[ID:3-6735453] 清华大学中学生标准学术能力诊断性测试2020年1月测试理数试卷和答案
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第1页 共 8 页 中学生标准学术能力测试诊断性测试 2020 年 1 月测试 理科数学(一卷)答案 一. 选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B A B C B A A C C D C D 二. 填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13. 2 3 14. 8 17 15. 3 1 2 ? 16. 2 三、解答题:共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21题为必考题, 每个试题考生都必须作答.第 22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60分. 17.解:(1)由题意得 2OP = ,则 1 cos 2 ? = ? , 3 sin 2 ? = , …………………2 分 3 cos( ) sin 2 2 ? ? ?+ = ? = ? . ………………………………5 分 (2) ( ) 2 2 1 3 1 3 1 sin cos cos sin cos 2 2 2 2 2 2 f x x x x x x ? ? ? ? = ? + ? ? + =? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? , ………8 分 故 2 2 T ? ?= = . ………10 分 由2 2 2k x k? ? ?? ? ? ,知单调递增区间为 ( ), 2 k k k Z ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? . ………12 分 第2页 共 8 页 18.解:(1)如图,取 的中点 ,连接 、 在菱形 中, ∵ , ∴ 是正三角形, ∴ , ………………………………1 分 同理,在菱形CDFE中,可证 , DG BG G= , …………2 分 且 DG BG 均 在 面 BDG 内 ∴ 平 面 , BD BDG?面 ∴ ………………4 分 又∵ , ∴ . …………………5 分 (2)由(1)知, 就是二面角 的平面角, 即 , 又 , 所以 是正三角形,故有 , ………………………………7 分 如图,取 的中点 ,连接 ,则 , 又由(1)得 , 又因为 , ,DG EF G DG CDEF EF CDEF= ? ?平面 平面 所以, 平面 ,且 , 又 , 在直角 中, , 所以 ,………9 分 设 到平面 的距离为 ,则 , ,所以 ,…………………………11 分 EF G BG DG ABEF 60BAF? = BEF? EF BG⊥ EF DG⊥ EF ⊥ BDG EF BD⊥ / /CD EF CD BD⊥ BGD? B EF D? ? 60BGD? = 3BG GD= = BDG? 3BD = DG O BO BO DG⊥ EF BO⊥ BO ⊥ CDFE 3 2 BO = BD CD⊥ BDC? 7BC = 1 7 3 7 7 4 2 4 4 BCES? = ? ? ? = D BCE h 1 1 3 3 3 4 3 3 2 4 2 B DCE DCEV BO S? ?= ? ? = ? ? ? = 1 1 3 7 3 3 3 4 2 D BCE BCEV h S h? ?= ? ? = ? ? = 2 21 7 h = 第19题图 E F D C B A G (第 18 ) O E F D C B A G (第 18 题图) 第3页 共 8 页 故直线 与平面 所成角正弦值为 . …………………………12 分 (建系或作出线面角的平面角按步骤相应给分) 19.解:(1)由 3 9a + 是 1a , 5a 的等差中项得 1 5 32 18a a a+ = + , ……………………1 分 所以 1 3 5 33 18 42a a a a+ + = + = , 解得 3 8a = , …………………………3 分 由 1 5 34a a+ = ,得 2 2 8 8 34q q + = ,解得 2 4q = 或 2 1 4 q = , 因为 1q ? ,所以 2q = . …………………………5 分 所以 2nna = . …………………………6 分 (2)法 1:由(1)可得 1 2 2 1 2 1 n n n n b + = ? + ? , *n N? . 1 1 1 1 2 2 ( 2 1 2 1) 2 1 2 1 ( 2 1 2 1)( 2 1 2 1) n n n n n n n n n n n b + + + + ? ? ? = = ? + ? ? + ? ? ? ? 1 1 1 1 2 ( 2 1 2 1) 2 ( 2 1 2 1) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 n n n n n n n n n n n + + + + ? ? ? ? ? ? = = = ? ? ? ? ? + ? , ……9 分 ? 