[ID:3-6862138] 陕西省西安市碑林区西北工大附中2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学 ...
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2019-2020学年九年级(上)第一次月考数学试卷 一.选择题(共10小题) 1.下列方程中是一元二次方程的是(  ) A.ax2+bx+c=0 B. C.x2=0 D.5x2﹣6y﹣2=0 2.如图所示的几何体的俯视图是(  ) A. B. C. D. 3.已知4a=5b(ab≠0),下列变形错误的是(  ) A. B. C. D. 4.如图,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,那么的值等于(  ) A. B. C. D. 5.某小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米,根据题意,可列方程为(  ) A.x(x+10)=900 B.(x﹣10)=900 C.10(x+10)=900 D.2[x+(x+10)]=900 6.下列命题中,真命题是(  ) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形不一定是平行四边形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形 7.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是(  ) A. B. C. D. 8.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交CD于点F,交AD的延长线于点E,若AB=4,BM=2,则△DEF的面积为(  ) A.9 B.8 C.15 D.14.5 9.关于x的方程(a﹣1)x2+2ax+a﹣1=0,下列说法正确的是(  ) A.一定是一个一元二次方程 B.a=﹣1时,方程的两根x1和x2满足x1+x2=﹣1 C.a=3时,方程的两根x1和x2满足x1?x2=1 D.a=1时,方程无实数根 10.如图,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°,则=(  ) A. B. C. D. 二.填空题(共4小题) 11.已知=,则=   . 12.在平面直角坐标系中,△OAB各顶点的坐标分别为O(0,0),A(1,2),B(0,3),以O为位似中心,△OCD与△OAB位似.若B点的对应点D的坐标为(0,﹣6),则A点的对应点C的坐标为   . 13.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P在AB上.若将△DAP沿DP折叠,使点A落在矩形对角线上的A′处,则AP的长为   . 14.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,△ADE的顶点D在BC上运动,且∠DAE=90°,∠ADE=∠B,F为线段DE的中点,连接CF,在点D运动过程中,线段CF长的最小值为   . 三.解答题(共11小题) 15.解方程: (1)2x(x﹣3)=(x﹣1)(x+1) (2)x(2﹣x)=x2﹣2 16.若x1,x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两个根,求代数式(x1﹣x2)2的值. 17.如图,△ABC中,点P在边AB上,请用尺规在边AC上作一点Q,使.(保留作图痕迹,不写作法). 18.如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(﹣1,3),B(﹣1,1),C(﹣3,2). (1)请在第四象限画出△A′B′C′,使△A′B′C′与△ABC位似,且位似中心是点O,相似比为2; (2)求△A′B′C′的面积. 19.如图,点E、F分别为正方形ABCD边AB和BC的中点,DE与AF交于点G,求证:AD2=DG?DE. 20.