[ID:3-6046848] 2019版初中数学综合复习第7讲-《一次方程(组)》(含详细参考答案)
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???学生用书+详细参考答案和教师用书??? 把握命题趋势,提高复习效率,提升解题能力,打造中考高分! 2019版初中数学综合复习精品专题 第二章 方程与不等式 第七讲 一次方程(组) ★★★核心知识回顾★★★ 知识点一、等式的概念及性质 1.等式:用“=”连接表示 关系的式子叫做等式。 2.等式的性质: 性质1:等式两边都加(减) 所得结果仍是等式,即: 若a=b,那么a±c= b±c 。 性质2:等式两边都乘以或除以 (除数不为0)所得结果仍是等式 即: 若a=b,那么ac= bc ,若a=b(c≠0)那么。 知识点二、方程的有关概念 1.含有未知数的 叫做方程 2.使方程左右两边相等的 的值,叫做方程的解。 3.求方程中的 叫做解方程。 4.一个方程两边都是关于未知数的 的方程,这样的方程叫做整式方程。 知识点三、一元一次方程及其解法 1.定义:只含有一个未知数,并且未知数的次数都是 的 方程叫做一元一次方程,一元一次方程一般可以化成 的形式。 2.解一元一次方程的一般步骤: (1)去 ; (2)去 ; (3)移项; (4) ; (5)系数化为 。 知识点四、二元一次方程(组)及其解法 1.二元一次方程的一般形式: (a,b,c是常数,a≠0,b≠0); 2.由几个含有相同未知数的 合在一起,叫做二元一次方程组; 3.二元一次方程组中两个方程的 叫做二元一次方程组的解; 4.解二元一次方程组的基本思路是: ,即变“二元”为“一元”,其方法有两种,即 和 ,当方程组中某个方程的系数比较简单(最好系数为1)时用 为宜;当两个方程的某一个未知数的系数的绝对值相等时,用 为宜;不具备上述条件,可以通过适当变形,用加减消元法求解。 知识点五、一次方程组的应用 列方程(组)解应用题的一般步骤是: 1.审:弄清题意,分清题目中的已知量和未知量; 2.设:直接或间接设未知数; 3.列:根据题意寻找等量关系列方程(组); 4.解:解这个方程(组),求出未知数的值; 5.验:检验方程(组)的解是否符合题意; 6.答:写出答案(包括单位名称)。 ★★★中考典例剖析★★★ 考点一、解一元一次方程 例1(2018?攀枝花)解方程:. 【思路分析】方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数6,切勿漏乘不含有分母的项,另外分数线有两层意义,一方面它是除号,另一方面它又代表着括号,所以在去分母时,应该将分子用括号括上. 【解答】解:去分母得:3(x-3)-2(2x+1)=6, 去括号得:3x-9-4x-2=6, 移项得:-x=17, 系数化为1得:x=-17. 【点评】注意:在去分母时,应该将分子用括号括上.切勿漏乘不含有分母的项. 【跟踪训练】 1.解方程:. 考点二、二元一次方程(组) 例2 (2017?天津)方程组 的解是(  ) A. B. C. D. 【思路分析】利用代入法求解即可. 【解答】解: , ①代入②得,3x+2x=15, 解得x=3, 将x=3代入①得,y=2×3=6, 所以,方程组的解是. 故选:D. 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法. 例3 (2018?扬州)对于任意实数a,b,定义关于“?”的一种运算如下:a?b=2a+b.例如3?4=2×3+4=10. (1)求2?(-5)的值; (2)若x?(-y)=2,且2y?x=-1,求x+y的值. 【思路分析】(1)依据关于“?”的一种运算:a?b=2a+b,即可得到2?(-5)的值; (2)依据x?(-y)=2,且2y?x=-1,可得方程组,即可得到x+y的值. 【解答】解:(1)∵a?b=2a+b, ∴2?(-5)=2×2+(-5)=4-5=-1; (2)∵x?(-y)=2,且2y?x=-1, ∴, ②×2-①,得 ,解得 , 将代入②得 , 所以原方程组的解为, ∴. 【点评】本题主要考查解二元一次方程组以及有理数的混合运算的运用,根据题意列出方程组是解题的关键. 跟踪训练 2.(2018?湘西州)解方程组:。 3.(2018?舟山)用消元法解方程组时,两位同学的解法如下: 解法一: 由①-②,得3x=3. 解法二: 由②,得3x+(x-3y)=2,③ 把①代入③,得3x+5=2. (1)反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“ד. (2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答. 考点三、一次方程(组)的应用 命题角度①:一元一次方程的应用 例4 (2018?通辽)一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,则商店卖这两件商品总的盈亏情况是(  ) A.亏损20元 B.盈利30元 C.亏损50元 D.不盈不亏 【思路分析】设盈利的商品的进价为x元,亏损的商品的进价为y元,根据销售收入-进价=利润,即可分别得出关于x、y的一元一次方程,解之即可得出x、y的值,再由两件商品的销售收入-成本=利润,即可得出商店卖这两件商品总的亏损20元. 【解答】解:设盈利的商品的进价为x元,亏损的商品的进价为y元, 根据题意得:150-x=25%x,150-y=-25%y, 解得:x=120,y=200, ∴150+150-120-200=-20(元). 故选:A. 【点评】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键. 跟踪训练 4.(2018?恩施州)一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖中,这家商店(  ) A.不盈不亏 B.盈利20元 C.亏损10元 D.亏损30元 命题角度②:二元一次方程的应用 例5 (2018?咸宁)为拓宽学生视野,引导学生主动适应社会,促进书本知识和生活经验的深度融合,我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动,在参加此次活动的师生中,若每位老师带17个学生,还剩12个学生没人带;若每位老师带18个学生,就有一位老师少带4个学生.现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表所示. 甲种客车 乙种客车 载客量/(人/辆) 30 42 租金/(元/辆) 300 400 学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元,为了安全,每辆客车上至少要有2名老师. (1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人? (2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆客车上至少要有2名老师,可知租用客车总数为 辆; (3)你能得出哪几种不同的租车方案?其中哪种租车方案最省钱?请说明理由. 【思路分析】(1)设出老师有x名,学生有y名,得出二元一次方程组,解出即可; (2)根据汽车总数不能小于(取整为8)辆,即可求出; (3)设租用x辆乙种客车,则甲种客车数为:(8-x)辆,由题意得出400x+300(8-x)≤3100,得出x取值范围,分析得出即可. 【解答】解:(1)设老师有x名,学生有y名. 依题意,列方程组为 , 解之得: , 答:老师有16名,学生有284名; (2)∵每辆客车上至少要有2名老师, ∴汽车总数不能大于8辆; 又要保证300名师生有车坐,汽车总数不能小于(取整为8)辆, 综合起来可知汽车总数为8辆; 故答案为:8; (3)设租用x辆乙种客车,则甲种客车数为:(8-x)辆, ∵车总费用不超过3100元, ∴400x+300(8-x)≤3100, 解得:x≤7, 为使300名师生都有座, ∴42x+30(8-x)≥300, 解得:x≥5, ∴5≤x≤7(x为整数), ∴共有3种租车方案: 方案一:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆,租车费用为2900元; 方案二:租用甲种客车2辆,乙种客车6辆,租车费用为3000元; 方案三:租用甲种客车1辆,乙种客车7辆,租车费用为3100元; 故最节省费用的租车方案是:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆. 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用与一次不等式的综合应用,由题意得出租用x辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键. 跟踪训练 5.(2018?