[ID:3-6350298] 北师大版八年级上册数学第五讲一次函数(学案)
当前位置: 数学/初中数学/北师大版/八年级上册/第四章 一次函数/本章综合与测试
资料简介:
第05讲 一次函数 适用学科 初中数学 适用年级 初中三年级 适用区域 全国 课时时长(分钟) 120分钟 知识点 1掌握一次函数的概念及图像 2.掌握一次函数的性质,并能求解有关实际问题 3.会用待定系数法求一次函数的解析式 学习目标 通过对函数关系的分析,能描绘变量与自变量的函数图象 2.将简单的实际问题转化为数学问题(建立一次函数模型)3.理解一次函数解析式中k、b的几何含义 4.在探索过程中体验成功的喜悦,树立学习的自信心 5.体验生活中的数学的应用价值,感受数学与人类生活的密切联系,激发学生学数学、用数学的兴趣. 学习重点 理解一次函数的定义,能用待定系数法求一次函数的解析式 理解一次函数的图象和性质 能运用一次函数进行几何变换的探究 学习难点 利用图象探索方案的决策过程中,体会“数形结合”思想在数学应用中的重要地位; 经历一般规律的探索过程,解决与一次函数相关的动点问题、与三角形的综合问题 学习过程 复习预习 上节课我们复习了四边形的内容,接下来请同学们回忆一下 平行四边形、矩形、菱形、正方形、等腰梯形的概念、性质和判定,这些都是应考的重要前提。 中位线定理 梯形辅助线添加方法 本节课我们继续来复习一次函数知识点. 二、知识讲解 1) 、一次函数的相关定义 1.一次函数的定义:函数y= (k、b为常数,k_____,自变量x的次数是 次)叫做一次函数. 2.正比例函数的定义:当b_____时,函数y= (k______,比例系数____)叫做正比例函数. 3.一次函数与正比例函数的异同: (1)一次函数y=kx+b的图象是一条直线,我们称它为直线y=kx+b,它可以看作由直线y=kx平移b绝对值个单位长度而得到(当b>0时,向上平移;当b< 0时,向下平移). (2)正比例函数是特殊的一次函数,当一次函数中y=kx+b的b=0时,一次函数就变成正比例函数y=kx. 2) 、一次函数的图象 1.正比例函数y=k x (k≠0)的图象是过原点和(1,___)两点的_____________. 2.一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是过点(0,_____)、(______,0)的__________. 3.一次函数y=kx+b的k、b的值对一次函数图象的影响. Y y y y o x o x o x o x k﹥0,b﹥0, y=kx +b的图象在一、二、三象限; k﹥0, b﹤0, y=kx +b的图象在一、三、四象限; k﹤0,b﹥0, y=kx +b的 图象在一、二、四象限; k﹤0, b﹤0, y=kx +b的图象在二、三、四象限. 、一次函数的性质 1.正比例函数y=kx(k≠0)是特殊的一次函数,当k>0时,图象过______象限,y随x的增大而______;当k<0时,图象过_______象限;y随x的增大而______. 2.一次函数y=kx+b(k ≠ 0)的图象平行于直线y = kx ,可由它平移而得,当k>0时,y随x的增大而______;当k<0时,y随x的增大而______. 3.三个“一次”的关系: ⑴在一次函数y=kx+b中,令y=0,得一元一次方程kx+b=0,它的根就是一次函数y=kx+b的图象与x轴交点的 . ⑵一元一次不等式kx+b>0(或kx+b<0)的解集可以看作一次函数y=kx+b当函数值大于或小于0时相应的自变量x值的 . ⑶两直线交点的坐标,就是由这两条直线的解析式组成的______________的解. 4) 、一次函数图象的应用 若直线与直线 关于 (1)x轴对称,则直线l的解析式为 (2)y轴对称,则直线l的解析式为 (3)直线y=x对称,则直线l的解析式为 (4)直线 对称,则直线l的解析式为 (5)原点对称,则直线l的解析式为 5) 、直线与直线的位置关系. ①k1≠k2y1与y2相交; ②y1与y2相交于y轴上同一点(0,b1)或(0,b2); ③y1与y2平行; ④y1与y2重合. 