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资源 文章 汇编
  • ID:10-6926031 2020届全国100所名校高考模拟金典卷地理(6套)

    高中地理/高考专区/模拟试卷

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    • 2020-02-23
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  • ID:3-6925852 2.3.2离散型随机变量的方差(共39张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第二章 随机变量及其分布/2.3离散型随机变量的均值与方差

    (共39张PPT) 2.3.2离散型随机变量的方差 复习回顾 1 .离散型随机变量 X 的均值 均值反映了离散型随机变量取值的平均水平. 2 . 两种特殊分布的均值 (1)若随机变量X服从两点分布,则EX=p. (2)若X~B(n,p) ,则EX=np. 数学期望是离散型随机变量的一个特征数,它反映了离散型随机变量取值的平均水平,表示了随机变量在随机实验中取值的平均值,所以又常称为随机变量的平均数、均值. 今天,我们将对随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度进行研究. 要从两名同学中挑选出一名,代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录, 第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为 X1 5 6 7 8 9 10 P 0.03 0.09 0.20 0.31 0.27 0.10 第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为 根据已学知识,可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低,即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低. 通过计算 X2 5 6 7 8 9 P 0.01 0.05 0.20 0.41 0.33 E(X1)=8,E(X2)=8, 发现两个均值相等,因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平. 除平均中靶环数外,还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗? 图(1)(2)分别表示X1和X2的分布列图. 比较两个图形,可以发现,第二名同学的射击成绩更集中于8环,即第二名同学的射击成绩更稳定. (1) (2) 怎样定量刻画随机变量的稳定性? 1.方差 设离散型随机变量X的分布列为 则(xi-E(X))2描述了xi(i=1,2,…,n)相对于均值E(X)的偏离程度. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 为这些偏离程度的加权平均,刻画了随机变量 X 与其均值 EX 的平均偏离程度.我们称 DX为随机变量 X 的方差(variance). 其算术平方根 为随机变量X的标准差(standard deviation). 记为 随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度.方差或标准差越小,则随机变量偏离于均值的平均程度越小. 说明:随机变量集中的位置是随机变量的均值;方差或标准差这种度量指标是一种加权平均的度量指标. 随机变量的方差与样本的方差有何联系与区别? 随机变量的方差是常数,而样本的方差是随着样本的不同而变化的,因此样本的方差是随机变量. 对于简单随机样本,随着样本容量的增加,样本方差越来越接近总体方差,因此常用样本方差来估计总体方差. 现在,可以用两名同学射击成绩的方差来刻画他们各自的特点,为选派选手提供依据.由前面的计算结果及方差的定义,得 因此第一名同学的射击成绩稳定性较差,第二名同学的射击成绩稳定性较好,稳定于8环左右. 2.几点重要性质 (1)若X服从两点分布,则D(X)=p(1-p); (2)若X~B(n,p),则D(X)=np(1-p); (3)D(aX+b)=a2D(X). A、B两台机床同时加工零件,每生产一批数量较大的产品时,出次品的概率如下表所示: 问哪一台机床加工质量较好? 次品数ξ1 0 1 2 3 概率P 0.7 0.2 0.06 0.04 次品数ξ1 0 1 2 3 概率P 0.8 0.06 0.04 0.10 解: Eξ1=0×0.7+1×0.2+2×0.06+3×0.04=0.44, Eξ2=0×0.8+1×0.06+2×0.04+3×0.10=0.44. 它们的期望相同,再比较它们的方差 Dξ1=(0-0.44)2×0.7+(1-0.44)2×0.2+(2-0.44)2 ×0.06+(3-0.44)2×0.04=0.6064, Dξ2=(0-0.44)2×0.8+(1-0.44)2×0.06+(2-0.44)2 ×0.04+(3-0.44)2×0.10=0.9264. ∴Dξ1< Dξ2 故A机床加工较稳定、质量较好. 有甲乙两个单位都愿意聘用你,而你能获得如下信息: 根据工资待遇的差异情况,你愿意选择哪家单位? 甲单位不同职位月工资X1/元 1200 1400 1600 1800 获得相应职位的概率P1 0.4 0.3 0.2 0.1 乙单位不同职位月工资X2/元 1000 1400 1800 2200 获得相应职位的概率P2 0.4 0.3 0.2 0.1 解:根据月工资的分布列,利用计算器可算得 分析: 因为 ,所以两家单位的工资均值相等,但甲单位不同职位的工资相对集中,乙单位不同职位的工资相对分散. 这样,如果你希望不同职位的工资差距小一些,就选择甲单位; 如果你希望不同职位的工资差距大一些,就选择乙单位. 有同寝室的四位同学分别写一张贺年卡,先集中起来,然后每人去拿一张,记自己拿自己写的贺年卡的人数为X. (1)求随机变量的概率分布; (2)求X的数学期望和方差. 解:(1) 因此X的分布列为 (2) X 0 1 2 3 4 P 9/24 8/24 6/24 0 1/24 有一庄家为吸引顾客玩掷骰子游戏,以便自己轻松获利,以海报形式贴出游戏规则:顾客免费掷两枚骰子,把掷出的点数相加,如果得2或12,顾客中将30元;如果得3或11,顾客中将20元;如果得4或10,顾客中将10元;如果得5或9,顾客应付庄家10元;如果得6或8,顾客应付庄家20元;如果得7,顾客应付庄家30元.试用数学知识解释其中的道理.   解?: 设庄家获利的数额为随机变量,根据两枚骰子的点数之和可能的结果以及游戏规则可得随机变量的概率分布为: 因此,顾客每玩36人次,庄家可获利约260元,但不确定顾客每玩36人次一定会有些利润;长期而言,庄家获利的均值是这一常数,也就是说庄家一定是赢家. X -30 -20 -10 10 20 30 P 2/36 4/36 6/36 8/36 10/36 6/36 1.熟记方差计算公式 2. 三个重要的方差公式 (1)若 X 服从两点分布,则 (2)若 ,则 3.求离散型随机变量X的方差、标准差的一般步骤: ①理解X 的意义,写出X 可能取的全部值; ②求X取各个值的概率,写出分布列; ③根据分布列,由期望的定义求出 EX; ④根据方差、标准差的定义求出 、 1. (2019年天津)某公司有5万元资金用于投资开发项目,如果成功,一年后可获利12%,一旦失败,一年后将丧失全部资金的50%,下表是过去200例类似项目开发的实施结果: 则该公司一年后估计可获收益的期望是_____(元). 投资成功 投资失败 192次 8次 [答案]4760 提示:分布列为 故 ξ 0.6 -2.5 P 192/200 8/192 2.(2018年天津)甲、乙两种冬小麦试验品种连续5年的平均单位面积产量如下(单位:5t/hm2)表所示: 则其中产量比较稳定的小麦品种是_______. [答案]甲种 品种 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年 甲 9.8 9.9 10.1 10 10.2 乙 9.4 10.3 10.8 9.7 9.8 3.(2018年湖北)某突发事件,在不采取任何预防措施的情况下发生的概率为0.3,一旦发生,将造成400万元的损失.现有甲、乙两种相互独立的预防措施可供采用,单独采用甲、乙预防措施所需的费用分别为45万元和30万元,采用相应预防措施后此突发事件不发生的概率分别为0.9和0.85,若预防方案允许甲、乙两种预防措施单独采用,联合采用或不采用,请确定预防方案使总费用最少. (总费用=采取预防措施的费用+发生突发事件损失的期望值) [解析] ①不采用预防措施时,总费用即损失期望值为400×0.3=120(万元); ②若单独采取措施甲,则预防措施费用为45万元,发生突发事件的概率为1-0.9=0.1,损失期望值为400×0.l=40(万元),所以总费用为45+40=85(万元); ③若单独采取预防措施乙,则预防措施费用为30万元,发生突发事件的概率为1-0.85=0.15,损失期望值为400×0.15=60(万元),所以总费用为30+60=90(万元); ④若联合采取甲、乙两种预防措施,则预防措施费用为45+30=75(万元),发生突发事件的概率为(1-0.9)(1-0.85)=0.015,损失期望值为400×0.015=6(万元),所以总费用为75+6=81(万元). 综合①、②、③、④,比较其总费用可知,应选择联合采取甲、乙两种预防措施,可使总费用最少. 1.填空 (1)已知x~B(100,0.5),则 Ex=___,Dx=____,sx=___. E(2x-1)=____, D(2x-1)=____, s(2x-1)=_____. 50 25 5 99 100 10 (1)已知随机变量x的分布列如上表,则E x与D x的值为( ) A. 0.6和0.7 B. 1.7和0.3 C. 0.3和0.7 D. 1.7和0.21 (2)已知x~B(n,p),E x =8,D x =1.6,则n, p的值分别是( ) A.100和0.08; B.20和0.4;   C.10和0.2;  D.10和0.8 2.选择 √ √ x 1 2 P 0.3 0.7 3.解答题 (1) 一盒中装有零件12个,其中有9个正品,3个次品,从中任取一个,如果每次取出次品就不再放回去,再取一个零件,直到取得正品为止.求在取得正品之前已取出次品数的期望. 分析:涉及次品率;抽样是否放回的问题.本例采用不放回抽样,每次抽样后次品率将会发生变化,即各次抽样是不独立的.如果抽样采用放回抽样,则各次抽样的次品率不变,各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件. 解:设取得正品之前已取出的次品数为ξ,显然 ξ所有可能取的值为0,1,2,3 ①当ξ=0时,即第一次取得正品,试验停止,则 P(ξ=0)= ②当ξ=1时,即第一次取出次品,第二次取得正品,试验停止,则 P(ξ=1)= ③当ξ=2时,即第一、二次取出次品,第三次取得正品,试验停止,则 P(ξ=2)= ④当ξ=3时,即第一、二、三次取出次品,第四次取得正品,试验停止,则 P(ξ=3)= 所以,Eξ= (2)有一批数量很大的商品的次品率为1%,从中任意地连续取出200件商品,设其中次品数为ξ,求Eξ,Dξ 分析:涉及产品数量很大,而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题. 解答本题,关键是理解清楚:抽200件商品可以看作200次独立重复试验,即ξ~B(200,1%),从而可用公式:Eξ=np,Dξ=npq(这里q=1-p)直接进行计算. 由于产品数量很大,因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响很小,所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的. 解: 因为商品数量相当大,抽200件商品可以看作200次独立重复试验,所以ξ~ B(200,1%) 因为Eξ=np,Dξ=npq,这里n=200,p=1%,q=99%, 所以, Eξ=200×1%=2,Dξ=200×1%×99%=1.98.

    • 2020-02-23
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  • ID:3-6925842 2.3.1离散型随机变量的均值(共36张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第二章 随机变量及其分布/2.3离散型随机变量的均值与方差

    (共36张PPT) 2.3.1离散型随机变量的均值 (1)离散型随机变量的分布列: 复习回顾 X x1 x2 … xi … P p1 p2 … pi … (2)离散型随机变量分布列的性质: ①pi≥0,i=1,2,…; ②p1+p2+…+pi+…=1. 对于离散型随机变量,可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率.但在实际问题中,有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征. 某商场要将单价分别为18元/kg,24元/kg,36元/kg的三种糖果按3:2:1的比例混合 ,如何对混合糖果定价才合理? 由于平均每1kg的混合糖果中,3种糖果的质量分别是1/2kg,1/3kg和1/6kg,所以混合糖果的合理价格应该是 18× (1/2)+24× (1/3)+36× (1/6)=23(元/kg). 它是三种糖果价格的一种加权平均,这里的权数分别是1/2,1/3和1/6. 如果混合糖果中每一颗糖果的质量都相等,你能解释权数的实际含义吗? 根据古典概型计算概率的公式可知,在混合糖果中,任取一颗糖果,这颗糖果为第一、二、三种糖果的概率分别为1/2,1/3,1/6,即取出的这颗糖果的价格为18元/kg,24元/kg或36元/kg的概率分别是1/2,1/3,1/6.用X表示这颗糖果的价格,则它是一个离散型随机变量,其分布列为 因此权数恰好是随机变量X取每种价格的概率. X 18 24 36 P 1/2 1/3 1/6 1.均值 一般地,若离散型随机变量X的分布列为 则称 E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 为随机变量X的均值或数学期望.它反映了离散型随机变量的平均水平. X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 2. E(aX+b)=aE(X)+b 若Y=aX+b,其中a,b为常数,则Y也是随机变量.因为 P(Y=axi+b)=P(X=xi),i=1,2,…,n, 所以,Y的分布列为 X ax1+b ax2+b … axi+b … axn+b P p1 p2 … pi … pn 于是 E(Y) = (ax1+b)p1+(ax2+b)p2+…+(axi+b)pi+…+(axn+b) pn =a(x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn)+b(p1+p2+…+pi+…+pn =aE(X)+b, 即 E(aX+b)=aE(X)+b 已知某射手射击所得环数ξ的分布列如下 在n次射击之前,可以根据这个分布列估计n次射击的平均环数. ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 解: 由该射手射击所得环数ξ的分布列可知 E(ξ) =4×0.02+5×0.04+6×0.06+7×0.09+8×0.28+9×0.29+10×0.22 =8.32 所以,可以估计该射手n次射击的平均环数为8.32. 随机抛掷一个骰子,求所得骰子的点数X的均值. 解: x 1 2 3 4 5 6 P 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7,那么他罚球1次的得分X的均值是多少? 解:因为P(X=1)=0.7,P(X=0)=0.3,所以 E(X)=1×P(X=1)+0×P(X=0) =1×0.7+0×0.3    =0.7 2. 两点分布的均值 一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么 E(X)=1×p+0× (1-p)=p. 于是有 若X服从两点分布,则E(X)=p. 3.二项分布的均值 如果X~B(n,p),那么由kCnk=nCn-1k-1,可得 E(X)=∑kCnkpkqn-k =∑ npCn-1k-1pk-1q(n-1)-(k-1) =np∑Cn-1kpkqn-1-k =np 于是有 k=0 n k=1 n k=0 n-1 若X~B(n,p),则E(X)=np. 一次英语单元测验由20个选择题构成,每个选择题有4个选项,其中有且仅有一个选项是正确答案,每题选择正确答案得5分,不作出选择或选错不得分,满分100分. 学生甲选对任一题的概率为0.9,学生乙则在测验中对每题都从4个选项中随机地选择一个. 求学生甲和学生乙在这次英语单元测验中的成绩的均值. 解?: 设学生甲和学生乙在这次英语测验中选择了正确答案的选择题个数分别是ξ和η,则 ξ~B(20,0.9),η~B(20,0.25), Eξ=20×0.9=18,Eη=20×0.25=5. 由于答对每题得5分,学生甲和学生乙在这次英语测验中的成绩分别是5ξ和5η.所以,他们在测验中的成绩的均值分别是 E(5ξ)=5Eξ=5×18=90, E(5η)=5Eη=5×5=25. 某城市出租汽车的起步价为10元,行驶路程不超出4km时租车费为10元,若行驶路程超出4km,则按每超出lkm加收2元计费(超出不足lkm的部分按lkm计).从这个城市的民航机场到某宾馆的路程为15km.某司机经常驾车在机场与此宾馆之间接送旅客,由于行车路线的不同以及途中停车时间要转换成行车路程(这个城市规定,每停车5分钟按lkm路程计费),这个司机一次接送旅客的行车路程ξ是一个随机变量.设他所收租车费为η. (Ⅰ)求租车费η关于行车路程ξ的关系式; (Ⅱ)若随机变量ξ的分布列为 求所收租车费η的数学期望. (Ⅲ)已知某旅客实付租车费38元,而出租汽车实际行驶了15km,问出租车在途中因故停车累计最多几分钟? ξ 15 16 17 18 P 0.1 0.5 0.3 0.1 解: (Ⅰ)依题意得η=2(ξ-4)十10,即 η=2ξ+2; (Ⅱ)Eξ=15*0.1+16*0.5+17*0.3+18*0.1=16.4 ∵ η=2ξ+2 ∴ Eη= 2Eξ+2=34.8 (元) 故所收租车费η的数学期望为34.8元. (Ⅲ)由38=2ξ+2,得ξ=18,5(18-15)=15 所以出租车在途中因故停车累计最多15分钟 . 1. 期望的概念 E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn 2. 期望的意义 离散型随机变量的期望,反映了随机变量取值的平均水平. 3. 期望的计算公式 E(aX+b)=aE(X)+b 4.求离散型随机变量ξ的期望的基本步骤 (1)理解ξ的意义,写出ξ可能取的全部值; (2)求ξ取各个值的概率,写出分布列; (3)根据分布列,由期望的定义求出Eξ. 5. 两个特殊随机变量的均值 (1)二次分布的期望:Eξ=np; (2)两点分布的期望:Eξ=p. 1. (2019年四川卷)设离散性随机变量 可能取的值为1,2,3,4 ,P(ξ=k)=ak+b(k=1,2,3,4)又ξ的数学期望Eξ=3,则a+b= _______. 2.(2018年山东卷理)甲乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为 ,乙队中3人答对的概率分别为 且各人正确与否相互之间没有影响.用ε表示甲队的总得分. (Ⅰ)求随机变量ξ分布列和数学期望; (Ⅱ)用A表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用B表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求P(AB). (I)由题意知,ξ的可能取值为0,1,2,3,且 所以ξ的分布列为 所以ξ的数学期望为 ξ 0 1 2 3 P 1/27 2/9 4/9 8/27 (II)用C表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用D表示“甲得3分乙得0分”这一事件,AB=C∪D,C,D互斥. 1.填空 (1)某射手对目标进行射击,直到第一次命中为止,每次命中率为0.6,现共有子弹4颗,命中后尚剩余子弹数目ξ的数学期望是___________ . 2.376 (2)有两台在两地独立工作的雷达,每台雷达发现飞行目标的概率分别为0.9和0.85,设发现目标的雷达台数为ξ,则Eξ=___________ . 1.75 (1)在一次歌手大奖赛上,七位评委为歌手打出的分数如下: 9.4 8.4 9.4 9.9 9.6 9.4 9.7 去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均值和方差分别为( ) A.9.4,0.484 B.9.4,0.016 C.9.5,0.04 D.9.5,0.016 2.选择 √ (2)口袋中有5只相同的球,编号为1、2、3、4、5,从中任取3球,用ξ表示取出的球的最大号码,则Eξ= ( ) A.4 B.4.5 C.4.75 D.5 (3)一个袋中装有大小相同的3个红球和2个黄球,从中同时取出2个,则其中含红球个数的均值是( ) A、0.4 B、1 C、1.2 D、1.5 √ √ 3.解答题 (1)离散型随机变量 X 的概率分布列为 ①求X可能取值的算术平均数 ②求X的均值 解:① ② X 1 100 P 0.01 0.99 (2)若一部机器在一天内发生故障的概率为0.2,机器发生故障时全天停止工作。一周5个工作日里无故障可获利10万元,发生一次故障可获利5万元,发生两次故障没有利润,发生三次或三次以上故障就亏损2万元,求一周内平均获利多少元? (保留三位有效数字). 解:设一周内机器发生故障的次数为ξ,则ξ的分布列为: 那么,随机变量利润η的分布列为: Eη=10×0.32768+5×0.4096+(2)×0.05792 =5.20896≈5.21 ξ 0 1 2 ≥3 P(ξi) 0.85 C510.2×0.84 C520.22×0.83 1- 0.85- C510.2×0.84-C520.22×0.83 η 10 5 0 -2 P(ηi) 0.32768 0.4096 0.2048 0.05792 (3)某商场举行抽奖促销活动,抽奖规则是:从装有9个白球、1个红球的箱子中每次随机地摸出一个球,记下颜色后放回,摸出一个红球可获得奖金10元;摸出两个红球可获得奖金50元.现有甲、乙两位顾客,规定:甲摸一次,乙摸两次.令ξ表示甲、乙两人摸球后获得的奖金总额,求: (1)ξ的分布列; (2)ξ的数学期望. (1) ζ的所有可能的取值为0,10,20,50,60.

