[ID:3-6308144] 专题09 函数之解答题(67题)备战2020年中考数学真题模拟题分类汇编(上海 ...
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专题09 函数之解答题 一.解答题(共67小题) 1.(2019?上海)在平面直角坐标系xOy中(如图),已知一次函数的图象平行于直线yx,且经过点A(2,3),与x轴交于点B. (1)求这个一次函数的解析式; (2)设点C在y轴上,当AC=BC时,求点C的坐标. 2.(2019?上海)在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=x2﹣2x,其顶点为A. (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标,并说明它的变化情况; (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”. ①试求抛物线y=x2﹣2x的“不动点”的坐标; ②平移抛物线y=x2﹣2x,使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”,其对称轴与x轴交于点C,且四边形OABC是梯形,求新抛物线的表达式. 3.(2018?上海)在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线yx2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处. (1)求这条抛物线的表达式; (2)求线段CD的长; (3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标. 4.(2018?上海)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示. (1)求y关于x的函数关系式;(不需要写定义域) (2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米? 5.(2017?上海)甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案. 甲公司方案:每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系,如图所示. 乙公司方案:绿化面积不超过1000平方米时,每月收取费用5500 元;绿化面积超过1000平方米时,每月在收取5500元的基础上,超过部分每平方米收取4元. (1)求如图所示的y与x的函数解析式:(不要求写出定义域); (2)如果某学校目前的绿化面积是1200平方米,试通过计算说明:选择哪家公司的服务,每月的绿化养护费用较少. 6.(2019?浦东新区一模)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥CD,M为腰AB上一动点,联结MC、MD,AD=10,BC=15,cotB. (1)求线段CD的长. (2)设线段BM的长为x,△CDM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域. 7.(2019?杨浦区三模)在女子800米耐力测试中,某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数关系分別如图中线段OA和折线OBCD所示. (1)谁先到终点,当她到终点时,另一位同学离终点多少米?(请直接写出答案) (2)起跑后的60秒内谁领先?她在起跑后几秒时被追及?请通过计算说明. 8.(2019?静安区二模)一个水库的水位在某段时间内持续上涨,表格中记录了连续5小时内6个时间点的水位高度,其中x表示时间,y表示水位高度. x (小时) 0 1 2 3 4 5 … y(米) 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 … (1)通过观察数据,请写出水位高度y与时间x的函数解析式(不需要写出定义域); (2)据估计,这种上涨规律还会持续,并且当水位高度达到8米时,水库报警系统会自动发出警报.请预测再过多久系统会发出警报. 9.(2019?虹口区二模)甲、乙两组同时加工某种零件,甲组每小时加工80件,乙组加工的零件数量y(件)与时间x(小时)为一次函数关系,部分数据如下表所示. x(小时) 2 4 6 y(件) 50 150 250 (1)求y与x之间的函数关系式; (2)甲、乙两组同时生产,加工的零件合在一起装箱,每满340件装一箱,零件装箱的时间忽略不计,求经过多长时间恰好装满第1箱? 10.(2019?长宁区二模)某文具店每天售出甲、乙两种笔,统计后发现:甲、乙两种笔同一天售出量之间满足一次函数的关系,设甲、乙两种笔同一天的售出量分别为x(支)、y(支),部分数据如表所示(下表中每一列数据表示甲、乙两种笔同一天的售出量). 甲种笔售出x(支) … 4 6 8 … 乙种笔售出y(支) … 6 12 18 … (1)求y关于x的函数关系式;(不需要写出函数的定义域) (2)某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为30元和120元,如果乙种笔每支售价比甲种笔每支售价多2元,那么甲、乙两种笔这天各售出多少支? 11.(2019?嘉定区二模)某乒乓球馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡: ①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费; ②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元;暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.设打乒乓x次时,所需总费用为y元. (1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式; (2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请根据函数图象,写出选择哪种消费方式更合算. 12.(2019?松江区二模)小明、小军是同班同学.某日,两人放学后去体育中心游泳,小明16:00从学校出发,小军16:03也从学校出发,沿相同的路线追赶小明.设小明出发x分钟后,与体育中心的距离为y米.如图,线段AB表示y与x之间的函数关系. (1)求y与x之间的函数解析式;(不要求写出定义域) (2)如果小军的速度是小明的1.5倍,那么小军用了多少分钟追上小明?此时他们距离体育中心多少米? 13.(2019?徐汇区二模)某市植物园于2019年3月﹣5月举办花展,按照往年的规律推算,自4月下旬起游客量每天将增加1000人,游客量预计将在5月1日达到最高峰,并持续到5月4日,随后游客量每天有所减少,已知4月24日为第一天起,每天的游客量y(人)与时间x(天)的函数图象如图所示,结合图象提供的信息,解答下列问题: (1)已知该植物园门票15元/张,若每位游客在园内每天平均消费35元,试求5月1日﹣5月4日,所有游客消费总额约为多少元? (2)当x≥11时,求y关于x的函数解析式. 14.(2019?金山区二模)某演唱会购买门票的方式有两种. 方式一:若单位赞助广告费10万元,则该单位所购门票的价格为每张0.02万元; 方式二:如图所示. 设购买门票x张,总费用为y万元,方式一中:总费用=广告赞助费+门票费. (1)求方式一中y与x的函数关系式. (2)若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共400张,且乙单位购买超过100张,两单位共花费27.2万元,求甲、乙两单位各购买门票多少张? 15.(2019?闵行区二模)甲骑自行车以10千米/时的速度沿公路行驶,3小时后,乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶,速度为25千米/时.设甲出发后x小时,甲离开出发地的路程为y1千米,乙离开出发地的路程为y2千米.试回答下列问题: (1)求y1、y2关于x的函数解析式; (2)在同一直角坐标系中,画出(1)中两个函数的图象; (3)当x为何值时,乙追上甲,此时他们离出发地的路程是多少千米? 16.(2019?普陀区二模)某工厂生产一种产品,当生产数量至少为20吨,但不超过60吨时,每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x(吨)之间是一次函数关系,其图象如图所示: (1)写出y与x的函数关系式; (2)如果每吨的成本是4.8万元,求该产品的生产数量; (3)当生产这种产品的总成本是200万元时,求该产品的生产数量. 17.(2019?柯桥区模拟)A、B两地相距30千米,已知甲、乙两人分别骑自行车和摩托车从A地出发前往B地,途中乙因修车耽误了些时间,然后又继续赶路.图中的线段OM和折线OCDE分别反映了甲、乙两人所行的路程y(千米)与时间x(分)的函数关系,根据图象提供的信息回答下列问题: (1)甲骑自行车的速度是   千米/分钟; (2)两人第二次相遇时距离A地   千米; (3)线段DE反映了乙修好车后所行的路程y(千米)与时间x(分)的函数关系.请求出线段DE的表达式及其定义域. 18.(2019?杨浦区二模)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟,在整个步行过程中,甲、乙两人间的距离y(米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图中折线OA﹣AB﹣BC﹣CD所示. (1)求线段AB的表达式,并写出自变量x的取值范围; (2)求乙的步行速度; (3)求乙比甲早几分钟到达终点? 19.(2019?西安模拟)在奉贤创建文明城区的活动中,有两段长度相等的彩色道砖铺设任务,分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设彩色道砖的长度y(米)与施工时间x(时)之间关系的部分图象.请解答下列问题: (1)求乙队在2≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式; (2)如果甲队施工速度不变,乙队在开挖6小时后,施工速度增加到12米/时,结果两队同时完成了任务.求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米? 20.(2019?浦东新区二模)已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y经过第一象限内的点A,延长OA到点B,使得BA=2AO,过点B作BH⊥x轴,垂足为点H,交双曲线于点C,点B的横坐标为6. 求:(1)点A的坐标; (2)将直线AB平移,使其经过点C,求平移后直线的表达式. 21.(2019?静安区一模)已知:如图,反比例函数的图象经过点A、P,点A(6,),点P的横坐标是2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过坐标原点,且与x轴交于点B,顶点为P.求:(1)反比例函数的解析式; (2)抛物线的表达式及B点坐标. 22.(2019?杨浦区三模)在平面直角坐标系xOy中,第一象限内的点P在直线yx上,过点P的直线交x轴正半轴于点A,交直线y=3x于点B,点B在第一象限内. (1)如图1,当∠OAB=90°时,求的值; (2)当点A的坐标为(6,0),且BP=2AP时,将过点A的抛物线y=﹣x2+mx上下方平移,使它过点B,求平移的方向和距离. 23.(2019?青浦区二模)已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(6,﹣3),对称轴是直线x=4,顶点为B,OA与其对称轴交于点M,M、N关于点B对称. (1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标; (2)联结ON、AN,求△OAN的面积; (3)点Q在x轴上,且在直线x=4右侧,当∠ANQ=45°时,求点Q的坐标. 