[ID:3-5655583] 2018-2019学年重庆涪陵区兴隆中学九年级(下)数学月考试卷(解析版)
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2018-2019学年重庆涪陵区兴隆中学九年级(下)数学月考试卷 一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分) 1.下列说法正确的是(  ) A.负数没有倒数 B.正数的倒数比自身小 C.任何有理数都有倒数 D.﹣1的倒数是﹣1 2.下列运算正确的是(  ) A.x2+x2=x4 B.a3?a2=a6 C.(2x2)3=6x6 D.|1﹣|=﹣1 3.在函数y=中,自变量x的取值范围是(  ) A.x>2 B.x≥2 C.x≠0 D.x≠2 4.如图,已知∠1=70°,如果CD∥BE,那么∠B的度数为(  ) A.70° B.100° C.110° D.120° 5.在一次科技知识竞赛中,两组学生成绩统计如下表,通过计算可知两组的方差为=172,=256.下列说法: 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 ①两组的平均数相同; ②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定; ③甲组成绩的众数>乙组成绩的众数; ④两组成绩的中位数均为80,但成绩≥80的人数甲组比乙组多,从中位数来看,甲组成绩总体比乙组好; ⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多,高分段乙组成绩比甲组好. 其中正确的共有(  ) A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 6.下列说法正确的是(  ) A.6的平方根是 B.对角线相等的四边形是矩形 C.两个底角相等的梯形一定是等腰梯形 D.近似数0.270有3个有效数字 7.如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是(  ) A.8≤AB≤10 B.8<AB≤10 C.4≤AB≤5 D.4<AB≤5 8.如图,点P是x轴正半轴上一点,过点P作x轴的垂线交函数于点Q,连接OQ,当点P沿x轴方向运动时,Rt△OPQ的面积(  ) A.逐渐增大 B.逐渐变小 C.不变 D.无法判断 9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=2,D是AB边上一个动点(不与点A、B重合),E是BC边上一点,且∠CDE=30°.设AD=x,BE=y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是(  ) A. B. C. D. 10.将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起,已知正方形的边长为20cm,点O为正方形的中心,AB=5cm,则CD长为(  ) A.10cm B.15cm C.20cm D.30cm 二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分) 11.据测算,我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元,这个数用科学记数法表示为   万元. 12.分解因式:3x2﹣6x2y+3xy2=   . 13.已知⊙O1和⊙O2的圆心距为7,两圆半径是方程x2﹣7x+12=0的两根,则⊙O1和⊙O2的位置关系是   . 14.若直线y=2x﹣1与y=x﹣k的交点在第四象限,则k的取值范围为   . 15.如图,分别过点Pi(i,0)(i=1、2、…、n)作x轴的垂线,交的图象于点Ai,交直线于点Bi.则=   . 16.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,∠A=50°,∠B=70°,则∠AED=   度. 三.解答题(共10小题,满分86分) 17.计算:﹣(﹣1)2018﹣|2﹣|++ 18.解不等式组 19.今年4月19日我市成功的举办了2005年菏泽国际牡丹花会,吸引了众多的国内外贸易洽谈及旅游观光人士,起到了“以花为媒,促进菏泽经济发展”的作用.花会期间,对六家大宾馆、饭店中游客的年龄(年龄取整数)进行了抽样统计,经整理后分成六组,并绘制成频率分布直方图,如图所示.已知从左到右六个小组的频率分别是0.08,0.20,0.32,0.24,0.12,0.04.第一小组频数为8,请结合图形回答下列问题: (1)这次抽样的样本容量是多少? (2)样本中年龄的中位数落在第几小组内?(只要求写出答案) (3)花会这天参观牡丹的旅客约有8000人,请你估计在20.5~50.5年龄段的游客约有多少人? 