    • 2020-02-23
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  • ID:3-6925838 2.2.3独立重复试验与二项分布(共37张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第二章 随机变量及其分布/2.2二项分布及其应用

    (共37张PPT) 2.2.2独立重复试验与 二项分布 猜数游戏: 游戏:有八组数字,每组数字仅由01或10构成,同学们至少猜对四组才为胜利. 01 01 10 01 10 01 10 10 问题1: 前一次猜测的结果是否影响后一次的猜测?也就是每次猜测是否相互独立? 问题2: 游戏对双方是否公平?能否从概率角度解释? 独立 公平 (1) 求“重复抛一枚硬币 5 次,其有3次正面向上” 的概率. (2) 求“重复掷一粒骰子3次,其中有2次出现 1 点的概率. 归纳两道题的相同点与不同点! 各次试验的结果不会受其它次试验影响. 相同点 不同点 1.重复做同一件事 “硬币”与“骰子” “5”与“3” …… …… 2.前提条件相同 3.都有两个对立的结果 1.独立重复试验 一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验(independent and repeated trials). 在n次独立重复试验中,“在相同的条件下”等价于各次试验的结果不会受其他试验结果的影响. 课开始时的游戏是否可以看成是独立重复试验? 游戏中,我们用X表示猜对的组数,下面分组探讨X的取值和相应的概率,完成下表. 对每组数 猜对的概率均为p= _____; 猜错的概率为q=1-p=________. 设AK表示“第K次猜对”的事件;B表示“共猜对K次”的事件(K=1,2,3…8) 猜对组数X 0 1 2 … k … 8 事件情况 概率计算 公式猜想 2.二项分布 在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X ,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k 次的概率为 则称随机变量X服从二项分布, 记作 X~B(n,p),也叫Bernolli分布. 实力相等的甲、乙两队参加乒乓球团体比赛,规定5局3胜制(即5局内谁先赢3局就算胜出并停止比赛). (1)试分别求甲打完3局、4局、5局才能取胜的概率; (2)按比赛规则甲获胜的概率. 解?: 甲、乙两队实力相等,所以每局比赛甲获胜的概率为0.5,乙获胜的概率为0.5. 记A事件=“甲打完3局才能取胜”, 记B事件=“甲打完4局才能取胜”, 记C事件=“甲打完5局才能取胜”. ①甲打完3局取胜,相当于进行3次独立重复试验,且每局比赛甲均取胜. ∴甲打完3局取胜的概率为 ②甲打完4局才能取胜,相当于进行4次独立重复试验,且甲第4局比赛取胜,前3局为2胜1负 ∴甲打完4局才能取胜的概率为 ③甲打完5局才能取胜,相当于进行5次独立重复试验,且甲第5局比赛取胜,前4局恰好2胜2负 ∴甲打完5局才能取胜的概率为 (2)事件D =“按比赛规则甲获胜”,则 D=A+B+C, 又因为事件A 、B 、C 彼此互斥, 故 答:按比赛规则甲获胜的概率为0.5 . 某气象站天气预报的准确率为80% ,计算(结果保留两个有效数字): (1)5次预报中恰有4次准确的概率; (2)5次预报中至少有4次准确的概率. 解: (1)记“预报1次,结果准确”为事件A .预报5次相当于5次独立重复试验,根据 独立重复试验中某事件恰好发生 的概率计算公式,5次预报中恰有4次准确的概率 答:5次预报中恰有4次准确的概率约为0.41. (2)5次预报中至少有4次准确的概率,就是5次预报中恰有4次准确的概率与5次预报都准确的概率的和,即 答:5次预报中至少有4次准确的概率约为0.74. 某人对一目标进行射击,每次命中率都是0.25,若使至少命中1次的概率不小于0.75,至少应射击几次? 解:设要使至少命中1次的概率不小于0.75,应射击n 次 记事件A =“射击一次,击中目标”,则P(A)=0.25. ∵射击n 次相当于n 次独立重复试验, ∴事件至少发生1次的概率为P=1-Pn(0)=1-0.75n. 由题意,令1-0.75n ≥0.75, ∴0.75n≤0.25 , ∴ , ∴n 至少取5. 答:要使至少命中1次的概率不小于0.75,至少应射击5次 . 1.独立重复试验的理解 (1)理解独立重复试验,试验的结果只有两种,要么发生,要么不发生. (2)若在独立重复试验中,发生的概率为P,则不发生的概率为1-P. (3)若在n次独立重复试验中,事件A发生的次数为X,每一次发生的概率为P,在独立重复试验中,事件A发生k次的概率公式为 P(X=k)=Cnkpk(1-p)n-k 2.能力总结 ① 分清事件类型; ② 转化复杂问题为基本的互斥事件与相互独立事件. 3.思想、方法 ① 分类讨论、归纳与演绎的方法; ② 辩证思想. 1. (2017年高考题)某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%.现从一批产品中任意地连续取出2件,写出其中次品数ξ的概率分布. 解: 依题意,随机变量ξ~B(2,5%).所以, P(ξ=0)=C20(95%)2=0.9025; P(ξ=1)=C21(95%)(5%)=0.095; P(ξ=2)=C22(5%)2=0.0025. 因此,次品数ξ的概率分布是 ξ 0 1 2 P 0.9025 0.095 0.0025 1.填空 (1)某人考试,共有5题,解对4题为及格,若他解一道题正确率为0.6,则他及格概率为_____. 分析: 该题服从二项分布X~B(5,0.6)求的是当X=4时的概率. (2)若某射手每次射击击中目标的概率是0.9,每次射击的结果相互独立,那么在他连续4次的射击中,第一次未击中目标,后三次都击中目标的概率是_____________. 0.93*0.1 分析: 仔细看题可知,该题并非二项分布. (2)随机变量X~B ( 3, 0.6 ) ,P ( X=1 ) =( ) A. 0.192 B. 0.288 C. 0.648 D. 0.254 (1)将一枚硬币连续抛掷5次,则正面向上的次数X的分布为( ) A. X~B ( 5,0.5 )  B. X~B (0.5,5 ) C. X~B ( 2,0.5 )  D. X~B ( 5,1 ) 2.选择 √ √ 3.解答题 (1)十层电梯从低层到顶层停不少于3次的概率是多少?停几次概率最大? 解: 依题意,从低层到顶层停不少于3次,应包括停3次,停4次,停5次,……,直到停9次. ∴从低层到顶层停不少于3次的概率: 设从低层到顶层停k次,则其概率为 当k=4或k=5时,C9k最大,即C9k(0.5)9最大 答:从低层到顶层停不少于3次的概率为233/256,停4次或5次概率最大. (2)一批玉米种子,其发芽率是0.8. ①问每穴至少种几粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98%? ②若每穴种3粒,求恰好两粒发芽的概率( ). 解: 记事件A=“种一粒种子,发芽”,则 P(A)=0.8,P(A)=1-0.8=0.2, ①设每穴至少种n粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98% . ∵每穴种n粒相当于n次独立重复试验,记事件B=“每穴至少有一粒发芽”,则 ∴ 由题意,令P(B)>98%,所以0.2n<0.02,两边取常用对数得, .即 , ∴ ,且 ,所以取n≥3 . 答:每穴至少种3粒,才能保证每穴至少有一粒发芽的概率大于98% . ② ∵每穴种3粒相当于3次独立重复试验, ∴每穴种3粒,恰好两粒发芽的概率为 答:每穴种3粒,恰好两粒发芽的概率为0.384 . (3)某车间的5台机床在1小时内需要工人照管的概率都是1/4,求1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率是多少?(结果保留两个有效数字) 解: 记事件A=“1小时内,1台机器需要人照管”,1小时内5台机器需要照管相当于5次独立重复试验 1小时内5台机床中没有1台需要工人照管的概率 1小时内5台机床中恰有1台需要工人照管的概率为 所以1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率为 答:1小时内5台机床中至少2台需要工人照管的概率约为0.37. 1. 用A表示抽到的这件产品为合格品,Ai表示这件产品在第i道工序中质量合格,i=1,2,3,4,5.则A=A1∩A2∩A3∩A4∩A5, P(A1)=0.96, P(A2)=0.99, P(A3)=0.98, P(A4)=0.97, P(A5)=0.96,且A1,A2,A3,A4,A5相互独立.所以 P(A)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)P(A5) =0.96×0.99×0.98×0.97×0.96 ≈0.867. 2.将一枚硬币连续抛掷5次,正面向上的次数X服从二项分布,其分布列为 P(X=k)=C5k(1/2)5,k=0,1,2,3,4,5. 用表格的形式表示如下: X 0 1 2 3 4 5 P 1/25 5/25 10/25 10/25 5/25 1/25 P(B)=P(A1)P(A2)P(A3)P(A4) =(1-0.9) ×0.9×0.9×0.9 =0.0729. 3. 用事件B表示仅第1次未击中目标,事件Ai表示该射手第i次设计击中目标,i=1,2,3,4,则B=A1A2A3A4。因为4次射击可以看成4次独立重复试验,所以可以利用独立事件公式计算B发生的概率: 4.例1 某同学投篮命中率为0.6,他在6次投篮中命中的次数X是一个随机变量,X~B(6,0.6). 例2 在一次考试中有10道单选题,某同学一道题都不会,随机的选择答案,这10道单选题中答对的个数X是一个随机变量,X~B(10,0.25).