24.(2019?浦东新区二模)已知抛物线ybx+c经过点M(3,﹣4),与x轴相交于点A(﹣3,0)和点B,与y轴相交于点C. (1)求这条抛物线的表达式; (2)如果P是这条抛物线对称轴上一点,PC=BC,求点P的坐标; (3)在第(2)小题的条件下,当点P在x轴上方时,求∠PCB的正弦值. 25.(2019?静安区二模)在平面直角坐标系xOy中(如图7),已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,与x轴的另一个交点为A,顶点为P(﹣3,4). (1)求这条抛物线表达式; (2)将该抛物线向右平移,平移后的新抛物线顶点为Q,它与y轴交点为B,联结PB、PQ.设点B的纵坐标为m,用含m的代数式表示∠BPQ的正切值; (3)连接AP,在(2)的条件下,射线PB平分∠APQ,求点B到直线AP的距离. 26.(2019?虹口区二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+8与x轴相交于点A(﹣2,0)和点B(4,0),与y轴相交于点C,顶点为点P.点D(0,4)在OC上,联结BC、BD. (1)求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标; (2)点E为第一象限内抛物线上一点,如果△COE与△BCD的面积相等,求点E的坐标; (3)点Q在抛物线对称轴上,如果△CDB∽△CPQ,求点Q的坐标. 27.(2019?嘉定区二模)在平面直角坐标系xOy中,如图,抛物线y=mx2﹣2x+n(m、n是常数)经过点A(﹣2,3)、B(﹣3,0),与y轴的交点为点C. (1)求此抛物线的表达式; (2)点D为y轴上一点,如果直线BD和直线BC的夹角为15°,求线段CD的长度; (3)设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点,当△BPC为直角三角形时,求点P的坐标. 28.(2019?长宁区二模)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过原点,且与x轴相交于点A,点A的横坐标为6,抛物线顶点为点B. (1)求这条抛物线的表达式和顶点B的坐标; (2)过点O作OP∥AB,在直线OP上点取一点Q,使得∠QAB=∠OBA,求点Q的坐标; (3)将该抛物线向左平移m(m>0)个单位,所得新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限,此时点A移动到点D的位置,CB:DB=3:4,求m的值. 29.(2019?宝山区二模)如图,已知对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其中A(1,0). (1)求点B的坐标及此抛物线的表达式; (2)点D为y轴上一点,若直线BD和直线BC的夹角为15°,求线段CD的长度; (3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,当△BPC为直角三角形时,求点P的坐标. 30.(2019?广西模拟)如图,抛物线y=ax2+4x+c过点A(6,0)、B(3,),与y轴交于点C.联结AB并延长,交y轴于点D. (1)求该抛物线的表达式; (2)求△ADC的面积; (3)点P在线段AC上,如果△OAP和△DCA相似,求点P的坐标. 31.(2019?普陀区二模)在平面直角坐标系xOy中,直线yx+4m(m>0)与x轴、y轴分别交于点A、B,如图所示,点C在线段AB的延长线上,且AB=2BC. (1)用含字母m的代数式表示点C的坐标; (2)抛物线ybx+10经过点A、C,求此抛物线的表达式; (3)在位于第四象限的抛物线上,是否存在这样的点P:使S△PAB=2S△OBC,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,试说明理由. 32.(2019?奉贤区二模)如图,已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(﹣2,0)和点B(4,0). (1)求这条抛物线的表达式和对称轴; (2)点C在线段OB上,过点C作CD⊥x轴,垂足为点C,交抛物线与点D,E是BD中点,联结CE并延长,与y轴交于点F. ①当D恰好是抛物线的顶点时,求点F的坐标; ②联结BF,当△DBC的面积是△BCF面积的时,求点C的坐标. 33.(2019?涟源市模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线yx2+bx+c与直线yx﹣3分别交x轴、y轴上的B、C两点,设该抛物线与x轴的另一个交点为点A,顶点为点D,连接CD交x轴于点E. (1)求该抛物线的表达式及点D的坐标; (2)求∠DCB的正切值; (3)如果点F在y轴上,且∠FBC=∠DBA+∠DCB,求点F的坐标. 34.(2019?闵行区二模)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)、B(3,0),且与y轴的公共点为点C. (1)求抛物线的解析式,并求出点C的坐标; (2)求∠ACB的正切值; (3)点E为线段AC上一点,过点E作EF⊥BC,垂足为点F.如果,求△BCE的面积. 35.(2019?金山区二模)已知:抛物线y=﹣x2+bx+c,经过点A(﹣1,﹣2),B(0,1). (1)求抛物线的关系式及顶点P的坐标. (2)若点B′与点B关于x轴对称,把(1)中的抛物线向左平移m个单位,平移后的抛物线经过点B′,设此时抛物线顶点为点P′. ①求∠P′BB′的大小. ②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°,点P′落在点M处,设点N在(1)中的抛物线上,当△MNB′的面积等于6时,求点N的坐标. 36.(2019?崇明区二模)如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B,交y轴于点C(0,3). (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上找出点P,使PC=PO,求点P的坐标; (3)将直线AC沿x轴的正方向平移,平移后的直线交y轴于点M,交抛物线于点N.当四边形ACMN为等腰梯形时,求点M、N的坐标. 37.(2019?杨浦区二模)已知开口向下的抛物线y=ax2﹣2ax+2与y轴的交点为A,顶点为B,对称轴与x轴的交点为C,点A与点D关于对称轴对称,直线BD与x轴交于点M,直线AB与直线OD交于点N. (1)求点D的坐标; (2)求点M的坐标(用含a的代数式表示); (3)当点N在第一象限,且∠OMB=∠ONA时,求a的值. 38.(2019?黄浦区二模)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O(0,0)、A(2,0),直线y=2x经过抛物线的顶点B,点C是抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,联结BC、OC、AB,过点C作CE∥x轴,分别交线段OB、AB于点E、F. (1)求抛物线的表达式; (2)当BC=CE时,求证:△BCE∽△ABO; (3)当∠CBA=∠BOC时,求点C的坐标. 39.(2019?杨浦区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,2),它的顶点为D(1,m),且tan∠COD. (1)求m的值及抛物线的表达式; (2)将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,且OA=OB.若点A是由原抛物线上的点E平移所得,求点E的坐标; (3)在(2)的条件下,点P是抛物线对称轴上的一点(位于x轴上方),且∠APB=45°.求P点的坐标. 40.(2019?杨浦区模拟)已知,如图1,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a≠0)图象的顶点为C与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),点C、B关于过点A的直线l:y=kx对称. (1)求A、B两点坐标及直线l的解析式; (2)求二次函数解析式; (3)如图2,过点B作直线BD∥AC交直线l于D点,M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点,连接CN,MM、MD,求CN+NM+MD的最小值. 41.(2019?宝山区一模)如图,已知:二次函数y=x2+bx的图象交x轴正半轴于点A,顶点为P,一次函数yx﹣3的图象交x轴于点B,交y轴于点C,∠OCA的正切值为. (1)求二次函数的解析式与顶点P坐标; (2)将二次函数图象向下平移m个单位,设平移后抛物线顶点为P′,若S△ABP=S△BCP,求m的值. 42.(2019?随县模拟)如图,在平面直角坐标系中,顶点为M的抛物线C1:y=ax2+bx(a<0)经过点A和x轴上的点B,AO=OB=2,∠AOB=120°. (1)求该抛物线的表达式; (2)联结AM,求S△AOM; (3)将抛物线C1向上平移得到抛物线C2,抛物线C2与x轴分别交于点E、F(点E在点F的左侧),如果△MBF与△AOM相似,求所有符合条件的抛物线C2的表达式. 43.(2019?金山区一模)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,6),点B(1,3),直线l1:y=kx(k≠0),直线l2:y=﹣x﹣2,直线l1经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P,且l1与l2相交于点C,直线l2与x轴、y轴分别交于点D、E.若把抛物线上下平移,使抛物线的顶点在直线l2上(此时抛物线的顶点记为M),再把抛物线左右平移,使抛物线的顶点在直线l1上(此时抛物线的顶点记为N). (1)求抛物线y=x2+bx+c的解析式. (2)判断以点N为圆心,半径长为4的圆与直线l2的位置关系,并说明理由. (3)设点F、H在直线l1上(点H在点F的下方),当△MHF与△OAB相似时,求点F、H的坐标(直接写出结果). 44.(2019?普陀区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,且OB=3OA,与y轴交于点C,此抛物线顶点为点D. (1)求抛物线的表达式及点D的坐标; (2)如果点E是y轴上的一点(点E与点C不重合),当BE⊥DE时,求点E的坐标; (3)如果点F是抛物线上的一点.且∠FBD=135°,求点F的坐标. 45.(2019?浦东新区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线yx+b与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,抛物线y=ax2﹣4ax+4经过点A和点B,并与x轴相交于另一点C,对称轴与x轴相交于点 D. (1)求抛物线的表达式; (2)求证:△BOD∽△AOB; (3)如果点P在线段AB上,且∠BCP=∠DBO,求点P的坐标. 46.(2019?徐汇区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线yx2+bx+c与x轴交于点A(﹣3,0)和点B,与y轴交于点C (0,2). (1)求抛物线的表达式,并用配方法求出顶点D的坐标; (2)若点E是点C关于抛物线对称轴的对称点,求tan∠CEB的值. 47.(2019?资阳区一模)在平面直角坐标系xOy中,将抛物线y=﹣x2平移后经过点A(﹣1,0)、B(4,0),且平移后的抛物线与y轴交于点C(如图). (1)求平移后的抛物线的表达式; (2)如果点D在线段CB上,且CD,求∠CAD的正弦值; (3)点E在y轴上且位于点C的上方,点P在直线BC上,点Q在平移后的抛物线上,如果四边形ECPQ是菱形,求点Q的坐标. 