考点/易错点1 忽视中的条件 考点/易错点2 忽视正比例函数是特殊的一次函数 考点/易错点3 忽视一次函数图像的性质而造成错误 考点/易错点4 忽视自变量的取值范围 考点/易错点5 对自变量或函数代表的实际意义理解不准确 三、例题精析 【例题1】 【题干】已知直线(≠0)与轴的交点在轴的正半轴上,下列结论:①>0,>0;②>0,<0;③<0,>0;④<0,<0,其中正确结论的个数为( ) A、1 B、2 C、3 D、4 【答案】B 解:根据题意知,直线(≠0)的图像可以如图1,这时>0,<0;也可以如图2,这时<0,>0。故选B。 【解析】本题关键是掌握一次函数中的系数、与图像性质之间的关系。 【例题2】 【题干】已知直线与轴、轴分别交于点A、B,另一直线(≠0)经过点C(1,0),且把△AOB分成两部分。 (1)若△AOB被分成的两部分面积相等,求经过C的直线解析式; (2)若△AOB被分成的两部分面积比为1∶5,求经过C的直线解析式。 【答案】(1)如上图,过B(0,2),C(1,0)的直线解析式为; (2)设与OB交于M(0,),分△AOB面积为1∶5得: ,则 解得,所以M(0,) 经过点M作直线MN∥OA交AB于N(,),则,因N(,)在直线上,所以,故N(,) ∴直线CM:,直线CN: 【解析】本例应用了待定系数法、数形结合法和分类讨论思想。 【例题3】 【题干】某医药研究所开发了一种新药,在试验药效时发现,如果成人按规定剂量服用后,那么服药后2小时血液中含药量最高,达每毫升6微克,(1微克=10-3毫克),接着逐步衰减,10小时时血液中含量为每毫升3微克,每毫升血液中含药量(微克)随时间(小时)的变化如图所示。当成人按规定剂量服用后: (1)分别求出≤2和≥2时与之间的函数关系式; (2)如果每毫升血液中含药量为4微克或4微克以上时,在治疗疾病时是有效的,那么这个有效的时间是多长? 【答案】(1)设≤2时,,把坐标(2,6)代入得:;设≥2时,,把坐标(2,6),(10,3)代入得:。 (2)把代入与中得:,,则(小时),因此这个有效时间为6小时。 【解析】本题是一道一次函数与医药学综合的题目,解题的关键是要将函数图像抽象成解析式,然后结合函数的知识求解。本题趣味性强,能从中了解医药的一些知识。 【例题4】 【题干】如图,火车匀速通过隧道(隧道长等于火车长)时,火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是(  ). A B C D 【答案】A 解:根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为:当火车开始进入时y逐渐变大,火车完全进入后一段时间内y不变,当火车开始出来时y逐渐变小,故反应到图象上应选A. 【解析】主要考查了根据实际问题作出函数图象的能力.解题的关键是要知道本题是分段函数,分情况讨论y与x之间的函数关系. 【例题5】 【题干】为了建设社会主义新农村,我市积极推进“行政村通畅工程”.张村和王村之间的道路需要进行改造,施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天,不过施工队随后加快了施工进度,按时完成了两村之间的道路改造.下面能反映该工程尚未改造的道路里程y(千米)与时间x(天)的函数关系的大致图象是(  ). A B C D 【答案】D 解:∵y随x的增大而减小,∴选项A错误; ∵施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天,∴选项B错误; ∵施工队随后加快了施工进度,∴y随x的增大而减小得比开始的快,∴选项C错误; 选项D正确; 【解析】根据y随x的增大而减小,即可判断选项A错误;根据施工队在工作了一段时间后,因暴雨被迫停工几天,即可判断选项B错误;根据施工队随后加快了施工进度得出y随x的增大而减小得比开始的快,即可判断选项C、D的正误. 【例题6】 【题干】 在全民健身环城越野赛中,甲乙两选手的 行程y(千米)随时间x(时)变化的图象(全程)如图所示. 有下列说法:①起跑后1小时内,甲在乙的前面;②第1小 时两人都跑了10千米;③甲比乙先到达终点;④两人都跑了 20千米.