[ID:3-6856930] 2019-2020学年河北省衡水中学高三(上)期中理科数学试卷(解析版)
当前位置: 数学/高中数学/期中专区/高三
资料简介:
2019-2020学年高三上学期期中(理科)数学试卷 一、选择题 1.已知曲线f(x)=xcosx+3x在点(0,f(0))处的切线与直线ax+4y+1=0垂直,则实数a的值为(  ) A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.4 2.已知各项不为0的等差数列{an}满足a5﹣2a72+2a8=0,数列{bn}是等比数列且b7=a7,则b2b12等于(  ) A. B. C. D. 3.对于函数f(x),若存在区间A=[m,n]使得{y|y=f(x),x∈A}=A则称函数f(x)为“同域函数”,区间A为函数f(x)的一个“同城区间”.给出下列四个函数: ①f(x)=cosx;②f(x)=x2﹣1;③f(x)=|x2﹣1|;④f(x)=log2(x﹣1). 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是(  ) A.①② B.①②③ C.②③ D.①②④ 4.设θ为两个非零向量的夹角,已知对任意实数t,|的最小值为1,则(  ) A.若|确定,则 θ唯一确定 B.若|确定,则θ唯一确定 C.若θ确定,则|唯一确定 D.若θ确定,则|唯一确定 5.已知点P(x,y)是直线y=2x﹣4上一动点,PM与PN是圆C:x2+(y﹣1)2=1的两条切线,M,N为切点,则四边形PMCN的最小面积为(  ) A. B. C. D. 6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,则=(  ) A. B. C.﹣1 D. 7.已知函数,若f(x﹣a)=﹣f(x+a)恒成立,则实数a的最小正值为(  ) A.2π B.π C. D. 8.设Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,an+1=2Sn,则数列{}的前20项和为(  ) A. B. C. D. 9.椭圆的左右焦点分别是F1、F2,以F2为圆心的圆过椭圆的中心,且与椭圆交于点P,若直线PF1恰好与圆F2相切于点P,则椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 10.已知函数的图象的一条对称轴为直线,且f(x1)?f(x2)=﹣4,则|x1+x2|的最小值为(  ) A. B.0 C. D. 11.若函数f(x)=ex(x﹣3)﹣kx3+kx2只有一个极值点,则k的取值范围为(  ) A.(﹣∞,e) B.[0,e] C.(﹣∞,2) D.(0,2] 12.双曲线的左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交曲线左支于A,B两点,△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形,且∠AF2B=30°.若该双曲线的离心率为e,则e2=(  ) A. B. C. D. 二、填空题(每题5分,共20分.把答案填在答题纸的横线上) 13.已知向量,,||=1,||=2,且|2+|=,则?=   . 14.已知抛物线E:y2=12x的焦点为F,准线为l,过F的直线m与E交于A,B两点,过A作AM⊥l,垂足为M,AM的中点为N,若AM⊥FN,则|AB|=   . 15.已知函数f(x)=(x2﹣2x)ex﹣1,若当x>1时,f(x)﹣mx+l+m≤0有解,则m的取值范围为   . 16.数列{an}为1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4,…,首先给出a1=1,接着复制该项后,再添加其后继数2,于是a2=1,a3=2,然后再复制前面所有的项1,1,2,再添加2的后继数3,于是a4=1,a5=1,a6=2,a7=3,接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3,再添加4,…,如此继续,则a2019=   . 