[ID:3-6741131] 2019年华侨、港澳、台联考高考数学真题试卷 解析版
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2019年港澳、华侨、台联考高考数学试卷 一、选择题: 1.设集合P={x|x2﹣2>0},Q={1,2,3,4},则P∩Q的非空子集的个数为(  ) A.8 B.7 C.4 D.3 2.复数z=在复平面内对应的点在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.若直线x=5与圆x2+y2﹣6x+a=0相切,则a=(  ) A.13 B.5 C.﹣5 D.﹣13 4.经过点(1,﹣1,3)且与平面2x+y﹣z+4=0平行的平面方程为(  ) A.2x+y﹣z+2=0 B.2x+y+z﹣6=0 C.2x+y+z﹣4=0 D.2x+y﹣z﹣3=0 5.下列函数中,为偶函数的是(  ) A.y=(x+1)2 B.y=2﹣x C.y=|sinx| D.y=lg(x+1)+lg(x﹣1) 6.(2+1)6的展开式中x的系数是(  ) A.120 B.60 C.30 D.15 7.若x2+2除x4+3x3+a的余式为﹣6x,则a=(  ) A.16 B.8 C.4 D.﹣4 8.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0),过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M,N两点,若以MN为直径的圆经过C的右焦点,则C的离心率为(  ) A.+1 B.2 C. D. 9.3+33+35+…+32n+1=(  ) A.(9n﹣1) B.(9n+1﹣1) C.(9n﹣1) D.(9n+1﹣1) 10.已知tanA=2,则=(  ) A. B. C.3 D.5 11.在Rt△ABC中,AB=BC,在BC边上随机取点P,则∠BAP<30°的概率为(  ) A. B. C. D. 12.正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形,E,F分别是AB,BC的中点,则PB与平面PEF所成角的正弦为(  ) A. B. C. D. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。 13.若函数f(x)=eax+ln(x+1),f'(0)=4,则a=   . 14.已知向量=(1,m),=(3,1),若⊥,则m=   . 15.若5个男生和2个女生随机排成一行,则两端都是女生的概率为   . 16.若log(4x﹣1)>﹣2,则x的取值范围是   . 17.已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π,O到α的距离为3,则球O的表面积为   . 18.已知f(x)=,若f(a)+f(﹣2)=0,则a=    三、解答题:本大题共4小题,每小题15分,共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.已知函数f(x)=2sin2x﹣4cos2x+1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)设g (x)=f(),求g(x)在区间[0,]的最大值与最小值. 20.已知点A1(﹣2,0),A2(2,0),动点P满足PA1与PA2的斜率之积等于﹣,记P的轨迹为C. (1)求C的方程; (2)设过坐标原点的直线1与C交于M,N两点,且四边形MA1NA2的面积为2,求l的方程. 21.数列{an}中,a1=,2an+1an+an+1﹣an=0. (1)求{an}的通项公式; (2)求满足a1a2+a2a3+…+an﹣1an<的n的最大值. 22.已知函数f(x)=(x2﹣ax). (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在区间[0,2]的最小值为﹣,求a. 参考答案 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 1.设集合P={x|x2﹣2>0},Q={1,2,3,4},则P∩Q的非空子集的个数为(  ) A.8 B.7 C.4 D.3 解:; ∴P∩Q={2,3,4}; ∴P∩Q的非空子集的个数为:个. 故选:B. 2.