[ID:3-6876420] 2020年中考压轴题突破复习《二次函数综合题》(解析版)
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2020年中考压轴题突破复习:《二次函数综合题》 1.已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于A,B两点(点B在点A右侧),与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标; (2)如图1,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),是否存在点P,使四边形PBOC的面积最大?若存在,求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值;若不存在,请说明理由; (3)如图2,若点M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN=3时,求点M的坐标. 2.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,3),顶点为G. (1)求抛物线和直线AC的解析式; (2)如图1,设E(m,0)为x轴上一动点,若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE=S△CGO,求点E的坐标; (3)如图2,设点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动,运动时间为ts,点M为射线AC上一动点,过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N.试探究点P在运动过程中,是否存在以P,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. 3.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A,B两点,点A在x轴上,点B在直线x=3上,直线x=3与x轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)点P从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动,点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上. ①当t为何值时,矩形PQNM的面积最小?并求出最小面积; ②直接写出当t为何值时,恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上. 4.如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣n(n>0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C. (1)如图1,若△ABC为直角三角形,求n的值; (2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标; (3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE:ED=1:4,求n的值. 5.如图,二次函数y=x2﹣3x的图象经过O(0,0),A(4,4),B(3,0)三点,以点O为位似中心,在y轴的右侧将△OAB按相似比2:1放大,得到△OA′B′,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O,A′,B′三点. (1)画出△OA′B′,试求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式; (2)点P(m,n)在二次函数y=x2﹣3x的图象上,m≠0,直线OP与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交于点Q(异于点O). ①求点Q的坐标(横、纵坐标均用含m的代数式表示) ②连接AP,若2AP>OQ,求m的取值范围; ③当点Q在第一象限内,过点Q作QQ′平行于x轴,与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交于另一点Q′,与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M,N(M在N的左侧),直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′.△Q′P′M∽△QB′N,则线段NQ的长度等于   . 6.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(0、﹣4)与x轴交于另一点C,连接BC. (1)求抛物线的解析式; (2)如图,P是第一象限内抛物线上一点,且S△PBO=S△PBC,求证:AP∥BC; (3)在抛物线上是否存在点D,直线BD交x轴于点E,使△ABE与以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形相似(不重合)?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. 7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C(0,﹣),OA=1,OB=4,直线l过点A,交y轴于点D,交抛物线于点E,且满足tan∠OAD=. (1)求抛物线的解析式; (2)动点P从点B出发,沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动,动点Q从点A出发,沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动,当点P运动到点A时,点Q也停止运动,设运动时间为t秒. ①在P、Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△ADC与△PQA相似,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. ②在P、Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△APQ与△CAQ的面积之和最大?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. 8.如图,已知A(﹣2,0),B(4,0),抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点,并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C. (1)求抛物线解析式及对称轴; (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形ACPO的周长最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由; (3)点M为y轴右侧抛物线上一点,过点M作直线AC的垂线,垂足为N.问:是否存在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由. 9.如图1,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B、C两点,与y轴交于点E(0,3). (1)求抛物线的表达式; (2)已知点F(0,﹣3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小,如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由. (3)如图2,连接AB,若点P是线段OE上的一动点,过点P作线段AB的垂线,分别与线段AB、抛物线相交于点M、N(点M、N都在抛物线对称轴的右侧),当MN最大时,求△PON的面积. 10.如图,已知二次函数y=ax2﹣5x+c(a>0)的图象与x轴相交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2, (1)若抛物线的对称轴为x=,求a的值; (2)若a=15,求c的取值范围; (3)若该抛物线与y轴相交于点D,连接BD,且∠OBD=60°,抛物线的对称轴l与x轴相交于点E,点F是直线l上的一点,点F的纵坐标为3+,连接AF,满足∠ADB=∠AFE,求该二次函数的解析式. 11.如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,3)、B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m. (1)求抛物线的解析式; (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连结PE、PO,当m为何值时,四边形AOPE面积最大,并求出其最大值; (3)如图②,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 12.