20.一艘轮船由南向北航行,如图,在A处测得小岛P在北偏西15°方向上,两个小时后,轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上,在小岛周围18海里内有暗礁,问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行,有无触礁的危险? 21.化简求值或解方程 (1)化简求值:(﹣x+1)÷,其中x=﹣2 (2)解方程: +=﹣1 22.如图,反比例函数(k≠0)与一次函数y=ax+b(a≠0)相交于点A(1,3),B(c,﹣1). (Ⅰ)求反比例函数与一次函数的解析式; (Ⅱ)在反比例函数图象上存在点C,使△AOC为等腰三角形,这样的点有几个,请直接写出一个以AC为底边的等腰三角形顶点C的坐标. 23.现有一张演唱会的门票,小明与小华为了决定谁拿这张门票去看开幕式,小华设计了一种方案如下:如图,有A、B两个转盘,其中转盘A被分成3等份,转盘B被分成4等份,并 在每一份内标上数字.两人同时分别转动其中一个转盘,转盘停止后(当指针指在边界线上时视为无效,重转),若将A转盘指针指向的数字记为x,B转盘指针指向的数字记为y,从而确定点P的坐标为P(x,y). (1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标; (2)小华提议,在(1)的基础上,若点P落在反比例函数图象上则小明赢;否则,自己赢.你觉得小明的提议对双方公平吗?请说明理由. 24.在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°<α<90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC、BC于D、F两点. (1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?并证明你的结论; (2)如图2,当α=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由; (3)在(2)的情况下,求ED的长. 25.某公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过在本地市场调研发现,这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如下表: 时间t(天) 1 3 6 10 36 … 日销售量m(件) 94 90 84 76 24 … 未来40天内,前20天每天的价格y1(元/件)与时间t(天)的函数关系式为(1≤t≤20且t为整数),后20天每天的价格y2(元/件)与时间t(天)的函数关系式为(21≤t≤40且t为整数).下面我们就来研究销售这种商品的有关问题: (1)认真分析上表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式; (2)请预测本地市场在未来40天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少? (3)在第30天,该公司在外地市场的销量比本地市场的销量增加a%还多30件,由于运输等原因,该商品每件成本比本地增加0.2a%少5元,在销售价格相同的情况下当日两地利润持平,请你参考以下数据,通过计算估算出a的整数值. (参考数据:,,,,) 26.已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D. (Ⅰ)若折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标; (Ⅱ)若折叠后点B落在边OA上的点为B′,设OB′=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围; (Ⅲ)若折叠后点B落在边OA上的点为B″,且使B″D∥OB,求此时点C的坐标. 2018-2019学年重庆涪陵区兴隆中学九年级(下)数学月考试卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共10小题,满分40分,每小题4分) 1.下列说法正确的是(  ) A.负数没有倒数 B.正数的倒数比自身小 C.任何有理数都有倒数 D.﹣1的倒数是﹣1 【分析】根据倒数的定义可知. 【解答】解:A、负数有倒数,例如﹣1的倒数是﹣1,选项错误; B、正数的倒数不一定比自身小,例如0.5的倒数是2,选项错误; C、0没有倒数,选项错误; D、﹣1的倒数是﹣1,正确. 故选:D. 【点评】本题主要考查了倒数的定义及性质.乘积是1的两个数互为倒数,除0以外的任何数都有倒数,倒数等于它本身的数是±1. 2.下列运算正确的是(  ) A.x2+x2=x4 B.a3?a2=a6 C.