[ID:3-6495382] 高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性教材梳理素材新人教A版必修1
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资料简介:
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1.3.2 奇偶性
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、函数奇偶性的定义
1.奇函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数.
例如:函数f(x)=x3,它的定义域为R,因f(x)=x3,f(-x)=(-x)3=-x3,所以f(-x)=-f(x),即对于定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x).所以它是奇函数.
2.偶函数
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数.
例如:函数f(x)=x2,它的定义域为R,因为f(-x)=(-x)2=x2=f(x),即对于定义域的任意一个x都有f(-x)=f(x),所以它是偶函数.
要点提示 注意此处空半格函数的奇偶性是研究f(-x)与f(x)之间关系的,其中f(-x)是把f(x)解析式中的x换成“-x”而得到的.
因为x∈D,-x∈D,所以奇偶函数的定义域必关于原点对称. 因此判断函数奇偶性的关键是先看定义域是否关于原点对称,再看f(-x)与f(x)的关系.
函数包括奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既奇又偶函数四类.
二、奇偶函数的图象特征
1.奇函数的图象关于原点成中心对称图形;反之,如果一个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形,则这个函数是奇函数.
若f(x)为奇函数,(x,f(x))在图象上,则(-x,f(-x))即(-x,-f(x))也在f(x)的图象上.
2.偶函数的图象关于y轴对称;反之,如果一个函数的图象关于y轴对称,则这个函数是偶函数.
若f(x)为偶函数,(x,f(x))在图象上,则(-x,f(-x))即(-x,f(x))也在f(x)的图象上.
如果知道一个函数是奇函数或偶函数,则只要把它的定义域分成关于原点对称的两部分,得出函数在一部分上的性质和图象,就可推出函数在另一部分上的性质和图象.
我们不难发现,如果奇函数y=f(x)的定义域内有零,则由奇偶函数的定义知f(-0)=-f(0),即f(0)=-f(0).∴f(0)=0.
误区警示 注意此处空半格图象关于坐标原点或y轴对称,指的是函数图象本身,而不是两个函数图象之间的关系.
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