如图,平台AB上有一棵直立的大树CD,平台的边缘B处有一棵直立的小树BE,平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天,他发现大树的影子一部分落在平台CB上,一部分落在斜坡上,而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合,且都落在斜坡上的F处,经测量,CB长5米,BF长2米,小树BE高1.8米,斜坡BG与平台AB所成的∠ABG=150°.请你帮小明求出大树CD的高度. 21.为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x(单位:万元)成一次函数关系. (1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式; (2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润,则该设备的销售单价应是多少万元? 22.在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球,它们的材质、形状、大小完全相同,小亮从布袋里随机摸出一个小球,记下数字为x,小刚从剩下的3个小球中随机摸出一个小球,记下数字为y,这样确定了点P的坐标(x,y). (1)若小亮摸出的小球上的数字是2,那么小刚摸出的小球上的数字是4的概率是多少? (2)利用画树状图或列表格的方法,求点P(x,y)在函数y=﹣x+6的图象上的概率. 23.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作一条直线分别交DA,BC的延长线于点E,F,连接BE,DF. (1)求证:四边形BFDE是平行四边形; (2)若EF⊥AB,垂足为M,,AE=2,求菱形ABCD的边长. 24.如图,直线AB表达式为y=﹣2x+2,交x轴于点A,交y轴于点B.若y轴负半轴上有一点C,且CO=AO. (1)求点C的坐标和直线AC的表达式; (2)在直线AC上是否存在点D,使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABO相似?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. 25.问题提出: (1)如图①,在边长为8的等边三角形ABC中,点D,E分别在BC与AC上,且BD=2,∠ADE=60°,则线段CE的长为   . 问题分析: (2)如图②,已知AP∥BQ,∠A=∠B=90°,AB=6,D是射线AP上的一个动点(不与点A重合),E是线段AB上的一个动点(不与A,B重合),EC⊥DE,交射线BQ于点C,且AD+DE=AB,求△BCE的周长. 问题解决: (3)如图③,在四边形ABCD中,AB+CD=10(AB<CD),BC=6,点E为BC的中点,且∠AED=108°,则边AD的长是否存在最大值?若存在,请求AD的最大值,并求出此时AB,CD的长度,若不存在,请说明理由. 参考答案与试题解析 一.选择题(共10小题) 1.下列方程中是一元二次方程的是(  ) A.ax2+bx+c=0 B. C.x2=0 D.5x2﹣6y﹣2=0 【分析】一元二次方程必须同时满足三个条件: ①整式方程,即等号两边都是整式,方程中如果没有分母,那么分母中无未知数; ②只含有一个未知数; ③未知数的最高次数是2. 【解答】解:A、当a=0时,不是一元二次方程,故本选项错误; B、不是整式方程,故本选项错误; C、符合一元二次方程的定义,故本选项正确; D、不只含有一个未知数,故本选项错误; 故选:C. 2.如图所示的几何体的俯视图是(  ) A. B. C. D. 【分析】找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中. 【解答】解:从上往下看,得两个长方形的组合体. 故选:D. 3.已知4a=5b(ab≠0),下列变形错误的是(  ) A. B. C. D. 【分析】依据比例的性质,即可得出结论. 【解答】解:A.由,可得4a=5b,故本选项正确; B.由,可得4a=5b,故本选项正确; C.由,可得4a=5b,故本选项正确; D.由,可得4a=5b+1,故本选项错误; 故选:D. 4.如图,AB∥CD∥EF,AF与BE相交于点G,且AG=2,GD=1,DF=5,那么的值等于(  ) A. B. C. D. 【分析】根据平行线分线段成比例定理计算即可. 【解答】解:∵AG=2,GD=1,DF=5, ∴AD=AG+GD=3,GF=GD+DF=6, ∵AB∥CD∥EF, ∴===, 故选:A. 5.