(2x2)3=6x6 D.|1﹣|=﹣1 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方和绝对值的计算判断即可. 【解答】解:A、x2+x2=2x2,错误; B、a3?a2=a5,错误; C、(2x2)3=8x6,错误; D、|1﹣|=﹣1,正确; 故选:D. 【点评】此题考查幂的乘方问题,关键是根据法则进行计算. 3.在函数y=中,自变量x的取值范围是(  ) A.x>2 B.x≥2 C.x≠0 D.x≠2 【分析】分式有意义的条件:分母不能为0,即让分母不为0即可. 【解答】解:根据题意得:x﹣2≠0; 解得x≠2, 故选:D. 【点评】用到的知识点为:分式的分母不能为0. 4.如图,已知∠1=70°,如果CD∥BE,那么∠B的度数为(  ) A.70° B.100° C.110° D.120° 【分析】先求出∠1的对顶角,再根据两直线平行,同旁内角互补即可求出. 【解答】解:如图,∵∠1=70°, ∴∠2=∠1=70°, ∵CD∥BE, ∴∠B=180°﹣∠1=180°﹣70°=110°. 故选:C. 【点评】本题利用对顶角相等和平行线的性质,需要熟练掌握. 5.在一次科技知识竞赛中,两组学生成绩统计如下表,通过计算可知两组的方差为=172,=256.下列说法: 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲组 2 5 10 13 14 6 乙组 4 4 16 2 12 12 ①两组的平均数相同; ②甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定; ③甲组成绩的众数>乙组成绩的众数; ④两组成绩的中位数均为80,但成绩≥80的人数甲组比乙组多,从中位数来看,甲组成绩总体比乙组好; ⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多,高分段乙组成绩比甲组好. 其中正确的共有(  ) A.2种 B.3种 C.4种 D.5种 【分析】分别利用平均数公式以及方差的意义和众数的定义以及中位数的定义分别分析得出即可. 【解答】解:①∵=(50×2+60×5+70×10+80×13+90×14+100×6)=80, =(50×4+60×4+70×16+80×2+90×12+100×12)=80, ∴两组的平均数相同,(故①选项正确); ②∵=172,=256, ∴甲组学生成绩比乙组学生成绩稳定,(故②选项正确); ③由甲组成绩的众数是90,乙组成绩的众数是70, 因此甲组成绩的众数>乙组成绩的众数,(故③选项正确); ④由中位数的定义可得: 两组成绩的中位数均为80,从中位数来看,甲组与乙组成绩一样好,(故④选项错误); ⑤成绩高于或等于90分的人数乙组比甲组多,高分段乙组成绩比甲组好,(故⑤选项正确). 故选:C. 【点评】此题主要考查了方差以及平均数的求法和众数以及中位数的定义等知识,正确把握相关定义是解题关键. 6.下列说法正确的是(  ) A.6的平方根是 B.对角线相等的四边形是矩形 C.两个底角相等的梯形一定是等腰梯形 D.近似数0.270有3个有效数字 【分析】对四个选项逐一进行分析, 【解答】解:A、根据平方根的概念,得6的平方根是±,错误; B、必须在平行四边形的前提下,错误; C、必须在同一个底上才行,如直角梯形.错误; D、根据有效数字的概念,正确. 故选:D. 【点评】解答此题要掌握以下概念: 正数的平方根有2个,并且它们都互为相反数; 有效数字即从左边不是0的数字起,所有的数字; 掌握等腰梯形以及矩形的判定定理. 7.如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是(  ) A.8≤AB≤10 B.8<AB≤10 C.4≤AB≤5 D.4<AB≤5 【分析】此题可以首先计算出当AB与小圆相切的时候的弦长.连接过切点的半径和大圆的一条半径,根据勾股定理和垂径定理,得AB=8.若大圆的弦AB与小圆有公共点,即相切或相交,此时AB≥8;又因为大圆最长的弦是直径10,则8≤AB≤10. 【解答】解:当AB与小圆相切, ∵大圆半径为5,小圆的半径为3, ∴AB=2=8. ∵大圆的弦AB与小圆有公共点,即相切或相交, ∴8≤AB≤10. 故选:A. 【点评】本题综合考查了切线的性质、勾股定理和垂径定理.此题可以首先计算出和小圆相切时的弦长,再进一步分析有公共点时的弦长. 8.如图,点P是x轴正半轴上一点,过点P作x轴的垂线交函数于点Q,连接OQ,当点P沿x轴方向运动时,Rt△OPQ的面积(  ) A.逐渐增大 B.逐渐变小 C.不变 D.无法判断 【分析】因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S=|k|,所以当点P沿x轴的正方向运动时,Rt△QOP的面积保持不变. 