[ID:3-6704683] 上海市静安区2020届高三一模数学试卷(PDF)
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静安区 2019 学年第一学期期末教学质量检测 高三数学试卷 本试卷共有 21道试题,满分 150分.考试时间 120分钟. 一. 填空题(本大题共 12 题,1-6 每题 4分,7-12 每题 5 分,共 54 分) 1.计算 ? ??? ?? n n 9.01lim ▲ . 2.在单位圆中, 60 的圆心角所对的弧长为 ▲ . 3.若直线 1l 和 2l 的倾斜角分别为 32 和 152 ,则 1l 与 2l 的夹角为 ▲ . 4.若直线 l的一个法向量为 )1,2(?n ,则直线 l的斜率 ?k ▲ . 5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次,每个细胞分裂为两个细胞.则 7小时后,1个此种细胞将分裂为 ▲ 个. 6.设 ABC? 是等腰直角三角形,斜边 2?AB .现将 ABC? (及其内部)绕斜边 AB所在的直线旋转一周形成一个旋 转体,则该旋转体的体积为 ▲ . 7.如图,在平行四边形 ABCD中, 2?AB , 1?AD . 则, BDAC ? 的值为 ▲ . 8.三倍角的正切公式为 ??3tan ▲ .(用 ?tan 表示) 9.设集合 A共有 6个元素,用这全部的 6个元素组成的不同矩阵的个数为 ▲ . 10.现将函数 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ?? , 22 ,0,sec ∪xxy 的反函数定义为反正割函数,记为: xy arcsec? .则 ? ? ?? 4arcsec ▲ .(请保留两位小数) 11.设双曲线 1 1 2 2 2 ? ? ? a y a x 的两个焦点为 1F 、 2F ,点P在双曲线上,若 21 PFPF ? ,则点P到坐标原点O的距 离的最小值为 ▲ . 12.设 0,0,1,0 ???? NMaa ,我们可以证明对数的运算性质如下: , loglogloglog MNaaa NMNM aaaa ???∵ ① .logloglog NMMN aaa ??? 我们将①式称为证明的“关键步骤”.则证明 MrM a r a loglog ? (其中 R,0 ?? rM )的“关键步骤”为 ▲ . A C B D 第 7题图 二、选择题(本题满分 20分)本大题共有 4题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结论是正确的,必须把答 题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑,选对得5分,否则一律得零分. 13.设 R,, ?cba ,则“ cba ,, 构成等差数列”是“ cab ??2 ”的 ( ). A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 14.设 R, ?yx ,若复数 i i ? ? y x 是纯虚数,则点 ),( yxP 一定满足 ( ). A. xy ? ; B. x y 1 ? ; C. xy ?? ; D. x y 1 ?? . 15.若展开 )5)(4)(3)(2)(1( ????? aaaaa ,则展开式中 3a 的系数等于 ( ). A.在 1,2,3,4,5中所有任取两个不同的数的乘积之和; B.在 1,2,3,4,5中所有任取三个不同的数的乘积之和; C.在 1,2,3,4,5中所有任取四个不同的数的乘积之和; D.以上结论都不对. 16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面 A处,测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东 21 方向,且塔顶的仰角为 18 ,此 人驾驶游艇向正东方向行驶 1000 米后到达 B 处,此时测得塔底位于北偏西 39 方向,则该塔的高度约为 ( ). A.265米; B.279米; C.292米; D.306米. 三、解答题(本题满分 76 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸的规定区域(对应的题号)内写出必 要的步骤. 17.(本题满分 12分,第 1小题 6分,第 2小题 6分) 如图,在正六棱锥 ABCDEFP ? 中,已知底边长为 2,侧棱与底面所成角为 60 . (1)求该六棱锥的体积V ; (2)求证: CEPA ? . A B C DF E P 18.(本题满分 14分,第 1小题 7分,第 2小题 7分) 请解答以下问题,要求解决两个问题的方法不同. (1)如图 1,要在一个半径为 1米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 ABCD,如何截取?并求出这个最大 矩形的面积. (2)如图 2,要在一个长半轴为 2米,短半轴为 1米的半个椭圆形铁板中截取一块面积最大的矩形 ABCD,如何 截取?