[ID:3-6735457] 清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月测试文数试卷和答案
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第1页 共 5 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年 1 月测试 文科数学(一卷)答案 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 D A D A B B B C B A D C 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. ? ) ( ?1,0 0,1? 14. ( ? ??0,2 4 15. ( ) 1 ,0 0, 2 ? ? ?? ? ? ? ? 16. 1 4 三、解答题:共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21 题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60 分. 17. 解:记 A表示事件:考生选择生物学科 B表示事件:考生选择物理但不选择生物学科; C表示事件:考生至少选择生物、物理两门学科中的 1 门学科; D表示事件:选择生物但不选择物理 E 表示事件:同时选择生物、物理两门学科 (1) ( ) ( )0 5 0 2P A . P B . C A B= = =, , , A B =? ………………………………2 分 ( ) ( ) ( ) ( ) 0.7P C P A B P A P B= = + = ………………………………5 分 (2)由某校高二段 400 名学生中,选择生物但不选择物理的人数为 140, 可知 ( ) 350.DP = ………………………………7 分 因为D E A= ………………………………9 分 ( ) ( ) ( ) 15.035.05.0 =?=?= DPAPEP ………………………………12分 第2页 共 5 页 18.解:(1)设数列{ }na 的公差为 d( 0d ? ), 由题意得 ? ? ? = = 51 2 2 1 1 aaa a ,解得 ? ? ? = = 2 11 d a ………………………………3 分 所以 2,12 nSna nn =?= ………………………………6 分 (2)因为 ( ) ( ) ? ? ? ? ? ? + ?= + = ?+ = 1 11 4 1 14 1 112 1 2 nnnnn bn ………………………………9 分 所以 ( )4 1 n n T n = + ………………………………12 分 19.解(1) 由已知 AP ⊥面PCD,可得 AP ⊥ PC , AP ⊥ CD , 由题意得, ABCD为直角梯形,如图所示,易得 / / BE CD ,所以, AP BE⊥ . 又因为 BE⊥ AC,所以 BE⊥ ⊥面 APC ,故 BE⊥ PO. ………………………………3 分 在直角梯形 ABCD中 2 2 ?AC AB AP AP PC= = ⊥, , , , 所以 PAC? 为等腰直角三角形,O 为斜边 AC 上的中点,所以PO AC⊥ . ABCD, 面?= BEOACBE ?? ,所以PO ⊥平面 ABCD …………………………6 分 (2)法一:以O为原点,分别以OB OC OP, , 为 x轴, y 轴,z 轴的建立直角坐标系. 不妨设 1BO = A(0,-1,0) , B(1,0,0), P (0,0,1), D(-2,1,0), 设 ( , , )n x y z= 是平面PBD 的法向量. 满足 0 0 n PB n BD ? ? =? ? ? =?? ,所以 0 3 0 x z x y ? + =? ? ? + =? ,则令 1x = ,解得 (1,3,1)n = …………9 分 2 22 sin cos , 11 AB n AB n AB n ? ? = = = ? ……………………………12 分 法二:(等体积法求 A 到平面 PBD 的距离) 第3页 共 5 页 设AB=1,点 A 到平面PBD 的距离为h,计算可得 PB=1,PD= 3 ,BD= 5 , 4 11 =ΔPBDS A PBD P ABDV V? ?= …………………………9 分 POShS ΔABDΔPBD ??=?? 3 1 3 1 , 1,ABDS? = 2 2 PO = 解得 2 22 11 h = …………………………11 分 2 sin 22 11 h AB ? = = …………………………12 分 20.解(1) x x a x ?+ln 在 ( ?1,0 恒成立,得 xxxa ln?? 在 ( ?1,0 恒成立。 令 xxxxh ln)( ?= ,则 ( ) x xx x 2 2ln2 h ' ?? = …………………………2 分 令 ,2ln2)( ??= xxxu 则 ( )' 1 1 0u x xx = ? ? 在 ( ?1,0 恒成立, 所以在 ( ?1,0 上, ( ) ( ) ,01 =? uxu 所以在 ( ?1,0 上 ( ) 0' ?xh , 所以 ( )xh 在 ( ?1,0 上递增,所以在 ( ?1,0 上 ( ) ( ) 11 =? hxh ,所以 1?a ……………………5 分 (2)即证: 4 1 lnln ??? mnnm , , (0,1)m n? 由(1)知, x x x ?+ 1 ln ,即 x x x ? ?? 1 ln ,当且仅当 1=x 时取到等号,因为 , (0,1)m n? , 所以 n m n n n m n m m m = ? ???= ? ??? 1 ln0, 1 ln0 ,所以 mnnm ?? lnln ,……9 分 所以 4 1 4 1 2 1 mlnln 2 ?+? ? ? ? ? ? ??=???? mnmnnmnnm ,即 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 4 f m f n g m g n? ? 