[ID:3-6534395] 2019-2020学年福建省福州市连江县教研片八年级(上)期中数学试卷解析版
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2019-2020学年福建省福州市连江县教研片八年级(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共10题,每小题4分,共40分,每小题都有四个选项,其中有且只有一个选项正确) 1.(4分)(2018?路桥区一模)低碳环保理念深入人心,共享单车已成为出行新方式.下列共享单车图标,是轴对称图形的是   A. B. C. D. 2.(4分)(2018秋?宁城县期末)下面四个图形中,线段是的高的是   A. B. C. D. 3.(4分)(2019春?丰泽区期末)一个三角形的两边分别是2和7,则它的第三边可能是   A.3 B.4 C.5 D.6 4.(4分)(2018春?宜城市期末)若点关于轴对称点的坐标是,则,的值为   A., B., C., D., 5.(4分)(2011?日照)下列等式一定成立的是   A. B. C. D. 6.(4分)(2014春?姜堰市期末)将一副直角三角板如图放置,使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合,则的度数为   A. B. C. D. 7.(4分)(2014?黔西南州)如图,已知,那么添加下列一个条件后,仍无法判定的是   A. B. C. D. 8.(4分)(2015?从化市一模)如图,在中,平分,于,,,,则长是   A.7 B.6 C.5 D.4 9.(4分)(2019秋?连江县期中)已知,则的值为   A.7 B.11 C.9 D.5 10.(4分)(2019秋?连江县期中)若,,,则,,的大小关系正确的是   A. B. C. D. 二、填空题(每题4分,共24分) 11.(4分)(2019秋?连江县期中)如图,李叔叔家的凳子坏了,于是他给凳子加了两根木条,这样凳子就比较牢固了,他所应用的数学原理是  . 12.(4分)(2019秋?连江县期中)计算:的结果等于  . 13.(4分)(2010?芜湖)一个正多边形的每个外角都是,这个正多边形的边数是   . 14.(4分)(2019秋?连江县期中)如图,等边的周长是18,是边上的中点,点在边的延长线上.如果,那么的长是  . 15.(4分)(2017秋?南开区期末)在平面直角坐标系中,点,,作,使与全等,则点坐标为   .(点不与点重合) 16.(4分)(2019秋?连江县期中)如图,已知,点在边上,点、在边上,,,,则  . 三、解答题(共86分) 17.(8分)(2019秋?连江县期中)(1)计算:; (2)分解因式:. 18.(8分)(2016秋?建瓯市期末)先化简,再求值:,其中,. 19.(8分)(2019秋?连江县期中)按要求完成作图: (1)作出关于轴对称的图形; (2)写出、、的对应点、、的坐标; (3)在轴上画出点,使的周长最小. 20.(8分)(2019秋?连江县期中)如图,在中,是边上一点,是边的中点,作交的延长线于点.证明:. 21.(8分)(2015秋?昌平区期末)如图,在中,,点是上一点,点是上一点,且.若,,求的度数. 22.(10分)(2019秋?连江县期中)已知:如图,,请先作图再解决问题. (1)利用尺规完成以下作图,并保留作图痕迹.(不要求写作法) ①作平分交于点; ②在的延长线上截取,连接; (2)判断的形状,并说明理由. 23.(10分)(2019秋?连江县期中)根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法 . 例如:可以用图 (1) 表示 (1) 根据图 (2) ,写出一个多项式乘以多项式的等式; (2) 从,两题中任选一题作答: . 请画出一个几何图形, 表示,并仿照上图标明相应的字母; . 请画出一个几何图形, 表示,并仿照上图标明相应的字母 . 24.(12分)(2019秋?连江县期中)如图,和是等腰直角三角形,,,,点是内的一点,. (1)由已知条件可知哪两个三角形全等  ,理由  . (2)求的大小; (3)设,那么当为多少度时,是等腰三角形. 25.(14分)(2019秋?连江县期中)在平面直角坐标系中,点,,点为轴正半轴上一动点,过点作交轴于点. (1)如图①,若点的坐标为,试求点的坐标; (2)如图②,若点在轴正半轴上运动,且,其它条件不变,连接,求证:平分 (3)若点在轴正半轴上运动,当时,求的度数. 2019-2020学年福建省福州市连江县教研片八年级(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10题,每小题4分,共40分,每小题都有四个选项,其中有且只有一个选项正确) 1.