其中正确的说法有(  ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】(A)C 解:根据图象得:起跑后1小时内,甲在乙的前面;故①正确;在跑了1小时时,甲追上乙,此时都跑了10千米,故②正确;乙比甲先到达终点,故③错误;设乙跑的直线解析式为:y=kx,将点(1,10)代入得:k=10,∴解析式为:y=10x,∴当x=2时,y=20, ∴两人都跑了20千米,故④正确.所以①②④三项正确.故选C. 【解析】本题考查了一次函数图像的识别.解题的关键是看清楚x轴、y轴代表的含义. 【例题7】 【题干】已知,则函数是什么函数?当时,函数值是多少? 【答案】解:∵,∴,. ∴,即, ∴函数是一次函数, 当时,. 【解析】解题关键是掌握一次函数的定义条件.一次函数y=kx+b的定义条件是:k、b为常数,k≠0,自变量次数为1. 【例题8】 【题干】已知:是一次函数,求m的值. 【答案】解;由一次函数的定义可知:m2-8=1,解得m=±3, 又m-3≠0,∴m≠3,故m=-3. 【解析】此题考查了一次函数的定义、解析式,解题中要注意未知数的最高次数是1,并且次数不等于0. 四、课堂运用 【基础】 1.如图,直线与轴交于点, 与轴交于点. (1) 求,两点的坐标; (2) 过点作直线与轴交于点, 且使,求△的面积. 2.(1)写出点A(﹣2,4)绕坐标原点逆时针旋转90°后所得对应点坐标是   ; (2)写出直线y=﹣2x绕坐标原点逆时针旋转90°后所得直线解析式是 ; (3)写出直线y=﹣2x﹣2绕坐标原点逆时针旋转90°后所得直线解析式 . 3.如图,已知一次函数y=﹣x+7与正比例函数y=x的图象交于点A,且与x轴交于点B. (1)求点A和点B的坐标; (2)过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作直线l∥y轴.动点P从点O出发,以每秒1个单位长的速度,沿O﹣C﹣A的路线向点A运动;同时直线l从点B出发,以相同速度向左平移,在平移过程中,直线l交x轴于点R,交线段BA或线段AO于点Q.当点P到达点A时,点P和直线l都停止运动.在运动过程中,设动点P运动的时间为t秒.设以A、P、R为顶点的三角形的面积为S,求时间t和面积的函数关系式. 4. 如图,在平面直角坐标系中,?OABC的顶点A在x轴上,顶点B的坐标为(6,4).若直线l经过点(1,0),且将?OABC分割成面积相等的两部分,则直线l的函数解析式是(  )   A. y=x+1 B. C. y=3x﹣3 D. y=x﹣1 5. 把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第一象限,则m的取值范围是(  )   A. 1<m<7 B. 3<m<4 C. m>1 D. m<4 【巩固】 1. 如图,在平面直角坐标系中,直线l:y=x+1交x轴于点A,交y轴于点B,点A1、A2、A3,…在x轴上,点B1、B2、B3,…在直线l上.若△OB1A1,△A1B2A2,△A2B3A3,…均为等边三角形,则△A5B6A6的周长是(  )   A. 24 B. 48 C. 96 D. 192 2. 如图,点A的坐标为(﹣1,0),点B在直线y=x上运动,当线段AB最短时,点B的坐标为(  )   A. (0,0) B. C. D. 3.如图,在平面直角坐标系中,点A在x轴上,△ABO是直角三角形,∠ABO=90°,点B的坐标为(﹣1,2),将△ABO绕原点O顺时针旋转90°得到△A1B1O,则过A1,B两点的直线解析式为  . 4.如图,正方形OABC的顶点O在坐标原点,且OA边和AB边所在直线的函数表达式分别为和.AB边与y轴交于点D. (1)求A点的坐标; (2)求正方形OABC的边长; (3)求直线OC的函数表达式; (4)求△AOD的面积. 【拔高】 1.如图,直线l1:y=kx+b平行于直线y=x﹣1,且与直线l2:相交于点P(﹣1,0). (1)求直线l1、l2的解析式; (2)直线l1与y轴交于点A.