[ID:3-6112253] 【教案】直线与圆、圆与圆之综合题型
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个性化教学辅导教案 学生姓名 年 级 学 科 数 学 上课时间 教师姓名 课 题 直线与圆、圆与圆之综合题型 教学目标 直线与圆、圆与圆之综合题型 教学过程 教师活动 学生活动 一、例题分析 例1.在平面直角坐标系xOy中,椭圆C上一点P(0,)到椭圆C的右焦点的距离为. *(1)求椭圆C的方程; ***(2)过点P作互相垂直的两条直线l1,l2,且l1交椭圆C于A,B两点,直线l2交圆Q于C,D两点,且M为CD的中点,求△MAB的面积的取值范围. 解:(1)+=1 记△MAB的面积为S, 当直线l1的斜率不存在时,可求得S=4. 当直线l1的斜率存在时,设为k(k≠0),则l1:y=kx+,l2:y=-x+ 设A(x1,y1), B(x2,y2) 由 得(1+2k2)x2+4kx-4=0 ,则x1+x2=-,x1x2=- , AB=|x1-x2|= 又圆心Q(2,)到l2的距离d1=< ,得k2>1 又MP⊥AB,QM⊥CD,所以M点到AB的距离等于Q点到AB的距离,设为d2,即 d2== 所以△MAB面积S=|AB|d2==4 令t=2k2+1∈(3,+∞),,则∈(0,),S=4=4∈(,4), 综上,面积的取值范围为(,4]. 〖教学建议〗 (1)问题归类与方法: 1.相交弦问题 直线与圆的位置关系判断方法: 代数法和几何法. 圆心角θ、弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式. 如:()2+d2=R 2,d=Rcos,=Rsin. 相交弦的垂直平分线过圆心. 2.直线与椭圆的位置关系 3.换元法求函数的最值 (2)方法选择与优化:本题计算面积时求高的方法不同,导致解题的繁简程度不同,答案中巧妙的运用圆的几何性质避开求M点坐标,也可以利用勾股定理求高即是点Q到PD的距离,此题也可以设直线PD的斜率为k,简化PM的形式. 例2.在平面直角坐标系xOy中,如图,已知A1、A2、B1、B2是椭圆C:+=1(a>b>0)的四个顶点,△A1B1B2是一个边长为2的等边三角形,其外接圆为圆M. * (1) 求椭圆C及圆M的方程; (2) 若点D是圆M劣弧上一动点(点D异于端点A1、B2),直线B1D分别交线段A1B2、椭圆C于点E、G,直线B2G与A1B1交于点F. * * * (ⅰ) 求的最大值; * * (ⅱ) 试问:E、F两点的横坐标之和是否为定值?若是,求出该定值;若不是,说明理由. 解:(1) 由题意知,B2(0,1),A1(-,0), 所以b=1,a=, 所以椭圆C的方程为+y2=1. 易得圆心M,A1M=, 所以圆M的方程为+y2=. (2) 设直线B1D的方程为 y=kx-1, 与直线A1B2的方程y=x+1联立,解得点E(,), 联立消去y并整理,得 (1+3k2)x2-6kx=0, 解得点G, (ⅰ) ====1- =1+ ≤1+=, 当且仅当k=-时,取“=”, 所以的最大值为. (ⅱ) 直线B2G的方程为y=x+1=-x+1, 与直线A1B1的方程y=-x-1联立,解得点F(,), 所以E、F两点的横坐标之和为+=-2. 故E、F两点的横坐标之和为定值,该定值为-2. 〖教学建议〗 问题归类与方法: 1.求圆的方程 方法1:三点代入圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,求解D、E、F. 方法2:三角形两边的垂直平分线交点为圆心. 方法3:直角三角形外接圆的直径为斜边. 2.联立两直线方程求交点坐标 3.共线或平行的弦长比转化为坐标之比 4.利用基本不等式求函数最值 (2)方法选择与优化:(1)问中求圆的方程方法1与2都可以,考虑到正三角形直接求重心即圆心,得圆标准方程比较快些,本问椭圆易错成“a=2”; (2)问中斜率k的范围易错,以斜率k为自变量时,利用基本不等式求函数最值,或者导数法.也可以借助椭圆参数方程设G(cosα,sinα)(<α<π) , 上面的方法中的k=k= ,最后== 形式比较简洁,此法也可以参考. 例3.在平面直角坐标系中,已知椭圆E:+y2=1 ,如图,动直线:交椭圆于两点,是椭圆上一点,直线的斜率为,且,是线段延长线上一点,且,的半径为,是的两条切线,切点分别为.求的最大值,并求取得最大值时直线的斜率. 