2 1 3 2 1 1 2 ( 2 1 2 1) ( 2 1 2 1) 2 1 2 1 n n nb b b ++ + + = ? ? ? + ? ? ? + + ? ? ? 1 12 1 1 2 1n n+ += ? ? ? ? .……12 分 法 2: 由(1)可得 1 2 2 1 2 1 n n n n b + = ? + ? , *n N? . 我们用数学归纳法证明. (1)当 1n = 时, 1 2 3 1 3 1 3 b = = ? ? + ,不等式成立; …………………………7 分 (2)假设n k= ( *k N? )时不等式成立,即 BD BCE 2 7 7 h BD = 第4页 共 8 页 1 1 2 2 1 k kb b b ++ + + ? ? . 那么,当 1n k= + 时, 1 1 1 2 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 k k k k k k b b b b + + + + + + + + + ? ? + ? + ? 1 1 2 1 1 2 1 2 2 ( 2 1 2 1) 2 1 ( 2 1 2 1)( 2 1 2 1) k k k k k k k k + + + + + + + + ? ? ? = ? + ? + ? ? ? ? ……………………9 分 1 1 2 1 2 1 2 ( 2 1 2 1) 2 1 2 1 2 k k k k k k + + + + + + ? ? ? = ? + = ? ? , ……………………11 分 即当 1n k= + 时不等式也成立. 根据(1)和(2),不等式 1 1 2 2 1 n nb b b ++ + + ? ? ,对任意 *n N? .成立.……12 分 20.解:(1)由已知可得 0, 2 p F ? ? ? ? ? ? , 0 2 p E ? ? ?? ? ? ? , , 2 2,P p ? ? ? ? ? ? , 2PE PF= , 2 2 2 2 4 2 4 2 2 p p p p ? ? ? ? ? + + = ? + ?? ? ? ? ? ? ? ? , 0, 2p p? ? = , ?抛物线 C 的方程为 2 4x y= . ……………………4 分 (2)由(1)得 ( ) ( )2,1 0, 1P E ?, ,易求得 ( )1,0Q . ……………………5 分 由题意得,直线 l 的斜率存在且不为 0, 可设直线 l 的方程为 1x my= + , 联立方程组 2 1 4 x my x y = +? ? =? 整理得 ( )2 2 2 4 1 0,m y m y+ ? + = 16 16 0, 1.- m m? = ? ? 设点 ( ) ( )1 1 2 2, , ,M x y N x y , 1 2 1 22 2 4 2 1 , , m y y y y m m ? ? + = ? = …………………………7分 第5页 共 8 页 1 2 1 2 1 2 4 2 1 1 , 4 2 , 1 y y m m y y y y + ? ? = + = ? ? ,QM MN?= ( ) 11 2 1 2 , , 1 y y y y y ? ? ? ? = ? = + ( ) 1 2 1 2 1,2 , , 1 2 3 y y ? ? ? ? ? ? ? = ?? ? + ? ? , …………………………9 分 设 OMP? 在OP 边上的高为 Mh , ONP? 在OP 边上的高为 Nh , OMP ONP S S ? ? = 1 1 2 2 1 22 1 2 2 M M N N OP h x yh h x yOP h ? ? ? = = ?? ? ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 2 2 2 1 2 4 2 2 1 2 4 2 m y m y m y m y ? + ? + = = ? + ? + …………………………10 分 1 1 2 2 1 2 , . 2 3 y y y y ? ? = = ?? ? ? ? ? OMP ONP S S ? ? 的取值范围是 1 2 2 3 ? ? ? ? ? ? , …………………………12 分 21.解:(1) ( ) ( )2 1xf x x e? = + ? , …………………………1 分 ( ) 1 1 1f e ? ? = ? , ( )1 0f ? = , …………………………2 分 所以切线方程为 ( ) 1 1 e y x e ? = + . …………………………3 分 (2)由(1)知 ( )f x 在点 ( )1, ( 1)f? ? 