17.1　勾股定理（通用）优秀教案设计

地区： 天津市 - 天津市 - 滨海新区

学校：天津市滨海新区大港油田第三中学

17.1 勾股定理 初中数学       人教2011课标版

通过一些问题引入，激发学生探究的欲望。让学生经历观察、计算、猜想、归纳这一数学结论发现过程，发现直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论。通过例题体验勾股定理解决生活中问题的过程。

教学重点：探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论，从而发现勾股定理．

教学难点：以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．

知识与技能

通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论.

过程与方法

1．在充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．

2．在探索上述结论的过程中，发展归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．

情感态度与价值观

1．树立积极参与、合作交流的意识．

2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困.

教学重点：探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论，从而发现勾股定理．

教学难点：以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．

我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。

问题1

在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗？

问题2

某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火？

问题3

我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么意义？为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽？

问题设计具有一定的挑战性，目的是激发学生探究的欲望．反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一基本观点．

教师可引导学生将问题2转化为数学问题，也就是“已知直角三角形的两边，求第三边”的问题，学生会感到困难．从而教师指出：学习本章，我们就能回答上述问题． 

活动1

问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家做客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．

同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大哲学家有同样的发现呢？

问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗？

问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗？

观察下图，并回答问题： 

（图中每个小方格代表一个单位面积）

（1）观察图1．

正方形A中含有________个小方格，即A的面积是_________个单位面积；

正方形B中含有________个小方格，即B的面积是_________个单位面积；

正方形C中含有________个小方格，即C的面积是__________个单位面积．

（2）在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流．

（3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？

通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究结论的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想．

对于问题1和问题2，教师要留给学生充分的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论．

对于问题3，可让学生在自己准备好的小方格纸上画出，并计算A、B、C三个正方形的面积，并在小组内交流．学生计算C正方形的面积，可能有不同的方法．不管是通过直接数小方格的个数，还是将C划成为4个全等的等腰直角三角形来求，都应予以肯定，并鼓励学生用语言进行描述．

问题：

有了上面的问题，大家一定会思考，等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形是否也有这个性质呢？

活动2

问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗？如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A′、B′、C′的面积，看看能得出什么结论．（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．） 

问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗？

进一步让学生体会观察、猜想、归纳这一数学结论发现的过程，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高，让学生体会到结论更具一般性．

让学生计算A、B、C、A′、B′、C′的面积，但正方形C和C′的面积不易求出，可以让学生在预先准备好的方格纸上画图形，在剪一剪、拼一拼后发现求正方形C和C′的面积的方法。

对于问题1，师生共析：

如果将虚线标出的正方形C和C′周围的四个直角三角形分别沿斜边折叠进去，你会得出什么结论呢？

通过上面的折叠我发现了该图案正是2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标．

对于问题2，一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论？

我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0.5，1.2的直角三角形来进行验证。

问题1：小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

问题2：（1）如下图，一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前有多高？

（2）求斜边长17 cm，一条直角边长15 cm的直角三角形的面积． 

问题1、2是贴近学生生活有趣的实例，学生可利用勾股定理解决．直角三角形的三边关系告诉我们已知两边可求出第三边．体验勾股定理解决生活中问题的过程．

同学们在小组内讨论：

你能用直角三角形的三边关系解答活动l中的问题2吗？ 

1．研究勾股定理及其应用；

2．会构造直角三角形，利用勾股定理解简单应用题．

17.1 勾股定理

17.1 勾股定理

知识与技能

通过观察、计算、猜想直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论.

过程与方法

1．在充分观察、归纳、猜想、探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的过程中，发展合情推理能力，体会数形结合的思想．

2．在探索上述结论的过程中，发展归纳、概括和有条理地表达活动的过程和结论．

情感态度与价值观

1．树立积极参与、合作交流的意识．

2．在探索勾股定理的过程中，体验获得结论的快乐，锻炼克服困.

教学重点：探索直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方的结论，从而发现勾股定理．

教学难点：以直角三角形的边为边的正方形面积的计算．

我们知道，任意三角形的三条边必须满足定理：三角形的两边之和大于第三边。对于等腰三角形和等边三角形的边，除满足三边关系定理外，它们还分别存在着两边相等和三边相等的特殊关系。那么对于直角三角形的边，除满足三边关系定理外，它们之间也存在着特殊的关系，这就是我们这一节要研究的问题：勾股定理。

问题1

在我国古代，人们将直角三角形中的短的直角边叫做勾，长的直角边叫做股，斜边叫做弦．根据我国古算书《周髀算经》记载，在约公元前1100年，人们已经知道，如果勾是三，股是四，那么弦是五，你知道是为什么吗？

问题2

某楼房三楼失火，消防队员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防队员取来6.5米长的云梯，如果梯子的底部离墙基的距离是2.5米，请问消防队能否进入三楼灭火？

