[ID:3-6877431] 2019-2020学年黑龙江省哈尔滨六中高一第一学期期末数学试卷 Word含解析
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2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷 一、选择题 1.已知集合A={y|y=log3x,x>1},B={x|x2﹣2x﹣3<0},则A∩B=(  ) A.{y|0<y<3} B.{y|0<y<1} C.{y|y>1} D.{y|y>3} 2.若480°角的终边上一点(﹣4,a),则a的值为(  ) A. B. C. D. 3.设a=log34,b=log43,c=log3(log43),则(  ) A.c<b<a B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 4.函数的定义域为(  ) A. B. C. D. 5.根据表格中的数据,可以判定方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为(  ) x ﹣1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+2 1 2 3 4 5 A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 6.函数f(x)=log2(x2+2x﹣3)的单调递增区间为(  ) A.(﹣1,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣3) 7.函数f(x)=sinx?lnx2的部分图象大致是图中的(  ) A. B. C. D. 8.在△ABC中,若sin(A﹣B)=1﹣2cosAsin(A+C),则△ABC的形状为(  ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不含60°角的等腰三角形 9.为了得到函数y=3cos2x的图象,只需把函数的图象上所有的点(  ) A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 10.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣2)=f(x+2),且当x∈[﹣2,0]时,f(x)=3x﹣1,则f(9)=(  ) A.﹣2 B.2 C. D. 11.已知tan2α=﹣2,且满足<α<,则的值为(  ) A. B.﹣ C.﹣3+2 D.3﹣2 12.已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是  ) A.[,] B.[,] C.[0,] D.[0,3] 二、填空题 13.函数f(x)=cos2x﹣6cosx,x∈[0,]的值域为   . 14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|<)的图象(部分)如图所示,则f(x)的解析式是   . 15.函数的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,所得图象关于原点对称,则φ的值为   . 16.给出如下五个结论: ①存在α∈(0,)使 ②函数是偶函数 ③最小正周期为 ④若α、β是第一象限的角,且α>β,则sinα>sinβ ⑤函数的图象关于点对称 其中正确结论的序号为   . 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或解题步骤) 17.已知函数f(x)=Asin({ωx+φ})(A>0,ω>0,|φ|<)图象上的一个最高点的坐标为,此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点. (1)求函数f(x)的解析式; (2)用“五点法”画出(1)中函数f(x)在[0,π]上的图象. 18.已知函数f(x)=sin2x+cos2x,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程; (2)若,求的值. 19.设函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,函数g(x)=3ax﹣4x(x∈R). (1)求g(x)的解析式; (2)若方程g(x)﹣b=0在[﹣2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围. 20.已知函数. (1)求函数f(x)的对称中心坐标及单调递减区间; (2)函数f(x)在区间上的最小值为1,求m的最小值. 21.已知函数. (1)若存在,使得f(x)≥a成立,则求a的取值范围; (2)将函数f(x)的图象上每个点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,得到函数g(x)的图象,求函数在区间内的所有零点之和. 22.已知函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设f(x)=. (1)求a,b的值; (2)不等式f(2x)﹣k?2x≥0在x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数k的取值范围; (3)方程f(|2x﹣1|)+k(﹣3)=0有四个不同的实数解,求实数k的取值范围. 参考答案 一、选择题:(本大题共12小题,每小题5分,共60分) 1.