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC,为响应国家号召,现对这块地进行绿化改造,计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF,与AB和AC围成四边形区域AEDF,在该区域内种上草坪,其余区域修建成停车场,设∠BDE=α. (1)当α=60o时,求绿化面积; (2)试求地块的绿化面积S(α)的取值范围. 18.已知等差数列{an}前n项和Sn,等比数列{bn}前n项和为Tn,a1=1,b1=1,a2+b2=4. (1)若a3+b3=7,求数列{bn}的通项公式; (2)若T3=13,求S5. 19.已知圆D:(x﹣2)2+(y﹣1)2=1,点A在抛物线C:y2=4x上,O为坐标原点,直线OA与圆D有公共点. (1)求点A横坐标的取值范围; (2)如图,当直线OA过圆心D时,过点A作抛物线的切线交y轴于点B,过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点,过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N,求证:M为PN 中点. 20.已知等差数列{an}的公差d∈(0,π],数列{bn}满足bn=sin(an),集合S={x|x=bn,n∈N*}. (1)若a1=0,d=,求集合S; (2)若a1=,求d使得集合S恰有两个元素; (3)若集合S恰有三个元素,bn+T=bn,T是不超过5的正整数,求T的所有可能值,并写出与之相应的一个等差数列{an}的通项公式及集合S. 21.已知函数f(x)=(x﹣1)lnx,. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)令h(x)=mf(x)+g(x)(m>0)两个零点x1,x2(x1<x2),证明:. 22.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过定点M(1,). (1)求椭圆C的方程; (2)已知直线l:y=kx﹣(k∈R)与椭圆C交于A、B两点,试问在y轴上是否存在定点P,使得以弦AB为直径的圆恒过P点?若存在,求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值,若不存在,说明理由. 参考答案 一、选择题(每小题5分,共60分.下列每小题所给选项只有-项符合题意.请将正确答案的序号填涂在答题卡上) 1.已知曲线f(x)=xcosx+3x在点(0,f(0))处的切线与直线ax+4y+1=0垂直,则实数a的值为(  ) A.﹣4 B.﹣1 C.1 D.4 【分析】求得f(x)的导数,可得切线的斜率,由两直线垂直的条件可得a的方程,解方程可得所求值. 解:f(x)=xcosx+3x的导数为f′(x)=cosx﹣xsinx+3, 可得在点(0,f(0))处的切线斜率为cos0﹣0+3=4, 由切线与直线ax+4y+1=0垂直,可得﹣=﹣, 即a=1. 故选:C. 2.已知各项不为0的等差数列{an}满足a5﹣2a72+2a8=0,数列{bn}是等比数列且b7=a7,则b2b12等于(  ) A. B. C. D. 【分析】由条件利用等差数列的性质可得3a7=2,求得 a7 的值,再根据b2b12=计算. 解:由a5﹣2a72+2a8=0, 得a5+2a8=2a72, 即3(a1+6d)=2a72, 即3a7=2a72, ∵a7≠0,∴a7==b7, 则b2b12==. 故选:C. 3.对于函数f(x),若存在区间A=[m,n]使得{y|y=f(x),x∈A}=A则称函数f(x)为“同域函数”,区间A为函数f(x)的一个“同城区间”.给出下列四个函数: ①f(x)=cosx;②f(x)=x2﹣1;③f(x)=|x2﹣1|;④f(x)=log2(x﹣1). 存在“同域区间”的“同域函数”的序号是(  ) A.①② B.①②③ C.②③ D.①②④ 【分析】解题思路:对于每一个选项找到其“同域区间”就判定为“同域函数”.逐项寻找就可以了! 解:对于函数①,当x∈[0,1],则有f(x)∈[0,1],符合题意; 对于函数②f(x)=x2﹣1,当x∈[﹣1,0]时,则有f(x)∈[﹣1,0],符合题意; 对于函数③,当x∈[0,1]时,则有f(x)∈[0,1],符合题意; 由选项可知,应选B, 故选:B. 4.设θ为两个非零向量的夹角,已知对任意实数t,|的最小值为1,则(  ) A.若|确定,则 θ唯一确定 B.若|确定,则θ唯一确定 C.若θ确定,则|唯一确定 D.