成立 …………………………12 分 21.解:(1)显然 l 的斜率存在且不为 0, 第4页 共 5 页 设 1: +=myxl ,则 0:' =?+ mymxl , 由题意,得 ? ? ? ? ? ? +? ??? + +? 4 33 , 4 33 1 1 23 2 m m m …………………………2 分 所以直线 'l 斜率的取值范围为 ? ? ? ? ? ? +??? 4 33 , 4 33 . …………………………4 分 (2)设 ),(),,( 2211 yxByxA 联立方程组 ? ? ? = += xy myx 4 1 2 ,得 0442 =?? myy ,即 4,4 2121 ?==+ yymyy …………………………6 分 ( )1416161m1AB 222212 +=++=?+= mmmyy ……………………7 分 O 到直线 AB 的距离为 1 1 2 +m , ( )2 2AOB 2 1 1 S 4 m 1 2 1 2 1 m m ?? = ? + ? = + + …………………………9 分 ∵ ? ? ? ? ? ? +? ? 4 33 , 4 33 m , ? ? ? ? ? ? +? ?+? 8 3314 , 8 3314 12m , 2 2 3 6 2 3 6 2 14 3 3 ,14 3 3 2 2 ? ? ? ?? + ? = + =? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 3 3 1 3 3 11 , 4 4 m ? ?? + ? + ?? ? ? ? ,即 3 3 1 3 3 1 , 2 2 OABS? ? ?? + ?? ? ? ? 所以 AOB? 面积的取值范围是 3 3 1 3 3 1 , 2 2 ? ?? + ? ? ? ? …………………………12 分 (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分.作答时请写清题号. 22.【选修 4?4:坐标系与参数方程】 解:(1) 1C 的普通方程为 ( ) ( ) 22 1 3 4x y? + + = , ……………………2 分 ain π θρ = ? ? ? ? ? ? ? ? ???=? ? ? ? ? ? ? 2 1 cos 2 3 s 6 sin ??? ,即 023 =+? ayx 第5页 共 5 页 ?曲线 的直角坐标方程为 023 =+? ayx ……………………5 分 (2)由于圆 的半径为 2,圆 上恰有一个点到直线 023 =+? ayx 的距离为 1,所以 圆心 ( )31 ?, 到直线 023 =+? ayx 的距离为 3, ……………………7 分 由 3 2 231 = ++ = a d ,可得 51 ?= 或a , ……………………9 分 ?曲线 的直角坐标方程为 023 =+? yx 或 0103 =?? yx …………………10 分 23.【选修 4?5:不等式选讲】 (1)解:原不等式化为 1 2 5 2 1 0x x+ ? ? + ? ? 当 5 2 x ? 时,原不等式为 1 (2 5) 2 1 0x x+ ? ? + ? ? 得 5 2x ? + ,即 5 5 2 2 x? ? + ; 当 5 1 2 x? ? ? 时,原不等式为 1 (2 5) 2 1 0x x+ + ? + ? ? 得 5 2 3 x ? ? , 即 5 2 5 3 2 x ? ? ? ; 当 1x ? ? 时,原不等式为 ( )1 (2 5) 2 1 0x x? + + ? + ? ? 得 7 2x ? ? ,与 1x ? ? 矛盾; 所以解为 5 2 5 2 3 x ? ? ? + ……………………5 分 (2)函数的定义域为[2,3],且 0y ? 3 2 2 2 3y x x= ? + ? ( ) 2 2 2 23 2 2 ( 2) ( 3 ) 22x x? + ? ? + ? = ……………………9 分 ? max 22y = ,当且仅当 22323 ?=? xx ,即 11 31 =x 时取到最大值…………10 分 2C 1C 1C 2C 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 1 月测试 文科数学试卷(一卷) 本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 12小题,每小题 5分,共 60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.已知集合 ?? ??, 2 1 6U N A x x n,n N ,B x x n N= = = ? = ? ? ?, ,则 ( ) U A B = A.{2,3, 4,5,6} B.{2, 4, 6} C.{1,3,5} D.{3,5} 2.复数 2(1 )z mi= ? ( i 为虚数单位)为纯虚数,则实数m = A.? 1 B.-1 C.1 D.0 3.以双曲线 2 2 1 3 y x? = 的顶点为焦点,离心率为 3 3 的椭圆的标准方程为 A. 2 2 1 4 3 x y + = B. 2 2 1 3 4 x y + = C. 2 2 1 9 6 x y + = D. 2 2 1 6 9 x y + = 4.函数 3 ln ( ) x f x x = 的部分图像是 A B C D 5.已知 ( )0,? ?? , 3 sin 3 5 ? ? + = ? ? ? ? ? ? ,则 cos 2 6 ? ? + = ? ? ? ? ? ? A. 24 25 B. 24 25 ? C. 7 25 D. 7 25 ? 6.点 ,P Q在圆 2 2 4 3 0x y kx y+ + ? + = 上 ( )Rk? ,且点 ,P Q关于直线2 0x y+ = 对称,则该圆 的半径为 A. 3 B. 2 C.1 D. 2 2 7.已知函数 ( ) 3f x x x= ? 和点 ( )1 1P ?, ,则过点 P 与该函数图像相切的直线条数为 A.1 B.2 C.3 D.4 8.