[ID:3-6877491] 2019-2020学年浙江省绍兴市上虞区高三第一学期期末数学试卷 Word版含解析
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2019-2020学年高三第一学期期末数学试卷 一、选择题 1.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},B={3,4,6},则(?UA)∪B=(  ) A.{3} B.{4,6} C.{1,3,4,6} D.{2,3,4,5,6} 2.已知双曲线的离心率为,且其实轴长为6,则双曲线C的方程为(  ) A. B. C. D. 3.已知随机变量X的分布列(见表),Y=2X+1,则E(Y)=(  ) X 1 0 ﹣1 P a A. B. C. D.2 4.若实数x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是(  ) A.0 B.3 C.4 D.5 5.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“”是“A为锐角”的(  ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 6.函数y=的大致图象是(  ) A. B. C. D. 7.已知椭圆C:的左右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P为第一象限内椭圆上的一点,且,直线PF1交y轴于点M,若|F1F2|=2|OM|,则该椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 8.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为(  ) A.5或8 B.﹣1或5 C.﹣1或﹣4 D.﹣4或8 9.已知数列{an}中,a1=2,若,,若Sm<2020,则正整数m的最大值为(  ) A.1009 B.1010 C.2019 D.2020 10.在棱长均为的正四面体ABCD中,M为AC的中点,E为AB的中点,P是DM上的动点,Q是平面ECD上的动点,则AP+PQ的最小值是(  ) A. B. C. D. 二、填空题 11.已知复数(i为虚数单位),则=   ,|z|=   . 12.已知方程为x2+y2+2x﹣ay+a=0的圆关于直线4x+y=0对称,则圆的半径r=   ,若过点M(1,0)作该圆的切线,切点为A,则线段MA长度为   . 13.某几何体的三视图如图所示,正视图为正方形,侧视图为直角三角形,俯视图为等腰直角三角形,则其体积为   ,表面积为   . 14.若展开式中的各项系数之和为1024,则n=   ,常数项为   . 15.已知集合A=B={0,1,2,9},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域的不同情况有   种. 16.如图,已知C:(x﹣2)2+(y﹣2)2=1,△ABD为圆C的内接正三角形,M为边BD的中点,当△ABD绕圆心C转动,同时N在边AB上运动时,的最大值是   . 17.若关于x的方程恰有三个不同的解,则实数a的取值范围为   . 三、解答题 18.已知函数的图象如图所示,其中A为图象的最高点,B,C为图象与x轴的交点,且△ABC为等腰直角三角形. (1)求ω的值及f(x)的单调递增区间; (2)设,求函数g(x)在区间上的最大值及此时x的值. 19.已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1,∠ABC=,AC1⊥BC,BC1=BA=2,BC=1,AC1=2. (1)求AA1的长; (2)求AA1与面ABC所成的角的正切值. 20.在数列{an}中,已知a1=1,. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)记bn=an+(1﹣λ)n,且数列{bn}的前n项和为Sn,若S2为数列{Sn}中的最小项,求λ的取值范围. 21.已知抛物线C1:y2=2px(p>0),圆C2:x2+y2=r2(r>0),直线l:y=kx+m(m>0)与抛物线C1相切于点A,且与圆C2相切于点B. (1)当r=2,k=1时,求直线l方程与抛物线C1的方程; (2)设F为抛物线C1的焦点,△FAB,△FOB的面积分别为S1,S2,当取得最大值时,求实数的值. 22.已知函数. (1)若a=﹣1,求函数f(x)的单调区间及极值; (2)当x>0时,函数f(x)≥﹣1(其中a>0)恒成立,求实数a的取值范围. 