若θ确定,则|唯一确定 【分析】由题意可得,()2=,则令g(t)=,可得判别式△<0,运用二次函数的性质,求出最小值,结合向量的数量积的性质,即可得到答案. 解:()2=, 则令g(t)=, 可得判别式△=4()2﹣4 =4﹣4=﹣4sin2θ<0, 由二次函数的性质,可得g(t)>0恒成立. 且当t=﹣=﹣cosθ时,g(t)最小,且为1. 即g(﹣cosθ)=﹣||2cos2θ+||2=||2sin2θ=1, 故当θ唯一确定时,||唯一确定. 故选:D. 5.已知点P(x,y)是直线y=2x﹣4上一动点,PM与PN是圆C:x2+(y﹣1)2=1的两条切线,M,N为切点,则四边形PMCN的最小面积为(  ) A. B. C. D. 【分析】四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和,因为CM⊥PM,CM=1,显然PM最小时,四边形面积最小,此时PC最小,由此可得结论. 解:圆C:x2+(y﹣1)2=1圆心坐标为(0,1),半径为1; 由题意过点P作圆C的两条切线,切点分别为M,N, 可知四边形PMCN的面积是两个三角形的面积的和,因为CM⊥PM,CM=1, 显然PM最小时,四边形面积最小,此时PC最小. ∵P是直线y=2x﹣4上的动点, ∴PC最小值==, ∴PM最小值==, ∴四边形PMCN面积的最小值为:2×=. 故选:A. 6.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象如图所示,则=(  ) A. B. C.﹣1 D. 【分析】由函数的图象的顶点坐标求出A,由周期求出ω,由五点法作图求出φ的值,可得函数的解析式,从而求得f()的值. 解:由函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<)的部分图象, 可得A=2,由2sinφ=,求得φ=. 再根据五点法作图,可得ω?+=,∴ω=2,∴f(x)=2sin(2x+), ∴f()=2sin(+)=﹣2cos=﹣1, 故选:C. 7.已知函数,若f(x﹣a)=﹣f(x+a)恒成立,则实数a的最小正值为(  ) A.2π B.π C. D. 【分析】将函数式f(x)进行化简求出最小正周期,并将恒成立问题转化为周期问题即可. 解:∵f(x)=﹣4sinxcosx=﹣2sin2x ∴f(x)的最小正周期为T=π; 又∵f(x﹣a)=﹣f(x+a)恒成立,∴f(x)=﹣f(x+2a)?﹣f(x)=f(x+2a), 而﹣f(x)=f(x﹣2a),∴f(x+2a)=f(x﹣2a)?f(x)=f(x+4a), ∴f(x)是以4a为周期的函数, ∴4a=π,?a=; 故选:D. 8.设Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,an+1=2Sn,则数列{}的前20项和为(  ) A. B. C. D. 【分析】根据数列的递推公式可得数列{an}是以1为首项,以3为公比的等比数列,即可得到=()n﹣1,再根据等比数列的求和公式即可求出. 解:设Sn为数列{an}的前n项和,a1=1,an+1=2Sn, ∴an=2Sn﹣1, ∴an+1﹣an=2an, ∴an+1=3an, ∴数列{an}是以1为首项,以3为公比的等比数列, ∴an=3n﹣1, 当n=1时也满足, ∴=()n﹣1, ∴数列{}的前20项和为=﹣ 故选:A. 9.椭圆的左右焦点分别是F1、F2,以F2为圆心的圆过椭圆的中心,且与椭圆交于点P,若直线PF1恰好与圆F2相切于点P,则椭圆的离心率为(  ) A. B. C. D. 【分析】利用已知条件以及椭圆的性质列出关系式,求解椭圆的离心率即可. 解:椭圆的左右焦点分别是F1、F2,以F2为圆心的圆过椭圆的中心,且与椭圆交于点P,若直线PF1恰好与圆F2相切于点P, 可得(2a﹣c)2+c2=4c2,可得2a2﹣2ac=c2, 所以e2+2e﹣2=0,e∈(0,1), 解得e==. 故选:A. 10.已知函数的图象的一条对称轴为直线,且f(x1)?f(x2)=﹣4,则|x1+x2|的最小值为(  ) A. B.0 C. D. 【分析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数,进一步利用对称轴确定函数的解析式,再利用正弦型函数的最值确定结果. 解:函数=sin(x+θ) 的图象的一条对称轴为直线, ∴f()=+=±,解得a=±1. 