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE. (1)求二次函数的表达式; (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值; (3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标,若不存在请说明理由. 13.如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,点B的坐标为(1,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是直线AB上方抛物线上的一点,过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE=DE. ①求点P的坐标; ②在直线PD上是否存在点M,使△ABM为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M的坐标;若不存在,请说明理由. 14.如图,在平面直角坐标系xOy中,以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l:y=kx+m(k>0)交于A(1,1),B两点,与y轴交于C(0,5),直线l与y轴交于点D. (1)求抛物线的函数表达式; (2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F,G是抛物线上位于对称轴右侧的一点,若=,且△BCG与△BCD面积相等,求点G的坐标; (3)若在x轴上有且仅有一点P,使∠APB=90°,求k的值. 15.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+4与y轴交于A点,与x轴交于B点,抛物线C1:y=﹣x2+bx+c过A、B两点,与x轴另一交点为C. (1)求抛物线解析式及C点坐标. (2)向右平移抛物线C1,使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心,抛物线C1、C2相交于点D,求四边形AOCD的面积. (3)已知抛物线C2的顶点为M,设P为抛物线C1对称轴上一点,Q为抛物线C1上一点,是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出P点坐标;不存在,请说明理由. 16.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)经过点A(﹣1,0),B(5,﹣6),C(6,0). (1)求抛物线的解析式; (2)如图,在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点,试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个?并请求出其中某一个点Q的坐标. 17.如图,抛物线与x轴交于点A(﹣,0)、点B(2,0),与y轴交于点C(0,1),连接BC. (1)求抛物线的函数关系式; (2)点N为抛物线上的一个动点,过点N作NP⊥x轴于点P,设点N的横坐标为t(﹣<t<2),求△ABN的面积S与t的函数关系式; (3)若﹣<t<2且t≠0时△OPN∽△COB,求点N的坐标. 18.如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+12的图象与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点(点B在点C的左侧),连接AB,AC. (1)点B的坐标为   ,点C的坐标为   ; (2)过点C作射线CD∥AB,点M是线段AB上的动点,点P是线段AC上的动点,且始终满足BM=AP(点M不与点A,点B重合),过点M作MN∥BC分别交AC于点Q,交射线CD于点N (点 Q不与点P重合),连接PM,PN,设线段AP的长为n. ①如图2,当n<AC时,求证:△PAM≌△NCP; ②直接用含n的代数式表示线段PQ的长; ③若PM的长为,当二次函数y=﹣x2+12的图象经过平移同时过点P和点N时,请直接写出此时的二次函数表达式. 19.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A(﹣2,0),与y轴的交点为C,对称轴是x=3,对称轴与x轴交于点B. (1)求抛物线的函数表达式; (2)经过B,C的直线l平移后与抛物线交于点M,与x轴交于点N,当以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求出点M的坐标; (3)若点D在x轴上,在抛物线上是否存在点P,使得△PBD≌△PBC?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 20.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动. (1)求该二次函数的解析式及点C的坐标; (2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由. (3)当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标. 参考答案与试题解析 1.已知抛物线y=ax2+x+4的对称轴是直线x=3,与x轴相交于A,B两点(点B在点A右侧),与y轴交于点C. (1)求抛物线的解析式和A,B两点的坐标; (2)如图1,若点P是抛物线上B、C两点之间的一个动点(不与B、C重合),是否存在点P,使四边形PBOC的面积最大?若存在,求点P的坐标及四边形PBOC面积的最大值;若不存在,请说明理由; (3)如图2,若点M是抛物线上任意一点,过点M作y轴的平行线,交直线BC于点N,当MN=3时,求点M的坐标. 【分析】(1)由抛物线的对称轴是直线x=3,解出a的值,即可求得抛物线解析式,在令其y值为零,解一元二次方程即可求出A和B的坐标; (2)易求点C的坐标为(0,4),设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将B(8,0),C(0,4)代入y=kx+b,解出k和b的值,即得直线BC的解析式;设点P的坐标为(x,﹣x2+x+4),过点P作PD∥y轴,交直线BC于点D,则点D的坐标为(x,﹣x+4),利用关系式S四边形PBOC=S△BOC+S△PBC得出关于x的二次函数,从而求得其最值; (3)设点M的坐标为(m,﹣++4)则点N的坐标为(m,﹣),MN=|﹣++4﹣(﹣)|=|﹣+2m|,分当0<m<8时,或当m<0或m>8时来化简绝对值,从而求解. 【解答】解:(1)∵抛物线的对称轴是直线x=3, ∴﹣=3,解得a=﹣, ∴抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+4. 当y=0时,﹣x2+x+4=0,解得x1=﹣2,x2=8, ∴点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(8,0). 答:抛物线的解析式为:y=﹣x2+x+4;点A的坐标为(﹣2,0),点B的坐标为(8,0). (2)当x=0时,y=﹣x2+x+4=4, ∴点C的坐标为(0,4). 设直线BC的解析式为y=kx+b(k≠0),将B(8,0),C(0,4)代入y=kx+b得 ,解得, ∴直线BC的解析式为y=﹣x+4. 假设存在点P,使四边形PBOC的面积最大, 设点P的坐标为(x,﹣x2+x+4),如图所示,过点P作PD∥y轴,交直线BC于点D,则点D的坐标为(x,﹣x+4), 则PD=﹣x2+x+4﹣(﹣x+4)=﹣x2+2x, ∴S四边形PBOC=S△BOC+S△PBC =×8×4+PD?OB =16+×8(﹣x2+2x) =﹣x2+8x+16 =﹣(x﹣4)2+32 ∴当x=4时,四边形PBOC的面积最大,最大值是32 ∵0<x<8, ∴存在点P(4,6),使得四边形PBOC的面积最大. 答:存在点P,使四边形PBOC的面积最大;点P的坐标为(4,6),四边形PBOC面积的最大值为32. (3)设点M的坐标为(m,﹣++4)则点N的坐标为(m,﹣), ∴MN=|﹣++4﹣(﹣)|=|﹣+2m|, 又∵MN=3, ∴|﹣+2m|=3, 当0<m<8时,﹣+2m﹣3=0,解得m1=2,m2=6, ∴点M的坐标为(2,6)或(6,4); 当m<0或m>8时,﹣+2m+3=0,解得m3=4﹣2,m4=4+2, ∴点M的坐标为(4﹣2,﹣1)或(4+2,﹣﹣1). 答:点M的坐标为(2,6)、(6,4)、(4﹣2,﹣1)或(4+2,﹣﹣1). 2.在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(﹣1,0),B(3,0),与y轴交于点C(0,3),顶点为G. (1)求抛物线和直线AC的解析式; (2)如图1,设E(m,0)为x轴上一动点,若△CGE和△CGO的面积满足S△CGE=S△CGO,求点E的坐标; (3)如图2,设点P从点A出发,以每秒1个单位长度的速度沿x轴向右运动,运动时间为ts,点M为射线AC上一动点,过点M作MN∥x轴交抛物线对称轴右侧部分于点N.试探究点P在运动过程中,是否存在以P,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)用待定系数法即能求出抛物线和直线AC解析式. (2)△CGE与△CGO虽然有公共底边CG,但高不好求,故把△CGE构造在比较好求的三角形内计算.