复数z=在复平面内对应的点在(  ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解:∵z==, ∴z在复平面内对应的点的坐标为(,﹣),在第三象限. 故选:C. 3.若直线x=5与圆x2+y2﹣6x+a=0相切,则a=(  ) A.13 B.5 C.﹣5 D.﹣13 解:根据题意,圆x2+y2﹣6x+a=0即(x﹣3)2+y2=9﹣a, 其圆心为(3,0),半径r=, 若直线x=5与圆x2+y2﹣6x+a=0相切,则圆的半径r=5﹣3=2, 则有=2, 解可得:a=5; 故选:B. 4.经过点(1,﹣1,3)且与平面2x+y﹣z+4=0平行的平面方程为(  ) A.2x+y﹣z+2=0 B.2x+y+z﹣6=0 C.2x+y+z﹣4=0 D.2x+y﹣z﹣3=0 解:设与平面2x+y﹣z+4=0平行的平面方程为2x+y﹣z+k=0, 代入点(1,﹣1,3),得2×1﹣1﹣3+k=0,解得k=2, 则所求的平面方程为2x+y﹣z+2=0. 故选:A. 5.下列函数中,为偶函数的是(  ) A.y=(x+1)2 B.y=2﹣x C.y=|sinx| D.y=lg(x+1)+lg(x﹣1) 解:A.函数关于x=﹣1对称,函数为非奇非偶函数, B.函数的减函数,不具备对称性,不是偶函数, C,f(﹣x)=|sin(﹣x)|=|﹣sinx|=|sinx|=f(x), 则函数f(x)是偶函数,满足条件. D.由得得x>1,函数的定义为(1,+∞),定义域关于原点不对称,为非奇非偶函数, 故选:C. 6.(2+1)6的展开式中x的系数是(  ) A.120 B.60 C.30 D.15 解:由二项式(2+1)6的展开式的通项为Tr+1=(2)6﹣r=26﹣rx, 令=1, 解得r=4, 则(2+1)6的展开式中x的系数是22=60, 故选:B. 7.若x2+2除x4+3x3+a的余式为﹣6x,则a=(  ) A.16 B.8 C.4 D.﹣4 解:x4+3x3+a=(x2+2)(x2+3x﹣2)﹣6x+a+4, ∵x2+2除x4+3x3+a的余式为﹣6x, ∴a+4=0,∴a=﹣4. 故选:D. 8.已知双曲线C:﹣=1(a>0,b>0),过C的左焦点且垂直于x轴的直线交C于M,N两点,若以MN为直径的圆经过C的右焦点,则C的离心率为(  ) A.+1 B.2 C. D. 解:设双曲线C:﹣=1(a>0,b>0)的左焦点为F1,右焦点为F2, ∵以MN为直径的圆恰好过双曲线的右焦点,∴|F1M|=|F1F2|, ∴=2c, ∴c2﹣a2=2ac, ∴e2﹣2e﹣1=0, ∴e=±1, ∵e>1, ∴e=+1, 故选:A. 9.3+33+35+…+32n+1=(  ) A.(9n﹣1) B.(9n+1﹣1) C.(9n﹣1) D.(9n+1﹣1) 解:数列3,33,35,…,32n+1是首项为3,公比为32的等比数列; 且32n+1是第n+1项; ∴=. 故选:D. 10.已知tanA=2,则=(  ) A. B. C.3 D.5 解:tanA=2, 则===. 故选:B. 11.在Rt△ABC中,AB=BC,在BC边上随机取点P,则∠BAP<30°的概率为(  ) A. B. C. D. 解: 在Rt△ABC中,AB=BC,Rt△ABC为等腰直角三角形,令AB=BC=1,则:AC=; 在BC边上随机取点P,当∠BAP=30°时,BP=tan30°=, 在BC边上随机取点P,则∠BAP<30°的概率为:p==, 故选:B. 12.正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形,E,F分别是AB,BC的中点,则PB与平面PEF所成角的正弦为(  ) A. B. C. D. 解:∵正三棱锥P﹣ABC的侧面都是直角三角形,E,F分别是AB,BC的中点, ∴以P为原点,PA为x轴,PB为y轴,PC为z轴,建立空间直角坐标系, 设PA=PB=PC=2, 则A(2,0,0),B(0,2,0),C(0,0,2),E(1,1,0),F(0,1,1), =(0,2,0),=(1,1,0),=(0,1,1), 设平面PEF的法向量=(x,y,z), 则,取x=1,得=(1,﹣1,1), 设PB与平面PEF所成角为θ, 则sinθ===. ∴PB与平面PEF所成角的正弦值为. 故选:C. 二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分。 13.若函数f(x)=eax+ln(x+1),f'(0)=4,则a= 3 . 