[ID:3-6177813] [精]【备考2020】二轮专题复习 高考大题专练之立体几何计算题(向量法)(解析 ...
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中小学教育资源及组卷应用平台 10高考大题专练之立体几何计算题(向量法) 1.如图,四棱锥中,底面,底面为梯形,,,且,点是棱上的动点. (Ⅰ)当平面时,确定点在棱上的位置; (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,求二面角的余弦值. 【详解】 (Ⅰ)在梯形中,由,,得, ∴.又,故为等腰直角三角形. ∴. 连接,交于点,则 ∥平面,又平面,∴. 在中,, 即时,∥平面. (Ⅱ) 以为原点,所在直线分别为轴、轴,如图建立空间直角坐标系. 设,则,,,,. 设为平面的一个法向量,则,,∴,解得,∴. 设为平面的一个法向量,则,, 又,,∴,解得 ∴. ∴二面角的余弦值为. 2.如图,四棱锥的底面是矩形,平面, 且SA⊥底面,若为直线上的一点,使得. (1)求证:为直线的中点; (2)求点到平面的距离. 【详解】 建立如图所示的空间直角坐标系, 则 A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,2,0),D(0,2,0),S(0,0,1), 设P(1,, 0) (1), 且则 即 ∴因此P为线段BC的中点. (2) 设是平面SCD的一个法向量, 由(1)知:, 由, 得 ∴, 取, 则得 设点P到平面SCD的距离为,则 因此点P到平面SCD的距离为. 3.如图,等腰梯形中,,为的三等分点,以为折痕把△折起,使点 到达点的位置,且与平面所成角的正切值为. (1)证明:平面平面; (2)求二面角的余弦值. 【详解】 (1)证明:依题意得, 所以, 因为,所以平面平面. (2)假设,由(1)过P作,垂足为O,则平面, 过O作,交于G. 以O为坐标原点,的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系, 则 设平面的法向量为, 则 即 令,得为平面的一个法向量. 同理可得平面的一个法向量为, , 所以二面角的余弦值为. 4.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形, M为PD的中点,PA⊥平面ABCD,PA=AD= 4, AB = 2. (1)求证:AM⊥平面MCD; (2)求直线PC与平面MAC所成角的正弦值. 【详解】 因为PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,所以PA⊥CD, 又CD⊥AD,PA∩AD=A, 所以CD⊥平面PAD, 又AM平面PAD,所以CD⊥AM, 又∵PA=AD=4,且M为PD中点, 所以AM⊥PD, 又∵CD∩PD=D, 所以AM⊥平面MCD (2)因为PA⊥平面ABCD,AB⊥AD, 所以可建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),P(0,0,4),C(2,4,0),M(0,2,2) 设平面MAC的一个法向量为=, 由⊥, ⊥,可得 令,则=(2,-1,1) 设直线PC与平面MAC所成的角为, 则, 所以直线PC与平面MAC所成角的正弦值为. 5.如图,在四棱锥中, 是等边三角形, , . (1)求证:平面平面; (2)若直线与所成角的大小为60°,求二面角的大小. 【试题解析】 (1)∵, 且是等边三角形 ∴, , 均为直角三角形,即, , ∴平面 ∵平面 ∴平面平面 (2)以为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系. 令, , ∴, , , . 设,则, . ∵直线与所成角大小为60°,所以 , 即,解得或(舍), ∴, 设平面的一个法向量为. ∵, ,则 即 令,则,所以. ∵平面的一个法向量为, ∵, ,则 即 令,则, , ∴.∴, 故二面角的大小为90°. 6.如图,已知三棱锥的侧棱两两垂直,且,,是的中点. 求异面直线与所成角的余弦值; 求直线和平面的所成角的正弦值. 【解析】 试题分析:以为原点,为轴,为轴,为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线与所成角的余弦值; 求出平面的法向量和,利用向量法能求出直线和平面的所成角的正弦值 解析:(1)以O为原点,OB、OC、OA分别为X、Y、Z轴建立空间直角坐标系. 则有A(0,0,1)、B(2,0,0)、C(0,2,0)、E(0,1,0)… ∴, ∴COS<>==﹣ 所以异面直线BE与AC所成角的余弦为… (2)设平面ABC的法向量为则 知 知取,… 则… 故BE和平面ABC的所成角的正弦值为 B卷 7.如图所示,在四棱锥中,底面ABCD为直角梯形,,,,点E为AD的中点,,平面ABCD,且? 