延长GC交x轴于点F,则△FGE与△FCE的差即为△CGE. (3)设M的坐标(e,3e+3),分别以M、N、P为直角顶点作分类讨论,利用等腰直角三角形的特殊线段长度关系,用e表示相关线段并列方程求解,再根据e与AP的关系求t的值. 【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c过点A(﹣1,0),B(3,0),C(0,3), 解得: ∴抛物线解析式为:y=﹣x2+2x+3 设直线AC解析式为y=kx+3 ∴﹣k+3=0 得:k=3 ∴直线AC解析式为:y=3x+3 (2)延长GC交x轴于点F,过G作GH⊥x轴于点H ∵y=﹣x2+2x+3=﹣(x﹣1)2+4 ∴G(1,4),GH=4 ∴S△CGO=OC?xG=×3×1= ∴S△CGE=S△CGO==2, ①若点E在x轴正半轴上 设直线CG:y=k1x+3 ∴k1+3=4 得:k1=1 ∴直线CG解析式:y=x+3 ∴F(﹣3,0) ∵E(m,0) ∴EF=m﹣(﹣3)=m+3 ∴S△CGE=S△FGE﹣S△FCE=EF?GH﹣EF?OC=EF?(GH﹣OC)=(m+3)?(4﹣3)= ∴=2 解得:m=1 ∴E的坐标为(1,0) ②若点E在x轴负半轴上,则点E到直线CG的距离与点(1,0)到直线CG距离相等 即点E到F的距离等于点(1,0)到F的距离 ∴EF=﹣3﹣m=1﹣(﹣3)=4 解得:m=﹣7 即E(﹣7,0) 综上所述,点E坐标为(1,0)或(﹣7,0) (3)存在以P,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形 设M(e,3e+3),则yN=yM=3e+3 ①若∠MPN=90°,PM=PN,如图2 过点M作MQ⊥x轴于点Q,过点N作NR⊥x轴于点R ∵MN∥x轴 ∴MQ=NR=3e+3 ∴Rt△MQP≌Rt△NRP(HL) ∴PQ=PR,∠MPQ=∠NPR=45° ∴MQ=PQ=PR=NR=3e+3 ∴xN=xM+3e+3+3e+3=7e+6,即N(7e+6,3e+3) ∵N在抛物线上 ∴﹣(7e+6)2+2(7e+6)+3=3e+3 解得:e1=﹣1(舍去),e2= ∵AP=t,OP=t﹣1,OP+OQ=PQ ∴t﹣1﹣e=3e+3 ∴t=4e+4= ②若∠PMN=90°,PM=MN,如图3 ∴MN=PM=3e+3 ∴xN=xM+3e+3=4e+3,即N(4e+3,3e+3) ∴﹣(4e+3)2+2(4e+3)+3=3e+3 解得:e1=﹣1(舍去),e2= ∴t=AP=e﹣(﹣1)= ③若∠PNM=90°,PN=MN,如图4 ∴MN=PN=3e+3,N(4e+3,3e+3) 解得:e= ∴t=AP=OA+OP=1+4e+3= 综上所述,存在以P,M,N为顶点的三角形为等腰直角三角形,t的值为或或. 3.如图,抛物线y=﹣x2+bx+c和直线y=x+1交于A,B两点,点A在x轴上,点B在直线x=3上,直线x=3与x轴交于点C. (1)求抛物线的解析式; (2)点P从点A出发,以每秒个单位长度的速度沿线段AB向点B运动,点Q从点C出发,以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动,点P,Q同时出发,当其中一点到达终点时,另一个点也随之停止运动,设运动时间为t秒(t>0).以PQ为边作矩形PQNM,使点N在直线x=3上. ①当t为何值时,矩形PQNM的面积最小?并求出最小面积; ②直接写出当t为何值时,恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上. 【分析】(1)利用待定系数法即可; (2)①分别用t表示PE、PQ、EQ,用△PQE∽△QNC表示NC及QN,列出矩形PQNM面积与t的函数关系式问题可解; ②由①利用线段中点坐标分别等于两个端点横纵坐标平均分的数量关系,表示点M坐标,分别讨论M、N、Q在抛物线上时的情况,并分别求出t值. 【解答】解:(1)由已知,B点横坐标为3 ∵A、B在y=x+1上 ∴A(﹣1,0),B(3,4) 把A(﹣1,0),B(3,4)代入y=﹣x2+bx+c得 解得 ∴抛物线解析式为y=﹣x2+3x+4; (2)①过点P作PE⊥x轴于点E. ∵直线y=x+1与x轴夹角为45°,P点速度为每秒个单位长度 ∴t秒时点E坐标为(﹣1+t,0),Q点坐标为(3﹣2t,0) ∴EQ=4﹣3t,PE=t ∵∠PQE+∠NQC=90° ∠PQE+∠EPQ=90° ∴∠EPQ=∠NQC ∴△PQE∽△QNC ∴ ∴矩形PQNM的面积S=PQ?NQ=2PQ2 ∵PQ2=PE2+EQ2 ∴S=2()2=20t2﹣48t+32 当t=时, S最小=20×()2﹣48×+32= ②由①点Q坐标为(3﹣2t,0),P坐标为(﹣1+t,t) ∴△PQE∽△QNC,可得NC=2EQ=8﹣6t ∴N点坐标为(3,8﹣6t) 由矩形对角线互相平分 ∴点M坐标为(3t﹣1,8﹣5t) 当M在抛物线上时 8﹣5t=﹣(3t﹣1)2+3(3t﹣1)+4 解得t=或 当点Q到A时,Q在抛物线上,此时t=2 当N在抛物线上时,8﹣6t=4 ∴t= 综上所述当t=或或或2时,矩形PQNM的顶点落在抛物线上. 4.如图,已知抛物线y=x2﹣x﹣n(n>0)与x轴交于A,B两点(A点在B点的左边),与y轴交于点C. (1)如图1,若△ABC为直角三角形,求n的值; (2)如图1,在(1)的条件下,点P在抛物线上,点Q在抛物线的对称轴上,若以BC为边,以点B、C、P、Q为顶点的四边形是平行四边形,求P点的坐标; (3)如图2,过点A作直线BC的平行线交抛物线于另一点D,交y轴于点E,若AE:ED=1:4,求n的值. 【分析】(1)利用三角形相似可求AO?OB,再由一元二次方程根与系数关系求AO?OB构造方程求n; (2)求出B、C坐标,设出点Q坐标,利用平行四边形对角线互相平分性质,分类讨论点P坐标,分别代入抛物线解析式,求出Q点坐标; (3)设出点D坐标(a,b),利用相似表示OA,再由一元二次方程根与系数关系表示OB,得到点B坐标,进而找到b与a关系,代入抛物线求a、n即可. 【解答】解:(1)若△ABC为直角三角形 ∴△AOC∽△COB ∴OC2=AO?OB 当y=0时,0=x2﹣x﹣n 由一元二次方程根与系数关系 OA?OB=OC2 n2=2n 解得n=0(舍去)或n=2 ∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2 (2)由(1)当x2﹣x﹣2=0时 解得x1=﹣1,x2=4 ∴OA=1,OB=4 ∴B(4,0),C(0,﹣2) ∵抛物线对称轴为直线x=﹣ ∴设点Q坐标为(,b) 由平行四边形性质可知 当BQ、CP为平行四边形对角线时,点P坐标为(,b+2) 代入y=x2﹣x﹣2 解得b=则P点坐标为(,) 当CQ、PB为为平行四边形对角线时,点P坐标为(﹣,b﹣2) 代入y=x2﹣x﹣2 解得b=则P坐标为(﹣,), 综上点P坐标为(,)(﹣,); (3)设点D坐标为(a,b) ∵AE:ED=1:4 则OE=,OA= ∵AD∥CB ∴△AEO∽△BCO ∵OC=n ∴ ∴OB= 由一元二次方程根与系数关系 x1x2= ∴b= 将点A(﹣,0),D(a,)代入y=x2﹣x﹣n 解得a=6或a=0(舍去) 则n= 5.如图,二次函数y=x2﹣3x的图象经过O(0,0),A(4,4),B(3,0)三点,以点O为位似中心,在y轴的右侧将△OAB按相似比2:1放大,得到△OA′B′,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过O,A′,B′三点. (1)画出△OA′B′,试求二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的表达式; (2)点P(m,n)在二次函数y=x2﹣3x的图象上,m≠0,直线OP与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交于点Q(异于点O). ①求点Q的坐标(横、纵坐标均用含m的代数式表示) ②连接AP,若2AP>OQ,求m的取值范围; ③当点Q在第一象限内,过点Q作QQ′平行于x轴,与二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象交于另一点Q′,与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M,N(M在N的左侧),直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′.△Q′P′M∽△QB′N,则线段NQ的长度等于 6 . 【分析】(1)由位似求出A′、B′坐标,代入解析式即可; (2)①用m表示P的坐标及OP解析式,用m表示OP与抛物线交点Q的坐标,表示用m表示AP、OQ,代入2AP>OQ,求出m范围; ②用m表示QQ′解析式,得到P′坐标,求出M、N坐标,应用△Q′P′M∽△QB′N构造方程求m. 