48.(2019?嘉定区一模)在平面直角坐标系xOy(如图)中,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(4,0)、B(2,2),与y轴的交点为C. (1)试求这个抛物线的表达式; (2)如果这个抛物线的顶点为M,求△AMC的面积; (3)如果这个抛物线的对称轴与直线BC交于点D,点E在线段AB上,且∠DOE=45°,求点E的坐标. 49.(2019?崇明区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+6(a、b都是常数,且a<0)的图象与x轴交于点A(﹣2,0)、B(6,0),顶点为点C. (1)求这个二次函数的解析式及点C的坐标; (2)过点B的直线yx+3交抛物线的对称轴于点D,联结BC,求∠CBD的余切值; (3)点P为抛物线上一个动点,当∠PBA=∠CBD时,求点P的坐标. 50.(2019?定陶区三模)如图,抛物线yx2+bx+c经过点A(﹣2,0),点B(0,4). (1)求这条抛物线的表达式; (2)P是抛物线对称轴上的点,联结AB、PB,如果∠PBO=∠BAO,求点P的坐标; (3)将抛物线沿y轴向下平移m个单位,所得新抛物线与y轴交于点D,过点D作DE∥x轴交新抛物线于点E,射线EO交新抛物线于点F,如果EO=2OF,求m的值. 51.(2019?东阳市模拟)在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点B (4,0)、D (5,3),设它与x轴的另一个交点为A(点A在点B的左侧),且△ABD的面积是3. (1)求该抛物线的表达式; (2)求∠ADB的正切值; (3)若抛物线与y轴交于点C,直线CD交x轴于点E,点P在射线AD上,当△APE与△ABD相似时,求点P的坐标. 52.(2019?松江区一模)将二次函数y=2x2+4x﹣1的解析式化为y=a(x+m)2+k的形式,并指出该函数图象的开口方向、顶点坐标和对称轴. 53.(2019?虹口区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴相交于原点O和点B(4,0),点A(3,m)在抛物线上. (1)求抛物线的表达式,并写出它的对称轴; (2)求tan∠OAB的值. 54.(2019?闵行区一模)已知:在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx经过点A(5,0)、B(﹣3,4),抛物线的对称轴与x轴相交于点D. (1)求抛物线的表达式; (2)联结OB、BD.求∠BDO的余切值; (3)如果点P在线段BO的延长线上,且∠PAO=∠BAO,求点P的坐标. 55.(2019?长宁区一模)如图,在直角坐标平面内,抛物线经过原点O、点B(1,3),又与x轴正半轴相交于点A,∠BAO=45°,点P是线段AB上的一点,过点P作PM∥OB,与抛物线交于点M,且点M在第一象限内. (1)求抛物线的表达式; (2)若∠BMP=∠AOB,求点P的坐标; (3)过点M作MC⊥x轴,分别交直线AB、x轴于点N、C,若△ANC的面积等于△PMN的面积的2倍,求的值. 56.(2019?黄浦区一模)在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0)与x轴交于A(﹣1,0)、B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,抛物线的顶点为点D,对称轴为直线x=1,交x轴于点E,tan∠BDE. (1)求抛物线的表达式; (2)若点P是对称轴上一点,且∠DCP=∠BDE,求点P的坐标. 57.(2019?浦东新区一模)已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=2x2﹣12x+10的图象与x轴相交于点A和点B(点A在点B的左边),与y轴相交于点C,求△ABC的面积. 58.(2019?金山区一模)已知二次函数y=x2﹣4x﹣5,与y轴的交点为P,与x轴交于A、B两点.(点B在点A的右侧) (1)当y=0时,求x的值. (2)点M(6,m)在二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象上,设直线MP与x轴交于点C,求cot∠MCB的值. 59.(2019?闵行区一模)已知在平面直角坐标系xOy中,二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(1,0)、B(0,﹣5)、C(2,3).求这个二次函数的解析式,并求出其图象的顶点坐标和对称轴. 60.(2019?奉贤区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线AB与抛物线y=ax2+bx交于点A(6,0)和点B(1,﹣5). (1)求这条抛物线的表达式和直线AB的表达式; (2)如果点C在直线AB上,且∠BOC的正切值是,求点C的坐标. 61.(2019?嘉定区一模)已知抛物线y=x2+bx﹣3经过点A(1,0),顶点为点M. (1)求抛物线的表达式及顶点M的坐标; (2)求∠OAM的正弦值. 62.(2019?五华区二模)已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表: x … ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 … y … ﹣4 ﹣4 0 … (1)求该抛物线的表达式; (2)已知点E(4,y)是该抛物线上的点,点E关于抛物线的对称轴对称的点为点F,求点E和点F的坐标. 63.(2019?杨浦区一模)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象过点(1,﹣2)和(﹣1,0)和(0,). (1)求此二次函数的解析式; (2)按照列表、描点、连线的步骤,在如图所示的平面直角坐标系内画出该函数的图象(要求至少5点). 64.(2019?虹口区一模)已知抛物线y=2x2﹣4x﹣6. (1)请用配方法求出顶点的坐标; (2)如果该抛物线沿x轴向左平移m(m>0)个单位后经过原点,求m的值. 65.(2019?奉贤区一模)已知抛物线y=x(x﹣2)+2. (1)用配方法把这个抛物线的表达式化成y=a(x+m)2+k的形式,并写出它的顶点坐标; (2)将抛物线y=x(x﹣2)+2上下平移,使顶点移到x轴上,求新抛物线的表达式. 66.(2019?徐汇区校级一模)已知抛物线y=﹣2x2+bx+c与x轴交于A(2,﹣1),B(﹣1,﹣4)两点. (1)求抛物线的解析式; (2)用配方法求抛物线的顶点坐标. 67.(2019?杨浦区三模)已知:二次函数y=2x2+bx+c的图象经过点A(1,0),B(2,3).求:这个二次函数的解析式,及这个函数图象的对称轴. 专题09 函数之解答题 参考答案与试题解析 一.解答题(共67小题) 1.(2019?上海)在平面直角坐标系xOy中(如图),已知一次函数的图象平行于直线yx,且经过点A(2,3),与x轴交于点B. (1)求这个一次函数的解析式; (2)设点C在y轴上,当AC=BC时,求点C的坐标. 【答案】解:(1)设一次函数的解析式为:y=kx+b, ∵一次函数的图象平行于直线yx, ∴k, ∵一次函数的图象经过点A(2,3), ∴3b, ∴b=2, ∴一次函数的解析式为yx+2; (2)由yx+2,令y=0,得x+2=0, ∴x=﹣4, ∴一次函数的图形与x轴的解得为B(﹣4,0), ∵点C在y轴上, ∴设点C的坐标为(0,y), ∵AC=BC, ∴, ∴y, 经检验:y是原方程的根, ∴点C的坐标是(0,). 【点评】本题考查了两直线相交与平行问题,待定系数法求函数的解析式,正确的理解题意是解题的关键. 2.(2019?上海)在平面直角坐标系xOy中(如图),已知抛物线y=x2﹣2x,其顶点为A. (1)写出这条抛物线的开口方向、顶点A的坐标,并说明它的变化情况; (2)我们把一条抛物线上横坐标与纵坐标相等的点叫做这条抛物线的“不动点”. ①试求抛物线y=x2﹣2x的“不动点”的坐标; ②平移抛物线y=x2﹣2x,使所得新抛物线的顶点B是该抛物线的“不动点”,其对称轴与x轴交于点C,且四边形OABC是梯形,求新抛物线的表达式. 【答案】解:(1)∵a=1>0, 故该抛物线开口向上,顶点A的坐标为(1,﹣1); (2)①设抛物线“不动点”坐标为(t,t),则t=t2﹣2t, 解得:t=0或3, 故“不动点”坐标为(0,0)或(3,3); ②∵新抛物线顶点B为“不动点”,则设点B(m,m), ∴新抛物线的对称轴为:x=m,与x轴的交点C(m,0), ∵四边形OABC是梯形, ∴直线x=m在y轴左侧, ∵BC与OA不平行, ∴OC∥AB, 又∵点A(1,﹣1),点B(m,m), ∴m=﹣1, 故新抛物线是由抛物线y=x2﹣2x向左平移2个单位得到的, ∴新抛物线的表达式为:y=(x+1)2﹣1. 【点评】本题为二次函数综合运用题,涉及到二次函数基本知识、梯形基本性质,此类新定义题目,通常按照题设顺序,逐次求解即可. 3.(2018?上海)在平面直角坐标系xOy中(如图).已知抛物线yx2+bx+c经过点A(﹣1,0)和点B(0,),顶点为C,点D在其对称轴上且位于点C下方,将线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处. (1)求这条抛物线的表达式; (2)求线段CD的长; (3)将抛物线平移,使其顶点C移到原点O的位置,这时点P落在点E的位置,如果点M在y轴上,且以O、D、E、M为顶点的四边形面积为8,求点M的坐标. 【答案】解:(1)把A(﹣1,0)和点B(0,)代入yx2+bx+c得,解得, ∴抛物线解析式为yx2+2x; (2)∵y(x﹣2)2, ∴C(2,),抛物线的对称轴为直线x=2, 如图,设CD=t,则D(2,t), ∵线段DC绕点D按顺时针方向旋转90°,点C落在抛物线上的点P处, ∴∠PDC=90°,DP=DC=t, ∴P(2+t,t), 把P(2+t,t)代入yx2+2x得(2+t)2+2(2+t)t, 整理得t2﹣2t=0,解得t1=0(舍去),t2=2, ∴线段CD的长为2; (3)P点坐标为(4,),D点坐标为(2,), ∵抛物线平移,使其顶点C(2,)移到原点O的位置, ∴抛物线向左平移2个单位,向下平移个单位, 而P点(4,)向左平移2个单位,向下平移个单位得到点E, ∴E点坐标为(2,﹣2), 设M(0,m), 当m>0时,?(m2)?2=8,解得m,此时M点坐标为(0,); 当m<0时,?(﹣m2)?2=8,解得m,此时M点坐标为(0,); 综上所述,M点的坐标为(0,)或(0,). 【点评】本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和旋转的性质;会利用待定系数法求函数解析式;理解坐标与图形性质;会运用分类讨论的思想解决数学问题. 4.(2018?上海)一辆汽车在某次行驶过程中,油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系,其部分图象如图所示. (1)求y关于x的函数关系式;(不需要写定义域) (2)已知当油箱中的剩余油量为8升时,该汽车会开始提示加油,在此次行驶过程中,行驶了500千米时,司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程,在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是多少千米? 【答案】解:(1)设该一次函数解析式为y=kx+b, 将(150,45)、(0,60)代入y=kx+b中, ,解得:, ∴该一次函数解析式为yx+60. (2)当yx+60=8时, 解得x=520. 