[ID:3-6599385] 2019-2020学年海南省海口市海南中学高二(上)期中数学试卷试题及答案(解 ...
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2019-2020学年海南省海口市海南中学高二(上)期中数学试卷 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.) 1.已知命题p:?x≥0,x≥sinx,则¬p为(  ) A.?x<0,x<sinx B.?x≥0,x<sinx C.?x0<0,x0<sinx0 D.?x0≥0,x0<sinx0 2.若且,则实数λ的值是(  ) A.﹣l B.0 C.1 D.﹣2 3.已知平面α,直线m,n满足m?α,n?α,则“m∥n”是“m∥α”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 4.已知双曲线C:﹣=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(  ) A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 5.到定点(2,0)的距离与到定直线x=8的距离之比为的动点的轨迹方程是(  ) A.+=1 B.+=1 C.x2+2y2+8x﹣56=0 D.3x2+2y2﹣8x+68=0 6.一个向量在基底下的坐标为(1,2,3),则在基底下的坐标为(  ) A. B. C. D. 7.已知=(t+1,1,t),=(t﹣1,t,1),则||的最小值为(  ) A. B. C.2 D.4 8.已知P是椭圆E:+=1(a>b>0)上异于点A(﹣a,0),B(a,0)的一点,E的离心率为,则直线AP与BP的斜率之积为(  ) A.﹣ B. C.﹣ D. 9.设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(  ) A.(,,) B.(,,) C.(,,) D.(,,) 10.点P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到点A(0,﹣1)的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是(  ) A. B. C.2 D. 11.棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M是AA1的中点,N是CC1的中点,则B1到平面MNB的距离为(  ) A. B. C. D.2 12.过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为M.直线FM交抛物线y2=﹣4cx于点N,若(O为坐标原点),则双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.) 13.在=λ+μ,则直线AB与平面CDE的关系是   . 14.抛物线y2=2px(p>0)上有点A,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为   . 15.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则二面角A﹣BC﹣D的余弦值是   . 16.已知点P是椭圆上任意一点,则当点P到直线4x﹣5y+40=0的距离达到最小值时,此时P点的坐标为   . 三.解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.求与椭圆有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程. 18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M为A1B1的中点.N为BB1上一点. (1)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值; (2)若CN⊥BM,求三棱锥C﹣ABN的体积. 19.已知抛物线y2=﹣x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB的面积等于时,求k的值. 20.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD,E、F分别为PA,BD的中点. (1)证明:EF∥平面PBC; (2)若PD=AD,求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 21.如图,已知长方形ABCD中,,,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM. (1)求证:平面AMD⊥平面BMD; (2)若点E是线段DB上的一动点,问为何值时,二面角E﹣AM﹣D的余弦值为. 22.已知点A(0,﹣2),椭圆E:的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点. (1)求E的方程; (2)设过点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点M、N,且∠MON为锐角,求k的取值范围. 2019-2020学年海南省海口市海南中学高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的.) 1.已知命题p:?x≥0,x≥sinx,则¬p为(  ) A.?x<0,x<sinx B.?x≥0,x<sinx C.?x0<0,x0<sinx0 D.?x0≥0,x0<sinx0 【解答】解:命题p:?x≥0,x≥sinx,则¬p为?x0≥0,x0<sinx0, 故选:D. 2.