    • 2020-02-23
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  • ID:3-6925837 2.2.2事件的相互独立性(共37张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第二章 随机变量及其分布/2.2二项分布及其应用

    (共37张PPT) 2.2.2事件的相互独立性 根据我国民间流传寓意深刻的谚语“三个臭皮匠臭死诸葛亮”设计这样一个问题: 已知诸葛亮想出计谋的概率为0.85,三个臭皮匠甲、乙、丙各自想出计谋的概率各为0.6、0.5、0.4.问这三个臭皮匠能胜过诸葛亮吗? 学生的解法可能为: 设事件A:“臭皮匠老大”猜出谜语; 事件B:“臭皮匠老二”猜出谜语; 事件C:“臭皮匠老三”猜出谜语. 则谜语被猜出的概率P=P(A)+P(B)+P(C) =0.6+0.5+0.4 =1.5 此解明显错误! 原因呢? 错误原因: ① P=1.5﹥1 这与0≤P≤1矛盾. ② 事件A、B、C并非互斥事件,因为它们可能同时发生. 问题1 什么是条件概率? 般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率. 问题2 条件概率公式? 一个盒子中有6只黑球、4只白球,从中有放回地摸球. 求: (1) 第一次摸到黑球的条件下,第二次摸到黑球的概率; (2) 第二次摸到黑球的概率. 解: A={第一次摸到黑球},B={第二次摸到黑球} 则 P(B|A)=P(B), P(AB)=P(A)P(B|A)=P(A)P(B). 1.相互独立 设A、B为两个事件,若 P(AB)=P(A)P(B), 则称事件A与事件B相互独立(mutually independent). =P(A)-P(AB) = P(A)[ 1-P(B)] = P(A)-P(A)P(B) 如图 ,用X,Y,Z 三类不同的元件连接成系统 .当元件X,Y,Z都正常工作时,系统N正常工作.已知元件X,Y,Z正常工作的概率依次为0.80,0.90,0.90,求系统 正常工作的概率 . 解?: 若将元件正常工作分别记为事件A,B,C,则系统正常工作为事件ABC. 根据题意,有P(A)=0.80,P(B)=0.90,P(C)=0.90 . 因为事件 是相互独立的,所以系统N正常工作的概率 P(ABC)=P(A)P(B)P(C)=0.80×0.90×0.90=0.648. 即系统正常工作的概率为 P=0.648. 变式:若X、Y、Z按如图方式连接成一个系统,当元件X正常工作和Y、Z中至少有一个正常工作时,系统就正常工作,求这个系统正常工作的概率. 分析:系统正常工作可分三种情况: (1)X、Y正常,Z不正常; (2)X、Z正常,Y不正常; (3)X、Y、Z都正常. 从一副不含大小王的扑克牌中任取一张,记 A={抽到K}, B={抽到的牌是黑色的},问事件A、B是否独立. 解: 由于P(A)=4/52=1/13,P(B)=26/52=1/2, P(AB)=2/52=1/26 可见 P(AB)=P(A)P(B) 说明事件A,B独立. 甲乙二人向同一目标射击,甲击中目标的概率为0.6,乙击中目标的概率为0.5 . 试计算 (1)两人都击中目标的概率; (2)恰有一人击中目标的概率; (3)目标被击中的概率. 解: 设A表示“甲击中目标”,B表示“乙击中目标” 则 P(A)=0.6,P(B)=0.5 P(AB)=P(A)P(B)=0.6×0.5=0.3 甲、乙、丙三门炮同时向同一架飞机射击,设其命中率分别为0.4,0.5,0.7,若只有一炮命中,飞机坠毁的概率为0.2,若有两炮命中,飞机坠毁的概率为0.6,若三炮命中,则飞机必坠毁.求飞机坠毁的概率. 解:记 Ai=“恰有 i 炮命中” ,i= 0,1,2,3 B=“飞机坠毁”,则由全概率公式有 P(B)=∑P(Ai)·P(B︱Ai) = 0.09×0+0.36×0.2+0.41×0.6+0.14×1 = 0.458 i=0 3 1.相互独立的概念 2.(2017年韶关一模文)有3张奖券,其中2张可中奖,现3个人按顺序依次从中抽一张,小明最后抽,则他抽到中奖券的概率是( ) A. 1/3 B. 1/6 C. 2/3 D.1/2 1. (2018年辽宁理) 4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为( ) A. 1/3 B. 1/2 C. 2/3 D. 3/4 C C 3.(2018年广州调研文)已知射手甲射击一次,命中9环(含9环)以上的概率为0.56,命中8环的概率为0.22,命中7环的概率为0.12. (1)求甲射击一次,命中不足8环的概率; (2)求甲射击一次,至少命中7环的概率. 解:记“甲射击一次,命中7环以下”为事件A,“甲射击一次,命中7环”为事件B,由于在一次射击中,A与B不可能同时发生,故A与B是互斥事件, (1)“甲射击一次,命中不足8环”的事件为A+B, 由互斥事件的概率加法公式, 答:甲射击一次,命中不足8环的概率是0.22. (2) 记“甲射击一次,命中8环”为事件C,“甲射击一次,命中9环(含9环)以上”为事件D,则“甲射击一次,至少命中7环”的事件为A+C+D, 答:甲射击一次,至少命中7环的概率为0.9. 1.填空 (1)甲、乙两人向同一目标射击,记 A={甲命中}, B={乙命中}, A 与 B 是否独立?______. 分析: 由于 “甲命中” 并不影响 “ 乙命中” 的概率(即一事件发生与否并不影响另一事件发生的概率),故可认为 A 与 B 独立 . (2)甲、乙两名篮球运动员分别进行一次投篮,如果两人投中的概率都是0.6,计算: ①两人都投中的概率是______ ; ②其中只有甲投中的概率是______ ; ③其中恰有一人投中的概率是______ ; ④至少有一人投中的概率是______ . 0.36 0.24 0.48 0.84 (2)设A、B为独立事件,且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中,错误的是: A. P(B|A)>0 B.P(A|B)=P(A) C. P(A|B)=0 C. P(AB)=P(A)P(B) (1)设A、B为互斥事件,且P(A)>0,P(B)>0,下面四个结论中,正确的是: A. P(B|A)>0 B. P(A|B)=P(A) C. P(A|B)=0 D. P(AB)=P(A)P(B) 2.选择 √ √ 3.解答题 (1)三人独立地去破译一份密码,已知各人能译出的概率分别为1/5,1/3,1/4,问三人中至少有一人能将密码译出的概率是多少? 解:将三人编号为1,2,3, 记 Ai={第i个人破译出密码} i=1,2,3 所求为 P(A1+A2+A3) 已知, P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4 P(A1+A2+A3) =1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)] (2)一批产品共n件,从中抽取2件, 设 Ai={第 i 件是合格品} i=1, 2, 解: ①若抽取是有放回的,因为第一次抽取的结果不会影响第二次抽取结果,所以 A1与 A2独立. ②若抽取是无放回的,因为第一次抽取的结果会影响到第二次抽取结果,则 A1与 A2不独立. (3)设每个人的呼吸道中带有感冒病毒的概率为0.002,求在1500人的电影院中存在感冒病毒的概率有多大? 解:记 Ai=“第i个人带有感冒病毒”, 并设各人是否带有感冒病毒是相互独立, 则由性质1.6.4 即知 P(A1∪A2∪…∪A1500)= 1-[1-P(Ai)] =1-(1-0.002)×1500=0.95. (4)下面是一个串并联电路示意图. A、B、C、D、E、F、G、H都是电路中的元件. 它们下方的数是它们各自正常工作的概率. 求电路正常工作的概率. 解: 将电路正常工作记为W,由于各元件独立工作,有 P(W)=P(A)P(B)P(C+D+E)P(F+G)P(H) 其中 P(C+D+E)=1- P(F+G)=1- 代入得 1.利用古典概率计算概率的公式,可以求得 P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5, P(AB)=0.25,P(BC)=0.25,P(AC)=0.25. 可以验证 P(AB)=P(A)P(B),P(BC)=P(B)P(C), P(AC)=P(A)P(C) 所以根据事件相互独立的定义,有事件A与B相互独立,事件B与C相互独立,事件A与C相互独立. 2.(1)先摸出1个白球不放回的条件下,口袋中剩下3个球,其中仅有1个白球,所以在先摸出1个白球不放回的条件下,再摸出1个白球的概率是1/3. (2)先摸出1个白球后放回的条件下,口袋中仍然有4个球,其中有2个白球,所以在先摸出1个白球后放回的条件下,再摸出1个白球的概率是1/2. 3.设在元旦期间甲地降雨的事件为A,乙地降雨的事件为B. (1)甲、乙两地都降雨的事件为AB,所以甲乙两地都降雨的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.2×0.3=0.06. (2)甲、乙两地都不降雨的事件为AB,所以甲乙两地都不降雨的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.8×0.7=0.56. (3)其中至少一个地方降雨的事件为(AB) ∪(AB) ∪(AB),由于事件AB,AB和AB两两互斥,根据概率加法公式和相互独立事件的定义,其中至少一个地方降雨的概率为 P(AB)+P(AB)+P(AB)=0.06+0.2×0.7+0.8×0.3=0.44. 4.见幻灯片12. 5. 例1 同时掷甲、乙两枚色子,事件A表示甲色子出现的是4点,事件B表示乙色子出现的是4点,则事件A与事件B相互独立. 例2 从装有5个红球3个白球的袋子中又放回地一次任意摸出两球,事件A表示第1次摸到红球,事件B表示第2次摸到白球,则事件A与事件B相互独立.

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  • ID:3-6925834 2.2.1条件概率(共39张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第二章 随机变量及其分布/2.2二项分布及其应用

    (共39张PPT) 2.2.1条件概率 三张奖券中只有一张能中奖,现分别由三名同学无放回地抽取,问最后一名同学抽到中奖奖券的概率是否比前两名同学小. 因为已知第一名同学没有抽到中奖奖券,所以可能出现的基本事件只有YYY和YYY.而“最后一名同学抽到中奖奖券”包含的基本事件仍是YYY 由古典概型计算公式可知.最后一名同学抽到中奖奖券的概率为 ,不妨记为P(B|A ) ,其中A表示事件“第一名同学没有抽到中奖奖券”. 如果已经知道第一名同学没有抽到中奖奖券,那么最后一名同学抽到奖券的概率又是多少? 已知第一名同学的抽奖结果为什么会影响最后一名同学抽到中奖奖券的概率呢? 在这个问题中,知道第一名同学没有抽到中奖奖券,等价于知道事件 A 一定会发生,导致可能出现的基本事件必然在事件 A 中,从而影响事件 B 发生的概率,使得 P(B|A)≠P ( B ) . 用 表示三名同学可能抽取的结果全体,则它由三个基本事件组成,即 ={YYY ,YYY ,YYY} 既然已知事件A必然发生,那么只需在 A={YYY,YYY}的范围内考虑问题,即只有两个基本事件在事件 ,A 发生的情况下事件B发生. 对于上面的事件A和事件B,P(B|A)与它们的概率有什么关系呢? 等价于事件 A 和事件 B 同时发生,即 AB 发生.而事件 AB 中仅含一个基本事件YYY ,因此 P(B|A)= = 其中n ( A)和 n ( AB)分别表示事件 A 和事件 AB 所包含的基本事件个数.另一方面,根据古典概型的计算公式. 其中n( )中包含的基本事件个数.所以, = 因此,可以通过事件A和事件AB的概率来表示P(B| A ). 1.条件概率 一般地,设A,B为两个事件,且P(A)>0,称 为在事件A发生的条件下,事件B发生的条件概率. P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率. 2.两个性质 (1)条件概率具有概率的性质,任何事件的条件概率都在0和1之间,即    0≤P(B|A) ≤1. (2)如果B和C是两个互斥事件,则 P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). 在5道题中有3道理科题和2道文科题.如果不放回地依次抽取2 道题,求: (l)第1次抽到理科题的概率; (2)第1次和第2次都抽到理科题的概率; (3)在第 1 次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题的概率. 解?: 设第1次抽到理科题为事件A,第2次抽到理科题为事件B,则第1次和第2次都抽到理科题为事件AB. (1)从5道题中不放回的一次抽取2刀的事件数为 n( )=A52=20. 根据分步乘法计数原理,n(A)=A31×A41=12.于是 (2)因为n(AB)= =6,所以 (3)解法1 由(1)(2)可得,在“第1次抽到理科题的条件下,第2次抽到理科题”的概率为 解法2 因为n(AB)=6,n(A)=12,所以 为了防止意外,矿井内同时装有A与B两种报警设备,已知设备A单独使用时有效的概率为0.92,设备B单独使用时有效的概率为0.93, 在设备A失效的条件下,设备B有效的概率为0.85,求发生意外时至少有一个报警设备有效的概率. 解: 设事件A, B分别表示设备A, B有效. 已知 求 解法1 即 故 解法2 故 由 发报台分别以概率 0.6 及 0.4 发出信号“·”及“-”,由于通信系统受到干扰,当发出信号“·”时,收报台以概率 0.8及 0.2 收到信号“·”及“-”;又当发出信号“-”时,收报台以概率 0.9 及 0.1 收到信号“-”及 ·” ,求 (1)当收报台收到信号“·”时,发报台确实发出信号“·”的概率; (2)当收报台收到信号“-”时,发报台确实发出信号“-”的概率. 分析: 完成该事件分两步:第一步发出信号“.” “-”,分别设为A1,A2,第二步收到信号“.” “-”,分别设为B,C,则本题要求:P(A1|B),P(A2|C). 设A1表示发报台发出信号“.”,设A2表示发报台发出信号“-”. B表示收报台收到信号“.”,C表示收报台收到信号“-”. 解: 则由已知: 1.条件概率的概念 2.条件概率的性质 0≤P(B|A) ≤1. P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). 1.(2019年辽宁高考理科)某人向目标射击4次,每次击中目标的概率为1/3.该目标分为三个不同部分,第一,二,三部分面积比为1:3:6.击中目标时,击中任何一部分的概率与其面积成正比. 第二问:若目标被击中两次,A表示事件“第一部分至少被击中1次或第二部分被击中2次”,求 P(A). 解: 设Ai:第一次击中的第i部分 Bi:第二次击中目标的第i部分 其中0.1就是在击中目标的条件下击中第一部分的条件概率,其它也是如此. P(A)=P(A1×B1)+P(A1×B1)+P(A1×B1)+P(A2×B2) =0.1×0.9+0.9×0.1+0.1×0.1+0.3×0.3=0.28 2.(2019年安徽高考理科)某地有A,B,C,D四人先后感染了甲型h1n1流感,只有A到过疫区. B肯定是受A感染的,对于C难以断定是受A还是B感染的,于是假设他受二人感染的概率都是1/2.同样D受ABC感染的概率各为1/3.设BCD中直接受A感染的人数为X,写出X的分布列,并求X的均值. 解:有6种感染可能: 其一:A传B传C传D ; 其二:A传B,B传C,D; 其三:A传B,D 然后B传C; 其四:A传B,C.然后B传D ; 其五:A传C,B然后C传D ; 其六:A传B,C,D . 1和2两种情况直接感染1人,3,4,5情况下直接感染2人,第6情况下直接感染3人.所以: P(X=1)=1/2×(1/3)+1/2×(1/3)=1/3? ? P(X=2)=1/2×(1/3)+1/2×(1/3)+1/2×(1/3)=1/2 P(X=3)=1/2×(1/3)=1/6 根据条件概率公式 P(A1×A2)=P(A1)×P(A2|A1)=1/2×(1/3)计算方妥. 1.填空 (1)已知P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A∪B)=0.6,则P(AB)=________. 解:∵P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB) ∴P(AB)=P(A)+P(B)- P(A∪B)=0.4+0.3-0.6=0.1 ∴P(AB)=P(A)-P(AB)=0.4-0.1=0.3. (2)设工厂A和工厂B产品的次品率分别为1%和2%,现从由A和B的产品分别占60%与40%的一批产品中随机抽取一件,发现是次品,则该次品属A生产的概率是______. (1)设随机变量ξ的分布列为 ,则a的值 为( ) A.1; B.9/13; C.11/13; D.27/13 (2)设A,B是两个随机事件,且00,P(B|A)=P(B|A),则必有( ) A.P(A|B)=P(A|B); B.P(A|B) ≠P(A|B) C.P(AB)=P(A)P(B); D.P(AB) ≠P(A)P(B); 2.选择 √ √ 3.解答题 (1)一批零件共100个,次品率为10%,每次从其中任取一个零件,取出的零件不再放回去, ①求第三次才取得合格品的概率; ②如果取得一个合格品后,就不再继续取零件,求三次内取得合格品的概率. 解:设 Ai=“第i次取得合格品”,(i=1,2,3) 则 Ai=“第i次取得次品”,(i=1,2,3), 所求概率为 ①所求事件为 ②设A 表示事件“三次内取得合格品”,则A 有下列几种情况: (2)10个考签中有4个难签, 3人参加抽签(不放回),甲先、乙次、丙最后. 求甲抽到难签,甲、乙都抽到难签, 甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲、乙、丙都抽到难签的概率. P(A)=m/n=4/10 P(AB)=P(A)P(B|A)= P( )=P( )P(B| )= P(ABC)=P(A)P(B|A)P(C|AB) = 解 : 设事件A,B、C分别表示甲、乙、丙各抽到难签,则 1.设第1次抽到A的事件为B,第2次抽到A事件为C,则第1次和第2次都抽到A的事件为BC . 解法1:在第1次抽到A的条件下,扑克牌中仅剩下51张牌,其中有3张A,所以在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率为 解法2:在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率 解法3:在第1次抽到A的条件下第2次也抽到A的概率 2. 设第1次抽出次品的事件为B,第2次抽出正品的事件为C,则第1次抽出次品第2次抽出正品的事件为BC . 解法1:在第1次抽出次品的条件下,剩下的99件产品有4件次品,所以在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为 解法2:在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为 解法3:在第1次抽出次品的条件下第2次抽出正品的概率为 3. 例1 箱中3张奖券中只有1张能中奖,现分别由3人无放回的任意抽取,在已知第一个人抽到奖券的条件下,第二个人抽到奖券的概率或第3个人抽到奖券的概率,均为条件概率,它们都是0. 例2 某班有45名同学,其中20名男生,25名女生,依次从全班同学中任选两名同学代表班级参加知识竞赛,在第1名同学是女生的条件下,第2名同学也是女生的概率.

