[ID:3-6120799] (天津专用)2020届高考数学一轮复习第五章平面向量课件(2份打包)
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(共60张PPT) A组 自主命题·天津卷题组 五年高考 1.(2018天津文,8,5分)在如图的平面图形中,已知OM=1,ON=2,∠MON=120°,?=2?,?= 2?,则?·?的值为(  ) ? A.-15 ????B.-9 ????C.-6 ????D.0 答案????C 本题考查向量的运算. 解法一:连接OA.∵?=?-?=3?-3?=3(?-?)-3(?-?)=3(?-?), ∴?·?=3(?-?)·?=3(?·?-|?|2)=3×(2×1×cos 120°-12)=3×(-2)=-6.故选C. 解法二:在△ABC中,不妨设∠A=90°,取特殊情况ON⊥AC,以A为坐标原点,AB,AC所在直线分 别为x轴,y轴建立如图所示的平面直角坐标系, 因为∠MON=120°,ON=2,OM=1, 所以O?,C?,M?,B?. 故?·?=?·?=-?-?=-6.故选C. ? 2.(2017天津理,13,5分)在△ABC中,∠A=60°,AB=3,AC=2.若?=2?,?=λ?-?(λ∈R),且 ?·?=-4,则λ的值为   ????. 答案????? 解析 本题主要考查平面向量的线性运算以及数量积. 如图,由?=2?得?=??+??,所以?·?=?·(λ?-?)=?λ?·?-??+ ?λ?-??·?,又?·?=3×2×cos 60°=3,?=9,?=4, 所以?·?=λ-3+?λ-2=?λ-5=-4,解得λ=?. ? 思路分析 根据?=2?得?=??+??,利用?·?=-4以及向量的数量积建立关于λ的 方程,从而求得λ的值. 一题多解 以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,∠A= 60°,所以B(3,0),C(1,?),又?=2?,所以D?,所以?=?,而?=λ?-?=λ(1, ?)-(3,0)=(λ-3,?λ),因此?·?=?(λ-3)+?×?λ=?λ-5=-4,解得λ=?. ? 3.(2009天津理,15,4分)在四边形ABCD中,?=?=(1,1),??+??=??,则四边形 ABCD的面积为   ????. 答案 ????? 解析 由?=?=(1,1)知AB????DC. 又由??+??=?·?知四边形ABCD为菱形,且AB=AD=?,∵? =3,∴∠ABC=60°,∴∠BAD=120°,故sin∠BAD=?,∴S四边形ABCD=?×?×?=?. ? B组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点一 平面向量的线性运算及几何意义 1.(2018课标Ⅰ理,6,5分)在△ABC中,AD为BC边上的中线,E为AD的中点,则?=?(  ) A.??-?? ????B.??-?? C.??+?? ????D.??+?? 答案????A 本题主要考查平面向量的线性运算及几何意义. ∵E是AD的中点,∴?=-??,∴?=?+?=-??+?,又∵D为BC的中点,∴?=?(?+ ?),因此?=-?(?+?)+?=??-??,故选A. 题型归纳????平面向量线性运算问题的常见类型及解题策略: (1)考查向量加法或减法的几何意义. (2)求已知向量的和或差.一般共起点的向量求和用平行四边形法则,求差用三角形法则;求首 尾相连的向量的和用三角形法则. (3)与三角形综合,求参数的值.求出向量的和或差,与已知条件中的式子比较,求得参数. (4)与平行四边形综合,研究向量的关系.画出图形,找出图中的相等向量、共线向量,将所求向 量转化到同一个平行四边形或三角形中求解. 2.(2017课标Ⅱ文,4,5分)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则?????(  ) A.a⊥b  B.|a|=|b| ???? C.a∥b  D.|a|>|b| 答案????A 本题考查向量的有关概念. 由|a+b|=|a-b|的几何意义知,以向量a、b为邻边的平行四边形为矩形,所以a⊥b.故选A. 一题多解 将|a+b|=|a-b|两边分别平方得|a|2+2a·b+|b|2=|a|2-2a·b+|b|2,即a·b=0,故a⊥b.故选A. 3.(2015课标Ⅰ理,7,5分)设D为△ABC所在平面内一点,?=3?,则?(  ) A.?=-??+?? ???? B.?=??-?? C.?=??+?? ???? D.?=??-?? 答案 ????A?????=?+?=?+?+?=?+??=?+?(?-?)=-??+??.故选A. 方法指导 利用向量加法和减法的三角形法则将?进行转化,最终将?用?与?表示出 来. 4.(2015北京理,13,5分)在△ABC中,点M,N满足?=2?,?=?.若?=x?+y?,则x= ????  ????,y=   ????. 答案?????;-? 解析 由?=2?知M为AC上靠近C的三等分点,由?=?知N为BC的中点,作出草图如下: ? 则有?=?(?+?),所以?=?-?=?(?+?)-?·?=??-??, 又因为?=x?+y?,所以x=?,y=-?. 5.(2015课标Ⅱ理,13,5分)设向量a,b不平行,向量λa+b与a+2b平行,则实数λ=   ????. 答案????? 解析 由于a,b不平行,所以可以以a,b作为一组基底,于是λa+b与a+2b平行等价于?=?,即λ=?. 考点二 平面向量基本定理及向量的坐标运算 1.(2015课标Ⅰ文,2,5分)已知点A(0,1),B(3,2),向量?=(-4,-3),则向量?=?(  ) A.(-7,-4) ????B.(7,4) ????C.(-1,4) ????D.(1,4) 答案????A 解法一:根据题意得?=(3,1),∴?=?-?=(-4,-3)-(3,1)=(-7,-4).故选A. 解法二:设C(x,y),则?=(x,y)-(0,1)=(x,y-1)=(-4,-3), 解得x=-4,y=-2, 故?=(-4,-2)-(3,2)=(-7,-4). 2.(2015四川文,2,5分)设向量a=(2,4)与向量b=(x,6)共线,则实数x=?(  ) A.2 ????B.3 ????C.4 ????D.6 答案????B ∵a与b共线,∴2×6=4x,∴x=3,故选B. 3.(2019浙江,17,6分)已知正方形ABCD的边长为1.当每个λi(i=1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1?+λ2? +λ3?+λ4?+λ5?+λ6?|的最小值是   ????,最大值是   ????. 答案 0;2? 解析 本题考查平面向量的坐标表示及坐标运算,在向量的坐标运算中涉及多个未知数据以 此来考查学生的数据处理能力,数学运算及数据分析的核心素养. 如图,建立平面直角坐标系,则A(0,0),B(1,0),C(1,1),D(0,1), ? ∴?=(1,0),?=(0,1),?=(-1,0),?=(0,-1),?=(1,1),?=(-1,1), 故|λ1?+λ2?+λ3?+λ4?+λ5?+λ6?| =|(λ1-λ3+λ5-λ6,λ2-λ4+λ5+λ6)| =?.(*) 显然(*)式中第一个括号中的λ1,λ3与第二个括号中的λ2,λ4的取值互不影响,∴只需讨论λ5与λ6的 取值情况即可, 当λ5与λ6同号时,不妨取λ5=1,λ6=1, 则(*)式即为?, ∵λ1,λ2,λ3,λ4∈{-1,1},∴λ1=λ3,λ2-λ4=-2(λ2=-1,λ4=1)时,(*)式取最小值0,当|λ1-λ3|=2(如λ1=1,λ3=-1),λ2- λ4=2(λ2=1,λ4=-1)时,(*)式取最大值2?, 当λ5与λ6异号时,不妨取λ5=1,λ6=-1,则(*)式即为?. 