[ID:3-6877437] 2019-2020学年重庆市南开中学高一第一学期期末数学试卷 含解析
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2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷 一、选择题 1.已知集合A={x||x﹣1|<2},B={x|y=ln(2﹣x)},则A∩B=(  ) A.(﹣1,3) B.(﹣3,1) C.(﹣1,2) D.? 2.函数y=2sinxcosx+3的最小正周期为(  ) A. B.π C.2π D.4π 3.函数f(x)=lnx﹣的零点所在的区间是(  ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,+∞) 4.已知扇形的周长为4,面积为1,则该扇形的圆心角是(  ) A.1 B.2 C. D.π 5.锐角α满足,则=(  ) A. B. C. D. 6.若,a=log2x,b=2a,,则数a,b,c的大小关系为(  ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.b>a>c 7.=(  ) A.1 B. C. D. 8.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是(  ) A. B. C. D. 9.声音的等级f(x)(单位:dB)与声音强度x(单位:W/m2)满足.喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140dB;一般说话时,声音的等级约为60dB,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的(  ) A.106倍 B.108倍 C.1010倍 D.1012倍 10.要得到函数的图象,只需将函数y=cos2x的图象(  ) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 11.函数f(x)的定义域为R,且,f(0)≠0.若对任意实数x,y都有,则f(2020)=(  ) A. B.﹣1 C.0 D.1 12.函数f(x)=asin2x+bcos2x(a,b∈R且ab≠0)满足,且.则f(x)的单调递增区间为(  ) A. B. C. D. 二、填空题 13.如果tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4,那么tanαtanβ等于   . 14.幂函数在(0,+∞)单调递减,则实数m的值为   . 15.若f(x)=sinx﹣cosx在[﹣a,a]上的最大值为1,则实数a=   . 16.己知函数f(x)=,若方程f2(x)﹣(a+1)f(x)+1﹣2a=0有四个不同的实数解,则实数a的取值范围为   . 三、解答题 17.已知函数. (1)写出函数f(x)的最小正周期; (2)用五点作图法画出函数f(x)在一个周期内的图象 18.已知角α终边上有一点P(1,y),且. (1)求tanα的值; (2)求的值. 19.已知函数(a>0且a≠1)是奇函数. (1)求实数m的值; (2)当x∈(1,a﹣2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值. 20.已知函数(ω>0)的两条对称轴之间的最小距离为. (1)求函数f(x)的最大值; (2)若,,求cos2α的值. 21.设函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1),则称x0为函数f(x)的“旺点”. (1)求函数f(x)=2x+3x在R上的“旺点”; (2)若函数在(0,+∞)上存在“旺点”,求正实数a的取值范围. 22.已知函数. (1)判断f(x)的奇偶性和单调性(不要求证明); (2)若不等式f[sin2α﹣(m+3)(sinα+cosα)]+f(2m+3)>0对任意α∈[0,]恒成立,求实数m的取值范围; (3)若f(θcosθ)<f(sinθ),其中,求证:sin4θ+2sin2θ+16θsin2θ>8θ. 参考答案 一、选择题 1.已知集合A={x||x﹣1|<2},B={x|y=ln(2﹣x)},则A∩B=(  ) A.(﹣1,3) B.(﹣3,1) C.(﹣1,2) D.? 【分析】求出集合A,B,由此能求出A∩B. 解:∵集合A={x||x﹣1|<2}={x|﹣1<x<3}, B={x|y=ln(2﹣x)}={x|x<2}, ∴A∩B={x|﹣1<x<2}=(﹣1,2). 故选:C. 2.函数y=2sinxcosx+3的最小正周期为(  ) A. B.π C.2π D.4π 【分析】先对解析式进行化简,再代入周期公式即可. 