黄石)小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏,规定:一局比赛后,胜者得3分,负者得-1分,平局两人都得0分,小光和小王都制订了自己的游戏策略,并且两人都不知道对方的策略. 小光的策略是:石头、剪子、布、石头、剪子、布、…… 小王的策略是:剪子、随机、剪子、随机……(说明:随机指石头、剪子、布中任意一个) 例如,某次游戏的前9局比赛中,两人当时的策略和得分情况如下表 局数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 小光实际策略 石头 剪子 布 石头 剪子 布 石头 剪子 布 小王实际策略 剪子 布 剪子 石头 剪子 剪子 剪子 石头 剪子 小光得分 3 3 -1 0 0 -1 3 -1 -1 小王得分 -1 -1 3 0 0 3 -1 3 3 已知在另一次游戏中,50局比赛后,小光总得分为-6分,则小王总得分为 分. 命题角度③:二元一次方程组的应用 例6(2018?烟台)为提高市民的环保意识,倡导“节能减排,绿色出行”,某市计划在城区投放一批“共享单车”.这批单车分为A,B两种不同款型,其中A型车单价400元,B型车单价320元. (1)今年年初,“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动.投放A,B两种款型的单车共100辆,总价值36800元.试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆? (2)试点投放活动得到了广大市民的认可,该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开.按照试点投放中A,B两车型的数量比进行投放,且投资总价值不低于184万元.请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆? 【思路分析】(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆,根据“两种款型的单车共100辆,总价值36800元”列方程组求解可得; (2)由(1)知A、B型车辆的数量比为3:2,据此设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆,根据“投资总价值不低于184万元”列出关于a的不等式,解之求得a的范围,进一步求解可得. 【解答】解:(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆, 根据题意,得: , 解得: , 答:本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆; (2)由(1)知A、B型车辆的数量比为3:2, 设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆, 根据题意,得:3a×400+2a×320≥1840000, 解得:a≥1000, 即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆, 则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000× =3辆、至少享有B型车2000×=2辆. 【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用,解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系,并据此列出方程组. 跟踪训练 6.(2018?常德)某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元,其中甲种水果8元/千克,乙种水果18元/千克.6月份,这两种水果的进价上调为:甲种水果10元千克,乙种水果20元/千克. (1)若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同,将多支付货款300元,求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克? (2)若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克,且甲种水果不超过乙种水果的3倍,则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元? ★★★真题达标演练★★★ 一、选择题 1.(2018?遂宁)二元一次方程组 的解是(  ) A. B. C. D. 2.(2018?乐山)方程组的解是(  ) A. B. C. D. 3.(2018?桂林)若,则x,y的值为(  ) A. B. C. D. 4.(2018?临安区)中央电视台2套“开心辞典”栏目中,有一期的题目如图所示,两个天平都平衡,则三个球体的重量等于(  )个正方体的重量. A.2 B.3 C.4 D.5 5.(2018?台州)甲、乙两运动员在长为100m的直道AB(A,B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练,两人同时从A点起跑,到达B点后,立即转身跑向A点,到达A点后,又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s,乙跑步的速度为4m/s,则起跑后100s内,两人相遇的次数为(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 6.(2018?邵阳)程大位是我国明朝商人,珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著,详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法.书中有如下问题: 一百馒头一百僧,大僧三个更无争, 小僧三人分一个,大小和尚得几丁. 意思是:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完,大、小和尚各有多少人,下列求解结果正确的是(  ) A.大和尚25人,小和尚75人 B.大和尚75人,小和尚25人 C.大和尚50人,小和尚50人 D.大、小和尚各100人 7.(2018?武汉)将正整数1至2018按一定规律排列如下表: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 …… 平移表中带阴影的方框,方框中三个数的和可能是(  ) A.2019 B.2018 C.2016 D.2013 8.(2018?河南)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三,问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y钱,根据题意,可列方程组为(  ) A. B. C. D. 9.(2018?齐齐哈尔)某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张,联系青年志愿者在周日参与活动,活动累计56个小时的工作时间,需要每名男生工作5个小时,每名女生工作4个小时,小张可以安排学生参加活动的方案共有(  ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 10.(2018?东营)小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场,气球的种类有笑脸和爱心两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同.由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为(  ) A.19 B.18 C.16 D.15 11.(2018?牡丹江)如图,在长为15,宽为12的矩形中,有形状、大小完全相同的5个小矩形,则图中阴影部分的面积为(  ) A.35 B.45 C.55 D.65 12.(2018?常德)阅读理解:a,b,c,d是实数,我们把符号 称为2×2阶行列式,并且规定:=a×d-b×c,例如: =3×(-2)-2×(-1)=-6+2=-4.二元一次方程组 的解可以利用2×2阶行列式表示为:;其中D= ,Dx= ,Dy= . 问题:对于用上面的方法解二元一次方程组 时,下面说法错误的是(  ) A.D==-7 B.Dx=-14 C.Dy=27 D.方程组的解为 二、填空题 13.(2018?淮安)若关于x、y的二元一次方程3x-ay=1有一个解是 ,则a= . 14、(2018?枣庄)若二元一次方程组 的解为 ,则a-b= . 15.(2018?无锡)方程组 的解是 . 16.(2018?牡丹江)小明按标价的八折购买了一双鞋,比按标价购买节省了40元,这双鞋的实际售价为 元. 17.(2018?