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  • ID:3-4965860 初中数学文化讲堂(拓展开放型题,共六课时)

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    初中数学文化讲学(拓展开放型题) 数学文化讲堂(一) 一 中国人最先使用负数 我国很早就开始使用负数,著名的中国古代数学著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数及其加减法运算法则,并给出名为“正负术”的算法. 材料一 《九章算术》中用不同颜色的算筹(小棍形状的记数工具)分别表示正数和负数(白色为正,黑色为负,如图表示的是+23-54=-31的计算过程).        1. 阅读材料,下图表示的过程是在计算________; 第1题图 材料二 “正负术”是正负数加减法则,其中有一段话是“同名相除,异名相益,正无入负之,负无入正之.”意思是:“同名相除”即同号两数相减时,括号前为被减数的符号,括号内为被减数的绝对值减去减数的绝对值.例如(+5)-(+3)=+(5-3).“异名相益”,即异号两数相减时,括号前为被减数的符号,括号内为被减数的绝对值加减数的绝对值.例如(+5)-(-3)=+(5+3).(华师七上P42) 2. 根据材料中“正负术”的运算法则,将下列计算过程补充完成整: (-5)-(-3)=________.(-5)-(+3)=________. 二 杨辉三角 杨辉三角,又称贾宪三角形、帕斯卡三角形,是二项式系数在三角形中的一种几何排列,在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式的乘方规律.           (人教八上P113,北师七下P24) 3. 杨辉三角两腰上的数都是1,其余每个数为它的上方(左右)两数之和.事实上,这个三角形给出了(a+b)n(n=0,1,2,3,4,5,6…)的展开式(按a的次数由大到小的顺序)的系数规律.如图: (1)根据前面各式规律,则(a+b)5=________________________; (2)根据前面各式规律,(a+b)10展开式中,所有系数的和为________; (3)利用上面的规律计算:25-5×24+10×23-10×22+5×21-15=________. 第3题图 第4题图 4.将杨辉三角中的每一个数换成分数,得到一个如图所示的分数三角形,称为莱布尼茨三角形,则第9行第2个数是________. 三 斐波那契数列 斐波那契数列,又称黄金分割数列,因数学家斐波那契以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:1、1、2、3、5、8、13、21、34、….美国数学会从1963年起出版了以《斐波那契数列季刊》为名的一份数学杂志,用于专门刊载这方面的研究成果. 5. 数列1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,…的排列规律是:前两个数是1,从第三个数开始,每个数都是它前面两个数的和,这个数列叫斐波那契数列,在斐波那契数列的前2018个数中,共有________个偶数. 6.(2017温州改编)我们把1,1,2,3,5,8,13,21,…这组数称为斐波那契数列.为了进一步研究,依次以这列数为半径作90°圆弧,,,…,得到斐波那契螺旋线,然后顺次连接P1P2,P2P3,P3P4,…,得到螺旋折线(如图),已知点P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),则该折线上点P9的坐标为________. 第6题图 材料三 斐波那契在《算盘书》中提出了一个有趣的兔子问题: 一般而言,兔子在出生两个月后,就有繁殖能力,一对兔子每个月能生出一对小兔子来.我们不妨拿新出生的一对小兔子分析一下: 第一个月小兔子没有繁殖能力,所以还是一对; 两个月后,生下一对小兔子,总数共有两对; 三个月以后,老兔子又生下一对,因为小兔子还没有繁殖能力,所以一共是三对; … 7. 根据材料内容依次类推,如果所有兔子都不死,那么一年以后可以繁殖多少对兔子? 材料四 人们在研究斐波那契数列的过程中,发现了许多意想不到的结果.在实际生活中,很多花朵(如梅花、飞燕草、万寿菊等)的瓣数恰是斐波那契数列中的数.斐波那契数列还有很多有趣的性质,在实际生活中也有广泛的应用.