某小区在规划设计时,准备在两幢楼房之间,设置一块面积为900平方米的矩形绿地,并且长比宽多10米.设绿地的宽为x米,根据题意,可列方程为(  ) A.x(x+10)=900 B.(x﹣10)=900 C.10(x+10)=900 D.2[x+(x+10)]=900 【分析】先表示出矩形场地的长,再根据矩形的面积公式即可列出方程. 【解答】解:设绿地的宽为x米,则长为(x+10)米, 根据矩形的面积为900平方米可得:x(x+10)=900, 故选:A. 6.下列命题中,真命题是(  ) A.对角线相等的四边形是矩形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线互相平分的四边形不一定是平行四边形 D.对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形 【分析】根据矩形的判定、菱形的判定、平行四边形和正方形的判定判断即可. 【解答】解:A、对角线相等的菱形是矩形,原命题是假命题; B、对角线互相垂直的平行四边形是菱形,原命题是假命题; C、对角线互相平分的四边形一定是平行四边形,原命题是假命题; D、对角线互相垂直平分且相等的四边形一定是正方形,原命题是真命题; 故选:D. 7.若关于x的一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,则一次函数y=kx+b的大致图象可能是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据一元二次方程x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根,得到判别式大于0,求出kb的符号,对各个图象进行判断即可. 【解答】解:∵x2﹣2x+kb+1=0有两个不相等的实数根, ∴△=4﹣4(kb+1)>0, 解得kb<0, A.k>0,b>0,即kb>0,故A不正确; B.k>0,b<0,即kb<0,故B正确; C.k<0,b<0,即kb>0,故C不正确; D.k<0,b=0,即kb=0,故D不正确; 故选:B. 8.如图,正方形ABCD中,M为BC上一点,ME⊥AM,ME交CD于点F,交AD的延长线于点E,若AB=4,BM=2,则△DEF的面积为(  ) A.9 B.8 C.15 D.14.5 【分析】由勾股定理可求AM的长,通过证明△ABM∽△EMA,可求AE=10,可得DE=6,由平行线分线段成比例可求DF的长,即可求解. 【解答】解:∵AB=4,BM=2, ∴AM===2, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AD∥BC,∠B=∠C=90°, ∴∠EAM=∠AMB,且∠B=∠AME=90°, ∴△ABM∽△EMA, ∴, ∴ ∴AE=10, ∴DE=AE﹣AD=6, ∵AD∥BC, ∴, ∴=3, ∵DF+CF=4, ∴DF=3, ∴S△DEF=DE×DF=9, 故选:A. 9.关于x的方程(a﹣1)x2+2ax+a﹣1=0,下列说法正确的是(  ) A.一定是一个一元二次方程 B.a=﹣1时,方程的两根x1和x2满足x1+x2=﹣1 C.a=3时,方程的两根x1和x2满足x1?x2=1 D.a=1时,方程无实数根 【分析】根据一元二次方程的定义、根的判别式、根与系数的关系逐一判断可得答案. 【解答】解:A.当a=1时,此方程为2x=0,是一元一次方程,此选项错误,不符合题意; B.当a=﹣1时,﹣2x2﹣2x﹣2=0,即x2+x+1=0,此时△=﹣3<0,此方程无解,故此选项错误,不符合题意; C.a=3时,方程为2x2+6x+2=0,即x2+3x+1=0,方程的两根x1和x2满足x1?x2=1,故此选项正确,符合题意; D.a=1时,方程为2x=0,此方程有一个实数根,为x=0,此选项错误,不符合题意; 故选:C. 10.如图,在菱形ABCD和菱形BEFG中,点A、B、E在同一直线上,P是线段DF的中点,连接PG,PC.若∠ABC=∠BEF=60°,则=(  ) A. B. C. D. 【分析】可通过构建全等三角形求解.延长GP交DC于H,可证三角形DHP和PGF全等,已知的有DC∥GF,根据平行线间的内错角相等可得出两三角形中两组对应的角相等,又有DP=PF,因此构成了全等三角形判定条件中的(AAS),于是两三角形全等,那么HP=PG,可根据三角函数来得出PG、CP的比例关系. 