[ID:3-6185480] 2020中考复习讲义——相似三角形综合应用(含答案)
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资料简介:
相似三角形综合应用 内容 基本要求 略高要求 相似三角形 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算;会利用三角形的相似解决一些实际问题 模型一 角分线模型 1、内角平分线 是的角平分线,则 【证明】过作交直线于. ∵, ∴, 又∵平分, ∴, ∴, ∴, 由可得:, ∴ 2、外角平分线 的外角平分线交对边的延长线于,则 【证明】过作交直线于. ∵, ∴, 又∵平分, ∴, ∴, ∴, 由可得:, ∴ 模型二 梯形模型 若,则 考点一 与公共边有关的相似问题 如图,在矩形中,对角线、相交于点,为的中点,连接交于,连接,若,则下列四对三角形:①与;②与;③与;④与,其中相似的为( ) A.①④ B.①② C.②③④ D.①②③ 【答案】D 【解析】②,∴,故 如图,矩形中,于,恰是的中点,下列式子成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】A 如图,中,于,于,于,交于,、的延长线交于点,求证:. 【解析】可通过射影定理转化成证明,证明∽即可. 如图,中,,于为的中点,的延长线交于. 求证:. 【答案】∵,为中点,∴,∴,又∵,∴,又∵,,∴,又∵,∴,∴,∴. 【巩固】在中,过直角顶点作斜边的垂线,取的中点,连接并延长交的延长于点,求证: 【解析】, 如图,在中,平分,的垂直平分线交于,交的延长线于, 求证:. 【答案】连接∵垂直平分,∴,∴,即,又∵,∴,∵平分,∴,∴,又∵,∴,∴.又∵,∴ 【巩固】如上图,在中,,的垂直平分线交于,交的延长线于, 求证:平分. 【答案】连接,∵垂直平分,∴,∵,∴∴,又∵∴,∴,∵,,∴,∴,即平分. 已知,如图,为等边三角形,且的两边交直线于两点,求证:. 【解析】∵,∴.又∵,∴,∴, ∵,∴∴,∴,即,∵,∴. 考点二 与旋转有关的相似问题 如图,直角梯形中,,,,为梯形内一点,且,将绕点旋转使与重合,得到,连交于.已知,则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】C. 如图,四边形和均为正方形,求_________. 【答案】连接。∵,∴ ∴∵∴∵ ∴∴∴ ∴∴ (1)如图1,等边中,为边上的动点,以为一边,向上作等边,连接,求证:. (2)如图2,将(1)中的等边改为以为底边的等腰三角形,所作的改成相似于,请问:是否有?证明你的结论. 【答案】(1)由,得,故. (2)由,得,故. 考点三 与三角形有关的相似综合题 如图,内有一点,过作各边的平行线,把分成三个三角形和三个平行四边形.若三个三角形的面积分别为,则的面积是________. 【解析】设的面积为,则,故. 【答案】 如图所示,是一个凸六边形,、、分别是直线与、与、 与的交点,、、分别是与、与、与的交点,如果,求证:. 【答案】本题的条件和结论都是三个线段之比的连等式,且、、构成一个与相似的三角形的三边,因而可以考虑通过平移变换将、、集中到一起构成一个与相似的三角形. 如图所示,将平移至位置,则,且, 所以,且, 因此,从而,且. 这说明,且,进而,且. 又因为,于是,所以, 注意到,,故. 