同理可得最小值仍为0,最大值仍为2?, 综上,最小值为0,最大值为2?. 解题关键????本题未知量比较多,所以给学生的第一感觉是难,而实际上注意到图形为规则的正 方形,λi(i=1,2,3,4,5,6)的取值只有两种可能(1和-1),这就给建系及讨论λi的值创造了条件,也是求 解本题的突破口. 4.(2019上海,9,5分)过曲线y2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2=4x交于A、B,A在B 上方,M为抛物线上一点,?=λ?+(λ-2)?,则λ=   ????. 答案 3 解析 由题意可得A(1,2),B(1,-2),设M的坐标为(x,y),由?=λ?+(λ-2)?得(x,y)=λ(1,2)+(λ-2) (1,-2)=(2λ-2,4),因为M在抛物线上,所以16=4(2λ-2),解得λ=3. 5.(2018课标Ⅲ理,13,5分)已知向量a=(1,2),b=(2,-2),c=(1,λ).若c∥(2a+b),则λ=   ????. 答案????? 解析 本题考查向量的坐标运算. 由已知得2a+b=(4,2).又c=(1,λ),c∥(2a+b), 所以4λ-2=0,解得λ=?. 6.(2017山东文,11,5分)已知向量a=(2,6),b=(-1,λ).若a∥b,则λ=   ????. 答案 -3 解析 本题考查向量平行的条件. ∵a=(2,6),b=(-1,λ),a∥b, ∴2λ-6×(-1)=0,∴λ=-3. 7.(2016课标Ⅱ文,13,5分)已知向量a=(m,4),b=(3,-2),且a∥b,则m=   ????. 答案 -6 解析 因为a∥b,所以?=?,解得m=-6. 易错警示 容易混淆两个向量平行与垂直的条件. 评析????本题考查了两个向量平行的充要条件. 8.(2015江苏,6,5分)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8)(m,n∈R),则m-n的值为   ????. 答案 -3 解析 由a=(2,1),b=(1,-2), 可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n), 由已知可得?解得? 从而m-n=-3. C组 教师专用题组 1.(2016北京理,4,5分)设a,b是向量.则“|a|=|b|”是“|a+b|=|a-b|”的?(  ) A.充分而不必要条件 ????B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 ????D.既不充分也不必要条件 答案????D 当|a|=|b|=0时,|a|=|b|?|a+b|=|a-b|. 当|a|=|b|≠0时,|a+b|=|a-b|?(a+b)2=(a-b)2?a·b=0?a⊥b,推不出|a|=|b|.同样,由|a|=|b|也不能推出 a⊥b.故选D. 解后反思 由向量加、减法的几何意义知:当a、b不共线,且|a|=|b|时,a+b与a-b垂直;当a⊥b时,| a+b|=|a-b|. 评析????本题考查向量的模及运算性质,属容易题. 2.(2017课标Ⅲ理,12,5分)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆 上.若?=λ?+μ?,则λ+μ的最大值为?(  ) A.3 ????B.2? ????C.? ????D.2 答案????A 分别以CB、CD所在的直线为x轴、y轴建立直角坐标系,则A(2,1),B(2,0),D(0,1).∵ 点P在以C为圆心且与BD相切的圆上,∴可设P?,θ∈R. 则?=(0,-1),?=(-2,0),?=?. 又?=λ?+μ?, ∴λ=-?sin θ+1,μ=-?cos θ+1, ∴λ+μ=2-?sin θ-?cos θ=2-sin(θ+φ), 其中tan φ=?,∴(λ+μ)max=3. 3.(2014北京文,3,5分)已知向量a=(2,4),b=(-1,1),则2a-b=?(  ) A.(5,7) ????B.(5,9) ????C.(3,7) ????D.(3,9) 答案????A 由a=(2,4)知2a=(4,8),所以2a-b=(4,8)-(-1,1)=(5,7).故选A. 4.(2014福建理,8,5分)在下列向量组中,可以把向量a=(3,2)表示出来的是?(  ) A.e1=(0,0),e2=(1,2) ????B.e1=(-1,2),e2=(5,-2) C.e1=(3,5),e2=(6,10) ????D.e1=(2,-3),e2=(-2,3) 答案????B 设a=k1e1+k2e2, A选项,∵(3,2)=(k2,2k2), ∴?无解. B选项,∵(3,2)=(-k1+5k2,2k1-2k2), ∴?解之得? 故B中的e1,e2可把a表示出来. 同理,C、D选项同A选项,无解.故选B. 5.(2014广东文,3,5分)已知向量a=(1,2),b=(3,1),则b-a=?(  ) A.(-2,1) ????B.(2,-1) ????C.(2,0) ????D.(4,3) 答案????B????b-a=(3,1)-(1,2)=(2,-1). 6.(2017江苏,12,5分)如图,在同一个平面内,向量?,?,?的模分别为1,1,?,?与?的夹角 为α,且tan α=7,?与?的夹角为45°.若?=m?+n?(m,n∈R),则m+n=   ????. ? 答案 3 解析 解法一:∵tan α=7,α∈[0,π], ∴cos α=?,sin α=?, ∵?与?的夹角为α, ∴?=?, ∵?=m?+n?,|?|=|?|=1,|?|=?, ∴?=?,① 又∵?与?的夹角为45°, ∴?=?=?,② 又cos∠AOB=cos(45°+α)=cos αcos 45°-sin αsin 45° =?×?-?×?=-?, ∴?·?=|?|·|?|·cos∠AOB=-?, 将其代入①②得m-?n=?, -?m+n=1, 两式相加得?m+?n=?, 所以m+n=3. 解法二:过C作CM∥OB,CN∥OA,分别交线段OA,OB的延长线于点M,N, 则?=m?,?=n?, 由正弦定理得?=?=?, ∵|?|=?,由解法一知,sin α=?,cos α=?, ∴|?|=?=?=?, |?|=?=?=?, 又?=m?+n?=?+?,|?|=|?|=1, ∴m=?,n=?,∴m+n=3. 7.(2014北京理,10,5分)已知向量a,b满足|a|=1,b=(2,1),且λa+b=0(λ∈R),则|λ|=   ????. 答案????? 解析 ∵λa+b=0,即λa=-b,∴|λ||a|=|b|. ∵|a|=1,|b|=?,∴|λ|=?. 思路分析 先根据已知得到|a|,|b|的关系,然后计算|λ|. 8.(2014陕西理,13,5分)设0<θ0,则?=??+??, 又?=λ?+μ?, ∴? ∴λ+?=?+?≥2?=?,当且仅当k=?时取“=”, ∴λ+?的最小值为?. ? 评析????本题考查了平面向量的线性运算与基本不等式的应用问题,是基础题目. C组 2017—2019年高考模拟·应用创新题组 1.(2019 5·3原创预测卷一,3)已知向量a=(3,-4),b=(x,y-1),且a∥b,则?的最小值是?(  ) A.? ????B.? C.? ????D.? 答案????A ∵a∥b,∴-4x-3(y-1)=0,即 4x+3y-3=0. 