并求出这个最大矩形的面积. 19.(本题满分 14分;第 1小题 6分,第 2小题 8分) 设? ?na 是等差数列,公差为d ,前 n项和为 nS . (1)设 401 ?a , 386 ?a ,求 nS 的最大值; (2)设 11 ?a , n a nb 2? ( ??Nn ),数列? ?nb 的前 n项和为 nT .且对任意的 ??Nn ,都有 20?nT ,求 d 的取值 范围. 20.(本题满分 18分,第 1小题 5分,第 2小题 6分,第 3小题 7分) 已知抛物线?的准线方程为 02 ??? yx ,焦点为 )1,1(F . (1)求证:抛物线?上任意一点P的坐标 ),( yx 都满足方程 0882 22 ????? yxyxyx ; (2)请指出抛物线?的对称性和范围,并运用以上方程证明你的结论; (3)设垂直于 x轴的直线与抛物线?交于 A, B两点,求线段 AB的中点M 的轨迹方程. OA B CD 图 1 A BO CD 图 2 21.(本题满分 18分,第 1小题 5分,第 2小题 6分,第 3小题 7分) 现定义:设 a是非零实常数,若对于任意的 Dx? ,都有 )()( xafxaf ??? ,则称函数 )(xfy ? 为“关于a 的偶型函数”. (1)请以三角函数为例,写出一个“关于 2的偶型函数”的解析式,并给予证明; (2)设定义域为R 的“关于a的偶型函数” )(xfy ? 在区间 ),( a?? 上单调递增,求证: )(xfy ? 在区间 ),( ??a 上单调递减; (3)设定义域为R 的“关于 2 1 的偶型函数” )(xfy ? 是奇函数.若 ??Nn ,请猜测 )(nf 的值,并用数学归纳法 证明你的结论. 静安高三数学试卷答案及评分标准 2019.12.26 一、填空题 1.1 2. 3 ? 3. 60 4. 2? 5.128 6. ? 3 2 7. 3? 8. 3 2 3tan tan tan3 1 3tan ? ? ? ? ? ? ? 9.2880 10.1.82 11. 2 3 12. ? ? rrMMr Maa aa ?? loglog 二、选择题 13.C; 14.B; 15.A; 16.C. 三、解答题 17.(1)解:设底面中心为O,联结 ,PO AO.(1分) PO ?∵ 底面 ABCDEF, PAO?? 为侧棱与底面所成的角 60 .……(2分) ABCDEF∵ 是正六边形, 2??? ABAO . ∴在 AOPRt? 中, 3260tan ?? AOOP .(1分) 1 3 6 2 2 6 3 2 2 ABCDEFS ? ? ? ? ? ?∵ ,… (1分) 1 6 3 12 3 P ABCDEFV OP?? ? ? ? ? .……… (1分) (2)证明: PO ?∵ 底面 ABCDE, PO CE? ? . AO CE?∵ , 又 PO AO O?∵ ∩ , CE? ?面PAO.……………………… (5分) 又 PA∵ 在平面PAO上, PA CE? ? .……………………………… (1分) 18.(1)联结 OC,设 ???COB ,……………(1分) 则 ?cos?OB , ?sin?BC . ………………(2分) 所以,矩形 ABCD的面积 ?? cossin2?S ?2sin? , 0 2 ? ?? ?? ?? ? ? ? ……(2分) ∵ 12sin ?? , ∴当 4 ? ? ? 时,所截取的最大矩形的面积最大为1平方米.………(2分) A B C DF E P O A BO CD ? (2)以 O为坐标原点,OB为 x轴的正半轴建立直角坐标系,………(1分) 设点 C的坐标为 ? ?yx, ,故, 1 4 2 2 ?? y x .…(2分) 所以,矩形 ABCD的面积 xyS 2? 2 4 2 2 2 ??? ? ? ?? ? ? ?? y x ,(2分) 当且仅当 yx 2? 时等号成立. 故,当 2 2 2 ?? yx 米, 米时,矩形的面积最大为 2平方米.…(2分) 注:在以上两个方法和用参数方程的方法中任意选取两个方法都可. 19.(1)由题意,有 ? ? ? ?? ? .385 ,40 1 1 da a 解得 . 5 2 ??d ………………………………………………………(2分) 所以数列{ }na 单调递减, 设 0?na ,即 0 5 2 )1(40 ?? ? ? ? ? ???? n ,解得 101?n . 所以 nS 的最大值是 101 100 2020.S S? ? ………………………… (4分) (2)解: 1 1 2 2 0 ab ? ? ?∵ , 又 1 11 2 2 2 2 n n n n a a a dn a n b b ? ? ?? ? ? ?∵ 正常数. …………………………(2分) { }nb? 为等比数列. 当 0d ? 时, nT ? ??,不符,舍去; …………………………(1分) 当 0d ? 时, 2nT n? ? ?? ,不符,舍去; ……………………(2分) 当 0d ? 时, 120 ?? d , 2 lim 1 2 n dn T ?? ? ? . 2 20 1 2d ? ? ? . 