斐波那契数列中的第n个数可以用[()n-()n]表示(其中,n≥1).这是用无理数表示有理数的一个范例. 8. 请根据以上材料,通过计算求出斐波那契数列中的第1个数和第2个数. 数学文化讲堂(二) 一《九章算术》—方程 《九章算术》大约于东汉初年(公元一世纪)成书,共九章,汇总了战国和西汉时期的数学成果,是几代人共同劳动的结晶.书中收集了246个与生产、生活实践有联系的应用问题,它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系. 《九章算术》中记载了下列有代表性的应用问题: 1. “今有凫起南海,七日至北海;雁起北海,九日至南海.今凫雁俱起,问何日相逢?”(凫:野鸭)设野鸭与大雁从南海和北海同时起飞,经过x天相遇,可列方程为(  ) A. (9-7)x=1 B. (9+7)x=1 C. (-)x=1 D. (+)x=1 2.“今有客马日行三百里,客去忘持衣,日已三分之一,主人乃觉.持衣追及与之而还,至家,视日四分之三.问主人马不休,日行几何?”(注:在我国古代白天的开始是卯初(即现今5时整),白天的终了是酉初(即现今17时整),因此从卯初至酉初12小时为1日)题中讲到的主人马速日行多少里(  ) A. 540里 B. 720里 C. 780里 D. 960里 3. “今有牛五、羊二,直金十两;牛二、羊五,直金八两.问:牛、羊各直金几何?”译文:“假设有5头牛、2只羊,值金10两;2头牛、5只羊,值金8两.问:每头牛、每只羊各值金多少两?”设每头牛值金x两,每只羊值金y两,可列方程组为________________. 二《孙子算经》 《孙子算经》是中国古代重要的数学著作.成书大约在四、五世纪,也就是大约一千五百年前.传本的《孙子算经》共三卷,上卷叙述算筹记数的纵横相间制度和筹算乘除法,中卷举例说明筹算分数算法和筹算开平方法.下卷第31题,可谓是后世“鸡兔同笼”题的始祖,后来传到日本,变成“鹤龟算”. 4.该书中记载了一道题,大意是:100匹马恰好拉了100片瓦,已知1匹大马能拉3片瓦,3匹小马能拉1片瓦,问有多少匹大马、多少匹小马?若设大马有x匹,小马有y匹,那么可列方程组为(  ) A. B. C. D. 5.该书有一段文字的大意是:甲、乙两人各有若干钱.如果甲得到乙所有钱的一半,那么甲共有钱48文.如果乙得到甲所有钱的,那么乙也共有钱48文.甲、乙两人原来各有多少钱? 设甲原有x文钱,乙原有y文钱,可列方程组是________________. 6.书中记载:“今有雉兔同笼,上有三十五头,下有九十四足,问雉兔各几何?”这四句话的意思是:有若干只鸡兔关在一个笼子里,从上面数,有35个头,从下面数,有94条腿,问笼中各有几只鸡和兔? 三《算法统宗》 《算法统宗》全称《新编直指算法统宗》,程大位著,是一部应用数学书,是以珠算为主要的计算工具,列有595个应用题的数字计算,用珠算演算.该书确立了算盘用法,完成了由筹算到珠算的彻底转变. 《算法统宗》中记载了下列应用问题: 7. “远望巍巍塔七层,红光点点倍加增,共灯三百八十一,请问尖头几盏灯?”意思是:一座7层塔共挂了381盏灯,且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍,则塔的顶层共有灯(  ) A. 1盏 B. 3盏 C. 5盏 D. 9盏 8. “一百馒头一百僧,大僧三个更无争,小僧三人分一个,大小和尚各几丁?”意思是:有100个和尚分100个馒头,正好分完;如果大和尚一人分3个,小和尚3人分一个,试问大、小和尚各几人?设大、小和尚各有x、y人,则可列方程组____________________. 9.“我问开店李三公,众客都来到店中,一房七客多七客,一房九客一房空.”诗中后两句的意思是:如果每一间客房住7人,那么有7人无房可住,如果每一间客房住9人,那么就空出一间房. (1)求该店有客房多少间?房客多少人? (2)假设店主李三公将客房进行改造后,房间数大大增加.每间客房收费20钱,且每间客房最多入住4人,一次性订客房18间以上(含18间),房费按8折优惠.若诗中“众客”再次一起入住,他们如何订房更合算? 四 一元二次方程的图解法 古希腊数学家丢番图在公元250年前在《算术》中就提出一元二次方程的问题,不过当时人们还没有找到一元二次方程的求根公式,只能用图解法求解,在欧几里得的《几何原本》中,就给出了形如x2+ax=b2的方程的图解法是: 如图,以和b为两直角边作Rt△ABC,再在斜边上截取BD=,则AD的长就是所求方程的解,显然,用这个方法只能求出其中的一个正根. 