坐标原点O到直线4x+3y-3=0的距离d=?=?,易知?≥d=?,所以?的最小值 是?. 2.(2019 5·3原创预测卷九,3)已知在△ABC中,AB=2,AC=3,∠BAC=120°,G为△ABC的重心,则 AG的长为?(  ) A.? ????B.? ????C.? ????D.? 答案????D 设D为BC的中点,则?=?(?+?),?=??=?(?+?),?=??=? (?+?+2?·?)=?×?=?,∴|?|=?. (共105张PPT) A组 自主命题·天津卷题组 五年高考 1.(2018天津理,8,5分)如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥BC,AD⊥CD,∠BAD=120°,AB=AD=1. 若点E为边CD上的动点,则?·?的最小值为?(  ) ? A.? ????B.? ???? C.? ????D.3 答案????A 本题主要考查数量积的综合应用. 解法一:如图,以D为原点,DA所在直线为x轴,DC所在直线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(1,0), B?,C(0,?),令E(0,t),t∈[0,?],∴?·?=(-1,t)·?=t2-?t+?,∵t∈[0,?],∴当t =-?=?时,?·?取得最小值,(?·?)min=?-?×?+?=?.故选A. ? 解法二:令?=λ?(0≤λ≤1),由已知可得DC=?, ∵?=?+λ?,∴?=?+?=?+?+λ?, ∴?·?=(?+λ?)·(?+?+λ?) =?·?+|?|2+λ?·?+λ2|?|2 =3λ2-?λ+?. 当λ=-?=?时,?·?取得最小值?.故选A. 方法总结 向量的最值问题常用数形结合的方法和函数的思想方法求解,建立函数关系时,可 用平面向量基本定理,也可利用向量的坐标运算. 2.(2016天津理,7,5分)已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D,E分别是边AB,BC的中点,连接 DE并延长到点F,使得DE=2EF,则?·?的值为?(  ) A.-? ????B.? ????C.? ????D.? 答案????B 建立平面直角坐标系,如图. ? 则B?,C?,A?,所以?=(1,0). 易知DE=?AC,则EF=?AC=?, 因为∠FEC=60°,所以点F的坐标为?, 所以?=?, 所以?·?=?·(1,0)=?.故选B. 疑难突破 若利用公式a·b=|a|·|b|cos求解十分困难,则可以考虑建立平面直角坐标系,利 用坐标运算求解.确定点F的坐标是解题的关键. 评析????本题考查了向量的坐标运算和向量的数量积.考查了运算求解能力和数形结合思想. 3.(2014天津理,8,5分)已知菱形ABCD的边长为2,∠BAD=120°,点E,F分别在边BC,DC上,BE=λ BC,DF=μDC.若?·?=1,?·?=-?,则λ+μ=?(  ) A.? ????B.? ????C.? ????D.? 答案 ????C 以?,?为基向量,则?·?=(?+λ?)·(?+μ?)=μ?+λ?+(1+λμ)?· ?=4(μ+λ)-2(1+λμ)=1①.?·?=(λ-1)?·(μ-1)?=-2(λ-1)(μ-1)=-?②,由①②可得λ+μ=?. 4.(2019天津理,14,5分)在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=2?,AD=5,∠A=30°,点E在线段CB的延 长线上,且AE=BE,则?·?=   ????. 答案 -1 解析 本题主要考查平面几何知识的应用、解三角形、向量的坐标运算及数量积的求解;考 查学生数形结合思想的应用以及运算求解能力;通过向量的不同表现形式更全面地考查了学 生逻辑推理、直观想象及数学运算的核心素养. 解法一:∵∠BAD=30°,AD∥BC,∴∠ABE=30°, 又EA=EB,∴∠EAB=30°, 在△EAB中,AB=2?,∴EA=EB=2. 以A为坐标原点,AD所在直线为x轴建立平面直角坐标系,如图所示 则A(0,0),D(5,0),E(1,?),B(3,?), ∴?=(2,-?),?=(1,?), ∴?·?=(2,-?)·(1,?)=-1. 解法二:同解法一,得AB=2?, 以?,?为一组基底, 则?=?-?,?=?+?=?-??, ∴?·?=(?-?)·? =?·?-?+??·?-?? =??·?-?-?? =?×5×2?×?-12-?×25=-1. 5.(2015天津理,14,5分)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AB=2,BC=1,∠ABC=60°.动点E和F分 别在线段BC和DC上,且?=λ?,?=??,则?·?的最小值为   ????. 答案????? 解析 如图,以A为原点,AB所在直线为x轴建立直角坐标系,则B(2,0),C?,D?. 由?=λ?得E?,由?=??得F?. 从而?·?=?·?=?+?+?≥?+2×?=??当且仅当λ=?时,取等号?. ? B组 统一命题、省(区、市)卷题组 考点一 数量积的定义及模、夹角运算 1.(2019课标Ⅱ理,3,5分)已知?=(2,3),?=(3,t),|?|=1,则?·?=(  ) A.-3 ????B.-2 ????C.2 ????D.3 答案????C 本题考查了平面向量的坐标表示以及数量积和模的求解;通过模的运算,考查了方 程的思想方法.考查的核心素养为数学运算. ∵?=?-?=(1,t-3), ∴|?|=?=1,∴t=3, ∴?·?=(2,3)·(1,0)=2. 思路分析 先利用|?|=1求出t的值,再利用数量积的坐标运算求出数量积. 2.(2019课标Ⅱ文,3,5分)已知向量a=(2,3),b=(3,2),则|a-b|=?(  ) A.? ????B.2 ????C.5? ????D.50 答案????A 本题主要考查平面向量的坐标运算以及向量模的计算;考查数学运算的核心素养. ∵a=(2,3),b=(3,2),∴a-b=(-1,1),∴|a-b|=?=?,故选A. 一题多解 ∵a=(2,3),b=(3,2),∴|a|2=13,|b|2=13,a·b=12,则|a-b|=?=?= ?.故选A. 3.(2019课标Ⅰ理,7,5分)已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为?(  ) A.? ????B.? ????C.? ????D.? 答案 ????B????本题考查向量的运算及向量的夹角;考查学生的运算求解能力;考查了数形结合 思想;考查的核心素养是数学建模和数学运算. 解法一:因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-|b|2=0,又因为|a|=2|b|,所以2|b|2cos-|b|2=0,即cos =?,又知∈[0,π],所以=?,故选B. 解法二:如图,令?=a,?=b,则?=?-?=a-b,因为(a-b)⊥b,所以∠OBA=90°,又|a|=2|b|,所以 ∠AOB=?,即=?.故选B. ? 思路分析????本题可由两向量垂直的充要条件建立方程求解;也可以将两向量放在直角三角形 中,由题设直接得到两向量的夹角. 4.(2018课标Ⅱ理,4,5分)已知向量a,b满足|a|=1,a·b=-1,则a·(2a-b)=?(  ) A.4 ????B.3 ????C.2 ????D.0 答案????B 本题考查平面向量的运算. 因为|a|=1,a·b=-1,所以a·(2a-b)=2|a|2-a·b=2×12-(-1)=3.