[ID:3-6855827] 2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷(解析版)
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2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(3分)在有理数2,0,﹣1,﹣中,最小的是(  ) A.2 B.0 C.﹣1 D.﹣ 2.(3分)2019年6月9日中央电视台新闻报道,端午节期间天猫网共计销售粽子123000000个,将数据123000000用科学记数法表示为(  ) A.12.3×107 B.1.23×108 C.1.23×109 D.0.123×109 3.(3分)如图,这是由7个相同的小正方体搭成的几何体,则这个几何体的左视图是(  ) A. B. C. D. 4.(3分)下列运算正确的是(  ) A.(﹣a2)3=﹣a6 B.3a2?2a3=6a6 C.﹣a(﹣a+1)=﹣a2+a D.a2+a3=a5 5.(3分)如图,某人从点A出发,前进8m后向右转60°,再前进8m后又向右转60°,按照这样的方式一直走下去,当他第一次回到出发点A时,共走了(  ) A.24m B.32m C.40m D.48m 6.(3分)如图,AB∥CD,EF与AB,CD分别交于点G,H,∠CHG的平分线HM交AB于点M,若∠EGB=50°,则∠GMH的度数为(  ) A.50° B.55° C.60° D.65° 7.(3分)如图,若一次函数y=﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A,B两点,点A的坐标为(0,3),则不等式﹣2x+b>0的解集为(  ) A.x> B.x< C.x>3 D.x<3 8.(3分)如图,正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C,D,E在同一条直线上,顶点B,C,G在同一条直线上.O是EG的中点,∠EGC的平分线GH过点D,交BE于点H,连接FH交EG于点M,连接OH.以下四个结论:①GH⊥BE;②△EHM∽△FHG;③=﹣1;④=2﹣,其中正确的结论是(  ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 9.(3分)函数中,自变量x的取值范围是   . 10.(3分)一个不透明的口袋中有红球和黑球共25个,这些球除颜色外都相同.进行大量的摸球试验(每次摸出1个球)后,发现摸到黑球的频率在0.6附近摆动,据此可以估计黑球为   个. 11.(3分)关于x的方程x2+3x+k﹣1=0有两个相等的实数根,则k的值为   . 12.(3分)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,DC的中点,若BD=4,EF=3,则菱形ABCD的周长为   . 13.(3分)如图,AC是⊙O的直径,B,D是⊙O上的点,若⊙O的半径为3,∠ADB=30°,则的长为   . 14.(3分)为了美化校园环境,某中学今年春季购买了A,B两种树苗在校园四周栽种,已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元,用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同.若设A种树苗的单价为x元,则可列出关于x的方程为   . 15.(3分)如图,正方形A0B0C0A1的边长为1,正方形A1B1C1A2的边长为2,正方形A2B2C2A3的边长为4,正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形AnBn?nAn+1,且点A0,A1,A2,A3,…,An+1在同一条直线上,连接A0C1交A1B1于点D1,连接A1C2交A2B2于点D2,连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1,四边形A1B1C1D2的面积为S2,四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn,则S2019=   . 16.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=6,点M,N分别在AD,BC上,且AM=AD,BN=BC,E为直线BC上一动点,连接DE,将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E,当点C′恰好落在直线MN上时,CE的长为   . 三、解答题(本大题共2小题,共16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(8分)先化简,再求值:(﹣)÷,其中x=3+. 18.(8分)如图,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,4),B(1,1),C(3,2). (1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1,并写出点C1的坐标. (2)已知△A2B2C2与△ABC关于直线l对称,若点C2的坐标为(﹣2,﹣3),请直接写出直线l的函数解析式. 注:点A1,B1,C1及点A2,B2,C2分别是点A,B,C按题中要求变换后对应得到的点. 四、解答题(本大题共2小题,共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过 19.(10分)随着人民生活水平的不断提高,外出旅游已成为家庭生活的一种方式.