[ID:3-6855555] 2019年辽宁省朝阳市中考数学试卷(解析版)
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2019年辽宁省朝阳市中考数学试卷 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(3分)3的相反数是(  ) A.3 B.﹣3 C. D.﹣ 2.(3分)如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的左视图是(  ) A. B. C. D. 3.(3分)一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况是(  ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 4.(3分)下列调查中,调查方式最适合普查(全面调查)的是(  ) A.对全国初中学生视力情况的调查 B.对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查 C.对一批飞机零部件的合格情况的调查 D.对我市居民节水意识的调查 5.(3分)若点A(﹣1,y1),B(﹣2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=﹣的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(  ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y1<y3<y2 D.y3<y2<y1 6.(3分)关于x,y的二元一次方程组的解是,则m+n的值为(  ) A.4 B.2 C.1 D.0 7.(3分)把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是(  ) A.83° B.57° C.54° D.33° 8.(3分)李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量,抽取了7名同学进行调查,调查结果如下(单位:篇/周):,其中有一个数据不小心被墨迹污损.已知这组数据的平均数为4,那么这组数据的众数与中位数分别为(  ) A.5,4 B.3,5 C.4,4 D.4,5 9.(3分)如图,在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O,CE⊥BD,垂足为点E,CE=5,且EO=2DE,则AD的长为(  ) A.5 B.6 C.10 D.6 10.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现给出下列结论: ①abc>0;②9a+3b+c=0;③b2﹣4ac<8a;④5a+b+c>0. 其中正确结论的个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 11.(3分)2019年5月20日,第15届中国国际文化产业博览交易会落下帷幕.短短5天时间,有7800000人次参观数据7800000用科学记数法表示为   . 12.(3分)因式分解:﹣ x2+2=   . 13.(3分)从点M(﹣1,6),N(,12),E(2,﹣3),F(﹣3,﹣2)中任取一点,所取的点恰好在反比例函数y=的图象上的概率为   . 14.(3分)不等式组的解集是   . 15.(3分)如图,把三角形纸片折叠,使点A、点C都与点B重合,折痕分别为EF,DG,得到∠BDE=60°,∠BED=90°,若DE=2,则FG的长为   . 16.(3分)如图,直线y=x+1与x轴交于点M,与y轴交于点A,过点A作AB⊥AM,交x轴于点B,以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1,延长A1C交x轴于点B1,以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去,再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形,每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行,正方形ABCA1,A1B1C1A2,…,An﹣1Bn﹣1Cn﹣1An中的阴影部分的面积分别为S1,S2,…,Sn,则Sn可表示为   . 三、解答题(本大题共9小题,共72分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(5分)先化简,再求值:﹣÷,其中a=|﹣6|﹣()﹣1. 18.(6分)佳佳文具店购进A,B两种款式的笔袋,其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%.