解:因为y=2sinxcosx+3=sin2x+3; ∴T==π. 故选:B. 3.函数f(x)=lnx﹣的零点所在的区间是(  ) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(e,+∞) 【分析】根据函数零点的判断条件,即可得到结论. 解:∵f(x)=lnx﹣,则函数f(x)在(0,+∞)上单调递增, ∵f(2)=ln2﹣1<0,f(3)=ln3﹣>0, ∴f(2)f(3)<0, 在区间(2,3)内函数f(x)存在零点, 故选:B. 4.已知扇形的周长为4,面积为1,则该扇形的圆心角是(  ) A.1 B.2 C. D.π 【分析】根据扇形的面积公式和弧长关系建立方程进行求解即可. 解:设扇形的半径为r,弧长为l, 则l+2r=4,① S=lr=1, 即lr=2,② 得r=1,l=2, 则扇形圆心角的弧度数为=2, 故选:B. 5.锐角α满足,则=(  ) A. B. C. D. 【分析】直接利用通过三角函数关系式的变换的应用求出结果. 解:由于α为锐角, 所以,整理得:, 由于>0, 所以. 故, 所以. 故选:D. 6.若,a=log2x,b=2a,,则数a,b,c的大小关系为(  ) A.c>b>a B.b>c>a C.a>b>c D.b>a>c 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性直接求解. 解:∵, ∴﹣1=<a=log2x<log21=0, 0<b=2a<=2﹣a, ∴a,b,c的大小关系c>b>a. 故选:A. 7.=(  ) A.1 B. C. D. 【分析】由于53°=30°+23°,然后结合两角和的正弦公式展开即可求解. 解:=, ==, 故选:B. 8.在同一直角坐标系中,函数f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax的图象可能是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据题意,分析可得a>0且a≠1,进而分a>1和0<a<1两种情况讨论,结合幂函数和对数函数的性质分析可得答案. 解:根据题意,f(x)=xa(x≥0),g(x)=logax,必有a>0且a≠1, 分2种情况讨论: 当a>1时, f(x)=xa(x≥0)过点(0,0)和(1,1),在第一象限为增函数,且图象变化越来越快,而g(x)=logax为对数函数,过点(0,1)且为增函数, 没有选项符合; 当0<a<1时, f(x)=xa(x≥0)过点(0,0)和(1,1),在第一象限为增函数,且图象变化越来越慢,而g(x)=logax为对数函数,过点(0,1)且为减函数, 只有A选项符合; 故选:A. 9.声音的等级f(x)(单位:dB)与声音强度x(单位:W/m2)满足.喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140dB;一般说话时,声音的等级约为60dB,那么喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的(  ) A.106倍 B.108倍 C.1010倍 D.1012倍 【分析】由函数f(x)的解析式,分别求出喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度,即可求出结果. 解:∵喷气式飞机起飞时,声音的等级约为140dB, ∴10×lg=140,解得x1=102, 又∵一般说话时,声音的等级约为60dB, ∴10×lg=60,解得x2=10﹣6, ∴喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的倍, 故选:B. 10.要得到函数的图象,只需将函数y=cos2x的图象(  ) A.向左平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向右平移个单位 【分析】先根据诱导公式进行化简y=cos2x为正弦函数的类型,再由左加右减上加下减的原则可确定平移的方案. 解:y=cos2x=sin(2x+),函数y=sin(2x+)的图象经过向右平移而得到函数y=sin[2(x﹣)+]=sin(2x+)的图象, 故选:B. 11.函数f(x)的定义域为R,且,f(0)≠0.若对任意实数x,y都有,则f(2020)=(  ) A. B.﹣1 C.0 D.1 【分析】由已知等式可得f(0)=1,再由,推得函数是周期为2的周期函数,从而求得f(2020)的值. 解:由题意,令x=y=0,可得2f(0)=2f2(0),即f(0)(1﹣f(0))=0, ∵f(0)≠0,∴f(0)=1, ∵, ∴f(1+x)+f(x)=2f()f()=0, 即f(1+x)=﹣f(x),则f(2+x)=f[1+(1+x)]=﹣f(1+x)=﹣[﹣f(x)]=f(x). ∴f(x)是周期为2的周期函数, 则f(2020)=f(0)=1. 