某社区为了解每户家庭旅游的消费情况,随机抽取部分家庭,对每户庭的年旅游消费金额进行问卷调查,并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表. 组别 家庭年旅游消费金额x/元 户数 A 0≤x≤5000 36 B 5000<x≤10000 27 C 10000<x≤15000 m D 15000<x≤20000 33 E x>20000 30 请你根据统计图表提供的信息,解答下列问题: (1)本次被调查的家庭有   户,表中m=   . (2)本次调查数据的中位数落在哪一组?请说明理由. (3)在扇形统计图中,D组所对应扇形的圆心角是多少度? (4)若该社区有3000户家庭,请你估计年旅游消费在10000元以上的家庭户数. 20.(10分)妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》,姐弟俩都想先睹为快.于是小红对弟弟说:我们利用下面中心涂黑的九宫格图案(如图所示)玩一个游戏,规则如下:我从第一行,你从第三行,同时各自任意选取一个方格,涂黑,如果得到的新图案是轴对称图形,我就先读,否则你先读.小红设计的游戏对弟弟是否公平?请用画树状图或列表的方法说明理由.(第一行的小方格从左至右分别用A,B,C表示,第三行的小方格从左至右分别用D,E,F表示) 五、解答题(本大题共2小題,共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 21.(10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与y轴交于点C,与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A,B两点,点A在第一象限,纵坐标为4,点B在第三象限,BM⊥x轴,垂足为点M,BM=OM=2. (1)求反比例函数和一次函数的解析式. (2)连接OB,MC,求四边形MBOC的面积. 22.(10分)如图为某海域示意图,其中灯塔D的正东方向有一岛屿C.一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行,到达A处时得灯塔D在东北方向上,继续航行0.3h,到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上,同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上,此时快艇与岛屿C的距离是多少?(结果精确到1nmile.参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45) 六、解答题(本大题共2小题,共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 23.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC上一点,过B,C,D三点的⊙O交AB于点E,连接ED,EC,点F是线段AE上的一点,连接FD,其中∠FDE=∠DCE. (1)求证:DF是⊙O的切线. (2)若D是AC的中点,∠A=30°,BC=4,求DF的长. 24.(10分)某商场销售一种商品的进价为每件30元,销售过程中发现月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示. (1)根据图象直接写出y与x之间的函数关系式. (2)设这种商品月利润为W(元),求W与x之间的函数关系式. (3)这种商品的销售单价定为多少元时,月利润最大?最大月利润是多少? 七、解答题(本大题共1小题,共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 25.(12分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是△ABC内一点,连接AD,BD.在BD左侧作Rt△BDE,使∠BDE=90°,以AD和DE为邻边作?ADEF,连接CD,DF. (1)若AC=BC,BD=DE. ①如图1,当B,D,F三点共线时,CD与DF之间的数量关系为   . ②如图2,当B,D,F三点不共线时,①中的结论是否仍然成立?请说明理由. (2)若BC=2AC,BD=2DE,=,且E,C,F三点共线,求的值. 八、解答题(本大题共1小题,共14分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 26.(14分)在平面直角坐标系中,过点A(3,4)的抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点B(﹣1,0),与y轴交于点C,过点A作AD⊥x轴于点D. (1)求抛物线的解析式. (2)如图1,点P是直线AB上方抛物线上的一个动点,连接PD交AB于点Q,连接AP,当S△AQD=2S△APQ时,求点P的坐标. (3)如图2,G是线段OC上一个动点,连接DG,过点G作GM⊥DG交AC于点M,过点M作射线MN,使∠NMG=60°,交射线GD于点N;过点G作GH⊥MN,垂足为点H,连接BH.请直接写出线段BH的最小值. 2019年辽宁省鞍山市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(3分)在有理数2,0,﹣1,﹣中,最小的是(  ) A.2 B.0 C.﹣1 D.﹣ 【分析】有理数大小比较的法则:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小,据此判断即可. 【解答】解:根据有理数比较大小的方法,可得 ﹣1<﹣<0<2, 故最小的有理数是﹣1. 故选:C. 