已知店主购进A种笔袋用了810元,购进B种笔袋用了600元,且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个.请问:文具店购进A,B两种款式的笔袋各多少个? 19.(7分)某校组织学生开展为贫困山区孩子捐书活动,要求捐赠的书籍类别为科普类、文学类、漫画类、哲学故事类、环保类,学校图书管理员对所捐赠的书籍随机抽查了部分进行统计,并对获取的数据进行了整理,根据整理结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.已知所统计的数据中,捐赠的哲学故事类书籍和文学类书籍的数量相同.请根据以上信息,解答下列问题: (1)本次被抽查的书籍有   册. (2)补全条形统计图. (3)若此次捐赠的书籍共1200册,请你估计所捐赠的科普类书籍有多少册. 20.(7分)有5张不透明的卡片,除正面上的图案不同外,其他均相同.将这5张卡片背面向上洗匀后放在桌面上. (1)从中随机抽取1张卡片,卡片上的图案是中心对称图形的概率为   . (2)若从中随机抽取1张卡片后不放回,再随机抽取1张,请用画树状图或列表的方法,求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率. 21.(7分)小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量.如图,他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°,沿山坡向上走25m到达D处,测得古塔顶端M的仰角为30°.已知山坡坡度i=3:4,即tanθ=,请你帮助小明计算古塔的高度ME.(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.732) 22.(8分)如图,四边形ABCD为菱形,以AD为直径作⊙O交AB于点F,连接DB交⊙O于点H,E是BC上的一点,且BE=BF,连接DE. (1)求证:DE是⊙O的切线. (2)若BF=2,DH=,求⊙O的半径. 23.(10分)网络销售是一种重要的销售方式.某乡镇农贸公司新开设了一家网店,销售当地农产品.其中一种当地特产在网上试销售,其成本为每千克10元.公司在试销售期间,调查发现,每天销售量y(kg)与销售单价x(元)满足如图所示的函数关系(其中10<x≤30). (1)直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围. (2)若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元,则销售单价x应定为多少元? (3)设每天销售该特产的利润为W元,若14<x≤30,求:销售单价x为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 24.(10分)如图,四边形ABCD是正方形,连接AC,将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF,连接CF,O为CF的中点,连接OE,OD. (1)如图1,当α=45°时,请直接写出OE与OD的关系(不用证明). (2)如图2,当45°<α<90°时,(1)中的结论是否成立?请说明理由. (3)当α=360°时,若AB=4,请直接写出点O经过的路径长. 25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴交点C,抛物线y=﹣2x2+bx+c过A,C两点,与x轴交于另一点B. (1)求抛物线的解析式. (2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E,连接BE,与直线AC相交于点F,当EF=BF时,求sin∠EBA的值. (3)点N是抛物线对称轴上一点,在(2)的条件下,若点E位于对称轴左侧,在抛物线上是否存在一点M,使以M,N,E,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 2019年辽宁省朝阳市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.(3分)3的相反数是(  ) A.3 B.﹣3 C. D.﹣ 【分析】根据相反数的意义,3的相反数即是在3的前面加负号. 【解答】解:根据相反数的概念及意义可知:3的相反数是﹣3. 故选:B. 【点评】本题考查了相反数的意义,一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号;一个正数的相反数是负数,一个负数的相反数是正数,0的相反数是0. 2.(3分)如图是由5个相同的小立方块搭成的几何体,这个几何体的左视图是(  ) A. B. C. D. 