【解答】解:如图, 延长GP交DC于点H, ∵P是线段DF的中点, ∴FP=DP, 由题意可知DC∥GF, ∴∠GFP=∠HDP, ∵∠GPF=∠HPD, ∴△GFP≌△HDP, ∴GP=HP,GF=HD, ∵四边形ABCD是菱形, ∴CD=CB, ∴CG=CH, ∴△CHG是等腰三角形, ∴PG⊥PC,(三线合一) 又∵∠ABC=∠BEF=60°, ∴∠GCP=60°, ∴=; 故选:B. 二.填空题(共4小题) 11.已知=,则=  . 【分析】根据比例的性质,可得a、b间的关系,根据分式的性质,可得答案. 【解答】解:由比例的性质,得b=a. ====, 故答案为:. 12.在平面直角坐标系中,△OAB各顶点的坐标分别为O(0,0),A(1,2),B(0,3),以O为位似中心,△OCD与△OAB位似.若B点的对应点D的坐标为(0,﹣6),则A点的对应点C的坐标为 (﹣2,﹣4) . 【分析】根据位似变换的性质计算,得到答案. 【解答】解:∵以O为位似中心,△OCD与△OAB位似,点B的坐标为(0,3),B点的对应点D的坐标为(0,﹣6), ∴A点的对应点C的坐标为(﹣2×1,﹣2×2),即(﹣2,﹣4), 故答案为:(﹣2,﹣4). 13.在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,点P在AB上.若将△DAP沿DP折叠,使点A落在矩形对角线上的A′处,则AP的长为 或 . 【分析】分两种情况探讨:点A落在矩形对角线BD上,点A落在矩形对角线AC上,在直角三角形中利用勾股定理列出方程,通过解方程可得答案. 【解答】解:①点A落在矩形对角线BD上,如图1, ∵AB=4,BC=3, ∴BD=5, 根据折叠的性质,AD=A′D=3,AP=A′P,∠A=∠PA′D=90°, ∴BA′=2, 设AP=x,则BP=4﹣x, ∵BP2=BA′2+PA′2, ∴(4﹣x)2=x2+22, 解得:x=, ∴AP=; ②点A落在矩形对角线AC上,如图2, 根据折叠的性质可知DP⊥AC, ∴△DAP∽△ABC, ∴, ∴AP===. 故答案为:或. 14.如图,在△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,△ADE的顶点D在BC上运动,且∠DAE=90°,∠ADE=∠B,F为线段DE的中点,连接CF,在点D运动过程中,线段CF长的最小值为 2 . 【分析】连接CE,根据∠DCE=90°,F是DE的中点,可得CF=DE,再根据当AD⊥BC时,AD最短,此时DE最短,根据直角三角形的面积以及相似三角形的性质,求得DE的最小值,即可得出CF的最小值. 【解答】解:连接CE,如图所示: BC===5, ∵∠BAC=∠DAE=90°,∠ADE=∠B, ∴△ABC∽△ADE, ∴=,∠ACD=∠AEG, ∵∠AGE=∠DGC, ∴△AGE∽△DGC, ∴=, ∵∠AGD=∠EGC, ∴△AGD∽△EGC, ∴∠ADG=∠ECG, ∵Rt△ADE中,∠ADG+∠AEG=90°, ∴∠ECG+∠ACD=90°,即∠DCE=90°, ∵F是DE的中点, ∴CF=DE, ∵△ABC∽△ADE, ∴当AD⊥BC时,AD最短,此时DE最短, 当AD⊥BC时,△ABC的面积=AD?BC=AB?AC, ∴AD===, ∵=,即=, 解得:DE=4, ∴CF=×4=2, 故答案为:2. 三.解答题(共11小题) 15.解方程: (1)2x(x﹣3)=(x﹣1)(x+1) (2)x(2﹣x)=x2﹣2 【分析】(1)整理后,移项、分解因式,即可得出两个一元一次方程,求出方程的解即可; (2)整理后求出b2﹣4ac的值,再代入公式求出即可. 【解答】解:(1)2x(x﹣3)=(x﹣1)(x+1), 整理得:x2﹣6x﹣7=0, (x﹣7)(x+1)=0, ∴x﹣7=0或x+1=0, ∴x1=7,x2=﹣1; (2)x(2﹣x)=x2﹣2, 整理得:x2﹣x﹣1=0, a=1 b=﹣1 c=﹣1, △=b2﹣4ac=(﹣1)2﹣4×1×(﹣1)=5>0 x=, x1=,x2=. 16.若x1,x2是一元二次方程2x2﹣3x﹣1=0的两个根,求代数式(x1﹣x2)2的值. 