故选B. 5.(2016课标Ⅱ理,3,5分)已知向量a=(1,m),b=(3,-2),且(a+b)⊥b,则m=?(  ) A.-8 ????B.-6 ????C.6 ????D.8 答案????D 由题可得a+b=(4,m-2),又(a+b)⊥b,∴4×3-2×(m-2)=0.∴m=8.故选D. 思路分析 求出a+b的坐标,然后利用两向量垂直的充要条件列出关于m的方程,进而求出m. 6.(2016课标Ⅲ理,3,5分)已知向量?=?,?=?,则∠ABC=?(  ) A.30° ????B.45° ????C.60° ????D.120° 答案????A????cos∠ABC=?=?,所以∠ABC=30°,故选A. 思路分析 由向量的夹角公式可求得cos∠ABC的值,进而得∠ABC的大小. 7.(2016山东理,8,5分)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos=?.若n⊥(tm+n),则实数t的值为 ?(  ) A.4 ????B.-4 ????C.? ????D.-? 答案????B 因为n⊥(tm+n),所以tm·n+n2=0,所以m·n=-?,又4|m|=3|n|,所以cos=?= ?=-?=?,所以t=-4.故选B. 评析????本题主要考查了非零向量垂直的充要条件和夹角公式,属中档题. 8.(2015课标Ⅱ文,4,5分)向量a=(1,-1),b=(-1,2),则(2a+b)·a=?(  ) A.-1 ????B.0 ????C.1 ????D.2 答案????C 因为2a+b=2(1,-1)+(-1,2)=(2,-2)+(-1,2)=(1,0),所以(2a+b)·a=(1,0)·(1,-1)=1×1+0×(-1)= 1.故选C. 9.(2019北京文,9,5分)已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=   ????. 答案 8 解析 本题考查两向量垂直的充要条件和向量的坐标运算,考查了方程的思想方法. ∵a⊥b,∴a·b=(-4,3)·(6,m)=-24+3m=0, ∴m=8. 易错警示 容易把两向量平行与垂直的条件混淆. 10.(2019课标Ⅲ理,13,5分)已知a,b为单位向量,且a·b=0,若c=2a-?b,则cos=   ????. 答案????? 解析 本题主要考查平面向量的数量积、模长及平面向量夹角的计算;通过向量的数量积、 夹角的求解考查学生运算求解的能力,体现了数学运算的核心素养. ∵|a|=|b|=1,a·b=0, ∴a·c=a·(2a-?b)=2a2-?a·b=2, |c|=|2a-?b|=?=?=3. ∴cos=?=?. 小题巧解????不妨设a=(1,0),b=(0,1),则c=2(1,0)-?(0,1)=(2,-?),∴cos=?=?. 方法总结 利用数量积求解向量模的处理方法: ①a2=a·a=|a|2或|a|=?; ②|a±b|=?. 11.(2017课标Ⅰ理,13,5分)已知向量a,b的夹角为60°,|a|=2,|b|=1,则|a+2b|=   ????. 答案 2? 解析 本题考查向量数量积的计算. 由题意知a·b=|a|·|b|cos 60°=2×1×?=1,则|a+2b|2=(a+2b)2=|a|2+4|b|2+4a·b=4+4+4=12. 所以|a+2b|=2?. 12.(2016课标Ⅰ理,13,5分)设向量a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2=|a|2+|b|2,则m=   ????. 答案 -2 解析 由|a+b|2=|a|2+|b|2,知a⊥b,∴a·b=m+2=0,∴m=-2. 13.(2015浙江文,13,4分)已知e1,e2是平面单位向量,且e1·e2=?.若平面向量b满足b·e1=b·e2=1,则|b|=    ????. 答案????? 解析 令e1与e2的夹角为θ,∴e1·e2=|e1|·|e2|cos θ=cos θ=?,又0°≤θ≤180°,∴θ=60°.因为b·(e1-e2)=0, 所以b与e1、e2的夹角均为30°,从而|b|=?=?. 14.(2015广东理,16,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量m=?,n=(sin x,cos x),x∈ ?. (1)若m⊥n,求tan x的值; (2)若m与n的夹角为?,求x的值. 解析 (1)因为m⊥n, 所以m·n=?sin x-?cos x=0, 即sin x=cos x,又x∈?, 所以tan x=?=1. (2)易求得|m|=1,|n|=?=1. 因为m与n的夹角为?, 所以cos?=?=?=?. 则?sin x-?cos x=sin?=?. 又因为x∈?,所以x-?∈?. 所以x-?=?,解得x=?. 1.(2017课标Ⅱ理,12,5分)已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则?·(?+ ?)的最小值是?(  ) A.-2 ????B.-? ????C.-? ????D.-1 答案????B 设BC的中点为D,AD的中点为E,则有?+?=2?,则?·(?+?)=2?·?=2(? +?)·(?-?)=2(?-?).而?=?=?,当P与E重合时,?有最小值0,故此时?·(?+ ?)取最小值,最小值为-2?=-2×?=-?. ? 方法总结 在求向量数量积的最值时,常用取中点的方法,如本题中利用?·?=?-?可快 速求出最值. 考点二 数量积的综合应用 一题多解 以AB所在直线为x轴,AB的中点为原点建立平面直角坐标系,如图, ? 则A(-1,0),B(1,0),C(0,?),设P(x,y),取BC的中点D,则D?.?·(?+?)=2?·?=2(-1-x,-y) ·?=2?(x+1)·?+y·??=2??+?-??.因此,当x=-?,y=? 时,?·(?+?)取得最小值,为2×?=-?,故选B. 2.(2015福建理,9,5分)已知?⊥?,|?|=?,|?|=t.若点P是△ABC所在平面内的一点,且?= ?+?,则?·?的最大值等于?(  ) A.13 ????B.15 ????C.19 ????D.21 答案????A 以A为原点,AB所在直线为x轴,AC所在直线为y轴建立平面直角坐标系,则B?(t> 0),C(0,t),P(1,4),?·?=?·(-1,t-4)=17-?≤17-2×2=13?,故 ?·?的最大值为13,故选A. 3.(2015山东理,4,5分)已知菱形ABCD的边长为a,∠ABC=60°,则?·?=?(  ) A.-?a2 ????B.-?a2 ???? C.?a2 ????D.?a2 答案 ????D?????·?=(?+?)·?=?·?+?=?a2+a2=?a2. 4.(2015四川理,7,5分)设四边形ABCD为平行四边形,|?|=6,|?|=4.若点M,N满足?=3?, ?=2?,则?·?=?(  ) A.20 ????B.15 ????C.9 ????D.6 答案????C 依题意有?=?+?=?+??,?=?+?=??-??=??-??,所以 ?·?=?·?=??-??=9.故选C. 5.(2019江苏,12,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E在边AB上,BE=2EA,AD与CE交于点O.若 ?·?=6?·?,则?的值是   ????. ? 答案????? 解析 本题考查平面向量基本定理、向量的线性运算、平面向量的数量积等有关知识,考查 学生的抽象概括能力和运算求解能力,考查的核心素养为数学运算. 