即行驶520千米时,油箱中的剩余油量为8升. 530﹣520=10千米, 油箱中的剩余油量为8升时,距离加油站10千米. ∴在开往该加油站的途中,汽车开始提示加油,这时离加油站的路程是10千米. 【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图象上点的坐标特征,根据点的坐标利用待定系数法求出一次函数解析式是解题的关键. 5.(2017?上海)甲、乙两家绿化养护公司各自推出了校园绿化养护服务的收费方案. 甲公司方案:每月的养护费用y(元)与绿化面积x(平方米)是一次函数关系,如图所示. 乙公司方案:绿化面积不超过1000平方米时,每月收取费用5500 元;绿化面积超过1000平方米时,每月在收取5500元的基础上,超过部分每平方米收取4元. (1)求如图所示的y与x的函数解析式:(不要求写出定义域); (2)如果某学校目前的绿化面积是1200平方米,试通过计算说明:选择哪家公司的服务,每月的绿化养护费用较少. 【答案】解:(1)设y=kx+b,则有, 解得, ∴y=5x+400. (2)绿化面积是1200平方米时,甲公司的费用为6400元,乙公司的费用为5500+4×200=6300元, ∵6300<6400 ∴选择乙公司的服务,每月的绿化养护费用较少. 【点评】本题主要考查一次函数的应用.此题属于图象信息识别和方案选择问题.正确识图是解好题目的关键. 6.(2019?浦东新区一模)如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AD⊥CD,M为腰AB上一动点,联结MC、MD,AD=10,BC=15,cotB. (1)求线段CD的长. (2)设线段BM的长为x,△CDM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域. 【答案】解:(1)如图,作AH⊥BC于H. ∵AD∥BC,AD⊥CD, ∴CD⊥BC, ∴∠ADC=∠DCH=∠AHC=90°, ∴四边形AHCD是矩形, ∴AD=CH=10,AH=CD, ∵BC=15, ∴BH=BC﹣HC=5, ∵cotB, ∴AH=12, ∴CD=AH=12. (2)作ME⊥CD于E,MF⊥BC于F,则四边形MECF是矩形. 在Rt△ABH中,∵BH=5,AH=12, ∴AB13, ∵BM=x, ∴BFx,CF=EM=15x, ∴yCD×ME12×(15x)=90x(0≤x≤13). 【点评】本题考查直角梯形的性质,解直角三角形,三角形的面积等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,属于中考常考题型. 7.(2019?杨浦区三模)在女子800米耐力测试中,某考点同时起跑的小莹和小梅所跑的路程S(米)与所用时间t(秒)之间的函数关系分別如图中线段OA和折线OBCD所示. (1)谁先到终点,当她到终点时,另一位同学离终点多少米?(请直接写出答案) (2)起跑后的60秒内谁领先?她在起跑后几秒时被追及?请通过计算说明. 【答案】解:(1)小莹比小梅先到终点,此时小梅距离终点200米; (2)根据图象可以知道跑后的60秒内小梅领先, 小莹的速度为:(米/秒), 故线段OA的解析式为:yx, 设线段BC的解析式为:y=kx+b,根据题意得: ,解得, ∴线段BC的解析式为y=2.5x+150, 解方程,得, 故小梅在起跑后秒时被追及. 【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题,正确理解函数图象横纵坐标表示的意义,理解问题的过程,就能够通过图象得到函数问题的相应解决.需注意计算单位的统一. 8.(2019?静安区二模)一个水库的水位在某段时间内持续上涨,表格中记录了连续5小时内6个时间点的水位高度,其中x表示时间,y表示水位高度. x (小时) 0 1 2 3 4 5 … y(米) 3 3.3 3.6 3.9 4.2 4.5 … (1)通过观察数据,请写出水位高度y与时间x的函数解析式(不需要写出定义域); (2)据估计,这种上涨规律还会持续,并且当水位高度达到8米时,水库报警系统会自动发出警报.请预测再过多久系统会发出警报. 【答案】解:(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b, ,得, 即y与x之间的函数解析式为y=0.3x+3; (2)把y=8,代入y=0.3x+3,得 8=0.3x+3, 解得,x, , 答:再过小时后系统会发出警报. 【点评】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质解答. 9.(2019?虹口区二模)甲、乙两组同时加工某种零件,甲组每小时加工80件,乙组加工的零件数量y(件)与时间x(小时)为一次函数关系,部分数据如下表所示. x(小时) 2 4 6 y(件) 50 150 250 (1)求y与x之间的函数关系式; (2)甲、乙两组同时生产,加工的零件合在一起装箱,每满340件装一箱,零件装箱的时间忽略不计,求经过多长时间恰好装满第1箱? 【答案】解:(1)设y与x之间的函数关系式为y=kx+b(k≠0) 把(2,50)(4,150)代入, 得解得 ∴y与x之间的函数关系式为y=50x﹣50; (2)设经过x小时恰好装满第1箱, 根据题意得80x+50x﹣50=340, ∴x=3, 答:经过3小时恰好装满第1箱. 【点评】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,运用待定系数法求出y与x之间的函数关系式. 10.(2019?长宁区二模)某文具店每天售出甲、乙两种笔,统计后发现:甲、乙两种笔同一天售出量之间满足一次函数的关系,设甲、乙两种笔同一天的售出量分别为x(支)、y(支),部分数据如表所示(下表中每一列数据表示甲、乙两种笔同一天的售出量). 甲种笔售出x(支) … 4 6 8 … 乙种笔售出y(支) … 6 12 18 … (1)求y关于x的函数关系式;(不需要写出函数的定义域) (2)某一天文具店售出甲、乙两种笔的营业额分别为30元和120元,如果乙种笔每支售价比甲种笔每支售价多2元,那么甲、乙两种笔这天各售出多少支? 【答案】解:(1)设函数关系式为y=kx+b(k≠0),由图象过点(4,6),(6,12), 得:, 解之得:, 所以y关于x的解析式为:y=3x﹣6. (2)设甲种笔售出x支,则乙种笔售出(3x﹣6)支,由题意可得: 整理得:x2﹣7x﹣30=0 解之得:x1=10,x2=﹣3(舍去)3x﹣6=24 答:甲、乙两种这天笔各售出10支、24支. 【点评】本题考查一次函数的应用,解题的关键是正确理解题意找出等量关系,本题属于中等题型. 11.(2019?嘉定区二模)某乒乓球馆普通票价20元/张,暑假为了促销,新推出两种优惠卡: ①金卡售价600元/张,每次凭卡不再收费; ②银卡售价150元/张,每次凭卡另收10元;暑期普通票正常出售,两种优惠卡仅限暑期使用,不限次数.设打乒乓x次时,所需总费用为y元. (1)分别写出选择银卡、普通票消费时,y与x之间的函数关系式; (2)在同一个坐标系中,若三种消费方式对应的函数图象如图所示,请根据函数图象,写出选择哪种消费方式更合算. 【答案】解:(1)由题意可得, 选择银卡消费时,y与x之间的函数关系式为:y=10x+150, 选择普通票消费时,y与x之间的函数关系式为:y=20x; (2)当10x+150=20x时,得x=15, 当10x+150=600时,得x=45, 答:当打球次数不足15次时,选择普通票最合算,当打球次数介于15次到45次之间时,选择银卡最合算,当打球次数超过45次时,选择金卡最合算,当打球次数恰为15次时,选择普通票或银卡同为最合算,当打球次数恰为45次时,选择金卡或银卡同为最合算. 【点评】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答. 12.(2019?松江区二模)小明、小军是同班同学.某日,两人放学后去体育中心游泳,小明16:00从学校出发,小军16:03也从学校出发,沿相同的路线追赶小明.设小明出发x分钟后,与体育中心的距离为y米.如图,线段AB表示y与x之间的函数关系. (1)求y与x之间的函数解析式;(不要求写出定义域) (2)如果小军的速度是小明的1.5倍,那么小军用了多少分钟追上小明?此时他们距离体育中心多少米? 【答案】解:(1)设y与x之间的函数解析式为y=kx+b, ,得, 即y与x之间的函数解析式为y=﹣60x+600; (2)小明的速度为:600÷10=60米/分钟, 则小军的速度为:60×1.5=90米/分钟, 设小军用了a分钟追上小明, 90a=60(a+3), 解得,a=6, 当a=6时,他们距离体育中心的距离是600﹣90×6=60米, 答:小军用了6分钟追上小明,此时他们距离体育中心60米. 【点评】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答. 13.(2019?徐汇区二模)某市植物园于2019年3月﹣5月举办花展,按照往年的规律推算,自4月下旬起游客量每天将增加1000人,游客量预计将在5月1日达到最高峰,并持续到5月4日,随后游客量每天有所减少,已知4月24日为第一天起,每天的游客量y(人)与时间x(天)的函数图象如图所示,结合图象提供的信息,解答下列问题: (1)已知该植物园门票15元/张,若每位游客在园内每天平均消费35元,试求5月1日﹣5月4日,所有游客消费总额约为多少元? (2)当x≥11时,求y关于x的函数解析式. 【答案】解:(1)根据题意,得5月1日到5月4日每天的游客量均为:33000+7×1000=40000(人), ∴所有游客消费总额为:(15+35)×40000×4=8000000(元), 答:5月1日到5月4日所有游客消费总额为8000000元; (2)设函数解析式为y=kx+b, 把(11,40000)和(18,34400)都代入,得 , 解得,, ∴函数的解析式为:y=﹣800x+48800. 【点评】本题是一次函数函数图象与实际生活结合的题目,主要考查了列代数式,用待定系数法求一次函数的解析式,关键是看懂函数图象,理解题意,正确运用待定系数法,较基础. 14.(2019?金山区二模)某演唱会购买门票的方式有两种. 方式一:若单位赞助广告费10万元,则该单位所购门票的价格为每张0.02万元; 方式二:如图所示. 设购买门票x张,总费用为y万元,方式一中:总费用=广告赞助费+门票费. (1)求方式一中y与x的函数关系式. (2)若甲、乙两个单位分别采用方式一、方式二购买本场演唱会门票共400张,且乙单位购买超过100张,两单位共花费27.2万元,求甲、乙两单位各购买门票多少张? 【答案】解:(1)方案一:单位赞助广告费10万元,该单位所购门票的价格为每张0.02万元,则y=10+0.02x; (2)方案二:当x>100时,设解析式为y=kx+b. 将(100,10),(200,16)代入, 得 , 解得 , 所以y=0.06x+4. 设乙单位购买了a张门票,则甲单位购买了(400﹣a)张门票,根据题意得 0.06a+4+[10+0.02(400﹣a)]=27.2, 解得,a=130, ∴400﹣a=270, 答:甲、乙两单位购买门票分别为270张和130张. 【点评】本题考查了一次函数的应用,待定系数法求一次函数的解析式的运用,及一元一次方程解决实际问题的运用,在解答的过程中求出一次函数的解析式y=0.06x+4.是解答的关键,根据自变量不同的取值,对总门票费分情况进行探讨是解决本题的易错点. 15.(2019?闵行区二模)甲骑自行车以10千米/时的速度沿公路行驶,3小时后,乙骑摩托车从同一地点出发沿公路与甲同向行驶,速度为25千米/时.设甲出发后x小时,甲离开出发地的路程为y1千米,乙离开出发地的路程为y2千米.试回答下列问题: (1)求y1、y2关于x的函数解析式; (2)在同一直角坐标系中,画出(1)中两个函数的图象; (3)当x为何值时,乙追上甲,此时他们离出发地的路程是多少千米? 【答案】解:(1)由题意,得 y1=10x(x≥0); y2=25(x﹣3),即y2=25x﹣75(x≥3); (2)列表 描点、连线, (3)由题意,当乙追上甲时,有y1=y2,则10x=25x﹣75, 解得 x=5 此时他们离出发地的路程是10×5=50(千米), 答:当x=5小时时,乙追上甲,此时他们离出发地的距离为50千米. 