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  • ID:3-3681716 阳明中学第20届阳明杯竞赛(初赛)八年级数学问卷(含答案)

    初中数学/竞赛专区/八年级竞赛

    1.在下列长度的四根木棒中,能与两根长度分别为4cm和9cm的木棒构成一个三角形的是(  )
    A.4cm B.5cm C.9cm D.13cm
    2. 在直角坐标系中,点A(-2, 3)在( )
    A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
    3.工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下:如图所示,
    ∠AOB是一个任意角,在边OA,OB上分别取OM=ON,移动角尺,使角尺两边相同的刻度分别与M,N重合.过角尺顶点C的射线OC即是∠AOB的平分线.做法中用到三角形全等的判定方法是( )
    A.SSS B.SAS C.ASA D.HL
    *cnjy*com
    4. 把不等式组 的解集表示在数轴上,下列选项正确的是(  )

    • 竞赛/初赛/复赛题
    • 2017-03-19
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  • ID:3-3662886 福建省莆田市仙游县蔡襄中学“庆元旦”2016-2017学年八年级(上)竞赛数学试卷(解析版)

    初中数学/竞赛专区/八年级竞赛


    2016-2017学年福建省莆田市仙游县蔡襄中学“庆元旦”八年级(上)竞赛数学试卷
    1.下列四组数据中,不能作为直角三角形的三边长的是(  )
    A.7,24,25 B.6,8,10 C.9,12,15 D.3,4,6
    2.设M=(x﹣3)(x﹣7),N=(x﹣2)(x﹣8),则M与N的关系为(  )
    A.M<N B.M>N C.M=N D.不能确定
    3.观察下列等式:31=3,32=9,33=27,34=81,35=243,36=729,37=2187…,解答下列问题:3+32+33+…+32015的末位数字是(  )
    A.1 B.3 C.7 D.9
    4.若实数x、y、z满足(x﹣z)2﹣4(x﹣y)(y﹣z)=0,则下列式子一定成立的是(  )
    A.x+y+z=0 B.x+y﹣2z=0 C.y+z﹣2x=0 D.z+x﹣2y=0
    5.已知△ABC中,AB=AC,高BD、CE交于点O,连接AO,则图中全等三角形的对数为(  )
    A.3 B.4 C.5 D.6
    6.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,AB=8,AD平分∠BAC,点PQ分别是AB、AD边上的动点,则PQ+BQ的最小值是(  )
    A.4 B.5 C.6 D.7
    7.点P(3,﹣5)关于y轴对称的点的坐标为(  )
    A.(﹣3,﹣5) B.(5,3) C.(﹣3,5) D.(3,5)
    8.下列四个命题中,真命题有(  )
    ①两条直线被第三条直线所截,内错角相等.
    ②如果∠1和∠2是对顶角,那么∠1=∠2.
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    • 竞赛/初赛/复赛题
    • 2017-03-01
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    • sdp0878
  • ID:3-3635422 安徽省合肥市长丰县城关中学2016-2017学年八年级(上)竞赛数学试卷(解析版)

