[ID:3-6495365] 高中数学第一章集合与函数概念1.2.1函数的概念教材梳理素材新人教A版必修1
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资料简介:
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1.2.1 函数的概念
疱丁巧解牛
知识·巧学·升华
一、函数
1.函数的定义
函数的传统定义:设在某变化过程中有两个变量x、y,如果对于x在某一范围内的每一个确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么就称y是x的函数,x叫做自变量.
函数的近代定义:一般地,设A、B都是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应,那么就称f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,记作y=f(x),x∈A.其中x叫自变量,x的取值范围A叫做函数的定义域,函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.
不难发现{f(x)|x∈A}B.
要点提示 注意此处空半格函数是一种特殊的对应,要检验给定的两个变量之间是否具有函数关系,只要检验:
①定义域和对应法则是否给出;
②根据给出的对应法则,自变量x在其定义域中的每一个值,是否都有唯一确定的函数值y与之对应.
2.函数的三要素
(1)定义域
定义域是自变量x的取值范围,有时函数的定义域可以省略,如果未加特殊说明,函数的定义域就是指能使这个式子有意义的所有实数x的集合.在实际问题中,还必须考虑自变量x所代表的具体量的允许值范围,
例如:函数y=,由于没有指出它的定义域,则我们认为它的定义域是x≥-3且x≠0的实数.又如:一矩形的宽为x m,长是宽的2倍,其面积为y=2x2,此函数的定义域为x>0而不是全体实数.
要点提示 注意此处空半格求函数的定义域,应考虑分式的分母不为零,根式有意义等,遇到实际问题还必须考虑自变量x所代表的具体量有实际意义.
(2)对应法则
对应法则f是核心,它是对自变量x进行“操作”的“程序”或者“方法”,是连结x与y的纽带,按照这一“程序”,从定义域集合A中任取一个x,可得到值域{y|y=f(x)且x∈A}中唯一y与之对应.一般地,函数f(x)中,“f”可以用具体的文字来描述,如f(x)=x2,f表示为“求平方”;f(x)=2x+1,f表示为“乘2加1”.但有时,由于函数f(x)没有解析式,如教材实例(2)(3),我们就无法用文字写出它的对应法则,同一“f”,可以“操作”于不同形式的变量,如f(x)是对x进行操作,而f(x2)是对x2进行“操作”,f(3)是对3进行“操作”.由此可知,对应法则f可以用具体的文字来表述,也可以用图象或列表来表达.
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