(4分)(2018?路桥区一模)低碳环保理念深入人心,共享单车已成为出行新方式.下列共享单车图标,是轴对称图形的是   A. B. C. D. 【考点】:轴对称图形 【专题】1:常规题型 【分析】根据轴对称图形的概念求解. 【解答】解:、是轴对称图形.故选项正确; 、不是轴对称图形.故选项错误; 、不是轴对称图形.故选项错误; 、不是轴对称图形.故选项错误. 故选:. 【点评】此题主要考查了轴对称图形的概念,轴对称图形的关键是寻找对称轴,两边图象折叠后可重合. 2.(4分)(2018秋?宁城县期末)下面四个图形中,线段是的高的是   A. B. C. D. 【考点】:三角形的角平分线、中线和高 【专题】552:三角形 【分析】根据高的画法知,过点作边上的高,垂足为,其中线段是的高. 【解答】解:由图可得,线段是的高的图是选项. 故选:. 【点评】本题主要考查了三角形的高,三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线,连接顶点与垂足之间的线段. 3.(4分)(2019春?丰泽区期末)一个三角形的两边分别是2和7,则它的第三边可能是   A.3 B.4 C.5 D.6 【考点】:三角形三边关系 【专题】552:三角形 【分析】从边的方面考查三角形形成的条件,利用三角形三边关系定理,先确定第三边的范围,进而就可以求出第三边的长. 【解答】解:设第三边为,根据三角形的三边关系可得:. 即: 故选:. 【点评】此题主要考查了三角形三边关系,要注意三角形形成的条件:任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 4.(4分)(2018春?宜城市期末)若点关于轴对称点的坐标是,则,的值为   A., B., C., D., 【考点】:关于轴、轴对称的点的坐标 【专题】1:常规题型 【分析】根据关于轴的对称点的坐标特点:横坐标互为相反数,纵坐标不变可得,,再解即可. 【解答】解:点关于轴对称点的坐标是, ,, 解得:,, 故选:. 【点评】此题主要考查了关于轴的对称点的坐标特点,关键是掌握点的坐标的变化规律. 5.(4分)(2011?日照)下列等式一定成立的是   A. B. C. D. 【考点】35:合并同类项;47:幂的乘方与积的乘方;:多项式乘多项式;:完全平方公式 【专题】15:综合题 【分析】根据合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方与积的乘方法则,多项式乘以多项式的法则解答. 【解答】解:、不是同类项,不能合并,故本选项错误; 、,故本选项错误; 、,故本选项错误; 、,故本选项正确. 故选:. 【点评】本题综合考查合并同类项法则,完全平方公式,幂的乘方与积的乘方法则,多项式乘以多项式的法则,是基础题型,需要熟练掌握. 6.(4分)(2014春?姜堰市期末)将一副直角三角板如图放置,使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合,则的度数为   A. B. C. D. 【考点】:三角形的外角性质 【分析】根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出,再求出即可. 【解答】解:由三角形的外角性质得,, . 故选:. 【点评】本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质,熟记性质并准确识图是解题的关键. 7.(4分)(2014?黔西南州)如图,已知,那么添加下列一个条件后,仍无法判定的是   A. B. C. D. 【考点】:全等三角形的判定 【分析】要判定,已知,是公共边,具备了两组边对应相等,故添加、、后可分别根据、、能判定,而添加后则不能. 【解答】解:、添加,根据,能判定,故选项不符合题意; 、添加,根据,能判定,故选项不符合题意; 、添加时,不能判定,故选项符合题意; 、添加,根据,能判定,故选项不符合题意; 故选:. 【点评】本题考查三角形全等的判定方法,判定两个三角形全等的一般方法有:、、、、. 注意:、不能判定两个三角形全等,判定两个三角形全等时,必须有边的参与,若有两边一角对应相等时,角必须是两边的夹角. 8.(4分)(2015?