    初中数学/竞赛专区/八年级竞赛


    2016-2017学年安徽省合肥市长丰县城关中学八年级(上)竞赛数学试卷
    1.下列坐标平面内的各点中,在x轴上的是(  )
    A.(﹣2,﹣3) B.(﹣3,0) C.(﹣1,2) D.(0,3)
    2.正比例函数如图所示,则这个函数的解析式为(  )
    A.y=x B.y=﹣x C.y=﹣2x D.y=﹣x
    3.下面四个图形中,线段BE是△ABC的高的图是(  )
    A. B. C. D.
    4.若△ABC三个内角的度数分别为m、n、p,且|m﹣n|+(n﹣p)2=0,则这个三角形为(  )
    A.等腰三角形 B.等边三角形
    C.直角三角形 D.等腰直角三角形
    5.弹簧的长度与所挂物体的质量关系为一次函数,由图可知,不挂物体时,弹簧的长度为(  )
    A.7cm B.8cm C.9cm D.10cm
    6.某同学把一块三角形的玻璃打碎成了3块,现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃,那么最省事方法是(  )
    A.带①去 B.带②去 C.带③去 D.①②③都带去
    7.如图,函数y=kx(k≠0)和y=ax+4(a≠0)的图象相交于点A(2,3),则不等式kx>ax+4的解集为(  )
    A.x>3 B.x<3 C.x>2 D.x<2
    8.李老师骑自行车上班,最初以某一速度匀速行进,中途由于自行车故障,停下修车耽误了几分钟,为了按时到校,李老师加快了速度,仍保持匀速行进,结果准时到校.在课堂上,李老师请学生画出自行车行进路程y千米与行进时间t的函数图象的示意图,同学们画出的示意图如下,你认为正确的是(  )
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    • 2017-02-08
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    • 函数魔性
  • ID:3-3631061 太原市初中数学奥林匹克中的几何问题第7章九点圆定理及应用(含答案,2份打包)

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    第七章九点圆定理及应用
    【基础知识】
    九点圆定理三角形三条高的垂足、三边的中点,以及垂心与顶点的三条连接线段的中点,这九点共圆.
    如图7-1,设三条高,,的垂足分别为,,;三边,,的中点分别为,,;又,,的中点分别为,,.求证:,,,,,,,,九点共圆.
    证法1连,,,,则知,即知为平行四边形.又,知为矩形.从而,,,四点共圆,且圆心为与的交点.同理,为矩形,从而,,,,,六点共圆,且,,均为这个
    圆的直径.
    由,知,,三点也在这个圆上.故,,,,,,,,九点共圆.
    证法2设的外心为,取的中点并记为,连,以为圆心,为半径作,如图.
    由,知在上.同理,,也在上.
    由(可由延长交的外接圆于,得为平行四边形,此时为的中点,则为的中位线即得),知.又,知,从而,且,,共线,故在上.
    同理,,在上.
    由,,共线知为的一条直径.
    又,,,知,,在上,
    故,,,,,,,,九点共圆.
    上述圆通常称为九点圆,也有人叫费尔巴哈圆或欧拉圆,显然,正三角形的九点圆即为其内切圆.
    证法3由,有.注意到、分别为、的中点,
    则,即,这表明、、、四点共圆(或者联结、,则由知、、、四点共圆).同理,、、、及、、、分别四点共圆.
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  • ID:3-3631060 太原市初中数学奥林匹克中的几何问题第6章西姆松定理及应用(含答案,2份打包)

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    第六章西姆松定理及应用
    【基础知识】
    西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线,则三垂足点共线(此线常称为西姆松线).
    证明如图6-1,设为的外接圆上任一点,从向三边,,所在直线作垂线,垂足分别为,,.连,,由,,,四点共圆,有

    又,,,四点共圆,有.
    故,即,,三点共线.
    注 此定理有许多证法.例如,如下证法:
    如图6-1,连,令,,,则
    ,,,且,,,
    ,,.对,有
    .故由梅涅劳斯定理之逆定理,知,,三点共线.
    西姆松定理还可运用托勒密定理、张角定理、斯特瓦尔特定理来证(略).
    西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线,则该点在此三角形的外接圆上.
    证明如图6-1,设点在的三边,,所在直线上的射影分别为,,,且此三点共线.由于,于,于,知,,,及,,,分别四点共圆,而与相交于,则,从而,,,四点共圆,即点在的外接圆上.
    【典型例题与基本方法】
    1.找到或作出三角形外接圆上一点在三边上的射影,是应用西姆松定理的关键
    例1如图6-2,过正外接圆的上点作直线于,作于,作于.求证:.
    证明由直线于,于,于,知,,,及,,,
    分别四点共圆,则,.
    由西姆松定理,知,,三点共线,从而以为视点,对应用张角定理,
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  • ID:3-3630961 太原市初中数学奥林匹克中的几何问题第5章张角定理及应用(含答案,2份打包)

