[ID:3-6219222] 2020版高考数学大一轮复习第一章集合与常用逻辑用语教案(打包3套)文(含 ...
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§1.1 集合的概念及运算 最新考纲 考情考向分析 1.了解集合的含义,体会元素与集合的属于关系. 2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题. 3.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集. 4.在具体情境中,了解全集与空集的含义. 5.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集. 6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集. 7.能使用韦恩(Venn)图表达集合间的基本关系及集合的基本运算. 集合的交、并、补运算及两集合间的包含关系是考查的重点,在集合的运算中经常与不等式、函数相结合,解题时常用到数轴和韦恩(Venn)图.考查学生的数形结合思想和计算推理能力.题型以选择题为主,低档难度. 1.集合与元素 (1)集合中元素的三个特征:确定性、互异性、无序性. (2)元素与集合的关系是属于或不属于,用符号∈或?表示. (3)集合的表示法:列举法、描述法、图示法. (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N+(或N*) Z Q R 2.集合间的基本关系 关系 自然语言 符号语言 Venn图 子集 集合A中任意一个元素都是集合B的元素(即若x∈A,则x∈B) A?B (或B?A) 真子集 如果集合A是集合B的子集,并且集合B中至少有一个元素不属于A AB (或BA) 集合 相等 如果集合A中的每一个元素都是集合B的元素,反过来,集合B的每一个元素也都是集合A的元素 A=B 3.集合的基本运算 运算 自然语言 符号语言 Venn图 交集 由属于集合A又属于集合B的所有元素构成的集合 A∩B={x|x∈A且x∈B} 并集 对于给定的两个集合A,B,由两个集合的所有元素构成的集合 A∪B={x|x∈A或x∈B} 补集 如果给定集合A是全集U的一个子集,由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 ?UA={x|x∈U且x?A} 概念方法微思考 1.若一个集合A有n个元素,则集合A有几个子集,几个真子集. 提示 2n,2n-1. 2.从A∩B=A,A∪B=A可以得到集合A,B有什么关系? 提示 A∩B=A?A?B,A∪B=A?B?A. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)任何一个集合都至少有两个子集.( × ) (2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.( × ) (3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.( × ) (4){x|x≤1}={t|t≤1}.( √ ) (5)若A∩B=A∩C,则B=C.( × ) 题组二 教材改编 2.若集合A={x∈N|x≤},a=2,则下列结论正确的是(  ) A.{a}?A B.a?A C.{a}∈A D.a?A 答案 D 3.已知集合A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)|y=x},则A∩B中元素的个数为______. 答案 2 解析 集合A表示以(0,0)为圆心,1为半径的单位圆上的点,集合B表示直线y=x上的点,圆x2+y2=1与直线y=x相交于两点,,则A∩B中有两个元素. 题组三 易错自纠 4.已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m等于(  ) A.0或B.0或3 C.1或D.1或3或0 答案 B 解析 A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,故B?A,所以m=3或m=,即m=3或m=0或m=1,其中m=1不符合题意,所以m=0或m=3,故选B. 5.已知集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|22} 解析 由已知可得集合A={x|12}. 6.若集合A={x∈R|ax2-4x+2=0}中只有一个元素,则a=________. 答案 0或2 解析 若a=0,则A=,符合题意; 若a≠0,则由题意得Δ=16-8a=0,解得a=2. 