[ID:3-6112252] 【教案】直线与圆、圆与圆之五种题型
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个性化教学辅导教案 学生姓名 年 级 学 科 数 学 上课时间 教师姓名 课 题 直线与圆、圆与圆之五种题型 教学目标 直线与圆、圆与圆之五种题型 教学过程 教师活动 学生活动 类型一:圆的方程 一、前测回顾 1.经过三点A(4,3),B(5,2),C(1,0)的圆的方程为 . 2.一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴上,则该圆的标准方程为 . 3.已知圆C的圆心位于第二象限且在直线y=2x+1上,若圆C与两个坐标轴都相切,则圆C的标准方程是 ______. 答案:1. x2+y2-6x-2y+5=0 2. (x±) 2+y2=; 3. 2+2= 二、方法联想 求圆的方程 方法1:三点代入圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0,求解D、E、F. 方法2:三角形两边的垂直平分线交点为圆心. 方法3:直角三角形外接圆的直径为斜边. 优先判断三角形是否为直角三角形,若为直角三角形,用方法3;若只涉及圆心,可用方法2;方法1可直接求出圆心和半径. 三、方法应用 例1.在平面直角坐标系xoy中,已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1、F2,焦距为2,一条准线方程为x=2.P为椭圆C上一点,直线PF1交椭圆C于另一点Q. (1) 求椭圆C的方程; (2) 若点P的坐标为(0,b),求过P、Q、F2三点的圆的方程; (3) 若=λ,且λ∈,求·的最大值. 解:(1) 由题意得解得c=1,a2=2, 所以b2=a2-c2=1. 所以椭圆的方程为+y2=1. (2) 因为P(0,1),F1(-1,0),所以PF1的方程为x-y+1=0. 由 解得或 所以点Q的坐标为. (解法1)因为kPF1·kPF2=-1,所以△PQF2为直角三角形. 因为QF2的中点为,QF2=, 所以圆的方程为+=. (解法2)设过P、Q、F2三点的圆为x2+y2+Dx+Ey+F=0, 则 解得 所以圆的方程为x2+y2+x+y-=0. (3) 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则 =(x1+1,y1),=(-1-x2,-y2). 因为=λ, 所以 即 所以 解得x2=. 所以·=x1x2+y1y2=x2(-1-λ-λx2)-λy =-x-(1+λ)x2-λ =--(1+λ)·-λ =-. 因为λ∈, 所以λ+≥2=2,当且仅当λ=,即λ=1时取等号. 所以·≤,即·的最大值为. (考查椭圆方程,圆的方程,向量的坐标运算,函数最值) 例2.设抛物线的焦点为,过且斜率为的直线与交于,两点,. (1)求的方程 (2)求过点,且与的准线相切的圆的方程. 解:(1)由题意得,的方程为,. 设,.由得. 故. 所以. 由题设知,解得(舍去),.因此的方程为. (2)由(1)得的中点坐标为,所以的垂直平分线方程为 ,即.设所求圆的圆心坐标为,则 ,解得或, 因此所求圆的方程为或. (考查抛物线定义,圆的方程) 例3.如图,在平面直角坐标系XOY中,已知点A(-3,4),B(9,0),C,D分别为线段OA,OB上的动点,且满足AC=BD. (1)若AC=4,求直线CD的方程; (2)证明:△OCD的外接圆恒过定点(异于原点O). 解(1):因为A(-3,4),所以OA==5. 因为AC=4,所以OC=1,所以C. 由BD=4,得D(5,0), 所以直线CD的斜率为=-, 所以直线CD的方程为y=-(x-5),即x+7y-5=0. (2) 证明:设C(-3m,4m)(00)在交点处的切线互相垂直,则r= . 答案:(1) x=1或5x+12y-5=0;2;3x+2y-7=0. (2)(x-3)2+(y-1)2=5.(3)3 二、方法联想 相切问题 位置判断:方法1:利用d=r;方法2:在已知切点坐标的情况下,利用圆心和切点的连线与切线垂直. (2)如图,在Rt△PAC 中,切线长PA=; 当圆外一点引两条切线时, (1)P、A、B、C四点共圆(或A、B、C三点共圆),其中PC为直径; (2)两圆的方程相减可得切点弦的直线方程. (3)PC为∠APB的平分线,且垂直平分线段AB. 