[ID:3-6495376] 高中数学第一章集合与函数概念1.3.1单调性与最大(小值)教材梳理素材新人 ...
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资料简介:
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1.3.1 单调性与最大(小)值
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、单调性
1.增函数和减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是增函数.
如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)>f(x2),那么就说函数f(x)在区间D上是减函数.

要点提示 注意此处空半格函数的单调性是相对于函数定义域I内的某个区间D而言的,显然DI.
对于给定定义域内的任意两个不同的自变量,当函数值的改变量与自变量的改变量符号相同时,即为增函数;符号相反时,即为减函数.
若函数y=f(x)在区间D上是增函数,反映到图象上,从左至右呈上升趋势,反之,呈下降趋势.
2.单调性与单调区间
如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间M上具有单调性,区间M称为单调区间.
依据函数单调性的定义证明函数单调性的步骤:
(1)取值.即设x1、x2是该区间内的任意两个值且x1<x2.
(2)作差变形.求f(x2)-f(x1),通过因式分解、配方、有理化等方法,向有利于判断差的符号的方向变形.
(3)定号.根据给定的区间和x2-x1的符号确定f(x2)-f(x1)的符号.当符号不确定时,可以进行分类讨论.
(4)判断.根据单调性定义作出结论.
即取值——作差——变形——定号——判断.
函数f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数f(x)在区间上函数值的变化趋势,是函数在区间上的整体性质,即若证明f(x)在[a,b]上是递增的,就必须证明对于区间[a,b]上任意的两个自变量x1、x2,当x1<x2时,都有f(x1)<f(x2)成立,而不可以用两个特殊值来替换,但是要否定一个函数在某一区间上的单调性,只要举一个反例即可.
误区警示 注意此处空半格函数单调性定义中的x1、x2有三个特征:一是同属一个单调区间;二是任意性,即“任意”取x1、x2,“任意”二字决不能丢掉,证明单调性时更不可随意以两个特殊值替换;三是有大小,通常规定x1<x2.三者缺一不可.
二、函数的最大(小)值
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