综上,a的值为0或2. 题型一 集合的含义 1.设集合A={x∈Z||x|≤2},B={y|y=x2+1,x∈A},则B中的元素有(  ) A.5个 B.4个 C.3个 D.无数个 答案 C 解析 依题意有A={-2,-1,0,1,2},代入y=x2+1得到B={1,2,5},故B中有3个元素. 2.已知集合A=,则集合A中的元素个数为(  ) A.2B.3C.4D.5 答案 C 解析 因为∈Z,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,又因为x∈Z,所以x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4. 3.已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为________. 答案 - 解析 由题意得m+2=3或2m2+m=3, 则m=1或m=-, 当m=1时,m+2=3且2m2+m=3,根据集合中元素的互异性可知不满足题意; 当m=-时,m+2=,而2m2+m=3,故m=-. 思维升华 (1)用描述法表示集合,首先要搞清楚集合中代表元素的含义,再看元素的限制条件,明白集合的类型,是数集、点集还是其他类型的集合. (2)如果是根据已知列方程求参数值,一定要将参数值代入集合中检验是否满足元素的互异性. 题型二 集合间的基本关系 例1(1)集合M=,N=,则两集合M,N的关系为(  ) A.M∩N=? B.M=N C.M?N D.N?M 答案 D 解析 由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则x=k+1(k∈Z),当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+(k∈Z),∴N?M,故选D. (2)已知集合A={x|x2-2019x+2018<0},B={x|x0时,因为A={x|-12} D.{x|x≤-1}∪{x|x≥2} 答案 B 解析 ∵x2-x-2>0,∴(x-2)(x+1)>0,∴x>2或x<-1,即A={x|x>2或x<-1}.在数轴上表示出集合A,如图所示. 由图可得?RA={x|-1≤x≤2}. 故选B. (2)已知集合A={x|x2-2x>0},B={x|-2或x<0},∴A∪B=R. 命题点2 利用集合的运算求参数 例3 (1)(2018·锦州模拟)已知集合A={x|x2D.a≥2 答案 D 解析 集合B={x|x2-3x+2<0}={x|13},B-A={x|-3≤x<0}, A*B=(A-B)∪(B-A)=[-3,0)∪(3,+∞). (2)设数集M=,N=,且M,N都是集合U={x|0≤x≤1}的子集,定义b-a为集合{x|a≤x≤b}的“长度”,则集合M∩N的长度的最小值为________. 答案  解析 在数轴上表示出集合M与N(图略), 可知当m=0且n=1或n-=0且m+=1时,M∩N的“长度”最小. 当m=0且n=1时,M∩N=, 长度为-=; 当n=且m=时,M∩N=, 长度为-=. 综上,M∩N的长度的最小值为. 思维升华解决以集合为背景的新定义问题,要抓住两点:(1)紧扣新定义.首先分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,应用到具体的解题过程之中.(2)用好集合的性质.解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素. 跟踪训练3用C(A)表示非空集合A中元素的个数,定义A*B=若A={1,2},B={x|(x2+ax)(x2+ax+2)=0},且A*B=1,设实数a的所有可能取值组成的集合是S,则C(S)=________. 答案 3 解析 因为C(A)=2,A*B=1,所以C(B)=1或C(B)=3.由x2+ax=0,得x1=0,x2=-a.关于x的方程x2+ax+2=0,当Δ=0,即a=±2时,易知C(B)=3,符合题意;当Δ>0,即a<-2或a>2时,易知0,-a均不是方程x2+ax+2=0的根,故C(B)=4,不符合题意;当Δ<0,即-2,故选D. 2.设集合M={-1,1},N=,则下列结论中正确的是(  ) A.NM B.MN C.N∩M=? D.M∪N=R 答案 B 解析 由题意得,集合N==,所以MN.故选B. 3.设集合A={x∈Z|x2-3x-4<0},B={x|2x≥4},则A∩B等于(  ) A.[2,4) B.{2,4} C.{3}D.{2,3} 答案 D 解析 由x2-3x-4<0,得-10},若A?B,则实数c的取值范围是________. 