已知:的高所在直线与高所在直线相交于点. (1)如图l,若为锐角三角形,且,过点作,交直线于点,求证:; (2)如图 2,若,过点作,交直线于点,则之间满足的数量关系是_________; (3)在(2)的条件下,若,,将一个角的顶点与点重合并绕点旋转,这个角的两边分别交线段于两点(如图3),连接,线段分别与线段、线段相交于两点,若,求线段的长. 【答案】(1)证明:∵∴,∴ ∵,∴∵,∴ ∵,∴∴∵ ∴,∴∴,∴ (2) (3)如图, ∵,∴∵,∴,∴ ∵,∴,∴∵∴ ∵,由(2)知,∴∴, ∴为等腰直角三角形∴ 分别过,作于点 于点∴四边形为矩形 ∴∴,∴ ∵ ∴ ∴ ∵∴∵ ∴∴∴∴ ∵∴∵ ∴∴ ∵∴∴,∴ ∴∴ 考点四 与相似有关的动点问题 如图,中,,点从出发,沿方向以的速度移动,点从出发,沿方向也以的速度移动,若分别从出发,经过多少时间与相似? 【答案】∵,设, ∴, 即,解得(负值已舍去) ∴ 设经过后与相似.此时 本题需分两种情况: (1)当时, ,即,解得 (2)当时, ,即,解得. 综上,当秒或秒时,与相似 如图,在矩形中,,点沿边从点开始向点以秒的速度移动,点沿边以秒的速度从点开始移动,如果同时出发,用(秒)表示移动的时间. (1)当为何值时,为等腰直角三角形? (2)求四边形面积,提出一个与计算结果相关的正确结论. (3)当为何值时,以点为顶点的三角形与相似. 【答案】(1)当为等腰直角三角形时,, ∴, (2),即四边形的面积为定值. (3)分2种情况 ①当时,,即,解得. ② 当时,,即,解得. 综上当或时,以点为顶点的三角形与相似. 如图,已知在等腰△ABC中,∠A=∠B=30°,过点C作CD⊥AC交AB于点D.若过A,D,C三点的圆的半径为,则线段BC上是否存在一点P,使得以P,D,B为顶点的三角形与△BCO相似,若存在,则DP的长为_________. 【解析】∵∠BCD=∠ACB-∠ACD=120°-90°=30°∴∠BCD=∠B,∴DB=DC.又∵在Rt△ACD中,DC=AD·sin30°=,∴DB=.①过点D作DP1∥OC,交BC于点P1,则△P1DB∽△COB,∴=.∵OB=OD+DB=∴DP1=·OC=×=②过点D作DP2⊥AB,交BC于点P2,则△BDP2∽△BCO,∴=.∵BC===3 ∴DP2=·OC=×=1 如图,在平面直角坐标系中,点A的坐标为(2,2),点P是线段OA上的一个动点(不与O,A重合),过点P作PQ⊥x轴于Q,以PQ为边向右作正方形PQMN.连接AN并延长交x轴于点B,连接ON.设OQ=t,△BMN与△MON相似时,则△BMN的面积为_____________. 【答案】或 【解析】当0< t ≤1时,如图1.若△BMN∽△MON,则=.即=,∴t=. ∴NM=,BM==.∴S△BMN =BM·NM=××=.当1< t <2时,如图2. 若△BMN∽△MON,则=.即=,∴t=.∴NM=,BM==. ∴S△BMN =BM·NM=××=. 如图,∠ACB=90°,CD是∠ACB的平分线,点P在CD上,CP=.将三角板的直角顶点放置在点P处,绕着点P旋转,三角板的一条直角边与射线CB交于点E,另一条直角边与直线CA、直线CB分别交于点F、点G. (1)当点F在射线CA上时 ①求证:PF=PE. ②设CF=x,EG=y,求y与x的函数解析式并写出函数的定义域. (2)连接EF,当△CEF与△EGP相似时,求EG的长. 