参考答案 一、选择题 1.设全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5},B={3,4,6},则(?UA)∪B=(  ) A.{3} B.{4,6} C.{1,3,4,6} D.{2,3,4,5,6} 解:因为:全集U={1,2,3,4,5,6},集合A={2,3,5}, 所以:?UA={1,4,6} 因为B={3,4,6}, 则(?UA)∪B={1,3,4,6,} 故选:C. 2.已知双曲线的离心率为,且其实轴长为6,则双曲线C的方程为(  ) A. B. C. D. 解:双曲线的离心率为,且其实轴长为6, 可得e==,2a=6,即有a=3,c=5,b==4, 则双曲线的方程为﹣=1, 故选:A. 3.已知随机变量X的分布列(见表),Y=2X+1,则E(Y)=(  ) X 1 0 ﹣1 P a A. B. C. D.2 解:由随机变量X的分布列得: =1,解得a=, ∴E(X)==. ∴E(Y)=2E(X)+1=2×+1=. 故选:B. 4.若实数x,y满足约束条件,则z=x+2y的最大值是(  ) A.0 B.3 C.4 D.5 解:由z=x+2y,得y=﹣x+z,作出不等式对应的可行域, 平移直线y=﹣x+z, 由平移可知当直线y=﹣x+z 经过点B时, 直线y=﹣x+z的截距最大,此时z取得最大值, 由,解得 A(1,2), 将A(1,2),代入z=x+2y, 得z=1+2×2=5. 故选:D. 5.△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,则“”是“A为锐角”的(  ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分又非必要条件 解:△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c, A为锐角?b2+c2>a2, “”?a2≤(b+c)2≤(b2+c2). ∴“”是“A为锐角”的充分不必要条件. 故选:A. 6.函数y=的大致图象是(  ) A. B. C. D. 解:函数y=的导数为, 令y′=0,得x=, 时,y′<0,时,y′>0,时,y′<0. ∴函数在(﹣),()递减,在()递增. 且x=0时,y=0, 故选:D. 7.已知椭圆C:的左右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点,P为第一象限内椭圆上的一点,且,直线PF1交y轴于点M,若|F1F2|=2|OM|,则该椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 解:如图, 由|F1F2|=2|OM|,得|OF2|=|OM|=c, 在Rt△MOF1中,可得tan∠MF1O=1,即∠PF1F2=45°, 则|PF2|+|PF1|=2a=2c+2c,即e===. 故选:C. 8.若函数f(x)=|x+1|+|2x+a|的最小值为3,则实数a的值为(  ) A.5或8 B.﹣1或5 C.﹣1或﹣4 D.﹣4或8 解:<﹣1时,x<﹣,f(x)=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1>﹣1; ﹣≤x≤﹣1,f(x)=﹣x﹣1+2x+a=x+a﹣1≥﹣1; x>﹣1,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1>a﹣2, ∴﹣1=3或a﹣2=3, ∴a=8或a=5, a=5时,﹣1<a﹣2,故舍去; ≥﹣1时,x<﹣1,f(x)=﹣x﹣1﹣2x﹣a=﹣3x﹣a﹣1>2﹣a; ﹣1≤x≤﹣,f(x)=x+1﹣2x﹣a=﹣x﹣a+1≥﹣+1; x>﹣,f(x)=x+1+2x+a=3x+a+1>﹣+1, ∴2﹣a=3或﹣+1=3, ∴a=﹣1或a=﹣4, a=﹣1时,﹣+1<2﹣a,故舍去; 综上,a=﹣4或8. 故选:D. 9.已知数列{an}中,a1=2,若,,若Sm<2020,则正整数m的最大值为(  ) A.1009 B.1010 C.2019 D.2020 解:由a1=2,an+1=an2+an,得an+1=an(an+1)≥6, ∴=, ∴, 则=()+()+…+()=∈(0,), ∵=1﹣, ∴Sm==2m﹣2(﹣)=2m﹣1+<2m﹣1+=2m﹣, ∵Sm<2020, ∴2m﹣<2020, ∴m<1010+, ∴正整数m的最大值为1010, 故选:B. 10.在棱长均为的正四面体ABCD中,M为AC的中点,E为AB的中点,P是DM上的动点,Q是平面ECD上的动点,则AP+PQ的最小值是(  ) A. B. C. D. 