A+B=153。 模块三、完全平方数: 1.定义:我们把一个自然数平方所得到的数叫做完全平方数或平方数。 如12=1,22=4,32=9,……,112=121,122=144,其中1、4、9、…、121、144、…都叫做完全平方数。平方数分解质因数后,它的质因数必定会成对出现。 2.完全平方数的有关性质: 性质1:完全平方数的末位数字只可能是0,1,4,5,6,9; 性质2:完全平方数的因数一定有奇数个,反之亦然。因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次。 性质3:如果一个完全平方数的个位是6,则十位是奇数,反之亦然; 性质4:如果一个完全平方数的个位是0,则末尾连续0的个数一定是偶数个。如果一个完全平方数的个位是5,则其十位一定是2,且其百位一定是0,2,6中的一个; 性质5:如果一个自然数介于两个连续完全平方数之间,则它不是完全平方数; 性质6:平方差公式:a2?b2=(a+b)(a?b); 性质7:偶数的完全平方数是4的倍数,奇数的完全平方被4除一定余1,任何自然数的平方数不可能被4除余2。 例5.2205乘一个非零自然数a,乘积是一个完全平方数,则a最小为 ,2205除以一个自然数b,商是完全平方数,则b最小为 . 解:2205=32×5×72,取a=5,则2205a是完全平方数,取b=5,则2205÷b是完全平方数。 例6.一个数减去100是一个平方数,减去63也是一个平方数,问这个数是 。 解:设该数为a,则a?100=m2,a?63=n2,两式相减的n2?m2=37, 得(n+m)(n?m)=37=1×37,所以,解得n, 所以a=100+182=424. 随 堂 测 试 1.已知300=2×2×3×5×5,则300一共有 个不同的因数。 解:不同因数的个数是(2+1)×(1+1)×(2+1)=18(个)。 2.把40、44、45、63、65、78、99、105这八个数平分为两组,使每组四个数的乘积相等。 解:40=23×5,44=22×11,45=32×5,63=32×7,65=5×13,78=2×3×13,99=32×11,105=3×5×7, 所以分为两组分别为(44、45、78、105)、(40、63、65、99)。 因数2 因数3 因数5 因数7 因数11 因数13 分组 40 3 1 B 44 2 1 A 45 2 1 A 63 2 2 B 65 1 1 B 78 1 1 1 A 99 2 1 B 105 1 1 7 A 3.已知两个自然数的积为720,最小公倍数为120,则这两个数分别是 。 解:720=24×32×5,120=23×3×5, 取M=23×3×5=120,N=2×3=6 或A=23×3=24,B=2×3×5=30。 4.156×a是完全平方数,则非零自然数a的最小值为 。 解:156=22×3×13,取a=3×13=39,此时156×a是完全平方数。 5.有一个正整数,将它加上15或减去4后都是完全平方数,则这个数是 。 解:设此数为a,则a+15=m2,a?4=n2,两式相减得m2?n2=19, 所以(m+n)(m?n)=19,所以,解得, 所以a=102?15=85.

  • ID:3-4732776 第2讲 几何问题总复习(二)

