20.1 数据的集中趋势课堂实录【2】

地区： 甘肃省 - 陇南市 - 礼　县

学校：礼县第一中学

20.1　数据的集中趋势 初中数学       人教2011课标版

1、掌握中位数、众数的概念，会求一组数据的中位数、众数。
2、能应用中位数、众数知识分析解决实际问题。
3、初步感受中位数、众数的特点及其与平均数的区别与联系。

通过学习数据的集中趋势，能让学生对统计学有一个大概的了解.更宏观的认识统计数据的重要性.

1、熟练地利用中位数、众数的概念，求出一组数据的中位数和众数，能应用中位数、众数知识分析解决实际问题。

2、感受中位数、众数的特点及其与平均数的区别与联系。

请同学们来看一个问题：

【问题1 】 如图是某公司员工月收入的资料。

          月收入|元      450000     180000   10000   5500     5000    3400     3000     1000

             人数               1              1             1           3           6          1          11          1

计算这个公司员工收入的平均数。
若用（1）算得的平均数反映公司全体育昂贵月收入水平，你认为合适吗？

 学生计算后，交流讨论。

教师分析，这个公司员工收入的平均数为6276，但在25名员工中，仅有3名员工的收入在6276元以上，而另外22名员工的收入都在6276元以下，因此，用月收入的平均数反映所有员工的月收入水平，不太合适.

那么如何能更好地反映公司全体员工的月收入水平呢？这就是本节课我们要学习的内容.

【设计意图】通过学生对问题1的分析、讨论，为引出中位数的概念提供了素材.

（一）中位数、众数的概念

（1）中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，那么称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.

（2）众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.

（二）平均数、中位数和众数的特点

 （1）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会引起平均数的变动.

  （2）中位数则仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中出现个别极端数据时，可用中位数来描述这组数据的集中趋势.

   （3）众数是由一个数据出现的次数决定的，一组数据的众数可以不唯一，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量.

     现在我们将问题1中的数据进行由小到大（或由大到小）的顺序排列，利用中位数可以更好的反映这组数据的集中趋势.

      利用中位数分析数据可以获得一些信息，例如，上述问题中将公司25名员工月收入数据由小到大的顺序排列，得到的中位数是3400，这说明除去月收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工低于3400元.

【思考】上述问题中公司员工月收入的平均数为什么会比中位数高的多呢？

学生分析比较后，教师分析：因为平均数易受极端值的影响.

【例1】在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得12名选手所用的时间（单位：min）如下：

                                  136       140      129      180      124      154

                                  146       145      158      175      165      148

 （1）样本数据（12名选手的成绩）的中位数是多少？

 （2）一名选手的成绩是142min，他的成绩如何？

【解】（1）先将样本数据按照由小到大的顺序排列：

                                 124      129     136     140    145   146

                                 148      154     158     165    175    180

这组数据的中位数为处于中间的两个数146,148的平均数，即 .

因此，样本数据的中位数是147 .

（2）根据（1）中得到的样本数据的中位数，可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选手成绩快于147min，有一半选手的成绩慢于147min，这名选手的成绩是142min，快于中位数147min，可以推测他的成绩比一半以上选手的成绩好.

【设计意图】应用新知于不同情境中，巩固知识并渗透用样本数据估计总体的思想，教师给出解题过程，规范学生的书写格式，有利于基本技能的落实.

请同学们再来看一个问题：

【例2】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售如图所示，你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？

                          尺码／cm      22    22.5   23   23.5   24    24.5   25.5

                         销售量／双     1       2       5      11     7        3        1

学生独立思考后，交流讨论

教师评析：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好的反映集中趋势.

一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.

例如问题1中公司员工月收入的众数为3000，这说明公司中月收入3000元的员工人数最多，如果应聘公司的普通员工一职，这个众数能提供更游泳的信息.