从化市一模)如图,在中,平分,于,,,,则长是   A.7 B.6 C.5 D.4 【考点】:角平分线的性质 【分析】先求出的面积,再得出的面积,最后根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得边上的高,从而得解. 【解答】解:,, 的面积为, , 的面积, 平分,于, 边上的高, , 故选:. 【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质,熟记性质是解题的关键. 9.(4分)(2019秋?连江县期中)已知,则的值为   A.7 B.11 C.9 D.5 【考点】59:因式分解的应用 【专题】11:计算题;44:因式分解 【分析】将式子进行分组因式分解,再适时代入的值计算,即求出答案. 【解答】解:, 故选:. 【点评】此题考查了因式分解的应用,熟练掌握分组因式分解的方法是解本题的关键. 10.(4分)(2019秋?连江县期中)若,,,则,,的大小关系正确的是   A. B. C. D. 【考点】47:幂的乘方与积的乘方;:平方差公式;:负整数指数幂 【专题】11:计算题;511:实数 【分析】先计算、、的值并比较,再得结论. 【解答】解:, , . , 故选:. 【点评】本题考查了0指数幂、积的乘方、平方差公式等知识点.解决本题的关键是利用平方差公式计算,逆用积的乘方公式计算. 二、填空题(每题4分,共24分) 11.(4分)(2019秋?连江县期中)如图,李叔叔家的凳子坏了,于是他给凳子加了两根木条,这样凳子就比较牢固了,他所应用的数学原理是 三角形的稳定性 . 【考点】:三角形的稳定性 【专题】12:应用题 【分析】根据三角形的稳定性进行解答. 【解答】解:给凳子加了两根木条之后形成了三角形,所以“这样凳子就比较牢固了”的数学原理是:三角形的稳定性, 故答案为:三角形的稳定性. 【点评】此题主要考查了三角形的稳定性,是需要记忆的知识. 12.(4分)(2019秋?连江县期中)计算:的结果等于  . 【考点】46:同底数幂的乘法 【专题】11:计算题;512:整式;66:运算能力 【分析】同底数幂乘法运算的法则是:底数不变,指数相加,据此可解. 【解答】解: 故答案为:. 【点评】本题考查了同底数幂乘法的基础运算,明确同底数乘法的运算法则,是正确解题的关键. 13.(4分)(2010?芜湖)一个正多边形的每个外角都是,这个正多边形的边数是 10 . 【考点】:多边形内角与外角 【分析】多边形的外角和等于,因为所给多边形的每个外角均相等,故又可表示成,列方程可求解. 【解答】解:设所求正边形边数为, 则, 解得. 故正多边形的边数是10. 【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数,解答时要会根据公式进行正确运算、变形和数据处理. 14.(4分)(2019秋?连江县期中)如图,等边的周长是18,是边上的中点,点在边的延长线上.如果,那么的长是 3 . 【考点】:全等三角形的判定与性质;:等边三角形的性质 【专题】554:等腰三角形与直角三角形;67:推理能力 【分析】证出,得出即可. 【解答】解:为等边三角形,为边上的中点, 为的平分线,且, , 又, , 等边的周长为18, ,且, , , . 故答案为:3. 【点评】此题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定以及三角形的外角性质等知识;熟练掌握等边三角形的性质,证明是解题的关键. 15.(4分)(2017秋?南开区期末)在平面直角坐标系中,点,,作,使与全等,则点坐标为 或或 .(点不与点重合) 【考点】:坐标与图形性质;:全等三角形的判定 【分析】根据全等三角形的判定和已知点的坐标画出图形,即可得出答案. 【解答】解:如图所示: 有三个点符合, 点,, ,, 与全等, ,, ,,. 故答案为:或或. 【点评】本题考查了坐标与图形性质,全等三角形的判定与性质,难点在于根据点的位置分情况讨论. 16.(4分)(2019秋?连江县期中)如图,已知,点在边上,点、在边上,,,,则 5 . 【考点】:含30度角的直角三角形;:等腰三角形的性质 【专题】69:应用意识;:解直角三角形及其应用 【分析】如图,作于.解直角三角形求出,即可. 【解答】解:如图,作于. ,, , 在中,,, , , , 故答案为5. 【点评】本题考查解直角三角形的应用,等腰三角形的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题. 三、解答题(共86分) 17.(8分)(2019秋?连江县期中)(1)计算:; (2)分解因式:. 