所以, 2 9 , log 10 d ? ?? ??? ?? ? . ………………………………………(3分) 20.解:(1)设抛物线C上的任意一点 ( , )M x y ,由已知,有 A BO CD 图 2 x y x 2 2| 2 | ( 1) ( 1) 2 x y x y ? ? ? ? ? ? .………………………(4分) 化简得, 0882 22 ????? yxyxyx . ……………………………… (1分) 备注:如果有“M到焦点的距离=M到准线的距离”的意识,但距离表达错误,给 2分 (2)对称性:抛物线?关于直线 y x? 对称. ………………………………(1分) 证明:在抛物线 ? 上任取一点 0 0( , )P x y ,则点 0 0( , )P x y 关于直线 y x? 的对称点 0 0'( , )P y x 也满足方程 2 2 8 8 2 0x y x y xy? ? ? ? ? . 所以点 'P 在抛物线?上,即抛物线?关于直线 y x? 对称. ……… (2分) 范围: xy ?? ,即除原点外,抛物线?在直线 0?? yx 右方.………… (1分) 证明:∵ 2 2 8 8 2 0x y x y xy? ? ? ? ? , ∴ ? ? ? ? 082 ???? yxyx ,即 xy ?? . ……………………………(2分) 如下的关于范围的答案及证明同样给分 范围另解: [ 1. ), [ 1, )x y? ? ?? ? ? ?? .………………………………………(1分) 证明: 2 2(8 2 ) 8 0y x y x x? ? ? ? ?∵ , 2 264 32 4 4 32 64 64 0x x x x x?? ? ? ? ? ? ? ? ? 1x? ? ? . 同理可证 1y ? ? .……………………………………………………………(2分) 备注:如果少一个结论只扣 1分 (3)设 0xx ? 与抛物线?交于 ),( 11 yxA , ),( 22 yxB 两点, AB的中点 ),( 00 yxM ,(1分) ? ? ? ????? ? .0882 , 22 0 yxyxyx xx 整理得, 08)82( 0 2 00 2 ????? xxyxy (1).(2分) 由题意,得 82 021 ??? xyy , 所以, 400 ?? xy .……………………………………………………… (3分) 又因为令方程(1)的判别式大于 0,可解得 10 ??x , 故, AB的中点M 的轨迹方程为 4?? xy ( 1??x ).……………… (1分) 21.解:(1) sin 4 y x ? ? . ………………………………………………… (2分) 证明:对于任意的 x R? , (2 ) (2 ) sin sin sin sin sin 4 2 4 2 4 2 4 4 x x x x x? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ∵ , ? sin 4 y x ? ? 为“关于 2的偶型函数”. ………………………………(3分) 注:以 2?x 为对称轴的三角函数均可. (2)证明: ( ) ( )f a x f a x? ? ?∵ , 令a x t? ? ,则 ( ) [ ( )] (2 )f t f a t a f a t? ? ? ? ? , 所以 ( ) (2 )f x f a x? ? . ………………………………………………………(2分) 设 1 2a x x? ? ,则 2 1x x a? ? ? ? ? , 2 12 2a x a x a? ? ? ? , 2 1 2 1( ) ( ) (2 ) (2 )f x f x f a x f a x? ? ? ? ? . …………………………………(2分) ∵ ( )f x 在 ),( a?? 上单调递增, 2 1(2 ) (2 )f a x f a x? ? ? ? 即 2 1( ) ( )f x f x? .…………………………(1分) ? )(xfy ? 在区间 ),( ??a 上是单调递减函数.……………………… (1分) 备注:学生有用单调性证明的意识,如任取变量后作差,可以给 2分 (3)猜测: 0)( ?nf ,其中 ??Nn . ………………………………………(2分) 证明:当 1?n 时, 0)0()11()1( ???? fff . ………………………… (1分) 假设当 kn ? 时有 0)( ?kf . ……………………………………………(1分) 当 1?? kn 时, 0)()]1(1[)1( ?????? kfkfkf . ………………(2分) 所以,对于 ??Nn ,都有 0)( ?nf . ……………………………………(1分) 备注:不用数学归纳法证明,结论正确得 2分,证明过程正确加再 1分(相当于证明 n=1).
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:沪教版
  • 适用地区:上海市静安区
  • 文件大小:848.3KB
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