若且,则实数λ的值是(  ) A.﹣l B.0 C.1 D.﹣2 【解答】解:∵, ∴=(λ,1+λ,﹣1), 又∵, ∴=1+λ+1=0, 解得λ=﹣2, 故选:D. 3.已知平面α,直线m,n满足m?α,n?α,则“m∥n”是“m∥α”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【解答】解:∵m?α,n?α, ∴当m∥n时,m∥α成立,即充分性成立, 当m∥α时,m∥n不一定成立,即必要性不成立, 则“m∥n”是“m∥α”的充分不必要条件. 故选:A. 4.已知双曲线C:﹣=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x,且与椭圆+=1有公共焦点,则C的方程为(  ) A.﹣=1 B.﹣=1 C.﹣=1 D.﹣=1 【解答】解:椭圆+=1的焦点坐标(±3,0), 则双曲线的焦点坐标为(±3,0),可得c=3, 双曲线C:﹣=1 (a>0,b>0)的一条渐近线方程为y=x, 可得,即,可得=,解得a=2,b=, 所求的双曲线方程为:﹣=1. 故选:B. 5.到定点(2,0)的距离与到定直线x=8的距离之比为的动点的轨迹方程是(  ) A.+=1 B.+=1 C.x2+2y2+8x﹣56=0 D.3x2+2y2﹣8x+68=0 【解答】解:由题意,设P(x,y),则 , 化简得轨迹方程是x2+2y2+8x﹣56=0. 故选:C. 6.一个向量在基底下的坐标为(1,2,3),则在基底下的坐标为(  ) A. B. C. D. 【解答】解:向量在基底下的坐标为(1,2,3), 则==x()+y(, 由x+y=1,x﹣y=2,z=3, 得x=,y=,z=3, 故选:B. 7.已知=(t+1,1,t),=(t﹣1,t,1),则||的最小值为(  ) A. B. C.2 D.4 【解答】解:||= =, ∴当t=1时,||有最小值2, 故选:C. 8.已知P是椭圆E:+=1(a>b>0)上异于点A(﹣a,0),B(a,0)的一点,E的离心率为,则直线AP与BP的斜率之积为(  ) A.﹣ B. C.﹣ D. 【解答】解:设P(x,y),点A(﹣a,0),B(a,0),椭圆椭圆E:+=1,y2=b2() 椭圆的离心率为, ∴=,=,则=,所以=, ∴点P与双曲线实轴两顶点连线的斜率之积为:?==﹣=﹣, 故选:C. 9.设OABC是四面体,G1是△ABC的重心,G是OG1上一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(  ) A.(,,) B.(,,) C.(,,) D.(,,) 【解答】解:∵==(+) =+?[(+)]=+[(﹣)+(﹣)] =++, 而=x+y+z,∴x=,y=,z=. 故选:A. 10.点P是抛物线y2=4x上一动点,则点P到点A(0,﹣1)的距离与到直线x=﹣1的距离和的最小值是(  ) A. B. C.2 D. 【解答】解:设A(0,﹣1),由y2=4x得p=2,=1,所以焦点为F(1,0),准线x=﹣1, 过P作PN 垂直直线x=﹣1,根据抛物线的定义, 抛物线上一点到定直线的距离等于到焦点的距离, 所以有|PN|=|PF|,连接F、A,有|FA|≤|PA|+|PF|, 所以P为AF与抛物线的交点,点P到点A(0,﹣1)的距离与点P到直线x=﹣1的距离之和的最小值为|FA|=, 故选:D. 11.棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,M是AA1的中点,N是CC1的中点,则B1到平面MNB的距离为(  ) A. B. C. D.2 【解答】解:由题意几何体的图形如图:可得MN=2,MB=NB=,设B1到平面MNB的距离为h, 可得:×h=×, 解得h=. 故选:A. 12.过双曲线(a>0,b>0)的右焦点F(c,0)作圆x2+y2=a2的切线,切点为M.直线FM交抛物线y2=﹣4cx于点N,若(O为坐标原点),则双曲线的离心率为(  ) A. B. C. D. 【解答】解:∵若,∴M是FN的中点. 设抛物线的焦点为F1,则F1为(﹣c,0),也是双曲线的焦点. ∵OM为△NF2F1的中位线.|OM|=a,∴|NF1|=2 a. ∵OM⊥MF, ∴NF2⊥NF1,于是可得|NF|=2b, 设N(x,y),则 c﹣x=2a, 于是有x=c﹣2a,y2=﹣4c(c﹣2 a),过点F作x轴的垂线,点N到该垂线的距离为2a. 由勾股定理得 y2+4a2=4b2,即﹣4c(c﹣2a)+4 a2=4(c2﹣a2), 变形可得c2﹣a2=ac,两边同除以a2 有 e2﹣e﹣1=0,所以e=,负值已经舍去. 故选:B. 二、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.) 13.在=λ+μ,则直线AB与平面CDE的关系是 AB∥平面CDE或AB?平面CDE . 【解答】解:∵=λ+μ,∴、、共面,∴AB∥平面CDE或AB?平面CDE. 故答案为:AB∥平面CDE或AB?平面CDE. 14.抛物线y2=2px(p>0)上有点A,它的横坐标是3,它到焦点的距离是5,则抛物线的方程为 y2=8x . 【解答】解:根据抛物线方程可知准线方程为x=﹣, ∵横坐标为3的点到抛物线焦点的距离为5,根据抛物线的定义可知其到准线的距离为5, ∴3+=5,p=4, 则抛物线的方程为 y2=8x 故答案为:y2=8x. 15.将正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角,则二面角A﹣BC﹣D的余弦值是  . 