【考点】55:提公因式法与公式法的综合运用;:整式的除法 【专题】512:整式;66:运算能力 【分析】(1)根据整式的运算法则即可求出答案; (2)根据因式分解法即可求出答案. 【解答】解:(1)原式; (2)原式 【点评】本题考查整式的运算,解题的关键是熟练运用整式的运算法则,本题属于基础题型. 18.(8分)(2016秋?建瓯市期末)先化简,再求值:,其中,. 【考点】:整式的混合运算化简求值 【专题】11:计算题;512:整式 【分析】首先去括号,合并同类项,将代数式化为最简式,然后把、的值代入计算可得. 【解答】解:原式 , 当、时, 原式 . 【点评】本题主要考查整式的混合运算化简求值,解题的关键是熟练掌握整式的混合运算顺序和运算法则. 19.(8分)(2019秋?连江县期中)按要求完成作图: (1)作出关于轴对称的图形; (2)写出、、的对应点、、的坐标; (3)在轴上画出点,使的周长最小. 【考点】:作图轴对称变换;:轴对称最短路线问题 【专题】13:作图题;64:几何直观 【分析】(1)(2)利用关于轴对称的点的坐标特征写出、、的坐标,然后描点即可; (3)连接交轴于,利用两点之间线段最短可判断此时的周长最小. 【解答】解:(1)△即为所求; (2)由图可得,、、; (3)点即为所求. 【点评】本题考查了作图轴对称变换:几何图形都可看做是由点组成,我们在画一个图形的轴对称图形时,也是先从确定一些特殊的对称点开始的.约考查了最短路径问题. 20.(8分)(2019秋?连江县期中)如图,在中,是边上一点,是边的中点,作交的延长线于点.证明:. 【考点】:全等三角形的判定 【专题】67:推理能力;14:证明题;553:图形的全等 【分析】根据或证明即可. 【解答】证明:是边的中点, . 又, ,, 在与中, . . 【点评】本题考查全等三角形的判定.全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边. 21.(8分)(2015秋?昌平区期末)如图,在中,,点是上一点,点是上一点,且.若,,求的度数. 【考点】:等腰三角形的性质 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和得到,进而得到,由,得到,由,进而求出结论. 【解答】解:, , , , , , , , , . 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质,三角形的内角和定理,垂直定义,熟练应用等腰三角形的性质是解题的关键. 22.(10分)(2019秋?连江县期中)已知:如图,,请先作图再解决问题. (1)利用尺规完成以下作图,并保留作图痕迹.(不要求写作法) ①作平分交于点; ②在的延长线上截取,连接; (2)判断的形状,并说明理由. 【考点】:作图复杂作图 【分析】(1)①作平分交于点即可; ②在的延长线上截取,连接; (2)根据角平分线的性质可得出,再由平行线的性质可知,故可得出,再由可知,进而可得出结论. 【解答】解:(1)①如图,点即为所求; ②如图,,即为所求; (2)平分, . , , . , , 是直角三角形. 【点评】本题考查的是作图复杂作图,熟知角平分线的作法与平行线的性质是解答此题的关键. 23.(10分)(2019秋?连江县期中)根据几何图形的面积关系可以形象直观地表示多项式的乘法 . 例如:可以用图 (1) 表示 (1) 根据图 (2) ,写出一个多项式乘以多项式的等式; (2) 从,两题中任选一题作答: . 请画出一个几何图形, 表示,并仿照上图标明相应的字母; . 请画出一个几何图形, 表示,并仿照上图标明相应的字母 . 【考点】:多项式乘多项式 【专题】31 :数形结合 【分析】(1) 利用长方形的面积公式列式, 根据多项式法则进行计算; (2) 仿照图 (2) 画图确定长方形的边长 . 【解答】解: (1) 由图 2 可得等式:; (1)、画出的图形如下: 、 【点评】本题考查了多项式乘多项式、 长方形的面积, 正确利用图形结合面积求出是解题关键 . 24.(12分)(2019秋?连江县期中)如图,和是等腰直角三角形,,,,点是内的一点,. (1)由已知条件可知哪两个三角形全等  ,理由  . (2)求的大小; (3)设,那么当为多少度时,是等腰三角形. 【考点】:全等三角形的判定与性质;:勾股定理;:等腰直角三角形 【专题】554:等腰三角形与直角三角形;67:推理能力;553:图形的全等 【分析】(1)由证明即可; (2)求出,根据四边形内角和定理得出四边形中,; (3)分三种情况讨论:①若;②若;③若,分别根据等腰三角形两个角相等,列出方程进行求解. 