【点评】此题主要考查了有理数大小比较的方法,要熟练掌握,解答此题的关键是要明确:①正数都大于0;②负数都小于0;③正数大于一切负数;④两个负数,绝对值大的其值反而小. 2.(3分)2019年6月9日中央电视台新闻报道,端午节期间天猫网共计销售粽子123000000个,将数据123000000用科学记数法表示为(  ) A.12.3×107 B.1.23×108 C.1.23×109 D.0.123×109 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 【解答】解:将数据1 2300 0000用科学记数法表示为1.23×108. 故选:B. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 3.(3分)如图,这是由7个相同的小正方体搭成的几何体,则这个几何体的左视图是(  ) A. B. C. D. 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图,可得答案. 【解答】解:从左面看第一层是三个小正方形,第二层左边一个小正方形. 故选:C. 【点评】本题考查了简单组合体的三视图,从左边看得到的图形是左视图. 4.(3分)下列运算正确的是(  ) A.(﹣a2)3=﹣a6 B.3a2?2a3=6a6 C.﹣a(﹣a+1)=﹣a2+a D.a2+a3=a5 【分析】各式计算得到结果,即可作出判断. 【解答】解:A、原式=﹣a6,符合题意; B、原式=6a5,不符合题意; C、原式=a2﹣a,不符合题意; D、原式不能合并,不符合题意, 故选:A. 【点评】此题考查了单项式乘单项式,合并同类项,幂的乘方与积的乘方,以及单项式乘单项式,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 5.(3分)如图,某人从点A出发,前进8m后向右转60°,再前进8m后又向右转60°,按照这样的方式一直走下去,当他第一次回到出发点A时,共走了(  ) A.24m B.32m C.40m D.48m 【分析】从A点出发,前进8m后向右转60°,再前进8m后又向右转60°,…,这样一直走下去,他第一次回到出发点A时,所走路径为正多边形,根据正多边形的外角和为360°,判断多边形的边数,再求路程. 【解答】解:依题意可知,某人所走路径为正多边形,设这个正多边形的边数为n, 则60n=360,解得n=6, 故他第一次回到出发点A时,共走了:8×6=48(m). 故选:D. 【点评】本题考查了多边形的外角和,正多边形的判定与性质.关键是根据每一个外角判断多边形的边数. 6.(3分)如图,AB∥CD,EF与AB,CD分别交于点G,H,∠CHG的平分线HM交AB于点M,若∠EGB=50°,则∠GMH的度数为(  ) A.50° B.55° C.60° D.65° 【分析】由AB∥CD,利用“两直线平行,内错角相等”可得出∠EHD的度数,利用邻补角互补可求出∠CHG的度数,结合角平分线的定义可求出∠CHM的度数,由AB∥CD,利用“两直线平行,内错角相等”可得出∠GMH=∠CHM=65°,此题得解. 【解答】解:∵AB∥CD, ∴∠EHD=∠EGB=50°, ∴∠CHG=180°﹣∠EHD=180°﹣50°=130°. ∵HM平分∠CHG, ∴∠CHM=∠GHM=∠CHG=65°. ∵AB∥CD, ∴∠GMH=∠CHM=65°. 故选:D. 【点评】本题考查了平行线的性质,牢记“两直线平行,内错角相等”是解题的关键. 7.(3分)如图,若一次函数y=﹣2x+b的图象与两坐标轴分别交于A,B两点,点A的坐标为(0,3),则不等式﹣2x+b>0的解集为(  ) A.x> B.x< C.x>3 D.x<3 【分析】根据点A的坐标找出b值,令一次函数解析式中y=0求出x值,从而找出点B的坐标,观察函数图象,找出在x轴上方的函数图象,由此即可得出结论. 【解答】解:∵一次函数y=﹣2x+b的图象交y轴于点A(0,3), ∴b=3, 令y=﹣2x+3中y=0,则﹣2x+3=0,解得:x=, ∴点B(,0). 观察函数图象,发现: 当x<时,一次函数图象在x轴上方, ∴不等式﹣2x+b>0的解集为x<. 故选:B. 【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式,解题的关键是找出交点B的坐标.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据函数图象的上下位置关系解不等式是关键. 8.(3分)如图,正方形ABCD和正方形CGFE的顶点C,D,E在同一条直线上,顶点B,C,G在同一条直线上.O是EG的中点,∠EGC的平分线GH过点D,交BE于点H,连接FH交EG于点M,连接OH.以下四个结论:①GH⊥BE;②△EHM∽△FHG;③=﹣1;④=2﹣,其中正确的结论是(  ) A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④ 【分析】由四边形ABCD和四边形CGFE是正方形,得出△BCE≌△DCG,推出∠BEC+∠HDE=90°,从而得GH⊥BE;由GH是∠EGC的平分线,得出△BGH≌△EGH,再由O是EG的中点,利用中位线定理,得HO∥BG且HO=BG;由△EHG是直角三角形,因为O为EG的中点,所以OH=OG=OE,得出点H在正方形CGFE的外接圆上,根据圆周角定理得出∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°,∠HEG=∠HFG,从而证得△EHM∽△FHG;设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,CD=2a,由HO∥BG,得出△DHN∽△DGC,即可得出=,得到=,即a2+2ab﹣b2=0,从而求得=﹣1,设正方形ECGF的边长是2b,则EG=2b,得到HO=b,通过证得△MHO△MFE,得到===,进而得到===﹣1,进一步得到==﹣1. 