【解答】解:取BC的中点E,OF⊥BC,可得∠AEO为二面角A﹣BC﹣D的平面角, 设正方形ABCD的边长为1, ∴A0=,OE=CD= 则AE==, 则cos∠AEO===, 故答案为:. 16.已知点P是椭圆上任意一点,则当点P到直线4x﹣5y+40=0的距离达到最小值时,此时P点的坐标为  . 【解答】解:根据条件可画出示意图,如图, 则当过点P的直线与已知直线平行且与椭圆相切时,切点满足到直线的距离取得最值, 当P到直线距离最短时,直线与y轴交与正半轴,不妨设过P点切线为:4x﹣5y+c=0(c>0), ,整理得25x2+8cx+c2﹣225=0,则△=64c2﹣100(c2﹣225)=0,解得c=25(c=﹣25舍去), 所以P在直线4x﹣5y+25=0上, 将c=25代入△,解得x=﹣4,则y=, 所以P(﹣4,), 故答案为(﹣4,). 三.解答题(本大题共6个小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.求与椭圆有共同焦点,且过点(0,2)的双曲线方程,并且求出这条双曲线的实轴长、焦距、离心率以及渐近线方程. 【解答】解:椭圆的焦点是:(0,﹣5)(0,5),焦点在y轴上; 于是可设双曲线的方程是,(a>0,b>0). 又双曲线过点(0,2) ∴c=5,a=2, ∴b2=c2﹣a2=25﹣4=21. ∴双曲线的标准方程为:. 所以:双曲线的实轴长为4,焦距为10,离心率e==.渐近线方程是y=±x. 18.如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M为A1B1的中点.N为BB1上一点. (1)求异面直线BA1与CB1所成角的余弦值; (2)若CN⊥BM,求三棱锥C﹣ABN的体积. 【解答】解:(1)以C为原点建系,CA,CB,CC1为x,y,z轴, 则C(0,0,0),B(0,1,0),A1(1,0,2),B1(0,1,2). , , 故异面直线BA1与CB1所成角的余弦值是. (2)设BN=a,则N(0,1,a),, , ∵CN⊥BM,∴,即,解得. 故. ∴三棱锥C﹣ABN的体积. 19.已知抛物线y2=﹣x与直线y=k(x+1)相交于A、B两点. (1)求证:OA⊥OB; (2)当△OAB的面积等于时,求k的值. 【解答】解:(1)由方程y2=﹣x,y=k(x+1) 消去x后,整理得 ky2+y﹣k=0. 设A(x1,y1)、B(x2,y2),由韦达定理y1?y2=﹣1. ∵A、B在抛物线y2=﹣x上, ∴y12=﹣x1,y22=﹣x2,y12?y22=x1x2. ∵kOA?kOB=?===﹣1, ∴OA⊥OB. (2)设直线与x轴交于N,又显然k≠0, ∴令y=0,则x=﹣1,即N(﹣1,0). ∵S△OAB=S△OAN+S△OBN =|ON||y1|+|ON||y2| =|ON|?|y1﹣y2|, ∴S△OAB=?1? =. ∵S△OAB=, ∴=.解得k=±. 20.如图,四棱锥P﹣ABCD中,底面ABCD为平行四边形,∠DAB=60°,AB=2AD,PD⊥底面ABCD,E、F分别为PA,BD的中点. (1)证明:EF∥平面PBC; (2)若PD=AD,求直线PA与平面PBC所成角的正弦值. 【解答】(1)证明:连接AC,由题意可知EF∥PC,PC?平面PBC,EF?平面PBC,所以EF∥平面PBC. (2)解:先证AD⊥BD,再以D为原点建系D﹣ABP. 令PD=AD=1,则. 设平面PBC的法向量为,则. 令y=1,得. 设直线PA与平面PBC所成角为θ,则. 故直线PA与平面PBC所成角的正弦值是. 21.如图,已知长方形ABCD中,,,M为DC的中点.将△ADM沿AM折起,使得平面ADM⊥平面ABCM. (1)求证:平面AMD⊥平面BMD; (2)若点E是线段DB上的一动点,问为何值时,二面角E﹣AM﹣D的余弦值为. 【解答】解:(1)证明:∵长方形ABCD中,,,M为DC的中点, ∴AM=BM=2. 故AM2+BM2=8=AB2,所以AM⊥BM. ∵平面ADM⊥平面ABCM,平面ADM∩平面ABCM=AM,BM?平面ABCM ∴BM⊥平面ADM,∵BM?平面BDM,∴平面AMD⊥平面BMD. (2)设点O为AM的中点,连接OD,过点O作直线BM的平行线交AB于点F, 易证出OA、OF、OD两两垂直,所以建立如图所示的空间直角坐标系, 设,又A(1,0,0),M(﹣1,0,0),D(0,0,1),B(﹣1,2,0), ∴E(﹣λ,2λ,﹣λ) 故,,, ∴平面AME的一个法向量为, 平面AMD的一个法向量为=(0,2﹣2λ,﹣4λ). 由题意知,故, 即(λ﹣1)2=λ2,解得λ=. 故当的值为时,二面角E﹣AM﹣D的余弦值为. 22.已知点A(0,﹣2),椭圆E:的离心率为,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为,O为坐标原点. (1)求E的方程; (2)设过点P(0,2)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点M、N,且∠MON为锐角,求k的取值范围. 【解答】解:(1)由题得,=,所以c=,又因为e==,所以a=2,则b2=4﹣3=1,所以椭圆E的方程为; (2)显然直线x=0不满足题设条件,可设直线l:y=kx﹣2,M(x1,y2),N(x2,y2), 联立,消去y,整理得:, ∴, 由得:或, 由∠MON为锐角知, 又==, ∵,即k2<4,∴﹣2<k<2, 由①、②得或, 故k的取值范围为.
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教A版(2019)
  • 适用地区:海南省海口市
  • 文件大小:618.62KB
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