【解答】解:因为过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值,即S=|k|.所以△OPQ的面积等于|k|=1. 故选:C. 【点评】主要考查了反比例函数中k的几何意义,即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|. 9.如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=60°,AC=2,D是AB边上一个动点(不与点A、B重合),E是BC边上一点,且∠CDE=30°.设AD=x,BE=y,则下列图象中,能表示y与x的函数关系的图象大致是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据题意可得出AB=4,BC=2,BD=4﹣x,CE=2﹣y,然后判断△CDE∽△CBD,继而利用相似三角形的性质可得出y与x的关系式,结合选项即可得出答案. 【解答】解:∵∠A=60°,AC=2, ∴AB=4,BC=2,BD=4﹣x,CE=2﹣y, 在△ACD中,利用余弦定理可得CD2=AC2+AD2﹣2AC?ADcos∠A=4+x2﹣2x, 故可得CD= 又∵∠CDE=∠CBD=30°,∠ECD=∠DCB(同一个角), ∴△CDE∽△CBD,即可得=,= 故可得:y=﹣x2+x+,即呈二次函数关系,且开口朝下. 故选:C. 【点评】此题考查了动点问题的函数图象及余弦定理的知识,解答本题的关键是判断出△CDE∽△CBD,利用余弦定理得出CD的长. 10.将正方形与直角三角形纸片按如图所示方式叠放在一起,已知正方形的边长为20cm,点O为正方形的中心,AB=5cm,则CD长为(  ) A.10cm B.15cm C.20cm D.30cm 【分析】由三个角为直角的四边形为矩形得到OBEC为矩形,然后根据O为正方形的中心,得到EO为角CEB的平分线,又OC垂直于EC,OB垂直于EB,根据角平分线定理得到OC=OB,故四边形OBEC为正方形,且边长为大正方形边长的一半,由大正方形的边长求出正方形OBEC的边长,即可得到CE即OB的长,由EC与OB平行,得到两对同位角相等,由两对对应角相等的两三角形相似得到三角形DCE与三角形DOA相似,根据相似得比例,即可求出CD的长. 【解答】解:如图, ∵OC⊥CE,OB⊥EB, ∴∠OCE=∠OBE=90°,又∠CEB=90°, ∴OBEC为矩形, ∵点O为正方形的中心, ∴EO平分∠CEB,又OC⊥CE,OB⊥EB, ∴OC=OB, ∴四边形BOCE是正方形,CE=OB=20÷2=10cm, ∵CE∥AO, ∴∠CED=∠BAE,又∠DCE=∠EBA=90°, ∴△DCE∽△DOA, ∴, 即, 解得DC=20cm. 故选:C. 【点评】本题主要考查正方形的判定与性质,以及相似三角形的判定与性质.其中正方形各边都相等,每个角都是直角的性质和相似三角形对应边成比例的性质,需要熟练掌握并灵活运用. 二.填空题(共6小题,满分24分,每小题4分) 11.据测算,我国每年因沙漠造成的直接经济损失超过5 400 000万元,这个数用科学记数法表示为 5.4×106 万元. 【分析】在实际生活中,许多比较大的数,我们习惯上都用科学记数法表示,使书写、计算简便.将一个绝对值较大的数写成科学记数法a×10n的形式时,其中1≤|a|<10,n为比整数位数少1的数. 【解答】解:5 400 000=5.4×106万元. 故答案为5.4×106. 【点评】用科学记数法表示一个数的方法是(1)确定a:a是只有一位整数的数;(2)确定n:当原数的绝对值≥10时,n为正整数,n等于原数的整数位数减1;当原数的绝对值<1时,n为负整数,n的绝对值等于原数中左起第一个非零数前零的个数(含整数位数上的零). 12.分解因式:3x2﹣6x2y+3xy2= 3x(x﹣2xy+y2) . 【分析】原式提取公因式分解即可. 【解答】解:原式=3x(x﹣2xy+y2), 故答案为:3x(x﹣2xy+y2) 【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用,找出原式的公因式是解本题的关键. 13.已知⊙O1和⊙O2的圆心距为7,两圆半径是方程x2﹣7x+12=0的两根,则⊙O1和⊙O2的位置关系是 外切 . 【分析】利用根与系数的关系可以得到两半径之和等于圆心距,再根据圆心距与圆的位置关系的判定,即可知道两圆外切. 【解答】解:∵两圆半径是方程x2﹣7x+12=0的两根, ∴根据根与系数的关系可知,x1+x2=7, ∵R+r=7,即圆心距=7, ∴两圆外切. 【点评】本题主要考查两圆的位置关系:外切时d=R+r;以及根与系数的关系. 14.若直线y=2x﹣1与y=x﹣k的交点在第四象限,则k的取值范围为 <k<1 . 【分析】可由已知y=2x﹣1与y=x﹣k求出其交点M为(1﹣k,1﹣2k),再根据交点在第四象限确定k的取值范围. 