【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=,x1x2=﹣,再利用完全平方公式得到(x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2,然后利用整体代入的方法计算. 【解答】解:根据题意得x1+x2=,x1x2=﹣, (x1﹣x2)2=(x1+x2)2﹣4x1x2=()2﹣4×(﹣)=. 17.如图,△ABC中,点P在边AB上,请用尺规在边AC上作一点Q,使.(保留作图痕迹,不写作法). 【分析】利用基本作图(作一个角等于已知角)作∠APQ=∠C,进而解答即可. 【解答】解:如图所示: 18.如图,△ABC三个顶点坐标分别为A(﹣1,3),B(﹣1,1),C(﹣3,2). (1)请在第四象限画出△A′B′C′,使△A′B′C′与△ABC位似,且位似中心是点O,相似比为2; (2)求△A′B′C′的面积. 【分析】(1)利用将△ABC扩大,使变换后得到的△A′B′C′与△ABC的位似比为2:1,得出对应点坐标得出各点位置即可得出图象; (2)根据图形利用三角形面积公式解答即可. 【解答】解:(1)如图所示: (2)△A′B′C′的面积=. 19.如图,点E、F分别为正方形ABCD边AB和BC的中点,DE与AF交于点G,求证:AD2=DG?DE. 【分析】由“SAS”可证△ADE≌△BAF,可得∠BAF=∠ADE,通过证明△ADE∽△GDA,可得结论. 【解答】证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=AD,∠DAB=∠ABF, ∵点E,点F是AB,BC中点, ∴BF=AE,且AB=AD,∠ABF=∠DAE, ∴△ADE≌△BAF(SAS) ∴∠BAF=∠ADE, ∵∠BAF+∠DAG=90°, ∴∠ADE+∠DAG=90°, ∴∠AGD=90°=∠DAE,且∠ADG=∠ADE, ∴△ADE∽△GDA ∴, ∴AD2=DG?DE. 20.如图,平台AB上有一棵直立的大树CD,平台的边缘B处有一棵直立的小树BE,平台边缘B外有一个向下的斜坡BG.小明想利用数学课上学习的知识测量大树CD的高度.一天,他发现大树的影子一部分落在平台CB上,一部分落在斜坡上,而且大树的顶端D与小树顶端E的影子恰好重合,且都落在斜坡上的F处,经测量,CB长5米,BF长2米,小树BE高1.8米,斜坡BG与平台AB所成的∠ABG=150°.请你帮小明求出大树CD的高度. 【分析】延长CB交EF于点H,过点F作FM⊥EB的延长线于点M,在直角三角形MBF中,利用30°角的性质求出BM和MF,再利用相似求出BH长度;最后由△HBE∽△HCD,求出CD即大树的高度即可. 【解答】解:延长CB交EF于点H,过点F作FM⊥EB的延长线于点M ∵∠ABG=150°,BE⊥CB ∴∠MBF=150°﹣90°=60° ∴∠MFB=30° ∵BF的长为2米, ∴BM=1米,MF=米 ∵BE⊥CB,MF⊥BE ∴BH∥MF ∴△EBH∽△EMF ∴= 又∵EB=1.8米 ∴= ∴BH= ∵BE∥CD ∴△HBE∽△HCD ∴= ∵CB=5 ∴= ∴CD=15.8米 ∴大树CD的高度为15.8米. 21.为积极响应新旧动能转换,提高公司经济效益,某科技公司近期研发出一种新型高科技设备,每台设备成本价为30万元,经过市场调研发现,每台售价为40万元时,年销售量为600台;每台售价为45万元时,年销售量为550台.假定该设备的年销售量y(单位:台)和销售单价x(单位:万元)成一次函数关系. (1)求年销售量y与销售单价x的函数关系式; (2)根据相关规定,此设备的销售单价不得高于70万元,如果该公司想获得10000万元的年利润,则该设备的销售单价应是多少万元? 【分析】(1)根据点的坐标,利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式; (2)设此设备的销售单价为x万元/台,则每台设备的利润为(x﹣30)万元,销售数量为(﹣10x+1000)台,根据总利润=单台利润×销售数量,即可得出关于x的一元二次方程,解之取其小于70的值即可得出结论. 【解答】解:(1)设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b(k≠0), 将(40,600)、(45,550)代入y=kx+b,得: ,解得:, ∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000. (2)设此设备的销售单价为x万元/台,则每台设备的利润为(x﹣30)万元,销售数量为(﹣10x+1000)台, 根据题意得:(x﹣30)(﹣10x+1000)=10000, 整理,得:x2﹣130x+4000=0, 解得:x1=50,x2=80. ∵此设备的销售单价不得高于70万元, ∴x=50. 