解:由题意,平面CDE⊥平面ABC, 又平面CDE∩平面ABC=CE,过M作MG⊥CE, 则MG⊥平面CDE,连接DG,则DG为DM在平面CDE上的射影, 要使AP+PQ最小,则PQ⊥DG,沿DM把平面ADM展开,使得平面ADM与平面DMG重合, 则AP+PQ的最小值为A到DG的距离. MG=,DM=,则sin∠MDG=, ∴cos∠MDG=, ∠ADM=30°, ∴sin∠ADG=sin(∠MDG+30°)=sin∠MDG?cos30°+cos∠MDG?sin30° =. 又AD=,∴AQ=. 故选:A. 二、填空题:单空题每题4分,多空题每题6分 11.已知复数(i为虚数单位),则= ﹣1﹣i ,|z|=  . 解:∵=, ∴;|z|= 故答案为:﹣1﹣i;. 12.已知方程为x2+y2+2x﹣ay+a=0的圆关于直线4x+y=0对称,则圆的半径r= 2 ,若过点M(1,0)作该圆的切线,切点为A,则线段MA长度为 4 . 解:圆标准方程可化为(x+1)2+(y﹣)2=﹣a, 所以圆心(﹣1,)在直线4x+y=0上,代入解得a=8,所以r==2, 则圆的方程为(x+1)2+(y﹣4)2=8,圆心C(﹣1,4) 当直线为x=1时,明显与圆不相切, 因为直线MA与圆相切,故MA⊥AC, 所以MA===4, 故答案为2,4 13.某几何体的三视图如图所示,正视图为正方形,侧视图为直角三角形,俯视图为等腰直角三角形,则其体积为  ,表面积为 5+ . 解:由三视图还原原几何体如图, 该几何体为四棱锥P﹣ABCD,ABCD是边长为2的正方形, 侧面PAB为等腰直角三角形,PA=PB=,侧面PAB⊥底面ABCD, ∴; 表面积S==. 故答案为:;. 14.若展开式中的各项系数之和为1024,则n= 5 ,常数项为 405 . 解:中,令x=1得到展开式的各项系数和为4n=1024 解得n=5, ∴其通项公式为:Tr+1=(3)5﹣r?()r=35﹣r×x; 令=0?r=1; ∴其常数项为:34×=405. 故答案为:5,405. 15.已知集合A=B={0,1,2,9},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数,那么该函数的值域的不同情况有 15 种. 解:集合A=B={0,1,2,9},f:A→B为从集合A到集合B的一个函数, 则值域的不同情况为. 故答案为:15 16.如图,已知C:(x﹣2)2+(y﹣2)2=1,△ABD为圆C的内接正三角形,M为边BD的中点,当△ABD绕圆心C转动,同时N在边AB上运动时,的最大值是  . 解:由题意可得, ∴=()=. ∵==, 即N与B重合时取得最大值, , 由圆C:(x﹣2)2+(y﹣2)2=1,得圆心C(2,2),半径为1, 则,, 可得∈[]. ∴的最大值是. 故答案为:. 17.若关于x的方程恰有三个不同的解,则实数a的取值范围为 [﹣1,1] . 解:原题等价于方程恰有三个不同的解, 记f(x)=|x﹣a|﹣a,则函数f(x)的图象是顶点(a,﹣a)在直线y=﹣x的“V”型函数,作出图象如下图所示, 直线(蓝色)与函数的图象(红色)相切于点A,与函数的图象(紫色)相切于点B, 当点P(函数f(x)图象上的顶点)在直线y=﹣x上运动时,当且仅当点P在线段AB上时有三个交点,此时a∈[﹣1,1]. 故答案为:[﹣1,1]. 三、解答题:5小题,共74分 18.已知函数的图象如图所示,其中A为图象的最高点,B,C为图象与x轴的交点,且△ABC为等腰直角三角形. (1)求ω的值及f(x)的单调递增区间; (2)设,求函数g(x)在区间上的最大值及此时x的值. 解:(1)=﹣﹣=, 故f(x)的振幅为,△ABC为等腰直角三角形,所以BC=2=1, 所以T=2,, f(x)=, 当πx+∈[2kπ+π,2kπ+2π]时函数f(x)递增,故f(x)的单调递增区间为[2k+,2k+]; (2)=+===, 在区间上,, 当,即x=﹣时,g(x)有最大值. 19.已知斜三棱柱ABC﹣A1B1C1,∠ABC=,AC1⊥BC,BC1=BA=2,BC=1,AC1=2. (1)求AA1的长; (2)求AA1与面ABC所成的角的正切值. 解:(1)∵斜三棱柱ABC﹣A1B1C1,∠ABC=,AC1⊥BC, ∴AB⊥BC,又AC1∩AB=A,∴BC⊥平面ABC1, ∵BC1?平面ABC1,∴BC⊥BC1, ∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥BC1, ∵BC1=BA=2,BC=1,AC1=2. ∴AA1=BB1====. (2)∵=,∴AB⊥BC1, ∵BC⊥BC1,AB∩BC=B, ∴BC1⊥平面ABC, ∵,∴∠C1CB是AA1与面ABC所成的角, tan∠C1CB===2, ∴AA1与面ABC所成的角的正切值为2. 