处的切线方程为 ( ) 1 1 e y x e ? = + . ( ) ( ) 2 11 2 11 224 224 2 21 1 21 2 1 ??? ? ? ?? ? ? + ??? ? ? ?? ? ? + = ?? ?? = y yy y yy ym ym 第6页 共 8 页 设 1 ) ( 1) e S x x e ? = +( 构 造 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 x e F x f x x x e e e ? ? ? = ? + = + ?? ? ? ? , ( ) ( ) 1 2 xF x x e e ? = + ? , ( ) ( )3 xF x x e?? = + . 所以 ( )F x? 在 ( ), 3?? ? 上单调递减,在 ( )3,? +? 上单调递增. ………………………5 分 又 ( )' 3 1 1 3 0F e e ? = ? ? < , ( )' 1 lim x F x e→?? = ? , ( )' 1 0F ? = ,所以 ( )F x 在 ( ), 1?? ? 上单调 递减,在 ( )1,? +? 上单调递增.所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 0 1 e F x F f x S x x e ? ? ? = ? ? = + .当 且仅当 1x = ? 时取“=” 方程 ( ) 1 1 = e x b e ? + 的根 1 1 1 eb x e ? = ? ? .又 ( ) ( ) ( )1 1 1b s x f x s x?= = ? ,由 ( )s x 在R 上 单调递减,所以 1 1x x ? ? . …………………………7 分 另一方面, ( )f x 在点 ( )1, 2 2e ? 处的切线方程为 ( )3 1 1y e x e= ? ? ? . 设 ( ) (3 1) 1t x e x e= ? ? ? 构造 ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )1 1 3 1 1 1 3=x xG x f x t x x e e x e x e ex e= ? = + ? ? ? + + + ? + . ( ) ( )2 3xG x x e e? = + ? , ( ) ( )3 xG x x e?? = + . 所以 ( )G x? 在在 ( ), 3?? ? 上单调递减,在 ( )3,? +? 上单调递增. ……………………9 分 又 ( )' 3 1 3 3 0G e e ? = ? ? < , ( )'lim 3 x G x e →?? = ? , ( )' 1 0G = ,所以 ( )G x 在 ( ),1?? 上单调递 减,在 ( )1,+? 上单调递增. 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 0 3 1 1G x G f x t x e x e? = ? ? = ? ? ? , 当且仅当 1x = ? 时取“=” …………………………10 分 方程 ( ) ( )3 1 1=t x e x e b= ? ? ? 的根 '2 1 3 1 e b x e + + = ? ,又 ( ) ( ) ( )'2 2 2b t x f x t x= = ? ,由 第7页 共 8 页 ( )t x 在 R 上单调递增,所以 '2 2x x? . 所以 ' ' 2 1 2 1 1 1 3 1 1 b e eb x x x x e e + + ? ? ? = + + ? ? ,得 证. ……………12 分 (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的 第一题计分.作答时请写清题号. 22.【选修 4?4:坐标系与参数方程】(10 分) 解:(1)当 0? ? 时,极坐标方程两边同乘以 ? 得 3sin cos 2? ? ? ? ?+ = 在直角坐标系下, 2 2cos , sin , .x y x y? ? ? ? ?= = = + 故化成直角坐标系方程 ( )2 2 2 22y x x y x y+ ? + = + ,不包括点 ( )0,0 ………………3 分 当 0=? 时, ( )0,0 满足原极坐标方程, …………………………4 分 综上,所求的直角坐标方程为 ( )2 2 2 22y x x y x y+ ? + = + …………………………5 分 ( 2 ) 由 题 意 得 , 直 线 l 的 普 通 方 程 为 3 0x y+ + = . 设 曲 线 C 上 的 动 点 (2cos , sin ) )Ra? ? ? ?( ,因为曲线C 上所有点均在直线 l 的右上方,所以对 R? ? 恒有 2cos sin 3 0a? ?+ + ? , …………………………7 分 即 ( )2 4 sin 3a ? ?+ + ? ? ,其中 2 tan , 0.a a ? = ? 所以 2 4 3,a + ? …………………9 分 解得0 5.a? ? …………………………10分 23.【选修 4?5:不等式选讲】(10 分) 解:(1)因为 0, 0, 0,x y z? ? ? 所以由柯西不等式得 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 3 2 3 2 3 . 