    • 2020-02-23
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  • ID:6-6925784 2020届全国100所名校高考模拟金典卷物理PDF版

    高中物理/高考专区/模拟试题

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  • ID:3-6924128 2.4正态分布(共36张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第二章 随机变量及其分布/2.4正态分布

    (共36张PPT) 2.4 正态分布 在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃.让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与层层小木块碰撞,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内. 你见过高尔顿板吗? 下图就是一块高尔顿板示意图 球槽 球 如果把球槽编号,就可以考察球到底是落在第几号球槽中.重复进行高尔顿板试验,随着试验次数的增加,掉入各个球槽内的小球的个数就会越来越多,堆积的高度也会越来越高.各个球槽内的堆积高度反映了小球掉入各球槽的个数多少. 这节课我们就学习——正态分布 请根据高尔顿板的模型画出频率分布直方图. 随着重复次数的增加,这个频率直方图的形状会越来越像一条钟形曲线. 1.正态曲线 上图曲线(或近似地是)下面函数的图像 其中实数μ和?(? >0)为参数.我们称f(x)的图像为正态分布密度曲线,简称正态曲线. 如果去掉高尔顿板试验中最下边的球槽,并沿着其底部建立一个水平坐标轴,其刻度单位为球槽的宽度,用X表示落下的小球第1次与高尔顿板底部接触时的坐标,则X是一个随机变量. X落在区间(a,b]的概率为 即由正态曲线,过点(a,0)和(b,0)的两条x轴的垂线,及x轴所围成的平面图形的面积,就是X落在区间(a,b]的概率的近似值. 下图中阴影部分的面积就是X落在区间(a,b]的概率的近似值. 2.正态分布 一般地,如果对于任何实数a,b(a0,  为右图中阴影部分的面积,对于固定的μ和a而言,该面积随着? 的减少而变大.这说明? 越小,X落在区间(μ-a, μ+a]的概率越大,即X集中在μ周围概率越大. 特别有 P(μ- ?μ时,曲线下降.并且当曲线向左、右两边无限延伸时,以轴为渐近线,向它无限靠近; (5)当μ一定时,曲线的形状由σ确定.σ越大,曲线越“矮胖”,表示总体的分布越分散;σ越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. 4.标准正态分布 (2)“标准正态分布表” 1.(2018年安徽)设两个正态分布N(μ1,?12) (?1>0)和N(μ2,?22)(?2>0)的密度函数图像如图所示,则有( ) A. μ1<μ2, ?1< ?2 B. μ1<μ2, ?1>?2 C. μ1>μ2, ?1< ?2 D. μ1>μ2, ?1> ?2 A 解析:由正态分布性质知,x=μ为正态密度函数图像的对称轴,故μ1<μ2,又? 越小,图像越瘦高,故?1c+1)=P(Xc+1)=P(ξ<3-c). 又P(ξ>c+1)=P(ξ3)=1/2. D 1.填空 给出下列三个正态总体的函数表达式,请找出其均值μ和标准差σ 答案:(1)0,1;(2)1,2;(3)-1,0.5 (1) (3) (2) (1)若随机变量ξ~ N(μ,σ2),且Dξ=1,Eξ=3,则P(-1<ξ≤1)等于( ) A. 2Φ(1)-1 B. Φ(4)-Φ(2) C. Φ(-4)-Φ(-2) D. Φ(2)-Φ(4) (2)在正态总体N(0,)中,数值落在(-∞,  -1)∪(1,+∞)里的概率为( ) A. 0.097 B. 0.046     C. 0.03 D. 0.003 2.选择 √ √ 3.解答题 (1)求标准正态总体在(-1,2)内取值的概率. 解:利用等式 有 ①从该车间工人中任选一人,其完成该道工序的时间不到7分钟的概率; ②为了保证生产连续进行,要求以95%的概率保证该道工序上工人完成工作时间不多于15分钟,这一要求能否得到保证? 解 : 即该道工序可以95%的概率保证工人完成工作的时间不多于15分钟,因此生产可连续进行. 解: (4)出生体重低于2500克为低体重儿.若由某项研究得某地婴儿出生体重均数为3200克,标准差为350克,估计该地当年低体重儿所占的比例. 解: 记x为当年该地婴儿出生体重,则x服从正态分布N(3200,3502) P(x<2500) 查标准正态分布界值表 Φ(-2)=0.0228 即估计该地当年低体重儿所占的比例为2.28% . (5)估计某单位101名正常成年女子血清总胆固醇的参考值范围.假设该资料服从正态分布. 已知: 计算95%的参考范围(双侧) 结论:正常成年女子血清总胆固醇95%的参考值范围为2.78-5.34(mmol/l). 解:

    • 2020-02-23
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  • ID:3-6924041 2.1.2离散型随机变量的分布列(共36张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第二章 随机变量及其分布/2.1离散型随机变量及其分布列

    (共36张PPT) 2.1.2离散型随机变量的分布列 断案——兔子是谁打死的? 在还未禁猎的年代,有一天,两位猎人同时发射一枪,打死一只正在奔驰的野兔,二人直奔猎物,都想得到这个战利品,于是争论起来. 一智者路过此地,问明事由,出面调解,猎人甲称:“我的枪法百发百中,兔子是我打死的.”猎人乙争辩道:“我的枪法比他准,兔子分明是我打中的.”智者道:“你们不必争吵了,听我安排. ”智者命二人向同一目标各打五枪,甲的命中率为0.4,乙的命中率为0.6 . 甲以为这下完了,兔子必判给乙,很丧气,扭头便走,智者喊到:“且慢,听我慢慢道来.” 智者经计算,告诉二人:“既然兔子已被你们打死,那么甲单独击中的机会是0.4,乙单独击中的机会是 0.6,二人共同击中的机会是0.24 .”他建议:“如果此猎物价值若干,你们可按七比十二分配.”结果兔子卖了五十七元,甲分得二十一元,乙分得三十六元,两人皆大欢喜,欣然而归. 请同学们想一想,这个分配方案是否合理?智者是如何做出这个分配方案的? 抛掷一枚骰子,求所得点数及取各值的概率. X 1 2 3 4 5 6 P 1.分布列 设离散型随机变量ξ可能取得值为 x1,x2,x3,…, ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率为 P(ξ= xi)=pi,则称表 为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列. ξ x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 2.分布列的其它表示方法 1.表达式法 P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n 2.图示法 离散型随机变量的分布列有何性质? 函数可以用解析式,表格或图象表示,离散性随即变量的分布列也可以用解析式,表格或图象表示. 2.离散型随机变量的分布列的性质 任何随机事件发生的概率都满足:0≤Pi≤1,并且不可能事件的概率为0,必然事件的概率为1.由此你可以得出离散型随机变量的分布列都具有下面两个性质: ⑴Pi≥0,i=1,2,…; ⑵P1+P2+…=1. 3.两点分布 只有两个可能取值的随机变量所服从的分布,称为两点分布. 其概率函数为     P{ξ=xk}=pk (k=0,1) X 0 1 P 1-p p 一批产品的废品率为5%,从中任意抽取一个进行检验,用随机变量来描述废品出现的情况.即写出分布列. 解?: 这个试验中,用ξ表示废品的个数,显然ξ只可能取0及1两个值. ξ=0,表示“产品是废品”,即P(ξ=0)=1-5%=95% ξ=1,表示“产品为合格品”,其概率为这批产品的合格率,即??P(ξ=1)=5%?, 列成概率分布表如下所示: ξ 0 1 P 95% 5% 两点分布又称0-1分布.由于只有两个可能结果的随机试验叫伯努利试验,所以还称这种分布为伯努利分布. 两点分布列的应用非常广泛.例如抽取的彩票是否中奖,买回的一件产品是否为正品,新生婴儿的性别,投篮是否命中等,都可以用两点分布列来研究. 在含有5件次品的100件产品中,任取3件,求: (1)取到的次品数X的分布列; (2)至少取到一件次品的概率. 解: (1)因为从100件产品中任取3件的结果数为C1003,从100件产品中任取3件,其中恰有k件次品的结果数为C5kC953-k,所以100件产品中任取3件,其中恰有k件次品的概率为 P(X=k)= C5kC953-k / C1003 ,k=0,1,2,3 . 因此随机变量的分布列为 (2)根据随机变量X的分布列,可得至少取到1件次品的概率为 P(X>=1)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3) ≈0.13806+0.00588+0.00006 =0.14400 X 0 1 2 3 P 4.超几何分布 一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则 P(X=k)= CMkCN-Mn-k / CNn ,k=0,1,2,…,m, 即 其中m=min{M,n},且n<=N,M<=N,n,M,N N*. 如果随机变量X的分布列具有上表形式,则称随机变量X服从超几何分布. X 0 1 … m P … 某一射手射击所得的环数ξ的分布列如下: 求此射手“射击一次命中环数≥7”的概率. ξ 4 5 6 7 8 9 10 P 0.02 0.04 0.06 0.09 0.28 0.29 0.22 分析:“射击一次命中环数≥7”是指互斥事件“ξ=7”、“ξ=8”、“ξ=9”、“ξ=10”的和,根据互斥事件的概率加法公式,可以求得此射手“射击一次命中环数≥7”的概率. 解:根据射手射击所得的环数ξ的分布列,有    P(ξ=7)=0.09,P(ξ=8)=0.28, P(ξ=9)=0.29,P(ξ=10)=0.22. 所求的概率为 P(ξ≥7)=0.09+0.28+0.29+0.22 =0.88 . 1.离散型随机变量的分布列概念 根据随机变量的概率分布(分布列),可以求随机事件的概率. 2.分布列的三种表示方法 (1)表达式法; (2)图示法; (3)表格法. 3.分布列的两条性质 (1)Pi≥0,i=1,2,…; (2)P1+P2+…=1. 4.两种典型分布 (1)两点分布; (2)超几何分布. 1.(2018年北京卷理)甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到四个不同的岗位服务,每个岗位至少有一名志愿者. (Ⅰ)求甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率; (Ⅱ)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率; (Ⅲ)设随机变量 为这五名志愿者中参加 岗位服务的人数,求 的分布列. (Ⅱ)记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E, 那么 所以,甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是 解: (Ⅰ)记甲、乙两人同时参加 岗位服务为事件 ,那么 , 即甲、乙两人同时参加 岗位服务的概率是 . (Ⅲ)随机变量 可能取的值为1,2.事件“ξ=2”是指有两人同时参加 岗位服务, 则 . 所以 ,ξ的分布列是 ξ 1 2 P 0.75 0.25 1.填空 (1)某批数量较大的商品的次品率为10%,从中任意地连续取出5件,其中次品数ξ的分布列为________. ξ 0 1 2 3 4 5 P 0.95 0.5×0.94 0.1×0.93 0.01×0.92 4.5×0.14 0.15 (2) 下列给出的是不是某个随机变量的分布列? ① ② ③ ④ 解: (1)是. (2) ,所以它不是随机变量的分布列. (3) ,所以它不是随机变量的分布列. 2.选择 (1)3设随机变量 的分布列为 ,则a的值为( ) A .1; B.9/13; C.11/13; D.27/13 (2)下列表中能成为随机变量ξ的分布列的是() √ A. ξ -1 0 1 P 0.3 0.4 0.4 B. C. D. √ ξ 1 2 3 P 0.4 0.7 -0.1 ξ -1 0 1 P 0.3 0.4 0.3 ξ 1 2 3 P 0.3 0.4 0.4 3.解答题 (1)某厂生产电子元件,其产品的次品率为5%,现从一批产品中的任意连续取出2件,求次品数的概率分布. 解: ξ的取值分别为0、1、2 ξ =0表示抽取两件均为正品 ; ∴p(ξ=0)=C20(1-0.05)2=0.9025 . ξ =1表示抽取一件正品一件次品; P(ξ=1)= C21 (1-0.05)×0.05=0.95 ξ =2抽取两件均为次品; P(ξ=2)= C22 0.052=0.0025 ∴ξ的概率分布为: ξ 0 1 2 p 0.9025 0.095 0.0025 (2)随机变量ξ的分布列为 解:由离散型随机变量的分布列的性质有 解得: (舍)或 (3)设随机变量 的分布列为: , 求 ① ; ② ; ③ . 解: ① ; ② ③

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  • ID:3-6924038 2.1.1离散型随机变量(共35张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第二章 随机变量及其分布/2.1离散型随机变量及其分布列