20.在数列{an}中,已知a1=1,. (1)求数列{an}的通项公式an; (2)记bn=an+(1﹣λ)n,且数列{bn}的前n项和为Sn,若S2为数列{Sn}中的最小项,求λ的取值范围. 解:(1)由a1=1,, 得, , , … . ∴, ∴=2n﹣n; (2)bn=an+(1﹣λ)n=2n﹣n+(1﹣λ)n=2n﹣λn, ∴前n项和为Sn=2+4+8+…+2n﹣λ(1+2+3+…+n) =﹣λ?, 若S2为数列{Sn}中的最小项,则对?n∈N*有2n+1﹣2﹣λ?≥6﹣3λ恒成立, 即2n+2﹣16≥(n2+n﹣6)λ对?n∈N*恒成立, 当n=1时,得λ≥2; 当n=2时,得λ≥0; 当n≥3时,n2+n﹣6=(n+3)(n﹣2)>0恒成立, ∴λ≤对?n≥3恒成立. 令f(n)=,则f(n+1)﹣f(n)>0对?n≥3恒成立, ∴f(n)=在n≥3时为单调递增数列. ∴λ≤f(3),即λ≤, 综上,2≤λ≤. 21.已知抛物线C1:y2=2px(p>0),圆C2:x2+y2=r2(r>0),直线l:y=kx+m(m>0)与抛物线C1相切于点A,且与圆C2相切于点B. (1)当r=2,k=1时,求直线l方程与抛物线C1的方程; (2)设F为抛物线C1的焦点,△FAB,△FOB的面积分别为S1,S2,当取得最大值时,求实数的值. 解:(1)由题意可知,设直线l的方程为x﹣y+m=0,且m>0, 由l与圆相切,可知d==2,解得m=2, 所以直线l的方程为x﹣y+2=0, 由,所以y2﹣2py+4p=0,由△=0,解得p=4, 所以抛物线C1的方程y2=8x; (2)解法一:联立方程组,消去x,整理得ky2﹣2py+2pm=0, 令△=0,即4p2﹣8kpm=0,解得p=2km,即m=,k>0, 此时切点A(,),直线方程为,可得, 再有直线,联立圆的方程,解得B(,), 所以|AB|==, F到AB的距离d=, S1=?|AB|?d=××=?, S2=??=?, 所以==≤=3﹣2, 当且仅当2k2=,即k2=时,的最大值为3﹣2, 此时===. 所以的值为. 解法二:设A(x1,y1),B(x2,y2),联立方程组,消去x,整理得ky2﹣2py+2pm=0, 令△=0,即4p2﹣8kpm=0,解得p=2km,即m=,k>0, 所以y1=, 直线AB的方程为:y=kx+,所以该直线与x轴的交点为Q(﹣,0), 联立,解得y2=, S1=S△AQF﹣S△BQF=(+)(y1﹣y2)=(+)(﹣)=?, S2=??y2=?(下同解法一) 解法三:由解法二可得Q(﹣,0),y1=,y2=, 所以=?=?=?=?=,(下同解法一) 解法四:设A(x0,y0),则过点A的抛物线切线方程为y0y=p(x+x0), 所以该直线与x轴的交点为Q(﹣x0,0), 所以|QF|=|AF|=x0+, 取AQ中点M,则 FM⊥AQ, 设△FBM,△OBQ的面积S3,S4, 则S1=S△FBM+S△FAM=S3+S3+S2+S4, ==1+2×+, 因为OB⊥AQ,FM⊥AQ,所以OB∥FM, 所以=====1+, ===, 所以=1+2×+=1+2(1+)+=3++≥3+2, 当且仅当=,即p=x0,取等号, 所以≤3﹣2, 所以的最大值为3﹣2, 直线px﹣y0y+px0=0与圆相切,所以r2=()2=, 所以====. 所以取得最大值时,的为. 22.已知函数. (1)若a=﹣1,求函数f(x)的单调区间及极值; (2)当x>0时,函数f(x)≥﹣1(其中a>0)恒成立,求实数a的取值范围. 解:(1)a=﹣1时,函数f(x)=x?e﹣x﹣1的导数为f′(x)=e﹣x﹣xe﹣x, 当x>1时,f′(x)<0,x<1时,f′(x)>0, 可得f(x)的增区间为(﹣∞,1),减区间为(1,+∞), f(x)有极大值f(1)=e﹣1﹣1,无极小值; (2)当x>0时,函数f(x)≥﹣1(其中a>0)恒成立, 可得x(e﹣﹣2)+a≥﹣1对x>0,a>0恒成立, 由f′(x)=e﹣﹣2+e,由f′(x)在x>0递增,可得f′(x)=0的根只有一个, 设为t,可得x>t时f′(x)>0,f(x)递增;0<x<t时,f′(x)<0,f(x)递减, 即x=t处f(x)取得极小值,且为最小值, 可得t(e﹣﹣2)+a≥﹣1,又e﹣﹣2+e=0, 可取t=a,代入可得a=. 解得a≥.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教新课标A版
  • 适用地区:浙江省绍兴市
  • 文件大小:1.73M
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