【分析】一般来讲，鞋店比较关心那种尺码的鞋销售量最大，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数，一段时间内卖出的30双女鞋的尺码组成一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的众数，进而可以估计这家鞋店销售那种尺码的鞋最多.

【解】由图中可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据的众数，即23.5cm的鞋销售量最大，因此可以建议鞋店多进23.5cm的鞋.

【练习】某车间准备采取每月任务定额，超产有奖的措施提高工作效率，为制定一个恰当的生产定额，从该车间200名工人中随进抽取20人统计某月产量如下表所示：

                        每人生产零件数   260  270  280  290  300  310  350  520

                               人数               1      1      5       4      3     4       1     1

请应用所学的统计知识为制定生产定额的管理者提供有用的参考数据；

你认为管理者将每人每月的生产定额定位多少最合适？为什么？
估计该车间全年可生产零件多少件?

【分析】在确定生产定额时，可供参考的数据额应当有：平均数、众数、中位数，合理的生产定额应确定在使多数人经过努力能够完成超额完成的基础上，如果众数将众数280件定位生产定额，那么绝大多数工人不需要太努力就可完成任务，这样就不利于提高工作效率，若将平均数305件定位生产定额，则多数工人不可能超产，甚至完不成定额，会挫伤工人的积极性，故将中位数定位生产定额最合适.而对于车间全年的零件产量，可以用所抽查的20人样本的平均数305件来估计总体的平均数.

【解】（1）平均数为305件，中位数为290件，众数为280件.

（2）取中位数290作为生产定额较合适，原因是这个定额使多数工人能经过努力完成或超额完成任务.

（3） （件），计估计该车间全年可生产零件约 件.

【点评】：利用平均数、中位数、众数三者都是描述一组数据的集中趋势的这一特征来对实际问题做指导，进行多角度分析、比较得到结论.

习题20.1 第2,3,4题.

20.1　数据的集中趋势

20.1　数据的集中趋势

请同学们来看一个问题：

【问题1 】 如图是某公司员工月收入的资料。

          月收入|元      450000     180000   10000   5500     5000    3400     3000     1000

             人数               1              1             1           3           6          1          11          1

计算这个公司员工收入的平均数。
若用（1）算得的平均数反映公司全体育昂贵月收入水平，你认为合适吗？

 学生计算后，交流讨论。

教师分析，这个公司员工收入的平均数为6276，但在25名员工中，仅有3名员工的收入在6276元以上，而另外22名员工的收入都在6276元以下，因此，用月收入的平均数反映所有员工的月收入水平，不太合适.

那么如何能更好地反映公司全体员工的月收入水平呢？这就是本节课我们要学习的内容.

【设计意图】通过学生对问题1的分析、讨论，为引出中位数的概念提供了素材.

（一）中位数、众数的概念

（1）中位数的概念：将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则称处于中间位置的数为这组数据的中位数;如果数据的个数是偶数，那么称中间两个数据的平均数为这组数据的中位数.

（2）众数的概念：一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.

（二）平均数、中位数和众数的特点

 （1）平均数的大小与一组数据里的每个数据均有关系，其中任何数据的变动都会引起平均数的变动.

  （2）中位数则仅与数据的排列位置有关，某些数据的变动对中位数没有影响，当一组数据中出现个别极端数据时，可用中位数来描述这组数据的集中趋势.

   （3）众数是由一个数据出现的次数决定的，一组数据的众数可以不唯一，其大小只与这组数据中的部分数据有关，当一组数据中有不少数据多次重复出现时，其众数往往是我们关心的一种统计量.

     现在我们将问题1中的数据进行由小到大（或由大到小）的顺序排列，利用中位数可以更好的反映这组数据的集中趋势.

      利用中位数分析数据可以获得一些信息，例如，上述问题中将公司25名员工月收入数据由小到大的顺序排列，得到的中位数是3400，这说明除去月收入为3400元的员工，一半员工收入高于3400元，另一半员工低于3400元.

