[ID:3-6112250] 【教案】圆锥曲线之综合题型
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个性化教学辅导教案 学生姓名 年 级 学 科 数 学 上课时间 教师姓名 课 题 教学目标 教学过程 教师活动 学生活动 一、例题分析 例1. 如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆上一点(在x轴上方),连结PF1并延长交椭圆于另一点Q,设=λ. *(1)若点P的坐标为 (1,),且△PQF2的周长为8,求椭圆C的方程; **(2)若PF2垂直于x轴,且椭圆C的离心率 e∈[,],求实数λ的取值范围. 解:(1)因为F1,F2为椭圆C的两焦点,且P,Q为椭圆上的点, 所以PF1+PF2=QF1+QF2=2a,从而△PQF2的周长为4a. 由题意,得4a=8,解得a=2. 因为点P的坐标为 (1,),所以+=1, 解得b2=3. 所以椭圆C的方程为+=1. (2)方法一:因为PF2⊥x轴,且P在x轴上方,故设P(c,y0),y0>0.设Q(x1,y1). 因为P在椭圆上,所以+=1,解得y0=,即P(c,). 因为F1(-c,0),所以=(-2c,-),=(x1+c,y1). 由=λ,得-2c=λ(x1+c),-=λy1, 解得x1=-c,y1=-,所以Q(-c,-). 因为点Q在椭圆上,所以()2e2+=1, 即(λ+2)2e2+(1-e2)=λ2,(λ2+4λ+3)e2=λ2-1, 因为λ+1≠0, 所以(λ+3)e2=λ-1,从而λ==-3. 因为e∈[,],所以≤e2≤,即≤λ≤5. 所以λ的取值范围为[,5]. 方法二:因为PF2⊥x轴,且P在x轴上方,故设P(c,y0),y0>0. 因为P在椭圆上,所以+=1,解得y0=,即P(c,). 因为F1(-c,0),故直线PF1的方程为y=(x+c). 由得(4c2+b2)x2+2b2cx+c2(b2-4a2)=0. 因为直线PF1与椭圆有一个交点为P(c,).设Q(x1,y1), 则x1+c=-,即-c-x1=. 因为=λ, 所以λ======-3. 因为e∈[,],所以≤e2≤,即≤λ≤5. 所以λ的取值范围为[,5]. 〖教学建议〗 (1)问题归类与方法: 本题离心率与参数值有等量关系,求参数范围本质上等价于求离心率范围. 求椭圆、双曲线的离心率的范围,有两种情形,①题中给出的是关于基本量a,b,c的齐次不等关系;②题中给出的是关于基本量a,b,c与某一变化的量之间的一个等量关系,即f(P)=g(a,b,c),根据g(a,b,c)在f(P)的值域内,可得关于基本量a,b,c的齐次不等关系. (2)方法选择与优化:本题既可以从向量式选择坐标形式代入椭圆方程求函数关系式,也可以从P点坐标已知选择联立椭圆的方法求另一点,再求函数关系;最后也可以用λ表示离心率e,解不等式求出λ的范围. 例2.已知椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为F(-c,0),右顶点为A,点E的坐标为(0,c),△EFA的面积为. *(1)求椭圆的离心率; (2)设点Q在线段AE上,|FQ|=c,延长线段FQ与椭圆交于点P,点M,N在x轴上,PM∥QN,且直线PM与直线QN间的距离为c,四边形PQNM的面积为3c. **(i)求直线FP的斜率; ***(ii)求椭圆的方程. 解:(1)设椭圆的离心率为e.由已知,可得(c+a)c=.又由b2=a2-c2,可得2c2+ac-a2=0,即2e2+e-1=0.又因为0<e<1,解得e=. 所以,椭圆的离心率为. (2)(ⅰ)方法一:依题意,设直线FP的方程为x=my-c(m>0),则直线FP的斜率为. 由(Ⅰ)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,与直线FP的方程联立,可解得x=,y=,即点Q的坐标为(,). 由已知|FQ|=,有[+c]2+()2=()2,整理得3m2-4m=0,所以m=,即直线FP的斜率为. 方法二:由(Ⅰ)知a=2c,可得直线AE的方程为+=1,即x+2y-2c=0,又|FQ|=c 设Q(x0,y0) ,则 消y0 得5x+4cx0-c2=0, x0=-c(舍)或 ,所以Q(,c) ,直线FP的斜率为. (ii)方法一:由(i)得直线FP的方程为3x-4y+3c=0 ,与椭圆+=1 联立得7x2+6cx-13c2=0,x=-c (舍)或c ,所以P(c,c) 由(i)得Q(,c),由题直线QN,直线PM的斜率一定存在,设为k0 , 设PM:k0x-y-k0c+c=0 ,QN:k0x-y-c+c=0,两平行线距离为=c ,解得k0=- ,所以M(c,0),N(c,0) ,四边形PQNM的面积为SΔPFM-SΔFQN=(c+c)×c-(c+c)×c=3c ,解得c=2 ,所以椭圆的方程为 +=1 . 