【解答】(1)解:,理由如下: , , 在和中,, ; 故答案为:,; (2), , , , , 又是等腰直角三角形,, 四边形中,; (3)分三种情况: ①当时, 是等腰直角三角形, , 又, ; ②当时, 则, ; ③当时, 则, , , ; 综上所述:当的度数为或或时,是等腰三角形. 【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质以及分类讨论等知识;熟练掌握等腰三角形的性质,证明三角形全等是解题的关键. 25.(14分)(2019秋?连江县期中)在平面直角坐标系中,点,,点为轴正半轴上一动点,过点作交轴于点. (1)如图①,若点的坐标为,试求点的坐标; (2)如图②,若点在轴正半轴上运动,且,其它条件不变,连接,求证:平分 (3)若点在轴正半轴上运动,当时,求的度数. 【考点】:全等三角形的判定与性质;:等腰直角三角形;:三角形综合题 【专题】15:综合题 【分析】(1)先根据判定,得出,再根据点的坐标为,得到,进而得到点的坐标; (2)先过点作于点,作于点,根据,得到,且,再根据,,得出,进而得到平分; (3)在上截取,连接,根据判定,再根据三角形外角性质以及三角形内角和定理,求得,进而得到. 【解答】解:(1)如图①,,, , 又, , ,, , , , 又点的坐标为, , 点的坐标为; (2)如图②,过点作于点,作于点, , ,且, ,, , 平分; (3)如所示,在上截取,连接, ,, , ,, , ,即, , , 又, , , . 【点评】本题属于三角形综合题,主要考查了全等三角形的判定与性质,角平分线的判定定理以及等腰直角三角形的性质的综合应用,解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形,运用全等三角形的性质进行求解. 考点卡片 1.合并同类项 (1)定义:把多项式中同类项合成一项,叫做合并同类项. (2)合并同类项的法则:把同类项的系数相加,所得结果作为系数,字母和字母的指数不变. (3)合并同类项时要注意以下三点: ①要掌握同类项的概念,会辨别同类项,并准确地掌握判断同类项的两条标准:带有相同系数的代数项;字母和字母指数; ②明确合并同类项的含义是把多项式中的同类项合并成一项,经过合并同类项,式的项数会减少,达到化简多项式的目的; ③“合并”是指同类项的系数的相加,并把得到的结果作为新的系数,要保持同类项的字母和字母的指数不变. 2.同底数幂的乘法 (1)同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘,底数不变,指数相加. am?an=am+n(m,n是正整数) (2)推广:am?an?ap=am+n+p(m,n,p都是正整数) 在应用同底数幂的乘法法则时,应注意:①底数必须相同,如23与25,(a2b2)3与(a2b2)4,(x﹣y)2与(x﹣y)3等;②a可以是单项式,也可以是多项式;③按照运算性质,只有相乘时才是底数不变,指数相加. (3)概括整合:同底数幂的乘法,是学习整式乘除运算的基础,是学好整式运算的关键.在运用时要抓住“同底数”这一关键点,同时注意,有的底数可能并不相同,这时可以适当变形为同底数幂. 3.幂的乘方与积的乘方 (1)幂的乘方法则:底数不变,指数相乘. (am)n=amn(m,n是正整数) 注意:①幂的乘方的底数指的是幂的底数;②性质中“指数相乘”指的是幂的指数与乘方的指数相乘,这里注意与同底数幂的乘法中“指数相加”的区别. (2)积的乘方法则:把每一个因式分别乘方,再把所得的幂相乘. (ab)n=anbn(n是正整数) 注意:①因式是三个或三个以上积的乘方,法则仍适用;②运用时数字因数的乘方应根据乘方的意义,计算出最后的结果. 4.多项式乘多项式 (1)多项式与多项式相乘的法则: 多项式与多项式相乘,先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项,再把所得的积相加. (2)运用法则时应注意以下两点: ①相乘时,按一定的顺序进行,必须做到不重不漏;②多项式与多项式相乘,仍得多项式,在合并同类项之前,积的项数应等于原多项式的项数之积. 5.完全平方公式 (1)完全平方公式:(a±b)2=a2±2ab+b2. 可巧记为:“首平方,末平方,首末两倍中间放”. (2)完全平方公式有以下几个特征:①左边是两个数的和的平方;②右边是一个三项式,其中首末两项分别是两项的平方,都为正,中间一项是两项积的2倍;其符号与左边的运算符号相同. (3)应用完全平方公式时,要注意:①公式中的a,b可是单项式,也可以是多项式;②对形如两数和(或差)的平方的计算,都可以用这个公式;③对于三项的可以把其中的两项看做一项后,也可以用完全平方公式. 