【思考】上述问题中公司员工月收入的平均数为什么会比中位数高的多呢？

学生分析比较后，教师分析：因为平均数易受极端值的影响.

【例1】在一次男子马拉松长跑比赛中，抽得12名选手所用的时间（单位：min）如下：

                                  136       140      129      180      124      154

                                  146       145      158      175      165      148

 （1）样本数据（12名选手的成绩）的中位数是多少？

 （2）一名选手的成绩是142min，他的成绩如何？

【解】（1）先将样本数据按照由小到大的顺序排列：

                                 124      129     136     140    145   146

                                 148      154     158     165    175    180

这组数据的中位数为处于中间的两个数146,148的平均数，即 .

因此，样本数据的中位数是147 .

（2）根据（1）中得到的样本数据的中位数，可以估计，在这次马拉松比赛中，大约有一半选手成绩快于147min，有一半选手的成绩慢于147min，这名选手的成绩是142min，快于中位数147min，可以推测他的成绩比一半以上选手的成绩好.

【设计意图】应用新知于不同情境中，巩固知识并渗透用样本数据估计总体的思想，教师给出解题过程，规范学生的书写格式，有利于基本技能的落实.

请同学们再来看一个问题：

【例2】一家鞋店在一段时间内销售了某种女鞋30双，各种尺码鞋的销售如图所示，你能根据表中的数据为这家鞋店提供进货建议吗？

                          尺码／cm      22    22.5   23   23.5   24    24.5   25.5

                         销售量／双     1       2       5      11     7        3        1

学生独立思考后，交流讨论

教师评析：当一组数据有较多的重复数据时，众数往往能更好的反映集中趋势.

一组数据中出现次数最多的数据称为这组数据的众数.

例如问题1中公司员工月收入的众数为3000，这说明公司中月收入3000元的员工人数最多，如果应聘公司的普通员工一职，这个众数能提供更游泳的信息.

【分析】一般来讲，鞋店比较关心那种尺码的鞋销售量最大，也就是关心卖出的鞋的尺码组成的一组数据的众数，一段时间内卖出的30双女鞋的尺码组成一个样本数据，通过分析样本数据可以找出样本数据的众数，进而可以估计这家鞋店销售那种尺码的鞋最多.

【解】由图中可以看出，在鞋的尺码组成的数据中，23.5是这组数据的众数，即23.5cm的鞋销售量最大，因此可以建议鞋店多进23.5cm的鞋.

【练习】某车间准备采取每月任务定额，超产有奖的措施提高工作效率，为制定一个恰当的生产定额，从该车间200名工人中随进抽取20人统计某月产量如下表所示：

                        每人生产零件数   260  270  280  290  300  310  350  520

                               人数               1      1      5       4      3     4       1     1

请应用所学的统计知识为制定生产定额的管理者提供有用的参考数据；

你认为管理者将每人每月的生产定额定位多少最合适？为什么？
估计该车间全年可生产零件多少件?

【分析】在确定生产定额时，可供参考的数据额应当有：平均数、众数、中位数，合理的生产定额应确定在使多数人经过努力能够完成超额完成的基础上，如果众数将众数280件定位生产定额，那么绝大多数工人不需要太努力就可完成任务，这样就不利于提高工作效率，若将平均数305件定位生产定额，则多数工人不可能超产，甚至完不成定额，会挫伤工人的积极性，故将中位数定位生产定额最合适.而对于车间全年的零件产量，可以用所抽查的20人样本的平均数305件来估计总体的平均数.

【解】（1）平均数为305件，中位数为290件，众数为280件.

（2）取中位数290作为生产定额较合适，原因是这个定额使多数工人能经过努力完成或超额完成任务.

（3） （件），计估计该车间全年可生产零件约 件.

【点评】：利用平均数、中位数、众数三者都是描述一组数据的集中趋势的这一特征来对实际问题做指导，进行多角度分析、比较得到结论.

习题20.1 第2,3,4题.