10. 请利用你所学的知识,说明该图解法的正确性. 11. 结合上述材料,方程x2-5x+6=0可以用图解法求解吗?若能,写出求解过程,若不能,请说明理由. 数学文化讲堂(三) 一 漏壶 漏壶也叫漏刻,古代利用滴水、沙多少来计量时间的一种仪器,按流媒分可分水漏和沙漏.其中水漏是以壶盛水,利用水均衡滴漏原理,观测壶中刻箭上显示的数据来计算时间.历史可追溯到夏、商时期.北师八上P81 1. 如图是一种古代计时器“漏壶”的示意图,在壶内盛有一定量的水,水从壶下的小孔漏出,壶壁上画有刻度,人们可以根据壶中水面的位置计算时间.若用x表示时间,y表示壶底到水面的高度,下面的图象适合表示一小段时间内y与x的函数关系的是(不考虑水量变化对压力的影响)(  ) 二 帕普斯与三等分角 帕普斯,古希腊数学家,3-4世纪人,也译巴普士.他是亚历山大学派的最后一位伟大的几何学家.三等分角是古希腊三大几何问题之一,如今数学上已证实三等分角虽然不能在尺规作图中解决此问题,但是帕普斯却利用反比例函数的图象及性质解决了此问题. 2. 帕普斯给出的一种方法是:如图,将给定的锐角∠AOB置于平面直角坐标系中,角的一边OA与y=的图象交于点P,以P为圆心、以2OP为半径作弧交y=的图象于点R.分别过点P和R作x轴和y轴的平行线,两线相交于点M,Q,连接OM. (1)为什么矩形PQRM的顶点Q在直线OM上? (2)你能说明∠MOB=∠AOB的理由吗? (3)当给定的已知角是钝角或直角时,怎么办? 第2题图 数学文化讲堂(四) 一 海伦——秦九韶公式 古希腊的几何学家海伦,约公元50年,在数学史上以解决几何测量问题而闻名.在他的著作《度量》一书中,给出了如下公式:若一个三角形的三边分别为a,b,c,记p=(a+b+c),那么三角形的面积为:S△ABC=(海伦公式).我国南宋时期数学家秦九韶(约1202~约1261),曾提出利用三角形的三边求面积的秦九韶公式:S△ABC=.海伦公式和秦九韶公式实质上是同一个公式,所以我们一般也称此公式为海伦——秦九韶公式.(人教八下P16,北师八上P51) 1. 若△ABC的三边长为5,6,7,△DEF的三边长为,,,请利用上面的两个公式分别求出△ABC和△DEF的面积. 2. 如图,在△ABC中,BC=5,AC=6,AB=9,求△ABC的内切圆半径. 第2题图 二 赵爽弦图 赵爽,三国吴人,是三国到南宋时期三百多年间中国杰出的数学家之一.他在注解《周髀算经》中给出的“赵爽弦图”证明了勾股定理的准确性,如图所示,四个全等的直角三角形可以围成一个大的正方形,中间空的是一个小正方形.通过对这个图形的切割、拼接、巧妙地利用面积关系证明了勾股定理.证明方法如下: 设直角三角形的三边中较短的直角边为a,另一直角边为b,斜边为c,朱实面积=2ab,黄实面积=(b-a)2=b2-2ab+a2,朱实面积+黄实面积=a2+b2=大正方形面积=c2.(人教八下P30,北师八下P16) 3. 如图,“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形构成的大正方形,若直角三角形的两边长分别为3和5,则小正方形的面积为________. 第3题图 第4题图 4. 如图是“赵爽弦图”,△ABH、△BCG、△CDF和△DAE是四个全等的直角三角形,四边形ABCD和EFGH都是正方形,如果AB=10,EF=2,那么AH等于________. 三 泰勒斯——全等 泰勒斯,公元前7至6世纪的古希腊时期的思想家、科学家、哲学家,希腊最早的哲学学派——米利都学派(也称爱奥尼亚学派)的创始人.泰勒斯是古希腊及西方第一个有记载有名字留下来的自然科学家和哲学家. 5. 相传泰勒斯利用三角形全等的方法求出岸上一点到海中一艘船的距离.如图,B是观察点,船A在B的正前方,过点B作AB的垂线,在垂线上截取任意长BD,C是BD的中点,观察者从点D沿垂直于BD的DE方向走,直到点E、船A和点C在一条直线上,那么△ABC≌△EDC,从而量出DE的距离即为船离岸的距离AB,这里判定△ABC≌△EDC的方法是(  ) 第5题图 A. SAS B. ASA C. AAS D. SSS 四 《海岛算经》 《海岛算经》是中国最早的一部测量数学专著,也是中国古代高度发达的地图学的数学基础.由刘徽于三国魏景元四年所撰,《海岛算经》共九问,都是用表尺重复从不同位置测望,取测量所得的差数,进行计算从而求得山高或谷深.(北师九上P104) 6. 该书中提出九个测量问题,其中一个为:有望深谷,偃矩岸上,令勾高六尺.从勾端望谷底,入下股九尺一寸.