【解答】解:(1)由以点O为位似中心,在y轴的右侧将△OAB按相似比2:1放大,得==2 ∵A(4,4),B(3,0) ∴A′(8,8),B′(6,0) 将O(0,0),A′(8,8),B′(6,0)代入y=ax2+bx+c 得 解得 ∴二次函数的解析式为y=x2﹣3x; (2)①∵点P在y=x2﹣3x的图象上, ∴n=m2﹣3m, ∴P(m,m2﹣3m), 设直线OP的解析式为y=kx 将点P代入,得mk=m2﹣3m,解得k=m﹣3, ∴OP:y=(m﹣3)x ∵直线OP与y=x2﹣3x交于点Q ∴x2﹣3x=(m﹣3)x,解得x1=0(舍),x2=2m, ∴Q(2m,2m2﹣6m) ②∵P(m,n)在二次函数y=x2﹣3x的图象上 ∴n=m2﹣3m ∴P(m,m2﹣3m) 设直线OP的解析式为y=kx,将点P(m,m2﹣3m)代入函数解析式, 得mk=m2﹣3m ∴k=m﹣3 ∴OP的解析是为y=(m﹣3)x ∵OP与y═x2﹣3x交于Q点 ∴ 解得(不符合题意舍去) ∴Q(2m,2m2﹣6m)过点P作PC⊥x轴于点C,过点Q作QD⊥x轴于点D 则OC=|m|,PC=|m2﹣3m|,OD=|2m|,QD=|22﹣6m| ∵==2 ∴△OCP∽△ODQ ∴OQ=2OP ∵2AP>OQ ∴2AP>2OP,即AP>OP ∴> 化简,得m2﹣2m﹣4<0,解得1﹣<m<1+,且m≠0; ③P(m,m2﹣3m),Q(2m,2m2﹣6m) ∵点Q在第一象限, ∴,解得>3 由Q(2m,2m2﹣6m),得QQ′的表达式是y=2m2﹣6m ∵QQ′交y=x2﹣3x交于点Q′ 解得(不符合题意,舍) ∴Q′(6﹣2m,2m2﹣6m) 设OQ′的解析是为y=kx,(6﹣2m)k=2m2﹣6m 解得k=﹣m,OQ′的解析式为y=﹣m ∵OQ′与y=x2﹣3x交于点P′ ∴﹣mx=x2﹣3x 解得x1=0(舍),x2=3﹣m ∴P′(3﹣m,m2﹣3m) ∵QQ′与y=x2﹣3x交于点P′ ∴﹣mx=x2﹣3x 解得x1=0(舍去),x2=3﹣m ∴P′(3﹣m,m2﹣3m) ∵QQ′与y=x2﹣3x交于点M、N ∴x2﹣3x=2m2﹣6m 解得x1=,x2= ∵M在N左侧 ∴M(,2m2﹣6m) N(,2m2﹣6m) ∵△Q′P′M∽△QB′N ∴ ∵ 即 化简得m2﹣12m+27=0 解得:m1=3(舍),m2=9 ∴N(12,108),Q(18,108) ∴QN=6. 故答案为:6. 6.已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(﹣2,0),B(0、﹣4)与x轴交于另一点C,连接BC. (1)求抛物线的解析式; (2)如图,P是第一象限内抛物线上一点,且S△PBO=S△PBC,求证:AP∥BC; (3)在抛物线上是否存在点D,直线BD交x轴于点E,使△ABE与以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形相似(不重合)?若存在,请求出点D的坐标;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式; (2)令y=0求抛物线与x轴的交点C的坐标,作△POB和△PBC的高线,根据面积相等可得OE=CF,证明△OEG≌△CFG,则OG=CG=2,根据三角函数列式可得P的坐标,利用待定系数法求一次函数AP和BC的解析式,k相等则两直线平行; (3)先利用概率的知识分析A,B,C,E中的三点为顶点的三角形,有两个三角形与△ABE有可能相似,即△ABC和△BCE, ①当△ABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似,如图2,根据存在公共角∠BAE=∠BAC,可得△ABE∽△ACB,列比例式可得E的坐标,利用待定系数法求直线BE的解析式,与抛物线列方程组可得交点D的坐标; ②当△ABE与以B,C、E中的三点为顶点的三角形相似,如图3,同理可得结论. 【解答】解:(1)把点A(﹣2,0),B(0、﹣4)代入抛物线y=x2+bx+c中得: ,解得:, ∴抛物线的解析式为:y=x2﹣x﹣4; (2)当y=0时,x2﹣x﹣4=0, 解得:x=﹣2或4, ∴C(4,0), 如图1,过O作OE⊥BP于E,过C作CF⊥BP于F,设PB交x轴于G, ∵S△PBO=S△PBC, ∴, ∴OE=CF, 易得△OEG≌△CFG, ∴OG=CG=2, 设P(x,x2﹣x﹣4),过P作PM⊥y轴于M, tan∠PBM===, ∴BM=2PM, ∴4+x2﹣x﹣4=2x, x2﹣6x=0, x1=0(舍),x2=6, ∴P(6,8), 易得AP的解析式为:y=x+2, BC的解析式为:y=x﹣4, ∴AP∥BC; (3)以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形有△ABC、△ABE、△ACE、△BCE,四种,其中△ABE重合,不符合条件,△ACE不能构成三角形, ∴当△ABE与以A,B,C,E中的三点为顶点的三角形相似,存在两个三角形:△ABC和△BCE, ①当△ABE与以A,B,C中的三点为顶点的三角形相似,如图2, ∵∠BAE=∠BAC,∠ABE≠∠ABC, ∴∠ABE=∠ACB=45°, ∴△ABE∽△ACB, ∴, ∴, ∴AE=,OE=﹣2= ∴E(,0), ∵B(0,﹣4), 易得BE:y=3x﹣4, 则x2﹣x﹣4=3x﹣4, x1=0(舍),x2=8, ∴D(8,20); ②当△ABE与以B,C、E中的三点为顶点的三角形相似,如图3,此时E在C的左边, ∵∠BEA=∠BEC, ∴当∠ABE=∠BCE时,△ABE∽△BCE, ∴==, 设BE=2m,CE=4m, Rt△BOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2, ∴, 3m2﹣8m+8=0, (m﹣2)(3m﹣2)=0, m1=2,m2=, ∴OE=4m﹣4=12或, ∵OE=<2,∠AEB或∠BEC是钝角,此时△ABE与以B,C、E中的三点为顶点的三角形不相似,如图4, ∴E(﹣12,0); 同理得BE的解析式为:y=﹣x﹣4, ﹣x﹣4=x2﹣x﹣4, x=或0(舍) ∴D(,﹣); 同理可得E在C的右边时,△ABE∽△BCE, ∴=, 设AE=2m,BE=4m, Rt△BOE中,由勾股定理得:BE2=OE2+OB2, ∴, 3m2+2m﹣5=0, (m+)(3m﹣)=0, m1=﹣,m2=, ∴OE=﹣12(舍)或, ∵OE=<4,∠BEC是钝角,此时△ABE与以B,C、E中的三点为顶点的三角形不相似, 综上,点D的坐标为(8,20)或(,﹣). 7.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c交x轴于A、B两点,交y轴于点C(0,﹣),OA=1,OB=4,直线l过点A,交y轴于点D,交抛物线于点E,且满足tan∠OAD=. (1)求抛物线的解析式; (2)动点P从点B出发,沿x轴正方形以每秒2个单位长度的速度向点A运动,动点Q从点A出发,沿射线AE以每秒1个单位长度的速度向点E运动,当点P运动到点A时,点Q也停止运动,设运动时间为t秒. ①在P、Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△ADC与△PQA相似,若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. ②在P、Q的运动过程中,是否存在某一时刻t,使得△APQ与△CAQ的面积之和最大?若存在,求出t的值;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)应用待定系数法求解析式 (2)①分别用t表示△ADC、△PQA各边,应用分类讨论相似三角形比例式,求t值; ②分别用t表示△APQ与△CAQ的面积之和,讨论最大值. 【解答】解:(1)∵OA=1,OB=4 ∴A(1,0),B(﹣4,0) 设抛物线的解析式为y=a(x+4)(x﹣1) ∵点C(0,﹣)在抛物线上 ∴﹣ 解得a= ∴抛物线的解析式为y= (2)存在t,使得△ADC与△PQA相似. 理由:①在Rt△AOC中,OA=1,OC= 则tan∠ACO= ∵tan∠OAD= ∴∠OAD=∠ACO ∵直线l的解析式为y= ∴D(0,﹣) ∵点C(0,﹣) ∴CD= 由AC2=OC2+OA2,得AC= 在△AQP中,AP=AB﹣PB=5﹣2t,AQ=t 由∠PAQ=∠ACD,要使△ADC与△PQA相似 只需或 则有或 解得t1=,t2= ∵t1<2.5,t2<2.5 ∴存在t=或t=,使得△ADC与△PQA相似 ②存在t,使得△APQ与△CAQ的面积之和最大 理由:作PF⊥AQ于点F,CN⊥AQ于N 在△APF中,PF=AP?sin∠PAF= 在△AOD中,由AD2=OD2+OA2,得AD= 在△ADC中,由S△ADC= ∴CN= ∴S△AQP+S△AQC= =﹣ ∴当t=时,△APQ与△CAQ的面积之和最大. 方法二:由题意可得Q点的坐标为(,﹣t), ∴S△AQP+S△AQC=(5﹣2t)×t+(﹣)(t﹣1+1)=﹣t2+t. 可得当t=时,△APQ与△CAQ的面积之和最大. 8.如图,已知A(﹣2,0),B(4,0),抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点,并与过A点的直线y=﹣x﹣1交于点C. (1)求抛物线解析式及对称轴; (2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使四边形ACPO的周长最小?若存在,求出点P的坐标,若不存在,请说明理由; (3)点M为y轴右侧抛物线上一点,过点M作直线AC的垂线,垂足为N.问:是否存在这样的点N,使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似,若存在,求出点N的坐标,若不存在,请说明理由. 【分析】(1)由待定系数法求解即可; (2)将四边形周长最小转化为PC+PO最小即可; (3)利用相似三角形对应点进行分类讨论,构造图形.