答案 [1,+∞) 解析 由题意知,A={x|y=lg(x-x2)}={x|x-x2>0}=(0,1),B={x|x2-cx<0,c>0}=(0,c).由A?B,画出数轴,如图所示,得c≥1. 13.已知集合A={x∈R||x+2|<3},集合B={x∈R|(x-m)(x-2)<0},且A∩B=(-1,n),则m=______,n=________. 答案 -1 1 解析 A={x∈R||x+2|<3}={x∈R|-52a-1时,a<.符合题意. 当B≠?时,令 解得≤a<1. 综上,实数a的取值范围是(-∞,1). 1 §1.2 命题及其关系、充分条件与必要条件 最新考纲 考情考向分析 1.理解命题的概念. 2.了解“若p,则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题,会分析四种命题的相互关系. 3.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义. 命题的真假判断和充分必要条件的判定是考查的主要形式,多与集合、函数、不等式、立体几何中的线面关系相交汇,考查学生的推理能力,题型为选择、填空题,低档难度. 1.命题 用语言、符号或式子表达的,可以判断真假的陈述句叫做命题,其中判断为真的语句叫做真命题,判断为假的语句叫做假命题. 2.四种命题及其相互关系 (1)四种命题间的相互关系 (2)四种命题的真假关系 ①两个命题互为逆否命题,它们具有相同的真假性; ②两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系. 3.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p?q,则p是q的充分条件,q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p?q且q?p p是q的必要不充分条件 p?q且q?p p是q的充要条件 p?q p是q的既不充分也不必要条件 p?q且q?p 概念方法微思考 若条件p,q以集合的形式出现,即A={x|p(x)},B={x|q(x)},则由A?B可得,p是q的充分条件,请写出集合A,B的其他关系对应的条件p,q的关系. 提示 若AB,则p是q的充分不必要条件; 若A?B,则p是q的必要条件; 若AB,则p是q的必要不充分条件; 若A=B,则p是q的充要条件; 若A?B且A?B,则p是q的既不充分也不必要条件. 题组一 思考辨析 1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)“对顶角相等”是命题.( √ ) (2)命题“若p,则q”的否命题是“若p,则綈q”.( × ) (3)当q是p的必要条件时,p是q的充分条件.( √ ) (4)若原命题为真,则这个命题的否命题、逆命题、逆否命题中至少有一个为真.( √ ) 题组二 教材改编 2.下列命题是真命题的是(  ) A.矩形的对角线相等 B.若a>b,c>d,则ac>bd C.若整数a是素数,则a是奇数 D.命题“若x2>0,则x>1”的逆否命题 答案 A 3.命题“同位角相等,两直线平行”的逆否命题是_________________________. 答案 两直线不平行,同位角不相等 4.“x-3=0”是“(x-3)(x-4)=0”的______条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 题组三 易错自纠 5.设x>0,y∈R,则“x>y”是“x>|y|”的(  ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 x>y?x>|y|(如x=1,y=-2), 但当x>|y|时,能有x>y. ∴“x>y”是“x>|y|”的必要不充分条件. 6.已知p:x>a是q:2a},∴a≤2. 题型一 命题及其关系 1.已知下列三个命题: ①若一个球的半径缩小到原来的,则其体积缩小到原来的; ②若两组数据的平均数相等,则它们的方差也相等; ③直线x+y+1=0与圆x2+y2=相切. 其中真命题的序号是________. 答案 ①③ 2.某食品的广告词为“幸福的人们都拥有”,这句话的等价命题是(  ) A.不拥有的人们会幸福 B.幸福的人们不都拥有 C.拥有的人们不幸福 D.不拥有的人们不幸福 答案 D 3.有下列四个命题: ①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”的逆否命题; ④“若A∩B=B,则A?B”的逆否命题. 其中真命题为________.