【分析】细心观察图中几何体中正方体摆放的位置,根据左视图是从左面看到的图形判定则可. 【解答】解:从左边看,从左往右小正方形的个数依次为:2,1.左视图如下: 故选:C. 【点评】本题主要考查了几何体的三种视图和学生的空间想象能力,视图中每一个闭合的线框都表示物体上的一个平面,而相连的两个闭合线框常不在一个平面上. 3.(3分)一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情况是(  ) A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法判断 【分析】先计算判别式的值,然后根据判别式的意义进行判断. 【解答】解:∵△=(﹣1)2﹣4×(﹣1)=5>0, ∴方程有两个不相等的两个实数根. 故选:A. 【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的两个实数根;当△=0时,方程有两个相等的两个实数根;当△<0时,方程无实数根. 4.(3分)下列调查中,调查方式最适合普查(全面调查)的是(  ) A.对全国初中学生视力情况的调查 B.对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查 C.对一批飞机零部件的合格情况的调查 D.对我市居民节水意识的调查 【分析】根据普查得到的调查结果比较准确,但所费人力、物力和时间较多,而抽样调查得到的调查结果比较近似进行判断即可. 【解答】解:A、对全国初中学生视力情况的调查,适合用抽样调查,A不合题意; B、对2019年央视春节联欢晚会收视率的调查,适合用抽样调查,B不合题意; C、对一批飞机零部件的合格情况的调查,适合全面调查,C符合题意; D、对我市居民节水意识的调查,适合用抽样调查,D不合题意; 故选:C. 【点评】本题考查的是普查和抽样调查的选择.调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来,具体问题具体分析,普查结果准确,所以在要求精确、难度相对不大,实验无破坏性的情况下应选择普查方式,当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏,以及考查经费和时间都非常有限时,普查就受到限制,这时就应选择抽样调查. 5.(3分)若点A(﹣1,y1),B(﹣2,y2),C(3,y3)在反比例函数y=﹣的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是(  ) A.y1<y2<y3 B.y2<y1<y3 C.y1<y3<y2 D.y3<y2<y1 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值,比较后即可得出结论. 【解答】解:∵点A(﹣1,y1)、B(﹣2,y2)、C(3,y3)在反比例函数y=﹣的图象上, ∴y1=﹣=8,y2=﹣=4,y3=﹣, 又∵﹣<4<8, ∴y3<y2<y1. 故选:D. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,利用反比例函数图象上点的坐标特征求出y1、y2、y3的值是解题的关键. 6.(3分)关于x,y的二元一次方程组的解是,则m+n的值为(  ) A.4 B.2 C.1 D.0 【分析】把x与y的值代入方程计算求出m与n的值,代入原式计算即可求出值. 【解答】解:把代入得:, 解得:, 则m+n=0, 故选:D. 【点评】此题考查了二元一次方程组的解,方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值. 7.(3分)把Rt△ABC与Rt△CDE放在同一水平桌面上,摆放成如图所示的形状,使两个直角顶点重合,两条斜边平行,若∠B=25°,∠D=58°,则∠BCE的度数是(  ) A.83° B.57° C.54° D.33° 【分析】过点C作CF∥AB,易知CF∥DE,所以可得∠BCF=∠B,∠FCE=∠E,根据∠BCE=∠BCF+∠FCE即可求解. 【解答】解:过点C作CF∥AB, ∴∠BCF=∠B=25°. 又AB∥DE, ∴CF∥DE. ∴∠FCE=∠E=90°﹣∠D=90°﹣58°=32°. ∴∠BCE=∠BCF+∠FCE=25°+32°=57°. 故选:B. 【点评】本题主要考查了平行线的判定和性质,解决角度问题一般借助平行线转化角,此题属于“拐点”问题,过拐点处作平行线是此类问题常见辅助线. 8.(3分)李老师为了了解本班学生每周课外阅读文章的数量,抽取了7名同学进行调查,调查结果如下(单位:篇/周):,其中有一个数据不小心被墨迹污损.已知这组数据的平均数为4,那么这组数据的众数与中位数分别为(  ) A.5,4 B.3,5 C.4,4 D.4,5 【分析】设被污损的数据为x,根据这组数据的平均数为4求出x的值,再依据众数和中位数的定义求解可得. 