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    第5章 张角定理及应用
    【基础知识】
    张角定理 设,,顺次分别是平面内一点所引三条射线,,上的点,线段,对点的张角分别为,,且,则,,三点共线的充要条件是: .
    证明 如图5-1,,,三点共线

    推论 在定理的条件下,且,即平分,则,,三点共线的充要条件是: .
    注 若规定角的绕向,逆时针方向为正,否则为负,则上述定理、推论中的点可表示在的延长线上的情形.
    上述定理把平面几何和三角函数紧密相联,它给出了用三角法处理平面几何问题的一个颇为有用的公式.用它去解几何题,适当地配合三角形面积公式、正弦定理、三角公式、几何知识,可以大大简化解题步骤,众多的几何问题可以简捷地解决.
    【典型例题与基本方法】
    1.恰当地选择共一端点的两线段对同一视点的两张角,是应用张角定理的关键
    例1 如图5-2,已知为四边形,两组对边延长后得交点,,对角线,的延长线交于.求证:. (1978年全国竞赛题)
    证明 以为视点,令,,分别对,,;,,及,,应用张角定理,得
    , ①
    , ②
    . ③
    又由,有,在中应用正弦定理,有.
    由①②③④,得,
    ,即.
    例2 已知的顶点,,对应的三边长分别为,,,为其内切圆圆心,交于.求证:. (1979年广东省竞赛题)
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  • ID:3-3630960 初中数学奥林匹克中的几何问题第4章斯特瓦尔特定理及应用(含答案,2份打包)

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    第四章 特瓦尔特定理及应用
    【基础知识】
    斯特瓦尔特定理 设为的边上任一点(,),则有

    或 . ②
    证明 如图4-1,不失一般性,不妨设,则由余弦定理,有


    对上述两式分别乘以,后相加整理,得①式或②式.
    斯特瓦尔特定理的逆定理 设,,依次分别为从点引出的三条射线,,上的点,若

    或 ,
    则,,三点共线.
    证明 令,,对和分别应用余弦定理,有
    ,.
    将上述两式分别乘以,后相加,再与已知条件式相比较得
    ,由此推出,即证.
    斯特瓦尔特定理的推广 (1)设为的边延长线上任一点,则
    . ③
    (2)设为的边反向延长线上任一点,则
    . ④
    注 若用有向线段表示,则②,③,④式是一致的.
    推论1 设为等腰的底边上任一点,则.
    注 此推论也可视为以为圆心,为半径的圆中的圆幂定理.
    推论2 设为的边上的中线,则.
    推论3 设为的的内角平分线,则.
    推论4 设为的的外角平分线,则.
    推论5 在中,若分线段满足,则

    注 若,则.
    【典型例题与基本方法】
    1.选择恰当的三角形及一边上的一点,是应用斯特瓦尔特定理的关键.
    例1 如图4-2,凸四边形中,,,,,对角线,交于点.求. (1996年北京中学生竞赛题)
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  • ID:3-3630959 初中数学奥林匹克中的几何问题第3章托勒密定理及应用(含答案,2份打包)

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    第三章 托勒密定理及应用
    【基础知识】
    托勒密定理 圆内接四边形的两组对边乘积之和等于两对角线的乘积.
    证明 如图3-1,四边形内接于,在上取点,使,则,于是

    又,有.
    上述两乘积式相加,得
    . ①
    注 此定理有多种证法,例如也可这样证:作交于,连,,则知为等腰梯形,有,,,且,令,与交于,则


    易知 ,从而有.
    推论1(三弦定理) 如果是圆上任意一点,,,是该圆上顺次的三条弦,则
    . ②
    事实上,由①式,应用正弦定理将,,换掉即得②式.
    推论2(四角定理) 四边形内接于,则 . ③
    事实上,由①式,应用正弦定理将六条线段都换掉即得③式.
    直线上的托勒密定理(或欧拉定理) 若,,,为一直线上依次排列的四点,则.
    注 由直线上的托勒密定理有如下推论:若,,,是一条直线上顺次四点,点是直线外一点,则

