[ID:3-6440304] 2019_2020学年高中数学第一章集合与函数概念1.3.2奇偶性第2课时函数奇偶性 ...
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第2课时 函数奇偶性的应用
[目标] 1.掌握利用函数奇偶性求函数解析式的方法;2.理解并能运用函数的单调性和奇偶性解决比较大小、求最值、解不等式等综合问题.
[重点] 利用函数奇偶性求函数解析式,求函数值.
[难点] 运用函数的单调性和奇偶性解决综合问题.

知识点一  函数奇偶性的性质
[填一填]
1.奇、偶函数代数特征的灵活变通
由f(-x)=-f(x),可得f(-x)+f(x)=0或=-1(f(x)≠0);由f(-x)=f(x),可得f(-x)-f(x)=0或=1(f(x)≠0).在判定函数的奇偶性方面,有时利用变通后的等式更为方便.
2.函数奇偶性的重要结论
(1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义,即f(0)有意义,那么一定有f(0)=0,有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数.
(2)如果函数f(x)是偶函数,那么f(x)=f(|x|).
[答一答]
1.什么函数既是奇函数又是偶函数?
提示:设f(x)既是奇函数又是偶函数,则f(-x)=-f(x),且f(-x)=f(x),故-f(x)=f(x),所以f(x)=0,但定义域需关于原点对称.故既是奇函数又是偶函数的函数有无数多个,它们为f(x)=0且其定义域是关于原点对称的非空数集.
2.利用奇、偶函数的图象特征,直接观察函数奇偶性与单调性、最值之间有怎样的关系?
提示:(1)奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性;偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性.
(2)偶函数在关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值,取最值时的自变量互为相反数;奇函数在关于原点对称的区间上的最值互为相反数,取最值时的自变量也互为相反数.
知识点二  函数奇偶性与单调性的联系
[填一填]
由于奇函数的图象关于原点对称,因此奇函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相同,而偶函数的图象关于y轴对称,因此偶函数在定义域内关于原点对称的区间上的单调性相反,求解函数单调性与奇偶性的综合问题,要注意应用函数单调性和奇偶性的定义.
[答一答]
3.设f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递增,则f(-2),f(-π),f(3)的大小顺序是f(-π)>f(3)>f(-2).
解析:∵f(x)是R上的偶函数,
∴f(-2)=f(2),f(-π)=f(π),
又f(x)在[0,+∞)上递增,而2<3<π,
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