【点评】本题是一次函数的应用,主要考查了从实际问题中列一次函数的解析式,作一次函数的图象,求两个一次函数图象的交点问题. 16.(2019?普陀区二模)某工厂生产一种产品,当生产数量至少为20吨,但不超过60吨时,每吨的成本y(万元/吨)与生产数量x(吨)之间是一次函数关系,其图象如图所示: (1)写出y与x的函数关系式; (2)如果每吨的成本是4.8万元,求该产品的生产数量; (3)当生产这种产品的总成本是200万元时,求该产品的生产数量. 【答案】解:(1)设y=kx+b(k≠0), 由图可知,函数图象经过点(20,6),(28,5.6),则 , 解得 , 故yx+7(20≤x≤60); (2)当y=4.8时,x+7=4.8, 解得x=44. 答:每吨成本为4.8万元时,该产品的生产数量44吨; (3)根据题意得,xy=200,即x(x+7)=200, 解得,x=100(舍去)或x=40, 答:当生产这种产品的总成本是200万元时,该产品的生产数量为40吨. 【点评】本题考查了一次函数的应用,一元二次方程的应用.主要利用了待定系数法求一次函数解析式,已知函数值求自变量的方法. 17.(2019?柯桥区模拟)A、B两地相距30千米,已知甲、乙两人分别骑自行车和摩托车从A地出发前往B地,途中乙因修车耽误了些时间,然后又继续赶路.图中的线段OM和折线OCDE分别反映了甲、乙两人所行的路程y(千米)与时间x(分)的函数关系,根据图象提供的信息回答下列问题: (1)甲骑自行车的速度是  千米/分钟; (2)两人第二次相遇时距离A地 20 千米; (3)线段DE反映了乙修好车后所行的路程y(千米)与时间x(分)的函数关系.请求出线段DE的表达式及其定义域. 【答案】解:(1)由图可得, 甲骑自行车的速度是:30÷120千米/分钟, 故答案为:; (2)两人第二次相遇时距离A地:80=20千米, 故答案为:20; (3)设线段DE的表达式为y=kx+b(k≠0), ∵线段DE经过点D(50,10)和(80,20), ∴, 解得,, ∴yx, 当y=30时,x=110, ∴. 【点评】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想解答. 18.(2019?杨浦区二模)甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米,先到终点的人原地休息.已知甲先出发4分钟,在整个步行过程中,甲、乙两人间的距离y(米)与甲出发的时间x(分)之间的关系如图中折线OA﹣AB﹣BC﹣CD所示. (1)求线段AB的表达式,并写出自变量x的取值范围; (2)求乙的步行速度; (3)求乙比甲早几分钟到达终点? 【答案】解:(1)根据题意得: 设线段AB的表达式为:y=kx+b (4≤x≤16), 把(4,240),(16,0)代入得: , 解得:, 即线段AB的表达式为:y=﹣20x+320 (4≤x≤16), (2)又线段OA可知:甲的速度为:60(米/分), 乙的步行速度为:80(米/分), 答:乙的步行速度为80米/分, (3)在B处甲乙相遇时,与出发点的距离为:240+(16﹣4)×60=960(米), 与终点的距离为:2400﹣960=1440(米), 相遇后,到达终点甲所用的时间为:24(分), 相遇后,到达终点乙所用的时间为:18(分), 24﹣18=6(分), 答:乙比甲早6分钟到达终点. 【点评】本题考查了一次函数的应用,正确掌握分析函数图象是解题的关键. 19.(2019?西安模拟)在奉贤创建文明城区的活动中,有两段长度相等的彩色道砖铺设任务,分别交给甲、乙两个施工队同时进行施工.如图是反映所铺设彩色道砖的长度y(米)与施工时间x(时)之间关系的部分图象.请解答下列问题: (1)求乙队在2≤x≤6的时段内,y与x之间的函数关系式; (2)如果甲队施工速度不变,乙队在开挖6小时后,施工速度增加到12米/时,结果两队同时完成了任务.求甲队从开始施工到完工所铺设的彩色道砖的长度为多少米? 【答案】解:(1)设乙队在2≤x≤6的时段内y与x之间的函数关系式为y=kx+b, 由图可知,函数图象过点(2,30),(6,50), ∴, 解得, ∴y=5x+20; (2)由图可知,甲队速度是:60÷6=10(米/时), 设甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为z米, 依题意,得, 解得z=110, 答:甲队从开始到完工所铺设彩色道砖的长度为110米. 【点评】本题考查了一次函数的应用,主要利用了待定系数法求一次函数解析式,难点在于(2)根据6小时后的施工时间相等列出方程. 20.(2019?浦东新区二模)已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,双曲线y经过第一象限内的点A,延长OA到点B,使得BA=2AO,过点B作BH⊥x轴,垂足为点H,交双曲线于点C,点B的横坐标为6. 求:(1)点A的坐标; (2)将直线AB平移,使其经过点C,求平移后直线的表达式. 【答案】解:(1)作AD⊥x轴,垂足为D, ∵BH⊥x轴,AD⊥x轴,∴∠BHO=∠ADO=90°,∴AD∥BH, ∵BA=2AO,∴, ∵点B的横坐标为6,∴OH=6,∴OD=2, ∵双曲线y经过第一象限内的点A,可得点A的纵坐标为3, ∴点A的坐标为(2,3); (2)∵双曲线y上点C的横坐标为6,∴点C的坐标为(6,1), 由题意得,直线AB的表达式为y, ∴设平移后直线的表达式为y, ∵平移后直线y经过点C(6,1),∴1, 解得b=﹣8, ∴平移后直线的表达式y. 【点评】此题是反比例函数综合题,主要考查了待定系数法,反比例函数图象上点的坐标特征,解本题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 21.(2019?静安区一模)已知:如图,反比例函数的图象经过点A、P,点A(6,),点P的横坐标是2.抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过坐标原点,且与x轴交于点B,顶点为P.求:(1)反比例函数的解析式; (2)抛物线的表达式及B点坐标. 【答案】解:(1)设反比例函数的解析式为:y, 把点A(6,)代入得: , 解得:k=8, 即反比例函数的解析式为:y, (2)把x=2代入y得: y4, 即点P的坐标为:(2,4), 设抛物线的表达式为:y=a(x﹣2)2+4, 把点O(0,0)代入得: 4a+4=0, 解得:a=﹣1, 即抛物线的表达式为:y=﹣(x﹣2)2+4, 把y=0代入得: ﹣(x﹣2)2+4=0, 解得:x1=0,x2=4, 即B点的坐标为:(4,0). 【点评】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数图象上点的坐标特征,二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征,待定系数法求二次函数解析式,抛物线与x轴的交点,解题的关键:(1)正确掌握待定系数法求反比例函数解析式,(2)正确掌握待定系数法求二次函数解析式,根据抛物线解析式,求抛物线与x轴的交点. 22.(2019?杨浦区三模)在平面直角坐标系xOy中,第一象限内的点P在直线yx上,过点P的直线交x轴正半轴于点A,交直线y=3x于点B,点B在第一象限内. (1)如图1,当∠OAB=90°时,求的值; (2)当点A的坐标为(6,0),且BP=2AP时,将过点A的抛物线y=﹣x2+mx上下方平移,使它过点B,求平移的方向和距离. 【答案】解:(1)设点A坐标为(a,0)(a>0) ∵∠OAB=90°,点B在直线y=3x上,点P在直线yx上 ∴B(a,3a),P(a,a) ∴BP=3aaa,APa ∴ (2)如图,过点B作BC⊥x轴于点C,过点P作PD⊥x轴于点D ∴BC∥PD ∵BP=2AP ∴ ∴CD=2DA 设直线AB解析式为:y=kx+b ∵A(6,0) ∴6k+b=0,得b=﹣6k ∴直线AB解析式为y=kx﹣6k 当x=kx﹣6k时,解得:x ∴xD=xP 当3x=kx﹣6k时,解得:x ∴xC=xB ∴CD=xD﹣xC,AD=6﹣xD=6 ∴2(6) 解得:k=﹣2 ∴xB,yB=3xB,即B(,) ∵抛物线y=﹣x2+mx过点A ∴﹣36+6m=0,解得:m=6 设平移后过点B的抛物线解析式为y=﹣x2+6x+n ∴﹣()2+6n 解得:n ∴抛物线向下平移了个单位长度. 【点评】本题考查了平行线分线段定理,一次函数的图象与性质,一元一次方程、分式方程的解法,二次函数的图象与性质.平面直角坐标系中不平行于坐标轴的线段的比可通过作坐标轴的垂直线构造平行线,再利用平行线分线段定理转换.函数图象上下平移的规律即函数值上加下减一个常数. 23.(2019?青浦区二模)已知:如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx(a≠0)经过点A(6,﹣3),对称轴是直线x=4,顶点为B,OA与其对称轴交于点M,M、N关于点B对称. (1)求这条抛物线的表达式和点B的坐标; (2)联结ON、AN,求△OAN的面积; (3)点Q在x轴上,且在直线x=4右侧,当∠ANQ=45°时,求点Q的坐标. 【答案】解:(1)由题意可得 , 解得a,b=﹣2, ∴抛物线的表达式yx2﹣2x 将x=4代入,得y=﹣4, ∴点B的坐标(4,﹣4); (2)连结ON、AN,如图1. ∵A(6,﹣3), ∴直线OA:yx, 将x=4代入,y=﹣2, ∴M(4,﹣2), ∵M、N关于点B对称,B(4,﹣4), ∴N(4,﹣6), ∴MN=4, ∴S△OANMN?|xA|4×6=12; (3)设对称轴直线x=4与x轴交于点T,抛物线与x轴另一个交点为P,则P(8,0). ∵A(6,﹣3),N(4,﹣6), ∴直线AN:y, 令y=0,则x=8, ∴直线AN与x轴交点(8,0), 即直线AN与x轴交于点P, 如图2,连接NQ,连接NA、AP,过点P作PR⊥PN,与NQ交于点R,过R作RH⊥x轴于点H. ∵∠PNR=∠ANQ=45°, ∴∠PRN=45°=∠PNR, ∴PR=PN, 易证△PTN≌△RHP(AAS), ∴RH=PT=4,PH=TN=6, ∴TH=10, ∵, ∴, ∴HQ=20, ∴OQ=OP+PH+HQ=8+6+20=34, 点Q的坐标(34,0). 【点评】本题考查了二次函数,熟练掌握二次函数的相关性质与全等三角形的判定与性质是解题的关键. 24.(2019?浦东新区二模)已知抛物线ybx+c经过点M(3,﹣4),与x轴相交于点A(﹣3,0)和点B,与y轴相交于点C. (1)求这条抛物线的表达式; (2)如果P是这条抛物线对称轴上一点,PC=BC,求点P的坐标; (3)在第(2)小题的条件下,当点P在x轴上方时,求∠PCB的正弦值. 【答案】解:(1)∵抛物线y═x2+bx+c经过点M(3,﹣4),A(﹣3.0), , 解得:, ∴这条抛物线的表达式为yx2x﹣5; (2)∵A(﹣3,0),B(5,0), ∴这条抛物线的对称轴为直线x=l. 设点P的坐标为(l,y). ∵PC=BC,点B的坐标为(5,0),点C的坐标为(0,5). ∴PC2=BC2. 12+(y+5)2=52+52. 解得y=2或y=﹣12. ∴点P的坐标为(1,2)或(l,﹣12); (3)作PH⊥BC,垂足为点H. ∵点B(5.0),点C(0,5),点P(1,2), ∴PC=BC=5. 设直线BC的解析式为y=kx﹣5, 代入B(5,0)解得k=1, ∴直线BC的解析式为y=x﹣5, 把x=1代入得,y=﹣4, ∴直线BC与对称轴相交于点D(1,﹣4), ∴PD=6, ∵S△PBC=S△PCD+S△PBD, ∴. 解得PH=3. ∴sin∠PCB. 【点评】本题主要考查的是二次函数的综合应用,解答本题主要应用了待定系数法求一次函数、二次函数的解析式、锐角三角函数的定义,三角形面积等,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题,灵活运用三角形面积公式,属于中考常考题型. 25.(2019?