设出点N坐标,表示点M坐标代入抛物线解析式即可. 【解答】解:(1)把A(﹣2,0),B(4,0)代入抛物线y=ax2+bx﹣1,得 解得 ∴抛物线解析式为:y= ∴抛物线对称轴为直线x=﹣ (2)存在 使四边形ACPO的周长最小,只需PC+PO最小 ∴取点C(0,﹣1)关于直线x=1的对称点C′(2,﹣1),连C′O与直线x=1的交点即为P点. 设过点C′、O直线解析式为:y=kx ∴k=﹣ ∴y=﹣ 则P点坐标为(1,﹣) (3)当△AOC∽△MNC时, 如图,延长MN交y轴于点D,过点N作NE⊥y轴于点E ∵∠ACO=∠NCD,∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似,∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC ∴M、D关于AN对称,则N为DM中点 设点N坐标为(a,﹣a﹣1) 由△EDN∽△OAC ∴ED=2a ∴点D坐标为(0,﹣) ∵N为DM中点 ∴点M坐标为(2a,) 把M代入y=,解得 a=0(舍去)或a=4 ∴a=4 则N点坐标为(4,﹣3) 当△AOC∽△CNM时,∠CAO=∠NCM ∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点M 由(2)M为(2,﹣1) ∴由相似CN=,MN= 由面积法求N到MC距离为 则N点坐标为(,﹣) ∴N点坐标为(4,﹣3)或(,﹣) 9.如图1,抛物线的顶点A的坐标为(1,4),抛物线与x轴相交于B、C两点,与y轴交于点E(0,3). (1)求抛物线的表达式; (2)已知点F(0,﹣3),在抛物线的对称轴上是否存在一点G,使得EG+FG最小,如果存在,求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由. (3)如图2,连接AB,若点P是线段OE上的一动点,过点P作线段AB的垂线,分别与线段AB、抛物线相交于点M、N(点M、N都在抛物线对称轴的右侧),当MN最大时,求△PON的面积. 【分析】(1)根据顶点式可求得抛物线的表达式; (2)根据轴对称的最短路径问题,作E关于对称轴的对称点E',连接E'F交对称轴于G,此时EG+FG的值最小,先求E'F的解析式,它与对称轴的交点就是所求的点G; (3)如图2,先利用待定系数法求AB的解析式为:y=﹣2x+6,设N(m,﹣m2+2m+3),则Q(m,﹣2m+6),(0≤m≤3),表示NQ=﹣m2+4m﹣3,证明△QMN∽△ADB,列比例式可得MN的表达式,根据配方法可得当m=2时,MN有最大值,证明△NGP∽△ADB,同理得PG的长,从而得OP的长,根据三角形的面积公式可得结论,并将m=2代入计算即可. 【解答】解:(1)设抛物线的表达式为:y=a(x﹣1)2+4, 把(0,3)代入得:3=a(0﹣1)2+4, a=﹣1, ∴抛物线的表达式为:y=﹣(x﹣1)2+4=﹣x2+2x+3; (2)存在, 如图1,作E关于对称轴的对称点E',连接E'F交对称轴于G,此时EG+FG的值最小, ∵E(0,3), ∴E'(2,3), 易得E'F的解析式为:y=3x﹣3, 当x=1时,y=3×1﹣3=0, ∴G(1,0) (3)如图2,∵A(1,4),B(3,0), 易得AB的解析式为:y=﹣2x+6, 过N作NH⊥x轴于H,交AB于Q, 设N(m,﹣m2+2m+3),则Q(m,﹣2m+6),(1<m<3), ∴NQ=(﹣m2+2m+3)﹣(﹣2m+6)=﹣m2+4m﹣3, ∵AD∥NH, ∴∠DAB=∠NQM, ∵∠ADB=∠QMN=90°, ∴△QMN∽△ADB, ∴, ∴, ∴MN=﹣(m﹣2)2+, ∵﹣<0, ∴当m=2时,MN有最大值; 过N作NG⊥y轴于G, ∵∠GPN=∠ABD,∠NGP=∠ADB=90°, ∴△NGP∽△ADB, ∴==, ∴PG=NG=m, ∴OP=OG﹣PG=﹣m2+2m+3﹣m=﹣m2+m+3, ∴S△PON=OP?GN=(﹣m2+m+3)?m, 当m=2时,S△PON=×2(﹣4+3+3)=2. (方法2:根据m的值计算N的坐标为(2,3),与E是对称点,连接EN,同理得:EP=EN=1,则OP=2,根据面积公式可得结论). 10.如图,已知二次函数y=ax2﹣5x+c(a>0)的图象与x轴相交于不同的两点A(x1,0),B(x2,0),且x1<x2, (1)若抛物线的对称轴为x=,求a的值; (2)若a=15,求c的取值范围; (3)若该抛物线与y轴相交于点D,连接BD,且∠OBD=60°,抛物线的对称轴l与x轴相交于点E,点F是直线l上的一点,点F的纵坐标为3+,连接AF,满足∠ADB=∠AFE,求该二次函数的解析式. 【分析】(1)根据抛物线的对称轴公式代入可得a的值; (2)根据已知得:抛物线与x轴有两个交点,则△>0,列不等式可得c的取值范围; (3)本题介绍两种解法: 解法一:根据60°的正切表示点B的坐标,把点B的坐标代入抛物线的解析式中得:ac=12,则c=,从而得A和B的坐标,表示F的坐标,作辅助线,构建直角△ADG,根据已知的角相等可得△ADG∽△AFE,列比例式得方程可得a和c的值. 解法二:利用四点共圆和根与系数的关系,建立方程可得结论. 【解答】解:(1)抛物线的对称轴是:x=﹣=﹣=,解得:a=; (2)由题意得二次函数解析式为:y=15x2﹣5+c, ∵二次函数与x轴有两个交点, ∴△>0, ∴△=b2﹣4ac=﹣4×15c, ∴c<; (3)解法一:∵∠BOD=90°,∠DBO=60°, ∴tan60°===, ∴OB=c, ∴B(c,0), 把B(c,0)代入y=ax2﹣5x+c中得:5+c=0, ﹣5c+c=0, ∵c≠0, ∴ac=12, ∴c=, 把c=代入y=ax2﹣5x+c中得: y=a(x2﹣+)=a(x﹣)(x﹣), ∴x1=,x2=, ∴A(,0),B(,0),D(0,), ∴AB=﹣=,AE=, ∵F的纵坐标为3+, ∴F(,), 过点A作AG⊥DB于G, ∴BG=AB=AE=,AG=, DG=DB﹣BG=﹣=, ∵∠ADB=∠AFE,∠AGD=∠FEA=90°, ∴△ADG∽△AFE, ∴, ∴=, ∴a=2,c=6, ∴y=2x2﹣5x+6; 解法二:Rt△DOB中,∠OBD=60°, tan∠OBD=,tan60°=, OB=c, ∴B(c,0), 把B(c,0)代入二次函数y=ax2﹣5x+c中, a﹣5c+c=0, ∵c≠0, ac=12, c=, ∴B(,0), ∴y=ax2﹣5x+, ∴x1+=,x1=, ∴A(,0), ∴E(,0), ∴F(,3+), 连接DF, ∵∠AFE=∠ADB, ∴A、B、D三点在以点F圆心的圆上, ∴DF=AF, ∵D(0,), 由勾股定理得:, 解得:a=2, ∴c=6, ∴y=2x2﹣5x+6;. 11.如图①,已知抛物线y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,3)、B(1,0),其对称轴为直线l:x=2,过点A作AC∥x轴交抛物线于点C,∠AOB的平分线交线段AC于点E,点P是抛物线上的一个动点,设其横坐标为m. (1)求抛物线的解析式; (2)若动点P在直线OE下方的抛物线上,连结PE、PO,当m为何值时,四边形AOPE面积最大,并求出其最大值; (3)如图②,F是抛物线的对称轴l上的一点,在抛物线上是否存在点P使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,直接写出所有符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)利用对称性可得点D的坐标,利用交点式可得抛物线的解析式; (2)设P(m,m2﹣4m+3),根据OE的解析式表示点G的坐标,表示PG的长,根据面积和可得四边形AOPE的面积,利用配方法可得其最大值; (3)存在四种情况: 如图3,作辅助线,构建全等三角形,证明△OMP≌△PNF,根据|OM|=|PN|,列方程可得点P的坐标;同理可得其他图形中点P的坐标. 【解答】解:(1)如图1,设抛物线与x轴的另一个交点为D, 由对称性得:D(3,0), 设抛物线的解析式为:y=a(x﹣1)(x﹣3), 把A(0,3)代入得:3=3a, a=1, ∴抛物线的解析式;y=x2﹣4x+3; (2)如图2,∵△AOE的面积是定值,所以当△OEP面积最大时,四边形AOPE面积最大, 设P(m,m2﹣4m+3), ∵OE平分∠AOB,∠AOB=90°, ∴∠AOE=45°, ∴△AOE是等腰直角三角形, ∴AE=OA=3, ∴E(3,3), 易得OE的解析式为:y=x, 过P作PG∥y轴,交OE于点G, ∴G(m,m), ∴PG=m﹣(m2﹣4m+3)=﹣m2+5m﹣3, ∴S四边形AOPE=S△AOE+S△POE, =×3×3+PG?AE, =+×3×(﹣m2+5m﹣3), =﹣+, =﹣(m﹣)2+, ∵﹣<0, ∴当m=时,S有最大值是; (3)分四种情况: ①当P在对称轴的左边,且在x轴下方时,如图3,过P作MN⊥y轴,交y轴于M,交l于N, ∵△OPF是等腰直角三角形,且OP=PF, 易得△OMP≌△PNF, ∴OM=PN, ∵P(m,m2﹣4m+3), 则﹣m2+4m﹣3=2﹣m, 解得:m=(舍)或, ∴P的坐标为(,); ②当P在对称轴的左边,且在x轴上方时,如图3, 同理得:2﹣m=m2﹣4m+3, 解得:m1=(舍)或m2=, ③当P在对称轴的右边,且在x轴下方时, 如图4,过P作MN⊥x轴于N,过F作FM⊥MN于M, 同理得△ONP≌△PMF, ∴PN=FM, 则﹣m2+4m﹣3=m﹣2, 解得:x=或(舍); P的坐标为(,); ④当P在对称轴的右边,且在x轴上方时, 同理得m2﹣4m+3=m﹣2, 解得:m=或(舍) P的坐标为:(,); 综上所述,点P的坐标是:(,)或(,)或(,)或(,). 