    (共35张PPT) 2.1.1离散型随机变量 掷一枚骰子,出现的点数可以用数字1,2,3,4,5,6来表示,那么掷一枚硬币的结果是否也可以用数字来表示呢? 掷一枚硬币,可以出现正面向上、反面向上两种结果. 虽然这个随机试验的结果不是数字,但我们可以用数1和0分别表示正面向上和反面向上. 正面向上 反面向上 1 0 在掷骰子和掷硬币的随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示. 这就是我们今天要学习的课题 ——离散型随机变量 随机变量是将随机现象的结果数量化,把对随机事件及概率的研究转化为对随机变量及概率的研究. 1.随机变量 随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量. 随机变量常用字母X,Y,ε,η,…表示. 说明:   (1)一般地,一个试验如果满足下列条件:   ①试验可以在相同的情形下重复进行;   ②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不是一个;   ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果.   这种试验就是一个随机试验,为了方便起见,也简称试验. 随机变量和函数有类似的地方吗? (2)ε,η为希腊字母,读音分别为[ksai],[i:te]. 2.随机变量和函数的相同点 (1)随机变量和函数都是一种映射,随机变量把随机试验的结果映为实数,函数把实数映射为实数; (2)在这两种映射之间,试验结果的范围相当于函数的定义域,随机变量的取值范围相当于函数的值域. 任意掷一枚硬币,可能出现正面向上、反面向上这两种结果,虽然这个随机试验的结果不具有数量性质,但仍可以用数量来表示它.通常我们用ε来表示这个随机试验的结果:    ε=0,表示正面向上;    ε=1,表示反面向上. 3.离散型随机变量 如果随机变量X的所有可能值只有有限多个或可列多个(所有值可以一一列出)则称之为离散型随机变量. 说明: (1)离散型随机变量ε可能取的值为有限个或至多可列个,这里的“可列”不易理解,所以课本用比较浅显的语言“按一定次序一一列出”来描述比如ε取1,2,…,n,… (2)教材中为了控制难度,所涉及到的离散型随机变量可能取的值的个数多数是有限的. 某次产品检验,在可能含有次品的100件产品中任意抽取4件,那么其中含有的次品数的结果. 解: 我们用η表示含有的次品数,则η是一个随机变量. η=0,表示含有0个次品; η=1,表示含有1个次品; η=2,表示含有2个次品; η=3,表示含有3个次品; η=4,表示含有4个次品. 从10张已编号的卡片(从1号到10号)中任取1张,被取出的卡片的号数ξ; 解:ξ可取1,2,…,10. ξ=1,表示取出第1号卡片; ξ=2,表示取出第2号卡; …… ξ=10,表示取出第10号卡片. 某人射击一次,可能出现命中0环,命中1环,… ,命中10环的结果. 解: 我们用ε表示射击的命中环数,则ε是一个随机变量. ε=0,表示射击命中0环; ε=1,表示射击命中1环; ε=2,表示射击命中2环; ε=3,表示射击命中3环; ε=4,表示射击命中4环; …… ε=10,表示射击命中10环. ε<3表示什么意思? 电灯泡的寿命X是离散型随机变量吗? 分析: 电灯泡的寿命X的可能取值是任何一个非负实数,而所有非负实数不能一一列出,所以X不是离散型随机变量. 在研究随机现象时,需要根据所关心的问题恰当的定义随机变量. 例如,如果我们仅关心电灯泡的使用寿命是否不少于1000小时,那么就可以定义如下的随机变量: 0,寿命<1000小时; 1,寿命>=1000小时. Y 1.随机变量的概念 随机变量是随机事件的结果的数量化;随机变量ξ的取值对应于随机试验的某一随机事件. 2.离散型随机变量的概念 所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量. 3.随机变量与函数的相同之处 (1) 随机变量是随机试验的试验结果和实数之间的一个对应关系,这种对应关系是人为建立起来的; (2)随机变量与函数概念的本质是一样的,只不过在函数概念中,函数f(x)的自变量x是实数,而在随机变量的概念中,随机变量ε的自变量是试验结果. 1.(2017安徽理)在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象,一个关有6只果蝇的笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有8只蝇子:6只果蝇和2只苍蝇),只好把笼子打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以ξ表示笼内还剩下的果蝇的只数. (1)写出ξ的分布列(不要求写出计算过程); (2)求数学期望Eξ; (3)求概率P(ξ≥Eξ). 解: 以A表示恰剩下k只果蝇的事件(k=0,1,…,6),可以有多种不同的计算P的方法. 方法1(组合模式):当事件A发生时,第 8-k只飞出的蝇子是苍蝇,且在前7-k只飞出的蝇子中有1只苍蝇,所以 方法2(排列模式):当事件A发生时,共飞走8-k只蝇子,其中第8-k只飞出的蝇子是苍蝇,哪一只?有两种不同可能.在前7-k只飞出的蝇子中有6-k只是果蝇,有 种不同的选择可能,还需考虑这7-k只蝇子的排列顺序.所以 (2)数学期望为E = (3)所求的概率 1.填空 指出下列随机变量是离散型随机变量还是连续型随机变量: (1)郑州至武汉的电气化铁道线上,每隔50米有一电线铁塔,从郑州至武汉的电气化铁道线上电线铁塔的编号ξ. 解:是离散型随机变量. 因为铁塔为有限个,其编号从1开始可一一列出. (2)江西九江市水位监测站所测水位在(0,29]这一范围内变化,该水位站所测水位ξ. 解:是连续型随机变量. 因为水位在(0,29]这一范围内变化,对水位值我们不能按一定次序一一列出.. 2.选择 (1)抛掷两颗骰子,所得点数之和为ξ,那么ξ=4表示的随机试验结果是____. A.一颗是3点,一颗是1点 B.两颗都是2点 C.两颗都是4点 D.一颗是3点,一颗是1点或两颗都是2点 √ (2)将一颗均匀骰子掷两次,不能作为随机变量的是_____. A.两次出现的点数之和 B.两次掷出的最大点数 C.第一次减去第二次的点数差 D.抛掷的次数 √ 3.解答题 (1)一个袋中装有5个白球和5个黑球,从中任取3个,其中所含白球的个数ξ; 解:ξ可取0,1,2 , 3. ξ=0,表示取出0个白球; ξ=1,表示取出1个白球; ξ=2,表示取出2个白球; ξ=3,表示取出3个白球. (2)用随机变量表示下列试验,写出它们的值域: ① 掷一枚普通的骰子所得到的结果为1、2、3、4、5、6; ② 在含有10件次品的100件产品中,任意抽取4件,可能含有的次品的件数. 解: 表示为: ①{1,2,3,4,5,6} ② {0,1,2,3,4} (3)姚明每次罚球具有一定的随机性,那么他三次罚球的得分结果可能是什么? 投进零个球——— 0分 投进一个球——— 1分 投进两个球——— 2分 投进三个球——— 3分 (4)写出下列各随机变量可能取的值,并说明随机变量所取值所表示的随机试验的结果. ①盒中装有6支白粉笔和8支红粉笔,从中任意取出3支,其中所含白粉笔的支数ξ; ②从4张已编号(1号~4号)的卡片中任意取出2张,被取出的卡片号数之和ξ. 解: ① ξ可取0,1,2,3. ξ=i表示取出i支白粉笔,3-i支红粉笔,其中i=0,1,2,3; ② ξ可取3,4,5,6,7.其中 ξ=3表示取出分别标有1,2的两张卡片; ξ=4表示取出分别标有1,3的两张卡片; ξ=5表示取出分别标有1,4或2,3的两张卡片; ξ=6表示取出分别标有2,4的两张卡片; ξ=7表示取出分别标有3,4的两张卡片.

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  • ID:3-6913401 1.2.2组合(共34张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第一章 计数原理/1.2排列与组合

    (共34张PPT) 问题一: 从甲,乙,丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动,其中1名同学参加上午的活动,1名同学参加下午的活动,有多少种不同的选法 ? 问题二: 从甲,乙,丙3名同学中选出2名去参加一项活动,有多少种不同的选法 ? 问题一与问题二有何不同? 问题1中不但要求选出2名同学,而且还要按照一定的顺序“排列”,而问题2只要求选出2名同学,是与顺序无关的. 这就是我们这节课要学习的内容 ———组合 1 组合 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素合成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 相同点: 都要“从n个不同元素中任取m个元素” 不同点: 对于所取出的元素,排列要“按照一定的顺序排成一列”,而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”. 排列与元素的顺序有关,而组合则与元素的顺序无关 . ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么? 由于组合与顺序无关,ab与ba是相同的组合. 判断下列问题是组合问题还是排列问题? (1)设集合A={a,b,c,d,e},则集合A的含有3个元素的子集有多少个? (2)某铁路线上有5个车站,则这条铁路线上共需准备多少种车票? 2 组合数  从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数,叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号 表示. 上面的问题,是求从3个不同元素中取出2个元素的组合数,记为 ,已经算得  3 组合数公式 这里,n,m∈N*,并且m≤n.  因为 所以,上面的组合数公式还可以写成 ∵ = ?? 解: ∴原不等式可化为 即 ∴n<12.? 但原不等式中n取值范围为n-4≥0,即n≥4,? 所以n=4,5,6,……,11.? 从编号为1,2,3,…,10,11的共11个球中,取出5个球,使得这5个球的编号之和为奇数,则一共有多少种不同的取法? 解: 5名同学同时参加五门不同科目的考试,恰有两名学生拿到了自己该考的科目的试卷,问试卷分发的方法有多少种? 解: 5名同学选出2名选法有 种,3名学生拿到的都不是自己该考的试卷,试卷分发的方法有2种, 故共有试卷分发方法 4 组合数的两个性质 性质1 性质2 l、组合的概念; 2、组合与排列的区别; 3、组合数公式; 4、组合的应用:分清是否要排序. 1.(2018湖北卷文)从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动,每人一天,要求星期五有一人参加,星期六有两人参加,星期日有一人参加,则不同的选派方法共有_____. A.120种 B.96种 C.60种 D.48种 C 解析: 5人中选4人则有 种,周五一人有 种,周六两人则有 ,周日则有 种, 故共有 × × =60种,故选C. 2.(2019湖南卷文)某地政府召集5家企业的负责人开会,其中甲企业有2人到会,其余4家企业各有1人到会,会上有3人发言,则这3人来自3家不同企业的可能情况的种数为_____. A.14 B.16 C.20 D.48 B 由间接得 ,故选B. 3.甲组有5名男同学、3名女同学;乙组有6名男同学、2名女同学,若从甲、乙两组中各选出2名同学,则选出的4人中恰有1名女同学的不同选法共有_____. A. 150种 B. 180种 C. 300种 D. 345种 D 本小题考查分类计算原理、分步计数原理、组合等问题 1.填空 (1)6人分乘两辆小汽车出行,每辆车最多可坐4人,不同的乘车方法种数为_____种(用数字作答).? (2)长方体的长、宽、高分别为自然数a、b、c且0100,取法数1个;…;取出50,有50+51>100,50+52>100,…,50+100>100共50个. ∴取出数字1至50共有1+2+3+…+50= 1275, 取出51,有51+52>100,…,51+100>100,共49个.取出52有48个,…,取出100,只有0个. ∴取出51至100有49+48+…+2+1+0=1225(个). 故共有1 275+1 225=2 500(个).? (2)课外活动小组共13人,其中男生8人,女生5人,并且男、女生各指定一名队长.现从中选5人主持某种活动,依下列条件各有多少种选法?? ①只有一名女生;? ②两队长当选;? ③至少有一名队长当选; ④至多有2名女生当选;? ⑤既要有队长,又要有女生当选. 解: ①一名女生,四名男生.故共有 ②将两队长作为一类,其他11人作为一类,故共有 ③至少有一名队长含有两类:只有一名队长和两名队长.故共有: 或采用排除法: ④至多有两名女生含有三类:有2名女生、只有一名女生、没有女生.故选法为: ⑤分两类: 第一类女队长当选: 第二类女队长不当选: 故选法共有: (3)∠A的一边AB上有4个点,另一边AC上有5个点,连同∠A的顶点共10个点,以这些点为顶点,可以构成多少个三角形? 解: 方法1:把可构成的三角形可分成两类: 第一类,含点A的有 个; 第二类,不含点A的,又分为在AB上取两点在AC上取一点,和在AB上取一点AC上取两点,共有 个. 根据加法原理,共可构成三角形的个数为 方法2:不考虑可否成为三角形,从这10个中点任取3个点共有 种方法,但仅在AB上或AC上任取3个点不能构成三角形,共有 种方法, 因此可构成三角形的个数为

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  • ID:3-6913399 1.2.1排列(共31张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第一章 计数原理/1.2排列与组合

    (共31张PPT) 由数字1,2,3,4可以组成多少个没有重复数字的三位数? 假如由数字1~9这几个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数? 上节课,我们一起学习了两个基本原理及基本原理的简单应用,这一节,我们将继续应用基本原理研究排列问题. 某学校计划在元旦安排一场师生联欢会,需要从甲、乙、丙三名候选人选2名作主持人,其中1名作正式主持人,一名作候补主持人,有多少种不同的方法? 解决上述问题,可以应用分步计数原理进行,可分两步:第1步,确定正式主持人,从3人中任选1人,有3种不同选法;第2步,确定候补主持人,从余下的2人中选取,有2种不同的方法.   根据分步计数原理,在3名同学中选2名,按照参加正式主持人在前,候补主持人在后的不同顺序排列方法有3×2=6种. 我们把上面问题中被取的对象叫做元素.于是,所提出问题就是从3个不同的元素a、b、c中任取2个,然后按一定的顺序排成一列,求一共有多少种不同的排列方法.所有不同排列为ab,ac,ba,bc,ca,cb,所有排列的种数为3×2=6. 如果我们把上述问题再推广到更为一般的情形,就得到排列及排列数的概念. 1 排列 一般地,从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素取出m个元素的排列. 根据排列的定义,两个排列相同,当且仅当两个排列的元素完全相同,且元素的排列顺序也相同. 4 全排列   n个不同元素全部取出的一个排列,叫做n个不同元素的一个全排列.这是公式中m=n,即有 也就是说,n个元素全部取出的排列数,等于1到n的连乘积.即n的阶乘,用n!表示. 6!=6×5×4×3×2×1=720 求下列各式中n值: 解析:该题是对排列数公式的考察 某段铁路上有12个车站,共需要准备多少种普通客票? 解: 用 0 到 9 这十个数字,可以组成多少个没有重复数字的三位数? 解法一:对排列方法分步思考. 解法二:对排列方法分类思考. 符合条件的三位数可分为两类: 根据加法原理 解法三:间接法. 从0到9这十个数字中任取三个数字的排列数为 , ∴ 所求的三位数的个数是 1. 知识要求: (1)要求大家在理解排列的意义的基础上,掌握排列数的运算; (2)了解科学计算器的阶乘运算功能,为进一步学习排列的应用打好基础. 2.重点掌握排列的两个公式: 1 (2019年海南)用1,2,3,4,5这五个数字,组成没有重复数字的三位数,其中偶数共有______个. A 24 B 30 C 40 D 60 A 先分类,再分步 2.(2019年湖北卷理)将甲、乙、丙、丁四名学生分到三个不同的班,每个班至少分到一名学生,且甲、乙两名学生不能分到同一个班,则不同分法的种数为 ______. A 18 B 24 C 30 D 36 C 解析: 用间接法解答:四名学生中有两名学生分在一个班的种数是 ,顺序有 种,而甲乙被分在同一个班的有 种,所以种数是 1.填空 (1)从7盆不同的盆花中选出5盆摆放在主席台前,其中有两盆花不宜摆放在正中间,则一共有_____种不同的摆放方法(用数字作答). (2) 5人成一排,要求甲、已相邻,有_____种排法. 1800 48 2.选择 (1)将5列车停在5条不同的轨道上,其中a列车不停在第一轨道上,b列车不停在第二轨道上,那么不同的停放方法有( ). A 120种 B 96种 C 78种 D 72种 (2)七人排成一排,甲、乙两人必须相邻,且甲、乙都不与丙相邻,则不同的排法( )种. A 960种 B 840种 C 720种 D 600种 √ √ 3.解答题 (1)有棋盘型街道如图,某人由 A 点到 B 点取捷径 ① 共有几种走法? ②若不过 D 点,取捷径的走法共有几种? 解: (2)用0、1、2、3、4、5六个数字,若数字可以重复,则可以构成几个三位数?其中奇数共几个? 解: 由于0不能排在百位,所以百位有5种方法,而十位与个位皆有6种方法,故共可排成 5 × 6 × 6 = 180 个三位数. 若所排成的三位数为奇數,则个位可以排1、3、5共3种方法,而百位有5种,十位有6种排法,故共可排成 5 × 6 × 3 = 90 个奇数. (3) 计划展出不同的画10幅,其中一幅水彩画、4幅油画、5幅国画,排成一行陈列,要求同一品种的画必须连在一起,并且水彩画不能放在两端,那么不同的陈列方式有多少种? 解:

    • 2020-02-22
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  • ID:3-6913397 1.3.2“杨辉三角”与二项式系数的性质(共33张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第一章 计数原理/1.3二项式定理