解:设A(x1,y1), B(x2,y2) ,联立方程 得(4k+2)x2-4k1x-1=0,由题意知△>0,且x1+x2=,x1x2=-, 所以|AB|=|x1-x2|= . 由题意可知圆M的半径r为r= 由题设知k1k2=,所以k2=因此直线OC的方程为y=x. 联立方程得x2=,y2=,因此|OC|== . 由题sin∠SOM== ==·= ≥=×=1 当且仅当4k+1=2k+2 即k1=± 取等 当=1 时,(sin∠SOM)max= ,y=sinx 在(0,) 上单调增,(∠SOT)max= (∠SOT)max= 综上∠SOT最大值为 ,取得最大值时直线的斜率为±. 〖教学建议〗 (1)问题归类与方法: 1.相切问题 如图,当圆外一点引两条切线时,在Rt△PAC 中. PC为∠APB的平分线,且垂直平分线段AB. 2. 直线与二次曲线的弦长公式. 3.利用换元法或基本不等式法等求函数最值. (2)方法选择与优化:求函数最值时可以通过换元法令t=1+2k(t>1) 最终化为= 此方法比较基本.当然也可以分子分母展开后利用分离常数法求最值。 例4.在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆方程为+y2=1,圆C:(x-1)2+y2=r2. *(1)求椭圆上动点P与圆心C距离的最小值; ***(2)如图,直线l与椭圆相交于A、B两点,且与圆C相切于点M,若满足M为线段AB中点的直线l有4条,求半径r的取值范围. 解:(1)PCmin= 当AB的斜率不存在与圆C相切时,M在x轴上,故满足条件的直线有两条; 当AB的斜率存在时,设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0) 由 两式相减得·=- 即kAB·=-,由题可知直线MC的斜率肯定存在,且kMC=, 又MC⊥AB ,则kAB=-,所以-·=-,x0= ,因为M在椭圆内部,则+y02<1 ,0<y< ,所以r2=(x0-1)2+y02=+y02∈(,) ,故半径r∈(,) . 〖教学建议〗 (1)问题归类与方法: 1.直线与圆相切问题 方法1:利用d=r;方法2:在已知切点坐标的情况下,利用圆心和切点的连线与切线垂直. 2.直线与椭圆有两交点位置关系判断 方法1:联立方程组利用△>0 ;方法2:弦中点在椭圆内部. (2)方法选择与优化:中点弦问题转化为点差法解决,也可以用设直线AB为y=kx+m 联立椭圆得(1+4k2)x2+8kmx+4m2-4=0(*) ,利用韦达定理得M(-,) ,由MC⊥AB得m=- 由(*)△>0得m2<4k2+1 ,将m=-代入解得k2> ,所以r==∈(,) . 二、反馈巩固 *1.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的圆心在第一象限,圆C与x轴交于A(1,0),B(3,0)两点,且与直线x-y+1=0相切,则圆C的半径为________. 答案: (考查圆的几何性质,直线与圆的位置关系) *2.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y), 则PA·PB的最大值是________. 答案:5 (考查直线过定点问题,基本不等式求最值) **3.在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2-8x+15=0,若直线y=kx-2上至少存在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆C有公共点,则k的最大值是 . 答案: (考查圆与圆的位置关系,点到直线的距离) *4.过点P(1,3)向圆x2+y2=2的作两条切线PA,PB,A,B为切点,则∠APB的正切值等于________. 答案: (考查直线与圆相切的性质,切线长的计算,二倍角的正切公式) *5.已知直线x+3y-7=0,kx-y-2=0和x轴、y轴围成四边形有外接圆,则实数k=________. 答案:3 (考查两直线位置关系,圆的几何性质) *6.设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和圆(x-6)2+y2=8上的点,则P,Q两点间的最大距离是 . 答案:9 (考查圆的几何性质,解析几何中的最值问题) *7.过圆x2+y2=4内一点P(1,1)作两条相互垂直的弦AC,BD,当AC=BD时,四边形ABCD的面积为________. 