又设重矩于上,其矩间相去三丈.更从勾端望谷底,入上股八尺五寸.问谷深几何?题目的大意是:测量一个山谷AE的深度,拿一个高AB为6尺的矩尺△ABD放在岸上,从B端看谷底EG(D在BG上),下股AD为9尺1寸,向上平移矩尺3丈,现从B′端看谷底EG,上股A′D′为8尺5寸,试求谷深AE.(一丈=10尺=100寸) 第6题图 7. 某校王老师根据《海岛算经》中的问题,编了这样一道题:如图,甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿北偏东60°方向向海岛B航行,其速度为15海里/小时;乙船速度为20海里/小时,先沿正东方向航行1小时后,到达C港口接旅客,在C港口停留0.5小时后再沿东北方向开往B岛,B岛建有一座灯塔,在灯塔方圆5海里内都可以看见灯塔,问甲、乙两船哪一艘先看到灯塔,两船看到灯塔的时间相差多少?(精确到分钟,≈1.73,≈1.41) 第7题图 数学文化讲堂(五) 一 圆周率π 材料一 历史上,对于圆周率π的研究是古代数学一个经久不衰的话题,在我国,东汉初年《周髀算经》里就有“径一周三”的故率,公元前3世纪古希腊数学家阿基米德通过圆内接和外切正多边形逼近圆周的方法得到圆周率介于3和3之间.我国魏晋时期刘徽首创“割圆术”,南朝祖冲之进一步求得π的值,他是第一个将其精确到7位的人.(华师九下P68) 第1题图 1. 设半径为r的圆内接正n边形的周长为L,圆的直径为d,如图所示,当n=6时,π≈==3,那么当n=12时,π≈=________.(结果精确到0.01,参考数据:sin75°=cos15°≈0.966) 二 《九章算术》——方田 《九章算术》与古希腊欧几里得的《几何原本》并称现代数学的两大源泉,是中国古代《算经十书》中最重要的一种,它系统地总结了战国、秦、汉时期的数学成就,标志着以算筹为基础的中国古代数学体系的正式形成.全书分为9章,卷一“方田”中,详细记述了扇形、弓形、环形的面积计算方法. 材料二 “方田”篇中所记:宛田面积术曰:以径乘周,四而一.其中,宛田:扇形的田地;径:扇形的直径;周:扇形的弧长;意思是:扇形的面积=直径×弧长÷4. 2. 请完成下列问题: (1)请用所学公式证明古人方法是否正确; (2)我们将弧长与半径相等的扇形叫作“等边扇形”,试求面积为16的“等边扇形”的弧长为________. 材料三 “方田”篇中还记载:弧田面积术曰:以弦乘矢,矢又自乘,二而一.即给出了计算弧田面积的经验公式:(弦×矢+矢×矢)÷2.弧田(如图),由圆弧和其所对弦所围成,公式中“弦”指圆弧所对弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差(弓形的高). 3. 按照上述经验公式计算所得的弧田面积与其实际面积之间存在误差,现有圆心角为120°,弦长等于9米的弧田. (1)计算弧田的实际面积; (2)按照材料中的经验公式计算所得结果与(1)中计算的弧田面积相差多少平方米?(结果保留两位小数,≈1.732,π取3.14) 三 《周髀算经》 《周髀算经》,原名《周髀》,是算经的十书之一.中国最古老的天文学和数学著作,约成书于公元前1世纪,主要阐述当时的盖天说和四分历法. 材料四 《周髀算经》中记载:周公与商高对话中,商高提出“环矩以为圆”. 注解1:《中国数学史大系》第一卷中解释为:把矩的长短两只当作“规”的两只脚,直立于平面上,以矩的一端为枢,旋转时,另一端即可成圆.如图①. 注解2:中国近代著名数学家李俨注解:“直角三角形固定弦,其直角顶点的轨迹便是圆”,如图②,数学家梁宗臣的看法与李俨相同,并在其《世界数学史简编》注明. 请完成下列问题: 4. 注解1中,阐述了圆的定义:___________________________________________; 5. 注解2中说明直径所对的圆周角为________; 6. 已知一直角三角形的斜边长为4,结合材料,请探究这个直角三角形的面积是否存在最大值?若存在,请求出面积的最大值;若不存在,请说明理由. 四 婆罗摩笈多定理 婆罗摩笈多,是一位印度数学家和天文学家,写了两部关于数学和天文学的书籍.他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位,他的负数概念及加减法运算仅晚于中国的《九章算术》,而他的负数乘除法则在全世界都是领先的.他还提出了著名的婆罗摩笈多定理. 