[ID:3-6106856] 2020版高考理科数学(经典版)复习-高考大题冲关系列(6) 高考中概率、随机 ...
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命题动向:通过近五年的高考试题分析,在高考的解答题中,对概率与随机变量及其分布相结合的综合问题的考查既是热点又是重点,是高考必考的内容,并且常常与统计相结合,常常设计成包含概率计算、概率分布表、随机变量的数学期望与方差、统计图表的识别等知识为主的综合题.以考生比较熟悉的实际应用问题为载体,考查学生应用基础知识和基本方法分析问题和解决问题的能力. 题型1 求离散型随机变量的均值与方差 例1 (2018·天津高考)已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人,进行睡眠时间的调查. (1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人? (2)若抽出的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查. ①用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望; ②设A为事件“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,也有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率. 解 (1)由已知,甲、乙、丙三个部门的员工人数之比为3∶2∶2, 由于采用分层抽样的方法从中抽取7人, 因此应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取3人,2人,2人. (2)①随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3. P(X=k)=(k=0,1,2,3). 所以,随机变量X的分布列为 随机变量X的数学期望E(X)=0×+1×+2×+3×=. ②设事件B为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有1人,睡眠不足的员工有2人”;事件C为“抽取的3人中,睡眠充足的员工有2人,睡眠不足的员工有1人”, 则A=B∪C,且B与C互斥, 由①知,P(B)=P(X=2),P(C)=P(X=1), 故P(A)=P(B∪C)=P(X=2)+P(X=1)=. 所以,事件A发生的概率为. [冲关策略] 离散型随机变量的均值和方差的求解,一般分两步:一是定型,即先判断随机变量的分布是特殊类型,还是一般类型,如两点分布、二项分布、超几何分布等属于特殊类型;二是定性,对于特殊类型的均值和方差可以直接代入相应公式求解,而对于一般类型的随机变量,应先求其分布列然后代入相应公式计算,注意离散型随机变量的取值与概率的对应. 变式训练1 某厂有4台大型机器,在一个月中,1台机器至多出现1次故障,且每台机器是否出现故障是相互独立的,出现故障时需1名工人进行维修.每台机器出现故障的概率为. (1)问该厂至少有多少名工人才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%? (2)已知1名工人每月只有维修1台机器的能力,每月需支付给每位工人1万元的工资.每台机器不出现故障或出现故障能及时维修,就能使该厂产生5万元的利润,否则将不产生利润.若该厂现有2名工人,求该厂每月获利的均值. 解 (1)1台机器是否出现故障可看作1次试验,在1次试验中,机器出现故障设为事件A,则事件A的概率为. 该厂有4台机器,就相当于4次独立重复试验,可设出现故障的机器台数为X,则X~B, ∴P(X=0)=C×4=,∴P(X=1)=C××3=,P(X=2)=C×2×2=, P(X=3)=C×3×=,P(X=4)=C×4=. ∴X的分布列为 设该厂有n名工人,则“每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修”为X≤n,即X=0,X=1,X=2,…,X=n,这n+1个互斥事件的和事件,则 ∵<90%≤,∴该厂至少需要3名工人,才能保证每台机器在任何时刻同时出现故障时能及时进行维修的概率不少于90%. (2)设该厂每月可获利Y万元,则Y的所有可能取值为18,13,8,P(Y=18)=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=,P(Y=13)=P(X=3)=,P(Y=8)=P(X=4)=, ∴Y的分布列为 则E(Y)=18×+13×+8×=(万元). 故该厂每月获利的均值为万元. 题型2 概率与统计的综合问题 例2 (2019·桂林模拟)从某技术公司开发的某种产品中随机抽取200件,测量这些产品的一项质量指标值(记为Z),由测量结果得如下频率分布直方图: (1)公司规定:当Z≥95时,产品为正品;当Z<95时,产品为次品.公司每生产一件这种产品,若是正品,则盈利90元;若是次品,则亏损30元.记ξ为生产一件这种产品的利润,求随机变量ξ的分布列和数学期望; (2)由频率分布直方图可以认为,Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数,σ2近似为样本方差s2(同一组中的数据用该区间的中点值作代表). ①利用该正态分布,求P(87.86.635, 所以有99%的把握认为是否为“文科意向”与性别有关. (2)易知从该校高一学生中随机抽取1人,则该人为“文科意向”的概率为P==. 依题意知ξ~B, 所以P(ξ=i)=Ci3-i(i=0,1,2,3), 所以ξ的分布列为 所以期望E(ξ)=np=,方差D(ξ)=np(1-p)=. [冲关策略] 此类题目虽然涉及的知识点较多,但每个知识点考查程度相对较浅,考查深度有限,所以解决此类问题,最主要的是正确掌握概率与统计案例的基本知识,并能对这些知识点进行有效的融合,把统计图表中的量转化为概率及分布列求解中的有用的量是解决此类问题的关键所在. 变式训练4 微信已成为人们常用的社交软件,“微信运动”是由腾讯开发的一个类似计步数据库的微信公众号.手机用户可以通过关注“微信运动”公众号查看自己每天行走的步数,同时也可以和好友进行运动量的PK或点赞.现从小明的微信好友中随机选取40人(男、女各20人),记录他们某一天行走的步数,并将数据整理如下表: (1)若某人一天行走的步数超过8000步被评定为“积极型”,否则被评定为“懈怠型”,根据题意完成下面的2×2列联表,并据此判断能否有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关? (2)在小明这40位好友中,从该天行走的步数超过10000步的人中随机抽取3人,设抽取的女性有X人,求X的分布列及数学期望E(X). 附:K2=, 解 (1)2×2列联表如下: ∴K2=≈2.506<2.706, ∴没有90%的把握认为“评定类型”与“性别”有关. (2)由已知得,小明这40位好友中,该天行走的步数超过10000步的人中男性有6人,女性有2人,现从中抽取3人,抽取的女性人数X服从超几何分布, X的所有可能取值为0,1,2,P(X=0)==, P(X=1)==,P(X=2)==, ∴X的分布列如下: ∴E(X)=0×+1×+2×=. (共43张PPT) 高考大题冲关系列(6) 高考中概率、随机变量及分布列的热点题型 本课结束
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  • 资料类型: 学案
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:全国
  • 文件大小:4.82M
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