    事实上,如图3-2,设点到直线的距离为,
    由,有

    用两边及夹角正弦形式的三角形面积表示上式后,两边同除以即得推论.
    由上述推论也可证明圆内接四边形中的托勒密定理.
    证明 如图3-3,在图上取一点,连、、、,设交于,交于.
    由正弦定理 ,,,,,,其中为圆的半径.
    对、、、应用直线上的托勒密定理的推论,有
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  • ID:3-3630958 山西省太原市初中数学奥林匹克中的几何问题 第2章塞瓦定理及应用(含答案,2份打包)

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    第二章 塞瓦定理及应用
    【基础知识】
    塞瓦定理 设,,分别是的三边,,或其延长线上的点,若,,三线平行或共点,则. ①
    证明 如图2-1()、(),若,,交于一点,则过作的平行线,分别交,的延长线于,,得.
    又由,有.
    从而.
    若,,三线平行,可类似证明(略).
    注 (1)对于图2-1()、()也有如下面积证法:
    由:,即证.
    (2)点常称为塞瓦点.
    (3)共点情形的塞瓦定理与梅涅劳斯定理可以互相推证.
    首先,由梅涅劳斯定理推证共点情形的塞瓦定理.
    如图2-1()、(),分别对及截线,对及截线应用梅涅劳斯定理有
    ,.
    上述两式相乘,得.
    其次,由共点情形的塞瓦定理推证梅涅劳斯定理.
    如图2-2,设,,分别为的三边,,所在直线上的点,且,,三点共线.令直线与交于点,直线与交于点,直线与交于点.
    分别视点,,,,,为塞瓦点,应用塞瓦定理,即
    对及点(直线,,的交点),有.
    对及点(直线,,的交点),有.
    对及点(直线,,的交点),有.
    对及点(直线,,的交点),有.
    对及点(直线,,的交点),有.
    对及点(直线,,的交点),有.
    上述六式相乘,有.
    故.
    塞瓦定理的逆定理 设,,分别是的三边,,或其延长线上的点,若
    , ②
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  • ID:3-3630957 初中数学奥林匹克中的几何问题第1章梅涅劳斯定理及应用(含答案,2份打包)

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    第一章涅劳斯定理及应用
    【基础知识】
    梅涅劳斯定理 设,,分别是的三边,,或其延长线上的点,若,,三点共线,则. ①
    证明 如图,过作直线交的延长线于,则
    ,,故

    注 此定理的证明还有如下正弦定理证法及面积证法.
    正弦定理证法 设,,,在中,有,同理,,,此三式相乘即证.
    面积证法 由,,,此三式相乘即证.
    梅涅劳斯定理的逆定理 设,,分别是的三边,,或其延长线上的点,若
    , ②
    则,,三点共线.
    证明 设直线交于,则由梅涅劳斯定理,得到.
    由题设,有,即有.
    又由合比定理,知,故有,从而与重合,即,,三点共线.
    有时,也把上述两个定理合写为:设,,分别是的三边,,所在直线(包括三边的延长线)上的点,则,,三点共线的充要条件是

    上述①与②式是针对而言的,如图(整个图中有4个三角形),对于、、也有下述形式的充要条件:
    ;;. ③
    第一角元形式的梅涅劳斯定理 设,,分别是的三边,,所在直线(包括三边的延长线)上的点,则,,共线的充分必要条件是
    . ④
    证明 如图,可得

    同理,,.
    以上三式相乘,运用梅涅劳斯定理及其逆定理,知结论成立.
    第二角元形式的梅涅劳斯定理 设,,分别是的三边,,所在直线上的点,点不在三边所在直线上,则,,三点共线的充要条件是
    . ⑤
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    压缩包内容:
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    第一章梅涅劳斯定理及应有答.doc

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