(填写所有真命题的序号) 答案 ①②③ 解析 ①“若xy=1,则x,y互为倒数”的逆命题是“若x,y互为倒数,则xy=1”,显然是真命题,故①正确;②“面积相等的三角形全等”的否命题是“面积不相等的三角形不全等”,显然是真命题,故②正确;③若x2-2x+m=0有实数解,则Δ=4-4m≥0,解得m≤1,所以“若m≤1,则x2-2x+m=0有实数解”是真命题,故其逆否命题是真命题,故③正确;④若A∩B=B,则B?A,故原命题错误,所以其逆否命题错误,故④错误. 4.设m∈R,命题“若m>0,则方程x2+x-m=0有实根”的逆否命题是_________. 答案 若方程x2+x-m=0没有实根,则m≤0 思维升华 (1)写一个命题的其他三种命题时,需注意: ①对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写; ②若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. (2)判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例即可. (3)根据“原命题与逆否命题同真同假,逆命题与否命题同真同假”这一性质,当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. 题型二 充分、必要条件的判定 例1(1)已知α,β均为第一象限角,那么“α>β”是“sinα>sinβ”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 D 解析 取α=,β=,α>β成立,而sinα=sinβ,sinα>sinβ不成立. ∴充分性不成立; 取α=,β=,sinα>sinβ,但α<β,必要性不成立. 故“α>β”是“sinα>sinβ”的既不充分也不必要条件. (2)已知条件p:x>1或x<-3,条件q:5x-6>x2,则綈p是綈q的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由5x-6>x2,得22m2-3”是“-1a+1或x-3,则a>-6”以及它的逆命题、否命题、逆否命题中假命题的个数为(  ) A.1B.2C.3D.4 答案 B 解析 原命题正确,从而其逆否命题也正确;其逆命题为“若a>-6,则a>-3”是假命题,从而其否命题也是假命题.因此4个命题中有2个假命题. 2.已知命题p:“正数a的平方不等于0”,命题q:“若a不是正数,则它的平方等于0”,则q是p的(  ) A.逆命题 B.否命题 C.逆否命题 D.否定 答案 B 解析 命题p:“正数a的平方不等于0”可写成“若a是正数,则它的平方不等于0”,从而q是p的否命题. 3.(2018·天津)设x∈R,则“<”是“x3<1”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由<,得00,则x>0且y>0”的否命题; ②“矩形的对角线相等”的否命题; ③“若m>1,则mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集是R”的逆命题; ④“若a+7是无理数,则a是无理数”的逆否命题. 其中正确的是(  ) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①④ 答案 C 解析 ①的逆命题“若x>0且y>0,则x+y>0”为真,故否命题为真; ②的否命题为“不是矩形的图形对角线不相等”,为假命题; ③的逆命题为“若mx2-2(m+1)x+m+3>0的解集为R,则m>1”. 因为当m=0时,解集不是R, 所以应有即m>1.所以③是真命题; ④原命题为真,逆否命题也为真. 6.(2018·包头模拟)“log2(2x-3)<1”是“4x>8”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 由log2(2x-3)<1?0<2x-3<2?8?2x>3?x>,所以“log2(2x-3)<1”是“4x>8”的充分不必要条件,故选A. 7.已知等差数列{an}的公差为d,前n项和为Sn,则“d>0”是“S4+S6>2S5”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 C 解析 方法一 ∵数列{an}是公差为d的等差数列, ∴S4=4a1+6d,S5=5a1+10d,S6=6a1+15d, ∴S4+S6=10a1+21d,2S5=10a1+20d. 若d>0,则21d>20d,10a1+21d>10a1+20d, 即S4+S6>2S5. 若S4+S6>2S5,则10a1+21d>10a1+20d, 即21d>20d, ∴d>0.∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件. 