【解答】解:如图,∵四边形ABCD和四边形CGFE是正方形, ∴BC=CD,CE=CG,∠BCE=∠DCG, 在△BCE和△DCG中, ∴△BCE≌△DCG(SAS), ∴∠BEC=∠BGH, ∵∠BGH+∠CDG=90°,∠CDG=∠HDE, ∴∠BEC+∠HDE=90°, ∴GH⊥BE. 故①正确; ∵△EHG是直角三角形,O为EG的中点, ∴OH=OG=OE, ∴点H在正方形CGFE的外接圆上, ∵EF=FG, ∴∠FHG=∠EHF=∠EGF=45°,∠HEG=∠HFG, ∴△EHM∽△FHG, 故②正确; ∵△BGH≌△EGH, ∴BH=EH, 又∵O是EG的中点, ∴HO∥BG, ∴△DHN∽△DGC, ∴=, 设EC和OH相交于点N. 设HN=a,则BC=2a,设正方形ECGF的边长是2b,则NC=b,CD=2a, ∴=,即a2+2ab﹣b2=0, 解得:a=(﹣1+)b,或a=(﹣1﹣)b(舍去), 则=﹣1, ∴=﹣1, 故③正确; ∵△BGH≌△EGH, ∴EG=BG, ∵HO是△EBG的中位线, ∴HO=BG, ∴HO=EG, 设正方形ECGF的边长是2b, ∴EG=2b, ∴HO=b, ∵OH∥BG,CG∥EF, ∴OH∥EF, ∴△MHO∽△MFE, ∴===, ∴EM=OM, ∴===﹣1, ∴=﹣1, ∵EO=GO, ∴S△HOE=S△HOG, ∴=﹣1, 故④错误, 故选:A. 【点评】本题考查了正方形的性质,以及全等三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质,正确求得两个三角形的边长的比是解决本题的关键. 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分) 9.(3分)函数中,自变量x的取值范围是 x≥﹣4 . 【分析】根据二次根式的性质,被开方数大于等于0,就可以求解. 【解答】解:根据题意得:x+4≥0, 解得:x≥﹣4. 故答案为:x≥﹣4. 【点评】本题考查的是函数自变量取值范围的求法.函数自变量的范围一般从三个方面考虑: (1)当函数表达式是整式时,自变量可取全体实数; (2)当函数表达式是分式时,考虑分式的分母不能为0; (3)当函数表达式是二次根式时,被开方数为非负数. 10.(3分)一个不透明的口袋中有红球和黑球共25个,这些球除颜色外都相同.进行大量的摸球试验(每次摸出1个球)后,发现摸到黑球的频率在0.6附近摆动,据此可以估计黑球为 15 个. 【分析】根据题意,可以计算出黑球的个数,本题得以解决. 【解答】解:由题意可得, 黑球有:25×0.6=15(个), 故答案为:15. 【点评】本题考查用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,求出黑球的个数. 11.(3分)关于x的方程x2+3x+k﹣1=0有两个相等的实数根,则k的值为  . 【分析】根据判别式的意义得到△=32﹣4×(k﹣1)=0,然后解关于k的方程即可. 【解答】解:根据题意得△=32﹣4×1×(k﹣1)=0, 解得k= 故答案为. 【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根. 12.(3分)如图,在菱形ABCD中,E,F分别是AD,DC的中点,若BD=4,EF=3,则菱形ABCD的周长为 4 . 【分析】连接AC,利用三角形的中位线定理求得AC的长,从而利用菱形的性质求得AO和BO的长,利用勾股定理求得边长后即可求得周长. 【解答】解:如图,连接AC, ∵E,F分别是AD,DC的中点,EF=3, ∴AC=2EF=6, ∵四边形ABCD为菱形,BD=4, ∴AC⊥BD,AO=3,BO=2, ∴AB==, ∴周长为4, 故答案为:4. 【点评】考查了菱形的性质,解题的关键是了解菱形的对角线互相垂直平分,难度不大. 13.(3分)如图,AC是⊙O的直径,B,D是⊙O上的点,若⊙O的半径为3,∠ADB=30°,则的长为 2π . 【分析】根据圆周角定理求出∠AOB,得到∠BOC的度数,根据弧长公式计算即可. 【解答】解:由圆周角定理得,∠AOB=2∠ADB=60°, ∴∠BOC=180°﹣60°=120°, ∴的长==2π, 故答案为:2π. 【点评】本题考查的是圆周角定理、弧长的计算,掌握圆周角定理、弧长公式是解题的关键. 14.(3分)为了美化校园环境,某中学今年春季购买了A,B两种树苗在校园四周栽种,已知A种树苗的单价比B种树苗的单价多10元,用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同.若设A种树苗的单价为x元,则可列出关于x的方程为 = . 【分析】设A种树苗的单价为x元,则B种树苗的单价为(x﹣10)元,根据“用600元购买A种树苗的棵数恰好与用450元购买B种树苗的棵数相同”列出方程. 【解答】解:设A种树苗的单价为x元,则B种树苗的单价为(x﹣10)元,所以用600元购买A种树苗的棵数是,用450元购买B种树苗的棵数是. 由题意,得=. 故答案是:=. 【点评】考查了由实际问题抽象出分式方程,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键. 15.(3分)如图,正方形A0B0C0A1的边长为1,正方形A1B1C1A2的边长为2,正方形A2B2C2A3的边长为4,正方形A3B3C3A4的边长为8……依此规律继续作正方形AnBn?nAn+1,且点A0,A1,A2,A3,…,An+1在同一条直线上,连接A0C1交A1B1于点D1,连接A1C2交A2B2于点D2,连接A2C3交A3B3于点D3……记四边形A0B0C0D1的面积为S1,四边形A1B1C1D2的面积为S2,四边形A2B2C2D3的面积为S3……四边形An﹣1Bn﹣1Cn﹣1Dn的面积为Sn,则S2019= ×42018 . 