【解答】解:设被污损的数据为x, 则4+x+2+5+5+4+3=4×7, 解得x=5, ∴这组数据中出现次数最多的是5,即众数为5篇, 将这7个数据从小到大排列为2、3、4、4、5、5、5, ∴这组数据的中位数为4篇, 故选:A. 【点评】考查了确定一组数据的中位数和众数的能力.一些学生往往对这个概念掌握不清楚,计算方法不明确而误选其它选项.注意找中位数的时候一定要先从小到大或从大到小顺序,然后再根据奇数和偶数个来确定中位数,如果数据有奇数个,则正中间的数字即为所求.如果是偶数个则找中间两位数的平均数. 9.(3分)如图,在矩形ABCD中对角线AC与BD相交于点O,CE⊥BD,垂足为点E,CE=5,且EO=2DE,则AD的长为(  ) A.5 B.6 C.10 D.6 【分析】由矩形的性质得到∠ADC=90°,BD=AC,OD=BD,OC=AC,求得OC=OD,设DE=x,OE=2x,得到OD=OC=3x,AC=6x,根据勾股定理即可得到结论. 【解答】解:∵四边形ABCD是矩形, ∴∠ADC=90°,BD=AC,OD=BD,OC=AC, ∴OC=OD, ∵EO=2DE, ∴设DE=x,OE=2x, ∴OD=OC=3x,AC=6x, ∵CE⊥BD, ∴∠DEC=∠OEC=90°, 在Rt△OCE中, ∵OE2+CE2=OC2, ∴(2x)2+52=(3x)2, ∵x>0, ∴DE=,AC=6, ∴CD===, ∴AD===5, 故选:A. 【点评】本题考查了矩形的性质,勾股定理,熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键. 10.(3分)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,现给出下列结论: ①abc>0;②9a+3b+c=0;③b2﹣4ac<8a;④5a+b+c>0. 其中正确结论的个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【分析】根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案. 【解答】解:①由图象可知:a>0,c<0, ∴由于对称轴>0, ∴b<0, ∴abc>0,故①正确; ②抛物线过(3,0), ∴x=3,y=9a+3b+c=0,故②正确; ③顶点坐标为:(,) 由图象可知:<﹣2, ∵a>0, ∴4ac﹣b2<﹣8a, 即b2﹣4ac>8a,故③错误; ④由图象可知:>1,a>0, ∴2a+b<0, ∵9a+3b+c=0, ∴c=﹣9a﹣3b, ∴5a+b+c=5a+b﹣9a﹣3b=﹣4a﹣2b=﹣2(2a+b)>0,故④正确; 故选:C. 【点评】本题考查二次函数,解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质,本题属于中等题型. 二、填空题(本大题共6小题,每小题3分,共18分) 11.(3分)2019年5月20日,第15届中国国际文化产业博览交易会落下帷幕.短短5天时间,有7800000人次参观数据7800000用科学记数法表示为 7.8×106 . 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 【解答】解:数据7800000用科学记数法表示为7.8×106. 故答案为:7.8×106. 【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值. 12.(3分)因式分解:﹣ x2+2= ﹣(x+2)(x﹣2) . 【分析】先提取公因式,再利用平方差公式分解即可. 【解答】解:﹣ x2+2=(x2﹣4)=(x+2)(x﹣2) 故答案为:(x+2)(x﹣2). 【点评】本题考查了因式分解,在进行因式分解时,有公因式要先提公因式,然后再看是否可以用公式法或其他方法分解,分解的结果要做到不能再分解为止. 13.(3分)从点M(﹣1,6),N(,12),E(2,﹣3),F(﹣3,﹣2)中任取一点,所取的点恰好在反比例函数y=的图象上的概率为  . 【分析】根据反比例函数的性质,找出符合点在函数y=图象上的点的个数,即可根据概率公式求解. 【解答】解:∵k=6, ﹣1×6=﹣6≠6,×12=6,2×(﹣3)=﹣6≠6,﹣3×(﹣2)=6, ∴N、F两个点在反比例函数y=的图象上,故所取的点在反比例函数y=的图象上的概率是=. 故答案为. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特点.用到的知识点还有:概率=所求情况数与总情况数之比. 14.(3分)不等式组的解集是 ﹣2<x≤3 . 【分析】根据解一元一次不等式组的方法可以解答本题. 【解答】解:, 由不等式①,得x≤3, 由不等式②,得x>﹣2, 故原不等式组的解集是﹣2<x≤3, 故答案为:﹣2<x≤3. 