【解答】直线y=2x﹣1与y=x﹣k的交点M为 M(1﹣k,1﹣2k) 该点在第四象限,则 1﹣k>0,1﹣2k<0 解不等式得:<k<1. 故答案为:<k<1. 【点评】此题考查的知识点是两条直线相交问题,关键是先求出交点,再根据条件确定k的取值范围. 15.如图,分别过点Pi(i,0)(i=1、2、…、n)作x轴的垂线,交的图象于点Ai,交直线于点Bi.则=  . 【分析】根据函数图象上的坐标的特征求得A1(1,)、A2(2,2)、A3(3,)…An(n, n2);B1(1,﹣)、B2(2,﹣1)、B3(3,﹣)…Bn(n,﹣);然后由两点间的距离公式求得A1B1=|﹣(﹣)|=1,A2B2=|2﹣(﹣1)|=3,A3B3=|﹣(﹣)|=6,…AnBn=|n2﹣(﹣)|=;最后将其代入求值即可. 【解答】解:根据题意,知A1、A2、A3、…An的点都在函与直线x=i(i=1、2、…、n)的图象上, B1、B2、B3、…Bn的点都在直线与直线x=i(i=1、2、…、n)图象上, ∴A1(1,)、A2(2,2)、A3(3,)…An(n, n2); B1(1,﹣)、B2(2,﹣1)、B3(3,﹣)…Bn(n,﹣); ∴A1B1=|﹣(﹣)|=1, A2B2=|2﹣(﹣1)|=3, A3B3=|﹣(﹣)|=6, … AnBn=|n2﹣(﹣)|=; ∴=1, =, … =. ∴, =1++…+, =2[+++…+], =2(1﹣+﹣+﹣+…+﹣), =2(1﹣), =. 故答案为:. 【点评】本题考查了二次函数的综合题.解答此题的难点是求=1++…+的值.在解时,采取了“裂项法”来求该数列的和. 16.△ABC中,D、E分别是AB、AC的中点,∠A=50°,∠B=70°,则∠AED= 60 度. 【分析】易得△ABC第三个角的度数,DE是△ABC的中位线,那么所求的角等于算出的第三个角的一半. 【解答】解:根据三角形的内角和定理,得∠C=60度. ∵D、E分别是AB、AC的中点, ∴DE∥BC, ∴∠AED=∠C=60°, 故答案为60. 【点评】综合考查三角形的内角和定理和中位线定理以及平行线的性质. 三.解答题(共10小题,满分86分) 17.计算:﹣(﹣1)2018﹣|2﹣|++ 【分析】直接利用立方根以及算术平方根和绝对值的性质分别化简得出答案. 【解答】解:原式=﹣1﹣(2﹣)+9﹣3 =﹣1﹣2++9﹣3 =3+. 【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简各数是解题关键. 18.解不等式组 【分析】分别求出两个不等式的解集,再求其公共解集. 【解答】解:解不等式2x+1≥﹣1,得:x≥﹣1, 解不等式x+1>4(x﹣2),得:x<3, 则不等式组的解集为﹣1≤x<3. 【点评】本题考查一元一次不等式组的解法,求不等式组的解集,要遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了. 19.今年4月19日我市成功的举办了2005年菏泽国际牡丹花会,吸引了众多的国内外贸易洽谈及旅游观光人士,起到了“以花为媒,促进菏泽经济发展”的作用.花会期间,对六家大宾馆、饭店中游客的年龄(年龄取整数)进行了抽样统计,经整理后分成六组,并绘制成频率分布直方图,如图所示.已知从左到右六个小组的频率分别是0.08,0.20,0.32,0.24,0.12,0.04.第一小组频数为8,请结合图形回答下列问题: (1)这次抽样的样本容量是多少? (2)样本中年龄的中位数落在第几小组内?(只要求写出答案) (3)花会这天参观牡丹的旅客约有8000人,请你估计在20.5~50.5年龄段的游客约有多少人? 【分析】(1)用第一组的频数除以其频率,可得样本容量; (2)根据中位数的定义,给定n个数据,按从小到大排序,如果n为奇数,位于中间的那个数就是中位数;如果n为偶数,位于中间两个数的平均数就是中位数.所以样本中年龄的中位数落在第三小组内; (3)先求出落在20.5~50.5这个年龄段的频率,再用旅客的总人数乘以频率可得这个年龄段的人数. 【解答】解:(1)因为第一组的频率为0.08,频数为8, 所以样本容量为8÷0.08=100; (2)样本中的中位数在第三小组内; (3)由已知可得,落在20.5~50.5这个年龄段的频率为:0.20+0.32+0.24=0.76, 所以这个年龄段的人数约为8000×0.76=6080人. 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.同时考查了中位数、众数的求法以及用样本估计总体. 20.一艘轮船由南向北航行,如图,在A处测得小岛P在北偏西15°方向上,两个小时后,轮船在B处测得小岛P在北偏西30°方向上,在小岛周围18海里内有暗礁,问若轮船按20海里/时的速度继续向北航行,有无触礁的危险? 