三、方法应用 例1. 在平面直角坐标系xOy中,已知圆C:x2+(y-3)2=2,点A是x轴上的一个动点,AP,AQ分别切圆C于P,Q两点,则线段PQ的长的取值范围是________. (直线与圆相切时,利用所得到的直角三角形,向点与圆心的距离问题转化) 答案:[,2) 例2.已知圆M:(x-1)2+(y-1)2=4,直线l:x+y-6=0,A为直线l上一点.若圆M上存在两点B,C,使得∠BAC=60°,则点A横坐标的取值范围是__________. (∠BAC最大时,直线与圆相切,转化为点与圆心的距离问题) 答案:[1,5]  四、归类巩固 *1.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________. (已知直线与圆相切,圆心到直线的距离即为半径,求半径的最值;或者紧扣直线过定点解题) 答案:(x-1)2+y2=2. **2.平面直角坐标系xOy中,点P在x轴上,从点P向圆C1:x2+(y-3)2=5引切线,切线长为d1,从点P向圆C2:(x-5)2+(y+4)2=7引切线,切线长为d2,则d1+d2的最小值为_____. (求切线长问题再利用数形结合思想解决最值问题) 答案:5 解:设点P(x,0),则 d1=,d2=,d1+d2=+, 几何意义:点P(x,0)到点M(0,2),N(5,-3)的距离和. 当M,P,N三点共线时,d1+d2有最小值5,此时P(2,0) ***3.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(1,1),B(1,-1),点P为圆(x-4)2+y 2=4上任意一点,记△OAP和△OBP的面积分别为S1和S2,则 的最小值是 ▲ . 答案:2- (数形结合利用相切情况解决最值问题) 类型三:直线与圆的相交问题 前测回顾 1.已知过定点P(1,2)的直线l交圆O:x2+y2=9于A,B两点,若AB=4,则直线l的方程为 ; 当P为线段AB的中点时,则直线l的方程为 . 2.已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(-1,4)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 . 答案:1.x=1或3x-4y+5=0;x+2y-5=0.2.30; 二、方法联想 相交弦问题 直线与圆的位置关系判断方法: 代数法和几何法. (1) 圆心角θ、弦长L、半径R和弦心距d中三个量可以建立关系式. 如:()2+d2=R2,d=Rcos,=Rsin. (2)相交弦的垂直平分线过圆心. (3)过圆内一定点,最长的弦为直径,最短的弦与过定点的直径垂直. 三、方法应用 例1.如图,某工业园区是半径为10 km的圆形区域,离园区中心O点5 km处有一中转站P,现准备在园区内修建一条笔直公路AB经过中转站,公路AB把园区分成两个区域. (1) 设中心O对公路AB的视角为α,求α的最小值,并求较小区域面积的最小值; (2) 为方便交通,准备过中转站P在园区内再修建一条与AB垂直的笔直公路CD,求两条公路长度和的最小值. 解:(1) 如图1,作OH⊥AB,设垂足为H,记OH=d,α=2∠AOH, 因为cos∠AOH=,要使α有最小值,只需要d有最大值,结合图象可得d≤OP=5 km, 当且仅当AB⊥OP时,dmax=5 km. 此时αmin=2∠AOH=2×=. 设AB把园区分成两个区域,其中较小区域面积记为S, 根据题意可得S=f(α)=S扇形-S△AOB=50(α-sinα), f′(α)=50(1-cosα)≥0恒成立,f(α)为增函数, 所以Smin=f=50 km2.(8分) 答:视角的最小值是,较小区域面积的最小值是50 km2. (2) 如图2,过O分别作OH⊥AB,OH1⊥CD,垂足分别是H,H1, 记OH=d1,OH1=d2,由(1)可知 d1∈[0,5], 所以d+d=OP2=25,且 d=25-d.