6.平方差公式 (1)平方差公式:两个数的和与这两个数的差相乘,等于这两个数的平方差. (a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 (2)应用平方差公式计算时,应注意以下几个问题: ①左边是两个二项式相乘,并且这两个二项式中有一项完全相同,另一项互为相反数; ②右边是相同项的平方减去相反项的平方; ③公式中的a和b可以是具体数,也可以是单项式或多项式; ④对形如两数和与这两数差相乘的算式,都可以运用这个公式计算,且会比用多项式乘以多项式法则简便. 7.整式的除法 整式的除法: (1)单项式除以单项式,把系数,同底数幂分别相除后,作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母,则连同他的指数一起作为商的一个因式. 关注:从法则可以看出,单项式除以单项式分为三个步骤:①系数相除;②同底数幂相除;③对被除式里含有的字母直接作为商的一个因式. (2)多项式除以单项式,先把这个多项式的每一项分别除以单项式,再把所得的商相加. 说明:多项式除以单项式实质就是转化为单项式除以单项式.多项式除以单项式的结果仍是一个多项式. 8.整式的混合运算—化简求值 先按运算顺序把整式化简,再把对应字母的值代入求整式的值. 有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似. 9.提公因式法与公式法的综合运用 提公因式法与公式法的综合运用. 10.因式分解的应用 1、利用因式分解解决求值问题. 2、利用因式分解解决证明问题. 3、利用因式分解简化计算问题. 【规律方法】因式分解在求代数式值中的应用 1.因式分解是研究代数式的基础,通过因式分解将多项式合理变形,是求代数式值的常用解题方法,具体做法是:根据题目的特点,先通过因式分解将式子变形,然后再进行整体代入. 2.用因式分解的方法将式子变形时,根据已知条件,变形的可以是整个代数式,也可以是其中的一部分. 11.负整数指数幂 负整数指数幂:a﹣p=1ap(a≠0,p为正整数) 注意:①a≠0; ②计算负整数指数幂时,一定要根据负整数指数幂的意义计算,避免出现(﹣3)﹣2=(﹣3)×(﹣2)的错误. ③当底数是分数时,只要把分子、分母颠倒,负指数就可变为正指数. ④在混合运算中,始终要注意运算的顺序. 12.坐标与图形性质 1、点到坐标轴的距离与这个点的坐标是有区别的,表现在两个方面:①到x轴的距离与纵坐标有关,到y轴的距离与横坐标有关;②距离都是非负数,而坐标可以是负数,在由距离求坐标时,需要加上恰当的符号. 2、有图形中一些点的坐标求面积时,过已知点向坐标轴作垂线,然后求出相关的线段长,是解决这类问题的基本方法和规律. 3、若坐标系内的四边形是非规则四边形,通常用平行于坐标轴的辅助线用“割、补”法去解决问题. 13.三角形的角平分线、中线和高 (1)从三角形的一个顶点向底边作垂线,垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高. (2)三角形一个内角的平分线与这个内角的对边交于一点,则这个内角的顶点与所交的点间的线段叫做三角形的角平分线. (3)三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线. (4)三角形有三条中线,有三条高线,有三条角平分线,它们都是线段. (5)锐角三角形的三条高在三角形内部,相交于三角形内一点,直角三角形有两条高与直角边重合,另一条高在三角形内部,它们的交点是直角顶点;钝角三角形有两条高在三角形外部,一条高在三角形内部,三条高所在直线相交于三角形外一点. 14.三角形的稳定性 当三角形三边的长度确定后,三角形的形状和大小就能唯一确定下来,故三角形具有稳定性.这一特性主要应用在实际生活中. 15.三角形三边关系 (1)三角形三边关系定理:三角形两边之和大于第三边. (2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式,只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形. (3)三角形的两边差小于第三边. (4)在涉及三角形的边长或周长的计算时,注意最后要用三边关系去检验,这是一个隐藏的定时炸弹,容易忽略. 16.三角形的外角性质 (1)三角形外角的定义:三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫做三角形的外角. 