故选C. 方法二 ∵S4+S6>2S5?S4+S4+a5+a6>2(S4+a5)?a6>a5?a5+d>a5?d>0. ∴“d>0”是“S4+S6>2S5”的充分必要条件. 故选C. 8.“直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同的交点”的一个充分不必要条件可以是(  ) A.-1≤k<3 B.-1≤k≤3 C.03 答案 C 解析 直线x-y-k=0与圆(x-1)2+y2=2有两个不同交点等价于<,解得k∈ (-1,3).四个选项中只有(0,3)是(-1,3)的真子集,故充分不必要条件可以是“0b,则a2>b2”的否命题;②“若x+y=0,则x,y互为相反数”的逆命题;③“若x2<4,则-21且y>1,q:实数x,y满足x+y>2,则p是q的________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 解析 当x>1,y>1时,x+y>2一定成立,即p?q, 当x+y>2时,可令x=-1,y=4,即q?p, 故p是q的充分不必要条件. 11.在△ABC中,角A,B均为锐角,则“cosA>sinB”是“△ABC为钝角三角形”的____________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充要 解析 因为cosA>sinB,所以cosA>cos, 因为角A,B均为锐角,所以-B为锐角, 又因为余弦函数y=cosx在(0,π)上单调递减, 所以A<-B,所以A+B<, 在△ABC中,A+B+C=π,所以C>, 所以△ABC为钝角三角形; 若△ABC为钝角三角形,角A,B均为锐角, 则C>,所以A+B<, 所以A<-B,所以cosA>cos, 即cosA>sinB. 故“cosA>sinB”是“△ABC为钝角三角形”的充要条件. 12.已知集合A=,B={x|-13,即m>2. 13.已知α,β∈(0,π),则“sinα+sinβ<”是“sin(α+β)<”的______________条件.(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”) 答案 充分不必要 解析 因为sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ0),q:方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,若p是q的充分条件,则a的取值范围是________________. 答案  解析 由2-m>m-1>0,解得10”的否定是(  ) A.?x∈R,x2-x-1≤0 B.?x∈R,x2-x-1>0 C.?x∈R,x2-x-1≤0 D.?x∈R,x2-x-1≥0 答案 A 6.若“?x∈,tanx≤m”是真命题,则实数m的最小值为________. 答案 1 解析 ∵函数y=tanx在上是增函数, ∴ymax=tan=1.依题意知,m≥ymax,即m≥1. ∴m的最小值为1. 题型一 含有逻辑联结词的命题的真假判断 1.命题p:若sinx>siny,则x>y;命题q:x2+y2≥2xy.下列命题为假命题的是(  ) A.p或qB.p且qC.qD.綈p 答案 B 解析 取x=,y=,可知命题p是假命题; 由(x-y)2≥0恒成立,可知命题q是真命题,故綈p为真命题,p或q是真命题,p且q是假命题. 2.已知命题p:?x∈R,x2-x+1≥0;命题q:若a20恒成立, ∴p为真命题,綈p为假命题. ∵当a=-1,b=-2时,(-1)2<(-2)2,但-1>-2, ∴q为假命题,綈q为真命题. 根据真值表可知p∧(綈q)为真命题,p∧q,(綈p)∧q,(綈p)∧(綈q)为假命题.故选B. 3.已知命题p:?x∈R,使sinx=;命题q:?x∈R,都有x2+x+1>0.给出下列结论:①命题“p∧q”是真命题;②命题“p∧(綈q)”是假命题;③命题“(綈p)∨q”是真命题;④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题,其中正确的是_____.(把所有正确结论的序号都填上) 答案 ②③ 解析 因为对任意实数x,|sinx|≤1,而>1,所以p为假;因为x2+x+1=0的判别式Δ<0,所以q为真.故②③正确. 思维升华“p∨q”“p∧q”“綈p”等形式命题真假的判断步骤 (1)确定命题的构成形式; (2)判断其中命题p,q的真假; (3)确定“p∧q”“p∨q”“綈p”等形式命题的真假. 