12.如图,在平面直角坐标系中,二次函数y=ax2+bx+c交x轴于点A(﹣4,0)、B(2,0),交y轴于点C(0,6),在y轴上有一点E(0,﹣2),连接AE. (1)求二次函数的表达式; (2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点,求△ADE面积的最大值; (3)抛物线对称轴上是否存在点P,使△AEP为等腰三角形?若存在,请直接写出所有P点的坐标,若不存在请说明理由. 【分析】(1)把已知点坐标代入函数解析式,得出方程组求解即可; (2)根据函数解析式设出点D坐标,过点D作DG⊥x轴于G,交AE于点F,表示△ADE的面积,运用二次函数分析最值即可; (3)设出点P坐标,分PA=PE,PA=AE,PE=AE三种情况讨论分析即可. 【解答】解:(1)∵二次函数y=ax2+bx+c经过点A(﹣4,0)、B(2,0),C(0,6), ∴, 解得,, 所以二次函数的解析式为:y=, (2)由A(﹣4,0),E(0,﹣2),可求AE所在直线解析式为y=, 过点D作DG⊥x轴于G,交AE于点F,交x轴于点G,过点E作EH⊥DF,垂足为H,如图 设D(m,),则点F(m,), ∴DF=﹣()=, ∴S△ADE=S△ADF+S△EDF=×DF×AG+DF×EH =×DF×(AG+EH) =×4×DF =2×() =, ∴当m=时,△ADE的面积取得最大值为. (3)y=的对称轴为x=﹣1, 设P(﹣1,n),又E(0,﹣2),A(﹣4,0), 可求PA2=9+n2,PE2=1+,AE2=16+4=20, 当PA2=PE2时,9+n2=1+, 解得,n=1,此时P(﹣1,1); 当PA2=AE2时,9+n2=20, 解得,n=,此时点P坐标为(﹣1,); 当PE2=AE2时,1+=20, 解得,n=﹣2,此时点P坐标为:(﹣1,﹣2). 综上所述, P点的坐标为:(﹣1,1),(﹣1,),(﹣1,﹣2). 13.如图,在平面直角坐标系中,∠ACB=90°,OC=2OB,tan∠ABC=2,点B的坐标为(1,0).抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点. (1)求抛物线的解析式; (2)点P是直线AB上方抛物线上的一点,过点P作PD垂直x轴于点D,交线段AB于点E,使PE=DE. ①求点P的坐标; ②在直线PD上是否存在点M,使△ABM为直角三角形?若存在,求出符合条件的所有点M的坐标;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)先根据已知求点A的坐标,利用待定系数法求二次函数的解析式; (2)①先得AB的解析式为:y=﹣2x+2,根据PD⊥x轴,设P(x,﹣x2﹣3x+4),则E(x,﹣2x+2),根据PE=DE,列方程可得P的坐标; ②先设点M的坐标,根据两点距离公式可得AB,AM,BM的长,分三种情况:△ABM为直角三角形时,分别以A、B、M为直角顶点时,利用勾股定理列方程可得点M的坐标. 【解答】解:(1)∵B(1,0), ∴OB=1, ∵OC=2OB=2, ∴C(﹣2,0), Rt△ABC中,tan∠ABC=2, ∴, ∴, ∴AC=6, ∴A(﹣2,6), 把A(﹣2,6)和B(1,0)代入y=﹣x2+bx+c得:, 解得:, ∴抛物线的解析式为:y=﹣x2﹣3x+4; (2)①∵A(﹣2,6),B(1,0), 易得AB的解析式为:y=﹣2x+2, 设P(x,﹣x2﹣3x+4),则E(x,﹣2x+2), ∵PE=DE, ∴﹣x2﹣3x+4﹣(﹣2x+2)=(﹣2x+2), x=1(舍)或﹣1, ∴P(﹣1,6); ②∵M在直线PD上,且P(﹣1,6), 设M(﹣1,y), ∴AM2=(﹣1+2)2+(y﹣6)2=1+(y﹣6)2, BM2=(1+1)2+y2=4+y2, AB2=(1+2)2+62=45, 分三种情况: i)当∠AMB=90°时,有AM2+BM2=AB2, ∴1+(y﹣6)2+4+y2=45, 解得:y=3, ∴M(﹣1,3+)或(﹣1,3﹣); ii)当∠ABM=90°时,有AB2+BM2=AM2, ∴45+4+y2=1+(y﹣6)2, y=﹣1, ∴M(﹣1,﹣1), iii)当∠BAM=90°时,有AM2+AB2=BM2, ∴1+(y﹣6)2+45=4+y2, y=, ∴M(﹣1,); 综上所述,点M的坐标为:∴M(﹣1,3+)或(﹣1,3﹣)或(﹣1,﹣1)或(﹣1,). 14.如图,在平面直角坐标系xOy中,以直线x=对称轴的抛物线y=ax2+bx+c与直线l:y=kx+m(k>0)交于A(1,1),B两点,与y轴交于C(0,5),直线l与y轴交于点D. (1)求抛物线的函数表达式; (2)设直线l与抛物线的对称轴的交点为F,G是抛物线上位于对称轴右侧的一点,若=,且△BCG与△BCD面积相等,求点G的坐标; (3)若在x轴上有且仅有一点P,使∠APB=90°,求k的值. 【分析】(1)根据已知列出方程组求解即可; (2)作AM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足分别为M,N,求出直线l的解析式,再分两种情况分别分析出G点坐标即可; (3)根据题意分析得出以AB为直径的圆与x轴只有一个交点,且P为切点,P为MN的中点,运用三角形相似建立等量关系列出方程求解即可. 【解答】解:(1)由题意可得, 解得a=1,b=﹣5,c=5; ∴二次函数的解析式为:y=x2﹣5x+5, (2)作AM⊥x轴,BN⊥x轴,垂足分别为M,N,设对称轴交x轴于Q. 则, ∵MQ=, ∴NQ=2,B(,); ∴, 解得, ∴,D(0,), 同理可求,, ∵S△BCD=S△BCG, ∴①DG∥BC(G在BC下方),, ∴=x2﹣5x+5, 解得,,x2=3, ∵x>, ∴x=3, ∴G(3,﹣1). ②G在BC上方时,直线G2G3与DG1关于BC对称, ∴=, ∴=x2﹣5x+5, 解得,, ∵x>, ∴x=, ∴G(,), 综上所述点G的坐标为G(3,﹣1),G(,). (3)由题意可知:k+m=1, ∴m=1﹣k, ∴yl=kx+1﹣k, ∴kx+1﹣k=x2﹣5x+5, 解得x1=1,x2=k+4, ∴B(k+4,k2+3k+1), 设AB中点为O′, ∵P点有且只有一个, ∴以AB为直径的圆与x轴只有一个交点,且P为切点, ∴O′P⊥x轴, ∴P为MN的中点, ∴P(,0), ∵△AMP∽△PNB, ∴, ∴AM?BN=PN?PM, ∴1×(k2+3k+1)=(k+4﹣)(), ∵k>0, ∴k==﹣1+. 15.如图,在平面直角坐标系xOy中,直线y=2x+4与y轴交于A点,与x轴交于B点,抛物线C1:y=﹣x2+bx+c过A、B两点,与x轴另一交点为C. (1)求抛物线解析式及C点坐标. (2)向右平移抛物线C1,使平移后的抛物线C2恰好经过△ABC的外心,抛物线C1、C2相交于点D,求四边形AOCD的面积. (3)已知抛物线C2的顶点为M,设P为抛物线C1对称轴上一点,Q为抛物线C1上一点,是否存在以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形?若存在,直接写出P点坐标;不存在,请说明理由. 【分析】(1)先根据直线y=2x+4,求得点A和点B的坐标,再根据抛物线C1过A、B两点,运用待定系数法即可求得抛物线解析式,最后令y=0,求得C点坐标; (2)先证明△ABC是直角三角形,求得△ABC的斜边BC的中点E的坐标,再结合F点坐标求得抛物线C2的解析式,再联立方程组并解出交点D的坐标,最后根据S四边形AOCD=S△AOD+S△OCD,即可得出四边形AOCD的面积; (3)根据以点M、Q、P、B为顶点的四边形为平行四边形,分情况讨论可能的情形,根据平行四边形顶点的位置即可得出P点坐标. 【解答】解:(1)∵直线y=2x+4与y轴交于A点,与x轴交于B点, ∴令x=0,可得y=4,则点A的坐标为A(0,4), 令y=0,可得x=﹣2,则点B的坐标为(﹣2,0), 将A(0,4),B(﹣2,0)代入y=﹣x2+bx+c, 可得 解得 ∴抛物线C1的解析式为:y=﹣x2+x+4, 令y=0,则﹣x2+x+4=0, 解得x=8, ∴C点坐标为C(8,0); (2)如图1,连接AC, 由(1)知,C(8,0),A(0,4),B(﹣2,0), ∴AC2=AO2+OC2=80,AB2=AO2+OB2=20,BC2=102=100, ∴BC2=AC2+AB2, ∴△ABC是直角三角形. 设△ABC的斜边BC的中点为E,则CE=×(8+2)=5, ∴OE=CO﹣CE=3 ∴△ABC的斜边BC的中点E的坐标为(3,0), ∵抛物线C2恰好经过△ABC的外心,E为△ABC的外心, ∴OF=3+10=13,即F(13,0), 由E(3,0),F(13,0),得抛物线C2:y=﹣(x﹣3)(x﹣13)=﹣x2+4x﹣, 联立方程组, 解得,即D(,), 如图2,连接AD,OD,CD,则 S四边形AOCD=S△AOD+S△OCD=×4×+×8×=, ∴四边形AOCD的面积为; (3)存在.点P的坐标为(3,0)或(3,﹣)或(3,﹣25). 