【点评】本题考查解一元一次不等式组,解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法. 15.(3分)如图,把三角形纸片折叠,使点A、点C都与点B重合,折痕分别为EF,DG,得到∠BDE=60°,∠BED=90°,若DE=2,则FG的长为 3 . 【分析】根据折叠的性质得到AF=BF,AE=BE,BG=CG,DC=DB,根据三角形的中位线定理得到FG=AC,求得∠EBD=30°,得到DB=2DE=4,根据勾股定理得到BE===2,求得AE=BE=2,DC=DB=4,于是得到结论. 【解答】解:∵把三角形纸片折叠,使点A、点C都与点B重合, ∴AF=BF,AE=BE,BG=CG,DC=DB, ∴FG=AC, ∵∠BDE=60°,∠BED=90°, ∴∠EBD=30°, ∴DB=2DE=4, ∴BE===2, ∴AE=BE=2,DC=DB=4, ∴AC=AE+DE+DC=2+2+4=6+2, ∴FG=AC=3+, 故答案为:3+. 【点评】此题考查了翻折变换的性质、等腰三角形的性质、直角三角形的性质;根据折叠的性质得出相等的边和角是解题关键. 16.(3分)如图,直线y=x+1与x轴交于点M,与y轴交于点A,过点A作AB⊥AM,交x轴于点B,以AB为边在AB的右侧作正方形ABCA1,延长A1C交x轴于点B1,以A1B1为边在A1B1的右侧作正方形A1B1C1A2…按照此规律继续作下去,再将每个正方形分割成四个全等的直角三角形和一个小正方形,每个小正方形的每条边都与其中的一条坐标轴平行,正方形ABCA1,A1B1C1A2,…,An﹣1Bn﹣1Cn﹣1An中的阴影部分的面积分别为S1,S2,…,Sn,则Sn可表示为  . 【分析】根据直线y=x+1与x轴交于点M,与y轴交于点A,可分别求出OA、OM的长,得出tan∠AMO=,根据同角的余角相等可得∠OAB=∠AMO,得出tan∠OAB=,进而得出OB=,进而表示出S1,S2,…,Sn. 【解答】解:在直线y=x+1中,当x=0时,y=1;当y=0时,x=﹣3; ∴OA=1,OM=3, ∴tan∠AMO=, ∵∠OAB+∠OAM=90°,∠AMO+∠OAM=90°, ∴∠OAB=∠AMO, ∴tan∠OAB=, ∴OB=. ∵, ∴, 易得tan, ∴, ∴, ∴, 同理可得,,…,=. 故答案为:. 【点评】本题考查规律型问题、解直角三角形以及点的坐标,解题的关键是学会探究规律的方法,属于中考常考题型. 三、解答题(本大题共9小题,共72分,解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(5分)先化简,再求值:﹣÷,其中a=|﹣6|﹣()﹣1. 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式,再将a的值代入计算可得. 【解答】解:原式=﹣× =﹣? =﹣ =, 当a=|﹣6|﹣()﹣1=6﹣2=4时, 原式==. 【点评】本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则. 18.(6分)佳佳文具店购进A,B两种款式的笔袋,其中A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%.已知店主购进A种笔袋用了810元,购进B种笔袋用了600元,且所购进的A种笔袋的数量比B种笔袋多20个.请问:文具店购进A,B两种款式的笔袋各多少个? 【分析】设文具店购进B种款式的笔袋x个,则购进A种款式的笔袋(x+20)个,根据单价=总价÷数量结合A种笔袋的单价比B种袋的单价低10%,即可得出关于x的分式方程,解之经检验后即可得出结论. 【解答】解:设文具店购进B种款式的笔袋x个,则购进A种款式的笔袋(x+20)个, 依题意,得:=(1﹣10%), 解得:x=40, 经检验,x=40是所列分式方程的解,且符合题意, ∴x+20=60. 答:文具店购进A种款式的笔袋60个,B种款式的笔袋40个. 【点评】本题考查了分式方程的应用,找准等量关系,正确列出分式方程是解题的关键. 19.(7分)某校组织学生开展为贫困山区孩子捐书活动,要求捐赠的书籍类别为科普类、文学类、漫画类、哲学故事类、环保类,学校图书管理员对所捐赠的书籍随机抽查了部分进行统计,并对获取的数据进行了整理,根据整理结果,绘制了如图所示的两幅不完整的统计图.已知所统计的数据中,捐赠的哲学故事类书籍和文学类书籍的数量相同.请根据以上信息,解答下列问题: (1)本次被抽查的书籍有 60 册. (2)补全条形统计图. (3)若此次捐赠的书籍共1200册,请你估计所捐赠的科普类书籍有多少册. 【分析】(1)根据统计图中的数据可以求得本次被抽查的书籍; (2)根据(1)中的结果和统计图中的数据可以将条形统计图补充完整; (3)根据统计图中的数据可以计算出所捐赠的科普类书籍有多少册. 