题型二 含有一个量词的命题 命题点1 全称命题、存在性命题的真假 例1(1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是(  ) A.?n∈R,n2≥n B.?n∈R,?m∈R,m·n=m C.?n∈R,?m∈R,m20 B.?x∈N+,(x-1)2>0 C.?x∈R,lgx<1 D.?x∈R,tanx=2 答案 B 解析 当x∈N+时,x-1∈N,可得(x-1)2≥0,当且仅当x=1时取等号,故B不正确;易知A,C,D正确,故选B. 命题点2 含一个量词的命题的否定 例2(1)已知命题p:“?x∈R,ex-x-1≤0”,则綈p为(  ) A.?x∈R,ex-x-1≥0 B.?x∈R,ex-x-1>0 C.?x∈R,ex-x-1>0 D.?x∈R,ex-x-1≥0 答案 C 解析 根据全称命题与存在性命题的否定关系,可得綈p为“?x∈R,ex-x-1>0”,故选C. (2)(2018·福州质检)已知命题p:?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≥0,则綈p是(  ) A.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0 B.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)≤0 C.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 D.?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0 答案 C 解析 已知全称命题p:?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)]·(x2-x1)≥0,则綈p:?x1,x2∈R,[f(x2)-f(x1)](x2-x1)<0,故选C. 思维升华 (1)判定全称命题“?x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每一个元素x,证明p(x)成立;要判断存在性命题是真命题,只要在限定集合内找到一个x=x0,使p(x0)成立. (2)对全称(存在性)命题进行否定的方法 ①找到命题所含的量词,没有量词的要结合命题的含义先加上量词,再改变量词; ②对原命题的结论进行否定. 跟踪训练1(1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是(  ) A.?x∈R,log2x=0 B.?x∈R,cosx=1 C.?x∈R,x2>0 D.?x∈R,2x>0 答案 C 解析 因为log21=0,cos0=1,所以选项A,B均为真命题,02=0,选项C为假命题,2x>0,选项D为真命题,故选C. (2)已知命题p:?x∈R,log2(3x+1)≤0,则(  ) A.p是假命题;綈p:?x∈R,log2(3x+1)≤0 B.p是假命题;綈p:?x∈R,log2(3x+1)>0 C.p是真命题;綈p:?x∈R,log2(3x+1)≤0 D.p是真命题;綈p:?x∈R,log2(3x+1)>0 答案 B 解析 因为3x>0,所以3x+1>1,则log2(3x+1)>0, 所以p是假命题;綈p:?x∈R,log2(3x+1)>0.故选B. 题型三 命题中参数的取值范围 例3(1)(2018·包头质检)已知命题p:“?x∈[0,1],a≥ex”;命题q:“?x∈R,使得x2+4x+a=0”.若命题“p∧q”是真命题,则实数a的取值范围为____________. 答案 [e,4] 解析 若命题“p∧q”是真命题,那么命题p,q都是真命题.由?x∈[0,1],a≥ex,得a≥e;由?x∈R,使x2+4x+a=0,得Δ=16-4a≥0,则a≤4,因此e≤a≤4.则实数a的取值范围为[e,4]. (2)已知f(x)=ln(x2+1),g(x)=x-m,若对?x1∈[0,3],?x2∈[1,2],使得f(x1)≥g(x2),则实数m的取值范围是________________. 答案  解析 当x∈[0,3]时,f(x)min=f(0)=0,当x∈[1,2]时, g(x)min=g(2)=-m,由f(x)min≥g(x)min, 得0≥-m,所以m≥. 引申探究 本例(2)中,若将“?x2∈[1,2]”改为“?x2∈[1,2]”,其他条件不变,则实数m的取值范围是________________. 答案  解析 当x∈[1,2]时,g(x)max=g(1)=-m, 由f(x)min≥g(x)max,得0≥-m,∴m≥. 