呼和浩特)文具店销售某种笔袋,每个18元,小华去购买这种笔袋,结账时店员说:“如果你再多买一个就可以打九折,价钱比现在便宜36元”,小华说:“那就多买一个吧,谢谢,”根据两人的对话可知,小华结账时实际付款 元. 18.(2018?襄阳)我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,译文为:“现有几个人共同购买一个物品,每人出8元,则多3元;每人出7元,则差4元.问这个物品的价格是多少元?”该物品的价格是 元. 19.(2018?随州)已知 是关于x,y的二元一次方程组 的一组解,则a+b= . 20.(2018?滨州)若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ,则关于a、b的二元一次方程组 的解是 。 三、解答题 21.(2018?武汉)解方程组: 。 22.(2018?安徽)《孙子算经》中有这样一道题,原文如下: 今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问:城中家几何? 大意为: 今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完,问:城中有多少户人家? 请解答上述问题. 23.(2018?永州)在永州市青少年禁毒教育活动中,某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观,以下是小明和妈妈的对话,请根据对话内容,求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数. 24.(2018?聊城)建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方,原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要,公司抽调甲队外援施工,由乙队先单独施工40天后甲队返回,两队又共同施工了110天,这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方. (1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方? (2)在抽调甲队外援施工的情况下,为了保证150天完成任务,公司为乙队新购进了一批机械来提高效率,那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务? 25.(2018?随州)我们知道,有理数包括整数、有限小数和无限循环小数,事实上,所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数),那么无限循环小数如何表示为分数形式呢?请看以下示例: 例:将 化为分数形式, 由于=0.777…,设x=0.777…① 则10x=7.777…② ②-①得9x=7,解得x=,于是得=. 同理可得=, =1+ =1+=, 根据以上阅读,回答下列问题:(以下计算结果均用最简分数表示) 【基础训练】 (1) = ,= ; (2)将 化为分数形式,写出推导过程; 【能力提升】 (3)= ,= ; (注:=0.315315…,=2.01818…)。 【探索发现】 (4)①试比较与1的大小: 1(填“>”、“<”或“=”) ②若已知=,则= . (注:=0.285714285714…)。 ???详细参考答案??? 把握命题趋势,提高复习效率,提升解题能力,打造中考高分! 2019版初中数学综合复习精品专题 第二章 方程与不等式 第七讲 一次方程(组) ★★★核心知识回顾★★★ 知识点一、等式的概念及性质 1.等式:用“=”连接表示 左右两边相等 关系的式子叫做等式。 2.等式的性质: 性质1:等式两边都加(减) 一个数或式子 所得结果仍是等式,即: 若a=b,那么a±c= b±c 。 性质2:等式两边都乘以或除以 一个数或式子 (除数不为0)所得结果仍是等式 即: 若a=b,那么ac= bc ,若a=b(c≠0)那么。 知识点二、方程的有关概念 1.含有未知数的 等式 叫做方程 2.使方程左右两边相等的 未知数 的值,叫做方程的解。 3.求方程中的 解的过程 叫做解方程。 4.一个方程两边都是关于未知数的 整式 的方程,这样的方程叫做整式方程。 知识点三、一元一次方程及其解法 1.定义:只含有一个未知数,并且未知数的次数都是 1 的 整式 方程叫做一元一次方程,一元一次方程一般可以化成 ax-b=0(a≠0) 的形式。 2.解一元一次方程的一般步骤: (1)去 分母 ; (2)去 括号 ; (3)移项; (4) 合并同类项 ; (5)系数化为 1 。 知识点四、二元一次方程(组)及其解法 1.二元一次方程的一般形式: ax+by+c=0 (a,b,c是常数,a≠0,b≠0); 2.由几个含有相同未知数的 二元一次方程 合在一起,叫做二元一次方程组; 3.二元一次方程组中两个方程的 公共解 叫做二元一次方程组的解; 4.解二元一次方程组的基本思路是: 消元 ,即变“二元”为“一元”,其方法有两种,即 代入消元法 和 加减消元法 ,当方程组中某个方程的系数比较简单(最好系数为1)时用 代入消元法 为宜;当两个方程的某一个未知数的系数的绝对值相等时,用 加减消元法 为宜;不具备上述条件,可以通过适当变形,用加减消元法求解。 ★★★中考典例剖析★★★ 考点一、解一元一次方程 【跟踪训练】 1.解:去分母得:2x-3(30-x)=60, 去括号得:2x-90+3x=60, 移项合并得:5x=150, 把x系数化为1得:x=30. 考点二、二元一次方程(组) 跟踪训练 2.解:①+②得:4x=8, 解得:x=2, 把x=2代入①得:2+y=3, 解得:y=1, 所以原方程组的解为 . 3.解:(1)解法一中的解题过程有错误, 由①-②,得3x=3“×”, 应为由①-②,得-3x=3; (2)由①-②,得-3x=3,解得x=-1, 把x=-1代入①,得-1-3y=5,解得y=-2. 故原方程组的解是. 考点三、一次方程(组)的应用 命题角度①:一元一次方程的应用 跟踪训练 4.C 解:设两件衣服的进价分别为x、y元, 根据题意得:120-x=20%x,y-120=20%y, 解得:x=100,y=150, ∴120+120-100-150=-10(元). 故选:C. 命题角度②:二元一次方程的应用 跟踪训练 5.解:由二人的策略可知:每6局一循环,每个循环中第一局小光拿3分,第三局小光拿-1分,第五局小光拿0分. ∵50÷6=8(组)……2(局), ∴(3-1+0)×8+3=19(分). 设其它二十五局中,小光胜了x局,负了y局,则平了(25-x-y)局, 根据题意得:19+3x-y=-6, ∴y=3x+25. ∵x、y、(25-x-y)均非负, ∴x=0,y=25, ∴小王的总得分=(-1+3+0)×8-1+25×3=90(分). 故答案为:90. 命题角度③:二元一次方程组的应用 跟踪训练 6.解:(1)设该店5月份购进甲种水果x千克,购进乙种水果y千克, 根据题意得: , 解得: . 答:该店5月份购进甲种水果100千克,购进乙种水果50千克. (2)设购进甲种水果a千克,需要支付的货款为w元,则购进乙种水果(120-a)千克, 根据题意得:w=10a+20(120-a)=-10a+2400. ∵甲种水果不超过乙种水果的3倍, ∴a≤3(120-a), 解得:a≤90. ∵k=-10<0, ∴w随a值的增大而减小, ∴当a=90时,w取最小值,最小值-10×90+2400=1500. ∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元. ★★★真题达标演练★★★ 一、选择题 1.B 解: , 1 +②得:3x=6, 解得:x=2, 把x=2代入①得:y=0, 则方程组的解为, 故选:B. 2.D 解:由题可得,, 消去x,可得 2(4-y)=3y, 解得y=2, 把y=2代入2x=3y,可得 x=3, ∴方程组的解为. 故选:D. 3.D 解:由题意可知:, 解得:。 故选:D. 4.D 解:设一个球体重x,圆柱重y,正方体重z. 根据等量关系列方程2x=5y;2z=3y,消去y可得:x=z, 则3x=5z,即三个球体的重量等于五个正方体的重量. 故选:D. 5.B 解:设两人相遇的次数为x,依题意有x=100, 解得x=4.5, ∵x为整数, ∴x取4. 故选:B. 6.A 解:设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人, 根据题意得:, 解得x=25, 则100-x=100-25=75(人), 所以,大和尚25人,小和尚75人. 故选:A. 7.D 解:设中间数为x,则另外两个数分别为x-1、x+1, ∴三个数之和为(x-1)+x+(x+1)=3x. 根据题意得:3x=2019、3x=2018、3x=2016、3x=2013, 解得:x=673,x=672(舍去),x=672,x=671. ∵673=84×8+1, ∴2019不合题意,舍去; ∵672=84×8, ∴2016不合题意,舍去; ∵671=83×8+7, ∴三个数之和为2013. 