已知集合A={y|y=log3x,x>1},B={x|x2﹣2x﹣3<0},则A∩B=(  ) A.{y|0<y<3} B.{y|0<y<1} C.{y|y>1} D.{y|y>3} 【分析】求出集合A,B,由此能求出A∩B. 解:∵集合A={y|y=log3x,x>1}={y|y>0}, B={x|x2﹣2x﹣3<0}={x|﹣1<x<3}, ∴A∩B={y|0<y<3}. 故选:A. 2.若480°角的终边上一点(﹣4,a),则a的值为(  ) A. B. C. D. 【分析】直接利用三角函数的定义和三角函数的值的应用求出结果. 解:利用三角函数的定义tan480°=tan120°=﹣=, 解得a=4. 故选:B. 3.设a=log34,b=log43,c=log3(log43),则(  ) A.c<b<a B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 【分析】利用对数函数的单调性直接求解. 解:∵a=log34>log33=1, 0=log41<b=log43<log44=1, c=log3(log43)<log31=0, ∴c<b<a. 故选:A. 4.函数的定义域为(  ) A. B. C. D. 【分析】由题意可得,1﹣tan()≥0且x+,结合正切函数的性质可求. 解:由题意可得,1﹣tan()≥0且x+, 且x,k∈Z, 解可得,,k∈Z, 故选:A. 5.根据表格中的数据,可以判定方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为(  ) x ﹣1 0 1 2 3 ex 0.37 1 2.72 7.39 20.09 x+2 1 2 3 4 5 A.(﹣1,0) B.(0,1) C.(1,2) D.(2,3) 【分析】令f(x)=ex﹣x﹣2,方程ex﹣x﹣2=0的根即函数f(x)=ex﹣x﹣2的零点,由f(1)<0,f(2)>0知, 方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为 (1,2). 解:令f(x)=ex﹣x﹣2,由图表知,f(1)=2.72﹣3=﹣0.28<0,f(2)=7.39﹣4=3.39>0, 方程ex﹣x﹣2=0的一个根所在的区间为 (1,2), 故选:C. 6.函数f(x)=log2(x2+2x﹣3)的单调递增区间为(  ) A.(﹣1,+∞) B.(1,+∞) C.(﹣∞,﹣1) D.(﹣∞,﹣3) 【分析】令t=x2+2x﹣3>0,求得函数的定义域,且f(x)=log2t,本题即求t在定义域内的增区间.利用二次函数的性质可得t在定义域内的增区间. 解:令t=x2+2x﹣3>0,求得x<﹣3,或 x>1, 故函数的定义域为{x|x<﹣3或x>1},且f(x)=log2t, 本题即求t在定义域内的增区间. 利用二次函数的性质可得t=x2+2x﹣3在定义域为{x|x<﹣3或x>1}内的增区间为(1,+∞), 故选:B. 7.函数f(x)=sinx?lnx2的部分图象大致是图中的(  ) A. B. C. D. 【分析】直接利用排除法及函数的图象和函数的性质的应用求出结果. 解:由于函数f(x)=sinx?lnx2的关系式满足f(﹣x)=f(x),(x≠0) 所以函数为奇函数,故排除A、B. 当x趋近于+0时,lnx2<0,sinx>0, 故函数 的值为负值,故排除C. 故选:D. 8.在△ABC中,若sin(A﹣B)=1﹣2cosAsin(A+C),则△ABC的形状为(  ) A.等边三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不含60°角的等腰三角形 【分析】结合诱导公式及两角和的正弦公式对已知进行化简即可判断. 解:因为sin(A﹣B)=1﹣2cosAsin(A+C)=1﹣2cosAsinB, 所以sinAcosB﹣sinBcosA=1﹣2cosAsinB, 所以sinAcosB+sinBcosA=1即sin(A+B)=sinC=1, 所以,C=,则△ABC为直角三角形. 故选:B. 9.为了得到函数y=3cos2x的图象,只需把函数的图象上所有的点(  ) A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 【分析】由条件利用y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律、诱导公式,可得结论. 解:把函数的图象上所有的向左平移个单位, 可得函数y=3sin[2(x+)+]=3sin(2x+)=3cos2x的图象, 故选:D. 10.定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣2)=f(x+2),且当x∈[﹣2,0]时,f(x)=3x﹣1,则f(9)=(  ) A.﹣2 B.2 C. D. 【分析】根据题意,由f(x﹣2)=f(x+2),分析可得f(x)=f(x+4),即可得函数f(x)的周期为4,则有f(9)=f(1),由函数的解析式以及奇偶性可得f(1)的值,即可得答案. 解:根据题意,函数f(x)满足f(x﹣2)=f(x+2),即f(x)=f(x+4), 则函数f(x)的周期为4, f(9)=f(1), 又由函数f(x)为奇函数,则f(1)=﹣f(﹣1), 又由当x∈[﹣2,0]时,f(x)=3x﹣1, 则f(﹣1)=3﹣1﹣1=﹣1=﹣; 则有f(9)=f(1)=﹣f(﹣1)=; 故选:D. 11.已知tan2α=﹣2,且满足<α<,则的值为(  ) A. B.﹣ C.﹣3+2 D.3﹣2 【分析】首先根据已知条件已知tan2α=﹣2,且满足<α<,求出tanα=,进一步对关系式进行变换=,最后求的结果. 