答:该设备的销售单价应是50万元/台. 22.在一个不透明的布袋里装有4个标号为1、2、3、4的小球,它们的材质、形状、大小完全相同,小亮从布袋里随机摸出一个小球,记下数字为x,小刚从剩下的3个小球中随机摸出一个小球,记下数字为y,这样确定了点P的坐标(x,y). (1)若小亮摸出的小球上的数字是2,那么小刚摸出的小球上的数字是4的概率是多少? (2)利用画树状图或列表格的方法,求点P(x,y)在函数y=﹣x+6的图象上的概率. 【分析】(1)由概率公式即可得出答案; (2)画出树状图得出所有可能结果,点P(x,y)在函数y=﹣x+6的图象上的结果有2个,由概率公式即可得出答案. 【解答】解:(1)小刚摸出的小球上的数字是4的概率是; (2)解:(1)画树状图得: ∴共有12种等可能的结果数,即点P所有可能的坐标为(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,4),(4,1),(4,2),(4,3); 点P(x,y)在函数y=﹣x+6的图象上的结果有2个, ∴点P(x,y)在函数y=﹣x+6的图象上的概率为=. 23.如图,在菱形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,过点O作一条直线分别交DA,BC的延长线于点E,F,连接BE,DF. (1)求证:四边形BFDE是平行四边形; (2)若EF⊥AB,垂足为M,,AE=2,求菱形ABCD的边长. 【分析】(1)根据两直线平行,内错角相等可得∠AEO=∠CFO,然后利用“角角边”证明△AEO和△CFO全等,根据全等三角形对应边相等可得OE=OF,再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明即可; (2)设OM=x,BM=2x,根据△AOM∽△OBM,求得AM==x,根据△AEM∽△BFM,求得EM:FM=AM:BM=x:2x=,根据△AEM∽△BFM,求得结论. 【解答】(1)证明:在菱形ABCD中,AD∥BC,OA=OC,OB=OD, ∴∠AEO=∠CFO, 在△AEO和△CFO中,, ∴△AEO≌△CFO(AAS), ∴OE=OF, 又∵OB=OD, ∴四边形BFDE是平行四边形; (2)解:∵, ∴设OM=x,BM=2x, ∵EF⊥AB, 又∵AC⊥BD, ∴∠AOM=∠OBM, ∴△AOM∽△OBM, ∴=, ∴AM==x, ∵AD∥BC, ∴△AEM∽△BFM, ∴EM:FM=AM:BM=x:2x=, ∵△AEO≌△CFO, ∴AE=CF, ∵AE∥BF, ∴△AEM∽△BFM, ∴=, ∴=, ∴BF=8, ∴BC=6, ∴菱形ABCD的边长为6. 24.如图,直线AB表达式为y=﹣2x+2,交x轴于点A,交y轴于点B.若y轴负半轴上有一点C,且CO=AO. (1)求点C的坐标和直线AC的表达式; (2)在直线AC上是否存在点D,使以点A、B、D为顶点的三角形与△ABO相似?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)利用待定系数法求出A,B的坐标,再求出点C的坐标即可解决问题. (2)首先证明∠BAC=90°,推出△BAC∽△BOA,推出当点D1与C重合时,以点A、B、D为顶点的三角形与△ABO相似,此时D(0,﹣),根据对称性可知当AD1=AD3时,△ABD3与△AOB相似,此时D3(2,). 当△BAD2∽△AOB时,=,求出AD2的长,设D2(m,m﹣),骨化风成求出m即可解决问题. 【解答】解:(1)对于直线y=﹣2x+2,令x=0,得到y=2,令y=0,得到x=1, ∴A(1,0),B(0,2), ∴OA=1,OB=2, ∵OC=OA=, ∴C(0,﹣), 设直线AC的解析式为y=kx+b, 则有, 解得, ∴直线AC的解析式为y=x﹣. (2)如图. 由(1)可知,A(1,0),B(0,2),C(0,﹣), ∴AB==,AC==,BC=, ∴BC2=AB2+AC2, ∴∠BAC=90°, ∵∠ABO=∠ABC,∠AOB=∠BAC=90°, ∴△BAC∽△BOA, ∴当点D1与C重合时,以点A、B、D为顶点的三角形与△ABO相似,此时D(0,﹣), 根据对称性可知当AD1=AD3时,△ABD3与△AOB相似,此时D3(2,). 