三角形共有六个外角,其中有公共顶点的两个相等,因此共有三对. (2)三角形的外角性质: ①三角形的外角和为360°. ②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和. ③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角. (3)若研究的角比较多,要设法利用三角形的外角性质②将它们转化到一个三角形中去. (4)探究角度之间的不等关系,多用外角的性质③,先从最大角开始,观察它是哪个三角形的外角. 17.全等三角形的判定 (1)判定定理1:SSS﹣﹣三条边分别对应相等的两个三角形全等. (2)判定定理2:SAS﹣﹣两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等. (3)判定定理3:ASA﹣﹣两角及其夹边分别对应相等的两个三角形全等. (4)判定定理4:AAS﹣﹣两角及其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等. (5)判定定理5:HL﹣﹣斜边与直角边对应相等的两个直角三角形全等. 方法指引:全等三角形的5种判定方法中,选用哪一种方法,取决于题目中的已知条件,若已知两边对应相等,则找它们的夹角或第三边;若已知两角对应相等,则必须再找一组对边对应相等,且要是两角的夹边,若已知一边一角,则找另一组角,或找这个角的另一组对应邻边. 18.全等三角形的判定与性质 (1)全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件. (2)在应用全等三角形的判定时,要注意三角形间的公共边和公共角,必要时添加适当辅助线构造三角形. 19.角平分线的性质 角平分线的性质:角的平分线上的点到角的两边的距离相等. 注意:①这里的距离是指点到角的两边垂线段的长;②该性质可以独立作为证明两条线段相等的依据,有时不必证明全等;③使用该结论的前提条件是图中有角平分线,有垂直角平分线的性质语言:如图,∵C在∠AOB的平分线上,CD⊥OA,CE⊥OB∴CD=CE 20.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的概念 有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. (2)等腰三角形的性质 ①等腰三角形的两腰相等 ②等腰三角形的两个底角相等.【简称:等边对等角】 ③等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合.【三线合一】 (3)在①等腰;②底边上的高;③底边上的中线;④顶角平分线.以上四个元素中,从中任意取出两个元素当成条件,就可以得到另外两个元素为结论. 21.等边三角形的性质 (1)等边三角形的定义:三条边都相等的三角形叫做等边三角形,等边三角形是特殊的等腰三角形. ①它可以作为判定一个三角形是否为等边三角形的方法; ②可以得到它与等腰三角形的关系:等边三角形是等腰三角形的特殊情况.在等边三角形中,腰和底、顶角和底角是相对而言的. (2)等边三角形的性质:等边三角形的三个内角都相等,且都等于60°. 等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴;它的任意一角的平分线都垂直平分对边,三边的垂直平分线是对称轴. 22.含30度角的直角三角形 (1)含30度角的直角三角形的性质: 在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半. (2)此结论是由等边三角形的性质推出,体现了直角三角形的性质,它在解直角三角形的相关问题中常用来求边的长度和角的度数. (3)注意:①该性质是直角三角形中含有特殊度数的角(30°)的特殊定理,非直角三角形或一般直角三角形不能应用; ②应用时,要注意找准30°的角所对的直角边,点明斜边. 23.勾股定理 (1)勾股定理:在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方. 如果直角三角形的两条直角边长分别是a,b,斜边长为c,那么a2+b2=c2. (2)勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中. (3)勾股定理公式a2+b2=c2 的变形有:a,b及c. (4)由于a2+b2=c2>a2,所以c>a,同理c>b,即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边. 24.