故选:D. 12.函数f(x)=asin2x+bcos2x(a,b∈R且ab≠0)满足,且.则f(x)的单调递增区间为(  ) A. B. C. D. 【分析】化函数f(x)为正弦型函数,根据得出f(x)关于(﹣,0)对称,结合题意求出θ的值,再求f(x)的单调递增区间. 解:函数f(x)=asin2x+bcos2x=sin(2x+θ),tanθ=; ,f(x)关于(﹣,0)对称, 即2×(﹣)+θ=kπ,k∈Z, 解得θ=kπ+,k∈Z; 又,即sin(π+kπ+)>sin(2π+kπ+),k∈Z; 所以k为奇数,不妨令k=﹣1,则θ=﹣; 所以f(x)=sin(2x﹣), 即﹣+2kπ<2x﹣<+2kπ,k∈Z; 解得+kπ<x<+kπ,k∈Z; f(x)的单调递增区间为(kπ+,kπ+),k∈Z. 故选:A. 二、填空题:本大题4个小题,每小题5分,共20分,各题答案必须填写在答题卡上相应位置(只填结果,不写过程) 13.如果tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4,那么tanαtanβ等于  . 【分析】由条件可得 ==4,解方程求得 tanαtanβ 的值. 解:∵tanα+tanβ=2,tan(α+β)=4, ∴==4, 解得 tanαtanβ=, 故答案为 . 14.幂函数在(0,+∞)单调递减,则实数m的值为 1 . 【分析】利用幂函数的性质直接求解. 解:∵幂函数在(0,+∞)单调递减, ∴, 解得m=1. ∴实数m的值为1. 故答案为:1. 15.若f(x)=sinx﹣cosx在[﹣a,a]上的最大值为1,则实数a=  . 【分析】首先通过把三角函数关系式的恒等变换,变形成正弦型函数,进一步求出结果. 解:f(x)=sinx﹣cosx=. 由于函数在[﹣a,a]上的最大值为1, 所以(k∈Z), 整理得(k∈Z), 当k=0时,a=x=. 故答案为: 16.己知函数f(x)=,若方程f2(x)﹣(a+1)f(x)+1﹣2a=0有四个不同的实数解,则实数a的取值范围为  . 【分析】由题意画出函数f(x)的图象,要使方程有4个不同的实数根,判别式大于零,求出方程关于f(x)的根,然后由f(x)的范围由两种情况时,则关于x的方程有4个不同的实数根,分别解出a的范围,最后求出a的范围. 解:函数f(x)的图象如图所示:要使由方程有4个不同的实数解,即与f(x)由4分交点,f(x)<0,或f(x)∈(0,1),或f(x)>1或f(x)∈(0,1), 可得f2(x)﹣(a+1)f(x)+1﹣2a=0由两个不等的实数根,∴△=(a+1)2﹣4(1﹣2a)>0,即a2+10a﹣3>0, f(x)=,或f(x)=,所以①,或②, 由①得:,显然不成立, 由②得:,所以可得a. 故答案为:(,). 三、解答题:本大题6个小题,共70分,各题解答必须答在答题卡上(必须写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程) 17.已知函数. (1)写出函数f(x)的最小正周期; (2)用五点作图法画出函数f(x)在一个周期内的图象 【分析】(1)根据三角函数的周期公式进行求解即可. (2)利用五点法进行列表作图即可. 解:(1)函数的最小正周期T=, (2)列对应值表如下: 2x﹣ 0 π 2π x f(x) 0 2 0 ﹣2 0 通过描出五个关键点,再用光滑曲线顺次连接作出函数f(x)在一个周期内的图象如下图所示: 18.已知角α终边上有一点P(1,y),且. (1)求tanα的值; (2)求的值. 【分析】(1)结合三角函数的定义即可求解, (2)利用诱导公式先对已知进行化简,然后结合同角基本关系可求. 解:(1)根据三角函数的定义可知,sinα==,所以y>0, 解可得,y=2,tanα=2, (2)===3. 19.已知函数(a>0且a≠1)是奇函数. (1)求实数m的值; (2)当x∈(1,a﹣2)时,函数f(x)的值域为(1,+∞),求实数a的值. 【分析】(1)由 题意可得f(x)+f(﹣x)=0,代入结合对数的运算性质即可求解m, (2)由a﹣2>1可得a>3,结合复合函数的单调性法则可得函数y=f(x)在(1,a﹣2)上单调递减,结合单调性可求. 解:(1)由 题意可得f(x)+f(﹣x)=0,即loga+loga=0, 所以=1, 整理可得,(m2﹣1)x2=0恒成立, 故m=±1, 当m=﹣1时,显然不符合题意,舍去, 故m=1, (2)由a﹣2>1可得a>3, 所以y=logat单调递减, 令t==1+在(1,+∞)上单调递减, 所以函数y=f(x)在(1,a﹣2)上单调递减, 所以f(a﹣2)=loga=1, 解可得a=2+. 20.