2 3 2 3 2 3 x y z y z z x x y x y z y z z x x y ? ? + + + + + + + ? + +? ? ? ?? ? + + +? ? …3 分 又因为 1.x y z+ + = 所以 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 22 2 2 1 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 2 3 5 5 x y z x y zx y z y z z x x y y z z x x y x y z + + + + + + ? = = + + + + + + + + + + …………………5 分 (2) 2 16 16 16x y z+ + 22 2 24 4 4x y z= + + 第8页 共 8 页 由均值不等式 22 2 24 4 4x y z+ + 23 2 2 23 4 x y z+ +? ,当且仅当 2x y z= = 时“=”成立………7 分 1.x y z+ + = ( ) ( )2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 x y z x y z z z z z? + + = + + = ? + = ? + ? 当且仅当 1 2 =z 时取 “=” …………………9 分 2 3 3 2 2 2 24 4 4 3 4 6x y z? + + ? = , 当 且 仅 当 1 1 4 2 x y z= = =, 时 等 号 成 立 , 所 以 2 16 16 16x y z+ + 的最小值为 6. …………………10 分 第 1 页 共 4 页 第 2 页 共 4 页 中学生标准学术能力诊断性测试 2020 年 1 月测试 理科数学试卷(一卷) 本试卷共 150 分,考试时间 120 分钟。 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 1.若集合 ? ?1 2A x x= ? ? ? , ? ?2,0,1,2B = ? ,则 A B = A.? B.? ?0,1 C.? ?0,1,2 D.? ?2,0,1,2? 2.若 (2 ) 5i z+ = ,则 z 的虚部为 A. 1? B.1 C. i? D. i 3.已知双曲线 ( ) 2 2 2 1 0 2 x y b b ? = ? 的两条渐近线互相垂直,则b = A.1 B. 2 C. 3 D.2 4.由两个 1 4 圆柱组合而成的几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为 A. π 3 B. π 2 C. π D. 2π 5.函数 xexxxf )2()( 2 ?= 的图象可能是 A B C D 6.已知关于 x 的不等式 2 2 3 0ax x a? + ? 在 (0, 2]上有解,则实数 a 的取值范围是 A. 3 , 3 ? ? ??? ?? ? ? ? B. 4 , 7 ? ? ??? ? ? ? C. 3 , 3 ? ? +?? ?? ? ? ? D. 4 , 7 ? ? +?? ? ? ? 7.已知 a , b 为实数,则 0 1b a? ? ? 是 log loga bb a? 的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 8.已知随机变量? ,? 的分布列如下表所示.则 A. ,E E D D? ? ? ?? ? B. ,E E D D? ? ? ?? ? C. ,E E D D? ? ? ?? = D. ,E E D D? ? ? ?= = 9.在 ABC△ 中,若 2AB BC BC CA CA AB= = ,则 AB BC = A.1 B. 2 2 C. 3 2 D. 6 2 10.在矩形 ABCD中,已知 3, 4AB AD= = ,E 是边 BC 上的点, 1EC = , / /EF CD,将平面EFDC 绕 EF 旋转 ?90 后记为平面 ? ,直线 AB 绕 AE 旋转一周,则旋转过程中直线 AB 与平面 相 交形成的点的轨迹是 A.圆 B.双曲线 C.椭圆 D.抛物线 (第 10 题图) 11.已知函数 ( ) (ln 1)( 2) ( 1,2)if x x x m i= ? ? ? = , e是自然对数的底数,存在 Rm? A.当 1=i 时, ( )f x 零点个数可能有 3 个 B.当 1=i 时, ( )f x 零点个数可能有 4 个 C.当 2=i 时, ( )f x 零点个数可能有 3 个 D.当 2=i 时, ( )f x 零点个数可能有 4 个 12.已知数列{ }na 的前n项和为 nS ,且满足 (2 ) 1n n na S a? = ,则下列结论中 ①数列 2{ }nS 是等差数列; ② 2na n? ; ③ 1 1n na a + ? A.仅有①②正确 B.仅有①③正确 C.仅有②③正确 D.①②③均正确 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.1742 年 6 月 7 日,哥德巴赫在给大数学家欧拉的信中提出:任一大于 2 的偶数都可写成两个质 数的和.