当a=1时,f(x)=sinx﹣cosx=2sin(x﹣), ∵f(x1)?f(x2)=﹣4,则f(x1)和f(x2)一个为﹣2,另一个为2, ∴x1=2kπ﹣,x2=2kπ+,则|x1+x2|=|4kπ+|,k∈Z. 故当k=0时,|x1+x2|取得最小值为. 当a=﹣1时,同理求得,|x1+x2|取得最小值为, 故选:D. 11.若函数f(x)=ex(x﹣3)﹣kx3+kx2只有一个极值点,则k的取值范围为(  ) A.(﹣∞,e) B.[0,e] C.(﹣∞,2) D.(0,2] 【分析】利用函数求导函数 f′(x)=ex(x﹣2)﹣kx2+2kx=(x﹣2)(ex﹣kx),只有一个极值点时f′(x)=0只有一个实数解有ex﹣kx≥0,设新函数设u(x)=ex,v(x)=kx,等价转化数形结合法即可得出结论, 解:函数f(x)=ex(x﹣3)﹣kx3+kx2只有一个极值点, f′(x)=ex(x﹣2)﹣kx2+2kx=(x﹣2)(ex﹣kx), 若函数f(x)=ex(x﹣3)﹣kx3+kx2只有一个极值点,f′(x)=0只有一个实数解, 则:ex﹣kx≥0, 从而得到:ex≥kx, 当k=0 时,成立. 当k≠0时,设u(x)=ex,v(x)=kx 如图: 当两函数相切时,k=e,此时得到k的最大值,但k<0时不成立. 故k的取值范围为:(0,e] 综上:k的取值范围为:[0,e] 故选:B. 12.双曲线的左右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交曲线左支于A,B两点,△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形,且∠AF2B=30°.若该双曲线的离心率为e,则e2=(  ) A. B. C. D. 【分析】设|BF2|=2m,根据△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形,且∠AF2B=30°,以及双曲线的性质可得|AF2|=2a(3﹣),|AF1|=2a(2﹣),再根据勾股定理即可求出 解:设|BF2|=2m, ∵△F2AB是以A为直角顶点的直角三角形,且∠AF2B=30°, ∴|AB|=|BF2|=m,|AF2|=|BF2|=m, 由|AF2|﹣|AF1|=2a, ∴|AF1|=m﹣2a, 由|BF2|﹣|BF1|=2a, ∴|BF1|=2m﹣2a, ∴|AF1|+|BF1|=AB, ∴m﹣2a+2m﹣2a=m, ∴m=2a(﹣1), ∴|AF2|=?2a(﹣1)=2a(3﹣) |AF1|=2a(3﹣)﹣2a=2a(2﹣) 又在Rt△F1AF2中|AF1|2+|AF2|2=4c2, 即4a2(3﹣)2+4a2(2﹣)2=4c2, 即(19﹣10)a2=c2, ∴e2=19﹣10, 故选:D. 二、填空题(每题5分,共20分.把答案填在答题纸的横线上) 13.已知向量,,||=1,||=2,且|2+|=,则?=  . 【分析】根据,对两边平方即可得出,从而可求出. 解:∵||=1,||=2,且|2+|=, ∴=, ∴. 故答案为:. 14.已知抛物线E:y2=12x的焦点为F,准线为l,过F的直线m与E交于A,B两点,过A作AM⊥l,垂足为M,AM的中点为N,若AM⊥FN,则|AB|= 16 . 【分析】由题意画出图形,得到直线AB的斜率,进一步求得直线AB的方程,与抛物线方程联立求解即可得答案. 解:由题意画出图形如图, ∵AF=AM,N为AM的中点,且FN⊥AM, ∴∠AFN=30°,则直线AB的倾斜角为60°,斜率为. 由抛物线y2=12x,得F(3,0),则直线AB的方程为y=(x﹣3). 联立,得x2﹣10x+9=0. 则xA+xB=10, ∴|AB|=xA+xB+p=16. 故答案为:16. 15.已知函数f(x)=(x2﹣2x)ex﹣1,若当x>1时,f(x)﹣mx+l+m≤0有解,则m的取值范围为 (﹣1,+∞) . 【分析】先求导,判断出函数的单调性,可得函数值的情况,即可求出m的取值范围. 解:∵f(x)﹣mx+1+m≤0, ∴f(x)≤m(x﹣1)﹣1, ∵y=m(x﹣1)﹣1且过定点(1,﹣1), ∵当x>1时,f(x)﹣mx+1+m≤0有解, ∴当x>1时,存在y=f(x)在y=m(x﹣1)﹣1的下方, ∵f'(x)=(x2﹣2)ex﹣1, 令f'(x)=0,解得x=, 当1<x<时,f'(x)<0,当x>时,f'(x)>0, ∴f(x)在(1,)上递减,在()上递增, ∵当x>2时,f(x)>0, 又f(1)=﹣1,f()<﹣1,f(2)=0, ∴m>﹣1, 故答案为:(﹣1,+∞) 16.