材料五 婆罗摩笈多定理的内容及部分证明过程如下: 已知:如图,四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC⊥BD于点P,PM⊥AB于点M,延长MP交CD于点N,求证:CN=DN. 证明:在△ABP和△BMP中,∵AC⊥BD,PM⊥AB, ∴∠BAP+∠ABP=90°,∠BPM+∠MBP=90°. ∴∠BAP=∠BPM. ∵∠DPN=∠BPM,∠BAP=∠BDC, ∴… 7. (1)请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程,完成剩余的证明部分. (2)已知:如图,△ABC内接于⊙O,∠B=30°,∠ACB=45°,AB=2.点D在⊙O上,∠BCD=60°,连接AD,与BC交于点P.作PM⊥AB于点M,延长MP交CD于点N,则PN的长为________. 第7题图 五 阿基米德折弦定理 阿基米德(公元前287~公元前212年,古希腊)是有史以来最伟大的数学家之一.他与牛顿、高斯并称为三大数学王子.阿拉伯Al-Binmi(973年~1050年)的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容,苏联在1964年根据Al-Binmi译本出版了俄文版《阿基米德全集》,第一题就是阿基米德折弦定理. 材料六  如图①,AB和BC是⊙O的两条弦(即折线ABC是圆的一条折弦),BC>AB,点M是的中点,则从点M向BC所作垂线的垂足D是折弦ABC的中点,即CD=AB+BD.下面是运用“截长法”证明CD=AB+BD的部分证明过程. 证明:如图②,在CB上截取CG=AB,连接MA,MB,MC和MG. ∵M是的中点, ∴MA=MC. … 8. (1)请按照上面的证明思路,写出该证明的剩余部分; (2)填空:如图,已知等边△ABC内接于⊙O,AB=2,D为上一点,∠ABD=45°,AE⊥BD于点E,则△BDC的周长是________. 第8题图 数学文化讲堂(六) 将军饮马问题 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”诗中隐含着一个有趣的数学问题. 如图所示,诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发,走到河边饮马后再到B点宿营,请问怎样走才能使总的路程最短? 这个问题早在古罗马时代就有了,传说亚历山大有一位精通数学和物理的学者,名叫海伦.一天,一位罗马将军专程去拜访他,向他请教这个百思不得其解的问题. 从此,这个被称为“将军饮马”的问题广泛流传. 1. 你能解决上面的问题吗?请画图说明. 2. 请利用将军饮马问题的模型解决下列问题: (1)几何应用:如图①,等腰直角三角形ABC的直角边长为2,E是斜边AB的中点,P是AC边上的一动点,则PB+PE的最小值为________. (2)几何拓展:如图②,△ABC中,AB=2,∠BAC=30°,若在AC、AB上各取一点M、N,使BM+MN的值最小,求这个最小值; (3)代数应用:求代数式+(0≤x≤4)的最小值. 第2题图 数学文化讲堂(一)答案 1. -33+45=+12 2. -(5-3);-(5+3) 3. (1)a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5; (2)1024; (3)1 【解析】25-5×24+10×23-10×22+5×21-15=(2-1)5=15=1. 4.  【解析】观察图表可知以下规律:是第几行就有几个分数;每行每个分数的分子都是1;每行第一个分数的分母为行号,每行首尾对称.如第n行第一个分数为,第二个分数为;故第9行,从左到右第2个数是=. 5. 672 【解析】观察数列发现,偶数的位置位于第3个数,第6个数,第9个数,…,由于2018÷3=672……2,则共有672个偶数. 6. (-6,25) 【解析】由题意可知,P1(0,1),P2(-1,0),P3(0,-1),P4(2,1),P5(-1,4),P6(-6,-1),结合斐波那契数可以看出,这组数据是以P1(0,1)为起点,向右转动,横坐标加对应的斐波那契数,向上转纵坐标加斐波那契数,向左转横坐标减斐波那契数,向下转纵坐标减斐波那契数.由此可知P7(2,-9),P8(15,4),P9(-6,25). 7. 解:根据题意分析,可以推理得出每一个月的兔子的对数,如下表所示: 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 兔子 对数 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 从上表中的数据可得,1年以后即第13个月可以繁殖144+89=233对小兔子. 8. 