解:已知tan2α=﹣2,且满足<α<, 则:=﹣2 解得:tanα= ==== 由tanα= 所以上式得:==﹣3+2 故选:C. 12.已知ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减,则ω的取值范围是  ) A.[,] B.[,] C.[0,] D.[0,3] 【分析】由题意利用正弦函数的单调性,可得 ?ω+≥2kπ+,且 π?ω+≤2kπ+,k∈Z,由此求得ω的范围. 解:∵ω>0,函数f(x)=sin(ωx+)在(,π)上单调递减, ∴?ω+≥2kπ+,且 π?ω+≤2kπ+,k∈Z, 求得ω≥4k+,且ω≤2k+,令k=0,可得≤ω≤, 故选:A. 二、填空题:(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.函数f(x)=cos2x﹣6cosx,x∈[0,]的值域为 [﹣5,﹣1] . 【分析】先利用二倍角的余弦公式对已知进行化简,然后结合二次函数的性质即可求解. 解:由x∈[0,]可得cosx∈[0,1], f(x)=cos2x﹣6cosx, =2cos2x﹣6cosx﹣1 结合二次函数的性质可知,当cosx=0时,函数取得最大值﹣1,当cosx=1时,函数取得最小值﹣5, 故值域[﹣5,﹣1]. 故答案为:[﹣5,﹣1] 14.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(x∈R,ω>0,|φ|<)的图象(部分)如图所示,则f(x)的解析式是 f(x)=2sin(πx+),x∈R . 【分析】根据函数图象可得周期T、振幅A,利用周期公式求出ω, 利用解析式及φ的范围求出φ的值,即可确定函数解析式. 解:∵根据图象判断,周期为 T=4×(﹣)=2,A=2, ∴=2,解得:ω=π; 又2sin(π×+φ)=2, ∴+φ=2kπ+,k∈z, ∴φ=2kπ+,k∈z; 又|φ|<, ∴φ=; ∴f(x)的解析式为f(x)=2sin(πx+),x∈R. 故答案为:f(x)=2sin(πx+),x∈R. 15.函数的最小正周期为π,将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,所得图象关于原点对称,则φ的值为  . 【分析】首先利用函数的周期求出函数的关系式,进一步利用函数的图象的变换和函数的性质的应用求出结果. 解:函数的最小正周期为π, 所以ω=2. 所以f(x)=cos(2x+), 将y=f(x)的图象向左平移个单位长度,得到g(x)=cos(2x+2φ+)的图象, 由于图象关于原点对称, 所以2φ+=k(k∈Z), 解得φ=(k∈Z), 当k=0时,φ= 故答案为:. 16.给出如下五个结论: ①存在α∈(0,)使 ②函数是偶函数 ③最小正周期为 ④若α、β是第一象限的角,且α>β,则sinα>sinβ ⑤函数的图象关于点对称 其中正确结论的序号为 ②③ . 【分析】把sinα+cosα化为一个角的一个三角函数的形式后,由α的范围求出其值域判断①; 求出y=cosx的减区间判断函数的奇偶性,判断②; 利用函数的周期性求解③判断即可; 反例判断④; 利用函数的对称中心判断⑤. 解:对于①,sinα+cosα=sin(α+), ∵α∈(0,), ∴α+∈(,),∴sinα+cosα>1.命题①错误; 对于②,若函数=﹣cosx为减函数,函数是偶函数.命题②正确; 对于③,的最小正周期为:,所以③正确; 对于④,反例α=361°,β=30°.可得sinα<sinβ,所以命题④错误; 对于⑤,∵函数,可知x=时,f(x)=2﹣1=1,所以命题⑤错误. ∴正确的命题是②③. 故答案为:②③. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答时写出必要的文字说明,证明过程或解题步骤) 17.已知函数f(x)=Asin({ωx+φ})(A>0,ω>0,|φ|<)图象上的一个最高点的坐标为,此点到相邻最低点间的曲线与x轴交于点. (1)求函数f(x)的解析式; (2)用“五点法”画出(1)中函数f(x)在[0,π]上的图象. 【分析】(1)利用条件求出A,ω和φ的值即可求出函数的解析式, (2)利用五点法进行取值描点即可. 解:(1)由题意知A=2.T=4×(﹣)=π, 即T==π,得ω=2,即f(x)=2sin(2x+φ), 由五点对应法得2×+φ=,得φ=,即f(x)=2sin(2x+), (2)列表: 2x+ 0 π 2π x ﹣ 0 π y 0 2 0 ﹣2 0 对应的图象如图: 18.已知函数f(x)=sin2x+cos2x,x∈R. (1)求函数f(x)的最小正周期及对称轴方程; (2)若,求的值. 【分析】(1)先化简函数解析式,再根据正弦函数的性质求解即可; (2)先根据?2sin(α+)=?sin(α+)=.再把所求用诱导攻势以及二倍角公式转化为﹣[1﹣2sin2(α)]即可求解. 解:(1)因为函数f(x)=sin2x+cos2x=2sin(2x+); ∴函数f(x)的最小正周期T==π. 令2x+=kπ+?x=+,k∈Z. ∴对称轴方程x=+,k∈Z. (2)?2sin(α+)=?sin(α+)=. ∵ =﹣cos(2α+) =﹣cos[2(α+)] =﹣[1﹣2sin2(α)] =﹣1+2×()2 =﹣. 19.设函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,函数g(x)=3ax﹣4x(x∈R). (1)求g(x)的解析式; (2)若方程g(x)﹣b=0在[﹣2,2]上有两个不同的解,求实数b的取值范围. 