【分析】由正方形的性质得出A1D1∥A2C1,则=,得出A1D1=,同理可得A2D2=,S1=1﹣×1×=40﹣×40,S2=4﹣×4,S3=42﹣×42,…,Sn=4n﹣1﹣×4n﹣1=×4n﹣1,即可得出结果. 【解答】解:∵四边形A0B0C0A1与四边形A1B1C1A2都是正方形, ∴A1D1∥A2C1, ∴=, ∴=, ∴A1D1=, 同理可得:A2D2=, ∴S1=1﹣×1×=40﹣×40,S2=4﹣×4,S3=42﹣×42,…,Sn=4n﹣1﹣×4n﹣1=×4n﹣1, ∴S2019=×42018, 故答案为:×42018. 【点评】本题考查了正方形的性质、平行线的性质、正方形与三角形面积的计算等知识,熟练掌握正方形的性质与平行线的性质是解题的关键. 16.(3分)如图,在矩形ABCD中,AB=5,BC=6,点M,N分别在AD,BC上,且AM=AD,BN=BC,E为直线BC上一动点,连接DE,将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E,当点C′恰好落在直线MN上时,CE的长为 或10 . 【分析】由矩形的性质得到DC=AB=5,∠A=90°,AD=BC=6,根据已知条件得到AM=BN,推出四边形ABNM的矩形,得到∠NMA=∠NMD=90°,MN=AB=5,根据折叠的性质得到DC′=DC=5,C′E=CE,根据勾股定理得到C′M===3,根据矩形的判定和性质得到CN=DM=4,∠CNM=90°,再由勾股定理即可得到结论. 【解答】解:∵四边形ABCD是矩形, ∴DC=AB=5,∠A=90°,AD=BC=6, ∵AM=AD=2,BN=BC=2, ∴AM=BN, ∵AM∥BN, ∴四边形ABNM的矩形, ∴∠NMA=∠NMD=90°,MN=AB=5, ∵将△DCE沿DE所在直线翻折得到△DC′E, ∴DC′=DC=5,C′E=CE, ∵AM=2, ∴DM=AD﹣AM=6﹣2=4, 如图1,在Rt△C′MD中,C′M===3, ∴C′N=MN﹣C′M=5﹣3=2, ∵∠CDM=∠DCN=∠NMD=90°, ∴四边形CDMN是矩形, ∴CN=DM=4,∠CNM=90°, NE=CN﹣CE=4﹣CE, 在Rt△C′NE中,∵NE2+C′N2=C′E2, ∴(4﹣CE)2+22=CE2, 解得:CE=. 如图2,在Rt△C′MD中,C′M===3, ∴C′N=MN+C′M=5+3=8, ∵∠CDM=∠DCN=∠NMD=90°, ∴四边形CDMN是矩形, ∴CN=DM=4,∠CNM=∠MNE=90°, NE=CE﹣CN=CE﹣4, 在Rt△C′NE中,∵NE2+C′N2=C′E2, ∴(CE﹣4)2+82=CE2, 解答:CE=10, 故答案为:或10. 【点评】本题考查了翻折变换(折叠问题),矩形的性质,勾股定理,正确的识别图形是解题的关键. 三、解答题(本大题共2小题,共16分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(8分)先化简,再求值:(﹣)÷,其中x=3+. 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算,同时利用除法法则变形,约分得到最简结果,把x的值代入计算即可求出值. 【解答】解:原式=[﹣]?=?=?=, 当x=3+时,原式=. 【点评】此题考查了分式的化简求值,熟练掌握运算法则是解本题的关键. 18.(8分)如图,△ABC的三个顶点的坐标分别是A(2,4),B(1,1),C(3,2). (1)作出△ABC向左平移4个单位长度后得到的△A1B1C1,并写出点C1的坐标. (2)已知△A2B2C2与△ABC关于直线l对称,若点C2的坐标为(﹣2,﹣3),请直接写出直线l的函数解析式. 注:点A1,B1,C1及点A2,B2,C2分别是点A,B,C按题中要求变换后对应得到的点. 【分析】(1)利用网格特点和平移的性质写出点A、B、C的对应点A1、B1、C1的坐标,然后描点得到△A1B1C1; (2)根据对称的特点解答即可. 【解答】解:(1)如图,△A1B1C1为所作,C1(﹣1,2); (2)如图,△A2B2C2为所作, ∵C(3,2),C2(﹣2,﹣3),△A2B2C2与△ABC关于直线l对称, ∴直线l垂直平分直线CC2, ∴直线l的函数解析式为y=﹣x. 【点评】本题考查了作图﹣旋转变换:轴对称变换和平移变换.解题关键是找到对称轴. 四、解答题(本大题共2小题,共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过 19.(10分)随着人民生活水平的不断提高,外出旅游已成为家庭生活的一种方式.某社区为了解每户家庭旅游的消费情况,随机抽取部分家庭,对每户庭的年旅游消费金额进行问卷调查,并根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图表. 组别 家庭年旅游消费金额x/元 户数 A 0≤x≤5000 36 B 5000<x≤10000 27 C 10000<x≤15000 m D 15000<x≤20000 33 E x>20000 30 请你根据统计图表提供的信息,解答下列问题: (1)本次被调查的家庭有 150 户,表中m= 24 . (2)本次调查数据的中位数落在哪一组?请说明理由. (3)在扇形统计图中,D组所对应扇形的圆心角是多少度? (4)若该社区有3000户家庭,请你估计年旅游消费在10000元以上的家庭户数. 