方法二:同方法一求出k0=-,所以FP⊥QN,FP⊥PM , 又P(c,c),Q(,c),直线FP的斜率为.即tan∠PFM= ,|FQ|=c,|FP|=c ,所以四边形PQNM的面积为 (QN+PM)·c=(×c+×c)·c=3c ,解得c=2 ,所以椭圆的方程为 +=1 . 方法三:可利用|FQ|=c,|FP|=c得FP-FQ=c 即直线PM与直线QN间的距离,直接得FP⊥QN,FP⊥PM,避免求k0的值简化运算过程. 〖教学建议〗 (1)问题归类与方法: 1.求椭圆、双曲线的离心率,本质上是要找出关于基本量a,b,c的一个齐次关系,从而求出离心率; 2.直线与椭圆相交于两点问题 ①已知其中一点坐标(x,y),设出直线的方程,与椭圆方程联立,可用韦达定理求出另一根; ②两点均未知 方法1 设两点A(x1,y1)、B(x2,y2),直线方程与椭圆方程联立,消去y得关于x的方程Ax2+Bx+C=0,由韦达定理得x1+x2=-,x1x2=,代入已知条件所得式子消去x1,x2(其中y1,y2通过直线方程化为x1,x2). 有时也可以直接求出两交点. (2)方法选择与优化: 本题对考生计算能力要求较高,是一道难题重点考察了计算能力,以及转化与化归的能力,解答此类题目,利用a,b,c,e的关系,确定椭圆离心率是基础,通过联立直线方程与椭圆(圆锥曲线)方程的方程组,一般都是根据根与系数的关系解题,但本题需求解交点坐标,再求解过程逐步发现四边形PQNM的几何关系,从而求解面积,计算结果,本题计算量比较大. 二、反馈巩固 *1.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为4,则C的方程为 . 答案:+=1 (考查椭圆的定义,离心率及椭圆的方程) *2.在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2-y2=1右支上的一个动点.若点P到直线x-y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为________. 答案:(利用双曲线与渐近线的几何性质求解) *3.如图,在平面直角坐标系xOy中,F是椭圆+=1(a>b>0)的右焦点,直线y=与椭圆交于B,C两点,且∠BFC=90°,则该椭圆的离心率是 . 答案: (考查椭圆的定义,离心率及椭圆的方程) *4.已知方程-=1表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为4,则n的取值范围是 . 答案:(–1,3) (考查双曲线的标准方程及几何性质) *5.椭圆C:+=1的左右顶点分别为A1,A2,点P在C上且直线PA2斜率的取值范围为[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是 . 答案:[,] (考查椭圆的几何性质,定值问题,函数的值域) **6.设F1,F2分别是椭圆E:x2+=1(0<b<1)的左、右焦点,过点F1的直线交椭圆E于A,B两点. 若AF1=3F1B,AF2⊥x轴,则椭圆E的方程为________. 答案:x2+y2=1 (考查用待定系数法求椭圆方程,利用向量法研究点坐标之间的关系) ***7.点M是椭圆+=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的圆与x轴相切于椭圆的焦点F,圆M与y轴相交于P,Q,若ΔPQM是钝角三角形,则椭圆离心率的取值范围是 . 答案:(0,) (考查直线与圆相切,圆的几何性质,椭圆的方程及离心率的计算) **8.如图,点A是椭圆 + =1(a>b>0)的下顶点. 过A作斜率为1的直线交椭圆于另一点P,点B在y 轴上, 且BP∥x轴,·=9,若B点坐标为(0,1),则椭圆 方程是 . 答案:+=1 (考查平面图形的几何性质,求椭圆方程,向量的数量积运算) **9.已知椭圆+=1上有一点P,F1,F2是椭圆的左、右焦点,若△F1PF2为直角三角形,则这样的点P有________个. 答案:6 (考查椭圆的几何性质,焦点三角形) **10.椭圆C:+=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,若椭圆C上恰好有6个不同的点P,使得△F1F2P为等腰三角形,则椭圆C的离心率的取值范围是   . 