分3种情况: ①如图,当四边形BPMQ为平行四边形时,BP∥QM,BP=QM, ∵抛物线C1中,Q(3,),抛物线C2中,M(8,) ∴由平移方向可得QM∥x轴,QM=5=BE, ∴BP与x轴重合, ∴点P与点E重合,即P(3,0); ②如图,当四边形BQPM为平行四边形时,PQ∥MB, ∵根据点M与点P的位置可知,点M与点P的水平距离为8﹣3=5, ∴点Q与点B的水平距离为5,即点Q的横坐标为﹣7, 在抛物线C1中,当x=﹣7时,y=﹣,即Q(﹣7,﹣), ∵根据点M与点B的位置可知,点M与点B的铅垂距离为, ∴点Q与点P的铅垂距离为,即点P离y轴的距离为﹣=, ∴P(3,﹣); ③如图,当四边形PQMB为平行四边形时,PQ∥BM, ∵根据点B与点P的位置可知,点B与点P的水平距离为3﹣(﹣2)=5, ∴点Q与点M的水平距离为5,即点Q的横坐标为8+5=13, 在抛物线C1中,当x=13时,y=﹣,即Q(13,﹣), ∵根据点M与点Q的位置可知,点M与点Q的铅垂距离为﹣(﹣)=25, ∴点B与点P的铅垂距离为25,即点P离y轴的距离为25, ∴P(3,﹣25). 16.如图,抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)经过点A(﹣1,0),B(5,﹣6),C(6,0). (1)求抛物线的解析式; (2)如图,在直线AB下方的抛物线上是否存在点P使四边形PACB的面积最大?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由; (3)若点Q为抛物线的对称轴上的一个动点,试指出△QAB为等腰三角形的点Q一共有几个?并请求出其中某一个点Q的坐标. 【分析】(1)抛物线经过点A(﹣1,0),B(5,﹣6),C(6,0),可利用两点式法设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣6),代入B(5,﹣6)即可求得函数的解析式; (2)作辅助线,将四边形PACB分成三个图形,两个三角形和一个梯形,设P(m,m2﹣5m﹣6),四边形PACB的面积为S,用字母m表示出四边形PACB的面积S,发现是一个二次函数,利用顶点坐标求极值,从而求出点P的坐标. (3)分三种情况画图:①以A为圆心,AB为半径画弧,交对称轴于Q1和Q4,有两个符合条件的Q1和Q4;②以B为圆心,以BA为半径画弧,也有两个符合条件的Q2和Q5;③作AB的垂直平分线交对称轴于一点Q3,有一个符合条件的Q3;最后利用等腰三角形的腰相等,利用勾股定理列方程求出Q3坐标. 【解答】解:(1)设y=a(x+1)(x﹣6)(a≠0), 把B(5,﹣6)代入:a(5+1)(5﹣6)=﹣6, a=1, ∴y=(x+1)(x﹣6)=x2﹣5x﹣6; (2)存在, 如图1,分别过P、B向x轴作垂线PM和BN,垂足分别为M、N, 设P(m,m2﹣5m﹣6),四边形PACB的面积为S, 则PM=﹣m2+5m+6,AM=m+1,MN=5﹣m,CN=6﹣5=1,BN=5, ∴S=S△AMP+S梯形PMNB+S△BNC, =(﹣m2+5m+6)(m+1)+(6﹣m2+5m+6)(5﹣m)+×1×6, =﹣3m2+12m+36, =﹣3(m﹣2)2+48, 当m=2时,S有最大值为48,这时m2﹣5m﹣6=22﹣5×2﹣6=﹣12, ∴P(2,﹣12), (3)这样的Q点一共有5个, ①以A为圆心,以AB为半径画弧,交抛物线的对称轴于Q1、Q4,则AQ1=AQ4=AB, 设对称轴交x轴于E, y=x2﹣5x﹣6=(x﹣)2﹣; ∴抛物线的对称轴是:x=, ∵A(﹣1,0),B(5,﹣6), ∴AB==6, ∴AE=+1=, 由勾股定理得:Q1E=Q4E==, ∴Q1(,),Q4(,﹣) ②以B为圆心,以AB为半径画弧,交抛物线的对称轴于Q2、Q5, ∴Q2E=Q5E=AB=6, 过B作BF⊥Q1Q5于F,则Q2F=Q5F, ∵B(5,﹣6), ∴BF=, 由勾股定理得:Q2F==, ∴Q5E=+6=, ∴Q5(,﹣), ∵Q2E=﹣6=, ∴Q2(,), ③连接Q3A、Q3B, 因为Q3在对称轴上,所以设Q3(,y), ∵△Q3AB是等腰三角形,且Q3A=Q3B, 由勾股定理得:(+1)2+y2=(﹣5)2+(y+6)2, y=﹣, ∴Q3(,﹣). 综上所述,点Q的坐标为:∴Q1(,),Q2(,),Q3(,﹣),Q4(,﹣),Q5(,﹣), 17.如图,抛物线与x轴交于点A(﹣,0)、点B(2,0),与y轴交于点C(0,1),连接BC. (1)求抛物线的函数关系式; (2)点N为抛物线上的一个动点,过点N作NP⊥x轴于点P,设点N的横坐标为t(﹣<t<2),求△ABN的面积S与t的函数关系式; (3)若﹣<t<2且t≠0时△OPN∽△COB,求点N的坐标. 【分析】(1)可设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,然后只需运用待定系数法就可解决问题; (2)当﹣<t<2时,点N在x轴的上方,则NP等于点N的纵坐标,只需求出AB,就可得到S与t的函数关系式; (3)根据相似三角形的性质可得PN=2PO.由于PO=,需分﹣<t<0和0<t<2两种情况讨论,由PN=2PO得到关于t的方程,解这个方程,就可解决问题. 【解答】解:(1)设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,由题可得: , 解得:, ∴抛物线的函数关系式为y=﹣x2+x+1; (2)当﹣<t<2时,yN>0, ∴NP=|yN|=yN=﹣t2+t+1, ∴S=AB?PN =×(2+)×(﹣t2+t+1) =(﹣t2+t+1) =﹣t2+t+; (3)∵△OPN∽△COB, ∴=, ∴=, ∴PN=2PO. ①当﹣<t<0时,PN==yN=﹣t2+t+1,PO==﹣t, ∴﹣t2+t+1=﹣2t, 整理得:3t2﹣9t﹣2=0, 解得:t1=,t2=. ∵>0,﹣<<0, ∴t=,此时点N的坐标为(,); ②当0<t<2时,PN==yN=﹣t2+t+1,PO==t, ∴﹣t2+t+1=2t, 整理得:3t2﹣t﹣2=0, 解得:t3=﹣,t4=1. ∵﹣<0,0<1<2, ∴t=1,此时点N的坐标为(1,2). 综上所述:点N的坐标为(,)或(1,2). 18.如图1,在平面直角坐标系中,二次函数y=﹣x2+12的图象与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点(点B在点C的左侧),连接AB,AC. (1)点B的坐标为 (﹣9,0) ,点C的坐标为 (9,0) ; (2)过点C作射线CD∥AB,点M是线段AB上的动点,点P是线段AC上的动点,且始终满足BM=AP(点M不与点A,点B重合),过点M作MN∥BC分别交AC于点Q,交射线CD于点N (点 Q不与点P重合),连接PM,PN,设线段AP的长为n. ①如图2,当n<AC时,求证:△PAM≌△NCP; ②直接用含n的代数式表示线段PQ的长; ③若PM的长为,当二次函数y=﹣x2+12的图象经过平移同时过点P和点N时,请直接写出此时的二次函数表达式. 【分析】(1)由二次函数y=﹣x2+12的图象与y轴交于点A,与x轴交于B,C两点,代入y=0,即可解出B,C坐标. (2)①求证三角形全等.易发现由平行可得对应角相等,由平行四边形对边相等及已知BM=AP,可得对应角的两个邻边对应相等,则利用SAS得证. ②上问中以提示n<AC,则我们可以分n<AC,n=AC,n>AC三种情形讨论.又已得△PAM≌△NCP,顺推易得PQ与n的关系. ③上问中已得当n<AC时,PQ=15﹣2n;当n>AC时,PQ=2n﹣15,则也要分两种情形讨论,易得两种情形的P,N.由图象为二次函数y=﹣x2+12平移后的图形,所以可设解析式为y=﹣(x+k)2+12+h,代入即得. 【解答】(1)答:(﹣9,0),(9,0). 解:B、C为抛物线与x轴的交点,故代入y=0,得y=﹣x2+12=0, 解得 x=﹣9或x=9, 即B(﹣9,0),C(9,0). (2)①证明:∵AB∥CN, ∴∠MAP=∠PCN, ∵MN∥BC, ∴四边形MBCN为平行四边形, ∴BM=CN, ∵AP=BM, ∴AP=CN, ∵BO=OC,OA⊥BC, ∴OA垂直平分BC, ∴AB=AC, ∴AM=AB﹣BM=AC﹣AP=CP. 在△PAM和△NCP中, , ∴△PAM≌△NCP(SAS). ②解:1.当n<AC时,如图1, , ∵四边形MBCN为平行四边形, ∴∠MBC=∠QNC, ∵AB=AC,MN∥BC, ∴∠MBC=∠QCB=∠NQC, ∴∠NQC=∠QNC, ∴CN=CQ, ∵△MAP≌△PCN, ∴AP=CN=CQ, ∵AP=n,AC===15, ∴PQ=AC﹣AP﹣QC=15﹣2n. 2.当n=AC时,显然P、Q重合,不符合题意. 3.当n>AC时,如图2, ∵四边形MBCN为平行四边形, ∴∠MBC=∠QNC,BM=CN ∵AB=AC,MN∥BC, ∴∠MBC=∠QCB=∠NQC, ∴∠NQC=∠QNC, ∴BM=CN=CQ, ∵AP=BM, ∴AP=CQ, ∵AP=n,AC=15, ∴PQ=AP+QC﹣AC=2n﹣15. 综上所述,当n<AC时,PQ=15﹣2n;当n>AC时,PQ=2n﹣15. ③或. 分析如下: 1.当n<AC时,如图3,过点P作x轴的垂线,交MN于E,交BC于F. 此时△PEQ∽△PFC∽△AOC,PQ=15﹣2n. ∵PM=PN, ∴ME=EN=MN=BC=9, ∴PE===4, ∵OC:OA:AC=3:4:5,△PEQ∽△PFC∽△AOC, ∴PQ=5, ∴15﹣2n=5, ∴AP=n=5, ∴PC=10, ∴FC=6,PF=8, ∵OF=OC﹣FC=9﹣6=3,EN=9,EF=PF﹣PE=8﹣4=4, ∴P(3,8),N(12,4). 