故选:D. 8.A 解:设合伙人数为x人,羊价为y钱,根据题意,可列方程组为: . 故选:A. 9.C 解:设安排女生x人,安排男生y人, 依题意得:4x+5y=56, 则 . 当y=4时,x=9. 当y=8时,x=4. 当y=0时,x=14. 即安排女生9人,安排男生4人; 安排女生4人,安排男生8人. 安排女生14人,安排男生0人. 共有3种方案. 故选:C. 10.B 解:设一个笑脸气球的单价为x元/个,一个爱心气球的单价为y元/个, 根据题意得: , 方程(①+②)÷2,得:2x+2y=18. 故选:B. 11.B 解:设小矩形的长为x,宽为y, 根据题意得: , 解得: , ∴S阴影=15×12-5xy=45. 故选:B. 12.C 解:A、D==-7,正确; B、Dx==-2-1×12=-14,正确; C、Dy==2×12-1×3=21,不正确; D、方程组的解:x==2,y==-3,正确; 故选:C. 二、填空题 13.4 解:把代入方程得: 9-2a=1, 解得:a=4, 故答案为:4. 14. 解:将代入方程组,得: , 1 +②,得:4a-4b=7, 则a-b=, 故答案为:. 15. 解: , ②-①,得:3y=3, 解得:y=1, 将y=1代入①,得:x-1=2, 解得:x=3, 所以方程组的解为 , 故答案为:. 16.160 解:设这双鞋的标价为x元, 根据题意,得0.8x=x-40, x=200.200-40=160(元), 故答案是:160. 17.486 解:设小华购买了x个笔袋, 根据题意得:18(x-1)-18×0.9x=36, 解得:x=30, ∴18×0.9x=18×0.9×30=486. 答:小华结账时实际付款486元. 故答案为:486. 18.53 解:设该商品的价格是x元,共同购买该物品的有y人, 根据题意得: , 解得: . 故答案为:53. 19.5 解:∵是关于x,y的二元一次方程组的一组解, ∴ , 解得 , ∴a+b=5, 故答案为5. 20. 解:方法一: ∵关于x、y的二元一次方程组的解是, ∴将解代入方程组 ?? 可得m=-1,n=2 ∴关于a、b的二元一次方程组可整理为: , 解得: . 方法二: 关于x、y的二元一次方程组的解是, 由关于a、b的二元一次方程组, 可知 , 解得:, 故答案为: 三、解答题 21.解: , ②-①得:x=6, 把x=6代入①得:y=4, 则方程组的解为 . 22.解:设城中有x户人家, 依题意得:x+=100, 解得x=75. 答:城中有75户人家. 23.解:设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人,女生人数为y人, 依题意得: , 解得 , 答:小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人,女生人数为20人. 24.解:(1)设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方,乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方, 根据题意得: , 解得: . 答:甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方,乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方. (2)设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a万立方才能保证按时完成任务, 根据题意得:110×0.42+(40+110)×(0.38+a)≥120, 解得:a≥0.112. 答:乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务. 25.解:(1)由题意知 =,=5+=, 故答案为:、; (2)=0.232323……, 设x=0.232323……①, 则100x=23.2323……②, ②-①,得:99x=23, 解得:x=, ∴=; (3)同理= =, =2+×=, 故答案为:, (4)①==1, 故答案为:=。 ②+==4, ∴4-=4-=。 故答案为:。 ???教师用书??? 把握命题趋势,提高复习效率,提升解题能力,打造中考高分! 2019版初中数学综合复习精品专题 第二章 方程与不等式 第七讲 一次方程(组) ★★★核心知识回顾★★★ 知识点一、等式的概念及性质 1.等式:用“=”连接表示 左右两边相等 关系的式子叫做等式。 2.等式的性质: 性质1:等式两边都加(减) 一个数或式子 所得结果仍是等式,即: 若a=b,那么a±c= b±c 。 性质2:等式两边都乘以或除以 一个数或式子 (除数不为0)所得结果仍是等式 即: 若a=b,那么ac= bc ,若a=b(c≠0)那么。 知识点二、方程的有关概念 1.含有未知数的 等式 叫做方程 2.使方程左右两边相等的 未知数 的值,叫做方程的解。 3.求方程中的 解的过程 叫做解方程。 4.一个方程两边都是关于未知数的 整式 的方程,这样的方程叫做整式方程。 知识点三、一元一次方程及其解法 1.定义:只含有一个未知数,并且未知数的次数都是 1 的 整式 方程叫做一元一次方程,一元一次方程一般可以化成 ax-b=0(a≠0) 的形式。 2.解一元一次方程的一般步骤: (1)去 分母 ; (2)去 括号 ; (3)移项; (4) 合并同类项 ; (5)系数化为 1 。 知识点四、二元一次方程(组)及其解法 1.二元一次方程的一般形式: ax+by+c=0 (a,b,c是常数,a≠0,b≠0); 2.由几个含有相同未知数的 二元一次方程 合在一起,叫做二元一次方程组; 3.二元一次方程组中两个方程的 公共解 叫做二元一次方程组的解; 4.解二元一次方程组的基本思路是: 消元 ,即变“二元”为“一元”,其方法有两种,即 代入消元法 和 加减消元法 ,当方程组中某个方程的系数比较简单(最好系数为1)时用 代入消元法 为宜;当两个方程的某一个未知数的系数的绝对值相等时,用 加减消元法 为宜;不具备上述条件,可以通过适当变形,用加减消元法求解。 知识点五、一次方程组的应用 列方程(组)解应用题的一般步骤是: 1.审:弄清题意,分清题目中的已知量和未知量; 2.设:直接或间接设未知数; 3.列:根据题意寻找等量关系列方程(组); 4.解:解这个方程(组),求出未知数的值; 5.验:检验方程(组)的解是否符合题意; 6.答:写出答案(包括单位名称)。 ★★★中考典例剖析★★★ 考点一、解一元一次方程 例1(2018?攀枝花)解方程:. 【思路分析】方程两边每一项都要乘各分母的最小公倍数6,切勿漏乘不含有分母的项,另外分数线有两层意义,一方面它是除号,另一方面它又代表着括号,所以在去分母时,应该将分子用括号括上. 【解答】解:去分母得:3(x-3)-2(2x+1)=6, 去括号得:3x-9-4x-2=6, 移项得:-x=17, 系数化为1得:x=-17. 【点评】注意:在去分母时,应该将分子用括号括上.切勿漏乘不含有分母的项. 【跟踪训练】 1.解方程:. 【思路分析】方程去分母,去括号,移项合并,把x系数化为1,即可求出解. 【解答】解:去分母得:2x-3(30-x)=60, 去括号得:2x-90+3x=60, 移项合并得:5x=150, 把x系数化为1得:x=30. 【点评】此题考查了解一元一次方程,其步骤为:去分母,去括号,移项合并,把未知数系数化为1,求出解. 考点二、二元一次方程(组) 例2 (2017?天津)方程组 的解是(  ) A. B. C. D. 【思路分析】利用代入法求解即可. 【解答】解: , ①代入②得,3x+2x=15, 解得x=3, 将x=3代入①得,y=2×3=6, 所以,方程组的解是. 故选:D. 【点评】本题考查的是二元一次方程组的解法,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法. 例3 (2018?扬州)对于任意实数a,b,定义关于“?”的一种运算如下:a?b=2a+b.例如3?4=2×3+4=10. (1)求2?(-5)的值; (2)若x?(-y)=2,且2y?x=-1,求x+y的值. 【思路分析】(1)依据关于“?”的一种运算:a?b=2a+b,即可得到2?(-5)的值; (2)依据x?(-y)=2,且2y?x=-1,可得方程组,即可得到x+y的值. 【解答】解:(1)∵a?b=2a+b, ∴2?(-5)=2×2+(-5)=4-5=-1; (2)∵x?(-y)=2,且2y?x=-1, ∴, ②×2-①,得 ,解得 , 将代入②得 , 所以原方程组的解为, ∴. 【点评】本题主要考查解二元一次方程组以及有理数的混合运算的运用,根据题意列出方程组是解题的关键. 跟踪训练 2.(2018?湘西州)解方程组:。 【思路分析】①+②求出x,把x=2代入①求出y即可. 【解答】解:①+②得:4x=8, 解得:x=2, 把x=2代入①得:2+y=3, 解得:y=1, 所以原方程组的解为 . 