答案:6 (考查直线与圆的位置关系,点到直线的距离) ***8.设集合A={(x,y)|≤(x-2)+y≤m,x,y∈R},B={(x,y)|2m≤x+y≤2m+1,x,y∈R},若A∩B≠?,则实数m的取值范围是___________. 答案:[,2+] (考查集合的含义,直线与圆的位置关系,不等式表示的平面区域及综合分析问题的能力) **9.如图,在直角梯形ABCD中,AB⊥AD,AD=DC=1,AB=3,动点P在以点C为圆心,且与直线BD相切的圆内运动,设=α+β(α,β∈R),则α+β的取值范围是    答案:(1,) (考查建系法解决向量问题,圆的标准方程,线性规划解决线性问题等等,本题也可以用向量的等和线解决范围α+β问题) ***10.在平面直角坐标系xOy中,圆C:x2+y2=r2,点A(3,0),B(0,4),若点P为线段AB上的任意点, 在圆C上均存在两点M、N,使得=,则半径r的取值范围 ▲ 答案:[,) (考查圆的定比分点问题,垂径定理,勾股定理,方程组有解,不等式恒成立问题) 11.如图,在平面直角坐标系xOy中,点A(0,3),直线l:y=2x-4,设圆C的半径为1,圆心在l上. * (1)若圆心C也在直线y=x-1上,过点A作圆C的切线,求切线的方程; ** (2)若圆C上存在点M,使MA=2MO,求圆心C的横坐标a的取值范围. 答案:(1)y=3或3x+4y-12=0; (2)a的取值范围为[0,]. (考查直线与圆相切问题,求轨迹方程问题,两曲线交点问题及圆与圆位置关系问题) 12. 已知以点A(-1,2)为圆心的圆与直线l1:x+2y+7=0相切.过点B(-2,0)的动直线l与圆A相交于M,N两点,Q是MN的中点,直线l与l1相交于点P. *(1)求圆A的方程; *(2)当MN=2时,求直线l的方程; ** (3)·是否为定值?如果是,求出其定值;如果不是,请说明理由. 答案:(1) (x+1)2+(y-2)2=20; (2) x=-2或3x-4y+6=0; (3) ·为定值-5. (考查求圆的方程,割线方程,弦长问题及定值问题) 13.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的下顶点为B,点M.N是椭圆上异于点B的动点,直线BM,BN分别与x轴交于点P,Q,且点Q是线段OP的中点.当点N运动到点(,)处时,点Q的坐标为(,0). (1)求椭圆C的标准方程; (2)设直线MN交y轴于点D,当点M,N均在y轴右侧,且=2时,求直线BM的方程. 解:(1)由N(,),Q(,0),得直线NQ的方程为y=x-. 令x=0,得点B的坐标为(0,-). 所以椭圆的方程为+=1 . 将点N的坐标(,)代入,得+=1,解得a2=4. 所以椭圆C的标准方程为+=1. (2)方法一:设直线BM的斜率为k(k>0),则直线BM的方程为y=kx-. 在y=kx-中,令y=0,得xP=,而点Q是线段OP的中点,所以xQ=. 所以直线BN的斜率kBN=kBQ==2k. 联立,消去y,得(3+4k2)x2-8kx=0,解得xM= . 用2k代k,得xN= . 又=2,所以xN=2(xM-xN),得2xM=3xN. 故2=3,又k>0,解得k=. 所以直线BM的方程为y=x-. 方法二:设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2). 由B(0,-),得直线BM的方程为y= x-, 令y=0,得xP=. 同理,得xQ=. 而点Q是线段OP的中点,所以xP=2xQ,故=2. 又=2,所以x2=2(x1-x2),得x2=x1>0,从而=, 解得y2=y1+. 将代入到椭圆C的方程中,得+=1. 又x12=4(1-),所以+=1, 即y12+2y1-=0, 解得y1=-(舍)或y1=.又x1>0,所以点M的坐标为M(,). 故直线BM的方程为y=x-. 教 学 反 思 成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军
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  • 资料类型: 教案
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:全国
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