    (共33张PPT) 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1 (1)上述的表叫做二项式系数的表,观察表中二项式系数的规律,并加以归纳. (2)继续观察,归纳每行二项式系数的特点(即二项式系数的性质),猜测出二项式系数的性质. 南宋末年钱塘人,是当时有名的数学家和教育家,杨辉一生编写的数学书很多,但散佚严重. 杨辉生活在浙江杭州一带,曾当过地方官,到过苏州、台州等地,他每到一处都会有人慕名前来 请教数学问题. 杨辉 本节课的课题《二项式定理》就是研究 (a+b)的平方,(a+b)的三次方…… (a+b)的n次方的乘法展开式的规律, 法国数学家帕斯卡在17世纪发现了它,国外把这一规律称为帕斯卡三角.其实,我国数学家杨辉早在1261年在他的《详解九章算法》中就有了相应的图表. 《九章算术》 《详解九章算法》中记载的表 展开式的二项式系数依次是: 从函数角度看, 可看成是以r为自变量的函数 ,其定义域是: 当 时,其图象是右图中的7个孤立点. 由以上分析可以画出如下图: 结合杨辉三角和上图来研究二项式系数的一些性质. 1.对称性 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等. 这一性质可直接由公式Cnm=Cnn-m 得到. 直线 将函数 的图像分成对称的两部分,它是图像的对称轴 2.增减性与最大值 由于: 所以 相对于 的增减情况由 决定. 由: 二项式系数是逐渐增大的,由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的,且中间项取得最大值. 可知,当 时, 当n为奇数时,中间两项的二项式系数 、 相等,且同时取得最大值. 3.各二项式系数之和 已知 (1+x)n=Cn0+Cn1x+…+Cnrxr+…+Cnnxn 令x=1,则 2n=Cn0+Cn1+…+Cnn 证明在(a+b)n的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和 分析: 奇数项的二项式系数的和为Cn0+Cn2+… 偶数项的二项式系数的和为Cn1+Cn3+… 由于在二项式定理中a、b可以取任意实数,因此我们可以通过对a、b适当赋值来得到上述两个系数和. 证明: 在二项展开式中,令a=1,b=-1,则得 (1-1)n=Cn0-Cn1+Cn2-Cn3+…+(-1)nCnn 即 0=(Cn0+Cn2 +…)-(Cn1+Cn3+…), 所以 Cn0+Cn2 +…= Cn1+Cn3+…, 即得证. 1.二项式系数的三条性质 (1)对称性; (2)增减性与最大值; (3)各二项式系数的和; (4)递推性(杨辉三角中). 2. 数学思想方法 (1)函数法; (2)特殊值法 ; (3)赋值法 、递推法、图象法. 3.“系数”与“二项式系数”的区别 不能混淆两者,只有二项式系数最大的才是中间项,而系数最大的不一定是中间项. 1. (2018年上海春季高考卷)如图1,在由二项式系数所构成的杨辉三角中,第______行中从左到右第14与第15个数的比为2:3 . 34 解析: 由图1我们能发现,第1行中的数是 第2行中的数是 第3行中的数是 则第n行中的数是 设第n行中从左到右第14与第15个数的比为 则 ,解得 2.(2019年湖北)(1-x3)?(1+x)10的展开式中含x4的项的系数为_____(用数字作答). 解析: ∵(1-x3)(1+x)10 =(1-x3)(1+C101x+C102x2+C103x3+C104x4+…), ∴x4的系数为C104+(-1) C101=200. 200 (1)Cn1+Cn2+…+Cnn=_____; C111+C113+C115+C117+C119+C1111=_____. (2)在(1+x)10的展开式中,二项式系数最大为 __; 在(1-x)11的展开式中,二项式系数最大为____ . 1.填空 (1) 的展开式中,无理项的个 数是( ) A .83 B.84 C.85 D.86 (2)(x-2)9的展开式中,第6项的二项式系数 是( ) A.4032 B.-4032 C.126 D.-126 2.选择 √ √ 3.解答题 (1)求(2x+3y)6的展开式的第三项. 解: 由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2x)6-2(3y)2=2160x4y2 (2)求(2a+3b)6的展开式的第三项的二项式系数. 解: 由二项展开式的通项知 T3=T2+1=C62(2a)6-2(3b)2=2160a4b2 由二项式系数定义知,展开式的第三项的二项式系数为C62=15,而展开式的第三项的系数为2160. 1. (1)当n是偶数时,最大值 ;当n是奇数时,最大值是 . (2)C111+C113+…+C1111=*211=1024. (3) 2. ∵2n=Cn0+Cn1+…+Cnn Cn0+Cn2 +…= Cn1+Cn3+…, ∴ Cn0+Cn2 +…= 2n-1 3.略.

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  • ID:3-6913395 1.3.1二项式定理(共32张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第一章 计数原理/1.3二项式定理

    (共32张PPT) 若今天是星期一,再过810天后的那一天是星期几? 在初中,我们已经学过了 (a+b)2=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=a3+3a2b+3ab2+b3 对于(a+b)4,(a+b)5 如何展开? (a+b)100又怎么办? (a+b)n (n∈N+)呢? 我们知道,事物之间或多或少存在着规律. 这节课,我们就来研究(a+b)n的二项展开式的规律性. 规律: (a+b)1=a+b (a+b)2=(a+b)(a+b)=a?a+a?b+b?a+b?b=a2+2ab+b2 (a+b)3=(a+b)2(a+b)=(a2+2ab+b2)(a+b) =a3+3a2b+ 3ab2+b3 (a+b)4=(a+b)3(a+b)=(a3+3a2b+3ab2+b3)(a+b) =a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4 如何从组合知识得到(a+b)4展开式中各项的系数? (a+b)4=(a+b)(a+b)(a+b)(a+b) (1)若每个括号都不取b,只有一种取法得到a4; (2)若只有一个括号取b,共有种取法得到a3b; (3)若只有两个括号取b,共有种取法得到a2b2; (4)若只有三个括号取b,共有种取法得到ab3; (5)若每个括号都取b,共有种取法得b4. 1 二项式定理 证明: 由于(a+b)n是(a+b)相乘,每个(a+b)在相乘时有两种选择,选a或b,而且每个(a+b)中的a或b都选定后,才能得到展开式的一项. 因此,由分步乘法计数原理可知,在合并同类项之前, (a+b)n的展开式共有2n项,其中每一项都是an-kbk(k=0,1,…,n)的形式. 对于某个k( ),对应的项an-kbk是由n-k个(a+b)中选a,k个(a+b)中选b得到的. 由于b选定后,a的选法也随之确定. 因此, an-kbk出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个b的组合数 . 这样,(a+b)n的展开式中, an-kbk共有 个,将它们合并同类项,就可以得到二项展开式: 对二项式定理的理解 (1)它有n+1项; (2)各项的次数都等于二项式的次数n; (3)字母a按降幂排列,次数由n递减到0;字母b按升幂排列,次数由0递增到n. 2 二项式系数 我们看到的二项展开式共有n+1项,其中各项的系数 ( )叫做二项式系数(binomial coefficient). 3 通项 式中的 叫做二项展开式的通项,用 Tk+1 表示,即通项为展开式的第k+1项: 对通项的理解 (1)它是(a+b)n的展开式的第k+1项,这里k=0,1,2,…,n; (2)字母a,b是一种“符号”,实际上它们可以是数、式及其它什么的,只要具备二项式的形式就可以用定理写出展开式; (3)展开式是对(a+b)n这个标准形式而言的,还可以对等式进行变形. 思考(1)如何求展开式中的第三项? (2)如何求展开式中第三项的系数? 方法(1)用定理展开,再找指定项; (2)用通项公式. 解: (2)先将原式化简,再展开,得 1. 的展开式中,第五项是……( ) A. B. C. D. 2. 的展开式中,不含a的项是第( ) A.7 项 B.8 项 C.9 项 D.6项 要解答上题必须熟记二项式定理 上题答案: (1) B (2) A 求近似值(精确到0.001) (1)(0.997)3 (2)(1.002)6 分析: (1)(0.997)3=(1-0.003)3 (2)(1.002)6=(1+0.002)6 类似这样的近似计算转化为二项式定理求展开式,按精确度展开到一定项. 分析:方法一用通项公式(适用于任意次幂) 方法二用定理展开(次数较小时使用) 答案: 1.二项式定理 二项式定理(a+b)n=Cn0an+Cn1an-1b+…+ Cnran-rbr+…+Cnnbn是通过不完全归纳法,并结合组合的概念得到展开式的规律性,然后用数学归纳法加以证明. 2.二项式定理的特点 (1)项数:共n+1项,是关于a与b的齐次多项式 (2)系数 (3)指数 :a的指数从n逐项递减到0,是降幂排 列;b的指数从0逐项递增到n,是升幂排列. 1. (2018年安徽、河北卷)在 的展开式中,常数项是______. A.14 B.-14 C.42 D. -42 解析: 则k=6,故展开式中的常数项是 ,选答案A. 令 2.(2018年全国)在(x-a)10的展开式中,x7的系数是15,则实数a的值为_______. -1/2 解析: 1.填空 (1)(x+2)10(x2-1)的展开式中x10的系数为_____. (2)在(x-1)11的展开式中,x的偶次幂的所有项的系数的和为______ . 1.179 -210 2.选择 (1)( i)12展开式中所有奇数项的和是( ) A.-1 B.1 C.0 D.i (2) 数11100-1的末尾连续的零的个数是( ) A.0 B.3 C.5 D.7 √ √ )r=C12r 3.解答题 (1)求( + )12展开式中所有的有理数项. 解: 通项为Tr+1=C12r( )12-r( (r=0,1,2,…,12),为得有理数项,只需r是6的倍数,即r=0,6,12,即有理数项为T1=C120·24=16,T7=C126·22·33=99792,T13=C1212·36=729. (2)二项式 的展开式中第三项系数比第二项系数大44,求第4项的系数. 分析:由第三项系数比第二项系数大44先求n, 再由通项求第四项系数. 答案:165 (3) 某班有男、女学生各n人,现在按照男生至少一人,女生至多n人选法,将选出的学生编成社会实践小组,试证明:这样的小组的选法共有2n(2n-1)种. 证:依题意,这些小组中女生人数分别是Cn0,Cn1,Cn2,…,Cnn个.对于上述女生人数的每种情况,男生人数可以有Cn0,Cn1,Cn2,…,Cnn个。 根据乘法原理和加法原理可得 Cn0Cn1+Cn0Cn2+…+Cn0Cnn+Cn1Cn1+…+Cn1Cn2+Cn2Cn1+Cn2Cn2+…+Cn2Cnn+…CnnCn1+ Cnn Cn2+…+ Cnn Cnn = Cn0(Cn1+Cn2+…+ Cnn)+Cn1 (Cn1+Cn2+…+ Cnn)+Cn2(Cn1+Cn2+…+Cnn)+…+Cnn(Cn1+Cn2+…+ Cnn) =(Cn1+Cn2+…+ Cnn)(Cn0 +Cn1+Cn2+…+ Cnn) =(2n-1)2n ∴ 依题意所编成的小组共有2n(2n-1)个.

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  • ID:3-6912812 [精]数学选修2-3 2.1离散型随机变量及其分布列 专项训练测试题(原卷版+解析版)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第二章 随机变量及其分布/2.1离散型随机变量及其分布列

    中小学教育资源及组卷应用平台 选修2-3 离散型随机变量及其分布列 专项训练测试题原卷版 选择题 1.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,则下列概率中等于eq \f(CC,C)的是 A.P(X=2)       B.P(X≤2) C.P(X=4) D.P(X≤4) 2.若随机变量X的分布列为 X -2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当P(X<a)=0.8时,实数a的取值范围是 A.(-∞,2] B.[1,2] C.(1,2] D.(1,2) 3.某射击选手射击环数的分布列为 X 7 8 9 10 P 0.3 0.3 a b 若射击不少于9环为优秀,其射击一次的优秀率为 A.30%   B.40%   C.60%   D.70% 4.设随机变量ξ的分布列为P(ξ=k)=a,k=1,2,3,则a的值为 A.1 B. C. D. 5.设随机变量Y的分布列为 Y -1 2 3 P m 则“≤Y≤”的概率为 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分) 6.抛掷2颗骰子,所得点数之和X是一个随机变量,则P(X≤4)=________. 7.甲、乙两队在一次对抗赛的某一轮中有3个抢答题,比赛规定:对于每一个题,没有抢到题的队伍得0分,抢到题并回答正确的得1分,抢到题但回答错误的扣1分(即得-1分).若X是甲队在该轮比赛获胜时的得分(分数高者胜),则X的所有可能取值是________. 三、解答题(共25分) 8.(12分)某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同). (1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率; (2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列. 9.(13分)(2019·日照一模)有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入坐编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知ξ=2时,共有6种坐法. (1)求n的值; (2)求随机变量X的概率分布列. 10.随机变量X的分布列如下: X -1 0 1 P a a2 则P(|X|=1)等于 A. B. C. D. 11.已知随机变量X的概率分布列如下表: X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 P m 则P(X=10)= A. B. C. D. 12.已知随机变量X的概率分别为p1,p2,p3,且依次成等差数列,则公差d的取值范围是________. 13.若P(X≤x2)=1-β,P(X≥x1)=1-a,其中x1x2)=β. ∵P(X≥x1)=1-a,∴P(Xx2)=1-α-β. 答案 1-α-β 14.私家车的尾气排放是造成雾霾天气的重要因素之一,因此在生活中我们应该提倡低碳生活,少开私家车,尽量选择绿色出行的方式,为预防雾霾出一份力.为此,很多城市实施了机动车尾号限行,我市某报社为了解市区公众对“车辆限行”的态度,随机抽查了50人,将调查结果进行整理后制成下表: 年龄/岁 [15,25) [25,35) [35,45) [45,55) [55,65) [65,75] 频数 5 10 15 10 5 5 赞成人数 4 6 9 6 3 4 (1)若从年龄在[15,25)和[25,35)这两组的被调查者中各随机选取2人进行追踪调查,求恰有2人不赞成的概率; (2)在(1)的条件下,令选中的4人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ,求随机变量ξ的分布列. 解析 (1)由表知,年龄在[15,25)内的有5人,不赞成的有1人,年龄在[25,35)内的有10人,不赞成的有4人,恰有2人不赞成的概率为 P=eq \f(C,C)·eq \f(C·C,C)+eq \f(C,C)·eq \f(C,C)=×+×=. (2)ξ的所有可能取值为0,1,2,3. P(ξ=0)=eq \f(C,C)·eq \f(C,C)=×=, P(ξ=1)=eq \f(C,C)·eq \f(C,C)+eq \f(C,C)·eq \f(C·C,C)=×+×=, P(ξ=2)=, P(ξ=3)=eq \f(C,C)·eq \f(C,C)=×=, 所以ξ的分布列是 ξ 0 1 2 3 P 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-6908723 [精]第三章 变量间的相关关系 专项跟踪训练测试(含答案解析)