【解答】解:(1)∵捐赠的哲学故事类书籍和文学类书籍的数量相同, ∴本次被抽查的书籍有:(3+9+12)÷(1﹣30%﹣30%)=60(册), 故答案为:60; (2)文学类有60×30%=18(册),则哲学故事类18册, 补全的条形统计如右图所示; (3)1200×=180(册), 答:所捐赠的科普类书籍有180册. 【点评】本题考查条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答. 20.(7分)有5张不透明的卡片,除正面上的图案不同外,其他均相同.将这5张卡片背面向上洗匀后放在桌面上. (1)从中随机抽取1张卡片,卡片上的图案是中心对称图形的概率为  . (2)若从中随机抽取1张卡片后不放回,再随机抽取1张,请用画树状图或列表的方法,求两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率. 【分析】(1)直接利用概率公式求解可得; (2)画树状图列出所有等可能结果,从中找到符合条件的结果数,再根据概率公式计算可得. 【解答】解:(1)从中随机抽取1张卡片,卡片上的图案是中心对称图形的概率为, 故答案为:; (2)画树状图如下: 由树状图知,共有20种等可能结果,其中两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的有6种结果, ∴两次所抽取的卡片恰好都是轴对称图形的概率为. 【点评】本题考查了列表法与树状图法:利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n,再从中选出符合事件A或B的结果数目m,求出概率. 21.(7分)小明同学在综合实践活动中对本地的一座古塔进行了测量.如图,他在山坡坡脚P处测得古塔顶端M的仰角为60°,沿山坡向上走25m到达D处,测得古塔顶端M的仰角为30°.已知山坡坡度i=3:4,即tanθ=,请你帮助小明计算古塔的高度ME.(结果精确到0.1m,参考数据:≈1.732) 【分析】作DC⊥EP交EP的延长线于C,作DF⊥ME于F,作PH⊥DF于H,根据坡度的定义分别求出DC、CP,设MF=ym,根据正切的定义用y分别表示出DF、PE,根据题意列方程,解方程得到答案. 【解答】解:作DC⊥EP交EP的延长线于C,作DF⊥ME于F,作PH⊥DF于H, 则DC=PH=FE,DH=CP,HF=PE, 设DC=3x, ∵tanθ=, ∴CP=4x, 由勾股定理得,PD2=DC2+CP2,即252=(3x)2+(4x)2, 解得,x=5, 则DC=3x=15,CP=4x=20, ∴DH=CP=20,PH=FE=DC=15, 设MF=ym, 则ME=(y+15)m, 在Rt△MDF中,tan∠MDF=, 则DF==y, 在Rt△MPE中,tan∠MPE=, 则PE==(y+15), ∵DH=DF﹣HF, ∴y﹣(y+15)=20, 解得,y=7.5+10, ∴ME=MF+FE=7.5+10+15≈39.8, 答:古塔的高度ME约为39.8m. 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角、坡度坡角问题,掌握仰角俯角、坡度坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键. 22.(8分)如图,四边形ABCD为菱形,以AD为直径作⊙O交AB于点F,连接DB交⊙O于点H,E是BC上的一点,且BE=BF,连接DE. (1)求证:DE是⊙O的切线. (2)若BF=2,DH=,求⊙O的半径. 【分析】(1)证明△DAF≌△DCE,可得∠DFA=∠DEC,证出∠ADE=∠DEC=90°,即OD⊥DE,DE是⊙O的切线. (2)连接AH,求出DB=2DH=2,在Rt△ADF和Rt△BDF中,可得AD2﹣(AD﹣BF)2=DB2﹣BF2,解方程可求出AD的长.则OA可求出. 【解答】(1)证明:如图1,连接DF, ∵四边形ABCD为菱形, ∴AB=BC=CD=DA,AD∥BC,∠DAB=∠C, ∵BF=BE, ∴AB﹣BF=BC﹣BE, 即AF=CE, ∴△DAF≌△DCE(SAS), ∴∠DFA=∠DEC, ∵AD是⊙O的直径, ∴∠DFA=90°, ∴∠DEC=90° ∵AD∥BC, ∴∠ADE=∠DEC=90°, ∴OD⊥DE, ∵OD是⊙O的半径, ∴DE是⊙O的切线; (2)解:如图2,连接AH, ∵AD是⊙O的直径, ∴∠AHD=∠DFA=90°, ∴∠DFB=90°, ∵AD=AB,DH=, ∴DB=2DH=2, 在Rt△ADF和Rt△BDF中, ∵DF2=AD2﹣AF2,DF2=BD2﹣BF2, ∴AD2﹣AF2=DB2﹣BF2, ∴AD2﹣(AD﹣BF)2=DB2﹣BF2, ∴, ∴AD=5. ∴⊙O的半径为. 【点评】本题考查了圆的综合,涉及了圆周角定理,菱形的性质,切线的判定,三角形全等的性质和判定,勾股定理等知识,解答本题的关键是根据勾股定理列方程解决问题. 