过D作DF∥EC,交AB于F. ∵D为BC的中点,∴F为BE的中点, ? 又BE=2EA,∴EF=EA, 又DF∥EO,∴AO=?AD, ∴?=??=?×?(?+?). ∴?·?=?(?+?)·? =??. ∵?·?=6?·?, ∴?·?=??-??+?·?, ∴?=3?,∴|?|=?|?|, ∴?=?. 一题多解 由于题目中对∠BAC没有限制,所以不妨设∠BAC=90°,AB=c,AC=b,建立如图所示 的平面直角坐标系. ? 则E?,D?, 易得lAD:y=?x,lEC:?+?=1, 联立得?解得?则O?. 由?·?=6?·?得6?·?=0, ∴c2=3b2,∴c=?b,∴?=?. 6.(2018上海,8,5分)在平面直角坐标系中,已知点A(-1,0)、B(2,0),E、F是y轴上的两个动点,且| ?|=2,则?·?的最小值为   ????. 答案 -3 解析 本题主要考查数量积的运算以及二次函数的最值问题.设E(0,m),F(0,n),又A(-1,0),B(2, 0), ∴?=(1,m),?=(-2,n). ∴?·?=-2+mn,又知|?|=2,∴|m-n|=2. ①当m=n+2时,?·?=mn-2=(n+2)n-2=n2+2n-2=(n+1)2-3. ∴当n=-1,即E(0,1),F(0,-1)时,?·?取得最小值-3. ②当m=n-2时,?·?=mn-2=(n-2)n-2=n2-2n-2=(n-1)2-3. ∴当n=1,即E(0,-1),F(0,1)时,?·?取得最小值-3. 综上可知,?·?的最小值为-3. 7.(2016江苏,13,5分)如图,在△ABC中,D是BC的中点,E,F是AD上的两个三等分点,?·?=4,? ·?=-1,则?·?的值是   ????. ? 答案????? 解析 由已知可得?=?+?=??+??=??-??=?(?-?)-?(?+?)=??-? ?, ?=?+?=??+??=??-??=?(?-?)-?(?+?)=??-??, ?=?+?=??+??=?(?-?)-?(?+?)=??-??, ?=?+?=??+??=?(?-?)-?(?+?)=??-??, 因为?·?=4,所以?·?=4, 则?·?=?·? =??·?-??-??+??·? =??·?-?(?+?)=?×4-?(?+?)=-1, 所以?+?=?, 从而?·?=?·? =-??-??+??·? =-?(?+?)+??·? =-?×?+?×4=?=?. 思路分析 合理选择“基底”,把相关向量用“基底”表示出来,进而求得向量的数量积. 一题多解?????·?=?·? =(?+?)·(?-?) =?-?,?① 同理,?·?=?-?,?② ?·?=?-?,?③ 又因为E,F是AD上的两个三等分点, 所以?=9?,?=4?, 由①-③可得8?=5,即?=?. 由②③两式可得?·?=?·?+3?=-1+?=?. 8.(2016浙江文,15,4分)已知平面向量a,b,|a|=1,|b|=2,a·b=1.若e为平面单位向量,则|a·e|+|b·e|的最 大值是   ????. 答案????? 解析 由已知易得a,b所成角为60°,如图. ? 设向量e与a所成角为α,e与b所成角为β, 则α与β的关系为β=60°-α(e在区域Ⅰ)或β=60°+α(e在区域Ⅱ)或β=300°-α(e在区域Ⅲ)或β=α-60° (e在区域Ⅳ). 当β=60°-α(e在区域Ⅰ)时, |a·e|+|b·e|=cos α+2cos β=2cos α+?sin α =?sin(α+φ),其中tan φ=?,则φ>30°, ∵φ≤α+φ≤60°+φ, ∴|a·e|+|b·e|的最大值为?. 同理可得另三种情况下所求最大值均为?. 故|a·e|+|b·e|的最大值为?. 9.(2015安徽文,15,5分)△ABC是边长为2的等边三角形,已知向量a,b满足?=2a,?=2a+b,则 下列结论中正确的是   ????.(写出所有正确结论的编号) ①a为单位向量;  ②b为单位向量;  ③a⊥b; ④b∥?;  ⑤(4a+b)⊥?. 答案 ①④⑤ 解析 ∵?=2a,|?|=2,∴2|a|=2,∴|a|=1,故①正确. 由?=?-?=2a+b-2a=b,知④正确, 又|b|=|?|=2,故②不正确. 由a·b=??·?=?×2×2×?=-1,知③不正确. 由(4a+b)·?=(2?+?)·?=2?·?+?=2×2×2×?+4=0,知⑤正确.综上,结论正确的是 ①④⑤. C组 教师专用题组 考点一 数量积的定义及模、夹角运算 1.(2017浙江,10,4分)如图,已知平面四边形ABCD,AB⊥BC,AB=BC=AD=2,CD=3,AC与BD交于 点O.记I1=?·?,I2=?·?,I3=?·?,则?(  ) ? A.I145°,又∠BCO=45°,∴∠BOC为锐角. 从而∠AOB为钝角,所以∠DOC为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0. 又OA1),?=-λ2?(λ2>1), 从而I3=?·?=λ1λ2?·?=λ1λ2I1, 又λ1λ2>1,I1<0,∴I30,∴n>m. 从而∠DBC>45°,又∠BCO=45°,∴∠BOC为锐角. 从而∠AOB为钝角.故I1<0,I3<0,I2>0. 又OA1),?=-λ2?(λ2>1), 从而I3=?·?=λ1λ2?·?=λ1λ2I1, 又λ1λ2>1,I1<0,I3<0,∴I3|≤|a|·|b|,故A恒成立;由向量的运算法则知C,D也恒成立;当b=-a ≠0时,|a-b|>||a|-|b||,B不一定成立.故选B. 评析????本题考查向量的运算法则等知识,考查逻辑推理能力. 3.(2014安徽理,10,5分)在平面直角坐标系xOy中,已知向量a,b,|a|=|b|=1,a·b=0,点Q满足?=? (a+b).曲线C={P|?=acos θ+bsin θ,0≤θ<2π},区域Ω={P|04|a|2cos θ得5·|a|2+4 |a|2cos θ>8|a|2cos θ,即x1·y1+x2·y2+x3·y3+x4·y4所有可能取值中的最小值为8|a|2cos θ,依题意得8·|a|2 cos θ=4|a|2,从而cos θ=?,又0≤θ≤π,故θ=?,选B. 评析????本题考查平面向量的数量积,同时考查分析问题、解决问题的能力.解题时能分析出所 有情况是解题的关键. 5.(2014浙江理,8,5分)记max{x,y}=?min{x,y}=?设a,b为平面向量,则?(  ) A.min{|a+b|,|a-b|}≤min{|a|,|b|} B.min{|a+b|,|a-b|}≥min{|a|,|b|} C.max{|a+b|2,|a-b|2}≤|a|2+|b|2 D.max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2 答案????D 在A中,取a=(1,0),b=(0,0),则min{|a+b|,|a-b|}=1,而min{|a|,|b|}=0,不符合,即A错.在B 中,设a=b≠0,则min{|a+b|,|a-b|}=0,而min{|a|,|b|}=|a|>0,不符合,即B错.因为|a+b|2=|a|2+|b|2+2a·b,|a -b|2=|a|2+|b|2-2a·b,所以当a·b≥0时,max{|a+b|2,|a-b|2}=|a|2+|b|2+2a·b≥|a|2+|b|2;当a·b<0时,max{|a+b| 2,|a-b|2}=|a|2+|b|2-2a·b≥|a|2+|b|2,即总有max{|a+b|2,|a-b|2}≥|a|2+|b|2.故选D. 6.