数列{an}为1,1,2,1,1,2,3,1,1,2,1,1,2,3,4,…,首先给出a1=1,接着复制该项后,再添加其后继数2,于是a2=1,a3=2,然后再复制前面所有的项1,1,2,再添加2的后继数3,于是a4=1,a5=1,a6=2,a7=3,接下来再复制前面所有的项1,1,2,1,1,2,3,再添加4,…,如此继续,则a2019= 1 . 【分析】由数列{an}的构造方法可知a1=1,a3=2,a7=3,a15=4,可得=n,即=ak(1≤k<2n﹣1),进而得出结论. 解:由数列{an}的构造方法可知a1=1,a3=2,a7=3,a15=4, 可得=n,即=ak(1≤k<2n﹣1), 故a2019=a996=a485=a230=a103=a40=a9=a2=1. 故答案为:1. 三、解答题(本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.如图为一块边长为2km的等边三角形地块ABC,为响应国家号召,现对这块地进行绿化改造,计划从BC的中点D出发引出两条成60°角的线段DE和DF,与AB和AC围成四边形区域AEDF,在该区域内种上草坪,其余区域修建成停车场,设∠BDE=α. (1)当α=60o时,求绿化面积; (2)试求地块的绿化面积S(α)的取值范围. 【分析】(1)当α=60o时,DE∥AC,DF∥AB,四边形AEDF为平行四边形,△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形,结合已知即可求解; (2)由题意可得,30°<α<90°,在△BDE中,由正弦定理可表示BE,同理可得CF,然后结合和差角公式及同角平方关系对BE+CF进行化简,而s(α)=s△ABC﹣s△BDE﹣sCDF=,代入结合正弦函数的性质可求. 解:(1)当α=60o时,DE∥AC,DF∥AB,四边形AEDF为平行四边形,△BDE和△CDF都为边长为1km的等边三角形,面积, 绿化面积=km2; (2)由题意可得,30°<α<90°, 在△BDE中,∠BED=120°﹣α,由正弦定理可得,, ∴BE=, △CDF中,∠CDF=120°﹣α,∠CFD=α, 由正弦定理可得,, ∴CF=, ∴BE+CF=+=, =═ =1=1, ∴s(α)=s△ABC﹣s△BDE﹣sCDF= =(30°<α<90°), ,, ∴, ∴, 答:地块的绿化面积S(α)的取值范围(] 18.已知等差数列{an}前n项和Sn,等比数列{bn}前n项和为Tn,a1=1,b1=1,a2+b2=4. (1)若a3+b3=7,求数列{bn}的通项公式; (2)若T3=13,求S5. 【分析】(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由已知列关于d和q的方程组,求得q,可得数列{bn}的通项公式; (2)由b1=1,T3=13列式求得q,然后分类求解S5. 解:(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q, 由a1=1,b1=1,a2+b2=4,a3+b3=7,得 ,解得q=2. ∴; (2)由b1=1,T3=13,得1+q+q2=13,即q=﹣4或q=3. 当q=﹣4时,b2=﹣4,此时a2=4﹣b2=8,d=a2﹣a1=7,; 当q=3时,b2=3,此时a2=4﹣b2=1,d=a2﹣a1=0,S5=5a1=5. 综上,S5=75或5. 19.已知圆D:(x﹣2)2+(y﹣1)2=1,点A在抛物线C:y2=4x上,O为坐标原点,直线OA与圆D有公共点. (1)求点A横坐标的取值范围; (2)如图,当直线OA过圆心D时,过点A作抛物线的切线交y轴于点B,过点B引直线l交抛物线C于P、Q两点,过点P作x轴的垂线分别与直线OA、OQ交于M、N,求证:M为PN 中点. 【分析】(1)根据题意设出直线OA的方程,联立抛物线方程可表示出交点A的坐标,再根据圆心到直线的距离小于半径可以求得OA斜率范围,继而算出A点横坐标的范围; (2)对抛物线求导,可求出AB的斜率,继而写出AB的方程,可以求得B点坐标,设出直线l及交点坐标,联立直线与抛物线方程可以推得yP+yN=2yM,得出结论. 