静安区二模)在平面直角坐标系xOy中(如图7),已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)经过原点,与x轴的另一个交点为A,顶点为P(﹣3,4). (1)求这条抛物线表达式; (2)将该抛物线向右平移,平移后的新抛物线顶点为Q,它与y轴交点为B,联结PB、PQ.设点B的纵坐标为m,用含m的代数式表示∠BPQ的正切值; (3)连接AP,在(2)的条件下,射线PB平分∠APQ,求点B到直线AP的距离. 【答案】解:(1)设抛物线表达式为:y=a(x+3)2+4(a≠0) 把O(0,0)代入得, ∴抛物线的表达式:. (2)设PQ与y轴交点为H. ∵P(﹣3,4),B(0,m), ∴PH=3,BH=4﹣m, 在Rt△PBH中,tan∠BPQ. 故∠BPQ的正切值为:. (3)设PB与x轴交于点M. 由(1)得点A坐标为(﹣6,0). 又P(﹣3,4), ∴AP=5. ∵射线PB平分∠APQ, ∴∠APB=∠BPQ. ∵PQ∥x轴,∴∠AMP=∠BPQ, ∴∠AMP=∠APB, ∴AP=AM=5, ∴M(﹣1,0). 设直线PB为y=kx+b(k≠0),把点P(﹣3,4),M(﹣1,0)代入,得:y=2x﹣2, ∴点B为(0,﹣2). ∴BH=4﹣m=4﹣(﹣2)=6. ∵射线PB平分∠APQ,BH⊥PQ, ∴点B到直线AP的距离为6. 【点评】本题是二次函数的综合题,分别考查了待定系数法求解析式、构造直角三角形求三角函数值、利用点的坐标表示相关线段长度,以及角平分线的性质定理来得点到直线的距离等知识点,综合性较强,难度较大. 26.(2019?虹口区二模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+8与x轴相交于点A(﹣2,0)和点B(4,0),与y轴相交于点C,顶点为点P.点D(0,4)在OC上,联结BC、BD. (1)求抛物线的表达式并直接写出点P的坐标; (2)点E为第一象限内抛物线上一点,如果△COE与△BCD的面积相等,求点E的坐标; (3)点Q在抛物线对称轴上,如果△CDB∽△CPQ,求点Q的坐标. 【答案】解:(1)将点A(﹣2,0),B(4,0)代入y=ax2+bx+8,得: ,解得:, ∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+8. ∵y=﹣x2+2x+8=﹣(x﹣1)2+9, ∴点P的坐标为(1,9). (2)当x=0时,y=﹣x2+2x+8=8, ∴点C的坐标为(0,8). 设点E的坐标为(x,﹣x2+2x+8)(0<x<4), ∵S△COE=S△BCD, ∴8?x4×4, 解得:x=2, ∴点E的坐标为(2,8). (3)过点C作CM∥x轴,交抛物线对称轴于点M,如图所示. ∵点B(4,0),点D(0,4), ∴OB=OD=4, ∴∠ODB=45°,BD=4, ∴∠BDC=135°. ∵点C(0,8),点P(1,9), ∴点M的坐标为(1,8), ∴CM=PM=1, ∴∠CPM=45°,CP, ∴点Q在抛物线对称轴上且在点P的上方, ∴∠CPQ=∠CDB=135°. ∵△CDB∽△CPQ, ∴,即, 解得:PQ=2, ∴点Q的坐标为(1,11). 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积以及相似三角形的性质,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出二次函数解析式;(2)利用三角形的面积公式,找出关于x的一元一次方程;(3)利用相似三角形的性质,求出PQ的长度. 27.(2019?嘉定区二模)在平面直角坐标系xOy中,如图,抛物线y=mx2﹣2x+n(m、n是常数)经过点A(﹣2,3)、B(﹣3,0),与y轴的交点为点C. (1)求此抛物线的表达式; (2)点D为y轴上一点,如果直线BD和直线BC的夹角为15°,求线段CD的长度; (3)设点P为此抛物线的对称轴上的一个动点,当△BPC为直角三角形时,求点P的坐标. 【答案】解:(1)依题意得:, 解得:, ∴抛物线的表达式是y=﹣x2﹣2x+3. (2)∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3与y轴交点为点C, ∴点C的坐标是(0,3), 又点B的坐标是(﹣3,0), ∴OC=OB=3,∠CBO=45°, ∴∠DBO=30°或60°. 在直角△BOD中,DO=BO?tan∠DBO, ∴或, ∴或. (3)由抛物线y=﹣x2﹣2x+3得:对称轴是直线x=﹣1, 根据题意:设P(﹣1,t), 又点C的坐标是(0,3),点B的坐标是(﹣3,0), ∴BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10, ①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2即:18+4+t2=t2﹣6t+10,解之得:t=﹣2, ②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2即:18+t2﹣6t+10=4+t2,解之得:t=4, ③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2即:4+t2+t2﹣6t+10=18,解之得:,. 综上所述P的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或或. 【点评】本题是二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等腰三角形的性质、两点间的距离公式及直角三角形的性质等知识点. 28.(2019?长宁区二模)如图,已知在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过原点,且与x轴相交于点A,点A的横坐标为6,抛物线顶点为点B. (1)求这条抛物线的表达式和顶点B的坐标; (2)过点O作OP∥AB,在直线OP上点取一点Q,使得∠QAB=∠OBA,求点Q的坐标; (3)将该抛物线向左平移m(m>0)个单位,所得新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限,此时点A移动到点D的位置,CB:DB=3:4,求m的值. 【答案】解:(1)∵点O(0,0)、A(6,0)在抛物线上 ∴, 解得 ∴抛物线的解析式为(x﹣3)2﹣4, ∴顶点B的坐标是(3,﹣4) (2)如图, ∵A(6,0),B(3,﹣4) ∴直线AB解析式为:yx﹣8 ∵OP∥AB ∴直线OP解析式为:yx 设点Q(3k,4k), ∵∠OBA=∠QAB>∠OAB, ∴k>0 ∵OP平行于AB,QA不平行于OB ∴四边形OQAP为梯形 又∵∠QAB=∠OBA ∴四边形OQAP为等腰梯形 ∴QA=OB ∴(6﹣3k)2+(4k)2=25 ∴或k=﹣1(舍去) ∴ (3)由(1)知 设抛物线向左平移m(m>0)个单位后的新抛物线表达式为 ∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限,设点C的坐标为C(0,c) ∴0<m<3,﹣4<c<0, 如图,过点B分别做作x、y轴垂线,垂足分别为点E、F ∴,且∠BFC=∠BED=90° ∴△BCF∽△BDE ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴或者m2=3(舍去) ∴ 【点评】本题是二次函数综合题,考查了待定系数法求函数解析式,等腰梯形的性质,两点距离公式,相似三角形的判定和性质,找到关于m的等式是本题的关键. 29.(2019?宝山区二模)如图,已知对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点,与y轴交于C点,其中A(1,0). (1)求点B的坐标及此抛物线的表达式; (2)点D为y轴上一点,若直线BD和直线BC的夹角为15°,求线段CD的长度; (3)设点P为抛物线的对称轴x=﹣1上的一个动点,当△BPC为直角三角形时,求点P的坐标. 【答案】解:(1)∵对称轴为直线x=﹣1, ∴1, ∵抛物线y=ax2+bx+3与y轴交于C点, ∴c=3,C(0,3), ∵抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A点,A点的坐标为(1,0), ∴a+b+c=0,即:, 解得:, ∴抛物线的解析式为y=﹣x2﹣2x+3, ∵对称轴为x=﹣1, 且抛物线经过A(1,0), ∴B(﹣3,0); (2)∵B(﹣3,0),C(0,3), ∴△BOC是等腰直角三角形, ∴∠CBO=45°, ∵直线BD和直线BC的夹角为15°, ∴∠DBO=30°或∠DBO=60°, 在Rt△BOD中,DO=BO?tan∠DBO, ∵BO=3, 当∠DBO=30°时,如图1所示: tan30°, ∴DO, ∴CD=OC﹣DO=3; 当∠DBO=60°时,如图2所示: tan60°,DO, ∴CD=DO﹣OC, ∴CD的长度为3或; (3)设P(﹣1,t),∵B(﹣3,0),C(0,3), ∴OB=OC=3, 由勾股定理得:BC2=18,PB2=(﹣1+3)2+t2=4+t2,PC2=(﹣1)2+(t﹣3)2=t2﹣6t+10, 分情况讨论:如图3所示: ①若点B为直角顶点,则BC2+PB2=PC2, 即:18+4+t2=t2﹣6t+10,解得:t=﹣2; ②若点C为直角顶点,则BC2+PC2=PB2, 即:18+t2﹣6t+10=4+t2,解得:t=4; ③若点P为直角顶点,则PB2+PC2=BC2, 即:4+t2+t2﹣6t+10=18,解得:,; 综上所述,当△BPC为直角三角形时,点P的坐标为(﹣1,﹣2)或(﹣1,4)或或. 【点评】本题是二次函数综合题目,考查了待定系数法求二次函数的解析式,方程组的解法、二次函数的图象与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数以及分类讨论;本题综合性强,有一定难度,注意分类讨论. 30.(2019?广西模拟)如图,抛物线y=ax2+4x+c过点A(6,0)、B(3,),与y轴交于点C.联结AB并延长,交y轴于点D. (1)求该抛物线的表达式; (2)求△ADC的面积; (3)点P在线段AC上,如果△OAP和△DCA相似,求点P的坐标. 【答案】解:(1)将A(6,0),B(3,)代入y=ax2+4x+c, 得,, 解得,a,c=﹣6, ∴该抛物线解析式为:yx2+4x﹣6; (2)将A(6,0),B(3,)代入y=kx+b, 得,, 解得,k,b=3, ∴yABx+3, 当x=0时,y=3, ∴D(0,3),OD=3, 在抛物线yx2+4x﹣6中, 当x=0时,y=﹣6, ∴C(0,﹣6),OC=6, ∴DC=OC+OD=9, ∵A(6,0), ∴OA=6, ∴S△ADCDC?OA=27; (3)由(2)知,OC=OA=6, ∴△AOC为等腰直角三角形, ∴∠OAC=∠OCA=45°,ACOA=6, 如图所示,连接OP,过点P作PH⊥OA于H, 则△PHA为等腰直角三角形, ①当△DCA∽△OAP时, , 即, ∴AP=4, ∴HP=HAAP=4,OH=OA﹣HA=2, ∴P(2,﹣4); ②当△DCA∽△PAO时, , 即, ∴PA, ∴HP=HA, ∴OH=OA﹣AH, ∴P(,), 综上所述,点P的坐标为(2,﹣4)或(,). 【点评】本题考查了待定系数法求解析式,在二次函数图象中求三角形的面积,三角形相似的判定等,解题的关键是对于两个三角形在只有一组角相等时要分类讨论相似情况. 31.(2019?普陀区二模)在平面直角坐标系xOy中,直线yx+4m(m>0)与x轴、y轴分别交于点A、B,如图所示,点C在线段AB的延长线上,且AB=2BC. (1)用含字母m的代数式表示点C的坐标; (2)抛物线ybx+10经过点A、C,求此抛物线的表达式; (3)在位于第四象限的抛物线上,是否存在这样的点P:使S△PAB=2S△OBC,如果存在,求出点P的坐标,如果不存在,试说明理由. 