[ID:3-6177812] [精]【备考2020】二轮专题复习 高考大题专练之立体几何计算题(非向量法)(解 ...
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中小学教育资源及组卷应用平台 9高考大题专练之立体几何计算题(非向量法) 1.如图,四棱锥中,平面平面ABCD,E为线段AD的中点,且... (1)证明:平面平面; (2)若,求三棱锥的体积. 【详解】 (1)证明:∵,E是AD的中点,∴, 又∵平面平面ABCD,平面平面, ∴平面ABCD,又平面ABCD, ∴,又,, ∴平面PBE,又平面PAC, ∴平面平面PAC. (2)解:由(1)知平面PBE,故, ∵, ∴四边形BCDE是平行四边形,∴, ∴, ∵,,∴, ∴,即,∴. ∴. 2.如图,正方体中. (Ⅰ)求与所成角的大小; (Ⅱ)求二面角的正切值. 【解析】(I)连接B1C,则易证B?1C//A1D,所以就是异面与所成角,然后解三角形求此角即可. (II)连接BD交AC于O点,则易证就是二面角的平面角,然后再直角三角形B1BO中求此角即可. (Ⅰ)在正方体中, --------------------1 ∴A1B1CD为平行四边形,∴,--------------------------- 2 所以∠ACB1或其补角即异面直线与所成角………………3 设正方形边长为 在中,AC=B1A=B1C=,………………………….5 ∴∠ACB1= 所以异面直线与所成角为……………………………..6 (Ⅱ)连结BD交AC于O,连结B1O,…………………………………….7 ∵O为AC中点, B1A=B1C,BA=BC ∴B1O⊥AC,BO⊥AC………………………………….9 ∴∠B1OB为二面角的平面角.---------------------------10 在中, B1B=,BO=--------------------12 ∴∠B1OB= 故二面角的正切值为---------------------13. 3.如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是正三角形,且平面⊥底面 (1)求证:⊥平面 (2)求直线与底面所成角的余弦值; (3)设,求点到平面的距离. 【解析】 试题分析:(1)∵底面ABCD是正方形,∴AB⊥AD, ∵平面PAD⊥底面ABCD,AB底面ABCD,底面ABCD∩平面PAD=AD,∴AB⊥平面PAD. (2)取AD的中点F,连结AF,CF,∵平面PAD⊥平面ABCD,且PF⊥AD, ∴PF⊥平面BCD,∴CF是PC在平面ABCD上的射影, ∴∠PCF是直线PC与底面ABCD所成的角 (3)设点D到平面PBC的距离为h, 在△PBC中,易知PB=PC=, 又 即点D到平面PBC的距离为 4.如图,在正方体中,是的中点. (1)求证:平面; (2)求异面直线和所成角的大小. 【详解】 (1)证明:如图,连接D1C交DC1于点O1,连接OO1, ∵O、O1分别是AC和D1C的中点, ∴OO1∥AD1. 又OO1?平面DOC1,AD1?平面DOC1, ∴AD1∥平面DOC1. (2)由OO1∥AD1知,AD1和DC1所成角等于OO1和DC1所成的锐角或直角.设正方体的棱长为1. 在△OO1D中,DO1=,DO=,OO1=AD1=, ∴△OO1D是等边三角形. ∴异面直线AD1与DC1所成的角为60°. 5.四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,,,. (Ⅰ)证明:; (Ⅱ)设与平面所成的角为, 求二面角的余弦值. (I)作AO⊥BC,垂足为O,连接OD,由题设知,AO⊥底面BCDE,且OBC 中点,由知,Rt△OCD∽Rt△CDE,从而∠ODC=∠CED,于是CE⊥OD, 由三垂线定理知,AD⊥CE--------------------------------4分 (II)由题意,BE⊥BC,所以BE⊥侧面ABC,又BE侧面ABE,所以侧面ABE⊥侧 面ABC。 作CF⊥AB,垂足为F,连接FE,则CF⊥平面ABE故∠CEF为CE与平面ABE所成的角, ∠CEF=45°,由CE=,得CF= 又BC=2,因而∠ABC=60°,所以△ABC为等边三角形作CG⊥AD,垂足为G,连GE。 由(I)知,CE⊥AD,又CE∩CG=C, 故AD⊥平面CGE,AD⊥GE,∠CGE是二面角C-AD-E的平面角。 CG= GE= cos∠CGE= 所以二面角C-AD-E的余弦值为---------------------12分 6.四棱锥S—ABCD中,底面ABCD为平行四边形,侧面SBC⊥底面ABCD,已知 ∠ABC = 45°AB=2,BC=,SA=SB = (Ⅰ)证明SA⊥BC; (Ⅱ)求直线SD与平面SAB所成角的大小. 【解析】(I)作SO⊥BC,垂足为O,连结AO,由侧面SBC⊥底面ABCD,得SO⊥底面ABCD. 因为SA=SB,所以AO=BO. 