16.2 二次根式的乘除教学设计与反思

地区： 广　西 - 百色市 - 田阳县

学校：田阳县百育镇第二初级中学

16.2 二次根式的乘除 初中数学       人教2011课标版

知识与技能：理解二次根式的乘法法则并会逆向应用，灵活掌握并能运用二次根式乘法法则并进行相关计算

过程与方法：经过观察、比较、总结和应用等数学活动，感受和体验发现的快乐,并提高应用意识。

情感态度与价值观：通过本节课的学习，培养学生利用概念解题的严谨性和科学精神。

本节首先介绍二次根式的乘法运算。教科书从具体例子出发，有特殊到一般的归纳给出二次根式的乘法法则，探究中的两个问题是两个不同层次的探究活动。

第一步是让学生通过计算发现规律，第二步是让学生对发现的规律进行验证，因此第一步中的被开方数都是完全平方数，这样有利于学生发现规律，第二步中的被开方数不是完全平方数，要求用计算器检验，已验证规律是否正确。

二次根式的乘法法则是利用从特殊到一般的方法归纳给出的，考虑到学生的年龄特征和知识水平，对法则的合理性没有给出一般的说明。

教学重点：√ a.√ b=√‍ ab(a‍≥ 0,b‍≥0)  √‍ ab=√‍ a.√ b )   (    a≥ 0.  b≥ 0      )

教学难点:发现规律，导出√ a.√ b=√ ab  (  a≥ 0,b≥‍ 0                  )

1．复习引入，探究新知

我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.

问题1　什么叫二次根式？二次根式有哪些性质？

师生活动　学生回答。

【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质.

问题2　教材第6页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？

师生活动　学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容．

【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般地，采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则.要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识.

2．观察比较，理解法则

问题3　简单的根式运算.

师生活动　学生动手操作，教师检验.

问题4　 成立的条件是什么？等式反过来有什么价值？

师生活动 学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质.

【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况.乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力.

3．例题示范，学会应用

例1 化简：（1） ； （2） .

师生活动　提问：你是怎么理解例（1）的？

如果学生回答不完善，再追问：这个问题中，就直接将结果算成 可以吗？你认为本题怎样才达到了化简的效果？

师生合作回答上述问题.对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质 将其移出根号外.

再提问：你能仿照第（1）题的解答，能自己解决（2）吗？

【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向.积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简.

例2 计算：（1） ； （2） ； （3）

师生活动　学生计算，教师检验.

（1）在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由 直接可得 而不必先写成 再分解；

（2）二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是适用的.对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，再对根式进行运算；

（3）例（3）的运算是选学内容.让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算.本题先利用积的算术平方根的性质，得到 ，然后利用二次根式的乘法法则，变成 ，由于 可以判断 ，因此直接将x移出根号外.

【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算.让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用.

教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要注意被开方数的符号.可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题.

4．巩固概念，学以致用

练习：教科书第7页练习第1题. 第10页习题16.2第1题.

【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况.

5．归纳小结，反思提高

师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：

（1）你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗？

（2）你能说明乘法法则逆用的意义吗？

（3）化简二次根式的基本步骤是怎样？一般对最后结果有何要求？

6．布置作业：教科书第7页第2、3题.习题16.2第1，6题.

五、目标检测设计

1．下列各式中，一定能成立的是（ ）

A. B.

C. D.

【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础.

2．化简 ______________________________。

【设计意图】二次根式是特殊的实数，实数的相关运算法则也适用于二次根式.

3．已知 ，化简二次根式 的结果是（　　）

A． B． C． D．

【设计意图】巩固二次根式的性质，利用积的算术平方根的性质正确化简二次根式.

16.2 二次根式的乘除

16.2 二次根式的乘除

1．复习引入，探究新知

我们前面已经学习了二次根式的概念和性质，本节课开始我们要学习二次根式的乘除.本节课先学习二次根式的乘法.