(10分) 因为AB=2,CD=2, 所以AB+CD=2(+) =2(+),(11分) 记L(d1)=AB+CD=2(+), 可得L2(d1)=4[175+2], 由d∈[0,25],可得d=0,或d=25时,L2(d1)的最小值是100(7+4), 从而AB+CD的最小值是20+10 km. 答:两条公路长度和的最小值是20+10 km. (考查圆的垂径定理,圆的几何性质,弓形面积求法,函数的最值的求法等等). 例2. 如图,在平面直角坐标系中,已知点,圆O:与x轴的正半轴的交点是Q,过点P的直线与圆O交于不同的两点A,B. (1)若直线与y轴交于D,且,求直线的方程; (2)设直线QA,QB的斜率分别是,求的值; (3)设AB的中点为M,点N,若,求的面积. 解:(1)若直线垂直与x轴,则方程为,与圆只有一个交点,不合题意. 故存在斜率,设直线的方程为 即,圆心到直线的距离, 因为直线与圆O交于不同的两点A,B,所以,解得. 又,,所以 所以,解得或(舍去), 所以直线的方程是. (2)联立得 设,则 所以 . 即的值是 (3)法一:设中点, 则由(2)知(*) 又由,得 化简得, 将(*)代入解得. 因为圆心到直线的距离, 所以,Q到直线的距离, 所以 即面积为4. 法二:设中点, 由,化简得,① 又,所以M在以OM为直径的圆上(在圆O的内部) 即 ② 联立①②解得,再求得面积为4. 四、归类巩固 *1.直线l1:y=kx+3与圆C:(x-2)2+(y-3)2=4相交于M,N两点,若MN≥2,则k的的取值范围是________. (已知弦长范围,求参数取值范围) 答案: [-,]  *2.过点P(-4,0)的直线l与圆C:(x-1)2+y2=5相交于A,B两点,若点A恰好是线段PB的中点,则直线l的方程为________. (已知弦的性质,求直线方程) 答案:x±3y+4=0  **3.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线交x轴于C,D两点,若AB=2,则CD= . (已知弦长,求直线方程及有关量的取值) 答案:4 ***4.在平面直角坐标系xOy中,圆C1:(x+1)2+(y-6)2=25,圆C2:(x-17)2+(y-30)2=r2.若圆C2上存在一点P,使得过点P可作一条射线与圆C1依次交于点A,B,满足PA=2AB,则半径r的取值范围是________. (已知两弦长关系求参数范围问题) 答案:[5,55] 类型四:圆上点到直线或点的距离问题 前测回顾 1.已知实数x,y满足x2+y2=4, 则(x-3)2+(y-4)2的范围是 . 2.圆C:x2+(y-2)2=R2(R>0)上恰好存在2个点,它到直线y=x-2上的距离为1,则R的取值范围为 . 答案:1. [9,49]; 2.1<R<3. 二、方法联想 圆上的点到直线的距离 (1)当直线与圆相离时, 圆上点到直线距离,在点A处取到最大值d+R,在点B取到最小值d-R. (2)当直线与圆;在圆外时,圆上的点到点的最大距离是d+R,最小距离是d-R. 当点在圆内时,圆上的点到点的最大距离是d+R,最小距离是R-d. 圆上的点到点的距离 (1)当已知点在圆外时, 圆上点到已知点距离最大值d+R,最小值d-R. 当已知点在圆内时,圆上的点到点的最大距离是d+R,最小距离是R-d. 方法应用 例1. 在平面直角坐标系xOy中,已知点P是直线l:y=x-2上的动点,点A,B分别是圆C1:(x+3)2+(y-1)2=4和圆C2:x2+(y-3)2=1上的两个动点,则PA+PB的最小值为 . 答案:-3. (考查点与圆的距离问题,点关于直线的对称问题) 例2. 已知点A(0,2)为圆M:x2+y2-2ax-2ay=0(a>0)外一点,圆M上存在点T使得∠MAT=45°,则实数a的取值范围是________________. 答案:-1≤a<1 解析:点A(0,2)在圆M:x2+y2-2ax-2ay=0(a>0)外,得4-4a>0,则a<1.圆M上存在点T使得∠MAT=45°,则≤r=a,即AM≤2a,(a-2)2+a2≤4a2(a>0),解得-1≤a.综上,实数a的取值范围是-1≤a<1. (考查了点与圆的位置关系,两点之间的距离,一元二次不等式解法等内容) 例3.