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    第二讲 几何问题总复习(二) 模块一、圆与扇形: 一、相关公式: 圆的面积=πr2;扇形的面积=; 圆的周长=2πr;扇形的弧长=。 二、基本图形: 1.“弓形”:弓形一半不要求求周长,主要求面积。 一般说来,弓形面积=扇形面积?三角形面积。(除了半圆) 2.“弯角”:弯角面积=正方形?扇形; 3.“谷子”:谷子面积=弓形面积×2。 4.圆环:圆环面积=π×(R2?r2)。 例1.求下列图形中阴影部分的面积 , , 。(π取3.14) 解:①S1=π×52÷4?5×5÷2=7.125; ②S2=5×5?π×52÷4=5.375; ③S3=2×(π×52÷4?5×5÷2)=14.25. 例2.(1)求图中阴影部分的面积是 平方厘米。(单位:厘米)(π取3.14) (2)已知图中阴影部分的面积是25cm2,则圆环的面积是 平方厘米。(π取3.14) 解:(1)S1=π×(152?102)=392.5(平方厘米); (2)S2=(R2?r2)÷2=25,解得R2?r2=50, 圆环的面积=π×(R2?r2)=157(平方厘米)。 模块二、图形变换技巧: 常用的思想方法: 1.转化思想(复杂转化为简单,不熟悉的转化为熟悉的); 2.等积变形(割补、平移、旋转等); 3.借来还去(加减法); 4.外围入手(从会求的图形或者能求的图形入手,看与要求的部分之间的关系); 5.容斥(实际上容斥的思想是贯穿于加减法始终的。我们把两部分面积加起来,去掉总面积,剩下的就是重叠部分的面积); 6.差不变。 例3.如图,直角三角形ABC中,AB是圆的直径,且AB=20,阴影甲的面积比阴影乙的面积大7,求BC长。(π取3.14) 解:阴影甲的面积与阴影乙的面积都加上半圆内的空白部分,分别成为半圆和三角形ABC, 所以π×102÷2?20×BC÷2=7,得157?10BC=7, 所以10BC=150,BC=15. 例4.(1)下图中阴影部分的面积为 。(结果保留π) (2)如图,ABCD是正方形,且FA=AD=DE=EW=1,则阴影部分的面积为,其中a= ,b= 。(π取3) 解:(1)按图所示,将中间的阴影部分分成两部分,分别旋转到对应位置, 则阴影部分成为一个大弓形, 则阴影部分的面积为S=π×42÷4?4×4÷2=4π?8; (2)如图所示,将弓形BF,旋转到对应位置, 则阴影部分组合在一起,它是梯形减去一个三角形和一个扇形, 所以阴影部分面积S=(1+2)×1÷2?1×1÷2?π×12÷8 =, 所以a=5,b=8. 模块三、旋转与轨迹: 例5.如图,以OA为斜边的直角三角形的面积是24平方厘米,斜边长是10厘米,将它以O点为中心旋转90°,那么三角形扫过的面积是 平方厘米。(π取3) 解:三角形扫过的面积是扇形OAA’加上三角形的面积, 所以S=π×102÷4+24=99(平方厘米)。 例6.一只狗被栓在底座为边长3m的等边三角形建筑物的墙角上(如图),绳子长是4米,则狗所能到的地方的总面积是 平方米。(π取3.14) 解:活动范围是一个半径为4,圆心角为300度的扇形加上两个半径为1圆心角为120度的小扇形, S==43.96(平方米)。 随 堂 练 习 1.下列各图中阴影部分的面积分别是 平方厘米、 平方厘米、 平方厘米、(图中单位为cm,π取3) 解:①S1=33÷2=; ②S2=π×22÷4?π×12÷2=1.5; ③S3=π×62÷8?62÷4=4.5. 2.已知:如图,大圆半径为R,小圆半径为r,两个同心圆构成一个圆环。以圆心O为顶点,半径R为边长做一个正方形,再以O为顶点,以r为边长做一个小正方形,图中阴影部分的面积为50平方厘米,则圆环面积是 平方厘米(π取3.14) 解:阴影部分面积是R2?r2=50, 圆环面积是S=π×(R2?r2)=50×3.14=157. 3.如图,直角三角形ABC中,AB是圆的直径,且AB=20,BC=15,阴影甲的面积与阴影乙的面积的差为 。(π取3.14) 解:阴影甲的面积与阴影乙的面积的差=π×102÷2?20×15÷2=7. 4.已知:如图所示,四个全等的圆每个半径均为2m,阴影部分的面积是 m2。 解:将阴影圆平分为4个扇形,将其中3个扇形移到另外三个圆中, 这样阴影部分恰好组成一个正方形,正方形的边长为4,所以S阴影=42=16(平方米)。 解2:阴影部分的面积S=4×(2×2?π×22÷4)+π×22=16(平方米)。 5.如图,在一个很大的羊圈中,用一根长3米的绳子把一只羊栓在墙角,羊活动的区域面积是 平方米。(π取3.14) 解:羊的活动范围是以墙角为圆心,绳子长3米为半径的一个90°的扇形。 区域面积S=π×32÷4=7.065(平方米)。

  • ID:3-4732772 数学六年级竞赛第1讲 计算问题总复习(二)

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    第一讲 计算问题总复习(二) 模块一、分数巧算: 常用的运算律如下: 加法交换律:a+b=a×b; 加法结合律:a+b+c=a+(b+c); 乘法交换律:a×b=b×a; 乘法结合律:a×b×c=a×(b×c); 乘法分配律:a×(b+c)=a×b+a×c; 在计算题中,合理地利用运算律可以简化我们的计算。 同样,提取公因数:a×b+a×c=a×(b+c)也是一个计算中常用的技巧。 例1.(1)= (答案为整数) (2)计算:= 。 解:(1)原式==4+6=10. (2)原式==2.145. 例2.= 。 解:原式=14+7+4+2+1=28. 例3.(1)= 。 (2)= 。 解:(1)原式====16. (2)原式==1?1+1=1. 例4.(1)= 。 (2)=,其中a= ,b= 。 解:(1)原式==5; (2)原式==。 模块二、分数裂项: 一、“裂差”型分数裂项: (1); (2); (3)。 二、“裂和”型分数裂项: (1); (2)。 例5.(1)= ; (2)= / 。(化成最简分数,先填分子,后填分母) 解:(1)原式= ==。 (2)原式= ==。 例6.计算:= 。 解:原式= =。 随 堂 练 习 1.(1)= ; (2)= 。 解:(1)原式==3; (2)原式==3。 2.计算:= 。 解:原式=24+16?12=28. 3.计算:= 。 解:原式==6+4=10. 4.计算:= 。 解:原式==9. 5.计算:= 。 解:原式= ==。