23.(10分)网络销售是一种重要的销售方式.某乡镇农贸公司新开设了一家网店,销售当地农产品.其中一种当地特产在网上试销售,其成本为每千克10元.公司在试销售期间,调查发现,每天销售量y(kg)与销售单价x(元)满足如图所示的函数关系(其中10<x≤30). (1)直接写出y与x之间的函数关系式及自变量的取值范围. (2)若农贸公司每天销售该特产的利润要达到3100元,则销售单价x应定为多少元? (3)设每天销售该特产的利润为W元,若14<x≤30,求:销售单价x为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少元? 【分析】(1)由图象知,当10<≤14时,y=640;当14<x≤30时,设y=kx+b,将(14,640),(30,320)解方程组即可得到结论; (2)根据题意列方程,解方程即可得到结论; (3)当14<x≤30时,求得函数解析式为W=(x﹣10)(﹣20x+920)=﹣20(x﹣28)2+6480,根据二次函数的性质即可得到结论. 【解答】解:(1)由图象知,当10<x≤14时,y=640; 当14<x≤30时,设y=kx+b,将(14,640),(30,320)代入得, 解得, ∴y与x之间的函数关系式为y=﹣20x+920; 综上所述,y=; (2)(14﹣10)×640=2560, ∵2560<3100, ∴x>14, ∴(x﹣10)(﹣20x+920)=3100, 解得:x1=41(不合题意舍去),x2=15, 答:销售单价x应定为15元; (3)当14<x≤30时,W=(x﹣10)(﹣20x+920)=﹣20(x﹣28)2+6480, ∵﹣20<0,14<x≤30, ∴当x=28时,每天的销售利润最大,最大利润是6480元. 【点评】本题考查了二次函数的应用,得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键;利用配方法或公式法求得二次函数的最值问题是常用的解题方法. 24.(10分)如图,四边形ABCD是正方形,连接AC,将△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF,连接CF,O为CF的中点,连接OE,OD. (1)如图1,当α=45°时,请直接写出OE与OD的关系(不用证明). (2)如图2,当45°<α<90°时,(1)中的结论是否成立?请说明理由. (3)当α=360°时,若AB=4,请直接写出点O经过的路径长. 【分析】(1)由旋转的性质得:AF=AC,∠AFE=∠ACB,由正方形的性质得出∠ACB=∠ACD=∠FAC=45°,得出∠ACF=∠AFC=67.5°,因此∠DCF═∠EFC=22.5°,由直角三角形斜边上的中线性质得出OE=CF=OC=OF,同理:OD=CF,得出OE=OD=OC=OF,证出∠EOC=2∠EFO=45°,∠DOF=2∠DCO=45°,得出∠DOE=90°即可; (2)延长EO到点M,使OM=EO,连接DM、CM、DE,证明△COM≌△FOE(SAS),得出∠MCF=∠EFC,CM=EF,由正方形的性质得出AB=BC=CD,∠BAC=∠BCA=45°,由旋转的性质得出AB=AE=EF=CD,AC=AF,得出CD=CM,∠ACF=∠AFC,证明△ADE≌△CDM(SAS),得出DE=DM,再证明△COM≌△COD(SAS),得出OM=OD,即可得出结论; (3)连接AO,由等腰三角形的性质得出AO⊥CF,∠AOC=90°,得出点O在以AC为直径的圆上运动,证出点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长,求出AC=AB=8,即可得出答案. 【解答】解:(1)OE=OD,OE⊥OD;理由如下: 由旋转的性质得:AF=AC,∠AFE=∠ACB, ∵四边形ABCD是正方形, ∴∠ACB=∠ACD=∠FAC=45°, ∴∠ACF=∠AFC=(180°﹣45°)=67.5°, ∴∠DCF═∠EFC=22.5°, ∵∠FEC=90°,O为CF的中点, ∴OE=CF=OC=OF, 同理:OD=CF, ∴OE=OD=OC=OF, ∴∠EOC=2∠EFO=45°,∠DOF=2∠DCO=45°, ∴∠DOE=180°﹣45°﹣45°=90°, ∴OE⊥OD; (2)当45°<α<90°时,(1)中的结论成立,理由如下: 延长EO到点M,使OM=EO,连接DM、CM、DE,如图2所示: ∵O为CF的中点, ∴OC=OF, 在△COM和△FOE中,, ∴△COM≌△FOE(SAS), ∴∠MCF=∠EFC,CM=EF, ∵四边形ABCD是正方形, ∴AB=BC=CD,∠BAC=∠BCA=45°, ∵△ABC绕点A逆时针旋转α得△AEF, ∴AB=AE=EF=CD,AC=AF, ∴CD=CM,∠ACF=∠AFC, ∵∠ACF=∠ACD+∠FCD,∠AFC=∠AFE+∠CFE,∠ACD=∠AFE=45°, ∴∠FCD=∠CFE=∠MCF, ∵∠EAC+∠DAE=45°,∠FAD+∠DAE=45°, ∴∠EAC=∠FAD, 