【解析】(1)①证明:过点P作PM⊥AC,PN⊥BC,垂足分别为M、N ∵CD是∠ACB的平分线,∴PM=PN ( A C B F P D E M N 2 1 G )由∠PMC=∠MCN=∠CNP=90°,得∠MPN=90° ∴∠1+∠FPN=90° ∵∠2+∠FPN=90°,∴∠1=∠2 ∴△PMF≌△PNE,∴PF=PE ②解:∵CP=,∴CN=CM=1 ∵CF=x,△PMF≌△PNE,∴NE=MF=1-x ∴CE=2-x ∵CF∥PN,∴ = ,即 = ( A C B F P G E 1 D )∴CG= ∴y= +2-x(0≤ x<1) (2)当△CEF与△EGP相似时,点F的位置有两种情况: ①当点F在射线CA上时 ∵∠GPE=∠FCE=90°,∠1≠∠PEG ∴∠G=∠1,∴FG=FE,∴CG=CE=CP 在Rt△EGP中,EG=2CP=2 ( A C B M P F G N E 1 5 2 3 4 D )②当点F在AC延长线上时 ∵∠GPE=∠FCE=90°,∠1≠∠2,∴∠3=∠2 ∵∠1=45°+∠5,∠1=45°+∠2,∴∠5=∠2 易证∠3=∠4,可得∠5=∠4 ∴CF=CP=,∴FM=+1 易证△PMF≌△PNE,∴EN=FM=+1 ∵CF∥PN,∴ = ,即 = ∴GN=-1 ∴EG=-1+ +1=2 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CE是斜边AB上的中线,AB=10,tanA= .点P是CE延长线上的一动点,过点P作PQ⊥CB,交CB延长线于点Q.设EP=x,BQ=y. (1)求y关于x的函数关系式及定义域; (2)连接PB,当PB平分∠CPQ时,求PE的长; (3)过点B作BF⊥AB交PQ于F,当△BEF和△QBF相似时,求x的值. 【解析】(1)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,tanA= = ∴AC=6,BC=8 ∵CE是斜边AB上的中线,∴CE=BE= AB=5 ∴∠PCQ=∠ABC 又∠PQC=∠ACB=90°,∴△PCQ∽△ABC ∴ = = ,即 = ∴y= x-4(x >5) (2)过点B作BH⊥PC于H ∵PB平分∠CPQ,BQ⊥PQ,∴BH=BQ=y ∵BH= BC= ,∴ x-4= ∴x=11 (3)∵∠BQF=∠ACB=90°,∠QBF=∠A ∴△BFQ∽△ABC 当△BEF和△QBF相似时,则△BEF和△ABC也相似 有两种情况: ①当∠BEF=∠A时 在Rt△EBF中,∠EBF=90°,BE=5,BF= y ∴( x-4)= ×5,解得x=10 ②当∠BEF=∠ABC时 在Rt△EBF中,∠EBF=90°,BE=5,BF= y ∴( x-4)= ×5,解得x= ∴当△BEF和△QBF相似时,求x的值为10或 如图1,在Rt△AOC中,AO⊥OC,点B在OC边上,OB=6,BC=12,∠ABO+∠C=90°,动点M和N分别在线段AB和AC边上. (1)求证:△AOB∽△COA,并求cosC的值; (2)当AM=4时,△AMN与△ABC相似,求△AMN与△ABC的面积之比; (3)如图2,当MN∥BC时,以MN所在直线为对称轴将△AMN作轴对称变换得△EMN.设MN=x,△EMN与四边形BCNM重叠部分的面积为y,求y关于x的函数关系式,并写出自变量x的取值范围. 【解析】(1)∵AO⊥OC,∴∠ABO+∠BAO=90° ∵∠ABO+∠C=90°,∴∠BAO=∠C ∵∠AOB=∠COA,∴△AOB∽△COA ∴OB : OA=OA : OC ∵OB=6,BC=12,∴6 : OA=OA : 18 ∴OA=6 ∴AC===12 ∴cosC= = = (2)∵cosC= ,∴∠C=30° ∵tan∠ABO= = =,∴∠ABO=60° ∴∠BAC=30°,∴AB=BC=12 ①当∠AMN=∠ABC时(如图1),△AMN∽△ABC ∵AM=4,∴S△AMN : S△ABC =AM 2 : A