问题3

我们再来看章头图，在下角的图案，它有什么意义？为什么选定它作为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽？

问题设计具有一定的挑战性，目的是激发学生探究的欲望．反映了数学来源于实际生活，数学是从人的需要中产生这一基本观点．

教师可引导学生将问题2转化为数学问题，也就是“已知直角三角形的两边，求第三边”的问题，学生会感到困难．从而教师指出：学习本章，我们就能回答上述问题． 

活动1

问题1：毕达哥拉斯是古希腊著名的哲学家、数学家、天文学家，相传2500年前，一次，毕达哥拉斯去朋友家做客．在宴席上，其他的宾客都在尽情欢乐，高谈阔论，只有毕达哥拉斯却看着朋友家的方砖地而发起呆来．原来，朋友家的地是用一块块直角三角形形状的砖铺成的，黑白相间，非常美观大方．主人看到毕达哥拉斯的样子非常奇怪，就想过去问他．谁知毕达哥拉斯突然恍然大悟的样子，站起来，大笑着跑回家去了．

同学们，我们也来观察下面图中的地面，看看你能发现什么？是否也和大哲学家有同样的发现呢？

问题2：你能发现下图中等腰直角三角形ABC有什么性质吗？

问题3：等腰直角三角形都有上述性质吗？

观察下图，并回答问题： 

（图中每个小方格代表一个单位面积）

（1）观察图1．

正方形A中含有________个小方格，即A的面积是_________个单位面积；

正方形B中含有________个小方格，即B的面积是_________个单位面积；

正方形C中含有________个小方格，即C的面积是__________个单位面积．

（2）在图2、图3中，正方形A、B、C中各含有多少个小方格？它们的面积各是多少？你是如何得到上述结果的？与同伴交流．

（3）请将上述结果填入下表，你能发现正方形A，B，C的面积关系吗？

通过让学生观察计算，发现对于等腰直角三角形而言，满足两直角边的平方和等于斜边的平方，让学生亲历发现、探究结论的过程，也有利于培养学生的语言表达能力，体会数形结合的思想．

对于问题1和问题2，教师要留给学生充分的思考时间，然后让学生交流合作，得出结论．

对于问题3，可让学生在自己准备好的小方格纸上画出，并计算A、B、C三个正方形的面积，并在小组内交流．学生计算C正方形的面积，可能有不同的方法．不管是通过直接数小方格的个数，还是将C划成为4个全等的等腰直角三角形来求，都应予以肯定，并鼓励学生用语言进行描述．

问题：

有了上面的问题，大家一定会思考，等腰直角三角形有上述性质，其他的直角三角形是否也有这个性质呢？

活动2

问题1：等腰三角形有上述性质，其他的三角形也有这个性质吗？如下图，每个小方格的面积均为1，请分别计算出下图中正方形A、B、C，A′、B′、C′的面积，看看能得出什么结论．（提示：以斜边为边长的正方形的面积，等于虚线标出的正方形的面积减去四个直角三角形的面积．） 

问题2：给出一个边长为0.5，1.2，1.3，这种含小数的直角三角形，也满足上述结论吗？

进一步让学生体会观察、猜想、归纳这一数学结论发现的过程，也让学生的分析问题和解决问题的能力在无形中得到提高，让学生体会到结论更具一般性．

让学生计算A、B、C、A′、B′、C′的面积，但正方形C和C′的面积不易求出，可以让学生在预先准备好的方格纸上画图形，在剪一剪、拼一拼后发现求正方形C和C′的面积的方法。

对于问题1，师生共析：

如果将虚线标出的正方形C和C′周围的四个直角三角形分别沿斜边折叠进去，你会得出什么结论呢？

通过上面的折叠我发现了该图案正是2002年在北京召开的国际数学家大会的徽标．

对于问题2，一个边长为小数的直角三角形是否也有此结论？

我们不妨设小方格的边长为0.1，我们不妨在你准备好的方格纸上画出一个两直角边为0.5，1.2的直角三角形来进行验证。

问题1：小明的妈妈买了一部29英寸（74厘米）的电视机．小明量了电视机的屏幕后，发现屏幕只有58厘米长和46厘米宽，他觉得一定是售货员搞错了．你同意他的想法吗？你能解释这是为什么吗？

问题2：（1）如下图，一根旗杆在离地面9 m处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12 m处，旗杆折断之前有多高？

（2）求斜边长17 cm，一条直角边长15 cm的直角三角形的面积． 

问题1、2是贴近学生生活有趣的实例，学生可利用勾股定理解决．直角三角形的三边关系告诉我们已知两边可求出第三边．体验勾股定理解决生活中问题的过程．

同学们在小组内讨论：

你能用直角三角形的三边关系解答活动l中的问题2吗？ 

1．研究勾股定理及其应用；

2．会构造直角三角形，利用勾股定理解简单应用题．