解:第1个数,当n=1时, ×[()n-()n] =×(-) =× =1. 第2个数,当n=2时, ×[()n-()n] =×[()2-()2] =×(+)×(-) =×1× =1. 数学文化讲堂(二)答案 1. D 2. C 【解析】设主人的马日行x里,由题意得×(-)x=300×[×(-)+],解得x=780,故选C. 3. 4. 解:设共有x人,依题意得: 8x-3=7x+4, 解得x=7, 8x-3=8×7-3=53, 答:共有7个人,物品价格为53元. 5. C 6. 7. 解:设鸡有x只,兔有y只,由题意 得, 解得, 答:笼中鸡有23只,兔有12只. 8. B 【解析】设这个塔顶层有a盏灯,则a+2a+4a+8a+16a+32a+64a=381,解得a=3. 9.  【解析】根据等量关系为“大和尚的人数+小和尚的人数=100,大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100”,列出方程组,设大和尚x人,小和尚y人,由题意可得. 10. 解:(1)设该店有客房x间,房客y人; 根据题意得: ,解得. 答:该店有客房8间,房客63人; (2)若每间客房住4人,则63名客人至少需客房16间,需付费20×16=320钱; 若一次性定客房18间,则需付费20×18×0.8=288钱<320钱; 答:若诗中“众客”再次一起入住,他们应选择一次性订房18间更合算. 11. 解:∵∠ACB=90°,BC=,AC=b, ∴AB=, ∴AD=- =. 解方程x2+ax-b2=0得, x1=, x2=, 则AD的长是方程的正根. 12. 解:不能,BD=-,作图不能表示出BD的长 数学文化讲堂(三)答案 1. B 【解析】由题意知,开始时,壶内盛一定量的水,所以y的初始位置应该大于0,可以排除A、D选项;由于漏壶漏水的速度不变,所以题图中的函数应该是一次函数,可以排除C选项,故选B. 2. 解:(1)设P、R两点的坐标分别为P(a1,),R(a2,), 则Q(a1,),M(a2,). 设直线OM的关系式为y=kx(k≠0), ∵当x=a2时,y=. ∴=ka2,∴k=, ∴直线OM的解析式为y=x. 当x=a1时,y=, ∴Q(a1,)在直线OM上; (2)∵四边形PQRM是矩形, ∴PC=PR=MQ=CM, ∴∠2=2∠3. ∵PR=2OP, ∴PC=OP, ∴∠1=∠2, ∵∠3=∠4, ∴∠1=2∠4, 即∠MOB=∠AOB; (3)当给定的已知角是钝角或直角时,钝角或直角的一半是锐角,该锐角可以用此方法三等分. 数学文化讲堂(四)答案 1. 解: 当△ABC的三边长为5,6,7时,则p=×(5+6+7)=9, ∴S△ABC==6, 当△DEF的三边长为,,时, S△DEF==. 2. 解:由题意得p=×(5+6+9)=10,则 S==10. ∵S=r(AC+BC+AB), ∴10=r(5+6+9), 解得r=, 故△ABC的内切圆半径为. 3. 1或4 【解析】分两种情况:①5为斜边时,由勾股定理得,另一直角边长==4,∴小正方形的边长=4-3=1,∴小正方形的面积=12=1;②3和5为两条直角边长时,小正方形的边长=5-3=2,∴小正方形的面积=22=4;综上所述,小正方形的面积为1或4. 4. 6 【解析】设AH=x,则AE=x+2,由四个全等的直角三角形可得DE=AH=x,在Rt△DAE中,由勾股定理得:AD2=AE2+DE2,即102=(x+2)2+x2,解得x=6或x=-8(舍去). 5. B 6. 解:∵AD∥EG, ∴△BAD∽△BEG, ∴=, ∴=, ∵A′D′∥EG, ∴△B′A′D′∽△B′EG, ∴=, ∴=, ∴9.1(6+AE)=8.5(36+AE), ∴解得AE=419(尺), ∴谷深AE为41丈9尺. 7. 解:如解图,过点B作BD⊥AC,交AC的延长线于点D,设BD=x, 在Rt△BCD中, 第7题解图 ∵∠BCD=45°, ∴BC==x, 在Rt△ABD中, ∵∠ABD=60°, ∴AD=BD·tan60°=x,AB==2x, ∵AC=20×1=20(海里),AC+CD=AD, ∴20+x= x, 解得x=10(+1)海里, ∴AB=2x=20(+1)海里, BC=x=10(+1)海里, ∴t甲=(AB-5)÷15×60 =(20+20-5)÷15×60 ≈198.4(分钟), t乙=(AC+BC-5)÷20×60+0.5×60 =[20+10(+1)-5]÷20×60+30 ≈190.5(分钟). ∵t甲>t乙, t甲-t乙≈8(分钟), ∴乙船先看到灯塔,两艘船看到灯塔的时间相差约8分钟. 