[ID:3-6116740] 人教九年级数学第22章二次函数知识和例题详解(含答案)
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资料简介:
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人教九年级数学最全《二次函数》知识&例题详解
一、什么是二次函数?
【引例】一个正方体的棱长为a,它的表面积为S,于是我们可以得到函数关系式:S=6a2,这里a是自变量,S是a的函数,因为这里自变量的最高次数是2,所以我们把它称为二次函数
我们可以以图表的形式把对应关系表示出来(不考虑实际意义):

我们根据列表绘制出它的图像:
?
我们发现:
二次函数的图像是一条抛物线
二、二次函数的图象研究
刚才我们已经知道二次函数的图像是一条抛物线,那么这条抛物线有什么特点那?
二次函数的一般形式:y=ax2+bx+c(a≠0)
(1)我们先来研究a与抛物线y=ax2+bx+c图像的联系

我们发现:
当a>0时,抛物线开口向上;
当a<0时,抛物线开口向下

观察上面的抛物线我们发现:
当a>0,a越大,开口越小
当a<0,a越大,开口越大
即|a|越大,开口越小
(2)抛物线与y轴的交点
对于y=ax2+bx+c,令x=0,得y=c,即抛物线与y轴的交点为(0,c)
(3)抛物线与x轴的交点
对于y=ax2+bx+c,令y=0,就转化成了一元二次方程ax2+bx+c=0
我们知道这个方程根的个数可以用判别式△=b2-4ac来判断,
①当△>0时,方程有两个不相等的实根


②当△=0时,方程有两个相等的实根

③当△<0时,方程无实根
而一元二次方程ax2+bx+c=0的实根个数和抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点个数是相对应的
①当△>0时,抛物线与x轴有两个交点

所以,当给出两个交点时,我们也可以把函数关系式写成:

我们也把这个关系式叫做交点式
②当△=0时,抛物线与x轴有一个交点

③当△<0时,抛物线与x轴无交点

(4)抛物线的顶点及对称性
不难发现,抛物线是个轴对称图形,那么它的对称轴是什么那?
我们随便找一个二次函数y=2x2-4x+1,我们对它进行配方,得到y=2(x-1)2-1
我们利用列表法描点:


根据图像我们发现:
此函数图像的对称轴为x=1
当x<1,即在对称轴左侧时,抛物线呈递减趋势;
当x>1,即在对称轴右侧时,抛物线呈增强趋势;
当x=1,即在对称轴上时,y=-1,
而(1,-1)即为抛物线y=2(x-1)2-1的顶点
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