已知圆C:(x-2)2+y2=4,线段EF在直线l:y=x+1上运动,点P为线段EF上任意一点,若圆C上存在两点A,B,使得·≤0,则线段EF长度的最大值是________. 答案:  (考查直线与圆的位置关系,解三角形,向量的数量积,两点间距离) 归类巩固 *1.在平面直角坐标系xOy中,已知圆x2+y2=4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的距离为1,则实数c的取值范围是 . 答案:(-13,13) (已知圆上点到直线距离求参数范围) **2.在平面直角坐标系xOy中,已知圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5C与y轴交于点O,B,其中O为原点.设P为直线l:x+y+2=0上的动点,Q为圆C上的动点,求PB+PQ的最小值及此时点P的坐标. 答案:PB+PQ的最小值为2,此时P点坐标为(-,-) 类型五:两圆的位置关系问题 前测回顾 1.已知圆C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0和圆C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0,若两圆相交,实数m的取值范围为 . 2.已知圆O1:x2+y2-4x-2y-4=0,圆O2:x2+y2-6x+2y+6=0,则两圆的公共弦长度为 . 答案:1.-5<m<-2或-1<m<2;2.4. 二、方法联想 两圆位置关系问题 位置关系d与r1,r2的关系公切线条数外离d>r1+r24外切d=r1+r23相交|r1-r2|<d<r1+r22内切d=|r1-r2|1内含0<d<|r1-r2|0 两圆相交问题 (1)两圆的方程相减可得相交弦的直线方程. (2)两圆相交时,两圆圆心的连线垂直平分公共弦. 两圆相切问题 两圆相切时,两圆圆心的连线过两圆的切点. 三、方法应用 例1. 在平面直角坐标系xOy中, 已知直线y=x+1与x轴,y轴分别交于M,N两点,点P在圆(x-a)2+y2=2上运动,若∠MPN恒为锐角,则实数a的取值范围是 . 答案:(-∞,-1-)∪(-1,+∞) (考查两圆的位置关系) 例2.在平面直角坐标系xOy中,A,B为x轴正半轴上的两个动点,P(异于原点O)为y轴上的一个定点.若以AB为直径的圆与圆x2+(y-2)2=1相外切,且∠APB的大小恒为定值,则线段OP的长为________. 答案: (考查两圆的位置关系,定值问题处理方法) 例3.已知直线:与轴交于点,点在直线上,圆: 上有且仅有一个点满足,则点的横坐标的取值集合为 . 答案: (考查两圆的内切外切关系,计算量较大,也可以两圆相减转化为线圆相切等) 四、归类巩固 *1. 若两点A(1,0),B(3,2)到直线l的距离均等于1,则直线l的方程为 . (转化为两圆位置关系看公切线条数或者研究直线与线段A B平行和过线段A B中点两种情况) 答案:x-y +2-=0或x-y -2-=0或x-y+1=0或x-2=0. **2.在平面直角坐标系xOy中,圆C的方程为(x-1)2+(y-1)2=9,直线l:y=kx+3与圆C相交于A,B两点,M为弦AB上一动点,以M为圆心,2为半径的圆与圆C总有公共点,则实数k的取值范围为________. (已知两圆位置关系,求参数取值范围) 答案:[-,+∞) ***3.在平面直角坐标系xOy中,已知圆O:x2+y2=1,O1:(x-4)2+y2=4,动点P在直线x+y-b=0上,过P分别作圆O,O1的切线,切点分别为A,B,若满足PB=2PA的点P有且只有两个,则实数b的取值范围是________. (已知两圆切线长的关系,求参数取值范围) 答案: (-,4) 教 学 反 思 成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军
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  • 资料类型: 教案
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:全国
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