【分析】作PD⊥AB交AB延长线于D点,依据直角三角形的性质求得PD的长,即可得出结论. 【解答】解:如图,作PD⊥AB交AB延长线于D点, ∵∠PBC=30°, ∴∠PAB=15°, ∴∠APB=∠PBC﹣∠PAB=15°, ∴PB=AB=20×2=40 (海里), 在Rt△BPD中, ∴PD=PB=20(海里), ∵20>18, ∴不会触礁. 【点评】此题考查了等腰三角形的判定与性质,三角形的外角性质,以及含30°直角三角形的性质,其中轮船有没有危险由PD的长与18比较大小决定. 21.化简求值或解方程 (1)化简求值:(﹣x+1)÷,其中x=﹣2 (2)解方程: +=﹣1 【分析】(1)先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将x的值代入计算可得; (2)两边都乘以(x+1)(x﹣1)化分式方程为整式方程,解整式方程求得x的值,再检验即可得. 【解答】解:(1)原式=(﹣)÷ =? =? =﹣x(x+1) =﹣x2﹣x, 当x=﹣2时,原式=﹣4+2=﹣2; (2)两边都乘以(x+1)(x﹣1),得:6﹣(x+2)(x+1)=﹣(x+1)(x﹣1), 即6﹣x2﹣3x﹣2=﹣x2+1, 解得x=1, 检验:当x=1时,(x+1)(x﹣1)=0, 所以分式方程无解. 【点评】本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是熟练掌握分式的混合运算顺序和运算法则及解分式方程的步骤. 22.如图,反比例函数(k≠0)与一次函数y=ax+b(a≠0)相交于点A(1,3),B(c,﹣1). (Ⅰ)求反比例函数与一次函数的解析式; (Ⅱ)在反比例函数图象上存在点C,使△AOC为等腰三角形,这样的点有几个,请直接写出一个以AC为底边的等腰三角形顶点C的坐标. 【分析】(Ⅰ)把A点坐标代入反比例函数解析式可求得k,则可求得反比例函数解析式,则可求得B点坐标,把A、B坐标代入一次函数解析式可求得a、b,则可求得一次函数解析式; (Ⅱ)当OA为腰时,可以OA为半径分别以O和A为圆心画圆,与反比例函数图象的交点个数即为满足条件的点C;当AO为底时,可知点C在线段OA的垂直平分线上,画图可知不存在满足条件的点;则可求得点C的个数,可设出C点的坐标,表示出AO和CO的长,由AO=CO可得到关于C点坐标的方程,可求得C点坐标,即可求得以AC为底时的点C的坐标. 【解答】解: (Ⅰ)∵点A(1,3)在反比例函数图象上, ∴k=1×3=3, ∴反比例函数解析式为y=; ∵B(c,﹣1)在反比例函数图象上, ∴c=﹣3, ∴B(﹣3,﹣1), ∵A、B在一次函数图象上, ∴,解得, ∴一次函数解析式为y=x+2; (Ⅱ)当OA为腰时,若AC为底,则以O为圆心,OA为半径画圆,如图1, 此时圆与反比例函数图象有3个交点,满足条件的点C只有有二个; 若OC为底,则以A为圆心,OA长为半径画圆,如图2, 此时圆与反比例函数图象有两个交点,即满足条件的点C有两个; 当OA为底时,则点C在线段OA的垂直平分线上,如图3, 此时没有满足条件的点C; 综上可知满足条件的点C有4个; 可设C点坐标为(t,), ∵A(1,3), ∴OA2=12+32=10,OC2=t2+()2=t2+, 当△AOC是以AC为底的等腰三角形时,则有OA=OC,即OA2=OC2, ∴10=t2+,解得t=1或t=﹣1或t=3或t=﹣3, 当t=1时,C与A重合,舍去,t=﹣1时,(﹣1,﹣3)与A(1,3)及原点O三点共线,不符合题意, ∴C点坐标为(3,1)或(﹣3,﹣1). 【点评】本题为反比例函数的综合应用,涉及待定系数法、函数图象的交点、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识.在(1)中注意函数图象的交点坐标满足每个函数解析式,在(2)中可利用圆的性质确定点C的个数,在求C点坐标时,注意方程思想的应用.本题考查知识点较多,综合性较强,难度适中. 23.现有一张演唱会的门票,小明与小华为了决定谁拿这张门票去看开幕式,小华设计了一种方案如下:如图,有A、B两个转盘,其中转盘A被分成3等份,转盘B被分成4等份,并 在每一份内标上数字.两人同时分别转动其中一个转盘,转盘停止后(当指针指在边界线上时视为无效,重转),若将A转盘指针指向的数字记为x,B转盘指针指向的数字记为y,从而确定点P的坐标为P(x,y). (1)请用列表或画树状图的方法写出所有可能得到的点P的坐标; (2)小华提议,在(1)的基础上,若点P落在反比例函数图象上则小明赢;否则,自己赢.你觉得小明的提议对双方公平吗?请说明理由. 【分析】(1)首先根据题意列出表格,然后由表格即可求得所有等可能的结果; (2)根据(1)中的表格,利用概率公式即可求得小明赢与小华赢的概率,比较概率的大小,即可求得小明的提议对双方是否公平. 