【点评】本题考查了解二元一次方程组,能把二元一次方程组转化成一元一次方程是解此题的关键. 3.(2018?舟山)用消元法解方程组时,两位同学的解法如下: 解法一: 由①-②,得3x=3. 解法二: 由②,得3x+(x-3y)=2,③ 把①代入③,得3x+5=2. (1)反思:上述两个解题过程中有无计算错误?若有误,请在错误处打“ד. (2)请选择一种你喜欢的方法,完成解答. 【思路分析】(1)观察两个解题过程即可求解; (2)根据加减消元法解方程即可求解. 【解答】解:(1)解法一中的解题过程有错误, 由①-②,得3x=3“×”, 应为由①-②,得-3x=3; (2)由①-②,得-3x=3,解得x=-1, 把x=-1代入①,得-1-3y=5,解得y=-2. 故原方程组的解是. 【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法. 考点三、一次方程(组)的应用 命题角度①:一元一次方程的应用 例4 (2018?通辽)一商店以每件150元的价格卖出两件不同的商品,其中一件盈利25%,另一件亏损25%,则商店卖这两件商品总的盈亏情况是(  ) A.亏损20元 B.盈利30元 C.亏损50元 D.不盈不亏 【思路分析】设盈利的商品的进价为x元,亏损的商品的进价为y元,根据销售收入-进价=利润,即可分别得出关于x、y的一元一次方程,解之即可得出x、y的值,再由两件商品的销售收入-成本=利润,即可得出商店卖这两件商品总的亏损20元. 【解答】解:设盈利的商品的进价为x元,亏损的商品的进价为y元, 根据题意得:150-x=25%x,150-y=-25%y, 解得:x=120,y=200, ∴150+150-120-200=-20(元). 故选:A. 【点评】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键. 跟踪训练 4.(2018?恩施州)一商店在某一时间以每件120元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利20%,另一件亏损20%,在这次买卖中,这家商店(  ) A.不盈不亏 B.盈利20元 C.亏损10元 D.亏损30元 【思路分析】设两件衣服的进价分别为x、y元,根据利润=销售收入-进价,即可分别得出关于x、y的一元一次方程,解之即可得出x、y的值,再用240-两件衣服的进价后即可找出结论. 【解答】解:设两件衣服的进价分别为x、y元, 根据题意得:120-x=20%x,y-120=20%y, 解得:x=100,y=150, ∴120+120-100-150=-10(元). 故选:C. 【点评】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键. 命题角度②:二元一次方程的应用 例5 (2018?咸宁)为拓宽学生视野,引导学生主动适应社会,促进书本知识和生活经验的深度融合,我市某中学决定组织部分班级去赤壁开展研学旅行活动,在参加此次活动的师生中,若每位老师带17个学生,还剩12个学生没人带;若每位老师带18个学生,就有一位老师少带4个学生.现有甲、乙两种大客车,它们的载客量和租金如表所示. 甲种客车 乙种客车 载客量/(人/辆) 30 42 租金/(元/辆) 300 400 学校计划此次研学旅行活动的租车总费用不超过3100元,为了安全,每辆客车上至少要有2名老师. (1)参加此次研学旅行活动的老师和学生各有多少人? (2)既要保证所有师生都有车坐,又要保证每辆客车上至少要有2名老师,可知租用客车总数为 辆; (3)你能得出哪几种不同的租车方案?其中哪种租车方案最省钱?请说明理由. 【思路分析】(1)设出老师有x名,学生有y名,得出二元一次方程组,解出即可; (2)根据汽车总数不能小于(取整为8)辆,即可求出; (3)设租用x辆乙种客车,则甲种客车数为:(8-x)辆,由题意得出400x+300(8-x)≤3100,得出x取值范围,分析得出即可. 【解答】解:(1)设老师有x名,学生有y名. 依题意,列方程组为 , 解之得: , 答:老师有16名,学生有284名; (2)∵每辆客车上至少要有2名老师, ∴汽车总数不能大于8辆; 又要保证300名师生有车坐,汽车总数不能小于(取整为8)辆, 综合起来可知汽车总数为8辆; 故答案为:8; (3)设租用x辆乙种客车,则甲种客车数为:(8-x)辆, ∵车总费用不超过3100元, ∴400x+300(8-x)≤3100, 解得:x≤7, 为使300名师生都有座, ∴42x+30(8-x)≥300, 解得:x≥5, ∴5≤x≤7(x为整数), ∴共有3种租车方案: 方案一:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆,租车费用为2900元; 方案二:租用甲种客车2辆,乙种客车6辆,租车费用为3000元; 方案三:租用甲种客车1辆,乙种客车7辆,租车费用为3100元; 故最节省费用的租车方案是:租用甲种客车3辆,乙种客车5辆. 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用与一次不等式的综合应用,由题意得出租用x辆甲种客车与租车费用的不等式关系是解决问题的关键. 跟踪训练 5.(2018?黄石)小光和小王玩“石头、剪子、布”游戏,规定:一局比赛后,胜者得3分,负者得-1分,平局两人都得0分,小光和小王都制订了自己的游戏策略,并且两人都不知道对方的策略. 小光的策略是:石头、剪子、布、石头、剪子、布、…… 小王的策略是:剪子、随机、剪子、随机……(说明:随机指石头、剪子、布中任意一个) 例如,某次游戏的前9局比赛中,两人当时的策略和得分情况如下表 局数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 小光实际策略 石头 剪子 布 石头 剪子 布 石头 剪子 布 小王实际策略 剪子 布 剪子 石头 剪子 剪子 剪子 石头 剪子 小光得分 3 3 -1 0 0 -1 3 -1 -1 小王得分 -1 -1 3 0 0 3 -1 3 3 已知在另一次游戏中,50局比赛后,小光总得分为-6分,则小王总得分为 分. 【思路分析】观察二人的策略可知:每6局一循环,每个循环中第一局小光拿3分,第三局小光拿-1分,第五局小光拿0分,进而可得出五十局中可预知的小光胜9局、平8局、负8局,设其它二十五局中,小光胜了x局,负了y局,则平了(25-x-y)局,根据50局比赛后小光总得分为-6分,即可得出关于x、y的二元一次方程,由x、y、(25-x-y)均非负,可得出x=0、y=25,再由胜一局得3分、负一局得-1分、平不得分,可求出小王的总得分. 【解答】解:由二人的策略可知:每6局一循环,每个循环中第一局小光拿3分,第三局小光拿-1分,第五局小光拿0分. ∵50÷6=8(组)……2(局), ∴(3-1+0)×8+3=19(分). 设其它二十五局中,小光胜了x局,负了y局,则平了(25-x-y)局, 根据题意得:19+3x-y=-6, ∴y=3x+25. ∵x、y、(25-x-y)均非负, ∴x=0,y=25, ∴小王的总得分=(-1+3+0)×8-1+25×3=90(分). 故答案为:90. 【点评】本题考查了二元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类,找准等量关系,正确列出二元一次方程是解题的关键. 命题角度③:二元一次方程组的应用 例6(2018?烟台)为提高市民的环保意识,倡导“节能减排,绿色出行”,某市计划在城区投放一批“共享单车”.这批单车分为A,B两种不同款型,其中A型车单价400元,B型车单价320元. (1)今年年初,“共享单车”试点投放在某市中心城区正式启动.投放A,B两种款型的单车共100辆,总价值36800元.试问本次试点投放的A型车与B型车各多少辆? (2)试点投放活动得到了广大市民的认可,该市决定将此项公益活动在整个城区全面铺开.按照试点投放中A,B两车型的数量比进行投放,且投资总价值不低于184万元.请问城区10万人口平均每100人至少享有A型车与B型车各多少辆? 【思路分析】(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆,根据“两种款型的单车共100辆,总价值36800元”列方程组求解可得; (2)由(1)知A、B型车辆的数量比为3:2,据此设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆,根据“投资总价值不低于184万元”列出关于a的不等式,解之求得a的范围,进一步求解可得. 【解答】解:(1)设本次试点投放的A型车x辆、B型车y辆, 根据题意,得: , 解得: , 答:本次试点投放的A型车60辆、B型车40辆; (2)由(1)知A、B型车辆的数量比为3:2, 设整个城区全面铺开时投放的A型车3a辆、B型车2a辆, 根据题意,得:3a×400+2a×320≥1840000, 解得:a≥1000, 即整个城区全面铺开时投放的A型车至少3000辆、B型车至少2000辆, 则城区10万人口平均每100人至少享有A型车3000× =3辆、至少享有B型车2000×=2辆. 