思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假,可根据每个命题的真假,利用集合的运算求解参数的取值范围. (2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题,可根据命题的含义,利用函数值域(或最值)解决. 跟踪训练2(1)已知命题“?x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,则实数a的取值范围是______________. 答案  解析 由“?x∈R,x2-5x+a>0”的否定为假命题,可知原命题必为真命题,即不等式x2-5x+a>0对任意实数x恒成立. 设f(x)=x2-5x+a,则其图象恒在x轴的上方. 故Δ=25-4×a<0,解得a>, 即实数a的取值范围为. (2)已知c>0,且c≠1,设命题p:函数y=cx为减函数.命题q:当x∈时,函数f(x)=x+>恒成立.如果“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则c的取值范围为________. 答案 ∪(1,+∞) 解析 由命题p为真知,0恒成立,需<2,即c>, 若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题, 则p,q中必有一真一假, 当p真q假时,c的取值范围是01. 综上可知,c的取值范围是∪(1,+∞). 常用逻辑用语 有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现,多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合,难度中等偏下.解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系. 一、命题的真假判断 例1(1)下列命题的否定为假命题的是________.(填序号) ①?x∈R,-x2+x-1<0; ②?x∈R,|x|>x; ③?x,y∈Z,2x-5y≠12; ④?x∈R,sin2x+sinx+1=0. 答案 ① 解析 命题的否定为假命题亦即原命题为真命题,只有①为真命题. (2)(2018·哈尔滨联考)已知命题p:?x∈R,3x<5x;命题q:?x∈R,x3=1-x2,则下列命题中为真命题的是(  ) A.p∧q B.(綈p)∧q C.p∧(綈q) D.(綈p)∧(綈q) 答案 B 解析 若x=0,则30=50=1,∴p是假命题, ∵方程x3=1-x2有解,∴q是真命题, ∴(綈p)∧q是真命题. 二、充要条件的判断 例2(1)设m,n为非零向量,则“存在负数λ,使得m=λn”是“m·n<0”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A 解析 ∵存在负数λ,使得m=λn,∴非零向量m与n方向相反,∴m·n<0. ∵m·n<0,即|m||n|cos〈m,n〉<0, ∴cos〈m,n〉<0,∴m与n的夹角为钝角或平角,不一定有m与n反向,故选A. (2)已知圆C:(x-1)2+y2=r2(r>0).设p:00,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3. (2)已知命题p:?x∈R,(m+1)·(x2+1)≤0,命题q:?x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∧q为假命题,则实数m的取值范围为____________. 答案 (-∞,-2]∪(-1,+∞) 解析 由命题p:?x∈R,(m+1)(x2+1)≤0,可得m≤-1, 由命题q:?x∈R,x2+mx+1>0恒成立,可得-2-1. 1.已知命题p:“x>3”是“x2>9”的充要条件,命题q:“a2>b2”是“a>b”的充要条件,则(  ) A.p∨q为真 B.p∧q为真 C.p真q假 D.p∨q为假 答案 D 解析 由x>3能够得出x2>9,反之不成立,故命题p是假命题;由a2>b2可得|a|>|b|,但a不一定大于b,反之也不一定成立,故命题q是假命题.因此选D. 2.以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是(  ) A.锐角三角形有一个内角是钝角 B.至少有一个实数x,使x2≤0 C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数x,>2 答案 B 解析 A中锐角三角形的内角都是锐角,所以A是假命题;B中当x=0时,x2=0,满足x2≤0,所以B既是存在性命题又是真命题;C中因为+(-)=0不是无理数,所以C是假命题;D中对于任意一个负数x,都有<0,不满足>2,所以D是假命题. 3.