    高中数学/人教新课标A版/选修2-3/第三章 统计案例/本章综合与测试

    中小学教育资源及组卷应用平台 备考2020 高考二轮复习 变量间的相关关系及统计案例 专项跟踪测试题解析版 1. 解析 依题意,K2=5,且P(K2≥3.841)=0.05,因此有95%的把握认为“X和Y有关系”,选A. 答案 A 2. 解析 由题意知==5, ==4, 将点(5,4)代入=x-0.25,解得=0.85, 则=0.85x-0.25, 所以当x=8时,=0.85×8-0.25=6.55,故选C. 答案 C 3. 解析 根据2×2列联表与独立性检验可知,当与相差越大时,X与Y有关系的可能性越大,即a,c相差越大,与相差越大,故选A. 答案 A 4. 解析 由-0.7<0,得变量x,y之间呈负相关关系,故A正确;当x=20时,=-0.7×20+10.3=-3.7,故B正确;由表格数据可知=×(6+8+10+12)=9,=(6+m+3+2)=,则=-0.7×9+10.3,解得m=5,故C错;由m=5,得==4,所以该回归直线必过点(9,4),故D正确.故选C. 答案 C 5. 解析 由题意知=0.2,=-1.7, ∴==≈0.73>0, ∴=-1.7-0.73×0.2≈-1.85<0,故选C. 答案 C 二、填空题(每小题5分) 6. 解析 由题图知==2,==2.6,将(2,2.6)代入=x+1中,解得=0.8. 答案 0.8 7. 解析 K2≈3.918≥3.841,而P(K2≥3.814)≈0.05,所以有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”.要注意我们检验的是假设是否成立和该血清预防感冒的有效率是没有关系的,不是同一个问题,不要混淆. 答案 ① 三、解答题(共25分) 8.解析 (1)从高一年级学生中随机抽取1人,抽到男生的概率约为=. (2)根据统计数据,可得2×2列联表如下: 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 60 45 105 女生 30 45 75 合计 90 90 180 则K2的观测值为k==≈5.142 9>5.024, 所以能在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关. 9. 解析 (1)由所给数据计算得=(1+2+3+4+5+6+7)=4, =(2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9)=4.3, (ti-)2=9+4+1+0+1+4+9=28, (ti-)(yi-)=(-3)×(-1.4)+(-2)×(-1)+(-1)×(-0.7)+0×0.1+1×0.5+2×0.9+3×1.6=14, ===0.5, =-t=4.3-0.5×4=2.3, 所求线性回归方程为=0.5t+2.3. (2)由(1)知,=0.5>0,故2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加,平均每年增加0.5千元. 将2020年的年份代号t=9代入(1)中的线性回归方程,得 =0.5×9+2.3=6.8,故预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入约为6.8千元. 10. 解析 独立性检验得出的结论是带有概率性质的,只能说结论成立的概率有多大,而不能完全肯定一个结论,因此才出现了临界值表,在分析问题时一定要注意这点,不可对某个问题下确定性结论,否则就可能对统计计算的结果作出错误的解释. 若从统计量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,是指有1%的可能性使得判断出现错误.故选C. 答案 C 11. 解析 由所给的数据计算可得=3,=2,回归方程为 =0.6x+0.2,过点A1,A2的直线方程为y=x. 所以①m>,>n,正确; ②直线l1过点A3,正确; 综上可得,正确的命题有2个.选B. 答案 B 12. 解析 对于A,取a=-1,b=-2,不能推出a2>b2,故错误;对于B,命题p:?x∈R,2x>0的否定为?x0∈R,2x0≤0,故错误;对于C,为了了解800名学生对学校某项教改实验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为800÷40=20,故错误;对于D,因为回归直线的斜率的估计值为1.23,所以回归直线方程可写成=1.23x+,根据回归直线过样本点的中心(4,5),则=0.08,所以回归直线方程为=1.23x+0.08,故正确.故选D. 答案 D 13. 解析  月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高气温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低气温 -12 -3 1 -2 7 17 19 23 25 10 温差 17 12 8 13 10 7 8 7 6 11 由表格可知最低气温大致随最高气温的增大而增大,A正确;每月最高气温与最低气温的平均值在前8个月不是逐月增加,B错;月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月,C正确;1月至4月的月温差(最高气温减最低气温)相对于7月至10月,波动性更大,D正确,故选B. 答案 B 14. 解析 (1)= ==1.7, ∴=-=28.4, 故y关于x的线性回归方程是=1.7x+28.4. (2)∵0.75<0.93, ∴二次函数回归模型更合适. 当x=3时,=33.47. 故选择二次函数回归模型更合适,并且用此模型预测A超市广告费支出3万元时的销售额约为33.47万元. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 备考2020 高考二轮复习 变量间的相关关系及统计案例 专项跟踪测试题原卷版 一、选择题(每小题5分) 1.为了判定两个分类变量X和Y是否有关系,应用独立性检验法算得K2的观测值为5,又已知P(K2≥3.841)=0.05,P(K2≥6.635)=0.01,则下列说法正确的是 A.有95%的把握认为“X和Y有关系” B.有95%的把握认为“X和Y没有关系” C.有99%的把握认为“X和Y有关系” D.有99%的把握认为“X和Y没有关系” 2.已知变量x和y的统计数据如下表: x 3 4 5 6 7 y 2.5 3 4 4.5 6 根据上表可得回归直线方程为=x-0.25, 据此可以预测当x=8时,= A.6.4    B.6.25    C.6.55    D.6.45 3.假设有两个分类变量X和Y的2×2列联表如下:     Y X    y1 y2 总计 x1 a 10 a+10 x2 c 30 c+30 总计 60 40 100 对同一样本,以下数据能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为 A.a=45,c=15     B.a=40,c=20 C.a=35,c=25 D.a=30,c=30 4.已知变量x,y之间的线性回归方程为=-0.7x+10.3,且变量x,y之间的一组相关数据如下表所示,则下列说法错误的是 x 6 8 10 12 y 6 m 3 2 A.变量x,y之间呈负相关关系 B.可以预测,当x=20时,=-3.7 C.m=4 D.该回归直线必过点(9,4) 5.已知两个随机变量x,y之间的相关关系如下表所示: x -4 -2 1 2 4 y -5 -3 -1 -0.5 1 根据上述数据得到的回归方程为=x+,则大致可以判断 A.>0,>0 B.>0,<0 C.<0,>0 D.<0,<0 二、填空题(每小题5分) 6.如图是一组数据(x,y)的散点图,经最小二乘估计公式计算,y与x之间的线性回归方程为=x+1,则=________. 7.某医疗研究所为了检验某种血清预防感冒的作用,把500名使用血清的人与另外500名未使用血清的人一年中的感冒记录作比较,提出假设H0:“这种血清不能起到预防感冒的作用”,利用2×2列联表计算得K2≈3.918,经查临界值表知P(K2≥3.841)≈0.05.则下列结论中,正确结论的序号是________. ①有95%的把握认为“这种血清能起到预防感冒的作用”; ②若某人未使用该血清,那么他在一年中有95%的可能性得感冒; ③这种血清预防感冒的有效率为95%; ④这种血清预防感冒的有效率为5%. 三、解答题(共25分) 8.(12分)(2019·合肥质检)某校在高一年级学生中,对自然科学类、社会科学类校本选修课程的选课意向进行调查.现从高一年级学生中随机抽取180名学生,其中男生105名;在这180名学生中选择社会科学类的男生、女生均为45名. (1)试问:从高一年级学生中随机抽取1人,抽到男生的概率约为多少? (2)根据抽取的180名学生的调查结果,完成下面的2×2列联表.并判断能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为科类的选择与性别有关? 选择自然科学类 选择社会科学类 合计 男生 女生 合计 附:K2=,其中n=a+b+c+d. P(K2≥k0) 0.500 0.400 0.250 0.150 0.100 0.050 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 9.某地区2012年至2018年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表: 年份 2012 2013 2014 2015 2016 2017 2018 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 (1)求y关于t的线性回归方程; (2)利用(1)中的线性回归方程,分析2012年至2018年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2020年农村居民家庭人均纯收入. 附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: =,=-. 10.在吸烟与患肺癌这两个分类变量的独立性检验的计算中,下列说法正确的是 A.若K2的观测值为k=6.635,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺癌 B.由独立性检验可知,在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系时,我们说某人吸烟,那么他有99%的可能患有肺癌 C.若从统计量中求出在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为吸烟与患肺癌有关系,是指有1%的可能性使得判断出现错误 D.以上三种说法都不正确 11.已知具有线性相关的五个样本点A1(0,0),A2(2,2),A3(3,2),A4(4,2),A5(6,4),用最小二乘法得到回归直线方程l1:=x+,过点A1,A2的直线方程l2:y=mx+n,那么下列四个命题中, 正确的命题有 A.1个    B.2个    C.3个    D.4个 12.下列说法中正确的是 A.“a>b”是“a2>b2”成立的充分不必要条件 B.命题p:?x∈R,2x>0,则綈p:?x0∈R,2x0<0 C.为了了解800名学生对学校某项教改实验的意见,用系统抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本,则分组的组距为40 D.已知回归直线的斜率的估计值为1.23,样本点的中心为(4,5),则回归直线方程为=1.23x+0.08 13.下表是我国某城市在2017年1月份至10月份10个月的最低气温与最高气温(℃)的数据一览表. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 最高气温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21 最低气温 -12 -3 1 -2 7 17 19 23 25 10 已知该城市各月的最低气温与最高气温具有相关关系,根据表格下列结论错误的是 A.最低气温与最高气温为正相关 B.每月最高气温和最低气温的平均值在前8个月逐月增加 C.月温差(最高气温减最低气温)的最大值出现在1月 D.1月至4月的月温差(最高气温减最低气温)相对于7月至10月,波动性更大 14.某市春节期间7家超市广告费支出xi(万元)和销售额yi(万元)数据如下表: 超市 A B C D E F G 广告费支出xi 1 2 4 6 11 13 19 销售额yi 19 32 40 44 52 53 54 (1)若用线性回归模型拟合y与x的关系,求y与x的线性回归方程; (2)若用二次函数回归模型拟合y与x的关系,可得回归方程:=-0.17x2+5x+20,经计算,二次函数回归模型和线性回归模型的R2分别约为0.93和0.75,请用R2说明选择哪个回归模型更合适,并用此模型预测A超市广告费支出3万元时的销售额. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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  • ID:3-6908615 [精]3.3 几何概型的概率 专项跟踪测试题(含答案解析)

    高中数学/人教新课标A版/必修3/第三章 概率/3.3 几何概型/本节综合

    中小学教育资源及组卷应用平台 备考2020 高考一轮复习 专题模块 几何概型的概率 专项跟踪训练测试题原卷版 一、选择题(每小题5分) 1.在区间[0,1]上随机取一个数x,则事件“log0.5(4x-3)≥0”发生的概率为 A.     B.     C.     D. 2.如图所示,半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域,在圆中随机扔一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是,则阴影部分的面积是 A. B.π C.2π D.3π 3.(2018·合肥、阜阳调研)若正方形ABCD的边长为4,E为四边上任意一点,则AE的长度大于5的概率等于 A. B. C. D. 4.已知定义在区间[-3,3]上的单调函数f(x)满足:对任意的x∈[-3,3],都有f(f(x)-2x)=6,则在[-3,3]上随机取一个实数x,使得f(x)的值不小于4的概率为 A. B. C. D. 5.(2019·临汾模拟)在长为2的线段AB上任意取一点C,则以线段AC为半径的圆的面积小于π的概率为 A. B. C. D. 6.一个多面体的直观图和三视图如图所示,点M是AB的中点,一只蝴蝶在几何体ADF-BCE内自由飞翔,则它飞入几何体F-AMCD内的概率为 A. B. C. D. 二、填空题(每小题5分) 7.记函数f(x)=的定义域为D.在区间[-4,5]上随机取一个数x,则x∈D的概率是________. 8.已知Ω={(x,y)||x|≤1,|y|≤1},A是曲线y=x2与y=x围成的区域,若向区域Ω上随机投一点P,则点P落入区域A的概率为________. 9.《九章算术》中有如下问题:“今有勾八步,股一十五步,问勾中容圆径几何.”其大意:“已知直角三角形两直角边长分别为8步和15步,问其内切圆的直径为多少步.”现若向此三角形内随机投一粒豆子,则豆子落在其内切圆外的概率是 A. B. C.1- D.1- 10.甲、乙两人约定晚6点到晚7点之间在某处见面,并约定甲若早到则等乙半小时,而乙还有其他安排,若乙早到则不需等待,则甲、乙两人能见面的概率为 A. B. C. D. 11.如图是一边长为8的正方形苗圃图案,中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心,圆与圆之间是相切的,且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点,则该点取自黑色区域的概率为 A. B. C.1- D.1- 12.在区域内任意取一点P(x,y),则x2+y2>1的概率是 A. B. C. D. 13.(5分)如图,正四棱锥S-ABCD的顶点都在球面上,球心O在平面ABCD上,在球O内任取一点,则这点取自正四棱锥内的概率为________. 14.(5分)(2019·新乡模拟)若x是从区间[0,3]内任意选取的一个实数,y也是从区间[0,3]内任意选取的一个实数,则x2+y2<1的概率为________. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com) 中小学教育资源及组卷应用平台 备考2020 高考一轮复习 专题模块 几何概型的概率 专项跟踪训练测试题解析版 1. 解析 由log0.5(4x-3)≥0,得0<4x-3≤1, 解得

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  • ID:3-6908555 高中数学选修3-1第一讲 早期的算术与几何 丰富多彩的记数制度(共34张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修3-1/第一讲 早期的算术与几何/三 丰富多彩的记数制度