在△ACF中,∵∠ACF+∠AFC+∠CAF=180°, ∴∠DAE+2∠FAD+∠DCM+90°=180°, ∵∠FAD+∠DAE=45°, ∴∠FAD+∠DCM=45°, ∴∠DAE=∠DCM, 在△ADE和△CDM中,, ∴△ADE≌△CDM(SAS), ∴DE=DM, ∵OE=OM, ∴OE⊥OD, 在△COM和△COD中,, ∴△COM≌△COD(SAS), ∴OM=OD, ∴OE=OD, ∴OE=OD,OE⊥OD; (3)连接AO,如图3所示: ∵AC=AF,CO=OF, ∴AO⊥CF, ∴∠AOC=90°, ∴点O在以AC为直径的圆上运动, ∵α=360°, ∴点O经过的路径长等于以AC为直径的圆的周长, ∵AC=AB=×4=8, ∴点O经过的路径长为:πd=8π. 【点评】本题是四边形综合题目,考查了正方形的性质、旋转变换的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质、圆周长等知识;本题综合性强,证明三角形全等是解题的关键. 25.(12分)如图,在平面直角坐标系中,直线y=2x+6与x轴交于点A,与y轴交点C,抛物线y=﹣2x2+bx+c过A,C两点,与x轴交于另一点B. (1)求抛物线的解析式. (2)在直线AC上方的抛物线上有一动点E,连接BE,与直线AC相交于点F,当EF=BF时,求sin∠EBA的值. (3)点N是抛物线对称轴上一点,在(2)的条件下,若点E位于对称轴左侧,在抛物线上是否存在一点M,使以M,N,E,B为顶点的四边形是平行四边形?若存在,直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)先由直线解析式求出点A、C坐标,再将所求坐标代入二次函数解析式,求解可得; (2)先求出B(1,0),设E(t,﹣2t2﹣4t+6),作EH⊥x轴、FG⊥x轴,知EH∥FG,由EF=BF知===,结合BH=1﹣t可得BG=BH=﹣t,据此知F(+t, +t),从而得出方程﹣2t2﹣4t+6=(+t),解之得t1=﹣2,t2=﹣1,据此得出点E坐标,再进一步求解可得; (3)分EB为平行四边形的边和EB为平行四边形的对角线两种情况,其中EB为平行四边形的边时再分点M在对称轴右侧和左侧两种情况分别求解可得. 【解答】解:(1)在y=2x+6中,当x=0时y=6,当y=0时x=﹣3, ∴C(0,6)、A(﹣3,0), ∵抛物线y=﹣2x2+bx+c的图象经过A、C两点, ∴, 解得, ∴抛物线的解析式为y=﹣2x2﹣4x+6; (2)令﹣2x2﹣4x+6=0, 解得x1=﹣3,x2=1, ∴B(1,0), ∵点E的横坐标为t, ∴E(t,﹣2t2﹣4t+6), 如图,过点E作EH⊥x轴于点H,过点F作FG⊥x轴于点G,则EH∥FG, ∵EF=BF, ∴===, ∵BH=1﹣t, ∴BG=BH=﹣t, ∴点F的横坐标为+t, ∴F(+t, +t), ∴﹣2t2﹣4t+6=(+t), ∴t2+3t+2=0, 解得t1=﹣2,t2=﹣1, 当t=﹣2时,﹣2t2﹣4t+6=6, 当t=﹣1时,﹣2t2﹣4t+6=8, ∴E1(﹣2,6),E2(﹣1,8), 当点E的坐标为(﹣2,6)时,在Rt△EBH中,EH=6,BH=3, ∴BE===3, ∴sin∠EBA===; 同理,当点E的坐标为(﹣1,8)时,sin∠EBA==, ∴sin∠EBA的值为或; (3)∵点N在对称轴上, ∴xN==﹣1, ①当EB为平行四边形的边时,分两种情况: (Ⅰ)点M在对称轴右侧时,BN为对角线, ∵E(﹣2,6),xN=﹣1,﹣1﹣(﹣2)=1,B(1,0), ∴xM=1+1=2, 当x=2时,y=﹣2×22﹣4×2+6=﹣10, ∴M(2,﹣10); (Ⅱ)点M在对称轴左侧时,BM为对角线, ∵xN=﹣1,B(1,0),1﹣(﹣1)=2,E(﹣2,6), ∴xM=﹣2﹣2=﹣4, 当x=﹣4时,y=﹣2×(﹣4)2﹣4×(﹣4)+6=﹣10, ∴M(﹣4,﹣10); ②当EB为平行四边形的对角线时, ∵B(1,0),E(﹣2,6),xN=﹣1, ∴1+(﹣2)=﹣1+xM, ∴xM=0, 当x=0时,y=6, ∴M(0,6); 综上所述,M的坐标为(2,﹣10)或(﹣4,﹣10)或(0,6). 【点评】本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、勾股定理、三角函数的应用及平行四边形的判定和性质等知识点.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:辽宁省朝阳市
  • 文件大小:734KB
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