(2014浙江文,9,5分)设θ为两个非零向量a,b的夹角.已知对任意实数t,|b+ta|的最小值为1.? (???? ) A.若θ确定,则|a|唯一确定 ????B.若θ确定,则|b|唯一确定 C.若|a|确定,则θ唯一确定 ????D.若|b|确定,则θ唯一确定 答案????B |b+ta|2=|a|2t2+2a·b·t+|b|2 =|a|2t2+2|a||b|cos θ·t+|b|2, 设f(t)=|a|2t2+2|a||b|cos θ·t+|b|2, 则二次函数f(t)的最小值为1, 即?=1, 化简得|b|2sin2θ=1. ∵|b|>0,0≤θ≤π,∴|b|sin θ=1, 若θ确定,则|b|唯一确定, 而|b|确定,θ不确定,故选B. 7.(2017课标Ⅰ文,13,5分)已知向量a=(-1,2),b=(m,1).若向量a+b与a垂直,则m=   ????. 答案 7 解析 解法一:∵a=(-1,2),b=(m,1), ∴a+b=(m-1,3),∵(a+b)⊥a, ∴(a+b)·a=-(m-1)+6=0,解得m=7. 解法二:由已知可得(a+b)·a=a·a+b·a=1+4-m+2=0,解得m=7. 解法三:如图,设a=?,b=?,a+b=?,由于向量a+b与a垂直,可知△COB为直角三角形,故|a|2+|a +b|2=|b|2,即1+4+(m-1)2+32=m2+1,解得m=7. ? 8.(2017课标Ⅲ文,13,5分)已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=   ????. 答案 2 解析 ∵a⊥b,∴a·b=0, 又a=(-2,3),b=(3,m), ∴-6+3m=0,解得m=2. 9.(2016北京文,9,5分)已知向量a=(1,?),b=(?,1),则a与b夹角的大小为   ????. 答案????? 解析 ∵cos=?=?=?, 又∈[0,π], ∴a与b夹角的大小为?. 10.(2016课标Ⅰ文,13)设向量a=(x,x+1),b=(1,2),且a⊥b,则x=   ????. 答案 -? 解析 因为a⊥b,所以a·b=0,即x+2(x+1)=0,解得x=-?. 11.(2016山东文,13)已知向量a=(1,-1),b=(6,-4).若a⊥(ta+b),则实数t的值为   ????. 答案 -5 解析 因为a⊥(ta+b),所以a·(ta+b)=0,即ta2+a·b=0,又因为a=(1,-1),b=(6,-4),所以|a|=?,a·b=1×6 +(-1)×(-4)=10,因此可得2t+10=0,解得t=-5. 方法总结 正确利用两向量垂直的充要条件是构造关于t的方程的前提.两非零向量a=(x1,y1) 与b=(x2,y2)垂直的充要条件为x1x2+y1y2=0. 评析????本题主要考查向量的数量积运算,向量的模以及两向量垂直的充要条件等基础知识,考 查学生的运算求解能力以及方程思想的应用. 考点二 数量积的综合应用 1.(2016四川理,10,5分)在平面内,定点A,B,C,D满足|?|=|?|=|?|,?·?=?·?=?·?=- 2,动点P,M满足|?|=1,?=?,则|?|2的最大值是?(  ) A.? ????B.? ????C.? ????D.? 答案????B 由|?|=|?|=|?|及?·?=?·?=?·??DB⊥CA,DC⊥AB,DA⊥CB,且∠ ADC=∠ADB=∠BDC=120°,∴△ABC为正三角形,设|?|=a,则a2cos 120°=-2?a=2?AC=2? ?OC=3,如图建立平面直角坐标系xOy, ? 则A(-?,0),B(?,0),C(0,3).由?=??P,M,C三点共线且M为PC的中点,设P(x,y),由|AP|=1? (x+?)2+y2=1, 令?则?即P(sin θ-?,cos θ), ∴M?, ∴|?|2=?[(sin θ-3?)2+(3+cos θ)2] =?[37-(6?sin θ-6cos θ)] =??≤?(37+12) =?. ∴|?|2的最大值为?. 2.(2016浙江理,15,4分)已知向量a,b,|a|=1,|b|=2.若对任意单位向量e,均有|a·e|+|b·e|≤?,则a·b的 最大值是   ????. 答案????? 解析 对任意单位向量e,均有?≥|a·e|+|b·e|≥|a·e+b·e|=|(a+b)·e|, ∴|a+b|≤?,当且仅当a+b与e共线时,等号成立. ∴a2+2a·b+b2≤6,又|a|=1,|b|=2, ∴a·b≤?,即a·b的最大值为?. 考点一 数量积的定义及模、夹角运算 三年模拟 A组 2017—2019年高考模拟·考点基础题组 1.(2019天津新华中学期中,5)若非零向量a,b满足|a|=?|b|,且(a-b)⊥(3a+2b),则a与b的夹角为 ?(  ) A.? ????B.? ????C.?π  D.π 答案????A ∵(a-b)⊥(3a+2b), ∴(a-b)·(3a+2b)=3|a|2-2|b|2-a·b =3|a|2-2|b|2-|a||b|cos =?|b|2-2|b|2-?|b|2cos =?|b|2-?|b|2cos=0, ∴cos=?, ∴=?,故选A. 2.(2018天津南开三模理)△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2?=?+?,且|?|=|?|,则向 量?在?方向上的投影为?(  ) A.? ????B.? ????C.-? ????D.-? 答案????D 由△ABC的外接圆的圆心为O,半径为1,2?=?+?,且|?|=|?|, 可得O为斜边BC的中点,∠BAC=90°,∠ABC=60°,|?|=|?|=1, 则向量?在?方向上的投影为|?|cos 120°=1×?=-?,故选D. ? 评析????本题考查向量的投影的求法,注意运用中点向量表示以及直角三角形的判定和性质,属 于基础题. 3.(2018天津部分区二模文)已知向量?与?的夹角为120°,|?|=5,|?|=2,若?=λ?+?, 且?·?=-6,则实数λ的值为?(  ) A.-? ????B.? ???? C.-? ????D.? 答案 ????B =120°,|?|=5,|?|=2,?=λ?+?, ∴?·?=(λ?+?)·(?-?)=-λ?+(λ-1)|?||?|·cos 120°+?=-25λ-5(λ-1)+4=-6, 解得λ=?.故选B. 思路分析 根据条件:=120°,|?|=5,|?|=2,?=λ?+?,即可得到?·?=(λ?+ ?)·(?-?)=-6,进行数量积的运算即可求出λ. 4.(2018天津南开中学第三次月考,12)已知向量a与b的夹角为60°,若a=(0,2),|b|=1,则|a+2b|= ????  ????. 答案 2? 解析 ∵|a|=2,|b|=1,向量a与b的夹角为60°,∴a·b=|a||b|cos 60°=2×1×cos 60°=1,∴|a+2b|= ?=?=?=2?. 5.(2017天津南开三模,11)已知向量a,b满足|a|=?,|b|=2,(a+b)⊥a,则向量a,b的夹角为   ????. 答案????? 解析 ∵(a+b)⊥a,|a|=?,|b|=2, ∴(a+b)·a=a2+a·b=a2+|a|·|b|cos =3+2?cos=0, ∴cos=-?, ∵向量a,b的夹角的范围为[0,π], ∴向量a,b的夹角为?. 1.(2018南开中学月考文)直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=BC=2,AD=1,对角线AC与 BD交于点M,点E和F分别在线段AM和BM上,且?=λ?,?