【点评】本题主要考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用,解题的关键是理解题意找到题目蕴含的相等关系,并据此列出方程组. 跟踪训练 6.(2018?常德)某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元,其中甲种水果8元/千克,乙种水果18元/千克.6月份,这两种水果的进价上调为:甲种水果10元千克,乙种水果20元/千克. (1)若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同,将多支付货款300元,求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克? (2)若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克,且甲种水果不超过乙种水果的3倍,则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元? 【思路分析】(1)设该店5月份购进甲种水果x千克,购进乙种水果y千克,根据总价=单价×购进数量,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论; (2)设购进甲种水果a千克,需要支付的货款为w元,则购进乙种水果(120-a)千克,根据总价=单价×购进数量,即可得出w关于a的函数关系式,由甲种水果不超过乙种水果的3倍,即可得出关于a的一元一次不等式,解之即可得出a的取值范围,再利用一次函数的性质即可解决最值问题. 【解答】解:(1)设该店5月份购进甲种水果x千克,购进乙种水果y千克, 根据题意得: , 解得: . 答:该店5月份购进甲种水果100千克,购进乙种水果50千克. (2)设购进甲种水果a千克,需要支付的货款为w元,则购进乙种水果(120-a)千克, 根据题意得:w=10a+20(120-a)=-10a+2400. ∵甲种水果不超过乙种水果的3倍, ∴a≤3(120-a), 解得:a≤90. ∵k=-10<0, ∴w随a值的增大而减小, ∴当a=90时,w取最小值,最小值-10×90+2400=1500. ∴月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,找出w关于a的函数关系式. ★★★真题达标演练★★★ 一、选择题 1.(2018?遂宁)二元一次方程组 的解是(  ) A. B. C. D. 【思路分析】方程组利用加减消元法求出解即可. 【解答】解: , ①+②得:3x=6, 解得:x=2, 把x=2代入①得:y=0, 则方程组的解为, 故选:B. 【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法. 2.(2018?乐山)方程组的解是(  ) A. B. C. D. 【思路分析】先把原方程组化为,进而利用代入消元法得到方程组的解为. 【解答】解:由题可得,, 消去x,可得 2(4-y)=3y, 解得y=2, 把y=2代入2x=3y,可得 x=3, ∴方程组的解为. 故选:D. 【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法. 3.(2018?桂林)若,则x,y的值为(  ) A. B. C. D. 【思路分析】根据二元一次方程组的解法以及非负数的性质即可求出答案. 【解答】解:由题意可知:, 解得:。 故选:D. 【点评】本题考查二元一次方程组的解法,解题的关键是熟练运用二元一次方程组的解法,本题属于基础题型. 4.(2018?临安区)中央电视台2套“开心辞典”栏目中,有一期的题目如图所示,两个天平都平衡,则三个球体的重量等于(  )个正方体的重量. A.2 B.3 C.4 D.5 【思路分析】由图可知:2球体的重量=5圆柱体的重量,2正方体的重量=3圆柱体的重量.可设一个球体重x,圆柱重y,正方体重z.根据等量关系列方程即可得出答案. 【解答】解:设一个球体重x,圆柱重y,正方体重z. 根据等量关系列方程2x=5y;2z=3y,消去y可得:x=z, 则3x=5z,即三个球体的重量等于五个正方体的重量. 故选:D. 【点评】此题的关键是找到球,正方体,圆柱体的关系. 5.(2018?台州)甲、乙两运动员在长为100m的直道AB(A,B为直道两端点)上进行匀速往返跑训练,两人同时从A点起跑,到达B点后,立即转身跑向A点,到达A点后,又立即转身跑向B点…若甲跑步的速度为5m/s,乙跑步的速度为4m/s,则起跑后100s内,两人相遇的次数为(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 【思路分析】可设两人相遇的次数为x,根据每次相遇的时间,总共时间为100s,列出方程求解即可. 【解答】解:设两人相遇的次数为x,依题意有x=100, 解得x=4.5, ∵x为整数, ∴x取4. 故选:B. 【点评】考查了一元一次方程的应用,本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键. 6.(2018?邵阳)程大位是我国明朝商人,珠算发明家.他60岁时完成的《直指算法统宗》是东方古代数学名著,详述了传统的珠算规则,确立了算盘用法.书中有如下问题: 一百馒头一百僧,大僧三个更无争, 小僧三人分一个,大小和尚得几丁. 意思是:有100个和尚分100个馒头,如果大和尚1人分3个,小和尚3人分1个,正好分完,大、小和尚各有多少人,下列求解结果正确的是(  ) A.大和尚25人,小和尚75人 B.大和尚75人,小和尚25人 C.大和尚50人,小和尚50人 D.大、小和尚各100人 【思路分析】根据100个和尚分100个馒头,正好分完.大和尚一人分3个,小和尚3人分一个得到等量关系为:大和尚的人数+小和尚的人数=100,大和尚分得的馒头数+小和尚分得的馒头数=100,依此列出方程即可. 【解答】解:设大和尚有x人,则小和尚有(100-x)人, 根据题意得:, 解得x=25, 则100-x=100-25=75(人), 所以,大和尚25人,小和尚75人. 故选:A. 【点评】本题考查了一元一次方程的应用,关键以和尚数和馒头数作为等量关系列出方程. 7.(2018?武汉)将正整数1至2018按一定规律排列如下表: 平移表中带阴影的方框,方框中三个数的和可能是(  ) A.2019 B.2018 C.2016 D.2013 【思路分析】设中间数为x,则另外两个数分别为x-1、x+1,进而可得出三个数之和为3x,令其分别等于四个选项中数,解之即可得出x的值,由x为整数、x不能为第一列及第八列数,即可确定x值,此题得解. 【解答】解:设中间数为x,则另外两个数分别为x-1、x+1, ∴三个数之和为(x-1)+x+(x+1)=3x. 根据题意得:3x=2019、3x=2018、3x=2016、3x=2013, 解得:x=673,x=672(舍去),x=672,x=671. ∵673=84×8+1, ∴2019不合题意,舍去; ∵672=84×8, ∴2016不合题意,舍去; ∵671=83×8+7, ∴三个数之和为2013. 故选:D. 【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键. 8.(2018?河南)《九章算术》中记载:“今有共买羊,人出五,不足四十五;人出七,不足三,问人数、羊价各几何?”其大意是:今有人合伙买羊,若每人出5钱,还差45钱;若每人出7钱,还差3钱,问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为x人,羊价为y钱,根据题意,可列方程组为(  ) A. B. C. D. 【思路分析】设设合伙人数为x人,羊价为y钱,根据羊的价格不变列出方程组. 【解答】解:设合伙人数为x人,羊价为y钱,根据题意,可列方程组为: . 故选:A. 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组,找准等量关系是解题的关键. 9.(2018?齐齐哈尔)某抗战纪念馆馆长找到大学生团干部小张,联系青年志愿者在周日参与活动,活动累计56个小时的工作时间,需要每名男生工作5个小时,每名女生工作4个小时,小张可以安排学生参加活动的方案共有(  ) A.1种 B.2种 C.3种 D.4种 【思路分析】设安排女生x人,安排男生y人,由“累计56个小时的工作时间”列出方程求得正整数解. 【解答】解:设安排女生x人,安排男生y人, 依题意得:4x+5y=56, 则 . 当y=4时,x=9. 当y=8时,x=4. 当y=0时,x=14. 即安排女生9人,安排男生4人; 安排女生4人,安排男生8人. 安排女生14人,安排男生0人. 共有3种方案. 故选:C. 【点评】考查了二元一次方程的应用.注意:根据未知数的实际意义求其整数解. 10.(2018?