求证:; 线段PC上是否存在一点F,使二面角的余弦值是?若存在,请找出点F的位置;若不存在,请说明理由. 【详解】 证明:,,, ,E为AD的中点,, ≌,, ,,, 又平面ABCD,平面ABCD,, 又,且PH,平面PEC,平面PEC, 又平面PEC,. 解:由可知∽, 由题意得,, , ,,,, 、EC、BD两两垂直, 建立以H为坐标原点,HB、HC、HP所在直线分别为x,y,z轴的坐标系, 0,,0,,4,,0,,0,, 假设线段PC上存在一点F满足题意, 与共线,存在唯一实数,,满足, 解得, 设向量y,为平面CPD的一个法向量,且,, ,取,得, 同理得平面CPD的一个法向量, 二面角的余弦值是, , 由,解得, , , 线段PC上存在一点F,当点F满足时,二面角的余弦值是. 8.在三棱柱中,侧面是边长为2的菱形,,. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)若底面是以为直角顶点的直角三角形,且,求二面角的正弦值. 【详解】 (1)证明:连接,∵四边形是菱形,且, ∴为等边三角形. 取的中点,连接,,则, 又∵, ∴, ∵,、平面, ∴平面, 又∵平面, ∴. (2)由(1)及题意可知,,,则,又,则平面,以为坐标原点,分别以,,所在的直线为轴,轴,轴建立如图所示的坐标系, 则,,,,, ∴,,, ∴, ∴, ∴, 设平面的法向量为, 则,可得,故可取. 设平面的法向量为,同理可取, ∴, ∴二面角的正弦值为. 9.已知三棱锥(如图)的平面展开图(如图)中,四边形为边长为的正方形,和均为正三角形,在三棱锥中: (1)证明:平面平面; (2)求二面角的余弦值. 【解析】分析:(1)设AC的中点为O,连接BO,PO.推导出PO⊥AC,PO⊥OB,从而 PO⊥平面ABC,由此能证明平面PAC⊥平面ABC. (2)由PO⊥平面ABC,OB⊥AC,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣B的余弦值. 详解:(1)证明: 设的中点为,连接,.由题意得, ,,, 因为在中,,为的中点, 所以, 因为在中,,,, 所以, 因为,平面, 所以平面, 因为平面, 所以平面 平面. (2)解:由平面,,如图建立空间直角坐标系,则 ,,,,. 由平面,故平面的法向量为, 由,, 设平面的法向量为,则 由得: 令,得,,即, . 由二面角是锐二面角, 所以二面角的余弦值为. 10.如图,在三棱柱中,已知,,侧面. (Ⅰ)求直线与底面所成角正切值; (Ⅱ)在棱(不包含端点)上确定一点E的位置, 使得(要求说明理由); (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若,求二面角的大小. 【详解】 解:(Ⅰ)在直三棱柱,平面ABC, 在平面ABC上的射影为CB. 为直线与底面ABC所成角, , 即直线与底面ABC所成角的正切值为2. (Ⅱ)当E为中点时,. ,, ,即. 又平面,平面 . ,平面ABE, 平面ABE ,. (Ⅲ)取的中点G,的中点F,则,且, ,连结,设,连结, 则,且, 为二面角的平面角. ,, ∴二面角的大小为45°. 另解:以B为原点,所在直线为轴建立空间直角坐标系. 则. (Ⅰ),面ABC的一个法向量. 设与面ABC所成角为,则, . (Ⅱ)设,则,, 由,得,所以E为的中点. (Ⅲ)由,得,又, 可求得面的一个法向量, 平面的一个法向量, 设二面角的大小为,则. ∴二面角的大小为45°. 11.如图,在四棱锥中,底面为菱形,顶点在底面的射影恰好是菱形对角线的交点,且,,,,其中. (1)当时,求证:; (2)当与平面所成角的正弦值为时,求二面角的余弦值. 【详解】 解:(1)∵顶点在底面的射影是, ∴面,由面,∴. ∵,,,连, ∴,,,, ∴,则,∴. 由,,∴面, 由面,∴, ∵菱形,, ∴. (2)以为坐标原点,为轴正方向,为轴正方向,为轴正方向,建立空间直角坐标系,则,,,, ∵,则,∴. ∵,则,∴, 设面的法向量为,由,解得. 由与面所成角的正弦值为,即有,解得. 设面的法向量为,由,解得. ∴二面角的余弦值. 12.如图,将边长为2的正方形沿对角线折叠,使得平面平面,又平面. (1)若,求直线与直线所成的角; (2)若二面角的大小为,求的长度. 【详解】 ∵正方形边长为2 ∴,, 又平面,∴以点为原点,,,所在直线为,,轴建立空间直角坐标系. 作,垂足为,∵平面平面,平面,平面平面,∴平面∵ ∴点为的中点,, (1)∵ ∴,,,, ∴, ∴ ∴ ∴直线与直线所成角为; (2)设的长度为,则 ∵平面 ∴平面的一个法向量为 设平面的法向量为,又, ∴, ∴,解得:,取,则, ∴平面的一个法向量为 ∴ ∵二面角的大小为 ∴,解得: ∴的长度为. 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:通用
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