【分析】(1)根据A组的人数和所占的百分比,可以求得本次调查的家庭数,从而可以求得m的值; (2)根据题目中的数据和中位数的定义,可以得到中位数落在哪一组; (3)根据统计图中的数据可以求得在扇形统计图中,D组所对应扇形的圆心角的度数; (4)根据统计图中的数据,可以计算出年旅游消费在10000元以上的家庭数. 【解答】解:(1)本次被调查的家庭有:36÷24%=150(户),m=150﹣36﹣27﹣33﹣30=24, 故答案为:150,24; (2)本次调查数据的中位数落在C组, 理由:∵本次抽查了150户,36+27=63,36+27+24=87, ∴本次调查数据的中位数落在C组; (3)在扇形统计图中,D组所对应扇形的圆心角是:360°×=79.2°; (4)3000×=1740(户), 答:年旅游消费在10000元以上的家庭有1740户. 【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、频数分布表、中位数,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答. 20.(10分)妈妈给小红和弟弟买了一本刘慈欣的小说《流浪地球》,姐弟俩都想先睹为快.于是小红对弟弟说:我们利用下面中心涂黑的九宫格图案(如图所示)玩一个游戏,规则如下:我从第一行,你从第三行,同时各自任意选取一个方格,涂黑,如果得到的新图案是轴对称图形,我就先读,否则你先读.小红设计的游戏对弟弟是否公平?请用画树状图或列表的方法说明理由.(第一行的小方格从左至右分别用A,B,C表示,第三行的小方格从左至右分别用D,E,F表示) 【分析】画树状图展示所有9种等可能的结果数,找出图案是轴对称图形数量,然后计算她们获胜的概率,再根据概率的大小判断该游戏是否公平. 【解答】解:不公平,理由如下: 根据题意,画树状图如图: 由树状图可知,共有9种等可能出现的情况,其中得到轴对称图案的情况有5种,分别为(A、D)、(A、F)、(B、E)、(C、D)、(C、F). ∴P(小红涂)=. P(弟弟涂)=. ∵>. ∴小红设计的游戏对弟弟不公平. 【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率. 五、解答题(本大题共2小題,共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 21.(10分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=mx+n(m≠0)的图象与y轴交于点C,与反比例函数y=(k≠0)的图象交于A,B两点,点A在第一象限,纵坐标为4,点B在第三象限,BM⊥x轴,垂足为点M,BM=OM=2. (1)求反比例函数和一次函数的解析式. (2)连接OB,MC,求四边形MBOC的面积. 【分析】(1)根据题意可以求得点B的坐标,从而可以求得反比例函数的解析式,进而求得点A的坐标,从而可以求得一次函数的解析式; (2)根据(1)中的函数解析式可以求得点C,从而可以求得四边形MBOC是平行四边形,根据面积公式即可求得. 【解答】解:(1)∵BM=OM=2, ∴点B的坐标为(﹣2,﹣2), ∵反比例函数y=(k≠0)的图象经过点B, 则﹣2=,得k=4, ∴反比例函数的解析式为y=, ∵点A的纵坐标是4, ∴4=,得x=1, ∴点A的坐标为(1,4), ∵一次函数y=mx+n(m≠0)的图象过点A(1,4)、点B(﹣2,﹣2), ∴,解得, 即一次函数的解析式为y=2x+2; (2)∵y=2x+2与y轴交于点C, ∴点C的坐标为(0,2), ∵点B(﹣2,﹣2),点M(﹣2,0), ∴OC=MB=2, ∵BM⊥x轴, ∴MB∥OC, ∴四边形MBOC是平行四边形, ∴四边形MBOC的面积是:OM?OC=4. 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用一次函数的性质和反比例函数的性质解答. 22.(10分)如图为某海域示意图,其中灯塔D的正东方向有一岛屿C.一艘快艇以每小时20nmile的速度向正东方向航行,到达A处时得灯塔D在东北方向上,继续航行0.3h,到达B处时测得灯塔D在北偏东30°方向上,同时测得岛屿C恰好在B处的东北方向上,此时快艇与岛屿C的距离是多少?(结果精确到1nmile.参考数据:≈1.41,≈1.73,≈2.45) 【分析】过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB于点F,由DE∥CF,DC∥EF,∠CFE=90°可得出四边形CDEF为矩形,设DE=xnmile,则AE=x(nmile),BE=x(nmile),由AB=6nmile,可得出关于x的一元一次方程,解之即可得出x的值,再在Rt△CBF中,通过解直角三角形可求出BC的长. 【解答】解:过点D作DE⊥AB于点E,过点C作CF⊥AB于点F,如图所示. 则DE∥CF,∠DEA=∠CFA=90°. ∵DC∥EF, ∴四边形CDEF为平行四边形. 又∵∠CFE=90°, ∴?CDEF为矩形, ∴CF=DE. 根据题意,得:∠DAB=45°,∠DBE=60°,∠CBF=45°. 设DE=x(nmile), 在Rt△DEA中,∵tan∠DAB=, ∴AE==x(nmile). 在Rt△DEB中,∵tan∠DBE=, ∴BE==x(nmile). ∵AB=20×0.3=6(nmile),AE﹣BE=AB, ∴x﹣x=6,解得:x=9+3, ∴CF=DE=(9+3)nmile. 在Rt△CBF中,sin∠CBF=, ∴BC===9+3≈20(nmile). 答:此时快艇与岛屿C的距离约为20nmile. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题,通过解直角三角形求出BC的长是解题的关键. 