东营)小岩打算购买气球装扮学校“毕业典礼”活动会场,气球的种类有笑脸和爱心两种,两种气球的价格不同,但同一种气球的价格相同.由于会场布置需要,购买时以一束(4个气球)为单位,已知第一、二束气球的价格如图所示,则第三束气球的价格为(  ) A.19 B.18 C.16 D.15 【思路分析】设一个笑脸气球的单价为x元/个,一个爱心气球的单价为y元/个,根据前两束气球的价格,即可得出关于x、y的方程组,用前两束气球的价格相加除以2,即可求出第三束气球的价格. 【解答】解:设一个笑脸气球的单价为x元/个,一个爱心气球的单价为y元/个, 根据题意得: , 方程(①+②)÷2,得:2x+2y=18. 故选:B. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键. 11.(2018?牡丹江)如图,在长为15,宽为12的矩形中,有形状、大小完全相同的5个小矩形,则图中阴影部分的面积为(  ) A.35 B.45 C.55 D.65 【思路分析】设小长方形的长为x,宽为y,观察图形可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可求出x、y的值,再利用阴影部分的面积=大矩形的面积-5×小矩形的面积,即可求出结论. 【解答】解:设小矩形的长为x,宽为y, 根据题意得: , 解得: , ∴S阴影=15×12-5xy=45. 故选:B. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键. 12.(2018?常德)阅读理解:a,b,c,d是实数,我们把符号 称为2×2阶行列式,并且规定:=a×d-b×c,例如: =3×(-2)-2×(-1)=-6+2=-4.二元一次方程组 的解可以利用2×2阶行列式表示为:;其中D= ,Dx= ,Dy= . 问题:对于用上面的方法解二元一次方程组 时,下面说法错误的是(  ) A.D==-7 B.Dx=-14 C.Dy=27 D.方程组的解为 【思路分析】分别根据行列式的定义计算可得结论. 【解答】解:A、D==-7,正确; B、Dx==-2-1×12=-14,正确; C、Dy==2×12-1×3=21,不正确; D、方程组的解:x==2,y==-3,正确; 故选:C. 【点评】本题是阅读理解问题,考查了2×2阶行列式和方程组的解的关系,理解题意,直接运用公式计算是本题的关键. 二、填空题 13.(2018?淮安)若关于x、y的二元一次方程3x-ay=1有一个解是 ,则a= . 【思路分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值. 【解答】解:把代入方程得: 9-2a=1, 解得:a=4, 故答案为:4. 【点评】此题考查了二元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 14、(2018?枣庄)若二元一次方程组 的解为 ,则a-b= . 【思路分析】把x、y的值代入方程组,再将两式相加即可求出a-b的值. 【解答】解:将代入方程组,得: , 2 +②,得:4a-4b=7, 则a-b=, 故答案为:. 【点评】本题考查二元一次方程组的解,解题的关键是观察两方程的系数,从而求出a-b的值,本题属于基础题型. 15.(2018?无锡)方程组 的解是 . 【思路分析】利用加减消元法求解可得. 【解答】解: , ②-①,得:3y=3, 解得:y=1, 将y=1代入①,得:x-1=2, 解得:x=3, 所以方程组的解为 , 故答案为:. 【点评】此题主要考查了解二元一次方程组的方法,要熟练掌握,注意代入法和加减法的应用. 16.(2018?牡丹江)小明按标价的八折购买了一双鞋,比按标价购买节省了40元,这双鞋的实际售价为 元. 【思路分析】等量关系为:标价×0.8=标价-40,依此列出方程,解方程即可. 【解答】解:设这双鞋的标价为x元, 根据题意,得0.8x=x-40, x=200.200-40=160(元), 故答案是:160. 【点评】本题考查了一元一次方程的应用,解题关键是要读懂题目的意思,根据题目给出的条件,找出合适的等量关系,列出方程,再求解. 17.(2018?呼和浩特)文具店销售某种笔袋,每个18元,小华去购买这种笔袋,结账时店员说:“如果你再多买一个就可以打九折,价钱比现在便宜36元”,小华说:“那就多买一个吧,谢谢,”根据两人的对话可知,小华结账时实际付款 元. 【思路分析】设小华购买了x个笔袋,根据原单价×购买数量(x-1)-打九折后的单价×购买数量(x)=节省的钱数,即可得出关于x的一元一次方程,解之即可求出小华购买的数量,再根据总价=单价×0.9×购买数量,即可求出结论. 【解答】解:设小华购买了x个笔袋, 根据题意得:18(x-1)-18×0.9x=36, 解得:x=30, ∴18×0.9x=18×0.9×30=486. 答:小华结账时实际付款486元. 故答案为:486. 【点评】本题考查了一元一次方程的应用,找准等量关系,正确列出一元一次方程是解题的关键. 18.(2018?襄阳)我国古代数学著作《九章算术》中有一道阐述“盈不足术”的问题,译文为:“现有几个人共同购买一个物品,每人出8元,则多3元;每人出7元,则差4元.问这个物品的价格是多少元?”该物品的价格是 元. 【思路分析】设该商品的价格是x元,共同购买该物品的有y人,根据“每人出8元,则多3元;每人出7元,则差4元”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论. 【解答】解:设该商品的价格是x元,共同购买该物品的有y人, 根据题意得: , 解得: . 故答案为:53. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用,找准等量关系,正确列出二元一次方程组是解题的关键. 19.(2018?随州)已知 是关于x,y的二元一次方程组 的一组解,则a+b= . 【思路分析】根据方程组解的定义,把问题转化为关于a、b的方程组,求出a、b即可解决问题; 【解答】解:∵是关于x,y的二元一次方程组的一组解, ∴ , 解得 , ∴a+b=5, 故答案为5. 【点评】本题考查二元方程组,解题的关键是理解题意,学会用转化的思想思考问题,所以中考常考题型. 20.(2018?滨州)若关于x、y的二元一次方程组 的解是 ,则关于a、b的二元一次方程组 的解是 。 【思路分析】利用关于x、y的二元一次方程组的解是可得m、n的数值,代入关于a、b的方程组即可求解,利用整体的思想整理找到两个方程组的联系求解的方法更好. 【解答】解:方法一: ∵关于x、y的二元一次方程组的解是, ∴将解代入方程组 ?? 可得m=-1,n=2 ∴关于a、b的二元一次方程组可整理为: , 解得: , 方法二: 关于x、y的二元一次方程组的解是, 由关于a、b的二元一次方程组, 可知 , 解得:, 故答案为: 【点评】本题考查二元一次方程组的求解,重点是整体考虑的数学思想的理解运用在此题体现明显. 三、解答题 21.(2018?武汉)解方程组: 。 【思路分析】方程组利用加减消元法求出解即可. 【解答】解: , ②-①得:x=6, 把x=6代入①得:y=4, 则方程组的解为 . 【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法. 22.(2018?安徽)《孙子算经》中有这样一道题,原文如下: 今有百鹿入城,家取一鹿,不尽,又三家共一鹿,适尽,问:城中家几何? 大意为: 今有100头鹿进城,每家取一头鹿,没有取完,剩下的鹿每3家共取一头,恰好取完,问:城中有多少户人家? 请解答上述问题. 【思路分析】设城中有x户人家,根据鹿的总数是100列出方程并解答. 【解答】解:设城中有x户人家, 依题意得:x+=100, 解得x=75. 答:城中有75户人家. 【点评】考查了一元一次方程的应用.解题的关键是找准等量关系,列出方程. 23.(2018?永州)在永州市青少年禁毒教育活动中,某班男生小明与班上同学一起到禁毒教育基地参观,以下是小明和妈妈的对话,请根据对话内容,求小明班上参观禁毒教育基地的男生和女生的人数. 【思路分析】设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人,女生人数为y人,根据“男生人数+女生人数=55、男生人数=1.5×女生人数+5”列出方程组并解答. 【解答】解:设小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为x人,女生人数为y人, 依题意得: , 解得 , 答:小明班上参观禁毒教育基地的男生人数为35人,女生人数为20人. 【点评】考查了二元一次方程组的应用.分析题意,找到关键描述语,找到合适的等量关系是解决问题的关键. 24.(2018?聊城)建设中的大外环路是我市的一项重点民生工程.某工程公司承建的一段路基工程的施工土方量为120万立方,原计划由公司的甲、乙两个工程队从公路的两端同时相向施工150天完成.