解:由f(x)=eax+ln(x+1),得f'(x)=, ∵f'(0)=4,∴f'(0)=a+1=4, ∴a=3. 故答案为:3. 14.已知向量=(1,m),=(3,1),若⊥,则m= ﹣3 . 解:∵; ∴; ∴m=﹣3. 故答案为:﹣3. 15.若5个男生和2个女生随机排成一行,则两端都是女生的概率为  . 解:5个男生和2个女生随机排成一行,总共有种A77排法; 两端都是女生的排法有:A21A55A11种; 由古典概型可得两端都是女生的概率为:P==; 故答案为:P=; 16.若log(4x﹣1)>﹣2,则x的取值范围是  . 解:log(4x﹣1)>﹣2=, ∴,∴, ∴x的取值范围为. 故答案为:. 17.已知平面α截球O的球面所得圆的面积为π,O到α的距离为3,则球O的表面积为 40π . 解:∵平面α截球O的球面所得圆的面积为π,则圆的半径为1, 该平面与球心的距离d=3, ∴球半径R=. ∴球的表面积S=4πR2=40π. 故答案为:40π. 18.已知f(x)=,若f(a)+f(﹣2)=0,则a= 2  解:(1)若a<0,则:f(a)+f(﹣2)=2a﹣4=0; 解得a=2,不满足a<0,这种情况不存在; (2)若a≥0,则:f(a)+f(﹣2)=a2﹣4=0; ∴a=2; 综上得,a=2. 故答案为:2. 三、解答题:本大题共4小题,每小题15分,共60分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 19.已知函数f(x)=2sin2x﹣4cos2x+1. (1)求f(x)的最小正周期; (2)设g (x)=f(),求g(x)在区间[0,]的最大值与最小值. 解:f(x)=2sin2x﹣4cos2x+1=1﹣cos2x﹣2(1+cos2x)+1=﹣3cos2x. (1)f(x)的最小正周期T=; (2)g (x)=f()=, ∵x∈[0,], ∴﹣3cosx∈[﹣3,]. 即g(x)在区间[0,]的最大值为﹣,最小值为﹣3. 20.已知点A1(﹣2,0),A2(2,0),动点P满足PA1与PA2的斜率之积等于﹣,记P的轨迹为C. (1)求C的方程; (2)设过坐标原点的直线1与C交于M,N两点,且四边形MA1NA2的面积为2,求l的方程. 解:(1)设P(x,y),由题意可得k?k=?=﹣, 化为+y2=1(x≠±2), 可得C的方程为+y2=1(x≠±2); (2)当直线l的斜率不存在,即直线方程为x=0, 可得四边形MA1NA2的面积为×4×2=4,不符题意,舍去; 设直线l方程为y=kx,代入方程+y2=1,可得x2=,y2=, 由M,N关于原点对称,可得四边形MA1NA2的面积为|yM﹣yN|?|A1A2|=?2?4=2, 解得k=±, 即有直线l的方程为y=±x. 21.数列{an}中,a1=,2an+1an+an+1﹣an=0. (1)求{an}的通项公式; (2)求满足a1a2+a2a3+…+an﹣1an<的n的最大值. 解:(1)∵2an+1an+an+1﹣an=0. ∴,又, ∴数列{}是以3为首项,2为公差的等差数列, ∴,∴; (2)由(1)知,=, ∴a1a2+a2a3+…+an﹣1an==, ∵a1a2+a2a3+…+an﹣1an<,∴<, ∴4n+2<42,∴n<10,∵n∈N*, ∴n的最大值为9. 22.已知函数f(x)=(x2﹣ax). (1)当a=1时,求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在区间[0,2]的最小值为﹣,求a. 解:(1)当a=1时,f(x)=(x2﹣x), 则f'(x)=(x≥0),令f'(x)=0,则x=, ∴当0<x<时,f'(x)<0;当x>时,f'(x)>0. ∴f(x)的单调递减区间为,单调递增区间为; (2)f'(x)=(0≤x≤2),令f'(x)=0,则x=, 当a≤0时,f'(x)>0,∴f(x)在[0,2]上单调递增,∴,不符合条件; 当时,,则当0<x<时,f'(x)<0;当时,f(x)>0, ∴f(x)在上单调递减,在上单调递增, ∴,∴a=,符合条件; 当a>时,,则当0<x<2时,f'(x)<0,∴f(x)在(0,2)上单调递减, ∴,∴a=,不符合条件. ∴f(x)在区间[0,2]的最小值为﹣,a的值为.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:澳门
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