六、解答题(本大题共2小题,共20分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 23.(10分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是AC上一点,过B,C,D三点的⊙O交AB于点E,连接ED,EC,点F是线段AE上的一点,连接FD,其中∠FDE=∠DCE. (1)求证:DF是⊙O的切线. (2)若D是AC的中点,∠A=30°,BC=4,求DF的长. 【分析】(1)可证得BD是⊙O的直径,∠BCE=∠BDE,则∠BDE+∠FDE=90°,结论得证; (2)先求出AC长,再求DE长,在Rt△BCD中求出BD长,在Rt△BED中求出BE长,证得△FDE∽△DBE,由比例线段可求出DF长. 【解答】解:(1)∵∠ACB=90°,点B,D在⊙O上, ∴BD是⊙O的直径,∠BCE=∠BDE, ∵∠FDE=∠DCE,∠BCE+∠DCE=∠ACB=90°, ∴∠BDE+∠FDE=90°, 即∠BDF=90°, ∴DF⊥BD, 又∵BD是⊙O的直径, ∴DF是⊙O的切线. (2)如图,∵∠ACB=90°,∠A=30°,BC=4, ∴AB=2BC=2×4=8, ∴=4, ∵点D是AC的中点, ∴, ∵BD是⊙O的直径, ∴∠DEB=90°, ∴∠DEA=180°﹣∠DEB=90°, ∴, 在Rt△BCD中,==2, 在Rt△BED中,BE===5, ∵∠FDE=∠DCE,∠DCE=∠DBE, ∴∠FDE=∠DBE, ∵∠DEF=∠BED=90°, ∴△FDE∽△DBE, ∴,即, ∴. 【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识,解答本题的关键是正确作出辅助线,综合运用圆的性质解题. 24.(10分)某商场销售一种商品的进价为每件30元,销售过程中发现月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系如图所示. (1)根据图象直接写出y与x之间的函数关系式. (2)设这种商品月利润为W(元),求W与x之间的函数关系式. (3)这种商品的销售单价定为多少元时,月利润最大?最大月利润是多少? 【分析】(1)当40≤x≤60时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b,当60<x≤90时,设y与x之间的函数关系式为y=mx+n,解方程组即可得到结论; (2)当40≤x≤60时,当60<x≤90时,根据题意即可得到函数解析式; (3)当40≤x≤60时,W=﹣x2+210x﹣5400,得到当x=60时,W最大=﹣602+210×60﹣5400=3600,当60<x≤90时,W=﹣3x2+390x﹣9000,得到当x=65时,W最大=﹣3×652+390×65﹣9000=3675,于是得到结论. 【解答】解:(1)当40≤x≤60时,设y与x之间的函数关系式为y=kx+b, 将(40,140),(60,120)代入得, 解得:, ∴y与x之间的函数关系式为y=﹣x+180; 当60<x≤90时,设y与x之间的函数关系式为y=mx+n, 将(90,30),(60,120)代入得, 解得:, ∴y=﹣3x+300; 综上所述,y=; (2)当40≤x≤60时,W=(x﹣30)y=(x﹣30)(﹣x+180)=﹣x2+210x﹣5400, 当60<x≤90时,W=(x﹣30)(﹣3x+300)=﹣3x2+390x﹣9000, 综上所述,W=; (3)当40≤x≤60时,W=﹣x2+210x﹣5400, ∵﹣1<0,对称轴x=﹣=105, ∴当40≤x≤60时,W随x的增大而增大, ∴当x=60时,W最大=﹣602+210×60﹣5400=3600, 当60<x≤90时,W=﹣3x2+390x﹣9000, ∵﹣3<0,对称轴x=﹣=65, ∵60<x≤90, ∴当x=65时,W最大=﹣3×652+390×65﹣9000=3675, ∵3675>3600, ∴当x=65时,W最大=3675, 答:这种商品的销售单价定为65元时,月利润最大,最大月利润是3675. 【点评】本题考查了把实际问题转化为二次函数,再利用二次函数的性质进行实际应用.根据题意分情况建立二次函数的模型是解题的关键. 七、解答题(本大题共1小题,共12分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 25.(12分)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,D是△ABC内一点,连接AD,BD.在BD左侧作Rt△BDE,使∠BDE=90°,以AD和DE为邻边作?ADEF,连接CD,DF. (1)若AC=BC,BD=DE. ①如图1,当B,D,F三点共线时,CD与DF之间的数量关系为 DF=CD . ②如图2,当B,D,F三点不共线时,①中的结论是否仍然成立?请说明理由. (2)若BC=2AC,BD=2DE,=,且E,C,F三点共线,求的值. 【分析】(1)①证明△BCD≌△ACF(SAS),即可推出△DCF是等腰直角三角形解决问题. ②结论仍然成立.如图2中,连接CF.延长BD交AF的延长线于H,设AC交BH于G.证明方法类似(1). (2)如图3中,延长BD交AF于H.设BH交AC于G.证明△CBD∽△CAF,推出==2,∠BCD=∠ACF,推出∠BCA=∠DCF=90°,证明∠ADC=90°,由CD:AC=4:5,设CD=4k,AC=5k,则AD=EF=3k,求出AF,CE(用k表示)即可解决问题. 【解答】解:(1)①如图1中,连接CF.