答案:(,)∪(,1) (考查椭圆的定义,焦点三角形,标准方程和简单几何性质) **11.在平面直角坐标系xOy中,设定点A(a,a),P是函数y=(x>0)图象上一动点,若点PA之间的最短距离为2,则满足条件的实数a的所有值为_______. 答案:-1或 (考查两点距离,函数的最值问题) 12.如图,在平面直角坐标系xOy中,F1,F2分别是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,顶点B的坐标为(0,b),连结BF2并延长交椭圆于点A,过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C,连结F1C. * ( (第1 4 题) )(1)若点C的坐标为(,),且BF2=,求椭圆的方程; ** (2)若F1C⊥AB,求椭圆离心率e的值. 答案:(1) +y2=1;(2). (考查求椭圆的标准方程,离心率问题) 13.已知椭圆+=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e. *(1)若e= ,求椭圆的方程; **(2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且<e≤ ,求k的取值范围. 答案:(1)+=1 ; (2)(-∞,-]∪[,+∞) . (本题可以利用平面几何知识得F2A⊥F2B简化运算,考查函数值域问题) 14.如图,已知动直线与椭圆交于两个不同点. *(1)若动直线又与圆相切,求的取值范围. **(2)若动直线与轴交于点,满足,点O为坐标原点.求面积的最大值,并指出此时的值. 解:把代入椭圆方程得: (Ⅰ) 即直线与圆相切, 把(3)代入(2)得: 解得:或 (Ⅱ)设 , 由(1)式得: 又是方程(1)的根, ,依题意得,显然满足 当且仅当即(符合题意), 当时,的面积取最大值为1. (考查直线与圆位置关系,直线与椭圆的位置关系,函数最值问题) 15.如图,在平面直角坐标系xOy中,已知点F1、F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点,过点F1、F2分别作倾斜角都为α(α≠0)的两条直线AB、DC,分别交椭圆E于点A、B和D、C.当α=时,点B坐标为(0,1). *(1) 求椭圆E的方程; ** (2) 当α变化时,讨论线段AD与BC长度之间的关系,并给出证明; *** (3) 当α变化时,求四边形ABCD面积的最大值及对应的α值. 答案:(1) +y2=1;(2) AD=BC;(3)α=. (考查椭圆方程,直线被椭圆截得弦长及四边形面积的范围、最值) 16.如图,圆O与离心率为的椭圆T:+=1(a>b>0)相切于点M(0,1). *⑴求椭圆T与圆O的方程; ⑵过点M引两条互相垂直的两直线l1,l2与两曲线分别交于点A,C与点B,D(均不重合). **①若P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为d1,d2,求d+d的最大值; ***②若3·=4·,求l1与l2的方程. 解: (1)+y2=1,x2+y2=1. (2)①,此时P(±,-). ②l1:y=x+1,l2:y=-x+1 或l1:y=-x+1,l2:y= (考查椭圆的基本量计算,椭圆上点的坐标的设法及范围,直线与圆锥曲线相交,已知其中一个交点,求另一交点的坐标,利用相似比减少解析几何中的运算量.问题2中,d+d实际上就是矩形的对角线的平方,即PM2.问题3中,求出A,C点坐标后,直接用-替换k,得到B,D点坐标.或将3·=4·转化为3(k2+1)xAxC=4(+1)xBxD.) 17.如图,已知抛物线x2=y,点A(-,),B(,),抛物线上的点P(x,y)(-<x<).过点B作直线AP的垂线,垂足为Q. *(1)求直线AP斜率的取值范围; ***(2)求|PA|·|PQ|的最大值. 答案:(1)(-1,1);(2) (试题分析:(1)由两点求斜率公式可得AP的斜率为x-,由-<x<,得AP斜率的取值范围;(2)联立直线AP与BQ的方程,得Q的横坐标,进而表达|PA|与|PQ|的长度,通过函数f(k)=-(k-1)(k+1)3求解|PA|·|PQ|的最大值.也可以利用向量的数量积的投影法: |PA|·|PQ|=·减少了求Q点坐标问题达到简化运算的目的.) 18.已知斜率为的直线与椭圆交于,两点.线段的中点为. (1)证明:; (2)设为的右焦点,为上一点,且.证明:. 解:(1)设直线方程为,设,, 联立消得, 则, 得…①, 且,, ∵,∴ 且. 且…②. 由①②得, ∴或. ∵,∴ . (2),, ∵,,∴的坐标为. 