一动点C从点A出发,先沿平行于x轴的方向运动,到达直线l2上的点B1处后,改为垂直于x轴的方向运动,到达直线l1上的点A1处后,再沿平行于x轴的方向运动,到达直线l2上的点B2处后,又改为垂直于x轴的方向运动,到达直线l1上的点A2处后,仍沿平行于x轴的方向运动,…照此规律运动,动点C依次经过点B1,A1,B2,A2,B3,A3,…,Bn,An,… ①求点B1,B2,A1,A2的坐标; ②请你通过归纳得出点An、Bn的坐标;并求当动点C到达An处时,运动的总路径的长? (?http:?/??/?www.jyeoo.com?/??) 2.在平面直角坐标系中,点P从原点O出发,每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度. (1)实验操作: 在平面直角坐标系中描出点P从点O出发,平移1次后,2次后,3次后可能到达的点,并把相应点的坐标填写在表格中: P从点O出发平移次数 可能到达的点的坐标 1次 (0,2),(1,0) 2次 3次 (2)观察发现: 任一次平移,点P可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上,如:平移1次后在函数   的图象上;平移2次后在函数   的图象上…由此我们知道,平移n次后在函数   的图象上.(请填写相应的解析式) (3)探索运用: 点P从点O出发经过n次平移后,到达直线y=x上的点Q, 且平移的路径长不小于50,不超过56,求点Q的坐标. 3. 在一条直线上依次有A、B、C三个港口,甲、乙两船同时分别从A、B港口出发,沿直线匀速驶向C港,最终达到C港.设甲、乙两船行驶x(h)后,与B港的距离分别为y1、y2(km),y1、y2与x的函数关系如图所示.若两船的距离为10km时,甲行驶了  小时. 课程小结 一次函数的定义 一次函数的图像 ①画图 ②待定系数法求解析式 3.一次函数的性质 4.一次函数的应用 课后作业 【基础】 1. 如图,有一种动画程序,屏幕上正方形ABCD是黑色区域(含正方形边界),其中A(1,1),B(2,1),C(2,2),D(1,2),用信号枪沿直线y=﹣2x+b发射信号,当信号遇到黑色区域时,区域便由黑变白,则能够使黑色区域变白的b的取值范围为(  )   A. 3<b<6 B. 2<b<6 C. 3≤b≤6 D. 2<b<5 2. 已知一次函数y=kx+b的图象与直线y=2x+1关于y轴对称,则这个一次函数的图象与x轴交点的坐标为   . 【巩固】 1.把直线y=﹣x+3向上平移m个单位后,与直线y=2x+4的交点在第一象限,则m的取值范围是(  )   A. 1<m<7 B. 3<m<4 C. m>1 D. m<4 2. 将直线y=2x﹣1向上平移2个单位,再向右平移1个单位后得到的直线为(  )   A. y=2x+3 B. y=2x+1 C. y=2x﹣1 D. y=2x﹣3 3. 如图,把直线y=﹣2x向上平移后得到直线AB,直线AB经过点(m,n),且2m+n=6,则直线AB的解析式是(  )   A. y=﹣2x﹣3 B. y=﹣2x﹣6 C. y=﹣2x+3 D. y=﹣2x+6 4. 某二元方程的解是(m为实数),若把x看作平面直角坐标系中点的横坐标,y看作平面直角坐标系中点的纵坐标,下面说法正确的是(  )   A. 点(x,y)一定不在第一象限 B. 点(x,y)一定不在第二象限   C. y随x的增大而增大 D. 点(x,y)一定不在第三象限 5. 在平面直角坐标系中,一次函数y=ax+b的图象过点B(﹣1,),与x轴交于点A(4,0),与y轴交于点C,与直线y=kx交于点P,且PO=PA, (1)求a+b的值. (2)求k的值. (3)D为PC上一点,DF⊥x轴于点F,交OP于点E,若DE=2EF,求D点坐标. 【拔高】 1.如图,一次函数的图象上有两点A、B,A点的横坐标为2,B点的横坐标为a(0<a<4且a≠2),过点A、B分别作x的垂线,垂足为C、D,△AOC、△BOD的面积分别为S1、S2,则S1、S2的大小关系是(  )   A. S1>S2 B. S1=S2 C. S1<S2 D. 无法确定 错题总结 错题题号 错题比例 错题原因 错题知识点小结 课堂运用 课后作业 1
展开
  • 资料类型: 学案
  • 资料版本:北师大版
  • 适用地区:全国
  • 文件大小:417.13KB
数学精优课

下载与使用帮助