问题1　什么叫二次根式？二次根式有哪些性质？

师生活动　学生回答。

【设计意图】乘法运算和二次根式的化简需要用到二次根式的性质.

问题2　教材第6页“探究”栏目，计算结果如何？有何规律？

师生活动　学生计算、思考并尝试归纳，引导学生用自己的语言描述乘法法则的内容．

【设计意图】学生在自主探究的过程中发现规律，运用类比思想，由特殊到一般地，采用不完全归纳的方法得出二次根式的乘法法则.要求学生用数学语言和文字分别描述法则，以培养学生的符号意识.

2．观察比较，理解法则

问题3　简单的根式运算.

师生活动　学生动手操作，教师检验.

问题4　 成立的条件是什么？等式反过来有什么价值？

师生活动 学生回答，给出正确答案后，教师给出积的算术平方根的性质.

【设计意图】让学生运用法则进行简单的二次根式的乘法运算，以检验法则的掌握情况.乘法法则反过来就是积的算术平方根的性质，性质是为运算服务的，积的算术平方根的性质将积的算术平方根分解成几个因数或因式的算术平方根的积，利用整式的运算法则、乘法公式等可以简化二次根式，培养学生的运算能力.

3．例题示范，学会应用

例1 化简：（1） ； （2） .

师生活动　提问：你是怎么理解例（1）的？

如果学生回答不完善，再追问：这个问题中，就直接将结果算成 可以吗？你认为本题怎样才达到了化简的效果？

师生合作回答上述问题.对于根式运算的最后结果，一般被开方数中有开得尽方的因数或因式，应依据二次根式的性质 将其移出根号外.

再提问：你能仿照第（1）题的解答，能自己解决（2）吗？

【设计意图】通过运算，培养学生的运算能力，明确二次根式化简的方向.积的算术平方根的性质可以进行二次根式的化简.

例2 计算：（1） ； （2） ； （3）

师生活动　学生计算，教师检验.

（1）在被开方数相乘的时候，就可以考虑因数或因式分解，由 直接可得 而不必先写成 再分解；

（2）二次根式的乘法运算类似于整式的乘法运算，交换律、结合律都是适用的.对于根号外有系数的根式在相乘时，可以将系数先相乘作为积的系数，再对根式进行运算；

（3）例（3）的运算是选学内容.让学有余力的学生学到“根号下为字母的二次根式”的运算.本题先利用积的算术平方根的性质，得到 ，然后利用二次根式的乘法法则，变成 ，由于 可以判断 ，因此直接将x移出根号外.

【设计意图】引导学生及时总结，强调利用运算律进行运算，利用乘法公式简化运算.让学生认识到，二次根式是一类特殊的实数，因此满足实数的运算律，关于整式运算的公式和方法也适用.

教材中虽然指明，如未特别说明，本章中所有的字母都表示正数，但仍应强调，看到根号就要注意被开方数的符号.可以根据二次根式的概念对字母的符号进行判断，在移出根号时正确处理符号问题.

4．巩固概念，学以致用

练习：教科书第7页练习第1题. 第10页习题16.2第1题.

【设计意图】巩固性练习，同时检验乘法法则的掌握情况.

5．归纳小结，反思提高

师生共同回顾本节课所学内容，并请学生回答以下问题：

（1）你能说明二次根式的乘法法则是如何得出的吗？

（2）你能说明乘法法则逆用的意义吗？

（3）化简二次根式的基本步骤是怎样？一般对最后结果有何要求？

6．布置作业：教科书第7页第2、3题.习题16.2第1，6题.

五、目标检测设计

1．下列各式中，一定能成立的是（ ）

A. B.

C. D.

【设计意图】考查二次根式的概念和性质，这是进行二次根式的乘法运算的基础.

2．化简 ______________________________。

【设计意图】二次根式是特殊的实数，实数的相关运算法则也适用于二次根式.

3．已知 ，化简二次根式 的结果是（　　）

A． B． C． D．

【设计意图】巩固二次根式的性质，利用积的算术平方根的性质正确化简二次根式.