【答案】解:(1)yx+4m,令x=0,则y=4m,令y=0,则x=6m, 即点A、B的坐标分别为(6m,0)、(0,4m), 则AB=2m,BCm, 过点C作CH⊥x轴交于点H, tan∠BAO,则sin∠BAO, 则CH=AC?sin∠BAO=3m6m, 同理HO=3m, 故点C(﹣3m,6m); (2)将点A、C坐标代入函数表达式得:,解得:, 故抛物线的表达式为:yx+10; (3)2S△OBC=2OB×OH=4×3=12, m=1时,点A、B的坐标为(6,0)、(0,4), 连接AP、BP,过点A作AG∥y轴交BP于点G, 设:点P坐标为(s,t),则:ts2s+10…①, 直线BP的表达式为:yx+4,则点G(6,) S△PABAG×s()×s=2S△OBC=12…②, 联立①②并解得:s(舍去负值), 故点P坐标为(,). 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来,利用点的坐标的意义表示线段的长度,从而求出线段之间的关系. 32.(2019?奉贤区二模)如图,已知平面直角坐标系xOy,抛物线y=ax2+bx+2与x轴交于点A(﹣2,0)和点B(4,0). (1)求这条抛物线的表达式和对称轴; (2)点C在线段OB上,过点C作CD⊥x轴,垂足为点C,交抛物线与点D,E是BD中点,联结CE并延长,与y轴交于点F. ①当D恰好是抛物线的顶点时,求点F的坐标; ②联结BF,当△DBC的面积是△BCF面积的时,求点C的坐标. 【答案】解:(1)由题意得,抛物线y=ax2+bx+2经过点A(﹣2,0)和点B(4,0), 代入得,解得. 因此,这条抛物线的表达式是y. 它的对称轴是直x=1. (2)①由抛物线的表达式y,得顶点D的坐标是(1,). ∴DC,OC=1,BC=4﹣1=3. ∵D是抛物线顶点,CD⊥x轴,E是BD中点, ∴CE=BE. ∴∠EBC=∠ECB. ∵∠ECB=∠OCF,∴∠EBC=∠OCF. 在Rt△DCB中,∠DCB=90°,cot∠EBC. 在Rt△OFC中,∠FOC=90°,cot∠OCF. ∴,OF. ∴点F的坐标是(0,). ②∵S△DBC,S△BCF,∴. ∵△DBC的面积是△BCF面积的,∴. 由①得∠BDC=∠OFC,又∠DCB=∠FOC=90°, ∴△DCB∽△FOC. ∴. 又OB=4, ∴, ∴OC. 即点C坐标是(,0). 【点评】本题主要考查抛物线与x轴交点、二次函数性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求函数解析式. 33.(2019?涟源市模拟)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线yx2+bx+c与直线yx﹣3分别交x轴、y轴上的B、C两点,设该抛物线与x轴的另一个交点为点A,顶点为点D,连接CD交x轴于点E. (1)求该抛物线的表达式及点D的坐标; (2)求∠DCB的正切值; (3)如果点F在y轴上,且∠FBC=∠DBA+∠DCB,求点F的坐标. 【答案】解:(1)yx﹣3,令y=0,则x=6,令x=0,则y=﹣3, 则点B、C的坐标分别为(6,0)、(0,﹣3),则c=﹣3, 将点B坐标代入抛物线yx2+bx﹣3得:036﹣6b﹣3,解得:b=2, 故抛物线的表达式为:yx2+2x﹣3,令y=0,则x=6或﹣2, 即点A(2,0),则点D(4,1); (2)过点E作EH⊥BC交于点H, C、D的坐标分别为:(0,﹣3)、(4,1), 直线CD的表达式为:y=x﹣3,则点E(3,0), tan∠OBC,则sin∠OBC, 则EH=EB?sin∠OBC, CE=3,则CH, 则tan∠DCB; (3)点A、B、C、D、E的坐标分别为(2,0)、(6,0)、(0,﹣3)、(4,1)、(3,0), 则BC=3, ∵OE=OC,∴∠AEC=45°, tan∠DBE, 故:∠DBE=∠OBC, 则∠FBC=∠DBA+∠DCB=∠AEC=45°, ①当点F在y轴负半轴时, 过点F作FG⊥BG交BC的延长线与点G, 则∠GFC=∠OBC=α, 设:GF=2m,则CG=CGtanα=m, ∵∠CBF=45°,∴BG=GF, 即:3m=2m,解得:m=3, CFm=15, 故点F(0,﹣18); ②当点F在y轴正半轴时, 同理可得:点F(0,2); 故:点F坐标为(0,2)或(0,﹣18). 【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、解直角三角形等相关知识,其中(3),确定∠FBC=∠DBA+∠DCB=∠AEC=45°,是本题的突破口. 34.(2019?闵行区二模)已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(1,0)、B(3,0),且与y轴的公共点为点C. (1)求抛物线的解析式,并求出点C的坐标; (2)求∠ACB的正切值; (3)点E为线段AC上一点,过点E作EF⊥BC,垂足为点F.如果,求△BCE的面积. 【答案】解:(1)由题意,得,解得:, 故抛物线的表达式为:y=﹣x2+4x﹣3, 则点C的坐标为(0,﹣3); (2)联结AC、BC.过点A作AH⊥BC,垂足为点H. ∵B(3,0),C(0,3), ∴OB=OC=3, BC3, 在Rt△BOC和Rt△BHA中,∠AHB=∠COB=90°. ∴cos∠ABH,∴BH, 则AH,CH=2, 在Rt△ACH中,∠AHC=90°, ∴tan∠ACB; (3)联结BE.设EF=a. 由得:得 BF=4a, 又∵tan∠ACB, ∴CF=2a, ∴BC=BF+FC=6a, ∴6a=3, 解得:a, 即:EF, ∴S△BCECB×EF. 【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到解直角三角形、面积的计算等知识,难度不大. 35.(2019?金山区二模)已知:抛物线y=﹣x2+bx+c,经过点A(﹣1,﹣2),B(0,1). (1)求抛物线的关系式及顶点P的坐标. (2)若点B′与点B关于x轴对称,把(1)中的抛物线向左平移m个单位,平移后的抛物线经过点B′,设此时抛物线顶点为点P′. ①求∠P′BB′的大小. ②把线段P′B′以点B′为旋转中心顺时针旋转120°,点P′落在点M处,设点N在(1)中的抛物线上,当△MNB′的面积等于6时,求点N的坐标. 【答案】解:(1)把点A、B坐标代入抛物线表达式得:,解得:, 则抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+1=﹣(x﹣1)2+2, 故顶点P的坐标为(1,2); (2)①设抛物线平移后为y=﹣(x﹣1+m)2+2,代入点B′(0,﹣1)得: ﹣1=﹣(m﹣1)2+2,解得:m=1(舍去负值), 则y=﹣(x)2+2,则顶点P′(,2), 连结P′B、P′B′,作P′H⊥y轴交于点H, 则:P′H,HB=1,BP′2, ∵tan∠P′BH, ∴∠P′BH=60°, ∴∠P′BB′=180°﹣60°=120°, ②∵BB′=2,P′B=2,即BB′=P′B, ∴∠BP′B′=∠P′B′B=30°; ∵线段P′B′围绕B′旋转120°,点P′落在M处, ∴∠OB′M=90°,B′M=B′P′, ∴MB′∥x轴,MB′=B′P′=2, 设:△MNB′在MB′边上的高为h,则S△MNB′B′M?h=6,解得:h=6, 设:N(a,﹣7)或(a,5)分别代入y=﹣x2+2x+1得:﹣7=﹣a2+2a+1, 解得:a=4或﹣2; 5=﹣a2+2a+1,△=b2﹣4ac<0,故方程无实数根, 故:a=4或﹣2,即点N(4,﹣7)或(﹣2,﹣7). 【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、点的对称性、图象平移等,其中(2)②,通过求解∠P′BB′=60°,得到点P′落在M处且MB′∥x轴,是本题的关键. 36.(2019?崇明区二模)如图,抛物线y=x2+bx+c交x轴于点A(1,0)和点B,交y轴于点C(0,3). (1)求抛物线的解析式; (2)在抛物线上找出点P,使PC=PO,求点P的坐标; (3)将直线AC沿x轴的正方向平移,平移后的直线交y轴于点M,交抛物线于点N.当四边形ACMN为等腰梯形时,求点M、N的坐标. 【答案】解:(1)把点A(1,0)、C(0,3)代入二次函数表达式得:, 解得:, 则抛物线的表达式为:y=x2﹣4x+3; (2)如下图,过P作PH⊥OC,垂足为H, ∵PO=PC,PH⊥OC,则:CH=OH, ∴x2﹣4x+3,解得:x=2, 故点P(2)或(2); (3)如下图,连接NA并延长交OC于G ∵四边形ACMN为等腰梯形,且AC∥MN, ∴∠ANM=∠CMN,∠ANM=∠GAC,∠GCA=∠CMN, ∴∠GAC=∠GCA,∴GA=GC 设GA=x,则GC=x,OG=3﹣x 在Rt△OGA中,OA 2+OG 2=AG 2 ∴1 2+( 3﹣x )2=x 2,解得x= ∴OG=3﹣x= ,∴G(0,) 直线AG的解析式为y=﹣ x+ 令﹣ x+ =x 2﹣4x+3, 解得x1=1(舍去),x2= ∴N( ,﹣ ), ∴CM=AN , ∴OM=OC+CM=3+ = , ∴M(0,), ∴存在M(0,)、N( ,﹣ )使四边形ACMN为等腰梯形. 【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到等腰梯形、一次函数、解直角三角形等知识,其中(3),利用等腰梯形性质得到GA=GC,利用勾股定理求解点G的坐标是本题的难点. 37.(2019?杨浦区二模)已知开口向下的抛物线y=ax2﹣2ax+2与y轴的交点为A,顶点为B,对称轴与x轴的交点为C,点A与点D关于对称轴对称,直线BD与x轴交于点M,直线AB与直线OD交于点N. (1)求点D的坐标; (2)求点M的坐标(用含a的代数式表示); (3)当点N在第一象限,且∠OMB=∠ONA时,求a的值. 【答案】解:(1)令x=0,y=2, ∴A(0,2), 1,当x=1时,y=2﹣a, ∴B(1,2﹣a),C(1,0), ∵点A与点D关于对称轴对称,对称轴为直线x=1, ∴D(2,2). (2)设直线BD的解析式为y=kx+b,代入点B、D, , 解得, ∴y=ax+2﹣2a, 令y=0,解得x=2, ∴M(2,0). (3)如图1所示, ∵∠OMB=∠ONA,∠ODM=∠BDN ∴∠NBD=∠DOM=45°, 作DG垂直AN于点G,设DG=m,则BG=m, ∴AB=BDm, ∵tan∠DAG1, ∴tan∠DAG, ∵B(1,2﹣a),H(1,2) ∴BH=﹣a,AH=1, 即1, ∴a=1. 【点评】此题考查了抛物线的性质,待定系数法求函数解析式,几何图形与二次函数结合问题,考查了学生自己动手画图的能力. 38.(2019?黄浦区二模)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点O(0,0)、A(2,0),直线y=2x经过抛物线的顶点B,点C是抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,联结BC、OC、AB,过点C作CE∥x轴,分别交线段OB、AB于点E、F. (1)求抛物线的表达式; (2)当BC=CE时,求证:△BCE∽△ABO; (3)当∠CBA=∠BOC时,求点C的坐标. 【答案】解:(1)∵抛物线y=ax2+bx+c经过原点O(0,0)、A(2,0), ∴对称轴为x=1, ∵直线y=2x经过抛物线的顶点B, ∴B(1,2), 设y=a(x﹣1)2+2, ∵抛物线经过原点O(0,0), ∴a=﹣2, ∴y=﹣2x2+4x. (2)∵BC=CE, ∴∠BEF=∠CBE, ∵CE∥x轴, ∴∠BEF=∠BOA, ∵B(1,2),A(2,0), ∴, ∴∠BOA=∠BAO, ∴∠CBE=∠BEF=∠BOA=∠BAO, ∴△BCE∽△ABO; (3)记CE与y轴交于点M,过点B作BN⊥CE,垂足为点N. 设C(m,﹣2m2+4m). ∵∠BEF=∠BOC+∠ECO,∠BFE=∠CBA+∠BCE, 又∠CBA=∠BOC,∠BEF=∠BFE, ∴∠ECO=∠BCE, ∴tan∠ECO=tan∠BCE. ∵CE∥x轴,x轴⊥y轴, ∴∠OMC=∠BNC=90°, ∴, ∴, ∴m1=1(舍),, ∴. 