由于特殊情况需要,公司抽调甲队外援施工,由乙队先单独施工40天后甲队返回,两队又共同施工了110天,这时甲乙两队共完成土方量103.2万立方. (1)问甲、乙两队原计划平均每天的施工土方量分别为多少万立方? (2)在抽调甲队外援施工的情况下,为了保证150天完成任务,公司为乙队新购进了一批机械来提高效率,那么乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高多少万立方才能保证按时完成任务? 【思路分析】(1)设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方,乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方,根据“甲乙两队合作150天完成土方量120万立方,甲队施工110天、乙队施工150天完成土方量103.2万立方”,即可得出关于x、y的二元一次方程组,解之即可得出结论; (2)设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a万立方才能保证按时完成任务,根据完成工作的总量=甲队完成的土方量+乙队完成的土方量,即可得出关于a的一元一次不等式,解之取其中的最小值即可得出结论. 【解答】解:(1)设甲队原计划平均每天的施工土方量为x万立方,乙队原计划平均每天的施工土方量为y万立方, 根据题意得: , 解得: . 答:甲队原计划平均每天的施工土方量为0.42万立方,乙队原计划平均每天的施工土方量为0.38万立方. (2)设乙队平均每天的施工土方量比原来提高a万立方才能保证按时完成任务, 根据题意得:110×0.42+(40+110)×(0.38+a)≥120, 解得:a≥0.112. 答:乙队平均每天的施工土方量至少要比原来提高0.112万立方才能保证按时完成任务. 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用,解题的关键是:(1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组;(2)根据各数量之间的关系,找出关于a的一元一次不等式. 25.(2018?随州)我们知道,有理数包括整数、有限小数和无限循环小数,事实上,所有的有理数都可以化为分数形式(整数可看作分母为1的分数),那么无限循环小数如何表示为分数形式呢?请看以下示例: 例:将 化为分数形式, 由于=0.777…,设x=0.777…① 则10x=7.777…② ②-①得9x=7,解得x=,于是得=. 同理可得=, =1+ =1+=, 根据以上阅读,回答下列问题:(以下计算结果均用最简分数表示) 【基础训练】 (1) = ,= ; (2)将 化为分数形式,写出推导过程; 【能力提升】 (3)= ,= ; (注:=0.315315…,=2.01818…)。 【探索发现】 (4)①试比较与1的大小: 1(填“>”、“<”或“=”) ②若已知=,则= . (注:=0.285714285714…)。 【思路分析】根据阅读材料可知,每个整数部分为零的无限循环小数都可以写成分式形式,如果循环节有n位,则这个分数的分母为n个9,分子为循环节. 【解答】解:(1)由题意知 =,=5+=, 故答案为:、; (2)=0.232323……, 设x=0.232323……①, 则100x=23.2323……②, ②-①,得:99x=23, 解得:x=, ∴=; (3)同理= =, =2+×=, 故答案为:, (4)①==1, 故答案为:=。 ②+==4, ∴4-=4-=。 故答案为:。 【点评】本题考查了规律探索和简单一元一次方程的应用,解答时注意按照阅读材料的示例找到规律. ◆◆◆温馨提醒◆◆◆ (1)用等式性质进行等式变形,必须注意“两边都”(加减或乘除),不能漏项; (2)等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值不为0。 ◆◆◆温馨提醒◆◆◆ (1)解一元一次方程的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则,要注意灵活准确运用; (2)解一元一次方程特别注意:去分母时应注意不要漏乘项,移项时要注意变号。 ◆◆◆温馨提醒◆◆◆ (1)一个二元一次方程的解有一组,在实际应用中通常要求其正整数解; (2)二元一次方程组的解应写成的形式。 ◆◆◆温馨提醒◆◆◆ (1)列方程(组)解应用题的关键是找等量关系; (2)几个常用的等量关系: ①路程=速度×时间; ②工作效率=; ③利润=收入-成本。 ●●●触雷警示●●● 解一元一次方程易错点 (1)根据分数的基本性质把分母转化为整数时,不含分母的项漏乘; (2)去分母时漏乘不含分母的项,去分母后分子忘记加括号; (3)去括号时漏乘或弄错符号; (4)移项时不变号; (5)系数化为1时弄错符号或分子、分母颠倒。 ???思维升华??? (1)当方程组中未知数的系数较小时,一般用代入消元法;当未知数的系数相等或互为相反数,或者存在倍数关系时用加减消元法。 (2)用代入法解二元一次方程组的一般步骤:从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.将变形后的关系式代入另一个方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程.解这个一元一次方程,求出x(或y)的值。 (3)另外要关注已知和所求之间的关系,注意整体思想的应用。 ???思维升华??? 列方程解应用题的关键是准确找出题目中的等量关系,其基本思路如下: (1)首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x; (2)然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答,即设、列、解、答,得出实际问题的答案。 ???思维升华??? 二元一次方程组的应用,解题的关键是: (1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组; (2)根据数量关系,列式计算. ???感悟中考??? 分析课标标准和近五年的中考试题,可以发现中考命题主要集中在:二元一次方程(组)的实际应用,题型一般为选择题和解答题,通过近五年考题的规律,可以预测未来中考试题中,会继续重点进行考查二元一次方程组的应用。 ◆◆◆温馨提醒◆◆◆ (1)用等式性质进行等式变形,必须注意“两边都”(加减或乘除),不能漏项; (2)等式两边都除以一个数或式时必须保证它的值不为0。 ◆◆◆温馨提醒◆◆◆ (1)解一元一次方程的各个步骤的依据分别是等式的性质和合并同类法则,要注意灵活准确运用; (2)解一元一次方程特别注意:去分母时应注意不要漏乘项,移项时要注意变号。 ◆◆◆温馨提醒◆◆◆ (1)一个二元一次方程的解有一组,在实际应用中通常要求其正整数解; (2)二元一次方程组的解应写成的形式。 ◆◆◆温馨提醒◆◆◆ (1)列方程(组)解应用题的关键是找等量关系; (2)几个常用的等量关系: ①路程=速度×时间; ②工作效率=; ③利润=收入-成本。 ●●●触雷警示●●● 解一元一次方程易错点 (1)根据分数的基本性质把分母转化为整数时,不含分母的项漏乘; (2)去分母时漏乘不含分母的项,去分母后分子忘记加括号; (3)去括号时漏乘或弄错符号; (4)移项时不变号; (5)系数化为1时弄错符号或分子、分母颠倒。 ???思维升华??? (1)当方程组中未知数的系数较小时,一般用代入消元法;当未知数的系数相等或互为相反数,或者存在倍数关系时用加减消元法。 (2)用代入法解二元一次方程组的一般步骤:从方程组中选一个系数比较简单的方程,将这个方程组中的一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.将变形后的关系式代入另一个方程,消去一个未知数,得到一个一元一次方程.解这个一元一次方程,求出x(或y)的值。 (3)另外要关注已知和所求之间的关系,注意整体思想的应用。 ???思维升华??? 列方程解应用题的关键是准确找出题目中的等量关系,其基本思路如下: (1)首先审题找出题中的未知量和所有的已知量,直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为x; (2)然后用含x的式子表示相关的量,找出之间的相等关系列方程、求解、作答,即设、列、解、答,得出实际问题的答案。 ???思维升华??? 二元一次方程组的应用,解题的关键是: (1)找准等量关系,正确列出二元一次方程组; (2)根据数量关系,列式计算. ???感悟中考??? 分析课标标准和近五年的中考试题,可以发现中考命题主要集中在:二元一次方程(组)的实际应用,题型一般为选择题和解答题,通过近五年考题的规律,可以预测未来中考试题中,会继续重点进行考查二元一次方程组的应用。
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  • 资料类型: 教案
  • 资料版本:通用
  • 适用地区:全国
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