某几何体的三视图如图所示(单位:cm),则该几何体的体积是 A. 37 cm 2 B. 37 cm 3 C. 37 cm 6 D. 37cm 9.已知数列 ?? na 是等比数列,前n项和为 nS ,则“ 3 1 52a a a? + ”是“ 2 1 0nS ? ? ”的 A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 10.在 OAB△ 中,已知 2, 1, 45|= | |=|OB AB AOB =∠ ,点 P 满足 ( , )ROP OA OB? ? ? ?= + ? ,其 中 ,? ? 满足 2 3+ =? ? ,则 ||OP 的最小值为 A. 3 5 5 B. 2 5 5 C. 6 3 D. 6 2 11.边长为 2 的等边 ABC△ 和有一内角为30 的直角 1 ABC△ 所在半平面构成60 的二面角,则下 列不可能是线段 1 CC 的取值的是 A. 30 3 B. 10 C. 10 2 D. 10 3 12.已知不等式 1 ln a x x a x x e + + ? 对 ( )1x ,? +? 恒成立,则实数a的最小值为 A. e? B. 2 e ? C. e? D. 2e? 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 俯视图 侧视图正视图 22 1 11 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 13.如图所示的程序框图的输出值 ( ?0,1y? ,则输入值 x? . 14.在 ABC△ 中, 2 sin cos( ) 6 b A a B ? = ? , 2b = ,若满足条件的 ABC△ 有且仅有一个,则实数a的取值范围是 . 15.过点 (1,1)P 作直线 l 与双曲线 2 2 2 y x λ? = 交于 ,A B两点,若点 P恰 为线段 AB 的中点,则实数? 的取值范围是 . 16.如图,正三角形 ABC 边长为 2,D 是线段BC 上一点,过C 点作直线 AD的垂线,交线段 AD 的延长线于点 E ,则 AD DE? 的最大值 为 . 三、解答题:共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21题为必考题,每道试 题考生都必须作答.第 22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60分. 17.(12 分)根据某省的高考改革方案,考生应在 3 门理科学科(物理、化学、生物)和 3 门文科 学科(历史、政治、地理)的 6 门学科中选择 3 门学科参加考试。根据以往统计资料,1 位同学 选择生物的概率为 0.5,选择物理但不选择生物的概率为 0.2,考生选择各门学科是相互独立的. (1)求 1 位考生至少选择生物、物理两门学科中的 1 门的概率; (2)某校高二段 400 名学生中,选择生物但不选择物理的人数为 140,求 1 位考生同时选择生 物、物理两门学科的概率. 18.(12 分)设数列? ?na 是公差不为零的等差数列,其前n项和为 nS , 1 1a = .若 1 2 5, ,a a a 成等比数 列. (1)求 n a 及 n S ; (2)设 2 1 1 1 n n b a + = ? ( )n N ? ? ,求数列? ?nb 前n项和 nT . 19.(12 分)如图,四棱锥 -P ABCD 中, AP ⊥平面 PCD , / /AD BC , 2 DAB ? ? = , 1 2 AP AB BC AD= = = , E 为 AD 的中点, AC 与 BE 相交于点O. (1)求证:PO ABCD⊥平面 ; (2)求 AB与平面 PBD所成角? 的正弦值. 20.(12 分)已知 ( ) lnf x x= , ( )g x x= . (1)若 ( ) ( ) ( ) a f x g x g x + ? 在 (0,1]恒成立,求实数a的取值范围; (2)若m , 0n ? , 1m n+ = ,求证 2 2 1 ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] 4 f m f n g m g n? ? . 21.(12 分)如图,已知圆 ( ) ( ) 2 2 2 2 1Q x y+ + ? =: ,抛物线 2: 4C y x= 的焦点为 F,过 F的直线 l 与抛物线C 交于 ,A B两点,过 F且与 l 垂直 的直线 l?与圆 Q有交点. (1)求直线 l?的斜率的取值范围; (2)求 AOB△ 面积的取值范围. (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做, 则按所做的第一题计分.作答时请写清题号. 22.[选修 4?4:坐标系与参数方程](10 分) 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 1 C 的参数方程为 1 2cos 3 2sin x α y α = + = ? + ? ? ? (其中? 为参数, R? ? ).在极 坐标系(以坐标原点O为极点,以 轴非负半轴为极轴)中,曲线 2C 的极坐标方程为 sin 6 π ρ θ a? = ? ? ? ? ? ? . (1)求曲线 1 C 的普通方程和曲线 2C 的直角坐标方程; (2)若曲线 1 C 上恰有一个点到曲线 2C 的距离为 1,求曲线 2C 的直角坐标方程. 23.[选修 4?5:不等式选讲](10 分) (1)解不等式 1 2 5 3 2 2 0x x+ ? ? + ? ? ; (2)求函数 3 2 4 2 3y x x= ? + ? 的最大值. x (第 16 题图) (第 19 题图) (第 21题图) (第 13 题图) (第 21 题图) (第 19 题图)
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教新课标A版
  • 适用地区:全国
  • 文件大小:1011.52KB
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