【分析】(1)利用已知条件求出3a=2,代入g(x)=3ax﹣4x即可求解函数的解析式. (2)化简方程,构造函数,利用数形结合求解实数b的取值范围. 解:(1)∵函数f(x)=3x,且f(a+2)=18,∴3a+2=18?3a=2﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ∵g(x)=3ax﹣4x=2x﹣4x,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (2)方程为2x﹣4x﹣b=0 令t=2x,x∈[﹣2,2],则﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 且方程为t﹣t2﹣b=0在有两个不同的解. 设y=t﹣t2=﹣(t﹣)2+,y=b 两函数图象在内有两个交点﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 由图知时,方程有两不同解.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 20.已知函数. (1)求函数f(x)的对称中心坐标及单调递减区间; (2)函数f(x)在区间上的最小值为1,求m的最小值. 【分析】(1)先化简解析式,在借助于正弦函数的性质即可求解; (2)先把所求问题转化为y=sin(2x﹣)在区间上的最小值为﹣1;再借助于正弦函数的性质即可求解. 【解答】解(1)由题意,函数f(x)=2sin2x+2cos2(x﹣) =(1﹣cos2x)+[1+cos(2x﹣)] =﹣cos2x+(cos2x+sin2x)+2. =sin2x﹣cos2x+2 =sin(2x﹣)+2. 令2x﹣=kπ即x=﹣; 所以f(x)的对称中心坐标为(﹣,2)k∈Z. 由+2kπ≤2kπ,k∈Z, 解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z. 即函数f(x)的单调递减区间是[+kπ,+kπ],(k∈Z).. (2)由(1)知f(x)=sin(2x﹣)+2, 因为x∈,所以2x﹣∈[,2m﹣]. 要使f(x)在区间上的最小值为1, 即y=sin(2x﹣)在区间上的最小值为﹣1. 所以2m﹣≥,即m≥. 所以m的最小值为. 21.已知函数. (1)若存在,使得f(x)≥a成立,则求a的取值范围; (2)将函数f(x)的图象上每个点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,得到函数g(x)的图象,求函数在区间内的所有零点之和. 【分析】(1)首先把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步利用函数的恒成立问题的应用求出a的范围. (2)利用函数的图象的变换和函数的零点的应用求出结果. 解:(1)函数, =sinxcosx﹣, = 若存在,使得f(x)≥a成立, 则只需fmax(x)≥a即可 ∵, ∴, ∴当2x+,即x=时,f(x)有最大值1, 故a≤1. (2)依题意函数f(x)的图象上每个点纵坐标不变,横坐标缩短到原来的,得到函数g(x)=sin(4x+). 由g(x)+=0,得. 可知:在[﹣上有4个零点:, 根据对称性,, 从而所有零点和为. 22.已知函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,设f(x)=. (1)求a,b的值; (2)不等式f(2x)﹣k?2x≥0在x∈[﹣1,1]上恒成立,求实数k的取值范围; (3)方程f(|2x﹣1|)+k(﹣3)=0有四个不同的实数解,求实数k的取值范围. 【分析】(1)根据函数g(x)=ax2﹣2ax+1+b(a≠0,b<1),在区间[2,3]上有最大值4,最小值1,结合二次函数的性质,即可求解a,b的值 (2)由f(x)=.带入可得f(x)解析式,f(2x)﹣k?2x≥0,转化为二次函数问题在x∈[﹣1,1]上恒成立,即可求解实数k的取值范围; (3)可直接对方程进行化简、换元结合函数图象即可获得问题的解答 解:(1)g(x)=a(x﹣1)2+1+b﹣a 当a>0时,g(x)在[2,3]上为增函数 故 即 可得 当a<0时,g(x)在[2,3]上为减函数 故故 即 可得 ∵b<1 ∴a=1,b=0 (2)由(1)即g(x)=x2﹣2x+1. ∴f(x)==x+ 方程f(2x)﹣k?2x≥0化为+2. ∴; 令t=,则k≤t2﹣2t+1, ∵x∈[﹣1,1] ∴t∈[,2] 记φ(t)=t2﹣2t+1 ∴φ(t)min=0 ∴k≤0 (3)方程f(|2x﹣1|)+k(﹣3)=0, 化为 |2x﹣1|2﹣(2+3k)|2x﹣1|+(1+2k)=0,|2x﹣1|≠0 令|2x﹣1|=t,则方程化为t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0(t≠0) 方程f(|2x﹣1|)+k(﹣3)=0有四个不同的实数解, ∴由t=|2x﹣1|的图象知, t2﹣(2+3k)t+(1+2k)=0有两个根t1、t2, 且0<t1<1,0<t2<1; 记k(t)=t2﹣(2+3k)t+(1+2k) 则, ∵0<t1+t2<2 ∴0<2+3k<2; 即; △=(2+3k)2﹣4(1+2k)>0; 解得:k>0或; 综合上述,可得实数k的取值范围是(,)
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教新课标A版
  • 适用地区:黑龙江哈尔滨市
  • 文件大小:1.29M
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