已知函数(ω>0)的两条对称轴之间的最小距离为. (1)求函数f(x)的最大值; (2)若,,求cos2α的值. 【分析】(1)由三角函数公式化简可得f(x)=sin(2ωx﹣)﹣,由函数图象和周期公式可得ω=1,易得最大值; (2)先根据,,求得cos(2α﹣)=,再由cos2α=cos[(2α﹣)+]即可求得结论. 解:(Ⅰ)由三角函数公式化简可得f(x)=sinωxcosωx﹣cos2ωx =sin2ωx﹣=sin(2ωx﹣)﹣, ∵函数f(x)图象两条对称轴之间的最小距离为, ∴周期T==2×,解得ω=1, ∴f(x)=sin(2x﹣)﹣, ∴f(x)的最大值为1﹣=; (2)因为=sin(2α﹣)﹣?sin(2α﹣)=, ∵,∴2∈(﹣,); ∴cos(2α﹣)=. ∴cos2α=cos[(2α﹣)+] =cos(2α﹣)cos﹣sin(2α﹣)sin =×﹣× =. 21.设函数f(x)的定义域为D,若存在x0∈D,使得f(x0+1)=f(x0)+f(1),则称x0为函数f(x)的“旺点”. (1)求函数f(x)=2x+3x在R上的“旺点”; (2)若函数在(0,+∞)上存在“旺点”,求正实数a的取值范围. 【分析】(1)由已知旺点的定义可知得到一个方程,解方程可得函数f(x)的旺点; (2)由旺点的定义整理出方程,再令函数,即在(0,+∞)函数有零点,分二次项系数为正负零3种情况讨论,由二次函数的对称轴和单调性求出a的取值范围. 解:(1)由题意知:2(x0+1)+3=2x0+3+2×1+31=2x0+3+5,所以2=3,解得x0=log3=log33﹣log32,=1﹣log32, 所以函数f(x)=2x+3x在R上的“旺点”是x0=1﹣log32; (2)由题意可得:方程log2=log2+log2=log2,在(0,+∞)上有解, 化简得(a﹣2)x2+2ax+2a﹣2=0,设h(x)=(a﹣2)x2+2ax+2a﹣2,x∈(0,+∞), ①当a﹣2=0,即a=2时,h(x)=4x+2在(0,+∞)显然无零点,舍去, ②当a﹣2>0时a>2,h(x)的对称轴为x=<0,h(0)=2a﹣2>0, 所以h(x)>0对一切x∈(0,+∞)恒成立,故在无零点,舍去, ③当时a﹣2<0,即0<a<2,h(x)的对称轴为x=>0, 故只需△=4a2﹣4(a﹣2)(2a﹣2)≥0,即a2﹣6a﹣4≤0,解得3﹣≤a<2, 综上所述,正实数的取值范围为:[3﹣,2). 22.已知函数. (1)判断f(x)的奇偶性和单调性(不要求证明); (2)若不等式f[sin2α﹣(m+3)(sinα+cosα)]+f(2m+3)>0对任意α∈[0,]恒成立,求实数m的取值范围; (3)若f(θcosθ)<f(sinθ),其中,求证:sin4θ+2sin2θ+16θsin2θ>8θ. 【分析】(1)由奇偶性和单调性的性质,可判断奇偶性和单调性; (2)由(1)可得sin2α﹣(m+3)(sinα+cosα)>﹣2m﹣3,由三角换元和辅助角公式、正弦函数的性质,以及恒成立思想可得所求范围; (3)由题意可得θcosθ<sinθ,即tanθ>θ,cos2θ>0,0<tanθ<1,由作差法和三角函数的二倍角公式,化简整理,结合不等式的性质即可得证. 解:(1)函数在R上为奇函数,为增函数; (2)不等式f[sin2α﹣(m+3)(sinα+cosα)]+f(2m+3)>0,α∈[0,], 即为f[sin2α﹣(m+3)(sinα+cosα)]>﹣f(2m+3)=f(﹣2m﹣3), 由f(x)在R上递增,可得sin2α﹣(m+3)(sinα+cosα)>﹣2m﹣3, 设t=sinα+cosα=sin(α+)∈[1,],sin2α=t2﹣1, 可得t2﹣(m+3)t+2m+2>0,即(t﹣m﹣1)(t﹣2)>0, 由t﹣2<0,可得t﹣m﹣1<0,即m+1>t的最大值,可得m+1>,即有m>﹣1; (3)证明:f(θcosθ)<f(sinθ),其中, 可得θcosθ<sinθ,即tanθ>θ,cos2θ>0,0<tanθ<1, sin4θ+2sin2θ+16θsin2θ﹣8θ=2sin2θcos2θ+2sin2θ﹣8θ(1﹣2sin2θ)=2sin2θcos2θ+2sin2θ﹣8θcos2θ =2cos2θ(sin2θ+tan2θ﹣4θ)=2cos2θ(+﹣4θ)=2cos2θ(﹣4θ), 由cos2θ>0,>4tanθ>4θ,可得2cos2θ(﹣4θ)>0, 则sin4θ+2sin2θ+16θsin2θ﹣8θ>0,即sin4θ+2sin2θ+16θsin2θ>8θ.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教新课标A版
  • 适用地区:重庆市
  • 文件大小:1.09M
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