=(1-λ)?,若?·?=?,则λ的值 为?(  ) A.? ????B.? ???? C.? ????D.? 答案????B 建立平面直角坐标系如图所示, 则A(0,2),B(0,0),C(2,0),D(1,2), 设M(x,y),联立?解得M?, 由?=λ?,解得?=?+?=(-1,0)+?=?, 由?=(1-λ)?,得?=?+?=(-2,0)+?=?, ∵?·?=?, 考点二 数量积的综合应用 ∴??+??=?, 即16λ2-40λ+21=0, 解得λ=?或λ=?, 由点E和F分别在线段AM和BM上知,0≤λ≤1, ∴λ=?. 故选B. 评析????本题考查了平面向量的数量积应用问题,也考查了计算与转化能力,是中档题. 2.(2019天津部分区期末理)如图,圆O是边长为4的正方形ABCD的内切圆,△PQR是圆O的内接 正三角形,当△PQR绕着圆心O旋转时,?·?的最大值是?(  ) ? A.2+4? ????B.1+2? ????C.-1+2? ????D.-2+4? 答案????D 建立平面直角坐标系如图所示, ? 则点A(-2,2),O(0,0),设点R(2cos θ,2sin θ),则点Q?, ?=?,?=(2cos θ,2sin θ), 所以?·?=?·2cos θ+?2sin?-2?·2sin θ =4cos?cos θ+4sin?sinθ-4sin θ+4cos θ =4cos?-4?sin? =4cos?-4?sin?=-2-4?sin?, 所以?·?的最大值为4?-2. 3.(2019天津七校联考理)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=BC=2,CD=1,∠BCD=120°,P,Q分别为线 段BC和CD上的动点,且?=λ?,?=??,则?·?的最大值为   ????. 答案 ????? 解析 ∵?=λ?,?=??, ∴?·?=(?+?)·(?+?) =(?+λ?)·? =?·?+??·?+λ?+??·? =2×2×cos 120°+?×2×1×(-1)+λ×22+?×2×1×? =5λ+?-?, 易知?∴?≤λ≤1, 设f(λ)=5λ+?-?,则f '(λ)=5-?, 易知f(λ)在?上先减小再增大, 又f?=-?,f(1)=?, ∴λ=1时,f(λ)取得最大值?, 故答案为?. ? 思路分析 根据平面向量的线性运算与数量积运算,求出?·?的解析式,根据题意求出λ的 取值范围,再利用导数求该解析式的最大值. 评析????本题考查了平面向量的线性运算与数量积运算问题,也考查了求函数在闭区间上的最 值问题,是难题. 4.(2018天津河北期末理)在平行四边形ABCD中,AC与BD交于点O,E是线段OD的中点,AE的延 长线与CD相交于点F,若AB=2,AD=?,∠BAD=45°,则?·?的值为   ????. 答案 -? 解析 取FC的中点G,连接OG, 则OG∥AF, ∵E为OD中点, ∴F为DG的中点,∴DF=?DC, ∴?·?=(?+?)·?? =?·?(?+?) =??·(?-?) =?? =?×? =-?, 故答案为-?. 评析????此题考查了向量加减法,数量积等,难度不大. 5.(2018天津一中第五次月考理)如图,在△ABC中,已知∠BAC=?,AB=2,AC=3,?=2?,?=3 ?,则?·?=   ????. ? 答案????? 解析 在△ABC中,?=2?,?=3?, ∴?=?-?=??-?=?(?+?)-? =??-??=?×??-??=?(?-?)-?? =??-??, ∴?·?=?·?=??-??·?=?-?=?, 故答案为?. 思路分析 根据题意,由向量的三角形法则可得?=?-?,变形可得?=??-??,进而由 数量积的计算公式计算可得答案. 评析????本题考查向量数量积的计算,涉及向量的加减运算,关键是掌握向量数量积的计算公式. 6.(2018天津耀华中学二模)如图,在四边形ABCD中,AB⊥BC,AB=6,BC=8,△ACD是等边三角形, 则?·?的值为   ????. ? 答案 14 解析 ∵AB⊥BC,AB=6,BC=8, ∴AC=?=10, ∴cos∠BAC=?, 又△ACD是等边三角形, ∴AD=AC=10,cos∠CAD=?, ∴?·?=?·(?-?) =?·?-?·? =10×10×?-10×6×? =14. 故答案为14. 思路分析 根据题意求得AD=AC以及cos∠CAD、cos∠BAC的值,利用平面向量的数量积求 得?·?的值. 评析????本题考查了平面向量数量积的运算问题,是中档题. B组 2017—2019年高考模拟·专题综合题组 时间:45分钟 分值:75分 一、选择题(每小题5分,共20分) 1.(2019天津和平二模理)在△ABC中,AB=2AC=6,?·?=?,点P是△ABC所在平面内一点,则 当?+?+?取得最小值时,?·?=?(  ) A.? ????B.-? ????C.9 ????D.-9 答案????D ∵?·?=|?|·|?|·cos∠ABC=|?|2, ∴|?|·cos∠ABC=|?|=6,∴?⊥?,即∠CAB=?, 以A为坐标原点建立如图所示的坐标系,则B(6,0),C(0,3),设P(x,y),则?+?+?=x2+y2+(x-6)2 +y2+x2+(y-3)2, =3x2-12x+3y2-6y+45=3[(x-2)2+(y-1)2+10], ∴当x=2,y=1时,?+?+?取得最小值,此时?·?=(2,1)·(-6,3)=-9.故选D. ? 2.(2019天津十二重点中学二模理)已知△ABC为直角三角形,AC=BC=2,点D为斜边AB的中点, 点P是线段CD上的动点,则?·?的最小值为?(  ) A.-2 ????B.-? ????C.-? ????D.0 答案????A 根据题意,以C为坐标原点,CB所在直线为x轴,CA所在直线为y轴建立坐标系,如图, 则B(2,0),A(0,2),D为AB的中点,则D(1,1), 点P是线段CD上的动点,设P(m,m)(0≤m≤1), 则?=(-m,2-m),?=(2-m,-m), ∴?·?=(-m)(2-m)+(2-m)(-m)=2m2-4m=2(m-1)2-2, 又0≤m≤1, ∴当m=1时,?·?取得最小值-2, 故选A. ? 思路分析 根据题意,建立坐标系,求出A、B、D的坐标,设P(m,m)(0≤m≤1),求出向量?、 ?的坐标,由数量积的计算公式可得?·?=2m2-4m,结合二次函数的性质分析可得答案. 评析????本题考查向量数量积的计算,涉及向量的坐标计算,属于基础题, 3.(2019天津河西二模理)在平行四边形ABCD中,|?|=2,|?|=4,∠ABC=60°,E,F分别是BC,CD 的中点,DE与AF交于H,则?·?的值为?(  ) A.12 ????B.16 ????C.? ????D.? 答案 ????C 过点F作BC的平行线交DE于G, 则G是DE的中点,且GF=?EC=?BC, ∴GF=?AD, 又△AHD∽△GHF, ∴FH=?AH, ∴?=??, 又?=?+?=?+??=?-??, ∴?=??=??-??, 又?=?+?=-?-??, ∴?·?=?·?=??-??·?-??=?×16-?×4×2×?-?×4=?-?- ?=?, 故选C. ? 4.(2019天津河西一模理)梯形ABCD中,AB∥CD且AB=5,AD=2DC=4,E在线段BC上,?·?=0, 则?·?的最小值为?????(  ) ? A.? ????B.? ????C.15 ????D.-? 答案????B 梯形ABCD中,AB∥CD,则向量?与?的夹角和向量?与?的夹角相等,不妨设 为θ. 由?·?=0可知,(?+?)·(?-?)