设AC交BF于G. ∵四边形AFED是平行四边形, ∴AF=DE,DE∥AF, ∵BD=DE, ∴AF=BD, ∵∠BDE=90°, ∴∠EDF=∠DFA=90°=∠BCG, ∵∠CGB=∠AGF, ∴∠CBD=∠CAF, ∵BC=AC, ∴△BCD≌△ACF(SAS), ∴∠BCD=∠ACF,CD=CF, ∴∠BCA=∠DCF=90°, ∴△CDF是等腰直角三角形, ∴DF=CD. 故答案为DF=CD. ②结论仍然成立. 理由:如图2中,连接CF.延长BD交AF的延长线于H,设AC交BH于G. ∵四边形AFED是平行四边形, ∴AF=DE,DE∥AF, ∵BD=DE, ∴AF=BD, ∵∠BDE=90°, ∴∠DEH=∠DHA=90°=∠BCG, ∵∠CGB=∠AGH, ∴∠CBD=∠CAF, ∵BC=AC, ∴△BCD≌△ACF(SAS), ∴∠BCD=∠ACF,CD=CF, ∴∠BCA=∠DCF=90°, ∴△CDF是等腰直角三角形, ∴DF=CD. (2)如图3中,延长BD交AF于H.设BH交AC于G. ∵四边形AFED是平行四边形, ∴AF=DE,DE∥AF, ∵∠BDE=90°, ∴∠DEH=∠DHA=90°=∠BCG, ∵∠CGB=∠AGH, ∴∠CBD=∠CAF, ∵==2, ∴=, ∴△CBD∽△CAF, ∴==2,∠BCD=∠ACF, ∴∠BCA=∠DCF=90°, ∵AD∥EF, ∴∠ADC+∠DCF=180°, ∴∠ADC=90°, ∵CD:AC=4:5,设CD=4k,AC=5k,则AD=EF=3k, ∴CF=CD=2k, ∴EC=EF﹣CF=k, ∴DE=AF===k, ∴==. 【点评】本题属于相似形综合题,考查了等腰直角三角形的性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造全等三角形或相似三角形解决问题,学会利用参数解决问题,属于中考压轴题. 八、解答题(本大题共1小题,共14分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 26.(14分)在平面直角坐标系中,过点A(3,4)的抛物线y=ax2+bx+4与x轴交于点B(﹣1,0),与y轴交于点C,过点A作AD⊥x轴于点D. (1)求抛物线的解析式. (2)如图1,点P是直线AB上方抛物线上的一个动点,连接PD交AB于点Q,连接AP,当S△AQD=2S△APQ时,求点P的坐标. (3)如图2,G是线段OC上一个动点,连接DG,过点G作GM⊥DG交AC于点M,过点M作射线MN,使∠NMG=60°,交射线GD于点N;过点G作GH⊥MN,垂足为点H,连接BH.请直接写出线段BH的最小值. 【分析】(1)利用待定系数法求解可得; (2)作PE∥x轴,交AB于点E,由S△AQD=2S△APQ且△AQD与△APQ是等高的两个三角形知=,证△PQE∽△DQB得==,据此求得PE=2,求得直线AB的解析式为y=x+1,设E(x,x+1),知P(x﹣2,x+1),将点P坐标代入y=﹣x2+3x+4求得x的值,从而得出答案; (3)证∠GHM=90°,再证点C、G、H、M共圆得∠GCH=∠GMH=60°,据此知点H在与y轴夹角为60°的定直线上,从而得BH⊥CH时,BH最小,作HP⊥x轴,并延长PH交AC于点Q,证∠BHP=∠HCM=30°,设OP=a,知CQ=a,从而得QH=a,BP=1+a,在Rt△BPH中,得出HP=(a+1),BH=2(1+a),根据QH+HP=AD=4可求得a的值,从而得出答案. 【解答】解:(1)将点A(3,4),B(﹣1,0)代入y=ax2+bx+4, 得:, 解得, ∴y=﹣x2+3x+4; (2)如图1,过点P作PE∥x轴,交AB于点E, ∵A(3,4),AD⊥x轴, ∴D(3,0), ∵B(﹣1,0), ∴BD=3﹣(﹣1)=4, ∵S△AQD=2S△APQ,△AQD与△APQ是等高的两个三角形, ∴=, ∵PE∥x轴, ∴△PQE∽△DQB, ∴==, ∴=, ∴PE=2, ∴可求得直线AB的解析式为y=x+1, 设E(x,x+1),则P(x﹣2,x+1), 将点P坐标代入y=﹣x2+3x+4得﹣(x+2)2+3(x+2)+4=x+1, 解得x1=3+,x2=3﹣, 当x=3+时,x﹣2=3+﹣2=1+,x+1=3++1=4+, ∴点P(1+,4+); 当x=3﹣时,x﹣2=3﹣﹣2=1﹣,x+1=3﹣+1=4﹣, ∴P(1﹣,4﹣), ∵点P是直线AB上方抛物线上的一个动点, ∴﹣1<x﹣2<3, ∴点P的坐标为(1+,4+)或(1﹣,4﹣); (3)由(1)得,抛物线的解析式为y=﹣x2+3x+4, ∴C(0,4), ∵A(3,4), ∴AC∥x轴, ∴∠OCA=90°, ∴GH⊥MN, ∴∠GHM=90°, 在四边形CGHM中,∠GCM+∠GHM=180°, ∴点C、G、H、M共圆, 如图2,连接CH, 则∠GCH=∠GMH=60°, ∴点H在与y轴夹角为60°的定直线上, ∴当BH⊥CH时,BH最小,过点H作HP⊥x轴于点P,并延长PH交AC于点Q, ∵∠GCH=60°, ∴∠HCM=30°, 又BH⊥CH, ∴∠BHC=90°, ∴∠BHP=∠HCM=30°, 设OP=a,则CQ=a, ∴QH=a, ∵B(﹣1,0), ∴OB=1, ∴BP=1+a, 在Rt△BPH中,HP==(a+1),BH==2(1+a), ∵QH+HP=AD=4, ∴a+(a+1)=4, 解得a=, ∴BH最小=2(1+a)=. 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、相似三角形的判定与性质、解直角三角形的应用等知识点.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:辽宁省鞍山市
  • 文件大小:860KB
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