等腰直角三角形 (1)两条直角边相等的直角三角形叫做等腰直角三角形. (2)等腰直角三角形是一种特殊的三角形,具有所有三角形的性质,还具备等腰三角形和直角三角形的所有性质.即:两个锐角都是45°,斜边上中线、角平分线、斜边上的高,三线合一,等腰直角三角形斜边上的高为外接圆的半径R,而高又为内切圆的直径(因为等腰直角三角形的两个小角均为45°,高又垂直于斜边,所以两个小三角形均为等腰直角三角形,则两腰相等); (3)若设等腰直角三角形内切圆的半径r=1,则外接圆的半径R1,所以r:R=1:1. 25.三角形综合题 三角形综合题. 26.多边形内角与外角 (1)多边形内角和定理:(n﹣2)?180 (n≥3)且n为整数) 此公式推导的基本方法是从n边形的一个顶点出发引出(n﹣3)条对角线,将n边形分割为(n﹣2)个三角形,这(n﹣2)个三角形的所有内角之和正好是n边形的内角和.除此方法之和还有其他几种方法,但这些方法的基本思想是一样的.即将多边形转化为三角形,这也是研究多边形问题常用的方法. (2)多边形的外角和等于360度. ①多边形的外角和指每个顶点处取一个外角,则n边形取n个外角,无论边数是几,其外角和永远为360°. ②借助内角和和邻补角概念共同推出以下结论:外角和=180°n﹣(n﹣2)?180°=360°. 27.作图—复杂作图 复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图,一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法. 解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质,结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图,逐步操作. 28.轴对称图形 (1)轴对称图形的概念: 如果一个图形沿一条直线折叠,直线两旁的部分能够互相重合,这个图形叫做轴对称图形,这条直线叫做对称轴,这时,我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴)对称. (2)轴对称图形是针对一个图形而言的,是一种具有特殊性质图形,被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时,互相重合;轴对称图形的对称轴可以是一条,也可以是多条甚至无数条. (3)常见的轴对称图形: 等腰三角形,矩形,正方形,等腰梯形,圆等等. 29.关于x轴、y轴对称的点的坐标 (1)关于x轴的对称点的坐标特点: 横坐标不变,纵坐标互为相反数. 即点P(x,y)关于x轴的对称点P′的坐标是(x,﹣y). (2)关于y轴的对称点的坐标特点: 横坐标互为相反数,纵坐标不变. 即点P(x,y)关于y轴的对称点P′的坐标是(﹣x,y). 30.作图-轴对称变换 几何图形都可看做是由点组成,我们在画一个图形的轴对称图形时,也是先从确定一些特殊的对称点开始的,一般的方法是: ①由已知点出发向所给直线作垂线,并确定垂足; ②直线的另一侧,以垂足为一端点,作一条线段使之等于已知点和垂足之间的线段的长,得到线段的另一端点,即为对称点; ③连接这些对称点,就得到原图形的轴对称图形. 31.轴对称-最短路线问题 1、最短路线问题 在直线L上的同侧有两个点A、B,在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在,可以通过轴对称来确定,即作出其中一点关于直线L的对称点,对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点. 2、凡是涉及最短距离的问题,一般要考虑线段的性质定理,结合本节所学轴对称变换来解决,多数情况要作点关于某直线的对称点. 声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布 日期:2019/11/11 19:36:37;用户:厦门不懂老师;邮箱:18859280003;学号:30041195 第1页(共1页)
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教版
  • 适用地区:福建省福州市
  • 文件大小:3.1M
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