解:(1)由题意直线OA斜率存在且不为零,设lOA:y=kx,则 由'解得, 又D(2,1)到lOA:kx﹣y=0的距离为, 即, 所以. (2)证明:当直线OA过圆心D(2,1)时,,=16,A(16,8), 由y2=4x(y>0)可得, 所以, 所以, 所以,即, 所以B(0,4), 设l:y=mx+4,P(),Q(), 由,lOQ:,得,yN=, 由,解得my2﹣4y+16=0, 所以,, 所以=, 即M为PN中点. 20.已知等差数列{an}的公差d∈(0,π],数列{bn}满足bn=sin(an),集合S={x|x=bn,n∈N*}. (1)若a1=0,d=,求集合S; (2)若a1=,求d使得集合S恰有两个元素; (3)若集合S恰有三个元素,bn+T=bn,T是不超过5的正整数,求T的所有可能值,并写出与之相应的一个等差数列{an}的通项公式及集合S. 【分析】(1)根据等差数列的通项公式写出an,进而求出bn,再根据周期性求解; (2)由集合S的元素个数,分析数列bn的周期,进而可求得答案; (3)分别令T=1,2,3,4,5进行验证,判断T的可能取值,并写出与之相应的一个等差数列an的通 项公式及集合S. 解:(1)∵等差数列{an}的公差d∈(0,π], 数列{bn}满足bn=sin(an),集合S={x|x=bn,n∈N*}, ∴a1=0,d=,, ∴bn=sin(an)=0,, 故S={0,}; (2)a1=,,d∈(0,π],根据题意,集合S恰有两个元素; 当d=π时,sin()=,故成立, 因为a1=,要使an(n≥2)的值唯一,在一个周期内,角的终边关于y轴对称,且值相等 如图3d=2π,d=,故d=π或; (3)①当T=3时,bn+3=bn,集合S={b1,b2,b3},符合题意. 与之相应的一个等差数列an的通项公式为,此时. ②当T=4时,bn+4=bn,sin(an+4d)=sinan, 或an+4d=2kπ﹣an, 等差数列an的公差d∈(0,π],故,, 又k=1或2,∴当k=1时满足条件,此时S={0,1,﹣1} 与之相应的一个等差数列an的通项公式为,此时S={0,1,﹣1} 21.已知函数f(x)=(x﹣1)lnx,. (Ⅰ)求函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)令h(x)=mf(x)+g(x)(m>0)两个零点x1,x2(x1<x2),证明:. 【分析】(Ⅰ)求出函数f(x)的导数,利用导函数的符号判断函数的单调性,求出单调区间; (Ⅱ)求出h(x)=mf(x)+g(x)(m>0)的导数,求解函数的最小值,通过零点判断定理,转化两个零点x1,x2(x1<x2),所在位置,即可证明:. 解:(Ⅰ)由题可知,f'(x)单调递增,且f'(1)=0, 当0<x<1时,f'(x)<0,当x≥1时,f'(x)≥0; 因此f(x)在(0,1)上单调递减,在[1,+∞)上单调递增. (Ⅱ)证明:由有两个零点可知 由且m>0可知, 当0<x<1时,h'(x)<0,当x≥1时,h'(x)≥0; 即h(x)的最小值为, 因此当时,, 可知h(x)在上存在一个零点; 当x=e时,, 可知h(x)在(1,e)上也存在一个零点; 因此,即. 22.已知椭圆C:=1(a>b>0)的离心率为,且过定点M(1,). (1)求椭圆C的方程; (2)已知直线l:y=kx﹣(k∈R)与椭圆C交于A、B两点,试问在y轴上是否存在定点P,使得以弦AB为直径的圆恒过P点?若存在,求出P点的坐标和△PAB的面积的最大值,若不存在,说明理由. 【分析】(1)运用离心率公式和点M满足椭圆方程,解方程可得a,b,进而得到椭圆方程; (2)联立直线方程和椭圆方程,运用韦达定理,设P(0,p),求得向量PA,PB和数量积,再由直径所对的圆周角为直角,结合向量垂直的条件,即可得到结论. 解:(1)由已知可得, ∴椭圆C的方程为; (2)由得:9(2k2+4)x2﹣12kx﹣43=0① 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1、x2是方程①的两根, ∴, 设P(0,p),则, = 假设在y轴上存在定点P,使得以弦AB为直径的圆恒过P点, 则,即. 即(18p2﹣45)k2+36p2+24p﹣39=0对任意k∈R恒成立, ∴, 此方程组无解, ∴不存在定点满足条件.
展开
  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:河北省衡水市
  • 文件大小:1.48M
数学精优课

下载与使用帮助