当△BAD2∽△AOB时,=, ∴=, ∴AD2=2,设D(m,m﹣), 则有(m﹣1)2+(m﹣)2=20, 解得m=﹣3或5, ∴D2(﹣3,﹣2),D4(5,2), 综上所述,满足条件的点D的坐标为(0,﹣)或(2,)或(﹣3,﹣2)或(5,2). 25.问题提出: (1)如图①,在边长为8的等边三角形ABC中,点D,E分别在BC与AC上,且BD=2,∠ADE=60°,则线段CE的长为  . 问题分析: (2)如图②,已知AP∥BQ,∠A=∠B=90°,AB=6,D是射线AP上的一个动点(不与点A重合),E是线段AB上的一个动点(不与A,B重合),EC⊥DE,交射线BQ于点C,且AD+DE=AB,求△BCE的周长. 问题解决: (3)如图③,在四边形ABCD中,AB+CD=10(AB<CD),BC=6,点E为BC的中点,且∠AED=108°,则边AD的长是否存在最大值?若存在,请求AD的最大值,并求出此时AB,CD的长度,若不存在,请说明理由. 【分析】问题提出(1)证明△ABD∽△DCE,得出=,即可得出答案; 问题分析(2)设AD=x,AE=y,则DE=6﹣x,BE=6﹣y,证明△ADE∽△BEC,得出==,求出BC=,CE=,得出△BCE的周长=BE+BC+CE=6﹣y++=,在Rt△ADE中,由勾股定理得出x2+y2=(6﹣x)2,整理得36﹣y2=12x,得出△BCE的周长==12; 问题解决(3)作出点B关于AE的对称点M,点C关于DE的对称点N,连接AM、EM,MN、DN、EN.证明△MNE是等腰三角形,EM=EN=3,得出∠EMN=∠ENM=(180°﹣36°)=72°,作∠EMN的平分线交EN于P,证出PE=PM=MN,证明△MPN∽△EMN,得出=,则MN2=EN×PN,设PE=PM=MN=x,则PN=3﹣x,得出x2=3(3﹣x),得出MN=,由AD≤AM+MN+DN,即可得出答案. 【解答】问题提出: (1)解:∵△ABC是等边三角形, ∴AB=BC=8,∠B=∠C=60°, ∵BD=2, ∴CD=BC﹣BD=6, ∵∠ADC=∠ADE+∠CDE=∠B+∠BAD,∠ADE=60°, ∴∠BAD=∠CDE, ∴△ABD∽△DCE, ∴=,即=, 解得:CE=; 故答案为:; 问题分析: (2)解:∵AD+DE=AB,AB=6, ∴AD+DE=6, 设AD=x,AE=y,则DE=6﹣x,BE=6﹣y, ∵EC⊥DE, ∴∠DEC=90°, ∴∠AED+∠BEC=90°, ∵∠A=∠B=90°, ∴∠AED+∠ADE=90°, ∴∠ADE=∠BEC, ∴△ADE∽△BEC, ∴==, 即==, 解得:BC=,CE=, ∴△BCE的周长=BE+BC+CE=6﹣y++=, 在Rt△ADE中,由勾股定理得:x2+y2=(6﹣x)2, 整理得:36﹣y2=12x, ∴△BCE的周长==12; 问题解决: (3)解:作出点B关于AE的对称点M,点C关于DE的对称点N,连接AM、EM,MN、DN、EN.如图所示: 根据轴对称的性质可得AM=AB,BE=EM,CE=EN,DN=CD,∠AEB=AEM,∠DEC=∠DMN, ∵∠AED=108°, ∴∠AEB+∠DEC=180°﹣∠AED=180°﹣108°=72°, ∴∠MEN=∠AED﹣(∠AEM+∠DEN)=108°﹣72°=36°, ∵点M是四边形ABCD的边BC的中点, ∴BE=CE=3, ∴EM=EN=3, ∴∠EMN=∠ENM=(180°﹣36°)=72°, 作∠EMN的平分线交EN于P,则∠EMP=∠NMP=36°=∠MEN,∠MPN=36°+36°=72°=∠ENM, ∴PE=PM=MN,△MPN∽△EMN, ∴=, ∴MN2=EN×PN, 设PE=PM=MN=x,则PN=3﹣x, ∴x2=3(3﹣x), 解得:x=,或x=(舍去), ∴MN=, ∵AD≤AM+MN+DN=AB+CD+MN=10+=, ∴AD≤, ∴AD的最大值为.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教版
  • 适用地区:陕西省西安市
  • 文件大小:432KB
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