    (共34张PPT) 第一讲 早期的算术与几何 —记数和测量 数的进位制的产生与人的手指有关,“屈指可数”是人类计数最原始、最方便的工具.“手指记数法”最早源于美洲大陆、北西伯利亚及非洲的许多民族. 我们现在普遍使用的1,2,…,9称作阿拉伯数字,任何一个数都可以用这10个数码表示.当数字大于9时,无需创造新的数码. 而世界上有很多其他的数码,不同地区、环境造就了不同的人类文明,进而产生了多种记数方法. 你知道吗? 三、丰富多彩的记数制度 世界上不同年代出现了五花八门的进位制和眼花缭乱的记数符号体系,这就足以证明数学起源的多元性和数学符号的多样化. 位值制包含两个要素:一个是进制,一个是位值,两者缺一不可,但是在这两个要素中,位值的思想要比进位的思想更具实际意义. 想想这是为什么? 中国人发明的十进制数是“位值制”的,称为“十进位值制”.古埃及发现的十进制虽然是世界上最早的,但它采用的是累计制而不是位值制.印度人在公元595年才在碑文上有明确的十进位值制,比我国迟了1千年,再说巴比伦很早知道位值制,但用的是60进制.因此,马克思称中国的十进位制是“最妙的发明之一”. 关于十进位值制 中国古代的算筹记数 我国远古用结绳和刻划计数,到了商代中期(约公元前13世纪)出现了甲骨文,其中有十进非位值制的记数法,共有13个独立的记数符号,最大数字是3万.到了春秋战国时期(公元前8世纪—前3世纪),我国已经广泛使用了算筹记数法. 结绳记事 算筹是将几寸长的小竹棍,也有用木、骨、铁材料制成的.使用时,在平面上进行计算. 算筹 在算筹计数法中,以纵横两种排列方式来表示单位数目的,其中1-5均分别以纵横方式排列相应数目的算筹来表示,6-9则以上面的算筹再加下面相应的算筹来表示。表示多位数时,个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位用横式,以此类推,遇零则置空。这种计数法遵循十进位制 . 算筹记数有纵横两种: 纵式 横式 中国古代的算筹数码 算筹记数有纵横两种:《孙子算经》(约公元前3—4世纪)中记载:“凡算之法,先识其位.一纵十横,百立千僵,千十相望,万百相当.”(意思说,算筹记数之法,先看数位.个位用纵式,十位用横式,百位用纵式,千位再用横式,如此类推)这和现今的加减法竖式相似. 印度—阿拉伯数码 国际通用的数码常称为阿拉伯数码,这是历史遗留下来的不确切名称,其实叫做印度—阿拉伯数码. 印度—阿拉伯数码最早这种文字形成于公元前7、8世纪,是印度文字的祖先. 印度最早的确凿无疑的零号“0”出现在瓜廖尔地方的一块石碑上,年代是公元876年. 13世纪,欧洲的著名数学家斐波那契写了一本书,名为《算盘书》,这是第一部向欧洲人介绍印度数码的著作,“这是印度的九个数字:9 8 7 6 5 4 3 2 1 ,还有一个阿拉伯人称之为零的符号0,这样任何数都可以表示出来.” 零的出现 斐波那契:意大利数学家,西方第一个研究斐波那契数,并将现代书写数和乘数的位值表示法系统引入欧洲. 斐波那契 其他记数制度 简单累数制的特点是每一个较高的单位,都用一种新的符号来表示,比如古埃及象形文中的数字;巴比伦楔形文中,以60以下的,12世纪以前盛行欧洲的罗马数字也是采用的也是简单累数制. 简单累数制 罗马数字 罗马数码采用的也是简单累数制. 分级符号制 分级符号制不但对每个较高的单位都要另立符号,而且对较高单位的倍数也要设新符号.古埃及僧侣文中的数码就属于十进制的分级符号制. 古埃及僧侣文中的数码 印度婆罗米文 婆罗米数字在分类上属于分级符号制. 使用分级符号制度需要记住很多符号,这是缺点,但写起来很紧凑. 古希腊的字母记数法,犹太民族的希伯来字母记数法以及阿拉伯字母记数法都属于分级符号制. 乘法累数制 乘法累数值是将重复书写改用乘法表示.最具代表性的是中国数字,如4600不必写成“千千千千百百百百百百”,而是写成“四千六百”. 中国自古以来使用的是十进的乘法累加制,仅用13个数字:一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万. 这13个数在甲骨文中就出现过: 万以上的数,后来又增加了一些新字,以表示更大的单位.如《数术记遗》中提出亿、兆、京、垓等10种名称. 中国古代甲骨文 进位制 数的进位制有以下几种: 五进位制 十进位制 二十进位制 十二进位制 十六进位制 六十进位制 二进位制 八进位制 五进制以罗马数字为代表,大写字母V代表5,实际上是一只手掌的象形,罗马数字每增五,就创立一个新的符号. 十进制的产生是因为每个人都有10个手指,在公元前2000年的埃及与公元前1600年的中国商代甲骨文中有十进制记数法了. 二十进制是以玛雅人的记数法为代表.玛雅是中美洲印第安人的一个部落.地处热带,人们喜欢赤脚,计数时手指不够就用脚趾,于是产生了二十进制. 玛雅人用一种特殊的数字表示时间: 图中20个符号相当于1~20的数字,20以下采用5进的简单累数制,20以上采用位值制.在一般计算中采用严格的20进位值制. 十二进制可能与人的一只手关节有关.除大拇指外,其余4个手指有12个关节;也可能和一年有12个月有关.历史上一罗=12打,1打=12个,1英尺=12英寸,1先令=12便士,此外一天12个小时. 十六进制中像我国旧制1斤=16两,欧洲1俄尺=16俄寸,1磅=16英两.由于16= ,它与2的关系十分密切,所以在电子计算机上常被用作十进制与二进制的一种过渡进位制. 六十进制是地处亚洲西部的巴比伦人于2000年前首先创用的.关于起源:一种是说60是2、3、4、5、6、10、12、15、20、30、60的倍数,可使计算简化;二说与圆周分成360份有关. 二进制的思想最早出现在我国.公元前11世纪的《周易》中记载:“易有极大,是生两仪,两仪生四象,四明生八卦”.意思是一分为二,二分为四,四分为八. 八进制依据“逢八进一”的法则,现在计算机中经常用到,一个字节等于8比特. 我国古代的一套有象征意义的符号。用“一”代表阳,用“--”代表阴,用三个这样的符号,组成八种形式,叫做八卦. 算筹记数是中国古人在生产实践中创造出来的一种简单的方法,能够实现位值制记数法,为加减乘除等计算建立了良好的条件. 印度—阿拉伯数码采用十进位值制,它的演变,经历了漫长而复杂的历史. 罗马书码、古埃及僧文中数码、中国数字、各种不同的进制的产生都有各自的意义,有的仍在沿用.

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  • ID:3-6908548 高中数学选修3-1第一讲 两河流域的数学(共27张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修3-1/第一讲 早期的算术与几何/二 两河流域的数学

    (共27张PPT) 第一讲 早期的算术与几何 —记数和测量 巴比伦古称“美索不达米亚” (底格里斯—幼发拉底河谷),意指两河之间地带.这是一块肥美的平原,环境优美,据传是《圣经》中伊甸园的原型. 公元前2000年左右建立的古巴比伦王国,首都巴比伦,是当时世界上最大的城市之一,最著名的“空中花园”被称为世界七大奇迹之一.可惜,后来因战争和生态环境的破坏,这座最美丽的城市于公元前539年被黄沙掩埋。巴比伦于约公元前64年被古罗马灭亡. 二、两河流域的数学 从公元前3000年到前2000年这一地区(在今伊拉克和伊朗西部)所创造的数学习惯统称为巴比伦数学. 公元前四、五千年,两河流域的苏美尔人用削尖的芦苇杆或木棒在软泥板上写字,泥板晒干后坚硬如石.由于这种文字形如楔子.所以称为楔形字.后来传给了巴比伦人. 楔形文字 楔形文字中的记数法 目前已挖掘出约75万块刻有文字的泥板书,其中约有300块被鉴定为数学泥板,其中约200块是各种数表,包括乘法表、倒数表、平方表和立方表等. 带有四边形和数字符号30;1,24,51,10;42,25,35的泥版书. 这是世界上最古老的图书之一. 大约在公元前1800年—前1600年,巴比伦人发展成一套记数方法是10进制和60进制的混合物. 60以下用10进的简单累计制,60以上用60进的位值制. 巴比伦人在实践中已广泛引用了分数.而他们多令分母为常数并等于60. 如36=3×10﹢6,记为 泥板上的代数 巴比伦人已经由算术向代数过渡.他们的代数比几何先进得多. 许多泥板中载有一次和二次方程的问题,其中一元二次方程求根公式(只取正根)是世界上最早的求根公式.泥板上还有三次方程和含多个未知数的线性方程组的问题. 在哈莫拉比时代(公元前1792—前1600)的泥板上“两个正方形中,一个边长为另一个边长的 少10,两者面积只和为1000,求两个正方形的边长各是多少?” 这实际上是相当于解方程: 巴比伦已有数列概念.公元前300年左右的一块泥板上有相当于. 巴比伦人还知道相当于两数和的完全平方公式。 数列 泥板上的几何 的计算 有一块公元前1700年左右的圆饼状泥板上,刻有一个正方形并画出了对角线.对角线上写了行数字,即1,24,51,10,化成10进制小数就是 巴比伦人按勾股定理推算出来的单位正方形对角线的长,与真值的差不超过 比古印度的记载早一千多年,而误差小的多. 泥板上的几何图形 巴比伦人是最早发现“勾股定理”的. 勾股数 纽约哥伦比亚大学的珍本图书馆藏有一块年代为公元前1900—前1600的泥板,称为普林顿322号数学泥板. 根据记载,巴比伦人找到了不定方程 的整数解的一般表达式 这就是著名的毕达哥拉斯三元数组.早在公元前2000年就发现了. 巴比伦人知道三角形相似及对应边成比例关系,并且会计算简单面积和体积公式. 如圆的面积公式 其中c为圆周长由此推出 面积的计算 巴比伦人能正确计算长方形、梯形、三角形的面积.因水利工程等方面的需要他们得出计算堤坝的体积公式: 体积的计算 其中a、b为横截面梯形的上、下底,h 为堤坝的高,l为堤坝的长. 巴比伦人还能进行复杂的正四棱台体积和楔形平截头方锥的体积计算: 其中h为高, 为上、下底面积. 圆周度 巴比伦人将圆周分成360度,每度60分,每分60秒;一个小时也是60分钟,每分60秒.这就是今天度、分、秒制度的来历. 一星期有7天也是巴比伦建立而沿袭下来的制度.一年有12个月,每月有30天,每6年年末加上第13个月作为闰月. 两河流域的数学成就 在数学方面,巴比伦人已经知道如何度量矩形、直角三角形和等腰三角形的面积,以及圆柱体和平行六面体这类正多边体的体积. 他们对圆面积的度量比不上埃及人. 他们在计数上已经有了位置值的概念,但似乎没有表示零的方法. 古巴比伦的数学与古埃及的数学一样,主要解决各类具体问题的实用知识,处于原始算法积累时期.尽管古埃及的纸草书和巴比伦的泥板上都有求几何图形面积的问题,但本质上都是算术的应用,几何学作为独立的学科还不存在. 两河流域数学的局限 如图1-1是一个几何体的三视图(单位:cm) (Ⅰ)画出这个几何体的直观图(不要求写画法); (Ⅱ)求这个几何体的表面积及体积; (Ⅲ)设异面直线 与 所成的角为 ,求 解:(Ⅰ)这个几何体的直观图如图1-2所示。 (Ⅱ)这个几何体是直三棱柱. 由于底面的高为1,所以 故所求全面积 这个几何体的体积 (Ⅲ)因为 ,所以 与 所成的角是 .在 ,

    • 2020-02-20
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  • ID:3-6908540 高中数学 选修3-1 第一讲 早期的算术与几何 古埃及的数学 课件:(共36张PPT)

    高中数学/人教新课标A版/选修3-1/第一讲 早期的算术与几何/一 古埃及的数学

    (共36张PPT) 第一讲 早期的算术与几何 —记数和测量 人类四大文明的发祥地: 尼罗河下游的古埃及 幼发拉底河和底格里斯河流域的古巴比伦 恒河和印度河畔的古印度 黄河和长江流域的古代中国 数学首先在这些地方产生: 古埃及和古巴比伦的数学历史最为久远. 公元前3500年—前3000年在非洲东北部的尼罗河流域的肥沃原野上诞生了美丽富饶而强大的王国——埃及,那时它已发展成为统一的奴隶制国家. 根据现在保存在英国牛津Ashmolean博物馆的古埃及第一王朝时期(约公元前3400年以前)一个王室的权标上象形文字的记载,当时一次胜仗曾俘获过120000名俘虏,400000头牛,1422000头羊.这表明当时埃及人已能用象形文字表示大的数目. 一、古埃及的数学 古埃及墓壁画 “在使用的技术发明之后,那些并不直接为生活的需要或满足的科学才会产生出来,它首先出现在人们有闲暇的地方,数学科学最早在埃及兴起,就是因为那里的祭司阶层享有足够的闲暇.” ——古希腊的亚里士多德(公元前384—前322)在《形而上学》中写道 象形文字中的数字记数 古埃及最古老的文字是象形文,大约在公元前3000年就已形成. 古埃及的象形文字 在象形文中已出现代表数字的各种符号,1就是一竖划,2到9依次累加10像拱门,100是一卷绳,1000像花,10 000是一个指头;这套数字是以10为基底的十进记数法,它不是十进位值制.这与我国先进的“十进位值制记数法”有本质区别. 制作方法:把它的茎逐层撕开,剖成长条;整齐的排列在一起,联合成条;压平晒干;用削尖的芦杆在上面写字. 纸草书上的数学 “纸草”是一种生长在尼罗河三角洲地区的形如芦苇的水生植物. 纸草 莱因德纸草书 苏格兰埃及考古学者莱因德于公元1858年发现,现存于伦敦大英博物馆 书名《阐明对象中一切黑暗的、秘密的事物的指南》,共有84个题目 作者埃及僧人阿默士(约公元前1700年) 记载了古埃及从公元前2200年开始千余年的算术几何和杂题等的数学问题 莱因德纸草书 莫斯科纸草书 俄罗斯收藏家格列尼切夫在1893年获得,现藏于莫斯科国立造型艺术博物馆 苏联科学院院士图拉耶夫完成它的出版 比莱因德纸草书早约2个世纪,但重要性要稍逊于莱因德纸草书 上面载有25个问题,卷首已失落而不知其书名和作者 莫斯科纸草书 莱因德纸草书,有不少的数学问题都来自于像分面包和确定酿造酒精的浓度这一类实际生活问题,其中多数问题只需要用一个简单的一元一次方程便能解决. 古埃及的单分数 单分数(分子为1的分数)是古埃及数学的一大特色. 算术运算 古埃及计算整数加减法只要将表示数目的符号累积起来,再转写成相应的符号即可;分数的加减法却相当复杂,因为所有的分数都要化成单分数. 乘法是累加法,与除法的原理一样,只不过步骤颠倒过来. 古埃及人完成了基本的算术四则运算,并推广到分数上;已经有了求近似平方根的方法. 古埃及人已经能处理包括一次方程和某些类型的二元方程. 莱因德纸草书第11题:“一个数的 ,加上这个数的 ,再加上它的 ,再加上这个数的本身等于37,求这个数.” 只需列出方程: 几何学的诞生 古埃及的几何学起源于每年尼罗河周期性泛滥后的土地测量,当时从事土地测量的人员叫做“拉绳者”. 古埃及的“拉绳者” 莱因德纸草书上载有19个关于土地面积和谷仓容积的问题,这些问题都以惊人的准确性被算出来. 纸草书的第三片讲到如何去确定正方形和矩形、三角形和梯形以及能分割成这些形状的土地面积. 土地测量 圆面积的计算 古埃及人的结果比上古时代任何其他民族的结果都更准确. 他们认为圆的面积等于一个边长为此圆直径的 的正方形面积,这个结果导致圆周长与其直径的比值3.16. 圆柱体和直棱柱的体积 莫斯科纸草书上清楚的记载着关于两端是正方形的截棱柱体体积的计算,结果惊人的准确.它就是今天我们用的公式: “计算尼罗河水的涨落期的需要,产生了埃及的天文学.” ————马克思《资本论》 “尼罗河每年涨水后,需要重新确定农民田地边界,从而产生几何学.” ————古希腊“历史之父”希罗多德 在基奥普斯王朝(公元前2900年左右)时代建筑起来的金字塔,雕刻这些石块的精密度是惊人的.金字塔本身建筑在一个非常近似于正方形的基座上,基座每边平均长度是755.79英尺,任何一边与此数值差值不超4.5英寸.其中有两边差不多是正南和正北,偏差不过3厘米.并且塔高和塔基座比值非常近似于圆的周长与半径之比. 他们完成了基本的算术四则运算,并推广到分数上;有了求近似平方根的方法; 埃及人的数学成就 他们已经有了算术级数和几何级数的知识; 他们已能处理包括一次方程和某些类型的二次方程的问题; 他们几何知识的主要内容是关于平面图形和立体图形的求积法; 他们在求圆面积以及把圆分为若干相等部分的问题上,已经有了正确认识; 他们已经熟悉比例的基本原理. 从纸草书中记载的三角形、圆以及棱台体积的计算内容看,虽然埃及是几何学的发源地,但始终停留在实验阶段,几何学的知识是零碎的、片段的,尚未形成完整的体系,还缺乏逻辑因素,基本上看不到命题的证明,似乎还不知道勾股定理. 古埃及数学的局限 千古谜题 莱因德纸草书上第79题,上面写有一些象形数字7、49、343、2401、16807,并在旁边注有图、猫、鼠、大麦、量器.再无只字解释. 敏感的德国著名数学家康托尔研究时产生联想:“一份财产包括七间房子,每间房子有七只猫,每只猫吃七只老鼠,每个老鼠吃七个麦穗,每个麦穗产七克谷物.在这份财产中,房子、猫、老鼠、麦穗和谷物,总共有多少?” 这实际上是一个以7为公比的等比数列求和问题: 康托尔提出的这个发现见解,至今没人表示异议. 象形文字小测试 答案:1 10 12 23 46 81

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