由于在椭圆上,∴ ,∴,, 又,, 两式相减可得, 又,,∴, 直线方程为, 即, ∴, 消去得,, , , ∴. (考查直线与椭圆的位置关系,中点弦问题及椭圆的统一定义等) 19.如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆E:+=1(a>b>0)的离心率为,上顶点A到右焦点的距离为.过点D(0,m)(m≠0)作不垂直于x轴,y轴的直线l交椭圆E于P,Q两点,C为线段PQ的中点,且AC⊥OC. (1)求椭圆E的方程; (2)求实数m的取值范围; (3)延长AC交椭圆E于点B,记△AOB与△AOC的面积分别为S1,S2,若=,求直线l的方程. 19. 解:(1)因为 所以c=1,b2=a2-c2=1, 所以椭圆E的方程为+y2=1. 解法一: (2)由(1)得A(0,1). 设P(x1,y1),Q(x2,y2),C(x0,y0),其中x0,y0均不为0,且x1≠x2. 因为P,Q两点都在椭圆E上,所以x12+2y12=2 且x22+2y22=2, 两式相减得×=-. 又= ,所以×=-, 即x02=2y0(m-y0). ① 又AC⊥OC,所以×=-1, 即x02=y0(1-y0). ② 由①②得y0=2m-1,x02=(1-2m) (2m-2)∈(0,2), 所以<m<1. (3)设B(x3,y3),点B在椭圆E上,所以x32+2y32=2. 又AC⊥OC,所以×=-1,即y3=-x3+1, 代入上式消去y3,得x3=, 所以==||=| |. 由(2)知y0=2m-1,x02=(1-2m) (2m-2),<m<1, 所以=| |=| |=. 因为=,所以=,解得m=, 此时y0=2m-1=,x02=(1-2m) (2m-2)=,所以x0=±, 所以C点坐标为(±,),D点坐标为(0,), 所以直线l的方程为y=±x+. 解法二: (2)由(1)得A(0,1).设P(x1,y1),Q(x2,y2),C(x0,y0). 设直线l方程为y=kx+m(k≠0), 将其与椭圆E的方程联立,消去y得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0 (*), 所以x1+x2=, 所以x0==,y0=kx0+m=,即C(,), 所以kAC===. 又因为kOC===-,且AC⊥OC, 所以kAC×kOC=×(-)=-1, 整理得m=. 因为k≠0,则m===1-=1-∈(,1), 此时△=8(2k2+1-m)>0, 所以实数m的取值范围为(,1). (3)设B(x3,y3), kAB=-=2k,所以直线AB的方程为y=2kx+1, 与椭圆E方程联立解得x=-或0(舍),即x3=-. 又因为x0==×=, 所以==||=. 因为=,所以=,解得k=±, 此时m==,D点坐标为(0,), 所以直线l的方程为y=±x+. 20.【2018~2019扬州期末18】在平面直角坐标系中,椭圆M:(a>b>0)的离心率为,左右顶点分別为A,B,线段AB的长为4.P在椭圆M上且位于第一象限,过点A,B分别作l1⊥PA,l2⊥PB,直线l1,l2交于点C. (1)若点C的横坐标为﹣1,求P点的坐标; (2)直线l1与椭圆M的另一交点为Q,且,求的取值范围. 【答案】第一问利用结论,证明就用点差法. 解:由题意得,解得,∴ ∴椭圆M的方程是且 …………3分 (1)方法一:设,,∵ ∴直线AC的方程为, 同理:直线BC的方程为. 联立方程,解得,又∵, ∴点C的坐标为, …………6分 ∵点的横坐标为 ∴,又∵P为椭圆上第一象限内一点 ∴ ∴点的坐标为. …………8分 (2)设 ∵ ∴,解得: ∵点在椭圆上 ∴ 又 整理得:,解得:或 …………14分 ∵P为椭圆上第一象限内一点 ∴,解得: …………16分 方法二:(1)设的斜率为,, ∵P为椭圆上第一象限内一点 ∴ ∵ ∴的斜率为. 联立方程,解得,即 ∵,∴,则AC的方程为 ∵,∴,则BC的方程为. 由,得,即 …………6分 ∵点的横坐标为 ∴,解得: ∵ ∴ ∴点的坐标为. …………8分 (2)设,,又直线AC的方程为: 联立方程,得 ∴,解得: ∵ ∴ , …………14分 ∵ ∴ …………16分 教 学 反 思 成为受人尊敬的百年育人集团,让孩子成为人生道路上的冠军
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  • 资料类型: 教案
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:全国
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