  • ID:3-4159138 小学六年级数学竞赛讲座 第16讲 期末考试(含解析)

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    六年级秋季竞赛班期末考试 考试时间:90分钟 一、填空题:(共8题,每题5分,共40分) 1.计算:42+52+62+72+…+192+202= 。 解:42+52+62+72+…+192+202=(12+22+32+42+…+192+202)−(12+22+32) = −14=2870−14=2856. 2.一个水箱中的水是装满时的 ,用去180立升后,剩余的水是转满时的 ,这个水箱的容积是 立升。 解:180÷( )=180÷ =2160(立升)。 3.如图,ABC是直角三角形,AB、AC的长分别是10和15,将△ABC绕AC旋转一周,则△ABC扫出的立体图形的体积是 。(π取3.14) 解:得到的是一个圆锥,底面圆的半径是10,圆锥的高是15,

  • ID:3-4159132 小学六年级数学竞赛讲座 第15讲 变速问题(含解析)

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    第十五讲 变速问题 模块一、单人变速问题: 例1.甲、乙两地相距6千米,某人从甲地步行去乙地,前一半时间平均每分钟行80米,后一半时间平均每分钟行70米,问他走后一半路程用了 分钟。 解:设某人用时为2t分钟,则80t+70t=6000,解得t=40分钟,全程为80分钟, 前一半路程3000米都是用80米/分钟的速度行驶的,用时为3000÷80=37.5分钟, 所以后半程用时为80−37.5=42.5分钟。 解2:设某人用时为2t分钟,则80t+70t=6000,解得t=40分钟,全程为80分钟, 后一半路程3000米中,有40分钟是以70米/分钟的速度走的,走了2800米, 还有200米是用80米/分钟的速度走的,用时200÷80=2.5分钟,所以共用时42.5分钟。 例2.小明从家里到学校有两条一样长的路,一条是平路,一条是一半上坡路,一半下坡路。小明上学走这两条路所用的时间一样多,已知下坡的速度是平路的1.6倍,那么上坡的速度是平路速度的 倍。

  • ID:3-4159124 小学六年级数学竞赛讲座 第14讲 平面到立体(含解析)

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    第十四讲 平面到立体 模块一、平面图形旋转与轨迹 例1.(1)小明家的院内有一间地基是边长600厘米的正方形杂物间。小明用一条长14米的绳子将狗拴在杂物间的一角,现在狗从A地出发将绳子拉紧按顺时针方向跑,可以跑 米。(π取3) (2)有一个边长为3厘米的等边三角形,现在将它按下图所示滚动,请问B点从开始到结束经过的路线的总长度是 厘米,(π取3.14) 解:(1)600厘米=6米,狗跑的是三个 圆弧, 半径分别为14米、8米和2米, 所以长度是 ×(28π+16π+4π)=12π=36。

  • ID:3-4159116 小学六年级数学竞赛讲座 第13讲 数论中的代数思想(含解析)

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    第十三讲 数论中的代数思想 模块一、数论方程(一): 例1.已知 ,则三位数 = 。 解:设 =x,则2×(4000+x)=10x+8,解得x= =999. 例2.已知 ,则四位数 = 或 。 解:由题意知(1000a+100b+10c+d)−(100a+10b+c)−(10a+b)−a=1787, 得889a+89b+9c+d=1787,比较得a=2或a=1, 当a=1时,有89b+9c+d=898,b只能得9,有9c+d=97,此时即使c=9,得d=16,矛盾,舍去; 当a=2时,有89b+9c+d=9,b只能得0,有9c+d=9,得c=0,d=9,所以 =2009. 或c=1,d=0,此时 =2010. 模块二、数论方程(二):

  • ID:3-4159110 小学六年级数学竞赛讲座 第12讲 抽屉原理(二)(含解析)

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    第十二讲 抽屉原理(二) 模块一、最不利原则: 例1.现有一个袋子,里面装有18种不同颜色的玻璃球,每种颜色的玻璃球各有40个,则在这个袋子中至少要取出 个玻璃球,才能保证取出的球至少有三种颜色,且每种颜色的球都至少有10个。 解:这18种颜色的球中有二种颜色的球都取出来,为40×2=80个, 其余各种颜色的球都取出9个,为16×9=144个, 这时再从中任意取出1个球就能保证满足条件。 所以至少要取出80+144+1=225个球。 例2.一个袋子中共有45个球,其中标注1的有1个2的有2个,3的有3个,…,标注9的有9个,那么最少取出 个球才能保证取出来的球中必有两个球的编号相差2.