数学文化讲堂(五)答案 1. 3.11. 2. 解:(1)正确.S扇形=lr=l×=ld; (2)4. 【解法提示】设半径为r,∵“等边扇形”的弧长与半径相等,∴l=r,∴16=2r×r÷4,解得r=4,∴扇形的弧长l=4. 3. 解:(1)如解图,在△OAB中,AB=9,∠AOB=120°, 则∠AOC=60°,∠ACO=90°, 则AC=,∴OA=3,OC=. 则可知扇形的半径r=3, 所以S△AOB=×9×=, S扇形AOB==9π, 所以S弧田=(9π-)平方米. 第3题解图 (2)由(1)知矢长为r=OA-=, 根据经验公式的S弧田=×[9×+()2]=(+)平方米. ∴9π---≈1.50(平方米). 按照弧田面积经验公式所得结果比实际少1.50平方米. 4. 平面上到定点的距离为定值的所有的点的集合即为圆. 5. 直角. 6. 解:存在. 由注解2可知,该直角三角形的直角顶点在直径为4的圆上, ∴该直角三角形斜边上的高的最大值为2, ∵斜边长为4是定值, ∴该直角三角形的面积存在最大值,且面积的最大值为×4×2=4. 7. (1)剩余证明过程如下: ∴∠DPN=∠BDN,∴DN=PN, 同理,PN=CN,∴CN=DN. (2)解:1 【解法提示】∵∠ACB=45°,∠BCD=60°,∴∠ACD=105°.又∵∠D=∠B=30°,∴∠DAC=180°-∠ACD-∠D=45°,∴∠APC=180°-∠DAC-∠ACB=90°,PA=PC.在△ABP和△CDP中,,∴△ABP≌△CDP,∴CD=AB=2.∵AD⊥BC,PM⊥AB,由婆罗摩笈多定理得,CN=DN,∵∠CPD=90°,∴PN=CD=1. 8. 解:(1)剩余证明过程如下: ∵CG=AB,∠A=∠C, ∴△MBA≌△MGC(SAS), ∴MB=MG. 在△MBG中,MD⊥BG, ∴BD=GD, ∴CD=CG+GD=AB+BD; (2)2+2. 【解法提示】∵△ABC为等边三角形,∴点A为的中点,BD和DC为⊙O中的两条弦,BD>DC,又∵AE⊥BD,∴垂足E为折弦BDC的中点,∴△BDC的周长=BD+DC+BC=2BE+BC,在Rt△ABE中,∠ABD=45°,AB=2,∴AE=BE=,∴△BDC的周长为2+2. 数学文化讲堂(六)答案 1. 解:如解图所示,从A出发向河岸引垂线,垂足为D,在AD的延长线上,取A关于河岸的对称点A′,连接A′B,与河岸线相交于C,则C点就是饮马的地方,将军只要从A出发,沿直线走到C,饮马之后,再由C沿直线走到B,所走的路程就是最短的. 如果将军在河边的另外任一点C′饮马,所走的路程就是AC′+C′B,但是,AC′+C′B=A′C′+C′B>A′B=A′C+CB=AC+CB. 可见,在C点外任何一点C′饮马,所走的路程都要远一些. 这有几点需要说明的: (1)由作法可知,河流l相当于线段AA′的中垂线,所以AD=A′D. (2)将军走的路程是AC+BC,就等于A′C+BC,而两点之间线段最短,所以C点为最优. 第1题解图 2. 解:(1); 【解法提示】如解图①所示,作点B关于AC对称的对称点B′,连接B′E交AC于点P, 第2题解图① 此时PB+PE的值最小.连接AB′. 在Rt△ACB中, AB′=AB===2. ∴AE=AB=, ∵∠B′AC=∠BAC=45°, ∴∠B′AB=90°, ∴PB+PE的最小值=B′E===. (2)如解图②,作点B关于AC对称的对称点B′,过B′作B′N⊥AB于N,交AC于M.连接BM,AB′,此时BM+MN的值最小,即BM+MN=B′M+MN=B′N. ∵点B′与B关于AC对称, ∴AB′=AB, 又∵∠BAC=30°, ∴∠B′AB=60°, ∴△B′AB是等边三角形, ∴B′B=AB=2,∠B′BN=60°, 又∵B′N⊥AB, ∴B′N=B′B·sin∠B′BN=2×=; 第2题解图② (3)构造图形,如解图③所示, 其中AB=4,AC=1,DB=2,AP=x,CA⊥AB于点A,DB⊥AB于点B. ∵PC+PD=+, ∴所求的最小值就是求PC+PD的最小值. 作点C关于AB的对称点C′,过C′作C′E⊥DB,交DB延长线于点E.则C′E=AB=4,DE=2+1=3, ∴C′D===5, ∴所求代数式的最小值是5. 第2题解图③