【解答】解:(1)列表得: 1 2 3 4 1 (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) 2 (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) 4 (4,1) (4,2) (4,3) (4,4) 则所有可能的结果共有12种; (2)∵若P在函数上,则P为(1,4),(2,2),(4,1)共3个, ∴P(小明赢)=,P(小华赢)=, ∵, ∴不公平. 【点评】本题考查的是游戏公平性的判断.注意判断游戏公平性就要计算每个事件的概率,概率相等就公平,否则就不公平. 24.在△ABC中,AB=BC=2,∠ABC=120°,将△ABC绕点B顺时针旋转角α(0°<α<90°)得△A1BC1,A1B交AC于点E,A1C1分别交AC、BC于D、F两点. (1)如图1,观察并猜想,在旋转过程中,线段EA1与FC有怎样的数量关系?并证明你的结论; (2)如图2,当α=30°时,试判断四边形BC1DA的形状,并说明理由; (3)在(2)的情况下,求ED的长. 【分析】(1)根据旋转的性质得到对应边相等和对应角相等,从而得到全等三角形,根据全等三角形的性质进行证明; (2)在(1)的基础上,易发现该四边形的四条边相等,从而证明是菱形; (3)根据菱形的性质和解直角三角形的知识以及等腰三角形的性质求解. 【解答】解:(1)EA1=FC. 证明:(证法一)∵AB=BC, ∴∠A=∠C. 由旋转可知,AB=BC1,∠A=∠C1,∠ABE=∠C1BF, ∴△ABE≌△C1BF. ∴BE=BF,又∵BA1=BC, ∴BA1﹣BE=BC﹣BF.即EA1=FC. (证法二)∵AB=BC,∴∠A=∠C. 由旋转可知,∠A1=∠C,A1B=CB,而∠EBC=∠FBA1, ∴△A1BF≌△CBE. ∴BE=BF,∴BA1﹣BE=BC﹣BF, 即EA1=FC. (2)四边形BC1DA是菱形. 证明:∵∠A1=∠ABA1=30°, ∴A1C1∥AB,同理AC∥BC1. ∴四边形BC1DA是平行四边形. 又∵AB=BC1, ∴四边形BC1DA是菱形. (3)(解法一)过点E作EG⊥AB于点G,则AG=BG=1. 在Rt△AEG中,AE=. 由(2)知四边形BC1DA是菱形, ∴AD=AB=2, ∴ED=AD﹣AE=2﹣. (解法二)∵∠ABC=120°,∠ABE=30°,∴∠EBC=90°. 在Rt△EBC中,BE=BC?tanC=2×tan30°=. ∴EA1=BA1﹣BE=2﹣. ∵A1C1∥AB, ∴∠A1DE=∠A. ∴∠A1DE=∠A1. ∴ED=EA1=2﹣. 【点评】本题主要考查旋转、全等三角形、特殊平行四边形、解直角三角形等知识.解决本题的关键是结合图形,大胆猜想. 25.某公司生产的某种时令商品每件成本为20元,经过在本地市场调研发现,这种商品在未来40天内的日销售量m(件)与时间t(天)的关系如下表: 时间t(天) 1 3 6 10 36 … 日销售量m(件) 94 90 84 76 24 … 未来40天内,前20天每天的价格y1(元/件)与时间t(天)的函数关系式为(1≤t≤20且t为整数),后20天每天的价格y2(元/件)与时间t(天)的函数关系式为(21≤t≤40且t为整数).下面我们就来研究销售这种商品的有关问题: (1)认真分析上表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定一个满足这些数据的m(件)与t(天)之间的关系式; (2)请预测本地市场在未来40天中哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少? (3)在第30天,该公司在外地市场的销量比本地市场的销量增加a%还多30件,由于运输等原因,该商品每件成本比本地增加0.2a%少5元,在销售价格相同的情况下当日两地利润持平,请你参考以下数据,通过计算估算出a的整数值. (参考数据:,,,,) 【分析】(1)通过观察表格中的数据日销售量与时间t是均匀减少的,所以确定m与t是一次函数关系,利用待定系数法即可求出函数关系式; (2)分前20天和后20天分别讨论:根据日销售量、每天的价格及时间t可以列出销售利润W关于t的二次函数,然后利用二次函数的性质即可求出哪一天的日销售利润最大,最大日销售利润是多少; (3)由于在第30天,利用(1)中结论和已知条件可以求出本地的利润,也可以根据该公司在外地市场的销量比本地市场的销量增加a%还多30件,由于运输等原因,该商品每件成本比本地增加0.2a%少5元,可以用a列出外地销售利润,然后根据在销售价格相同的情况下当日两地利润持平可以列出关于a的方程,解方程即可求解. 