已知命题p:?x∈R,x2+1<2x;命题q:若mx2-mx+1>0恒成立,则00恒成立, 则m=0或 则0≤m<4,所以命题q为假,故选C. 4.命题“?x∈R,?n∈N+,使得n≤x2”的否定形式是(  ) A.?x∈R,?n∈N+,使得n>x2 B.?x∈R,?n∈N+,使得n>x2 C.?x∈R,?n∈N+,使得n>x2 D.?x∈R,?n∈N+,使得n>x2 答案 D 解析 ?改写为?,?改写为?,n≤x2的否定是n>x2,则该命题的否定形式为“?x∈R,?n∈N+,使得n>x2”.故选D. 5.若?x∈,使得2x2-λx+1<0成立是假命题,则实数λ的取值范围是(  ) A.(-∞,2] B.(2,3] C.D.{3} 答案 A 解析 因为?x∈,使得2x2-λx+1<0成立是假命题,所以?x∈,2x2-λx+1≥0恒成立是真命题,即?x∈,λ≤2x+恒成立是真命题,令f(x)=2x+,则f′(x)=2-,当x∈时,f′(x)<0,当x∈时,f′(x)>0,所以f(x)≥f=2,则λ≤2. 6.命题p:?x∈R,ax2+ax+1≥0,若綈p是真命题,则实数a的取值范围是(  ) A.(0,4] B.[0,4] C.(-∞,0]∪[4,+∞) D.(-∞,0)∪(4,+∞) 答案 D 解析 因为命题p:?x∈R,ax2+ax+1≥0, 所以綈p:?x∈R,ax2+ax+1<0, 则a<0或解得a<0或a>4. 7.下列命题中,真命题是(  ) A.?x∈R,ex≤0 B.?x∈R,2x>x2 C.a+b=0的充要条件是=-1 D.“a>1,b>1”是“ab>1”的充分条件 答案 D 解析 因为y=ex>0,x∈R恒成立,所以A不正确; 因为当x=-5时,2-5<(-5)2,所以B不正确; “=-1”是“a+b=0”的充分不必要条件,C不正确; 当a>1,b>1时,显然ab>1,D正确. 8.(2018·鄂尔多斯模拟)已知命题p:?x∈R,cosx=;命题q:?x∈R,x2-x+1>0.则下列结论正确的是(  ) A.命题p∧q是真命题 B.命题p∧(綈q)是真命题 C.命题(綈p)∧q是真命题 D.命题(綈p)∨(綈q)是假命题 答案 C 解析 因为对任意x∈R,都有cosx≤1成立,而>1,所以命题p:?x∈R,cosx=是假命题;因为对任意的x∈R,x2-x+1=2+>0, 所以命题q:?x∈R,x2-x+1>0是真命题. 由此对照各个选项,可知命题(綈p)∧q是真命题. 9.命题p的否定是“对所有正数x,>x+1”,则命题p可写为______________. 答案 ?x∈(0,+∞),≤x+1 解析 因为p是綈p的否定,所以只需将全称量词变为存在量词,再对结论否定即可. 10.若命题“对?x∈R,kx2-kx-1<0”是真命题,则k的取值范围是________________. 答案 (-4,0] 解析 “对?x∈R,kx2-kx-1<0”是真命题,当k=0时,则有-1<0;当k≠0时,则有k<0且Δ=(-k)2-4×k×(-1)=k2+4k<0,解得-40,由题意知,其为真命题,即Δ=(a-1)2-4×2×<0,则-22x,p2:?θ∈R,sinθ+cosθ=,则在命题q1:p1∨p2;q2:p1∧p2;q3:(綈p1)∨p2和q4:p1∧(綈p2)中,真命题是________. 答案 q1,q4 解析 因为y=x在R上是增函数,即y=x>1在(0,+∞)上恒成立,所以命题p1是真命题;sinθ+cosθ=sin≤,所以命题p2是假命题,綈p2是真命题,所以命题q1:p1∨p2,q4:p1∧(綈p2)是真命题. 13.(2018·鞍山模拟)已知命题p:?x∈R,使tanx=1;命题q:x2-3x+2<0的解集是{x|11时,f′(x)>0,函数f(x)=在(1,+∞)上是单调递增函数;当0m(x2+1),q:函数f(x)=4x+2x+1+m-1存在零点.若“p∨q”为真命题,“p∧q”为假命题,则实数m的取值范围是____________. 答案  解析 ?x∈,2x>m(x2+1),即m<=在上恒成立,当x=时,max=,∴min=, ∴由p真得m<. 设t=2x,则t∈(0,+∞),则函数f(x)化为g(t)=t2+2t+m-1,由题意知g(t)在(0,+∞)上存在零点,令g(t)=0,得m=-(t+1)2+2,又t>0,所以由q真得m<1. 又“p∨q”为真,“p∧q”为假,∴p,q一真一假, 则或解得≤m<1. 故所求实数m的取值范围是. 1
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  • 资料类型: 教案
  • 资料版本:人教新课标A版
  • 适用地区:全国
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