又∠ABC=45°,故△AOB为等腰直角三角形,AO⊥BO, 由三垂线定理,得SA⊥BC. (II)由(I)知SA⊥BC,依题设AD∥BC, 故SA⊥AD,由AD=BC=2,SA=,AO=,得 SO=1,. △SAB的面积. 连结AB,得△DAB的面积=2. 设D到平面SAB的距离为h,由,得 , 解得. 设SD与平面SAB所成角为α,则sinα=. 所以,直线SD与平面SAB所成的角为 7.在多面体中,点是矩形的对角线的交点,三角形是等边三角形,棱且. (Ⅰ)证明:平面;[来源:学科网] (Ⅱ)设,,, 求与平面所成角的正弦值。 【答案】(Ⅰ)【证明】取CD中点M,连结OM.………………1分 在矩形ABCD中,,又,则,………………3分 连结EM,于是四边形EFOM为平行四边形. ∴………………5分 又平面CDE,且EM平面CDE, ∴FO∥平面CDE ………………6分 (Ⅱ)连结FM,由(Ⅰ)和已知条件,在等边△CDE中, 且,又. 因此平行四边形EFOM为菱形,………………8分 过作于 ∵, ∴平面,∴[来源:学科网ZXXK] 因此平面 所以为与底面所成角………………10分 在中, 则为正三角形。 ∴点到平面的距离为,………………12分 所以 即与平面所成角的正弦值为。………………14分 8.如图,菱形ABCD所在平面与矩形ACEF所在平面互相垂直,已知BD=AF,且点M是线段EF的中点. (1)求证:AM∥平面BDE; (2)求平面DEF与平面BEF所成的角. 【解析】 9.在如图所示的几何体中,,平面,,,,. (1)证明:平面; (2)求平面与平面所成二面角的正弦值. 详解:(1)在中,. 所以,所以为直角三角形,. 又因为平面,所以. 而,所以平面. (2)(方法一)如图延长,相交于,连接, 则平面平面. 二面角就是平面与平面所成二面角. 因为,所以是的中位线. ,这样是等边三角形. 取的中点为,连接,因为平面. 所以就是二面角的平面角. 在,所以. 10.如图,已知面,,; (1)在线段上找一点M,使面。 (2)求由面与面所成角的二面角的正切值。 【解析】 试题分析:(1)根据题目条件可以猜测M为PC的中点,然后利用线线垂直证明线面垂直;(2)利用作证求三部曲,作出二面角的平面角,证明后利用解三角形知识求解即可. (1)M为PC的中点,设PD中点为N, 则MN=CD,且MN//CD,∴MN=AB,MN//AB ∴ABMN为平行四边形,∴BM∥AN, 又PA=AD,∠PAD=90° ∴AN⊥PD, 又CD⊥AN,∴AN⊥面PCD,∴面, (2)延长CB交DA与E,连接PE, ∵AB=CD。AB∥CD ∴AE=AD=PA,∴PD⊥PE,又∵PE⊥CD,∴PE⊥PCD, ∴∠CPD为二面角C-PE-D的平面角;PD=AD,CD=2AD; ∴tan∠CPD=. 11.如图,在四棱锥中,四边形为正方形, 平面, , 是上一点,且. (1)求证: 平面; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 试题解析: (1)连接,由平面, 平面得, 又, , ∴平面,得, 又, , ∴平面. (2)法1:由(1)知平面,即是直线与平面所成角,易证,而, 不妨设,则, , , 在中,由射影定理得, 可得,所以, 故直线与平面所成角的正弦值为. 12.如图所示,在四棱锥中,底面是平行四边形,,为的中点,平面,,为的中点. (1)证明:平面; (2)求直线与平面所成角的正切值. 【解析】(1)由题意可证得AD⊥AC.PO⊥AD,则AD⊥平面PAC. (2)连接DO,取DO的中点N,连接MN,AN,由题意可知∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角.由几何关系计算可得直线AM与平面ABCD所成角的正切值为. 详解: (1)因为∠ADC=45°,且AD=AC=1, 所以∠DAC=90°,即AD⊥AC. 又PO⊥平面ABCD,AD平面ABCD, 所以PO⊥AD,而AC∩PO=O, 所以AD⊥平面PAC. (2)连接DO,取DO的中点N,连接MN,AN. 因为M为PD的中点,所以MN∥PO, 且MN=PO=1.由PO⊥平面ABCD,得MN⊥平面ABCD, 所以∠MAN是直线AM与平面ABCD所成的角. 在Rt△DAO中,AD=1,AO=, 所以DO=,从而AN=DO=. 在Rt△ANM中,tan∠MAN===, 即直线AM与平面ABCD所成角的正切值为. B A C D O E F M G A B C D E F M A B D C P 21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 (共 2 页) HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com) " 21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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  • 资料版本:通用
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