【解答】解:(1)∵根据表格知道日销售量与时间t是均匀减少的, ∴确定m与t是一次函数关系,设函数关系式为:m=kt+b, ∵当t=1,m=94;当t=3,m=90, ∴, 解之得:, ∴m=﹣2t+96; (2)前20天: ∵每天的价格y(元)与时间t天的函数关系式为y=t+25, 而商品每件成本为20元, ∴每件获取的利润为(t+25﹣20)=(t+5)元, 又日销售量y(件)与时间t(天)的函数关系式为:y=﹣2t+96, 故:前20天每天获取的利润: P=(t+5)(﹣2t+96) =﹣t2+14t+480 ∴P=﹣(t﹣14)2+578 (1≤t≤20) 根据二次函数的相关性质可知:t=14时,日获利润最大,且为578元; 后20天: 每天的价格y(元)与时间t天的函数关系式为y=﹣t+40, 而商品每件成本为20元, 故每件获取的利润为(﹣t+40﹣20)=(﹣t+20)元, 又日销售量y(件)与时间t(天)的函数关系式为:y=﹣2t+96, 故:后20天每天获取的利润 P=(﹣t+20)(﹣2t+96) =t2﹣88t+1920, ∴P=(t﹣44)2﹣16 (21≤t≤40), 根据二次函数的相关性质可知: 当t=21时,日获利润最大,且为513元 综合以上:t=14时,日获利润最大,且为578元; (3)在第30天,本地的销售量为m=﹣2×30+96=36,销售价格为:y=﹣×30+40=25, 依题意得公司在外地市场的销量为:36×(1+a%)+30, 依题意得:36×(25﹣20)=[36×(1+a%)+30][25﹣20(1+0.2a%)+5], 整理得:3(a%) 2﹣2a%﹣10=0, 解得:a%=,则a%1==≈219%,a%2=<0(不合题意舍去), 故a≈219. 【点评】此题分别考查了二次函数的应用,一元二次方程的应用等知识,解题的关键 首先读懂题目,正确把握题目的数量关系,根据数量关系分别列出函数关系式和一元二次方程解决问题. 26.已知一个直角三角形纸片OAB,其中∠AOB=90°,OA=2,OB=4.如图,将该纸片放置在平面直角坐标系中,折叠该纸片,折痕与边OB交于点C,与边AB交于点D. (Ⅰ)若折叠后使点B与点A重合,求点C的坐标; (Ⅱ)若折叠后点B落在边OA上的点为B′,设OB′=x,OC=y,试写出y关于x的函数解析式,并确定y的取值范围; (Ⅲ)若折叠后点B落在边OA上的点为B″,且使B″D∥OB,求此时点C的坐标. 【分析】(Ⅰ)因为折叠后点B与点A重合,那么BC=AC,可先设出C点的坐标,然后表示出BC,AC,在直角三角形OCA中,根据勾股定理即可求出C点的纵坐标,也就求出了C点的坐标; (Ⅱ)方法同(Ⅰ)用OC表示出BC,B′C然后在直角三角形OB′C中根据勾股定理得出x,y的关系式.由于B′在OA上,因此有0≤x≤2,由此可求出y的取值范围; (Ⅲ)根据(Ⅰ)(Ⅱ)的思路,应该先得出OB″,OC的关系,知道OA,OB的值,那么可以通过证Rt△COB″∽Rt△BOA来实现.∠B″CO和∠CB″D是平行线B″D,OB的内错角,又因为∠OBA=∠CB″D,因此∠B″CO=∠OBA,即CB″∥BA,由此可得出两三角形相似,得出OC,OB″的比例关系,然后根据(1)(2)的思路,在直角三角形OB″C中求出OC的值,也就求出C点的坐标了. 【解答】解:(Ⅰ)如图①,折叠后点B与点A重合,则△ACD≌△BCD. 设点C的坐标为(0,m)(m>0),则BC=OB﹣OC=4﹣m. ∴AC=BC=4﹣m. 在Rt△AOC中,由勾股定理,AC2=OC2+OA2, 即(4﹣m)2=m2+22,解得m=. ∴点C的坐标为(0,); (Ⅱ)如图②,折叠后点B落在OA边上的点为B′, ∴△B′CD≌△BCD. ∵OB′=x,OC=y, ∴B′C=BC=OB﹣OC=4﹣y, 在Rt△B′OC中,由勾股定理,得B′C2=OC2+OB′2. ∴(4﹣y)2=y2+x2, 即y=﹣x2+2. 由点B′在边OA上,有0≤x≤2, ∴解析式y=﹣x2+2(0≤x≤2)为所求. ∵当0≤x≤2时,y随x的增大而减小, ∴y的取值范围为≤y≤2; (Ⅲ)如图③,折叠后点B落在OA边上的点为B″,且B″D∥OC. ∴∠OCB″=∠CB″D. 又∵∠CBD=∠CB″D, ∴∠OCB″=∠CBD, ∵CB″∥BA. ∴Rt△COB″∽Rt△BOA. ∴, ∴OC=2OB″. 在Rt△B″OC中, 设OB″=x0(x0>0),则OC=2x0. 由(Ⅱ)的结论,得2x0=﹣x02+2, 解得x0=﹣8±4. ∵x0>0, ∴x0=﹣8+4. ∴点C的坐标为(0,8﹣16). 【点评】本题综合考查了运用轴对称、相似三角形的性质和勾股定理的知识进行计算的能力.折叠型动态问题是近年来中考试题中的热点问题,它可以考查学生的综合能力,如想象能力、动手操作及创新意识能力等等,对于这类问题,通常从原图中选取满足条件的基本图形进行分析、解决问题.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教版
  • 适用地区:重庆市涪陵区
  • 文件大小:605KB
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