这就是著名的“哥德巴赫猜想”,可简记为“1+1”.1966 年,我国数学家陈景润证明了 ? 1 2 3 ? 1 2 3 1 6 1 2 1 3 ? P 1 3 1 2 1 6 P 俯视图 侧视图正视图 1 1 2 2 (第 4 题图) 第 3 页 共 4 页 第 4 页 共 4 页 “1+2”,获得了该研究的世界最优成果,若在不超过 30 的所有质数中,随机选取两个不同的数, 则两数之和不超过 30 的概率是 . 14.已知 ABC△ 的面积等于1,若 1BC = ,则当这个三角形的三条高的乘积取最大值时,sin A = . 15.已知 F 是椭圆 2 2 2 2 1( 0) x y C a b a b + = ? ?: 的一个焦点,P 是C 上的任意一点,则 FP 称为椭圆C 的焦半径.设C 的左顶点与上顶点分别为 A B、 ,若存在以 A 为圆心, FP 为半径长的圆经过点 B ,则椭圆C 的离心率的最小值为 . 16.设函数 3 2( ) | 6 |f x x x ax b= ? + + ,若对任意的实数a和b ,总存在 ? ?3,00 ?x ,使得 ( ) mxf ?0 , 则实数m的最大值为 . 三、解答题:共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第 17~21题为必考题,每个试 题考生都必须作答.第 22、23题为选考题,考生根据要求作答. (一)必考题:60分. 17.(12 分)已知角? 的顶点与原点O 重合,始边与 x轴的非负半轴重合,终边经过点 ( 1, 3)P ? . (1)求 cos 2 ? ? ? ? +? ? ? ? 的值; (2)求函数 2 2( ) sin ( ) cos ( )( )Rf x x x x? ?= + ? ? ? 的最小正周期与单调 递增区间. 18.(12 分)如图,多面体 ABCDFE中,四边形 ABEF 和四边形CDFE是 两个全等的菱形, 2=AB , ?60=?=? ECDBAF . (1)求证: DCBD ⊥ ; (2)如果二面角 B EF D? ? 的平面角为 ?60 ,求直线 BD 与平面BCE 所 成角的正弦值. 19.(12 分)已知等比数列 }{ na 的公比 1?q ,且 42531 =++ aaa , 93 +a 是 1a , 5a 的等差中项.数列 }{ nb 的通项公式 11 2 1 ?+? = +nn n n aa b , *Nn? . (1)求数列 }{ na 的通项公式; (2)证明: 12 1 21 ??+++ +n nbbb ? , *Nn? . 20.(12 分)已知抛物线 2 : 2 ( 0)C x py p= ? ,焦点为 F ,准线与 y轴交于点 E.若点 P在 C上,横 坐标为 2,且满足: PFPE 2= . (1)求抛物线C 的方程; (2)若直线 PE 交 x轴于点Q ,过点Q做直线 l ,与抛物线C 有 两个交点 ,M N (其中,点M 在第一象限).若QM MN?= ,当 ( )2,1?? 时,求 OMP ONP S S △ △ 的取值范围. 21.(12 分)已知函数 ( ) ( 1)( 1)xf x x e= + ? . (1)求 ( )f x 在点 1, ( 1))f ?(- 处的切线方程; (2)若方程 ( )f x b= 有两个实数根 21, xx ,且 21 xx ? ,证明: 113 1 112 ? + ? ++ +?? e eb e eb xx . (二)选考题:共 10 分.请考生在第 22,23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计 分.作答时请写清题号. 22.[选修 4—4:极坐标与参数方程](10 分) (1)以极坐标系Ox 的极点O为原点,极轴 x为 x轴的正半轴建立平面直角坐标系 xOy ,并在两种 坐标系中取相同的长度单位,把极坐标方程 2cossin 2 =+ ??? 化成直角坐标方程. (2)在直角坐标系 xOy中,直线 l : 3 2 cos 4 ( ) 3 1 sin 4 x t t y t ? ? ? = ? +?? ? ? = ? + ?? 为参数 ,曲线 2cos : ( ), sin x C y a ? ? ? = = ? ? ? 为参数 其中 0?a .若曲线C 上所有点均在直线 l 的右上方,求a的取值范围. 23.[选修 4—5:不等式选讲](10 分) 已知正数 zyx ,, 满足 1x y z+ + = . (1)求证: 5 1 323232 222 ? + + + + + yx z xz y zy x ; (2)求 2 161616 zyx ++ 的最小值. (第 18 题图) (第 20 题图)
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教新课标A版
  • 适用地区:全国
  • 文件大小:1.02M
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