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  • ID:3-745117 遵义市2010年初中毕业生学业(升学)综合练习题数学(三)试题卷

    初中数学/人教版/九年级下册/本册综合

    1. | |的值是( ) A. B. C. D. 2.2009年2月25日,法国巴黎佳士得拍卖行将我国圆明园流失文物鼠首和兔首分别以1400万欧元拍卖,此举伤害中国人民的感情。“1400万”用科学计数法表示为( ) A. B. D. D. 3. 如图,已知AB//CD,则下列结论正确的是( ) A.∠1=∠2+∠3 B.∠1=2∠2+∠3 C. ∠1=2∠2-∠3 D. ∠1=180 -∠2-∠3 4.函数 的自变量x的取值范围在数轴上可表示为 ( ) A. B. C. D. 5. 下列图形中,既是中心对称,又是轴对称图形的是( ) A. B. C.

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  • ID:3-745090 遵义市2010年初中毕业生学业(升学)综合练习题

    初中数学/中考专区/模拟试题

    1. | |的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2.某城市要在一城乡结合部修一条春光大道,需要搬迁500000平方米的住房,如果按每平方米1500元赔付被迁民房,那么,搬迁赔付费用科学计数法表示正确的是( ) A. B. D. D. 3. 的立方根是( ) A.3 B. C. D. 9 4.在温哥华冬奥会1500米短跑道速滑决赛中,八名运动员的年龄(单位:岁)分别为:20,25,26,27,27,28,30,35这组数据的中位数和众数是( ) A.26和27 B.27和28 C. 27和27 D.26和27.5 5. 如图,在直角梯形ABCD中,AB//DC, 。将直角梯形ABCD绕边AD旋转一周,所得几何体的俯视图是( )

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  • ID:3-745086 2011年遵义市数学中考适应性考试(四)

    初中数学/中考专区/模拟试题

    1. 如果零上 记为+ ,那么零下 记作( ) A. B. C. D. 2.我们从不同的方向观察同一物体时,可以看到不同的平面图形,如图,从图的左面看这个几何体的左视图是( ) A. B. C. D. 3. 某位同学一次掷出的三个骰子全是“6”的事件是( ) A.不可能事件 B.必然事件 C. 不确定事件,可能性较大 D. 不确定事件,可能性较小 4.不等式组 的解集是 ( ) A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. 6. 如图,P是反比例函数 在第一象限分支上的一个动点, 轴,随着 的逐渐增大,△APO的面积将( )

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  • ID:10-651174 第三节 “燕赵沃野”-河北省

    初中地理/湘教版/八年级下册//第二章 沿海万里行/第三节 “燕赵沃野”——河北省

    依据提纲 自主学习 目标要求: 1、河北省的命名原因? 2、河北省为什么称作“燕赵之地”? 3、找到河北省的邻居? 4、被河北省环抱的直辖市? 5、在河北省地形图上找到黄河、海河、燕山、华北平原、太行山和长城。 科代表带领学生自学的同时,注意与相应的题目结合,做到学练结合

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  • ID:10-651173 第二节 “华北门户”-天津市

    初中地理/湘教版/八年级下册//第二章 沿海万里行/第二节 “华北门户”——天津市

    复习旧课引人,老师出示“中国政区”图,复习北京的有关知识,然后提问:离北京最近的中央直辖市叫什么? 很多同学喜欢吃包子,你们吃过“狗不理包子”吗?没吃过也很可能听说过,“天津包子狗不理”乃中国食品一绝,今天我们去“狗不理包子”的故乡,开始沿海万里行的第二站——天津。 在讲述“天津市的地理位置”时,可按以下步骤进行: 1.用多媒体课件展示“中国政区”图,然后点击京津唐地区,逐渐放大,再点击北京、天津,使其区位点闪烁,问:天津在北京的什么方向? 2.用多媒体展示“天津地形” 图,得出:天津地处华北平原东北部,海河流域下游,东临渤海,北依燕山,西北倚首都北京,距北京约130千米,是北京

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  • ID:6-473209 第七章《密度与浮力》学案

    初中物理/沪科版/八年级/第五章 质量与密度/本章综合与测试

    第七章《密度与浮力》(复习课)导学案 一、学习目标 1、认识质量是物体的一种属性,建立质量的概念。能进行质量单位的换算。 2、学会使用天平测量物体的质量,会使用量筒测量物体的体积,会测量物质的密度。 3、建立密度概念,熟悉密度公式、单位,能利用密度公式进行相关计算 4、认识浮力的含义,浮力的大小与什么因素有关,浮力的大小三个实验的过程,认识阿基米德原理。 5、熟悉物体浮沉的条件及生产生活中的应用。 二、学习活动设计 (一)构建知识网络 按照下表所列顺序,回忆所学知识,填写相关内容,形成本单元知识网络。(个人完成后,小组交流,提出小组问题)   1、定义:   2、特点: 3、单位: 4、测量工具: 1、定义: 2、特点: 3、公式: 4、单位: 5、物理意义: 1、内容         3、阿基米德原理     2、公式        一、天

    • 2010-03-12
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  • ID:3-238225 2009年中考数学试题分类汇编(四边形分类)

    初中数学/中考专区/一轮复习

    1、(2009安徽芜湖4)下列命题中不成立的是( ) A.矩形的对角线相等 B.三边对应相等的两个三角形全等 C.两个相似三角形面积的比等于其相似比的平方 D.一组对边平行,另一组对边相等的四边形一定是平行四边形 2.(2009福建漳州8)如图,要使 成为矩形,需添加的条件是( ) A. B. C. D. 3.(广西桂林10)如图, ABCD中,AC、BD为对角线,BC=6,BC边上的高为4,则阴影部分的面积为( ). A.3 B.6 C.12 D.24 4.(广西桂林12)如图,正方形ABCD的边长为2,将长为2的线段QR的两端放在正方形的相邻的两边上同时滑动.如果Q点从A点出发,沿图中所示方向按A→B→C→D→A滑动到A止,同时点R从B点出发,沿图中所示方向按B→C→D→A→B滑动到B止,在这个过程中,线段QR的中点M所经过的路线围成的图形的面积为( ). A.2 B. C. D.

    • 2010-03-12
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