=0,整理得16-20cos θ+8cos θ-10=0,解得cos θ=?, ∴θ=60°,即∠DAB=60°, 过点D向AB作垂线,垂足为O,建立如图所示的直角坐标系, ? 则A(-2,0),B(3,0),D(0,2?),C(2,2?), 设?=λ?=(-λ,2?λ)(0≤λ≤1),则E(3-λ,2?λ). ∴?=(5-λ,2?λ),?=(3-λ,2?(λ-1)). ∴?·?=(5-λ)(3-λ)+12λ(λ-1)=13λ2-20λ+15, 又0≤λ≤1,∴当λ=?时,取得最小值?. 思路分析 先利用?·?=0求出∠DAB的度数,然后建立直角坐标系,确定一些必要点的坐 标,用平面向量数量积的坐标表示建立函数关系,求出?·?的最小值. 二、填空题(每小题5分,共55分) 5.(2019天津模拟)平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M,点P是MD的中点.若|?|=2,|?| =1,∠DAB=60°,则?·?=   ????. 答案 -? 解析?????=??=?(?+?), ∵点P是MD的中点,∴?=?(?+?)=??+??, ∴?=?-?=?-(?+?)=- ??-??, ∴?·?=?·?=-??×4+?×2×1×?+?×1?=-?. ? 评析????本题考查向量数量积的计算,涉及向量加法的三角形法则,属于基础题. 6.(2019天津十二重点中学二模文)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=BC=2,CD=1,M是线段BC上的 动点,若?·?=-3,则?·?的取值范围是   ????. 答案 [1,10] 解析 设?=λ?(0≤λ≤1),则?·?=(?+?)·(?+?)=?·(λ?-?)=4λ+ ??·?-2=-3, 所以?·?=?=?-8, 又因为0≤λ≤1, 所以?·?∈[1,10], 故答案为[1,10]. 评析????本题考查了平面向量数量积的性质及其运算,属中档题. 7.(2019天津河东二模理)如图,已知|?|=|?|=|?|,AB=2,∠ABC=135°,?·?=2,则?·?=????   ????. ? 答案 2? 解析 因为|?|=2, 所以|?-?|=2, 即?+?-2?·?=4, 又|?|=|?|,?·?=2, 所以|?|=|?|=|?|=2, 所以∠ABO=60°, 又∠ABC=135°, 所以∠OBC=∠OCB=75°, 所以∠BOC=30°, 所以?·?=|?||?|cos 30°=2?, 故答案为2?. 8.(2019天津十二重点中学一模文)在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD=2,∠BAD=?,若?·?= 2,?=?,点F为边BC上的动点,则?·?的取值范围为   ????. 答案????? 解析 ∵?=?,∴E为CD的中点, 过D作DM⊥AB,垂足为M, 则?·?=AB·BD·cos∠ABD=2BDcos∠ABD=2, ∴BDcos∠ABD=1,即BM=1, ∴M为AB的中点. 又BM∥CD,BM=CD=1,DM⊥AB, ∴四边形MBCD是矩形. ∵∠BAD=?,AM=?AB=1,∴DM=?, 如图,建立平面直角坐标系, 则E?,A(-1,?),设F(1,m),0≤m≤?, ∴?=?,?=(-2,?-m), ∴?·?=m2-?m+1=?+?, ∴当m=?时,?·?取得最小值?, 当m=0或m=?时,?·?取得最大值1. 故答案为?. ? 评析????本题考查了平面向量的数量积运算,属于中档题. 9.(2019天津部分区一模文)在△ABC中,D为AB的中点,点O满足?=2?,OA⊥OB,若AB=10,则 ?·?=   ????. 答案 200 解析 如图,以D为原点,以AB所在的直线为x轴建立直角坐标系,则A(-5,0),B(5,0),设C(x,y) 由题意可知O?, ∴?=?,?=?, ∵OA⊥OB, ∴?·?=?-25+?=0, ∴x2+y2=225, ∵?=(x+5,y),?=(x-5,y), ∴?·?=x2+y2-25=200. 评析????本题主要考查了平面向量数量积的坐标表示的应用,属于基础题. 10.(2019天津部分区一模理)已知菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,点E,F分别在边AD,DC上, ?=?(?+?),?=??,则?·?=   ????. 答案????? 解析 由?=?(?+?),?=??,可得点E为线段AD的中点,点F为线段DC上靠近点D的三 等分点, 由菱形ABCD的边长为2,∠ABC=60°,得|?|=2?,∠ABD=30°, ∴?·?=?(?+?)·?=??-??+??·?=?×12-?×4+?×2×2?×?=?, 故答案为?. 11.(2019天津河北一模文)在△ABC中,AB=4,BC=6,∠ABC=?,D是AC的中点,E在BC上,且AE⊥ BD,则?·?=   ????. 答案 16 解析 以B为原点,BA、BC所在直线分别为x、y轴,建立直角坐标系,则A(4,0),B(0,0),C(0,6), 因为D是AC的中点,所以D(2,3),所以?=(2,3), 设E(0,b),则?=(-4,b), 因为AE⊥BD,所以?·?=-8+3b=0,解得b=?, 又?=(0,6),所以?·?=0×(-4)+6×?=16. 故答案为16. 12.(2019天津和平一模理)如图,在直角梯形ABCD中,∠BAD=?,AB=AD=2,M、N分别是边 AD、BC上的动点,满足?=λ?,?=(1-λ)?,其中λ∈(0,1),若?·?=-2,则λ的值为  ???? ????. ? 答案????? 解析 由题图可知?=?+?=?+(1-λ)?, ?=?-?=λ?-?,又?·?=-2, 所以[?+(1-λ)?]·(λ?-?)=-2, 所以λ?·?-?+λ(1-λ)?·?=-2, 又?·?=2,?·?=|?|2=3, 所以3λ2-5λ+2=0, 又0<λ<1, 所以λ=?, 故答案为?. 13.(2019天津南开二模理)在等腰梯形ABCD中,已知AB∥DC,AC与BD交于点M,AB=2CD=4.若 ?·?=-1,则cos∠BMC=   ????. 答案????? 解析 如图,由题意可知,△MCD∽△MAB, ∵AB=2CD=4, ∴AM=2MC,BM=2MD, 设MD=MC=m,则AC=BD=3m, 由?·?=-1,得9m2cos∠CMD=-1, ∴cos∠CMD=-?, 在△CMD中,有22=m2+m2-2m2cos∠CMD, 即4=2m2-2m2·?, 解得m2=?. ∴cos∠CMD=-?, 则cos∠BMC=cos(π-∠CMD)=-cos∠CMD=?. 故答案为?. 14.(2019天津十二重点中学一模理)在等腰梯形ABCD中,下底AB长为4,底角A为45°,高为m,Q为 折线段B-C-D上的动点,?+?=2?,设?·?的最小值为f(m),若关于m的方程f(m)=km-3有 两个不相等的实根,则实数k的取值范围为   ????. 答案????? 解析 以AB的垂直平分线为y轴,以?方向为x轴正方向建立平面直角坐标系, 则A(-2,0),B(2,0),D(m-2,m),C(2-m,m), ∵?+?=2?, ∴E为DC的中点, ∴E(0,m), 由Q为折线段B-C-D上的动点, 易知当Q落在D点时,?·?取最小值f(m), ∵?=(2,m),?=(m,m), ∴f(m)=(2,m)·(m,m)=m2+2m(0 展开
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