【点评】本题是二次函数的综合问题,解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式,相似三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点. 39.(2019?杨浦区一模)在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与y轴交于点C(0,2),它的顶点为D(1,m),且tan∠COD. (1)求m的值及抛物线的表达式; (2)将此抛物线向上平移后与x轴正半轴交于点A,与y轴交于点B,且OA=OB.若点A是由原抛物线上的点E平移所得,求点E的坐标; (3)在(2)的条件下,点P是抛物线对称轴上的一点(位于x轴上方),且∠APB=45°.求P点的坐标. 【答案】解:(1)顶点为D(1,m),且tan∠COD,则m=3, 则抛物线的表达式为:y=a(x﹣1)2+3,即:a+3=2,解得:a=﹣1, 故抛物线的表达式为:y=﹣x2+2x+2; (2)设:抛物线向上平移n个单位, 则函数表达式为:y=﹣x2+2x+2+n, 令y=0,则x=1,令x=0,则y=2+n, ∵OA=OB, ∴12+n,解得:n=1或﹣2(舍去﹣2), 则点A的坐标为(3,0),故点E(3,﹣1); (3)过点B、A分别作x轴、y轴的平行线交于点G, ∵OA=OB=3,则过点G作圆G,圆与x、y轴均相切, ∵∠BPA=45°∠BOA,故点P在圆G上, 过点P作PF⊥x轴交BG于点E,交x轴于点F, 则四边形AGEF为边长为3的正方形, 则:PF=EF+PE=333. 【点评】本题考查了二次函数的综合题,涉及到一次函数、圆的基本等知识点,其中(3),构建圆G是本题的突破点,本题有一点难度. 40.(2019?杨浦区模拟)已知,如图1,二次函数y=ax2+2ax﹣3a(a≠0)图象的顶点为C与x轴交于A、B两点(点A在点B左侧),点C、B关于过点A的直线l:y=kx对称. (1)求A、B两点坐标及直线l的解析式; (2)求二次函数解析式; (3)如图2,过点B作直线BD∥AC交直线l于D点,M、N分别为直线AC和直线l上的两个动点,连接CN,MM、MD,求CN+NM+MD的最小值. 【答案】解:(1)y=ax2+2ax﹣3a,令y=0,则x=﹣1或3, 即点A、B的坐标分别为(﹣3,0)、(1,0), 点A坐标代入y=kx得:0=﹣3k,解得:k, 即直线l的表达式为:yx①, 同理可得直线AC的表达式为:yx+3, 直线BD的表达式为:y②, 联立①②并解得:x=3,在点D的坐标为(3,2); (2)设点C的坐标为(﹣1,m),点C、B关于过点A的直线l:y=kx对称得AC2=AB2, 即:(﹣3+1)2+m2=16,解得:m(舍去负值),点C(1,2), 将点C的坐标代入二次函数并解得:a, 故二次函数解析式为:yx2x; (3)连接BC,则CN+MN的最小值为MB(即:M、N、B三点共线), 作D点关于直线AC的对称点Q交y轴于点E,则MB+MD的最小值为BQ(即:B、M、Q三点共线), 则CN+MN+MD的最小值=MB+MD的最小值=BQ, ∵DQ⊥AC,AC∥BD,∴∠QDB=90°, 作DF⊥x轴交于点F, DF=ADsin∠DAF=42, ∵B、C关于直线l对称,即直线l是∠EAF的平分线, ∴ED=FD=2, 则QD=4,BD=4, ∴BQ8, 即CN+NM+MD的最小值为8. 【点评】本题为二次函数综合运用,考查的是点的对称性、一次函数等知识点,其中(3)求CN+NM+MD的最小值难度很大,主要是利用两次点的对称求解,本题难度较大. 41.(2019?宝山区一模)如图,已知:二次函数y=x2+bx的图象交x轴正半轴于点A,顶点为P,一次函数yx﹣3的图象交x轴于点B,交y轴于点C,∠OCA的正切值为. (1)求二次函数的解析式与顶点P坐标; (2)将二次函数图象向下平移m个单位,设平移后抛物线顶点为P′,若S△ABP=S△BCP,求m的值. 【答案】解:(1)∵yx﹣3, ∴x=0时,y=﹣3, 当y=0时,x﹣3=0,解得x=6, ∴点B(6,0),C(0,﹣3), ∵tan∠OCA, ∴OA=2,即A(2,0), 将A(2,0)代入y=x2+bx,得4+2b=0, 解得b=﹣2, ∴y=x2﹣2x=(x﹣1)2﹣1, 则抛物线解析式为y=x2﹣2x,顶点P的坐标为(1,﹣1); (2)如图, 由平移知点P′坐标为(1,﹣1﹣m), 设抛物线对称轴与x轴交于点H,与BC交于点M,则M(1,), S△ABP′AB?P′H4(m+1)=2(m+1), S△BCP′=S△P′MC+S△P′MBP′M?OB|﹣1﹣m|×6=3|m|, ∴2(m+1)=3|m|, 解得m或m. 【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式,二次函数的图象与性质及三角函数的应用等知识点. 42.(2019?随县模拟)如图,在平面直角坐标系中,顶点为M的抛物线C1:y=ax2+bx(a<0)经过点A和x轴上的点B,AO=OB=2,∠AOB=120°. (1)求该抛物线的表达式; (2)联结AM,求S△AOM; (3)将抛物线C1向上平移得到抛物线C2,抛物线C2与x轴分别交于点E、F(点E在点F的左侧),如果△MBF与△AOM相似,求所有符合条件的抛物线C2的表达式. 【答案】解:(1)∵抛物线C1:y=ax2+bx(a<0)经过点A和x轴上的点B,AO=OB=2,∠AOB=120°, ∴点B(2,0),点A(﹣1,), ∴,得, ∴该抛物线的解析式为y; (2)连接MO,AM,AM与y轴交于点D, ∵y, ∴点M的坐标为(1,), 设过点A(﹣1,),M(1,)的直线解析式为y=mx+n, ,得, ∴直线AM的函数解析式为yx, 当x=0时,y, ∴点D的坐标为(0,), ∴OD, ∴S△AOM=S△AOD+S△MOD; (3)当△AOM∽△FBM时, , ∵OA=2,点O(0,0),点M(1,),点B(2,0), ∴OM,BM, ∴, 解得,BF=2, ∴点F的坐标为(4,0), 设抛物线C2的函数解析式为:yc, ∵点F(4,0)在抛物线C2上, ∴0c,得c, ∴抛物线C2的函数解析式为:y3; 当△AOM∽△MBF时, , ∵OA=2,点O(0,0),点M(1,),点B(2,0), ∴OM,BM, ∴, 解得,BF, ∴点F的坐标为(,0), 设抛物线C2的函数解析式为:yd, ∵点F(,0)在抛物线C2上, ∴0,得d, ∴抛物线C2的函数解析式为:y. 【点评】本题是一道二次函数综合题,解答本题的关键是明确题意,求出相应的函数解析式,作出合适的辅助线,找出所求问题需要的条件,利用分类讨论和数形结合的思想解答. 43.(2019?金山区一模)已知抛物线y=x2+bx+c经过点A(0,6),点B(1,3),直线l1:y=kx(k≠0),直线l2:y=﹣x﹣2,直线l1经过抛物线y=x2+bx+c的顶点P,且l1与l2相交于点C,直线l2与x轴、y轴分别交于点D、E.若把抛物线上下平移,使抛物线的顶点在直线l2上(此时抛物线的顶点记为M),再把抛物线左右平移,使抛物线的顶点在直线l1上(此时抛物线的顶点记为N). (1)求抛物线y=x2+bx+c的解析式. (2)判断以点N为圆心,半径长为4的圆与直线l2的位置关系,并说明理由. (3)设点F、H在直线l1上(点H在点F的下方),当△MHF与△OAB相似时,求点F、H的坐标(直接写出结果). 【答案】解:(1)把点A、B坐标代入y=x2+bx+c得:,解得:, 则抛物线的表达式为:y=x2﹣4x+6; (2)y=x2﹣4x+6=(x﹣2)2+2, 故顶点坐标为(2,2), 把点P坐标代入直线l1表达式得:2=2k,即k=1, ∴直线l1表达式为:y=x, 设:点M(2,m)代入直线l2的表达式得:m=﹣4, 即点M的坐标为(2,﹣4), 设:点N(n,﹣4)代入直线l1表达式得:n=﹣4, 则点N坐标为(﹣4,﹣4), 同理得:点D、E的坐标分别为(﹣2,0)、(0,﹣2)、 联立l1、l2得,解得:,即:点C的坐标为(﹣1,﹣1), ∴OC,CEOC, ∵点C在直线y=x上,∴∠COE=∠OEC=45°, ∴∠OCE=90°,即:NC⊥l2, NC34, ∴以点N为圆心,半径长为4的圆与直线l2相离; (3)①当点F在直线l2下方时, 设:∠OBK=α,点A、B的坐标分别为(0,6),(1,3), 则AO=6,AB=BO, 过点B作BL⊥y轴交于点L,则tan∠OAB,sin∠OAB, OK=AOsin∠OAB6,sinα, ∵等腰△MHF和等腰△OAB相似, ∴∠HFM=∠ABO,则∠KBO=∠OFM=α, 点C、M的坐标分别为(﹣1,﹣1)、(2,﹣4), 则CM=3,FM5,CF=4, OF=OC+FC=5,则点F的坐标为(﹣5,﹣5), ∵FH=FM=5, OH=OF+FH=10,则点H的坐标为(﹣10,﹣10); ②当点F在直线l2上方时, 同理可得点F的坐标为(8,8),点H的坐标为(3,3)或(﹣10,10); 故:点F、H的坐标分别为(﹣5,﹣5)、(﹣10,﹣10)或(8,8)、(3,3)或(8,8)、(﹣10,﹣10). 【点评】本题考查的是二次函数综合运用,难点在(3),利用等腰三角形相似得出∠KBO=∠OFM=α,再利用解直角三角形的方法求线段的长度,从而求解. 44.(2019?普陀区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx﹣3(a≠0)与x轴交于点A(﹣1,0)和点B,且OB=3OA,与y轴交于点C,此抛物线顶点为点D. (1)求抛物线的表达式及点D的坐标; (2)如果点E是y轴上的一点(点E与点C不重合),当BE⊥DE时,求点E的坐标; (3)如果点F是抛物线上的一点.且∠FBD=135°,求点F的坐标. 【答案】解:(1)OB=3OA=3,则点B的坐标为(3,0), 将点A、B的坐标代入二次函数表达式得:,解得:, 则抛物线的表达式为:y=x2﹣2x﹣3…① 函数对称轴为x1,则点D的坐标为(1,﹣4); (2)如图,过点D作DL⊥y轴,交于点E, 设:OE=m,则EL=4﹣m,OB=3,DL=1, ∵∠LED+∠OEB=90°,∠OEB+∠OBE=90°, ∴∠LED=∠OBE, ∴tan∠LED=tan∠OBE, 即:,, 解得:m=1或3(舍去x=3), 则点E的坐标为(0,﹣1); (3)延长BD交y轴于点H,将△BCH围绕点B, 顺时针旋转135°至△BC′H′的位置,延长BH′交抛物线于点F, ∵OB=OC=3, ∴∠OCB=∠OBC=45°, 则∠FBD=135°,BC′⊥x轴,则点C′(3,3), ∠H′C′B=∠HCB=180°﹣45°=135°, tan∠ABD2, OH=OB?tan∠ABD=2×3=6, 则:HC=6﹣3=3=H′C′, 过点C′作C′G⊥GH′交于点G, 在△BGH′中,GC′=H′C′cos45°GH′, 则点H′的坐标为(3,), 将点H′、B的坐标代入一次函数表达式y=kx+b得: ,解得:, 则直线BH′的表达式为:y=﹣3x+9…②, 联立①②并解得:x=3或﹣4(x=3舍去), 故点F的坐标为(﹣4,21). 【点评】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到解直角三角形、图形旋转等知识,其中(3)用图形旋转的方法,确定旋转后图形的位置时本题的难点. 45.(2019?浦东新区一模)如图,在平面直角坐标系xOy中,直线yx+b与x轴相交于点A,与y轴相交于点B,抛物线y=ax2﹣4ax+4经过点A和点B,并与x轴相交于另一点C,对称轴与x轴相交于点 D. (1)求抛物线的表达
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  • 资料类型: 试卷
  • 资料版本:人教版
  • 适用地区:上海市
  • 文件大小:1.04M
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