设二次函数y=﹣x2+12平移后的解析式为y=﹣(x+k)2+12+h, ∴, 解得 , ∴y=﹣(x﹣6)2+12﹣=﹣x2+x+4. 2.当n>AC时,如图4,过点P作x轴的垂线,交MN于E,交BC于F. 此时△PEQ∽△PFC∽△AOC,PQ=2n﹣15. ∵PM=PN, ∴ME=EN=MN=BC=9, ∴PE===4, ∵OC:OA:AC=3:4:5,△PEQ∽△PFC∽△AOC, ∴PQ=5, ∴2n﹣15=5, ∴AP=n=10, ∴PC=5, ∴FC=3,PF=4, ∵OF=OC﹣FC=9﹣3=6,EN=9,EF=PF+PE=4+4=8, ∴P(6,4),N(15,8). 设二次函数y=﹣x2+12平移后的解析式为y=﹣(x+k)2+12+h, ∴, 解得 , ∴y=﹣(x﹣12)2+12﹣=﹣x2+x﹣12. 19.如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+4与x轴的一个交点为A(﹣2,0),与y轴的交点为C,对称轴是x=3,对称轴与x轴交于点B. (1)求抛物线的函数表达式; (2)经过B,C的直线l平移后与抛物线交于点M,与x轴交于点N,当以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形时,求出点M的坐标; (3)若点D在x轴上,在抛物线上是否存在点P,使得△PBD≌△PBC?若存在,直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由. 【分析】(1)解析式已存在,y=ax2+bx+4,我们只需要根据特点描述求出a,b即可.由对称轴为﹣,又过点A(﹣2,0),所以函数表达式易得. (2)四边形BCMN为平行四边形,则必定对边平行且相等.因为已知MN∥BC,所以MN=BC,即M、N的位置如B、C位置关系,则可分2种情形,①N点在M点右下方,即M向下平移4个单位,向右平移3个单位与N重合. ②M点在N右下方,即N向下平移4个单位,向右平移3个单位与M重合.因为M在抛物线,可设坐标为(x,﹣x2+x+4),易得N坐标.由N在x轴上,所以其纵坐标为0,则可得关于x的方程,进而求出x,求出M的坐标. (3)使△PBD≌△PBC,易考虑∠CBD的平分线与抛物线的交点.确定平分线可因为BC=BD,可作等腰△BCD,利用三线合一,求其中线所在方程,进而与抛物线联立得方程组,解出P即可. 【解答】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A(﹣2,0), ∴0=4a﹣2b+4, ∵对称轴是x=3, ∴﹣=3,即6a+b=0, 两关于a、b的方程联立解得 a=﹣,b=, ∴抛物线为y=﹣x2+x+4. (2)如图1所示, ∵四边形为平行四边形,且BC∥MN, ∴BC=MN. ①N点在M点下方,即M向下平移4个单位,向右平移3个单位与N重合. 设M1(x,﹣x2+x+4),则N1(x+3,﹣x2+x), ∵N1在x轴上, ∴﹣x2+x=0, 解得 x=0(M与C重合,舍去),或x=6, ∴xM=6, ∴M1(6,4). ②M点在N点右下方,即N向下平移4个单位,向右平移3个单位与M重合. 设M(x,﹣x2+x+4),则N(x﹣3,﹣x2+x+8), ∵N在x轴上, ∴﹣x2+x+8=0, 解得 x=3﹣,或x=3+, ∴xM=3﹣,或3+. ∴M2(3﹣,﹣4)或M3(3+,﹣4) 综上所述,M的坐标为(6,4)或(3﹣,﹣4)或(3+,﹣4). (3)∵OC=4,OB=3, ∴BC=5. 如果△PBD≌△PBC,那么BD=BC=5, ∵D在x轴上, ∴D为(﹣2,0)或(8,0). ①当D为(﹣2,0)时,连接CD,过B作直线BE平分∠DBC交CD于E,交抛物线于P1,P2,连接P2C、P2D,如图2所示, 此时△P1BC≌△P1BD,△P2BC≌△P2BD, ∵BC=BD, ∴E为CD的中点,即E(﹣1,2), 设过E(﹣1,2),B(3,0)的直线为y=kx+b,则 , 解得 , ∴BE:y=﹣x+. 设P(x,y),则有, 解得 ,或, 则P1(4+,),P2(4﹣,). ②当D为(8,0)时,连接CD,过B作直线BF平分∠DBC交CD于F,交抛物线于P3,P4,如图3所示, 此时△P3BC≌△P3BD,△P4BC≌△P4BD, ∵BC=BD, ∴F为CD的中点,即F(4,2), 设过F(4,2),B(3,0)的直线为y=kx+b,则, 解得 , ∴BF:y=2x﹣6. 设P(x,y),则有, 解得 或 , 则P3(﹣1+,﹣8+2),P4(﹣1﹣,﹣8﹣2). 综上所述,点P的坐标为(4+,)或(4﹣,)或(﹣1+,﹣8+2)或(﹣1﹣,﹣8﹣2). 20.如图,二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0),与y轴交于点C.若点P,Q同时从A点出发,都以每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC边运动,其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动. (1)求该二次函数的解析式及点C的坐标; (2)当点P运动到B点时,点Q停止运动,这时,在x轴上是否存在点E,使得以A,E,Q为顶点的三角形为等腰三角形?若存在,请求出E点坐标;若不存在,请说明理由. (3)当P,Q运动到t秒时,△APQ沿PQ翻折,点A恰好落在抛物线上D点处,请判定此时四边形APDQ的形状,并求出D点坐标. 【分析】(1)将A,B点坐标代入函数y=x2+bx+c中,求得b、c,进而可求解析式及C坐标. (2)等腰三角形有三种情况,AE=EQ,AQ=EQ,AE=AQ.借助垂直平分线,画圆易得E大致位置,设边长为x,表示其他边后利用勾股定理易得E坐标. (3)注意到P,Q运动速度相同,则△APQ运动时都为等腰三角形,又由A、D对称,则AP=DP,AQ=DQ,易得四边形四边都相等,即菱形.利用菱形对边平行且相等等性质可用t表示D点坐标,又D在E函数上,所以代入即可求t,进而D可表示. 【解答】方法(1): 解:(1)∵二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A(3,0),B(﹣1,0), ∴, 解得 , ∴y=x2﹣x﹣4. ∴C(0,﹣4). (2)存在. 如图1,过点Q作QD⊥OA于D,此时QD∥OC, ∵A(3,0),B(﹣1,0),C(0,﹣4),O(0,0), ∴AB=4,OA=3,OC=4, ∴AC==5, ∵当点P运动到B点时,点Q停止运动,AB=4, ∴AQ=4. ∵QD∥OC, ∴, ∴, ∴QD=,AD=. ①作AQ的垂直平分线,交AO于E,此时AE=EQ,即△AEQ为等腰三角形, 设AE=x,则EQ=x,DE=AD﹣AE=|﹣x|, ∴在Rt△EDQ中,(﹣x)2+()2=x2,解得 x=, ∴OA﹣AE=3﹣=﹣, ∴E(﹣,0), 说明点E在x轴的负半轴上; ②以Q为圆心,AQ长半径画圆,交x轴于E,此时QE=QA=4, ∵ED=AD=, ∴AE=, ∴OA﹣AE=3﹣=﹣, ∴E(﹣,0). ③当AE=AQ=4时, 1.当E在A点左边时, ∵OA﹣AE=3﹣4=﹣1, ∴E(﹣1,0). 2.当E在A点右边时, ∵OA+AE=3+4=7, ∴E(7,0). 综上所述,存在满足条件的点E,点E的坐标为(﹣,0)或(﹣,0)或(﹣1,0)或(7,0). (3)四边形APDQ为菱形,D点坐标为(﹣,﹣).理由如下: 如图2,D点关于PQ与A点对称,过点Q作,FQ⊥AP于F, ∵AP=AQ=t,AP=DP,AQ=DQ, ∴AP=AQ=QD=DP, ∴四边形AQDP为菱形, ∵FQ∥OC, ∴, ∴, ∴AF=,FQ=, ∴Q(3﹣,﹣), ∵DQ=AP=t, ∴D(3﹣﹣t,﹣), ∵D在二次函数y=x2﹣x﹣4上, ∴﹣=(3﹣t)2﹣(3﹣t)﹣4, ∴t=,或t=0(与A重合,舍去), ∴D(﹣,﹣). 方法二: (1)略. (2)∵点P、Q同时从A点出发,都已每秒1个单位长度的速度分别沿AB,AC运动.过点Q作x轴垂线,垂足为H. ∵A(3,0),C(0,4), ∴lAC:y=x﹣4, ∵点P运动到B点时,点Q停止运动, ∴AP=AQ=4, ∴QH=,Qy=﹣, 代入LAC:y=x﹣4得,Qx=,则Q(,﹣), ∵点E在x轴上, ∴设E(a,0), ∵A(3,0),Q(,﹣),△AEQ为等腰三角形, ∴AE=EQ,AE=AQ,EQ=AQ, ∴(a﹣3)2=(a﹣)2+(0+)2,∴a=﹣, (a﹣3)2=(3﹣)2+(0+)2,∴a1=7,a2=﹣1, (a﹣)2+(0+)2=(3﹣)2+(0+)2,∴a1=﹣,a2=3(舍) ∴点E的坐标为(﹣,0)或(﹣,0)或(﹣1,0)或(7,0). (3)∵P,Q运动到t秒, ∴设P(3﹣t,0),Q(3﹣t,﹣t), ∴KPQ=,KPQ=﹣2, ∵AD⊥PQ, ∴KPQ?KAD=﹣1, ∴KAD=, ∵A(3,0), ∴lAD:y=x﹣, ∵y=, ∴x1=3(舍),x2=﹣, ∴D(﹣,﹣), ∵DY=QY,即﹣t=﹣,t=,DQ∥AP,DQ=AQ=AP,此时四边形APDQ的形状为菱形.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:全国
  • 文件大小:2.01M
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